Mod ialah nilai yang paling berkemungkinan bagi pembolehubah rawak. Dengan taburan simetri berbanding min, mod bertepatan dengan jangkaan matematik. Jika nilai pembolehubah rawak tidak diulang, tiada mod.
Titik pada paksi-x yang sepadan dengan maksimum lengkung ketumpatan taburan dipanggil mod, iaitu, mod ialah nilai paling berkemungkinan bagi pembolehubah rawak. Walau bagaimanapun, tidak semua pengedaran mempunyai mod. Contohnya ialah pengagihan seragam. Dalam kes ini, menentukan pusat pengedaran sebagai mod adalah mustahil. Moda biasanya dirujuk sebagai Mo.
Terdapat konsep mod dan median pembolehubah rawak.
Jelas sekali, dalam kes median simetri, ia bertepatan dengan mod dan jangkaan matematik.
Berdasarkan fakta bahawa fesyen tidak didasarkan pada ukuran tunggal, tetapi pada isipadu yang besar pemerhatian, ia tidak boleh dianggap sebagai pembolehubah rawak. Magnitud mod tidak mempunyai kesan pelbagai jenis kelewatan dalam kerja dan kehilangan kadar normalnya.
Kadang-kadang semasa analisis taburan empirikal gunakan konsep mod dan median taburan, "...Mod ialah nilai yang paling berkemungkinan bagi pembolehubah rawak,
Tafsiran kebarangkalian-teori yang meluas bagi fenomena loteri ialah konsep taburan kebarangkalian pembolehubah rawak. Dengan bantuannya, kebarangkalian ditentukan bahawa pembolehubah rawak akan mengambil satu atau satu lagi nilai yang mungkin. Mari kita nyatakan dengan y pembolehubah rawak, dan dengan y kemungkinan nilainya. Kemudian untuk pembolehubah rawak diskret , yang boleh mengambil kemungkinan nilai Y, y2, VZ,. .., yn bentuk mudah bagi taburan kebarangkalian harus dianggap sebagai pergantungan P(y = y), yang biasanya dipanggil siri kebarangkalian, siri taburan. Dalam praktiknya, untuk penilaian umum yang cepat tentang pengagihan kebarangkalian nilai risiko, apa yang dipanggil berangka dan ciri-ciri lain bagi pengagihan keputusan rawak sering digunakan: jangkaan matematik, serakan, sisihan min kuasa dua (standard), pekali variasi, mod, median, dsb. (lihat, contohnya, dsb.). Dalam erti kata lain, untuk persepsi yang cepat dan holistik, usahawan berusaha (atau ringkasnya
Berdasarkan data dari Jawatankuasa Perangkaan Negeri USSR mengenai pengagihan penduduk dengan purata jumlah pendapatan per kapita, kami akan cuba membandingkan penunjuk pendapatan purata, median dan modal (Jadual 1). Jadual menunjukkan bahawa pendapatan purata dalam nilai mutlak melebihi pendapatan median dan modal, dan pertumbuhannya berlaku terutamanya disebabkan oleh peningkatan dalam bahagian orang yang berpendapatan tinggi, iaitu, penggunaan penunjuk pendapatan purata membawa kepada anggaran berlebihan yang ketara. tahap pendapatan sebahagian besar penduduk dan sebahagian besarnya menyembunyikan proses pembezaan mereka. Nilai pendapatan modal condong ke arah kumpulan bawah pengagihan dan menyimpang daripada pendapatan median ke bawah. Walau bagaimanapun, kejadian fesyen dalam satu atau selang yang lain selalunya agak rawak. perubahan kecil dalam pengedaran - dan mod sudah berada dalam selang jiran. Sebagai contoh, pada tahun 1989, tahap pendapatan yang paling biasa adalah dari 100 hingga 125 rubel (16.1% daripada penduduk menerima pendapatan sedemikian), namun, disebabkan oleh peralihan kecil dalam pendapatan yang berlaku pada tahun 1989-1990, selang yang paling biasa adalah seperti berikut. selang (125-150 rubel) , dan nilai fesyen itu sendiri meningkat sebanyak 15.6 rubel. Di samping itu, bahagian penduduk dalam julat pendapatan modal mungkin melebihi bahagian lain hanya sedikit.
Untuk mencirikan pusat taburan pembolehubah rawak normal logaritma a, anda boleh menggunakan, bersama-sama dengan jangkaan matematik yang telah dikira Ma, mod (ketumpatan maksimum tempatan /(a a)) toc1a = exp(t-st2) dan
Mod - fesyen. Nilai yang paling berkemungkinan bagi pembolehubah rawak.
FESYEN - konsep
Nilai yang dijangkakan. Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret X, tuan rumah nombor akhir nilai Xi dengan kebarangkalian Ri, jumlah itu dipanggil:
Jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan X dipanggil kamiran hasil darab nilainya X pada ketumpatan taburan kebarangkalian f(x):
(6b)
Kamiran tak wajar (6 b) diandaikan sebagai konvergen mutlak (dalam sebaliknya mereka mengatakan bahawa jangkaan matematik M(X) tidak wujud). Jangkaan matematik mencirikan nilai purata pembolehubah rawak X. Dimensinya bertepatan dengan dimensi pembolehubah rawak.
Hartanah jangkaan matematik:
Penyerakan. Varians pembolehubah rawak X nombor itu dipanggil:
Variansnya ialah ciri penyebaran nilai pembolehubah rawak X berbanding dengan nilai puratanya M(X). Dimensi varians adalah sama dengan dimensi pembolehubah rawak kuasa dua. Berdasarkan definisi varians (8) dan jangkaan matematik (5) untuk pembolehubah rawak diskret dan (6) untuk pembolehubah rawak berterusan, kami memperoleh ungkapan yang serupa untuk varians:
(9)
Di sini m = M(X).
Sifat serakan:
Sisihan piawai:
(11)
Sejak dimensi purata sisihan segi empat sama sama seperti pembolehubah rawak, ia lebih kerap digunakan sebagai ukuran serakan daripada varians.
Detik-detik pengedaran. Konsep jangkaan dan serakan matematik adalah kes khas yang lebih banyak konsep umum untuk ciri berangka pembolehubah rawak – detik pengedaran. Momen taburan pembolehubah rawak diperkenalkan sebagai jangkaan matematik beberapa fungsi mudah pembolehubah rawak. Jadi, seketika pesanan k relatif kepada titik X 0 dipanggil jangkaan matematik M(X–X 0 )k. Detik tentang asal usul X= 0 dipanggil detik-detik awal dan ditetapkan:
(12)
Momen awal bagi susunan pertama ialah pusat taburan pembolehubah rawak yang sedang dipertimbangkan:
(13)
Detik tentang pusat pengedaran X= m dipanggil titik pusat dan ditetapkan:
(14)
Daripada (7) ia berikutan bahawa momen pusat tertib pertama adalah sentiasa sama dengan sifar:
Momen pusat tidak bergantung pada asal nilai pembolehubah rawak, kerana apabila dialihkan oleh nilai tetap DENGAN pusat pengedarannya beralih dengan nilai yang sama DENGAN, dan sisihan dari pusat tidak berubah: X – m = (X – DENGAN) – (m – DENGAN).
Sekarang sudah jelas bahawa penyebaran- Ini detik pusat urutan kedua:
Asimetri. Momen pusat pesanan ketiga:
(17)
berfungsi untuk penilaian asimetri pengedaran. Jika taburan adalah simetri tentang titik X= m, maka momen tengah tertib ketiga akan sama dengan sifar (seperti semua momen pusat tertib ganjil). Oleh itu, jika momen pusat tertib ketiga berbeza daripada sifar, maka taburan tidak boleh simetri. Magnitud asimetri dinilai menggunakan tanpa dimensi pekali asimetri:
(18)
Tanda pekali asimetri (18) menunjukkan asimetri sebelah kanan atau kiri (Rajah 2).
nasi. 2. Jenis asimetri taburan.
Berlebihan. Momen pusat pesanan keempat:
(19)
berfungsi untuk menilai apa yang dipanggil berlebihan, yang menentukan tahap kecuraman (pointedness) lengkung taburan berhampiran pusat taburan berhubung dengan lengkung taburan normal. Oleh kerana untuk taburan normal, nilai yang diambil sebagai kurtosis ialah:
(20)
Dalam Rajah. 3 menunjukkan contoh keluk taburan dengan makna yang berbeza berlebihan. Untuk taburan normal E= 0. Lengkung yang lebih memuncak daripada biasa mempunyai kurtosis positif, yang lebih rata mempunyai kurtosis negatif.
nasi. 3. Keluk taburan dengan darjah yang berbeza-beza kesejukan (berlebihan).
Detik tertib lebih tinggi dalam aplikasi kejuruteraan statistik matematik biasanya tidak digunakan.
Fesyen
diskret pembolehubah rawak ialah nilai yang paling berkemungkinan. Fesyen berterusan pembolehubah rawak ialah nilainya di mana ketumpatan kebarangkalian adalah maksimum (Rajah 2). Jika keluk taburan mempunyai satu maksimum, maka taburan itu dipanggil tidak bermodal. Jika keluk taburan mempunyai lebih daripada satu maksimum, maka taburan itu dipanggil multimodal. Kadangkala terdapat taburan yang lengkungnya mempunyai minimum dan bukannya maksimum. Pengagihan sedemikian dipanggil anti modal. DALAM kes am mod dan jangkaan matematik pembolehubah rawak tidak bertepatan. Dalam kes khas, untuk modal, iaitu mempunyai mod, taburan simetri dan dengan syarat terdapat jangkaan matematik, yang terakhir bertepatan dengan mod dan pusat simetri taburan.
Median pembolehubah rawak X- ini maksudnya Meh, yang mana kesaksamaan dipegang: i.e. ia adalah sama berkemungkinan bahawa pembolehubah rawak X akan kurang atau lebih Meh. Secara geometri median ialah absis bagi titik di mana kawasan di bawah lengkung taburan dibahagikan kepada separuh (Rajah 2). Dalam kes taburan modal simetri, median, mod dan jangkaan matematik adalah sama.
Di antara ciri-ciri berangka pembolehubah rawak, pertama sekali, perlu diperhatikan ciri-ciri yang mencirikan kedudukan pembolehubah rawak pada paksi berangka, i.e. menunjukkan beberapa purata, nilai anggaran di mana semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dikumpulkan.
Nilai purata pembolehubah rawak ialah nombor tertentu iaitu, seolah-olah, "wakil"nya dan menggantikannya dalam kira-kira anggaran pengiraan. Apabila kami menyebut: "purata masa operasi lampu ialah 100 jam" atau "purata titik hentaman dianjakkan berbanding sasaran sebanyak 2 m ke kanan", kami menunjukkan ciri berangka tertentu pembolehubah rawak yang menerangkan lokasinya. pada paksi berangka, i.e. "ciri kedudukan".
Daripada ciri-ciri kedudukan dalam teori kebarangkalian peranan penting memainkan jangkaan matematik pembolehubah rawak, yang kadangkala dipanggil nilai purata pembolehubah rawak.
Mari kita pertimbangkan pembolehubah rawak diskret yang mempunyai nilai yang mungkin dengan kebarangkalian. Kita perlu mencirikan dengan beberapa nombor kedudukan nilai pembolehubah rawak pada paksi-x, dengan mengambil kira hakikat bahawa nilai-nilai ini mempunyai kebarangkalian yang berbeza. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang dipanggil "purata wajaran" nilai, dan setiap nilai semasa purata harus diambil kira dengan "berat" berkadar dengan kebarangkalian nilai ini. Oleh itu, kita akan mengira purata pembolehubah rawak, yang akan kita nyatakan dengan:
atau, memandangkan,
. (5.6.1)
Purata wajaran ini dipanggil jangkaan matematik pembolehubah rawak. Oleh itu, kami memperkenalkan satu daripada konsep yang paling penting teori kebarangkalian - konsep jangkaan matematik.
Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.
Ambil perhatian bahawa dalam rumusan di atas definisi jangkaan matematik adalah sah, secara tegasnya, hanya untuk pembolehubah rawak diskret; Di bawah ini kita akan umumkan konsep ini kepada kes kuantiti berterusan.
Untuk menjadikan konsep jangkaan matematik lebih jelas, mari kita beralih kepada tafsiran mekanikal bagi taburan pembolehubah rawak diskret. Biarkan terdapat titik dengan absis pada paksi absis, di mana jisim tertumpu, masing-masing, dan . Maka, jelas sekali, jangkaan matematik yang ditakrifkan oleh formula (5.6.1) tidak lebih daripada absis pusat graviti sistem mata bahan tertentu.
Jangkaan matematik pembolehubah rawak disambungkan oleh kebergantungan pelik dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan pembolehubah rawak pada nombor besar eksperimen. Pergantungan ini adalah jenis yang sama seperti pergantungan antara kekerapan dan kebarangkalian, iaitu: dengan sejumlah besar eksperimen, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pendekatan pembolehubah rawak (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Daripada kehadiran sambungan antara kekerapan dan kebarangkalian, seseorang boleh menyimpulkan sebagai akibatnya kehadiran sambungan yang serupa antara min aritmetik dan jangkaan matematik.
Sesungguhnya, pertimbangkan pembolehubah rawak diskret yang dicirikan oleh siri taburan:
di mana 
.
Biarkan eksperimen bebas dijalankan, di mana setiap kuantiti mengambil nilai tertentu. Mari kita anggap bahawa nilai muncul sekali, nilai muncul sekali, dan nilai muncul sekali. Jelas sekali,
Mari kita hitung min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan kuantiti, yang, berbeza dengan jangkaan matematik, kita nyatakan:
Tetapi tidak ada yang lebih daripada kekerapan (atau kebarangkalian statistik) sesuatu peristiwa; kekerapan ini boleh ditetapkan. Kemudian
,
mereka. min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan frekuensi nilai ini.
Apabila bilangan eksperimen bertambah, frekuensi akan menghampiri (bertumpu dalam kebarangkalian) kepada kebarangkalian yang sepadan. Akibatnya, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak akan mendekati (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya apabila bilangan eksperimen bertambah.
Kaitan antara min aritmetik dan jangkaan matematik yang dirumuskan di atas membentuk kandungan salah satu bentuk undang-undang bilangan yang besar. Kami akan memberikan bukti kukuh undang-undang ini dalam Bab 13.
Kita sedia maklum bahawa semua bentuk undang-undang nombor besar menyatakan fakta bahawa sesetengah purata adalah stabil dalam sebilangan besar eksperimen. Di sini kita bercakap tentang mengenai kestabilan min aritmetik daripada satu siri cerapan kuantiti yang sama. Dengan sebilangan kecil eksperimen, min aritmetik keputusannya adalah rawak; dengan peningkatan yang mencukupi dalam bilangan eksperimen, ia menjadi "hampir tidak rawak" dan, menstabilkan, mendekati nilai tetap– jangkaan matematik.
Kestabilan purata ke atas sejumlah besar percubaan boleh disahkan dengan mudah secara eksperimen. Contohnya, menimbang badan di makmal di skala yang tepat, hasil daripada menimbang, kita mendapat nilai baharu setiap kali; Untuk mengurangkan ralat pemerhatian, kami menimbang badan beberapa kali dan menggunakan min aritmetik bagi nilai yang diperolehi. Adalah mudah untuk melihat bahawa dengan peningkatan lagi dalam bilangan eksperimen (penimbang), min aritmetik bertindak balas terhadap peningkatan ini semakin kurang dan, dengan bilangan eksperimen yang cukup besar, secara praktikalnya tidak lagi berubah.
Formula (5.6.1) untuk jangkaan matematik sepadan dengan kes pembolehubah rawak diskret. Untuk nilai berterusan jangkaan matematik, secara semula jadi, dinyatakan bukan dengan jumlah, tetapi oleh kamiran:
, (5.6.2)
di manakah ketumpatan taburan kuantiti .
Formula (5.6.2) diperoleh daripada formula (5.6.1) jika kita menggantikannya nilai individu sentiasa menukar parameter x, kebarangkalian yang sepadan ialah elemen kebarangkalian, jumlah akhir– integral. Pada masa hadapan, kami akan sering menggunakan kaedah ini untuk melanjutkan formula yang diperolehi untuk kuantiti tak selanjar kepada kes kuantiti berterusan.
Dalam tafsiran mekanikal, jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan mengekalkan makna yang sama - absis pusat graviti dalam kes apabila jisim diagihkan sepanjang absis secara berterusan, dengan ketumpatan . Tafsiran ini selalunya membenarkan seseorang mencari jangkaan matematik tanpa mengira kamiran (5.6.2), daripada pertimbangan mekanikal yang mudah.
Di atas kami memperkenalkan tatatanda untuk jangkaan matematik kuantiti . Dalam beberapa kes, apabila kuantiti dimasukkan ke dalam formula sebagai nombor tertentu, adalah lebih mudah untuk menandakannya dengan satu huruf. Dalam kes ini, kami akan menandakan jangkaan matematik sesuatu nilai dengan:
Notasi dan untuk jangkaan matematik akan digunakan secara selari pada masa hadapan, bergantung pada kemudahan rakaman formula tertentu. Marilah kita juga bersetuju, jika perlu, untuk menyingkat perkataan "jangkaan matematik" dengan huruf m.o.
Perlu diingatkan bahawa ciri yang paling penting bagi sesuatu kedudukan - jangkaan matematik - tidak wujud untuk semua pembolehubah rawak. Adalah mungkin untuk mengarang contoh pembolehubah rawak sedemikian yang jangkaan matematiknya tidak wujud, kerana jumlah atau kamiran yang sepadan menyimpang.
Pertimbangkan, sebagai contoh, pembolehubah rawak tak selanjar dengan siri taburan:
Adalah mudah untuk mengesahkannya, i.e. siri pengedaran masuk akal; namun jumlah dalam dalam kes ini menyimpang dan, oleh itu, tiada jangkaan matematik nilai. Walau bagaimanapun, kes sebegini tidak begitu menarik untuk diamalkan. Biasanya pembolehubah rawak yang kita hadapi mempunyai kawasan terhad nilai yang mungkin dan, sudah tentu, mempunyai jangkaan matematik.
Di atas kami memberikan formula (5.6.1) dan (5.6.2), masing-masing menyatakan jangkaan matematik, untuk pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan.
Jika kuantiti tergolong dalam kuantiti jenis campuran, maka jangkaan matematiknya dinyatakan dengan formula bentuk:
, (5.6.3)
di mana jumlahnya meluas ke semua titik di mana fungsi taburan tidak selanjar, dan kamiran meluas ke semua kawasan di mana fungsi taburan adalah berterusan.
Sebagai tambahan kepada ciri-ciri kedudukan yang paling penting - jangkaan matematik - dalam amalan, ciri-ciri lain kedudukan kadang-kadang digunakan, khususnya, mod dan median pembolehubah rawak.
Mod pembolehubah rawak ialah nilai yang paling berkemungkinan. Istilah "nilai paling berkemungkinan" secara tegasnya hanya terpakai kepada kuantiti tidak berterusan; untuk kuantiti berterusan, mod ialah nilai di mana ketumpatan kebarangkalian adalah maksimum. Marilah kita bersetuju untuk menandakan mod dengan huruf . Dalam Rajah. 5.6.1 dan 5.6.2 masing-masing menunjukkan mod bagi pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan.
Jika poligon taburan (lengkung agihan) mempunyai lebih daripada satu maksimum, taburan itu dipanggil "multimodal" (Rajah 5.6.3 dan 5.6.4).
Kadangkala terdapat pengedaran yang mempunyai minimum di tengah dan bukannya maksimum (Rajah 5.6.5 dan 5.6.6). Pengagihan sedemikian dipanggil "anti-modal". Contoh taburan antimodal ialah taburan yang diperolehi dalam Contoh 5, n° 5.1.
Dalam kes umum, mod dan jangkaan matematik pembolehubah rawak tidak bertepatan. Dalam kes tertentu, apabila taburan adalah simetri dan modal (iaitu mempunyai mod) dan terdapat jangkaan matematik, maka ia bertepatan dengan mod dan pusat simetri taburan.
Satu lagi ciri kedudukan sering digunakan - apa yang dipanggil median pembolehubah rawak. Ciri ini biasanya digunakan hanya untuk pembolehubah rawak berterusan, walaupun ia boleh ditakrifkan secara rasmi untuk pembolehubah tak selanjar.
Median pembolehubah rawak ialah nilainya
mereka. kemungkinan besar pembolehubah rawak akan kurang daripada atau lebih besar daripada . Secara geometri, median ialah absis bagi titik di mana kawasan yang dihadkan oleh lengkung taburan dibahagikan kepada separuh (Rajah 5.6.7).
Fesyen- nilai dalam set pemerhatian yang paling kerap berlaku
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
di sini X Mo ialah sempadan kiri selang modal, h Mo ialah panjang selang modal, f Mo-1 ialah kekerapan selang pramodal, f Mo ialah kekerapan selang modal, f Mo+1 ialah kekerapan selang pasca modal.
Mod pengedaran berterusan mutlak ialah mana-mana titik maksimum tempatan ketumpatan pengedaran. Untuk pengagihan diskret mod dianggap sebagai sebarang nilai a i, kebarangkalian p i lebih besar daripada kebarangkalian nilai jiran
Median pembolehubah rawak berterusan X nilainya Me dipanggil yang mana ia berkemungkinan sama bahawa pembolehubah rawak akan kurang atau lebih besar Meh, iaitu
M e =(n+1)/2 P(X < Saya) = P(X > Meh)
NSV yang diedarkan secara seragam
Pengagihan seragam. Pembolehubah rawak berterusan dipanggil teragih seragam pada segmen () jika fungsi ketumpatan taburannya (Rajah 1.6, A) mempunyai bentuk:
Jawatan: – SW diedarkan secara seragam ke atas .
Sehubungan itu, fungsi pengedaran pada segmen (Rajah 1.6, b):
nasi. 1.6. Fungsi pembolehubah rawak yang diedarkan secara seragam pada [ a,b]: A– ketumpatan kebarangkalian f(x); b– pengedaran F(x)
Jangkaan matematik dan serakan SV tertentu ditentukan oleh ungkapan:
Oleh kerana simetri fungsi ketumpatan, ia bertepatan dengan median. Mod pengedaran seragam tidak mempunyai
Contoh 4. Masa menunggu untuk jawapan panggilan telefon– pembolehubah rawak yang mematuhi undang-undang taburan seragam dalam selang 0 hingga 2 minit. Cari kamiran dan fungsi pembezaan taburan pembolehubah rawak ini.
27. Undang-undang biasa taburan kebarangkalian
Pembolehubah rawak berterusan x mempunyai taburan normal dengan parameter: m,s > 0, jika ketumpatan taburan kebarangkalian mempunyai bentuk:
di mana: m – jangkaan matematik, s – sisihan piawai.
Taburan normal juga dipanggil Gaussian dengan nama ahli matematik Jerman Gauss. Fakta bahawa pembolehubah rawak mempunyai taburan normal dengan parameter: m, , dilambangkan seperti berikut: N (m,s), di mana: m=a=M[X];
Selalunya dalam formula, jangkaan matematik dilambangkan dengan A . Jika pembolehubah rawak diedarkan mengikut hukum N(0,1), maka ia dipanggil ternormal atau diseragamkan saiz biasa. Fungsi pengedaran untuknya mempunyai bentuk:
Graf ketumpatan taburan normal, yang dipanggil lengkung normal atau lengkung Gaussian, ditunjukkan dalam Rajah 5.4.
nasi. 5.4. Ketumpatan pengedaran normal
harta benda pembolehubah rawak mempunyai undang-undang biasa pengagihan.
1. Jika , maka untuk mencari kebarangkalian nilai ini jatuh ke dalam selang tertentu ( x 1;x 2) formula digunakan:
2. Kebarangkalian bahawa sisihan pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya tidak akan melebihi nilai (dengan nilai mutlak), adalah sama.