Ini bermakna mencari nilai terkecil bagi fungsi tersebut. Bagaimana untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi dalam kawasan tertutup bersempadan? Soalan ujian kendiri

Pernyataan masalah 2:

Diberi fungsi yang ditakrifkan dan berterusan pada selang tertentu. Anda perlu mencari nilai terbesar (terkecil) bagi fungsi pada selang ini.

Asas teori.
Teorem (Teorem Weierstrass Kedua):

Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan dalam selang tertutup, maka ia mencapai nilai maksimum dan minimum dalam selang ini.

Fungsi ini boleh mencapai nilai terbesar dan terkecil sama ada dengan titik dalaman jurang atau di sempadannya. Mari kita gambarkan semua pilihan yang mungkin.

Penjelasan:
1) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik .
2) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik.
3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (ini ialah titik minimum).
4) Fungsi adalah malar pada selang, i.e. ia mencapai nilai minimum dan maksimum pada mana-mana titik dalam selang, dan nilai minimum dan maksimum adalah sama antara satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (walaupun pada hakikatnya fungsi itu mempunyai kedua-dua maksimum dan minimum pada selang ini).
6) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada satu titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada satu titik (ini ialah titik minimum).
Ulasan:

"Maksimum" dan " nilai maksimum" - Perkara yang berbeza. Ini berikutan daripada definisi maksimum dan pemahaman intuitif frasa "nilai maksimum".

Algoritma untuk menyelesaikan masalah 2.



4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Contoh 4:

Tentukan yang terbesar dan nilai terkecil fungsi pada segmen.
Penyelesaian:
1) Cari terbitan bagi fungsi tersebut.

2) Cari titik pegun (dan titik yang disyaki ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan. Beri perhatian kepada titik di mana tiada terbitan terhingga dua sisi.

3) Kira nilai fungsi pada titik pegun dan pada sempadan selang.

4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai terbesarnya pada titik dengan koordinat .

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .

Anda boleh mengesahkan ketepatan pengiraan dengan melihat graf fungsi yang dikaji.


Ulasan: Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik maksimum, dan minimumnya pada sempadan segmen.

Kes khas.

Katakan kita perlu mencari maksimum dan nilai minimum beberapa fungsi pada selang waktu. Selepas melengkapkan titik pertama algoritma, i.e. pengiraan terbitan, ia menjadi jelas bahawa, sebagai contoh, ia hanya memerlukan nilai negatif ke atas keseluruhan segmen yang dipertimbangkan. Ingat bahawa jika derivatif adalah negatif, maka fungsinya berkurangan. Kami mendapati bahawa fungsi berkurangan sepanjang keseluruhan segmen. Keadaan ini ditunjukkan dalam graf No. 1 pada permulaan artikel.

Fungsi berkurangan pada segmen, i.e. ia tidak mempunyai titik ekstrem. Dari gambar itu jelas bahawa fungsi itu akan mengambil nilai terkecilnya pada sempadan kanan segmen, dan nilai tertinggi- disebelah kiri. jika derivatif pada segmen adalah positif di mana-mana, maka fungsi meningkat. Nilai terkecil berada di sempadan kiri segmen, yang terbesar adalah di sebelah kanan.

Kajian objek sedemikian analisis matematik sebagai fungsi mempunyai hebat maksudnya dan dalam bidang sains yang lain. Contohnya, dalam analisis ekonomi tingkah laku sentiasa diperlukan untuk dinilai fungsi keuntungan, iaitu untuk menentukan yang terbesar maksudnya dan membangunkan strategi untuk mencapainya.

Arahan

Kajian tentang sebarang tingkah laku hendaklah sentiasa dimulakan dengan mencari domain definisi. Biasanya dengan syarat tugas tertentu adalah perlu untuk menentukan yang terbesar maksudnya fungsi sama ada di seluruh kawasan ini, atau dalam selang waktu tertentu dengan sempadan terbuka atau tertutup.

Berdasarkan , yang terbesar ialah maksudnya fungsi y(x0), di mana bagi mana-mana titik dalam domain takrifan ketaksamaan y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) dipegang. Secara grafik, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika nilai hujah diletakkan di sepanjang paksi absis, dan fungsi itu sendiri di sepanjang paksi ordinat.

Untuk menentukan yang terhebat maksudnya fungsi, ikut algoritma tiga langkah. Sila ambil perhatian bahawa anda mesti boleh bekerja dengan satu sisi dan , serta mengira derivatif. Jadi, biarkan beberapa fungsi y(x) diberikan dan anda perlu mencari yang terbesar maksudnya pada selang waktu tertentu dengan nilai sempadan A dan B.

Ketahui sama ada selang ini berada dalam skop definisi fungsi. Untuk melakukan ini, anda perlu mencarinya dengan mempertimbangkan semua sekatan yang mungkin: kehadiran pecahan dalam ungkapan, punca kuasa dua dan lain-lain. Domain definisi ialah set nilai hujah yang mana fungsi itu masuk akal. Tentukan sama ada selang yang diberi ialah subset daripadanya. Jika ya, maka pergi ke tahap seterusnya.

Cari terbitan fungsi dan selesaikan persamaan yang terhasil dengan menyamakan terbitan kepada sifar. Dengan cara ini anda akan mendapat nilai mata pegun yang dipanggil. Nilaikan sama ada sekurang-kurangnya satu daripadanya tergolong dalam selang A, B.

Pada peringkat ketiga, pertimbangkan perkara ini dan gantikan nilainya ke dalam fungsi. Bergantung pada jenis selang waktu, lakukan langkah tambahan berikut. Jika terdapat segmen bentuk [A, B], titik sempadan dimasukkan dalam selang ini ditunjukkan oleh kurungan. Kira Nilai fungsi bagi x = A dan x = B. Jika selang terbuka(A, B), nilai sempadan ditebuk, i.e. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan had sebelah untuk x→A dan x→B. Selang gabungan bentuk [A, B) atau (A, B), satu daripada sempadannya kepunyaannya, yang lain tidak Cari had sebelah kerana x cenderung kepada nilai tertusuk, dan gantikan yang satu lagi fungsi. Selang dua belah tak terhingga (-∞, +∞) atau selang tak terhingga satu sisi bagi bentuk: , (-∞, B, teruskan mengikut prinsip yang telah diterangkan, dan untuk). yang tidak terhingga, cari had untuk x→-∞ dan x→+∞, masing-masing.

Tugas pada peringkat ini

Bagaimana untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen?

Untuk ini kami mengikuti algoritma yang terkenal:

1 . Kita dapati fungsi ODZ.

2 . Mencari terbitan bagi fungsi tersebut

3 . Menyamakan terbitan kepada sifar

4 . Kami mencari selang di mana derivatif mengekalkan tandanya, dan daripadanya kami menentukan selang peningkatan dan penurunan fungsi:

Jika pada selang I terbitan fungsi ialah 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat sepanjang selang ini.

Jika pada selang I terbitan bagi fungsi , maka fungsi itu berkurangan sepanjang selang ini.

5 . Kita dapati titik maksimum dan minimum fungsi.

DALAM pada titik maksimum fungsi, derivatif bertukar tanda daripada “+” kepada “-”.

DALAM titik minimum fungsitanda derivatif berubah daripada "-" kepada "+".

6 . Kami mencari nilai fungsi di hujung segmen,

• kemudian kita membandingkan nilai fungsi di hujung segmen dan pada titik maksimum, dan pilih yang terbesar jika anda perlu mencari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
• atau bandingkan nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik minimum, dan pilih yang terkecil jika anda perlu mencari nilai terkecil bagi fungsi tersebut

Walau bagaimanapun, bergantung pada cara fungsi berfungsi pada segmen, algoritma ini boleh dikurangkan dengan ketara.

Pertimbangkan fungsinya . Graf fungsi ini kelihatan seperti ini:

Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian masalah daripada Buka Bank tugasan untuk

1 . Tugas B15 (No. 26695)

Pada segmen.

1. Fungsi ditakrifkan untuk semua nilai sebenar X

Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, dan derivatifnya adalah positif untuk semua nilai x. Akibatnya, fungsi bertambah dan mengambil nilai terbesar di hujung kanan selang, iaitu, pada x=0.

Jawapan: 5.

2 . Tugas B15 (No. 26702)

Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut pada segmen.

1. Fungsi ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivatif adalah sama dengan sifar pada , bagaimanapun, pada titik ini ia tidak mengubah tanda:

Oleh itu, tajuk="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di hujung kanan selang, pada .

Untuk menjelaskan mengapa derivatif tidak menukar tanda, kami mengubah ungkapan untuk derivatif seperti berikut:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Jawapan: 5.

3. Tugas B15 (No. 26708)

Cari nilai terkecil bagi fungsi pada segmen.

1. Fungsi ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Mari letakkan punca-punca persamaan ini pada bulatan trigonometri.

Selang mengandungi dua nombor: dan

Mari letak papan tanda. Untuk melakukan ini, kita tentukan tanda terbitan pada titik x=0: . Apabila melalui titik dan, tanda perubahan terbitan.

Mari kita gambarkan perubahan tanda terbitan fungsi pada garis koordinat:

Jelas sekali, titik itu ialah titik minimum (di mana derivatif bertukar tanda daripada "-" kepada "+"), dan untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen, anda perlu membandingkan nilai fungsi pada titik minimum dan di hujung kiri segmen, .

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ ditakrifkan dan berterusan dalam beberapa sempadan kawasan tertutup$D$. Biarkan fungsi yang diberikan di rantau ini mempunyai terbitan separa terhingga tertib pertama (kecuali, mungkin, untuk bilangan mata terhingga). Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi dua pembolehubah dalam kawasan tertutup tertentu, tiga langkah algoritma mudah diperlukan.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.

1. Cari titik genting bagi fungsi $z=f(x,y)$ kepunyaan domain $D$. Kira nilai fungsi pada titik kritikal.
2. Siasat kelakuan fungsi $z=f(x,y)$ pada sempadan rantau $D$, mencari titik nilai maksimum dan minimum yang mungkin. Kira nilai fungsi pada titik yang diperolehi.
3. Daripada nilai fungsi yang diperoleh dalam dua perenggan sebelumnya, pilih yang terbesar dan terkecil.

Apakah mata kritikal? tunjukkan\sembunyi

Di bawah titik kritikal menunjukkan titik di mana kedua-dua derivatif separa tertib pertama adalah sama dengan sifar (iaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud.

Selalunya titik di mana derivatif separa tertib pertama adalah sama dengan sifar dipanggil titik pegun. Oleh itu, titik pegun ialah subset titik kritikal.

Contoh No 1

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ dalam kawasan tertutup, terhad oleh garisan$x=3$, $y=0$ dan $y=x+1$.

Kami akan mengikuti perkara di atas, tetapi mula-mula mari kita lihat lukisan itu kawasan yang diberi, yang kami nyatakan dengan huruf $D$. Kami diberi persamaan tiga garis lurus yang mengehadkan kawasan ini. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ selari dengan paksi ordinat (paksi Oy). Garis lurus $y=0$ ialah persamaan paksi absis (paksi lembu). Nah, untuk membina garis $y=x+1$, kita akan mencari dua titik di mana kita akan melukis garisan ini. Anda boleh, sudah tentu, menggantikan $x$ untuk pasangan nilai sewenang-wenangnya. Sebagai contoh, menggantikan $x=10$, kita dapat: $y=x+1=10+1=11$. Kami telah menemui titik $(10;11)$ terletak pada baris $y=x+1$. Walau bagaimanapun, adalah lebih baik untuk mencari titik-titik di mana garis lurus $y=x+1$ bersilang dengan garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa ini lebih baik? Kerana kita akan membunuh beberapa ekor burung dengan satu batu: kita akan mendapat dua mata untuk membina garis lurus $y=x+1$ dan pada masa yang sama mengetahui pada titik mana garis lurus ini bersilang dengan garisan lain yang mengehadkan kawasan yang diberikan. Garis $y=x+1$ bersilang dengan garis $x=3$ pada titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ bersilang pada titik $(-1;0)$. Untuk tidak mengacaukan kemajuan penyelesaian dengan penjelasan tambahan, saya akan meletakkan soalan untuk mendapatkan dua perkara ini dalam nota.

Bagaimanakah mata $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tunjukkan\sembunyi

Mari kita mulakan dari titik persilangan garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang dikehendaki tergolong dalam kedua-dua garis lurus pertama dan kedua, oleh itu, untuk mencari koordinat yang tidak diketahui, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \mula(dijajar) & y=x+1;\\ & x=3. \end(diselaraskan) \kanan. $$

Penyelesaian kepada sistem sedemikian adalah remeh: menggantikan $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mempunyai: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ ialah titik yang dikehendaki persilangan garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik persilangan garis $y=x+1$ dan $y=0$. Mari kita susun semula dan selesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & y=x+1;\\ & y=0. \end(diselaraskan) \kanan. $$

Menggantikan $y=0$ ke dalam persamaan pertama, kita dapat: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ ialah titik persilangan yang dikehendaki bagi garis $y=x+1$ dan $y=0$ (paksi-x).

Segala-galanya bersedia untuk membina lukisan yang akan kelihatan seperti ini:

Persoalan nota itu kelihatan jelas, kerana semuanya kelihatan dalam gambar. Walau bagaimanapun, perlu diingat bahawa lukisan tidak boleh berfungsi sebagai bukti. Lukisan adalah untuk tujuan ilustrasi sahaja.

Kawasan kami ditakrifkan menggunakan persamaan garis lurus yang mengikatnya. Jelas sekali, garisan ini mentakrifkan segitiga, bukan? Atau adakah ia tidak jelas sepenuhnya? Atau mungkin kita diberi kawasan yang berbeza, dibatasi oleh garis yang sama:

Sudah tentu, syarat mengatakan bahawa kawasan itu ditutup, jadi gambar yang ditunjukkan adalah tidak betul. Tetapi untuk mengelakkan kekaburan sedemikian, adalah lebih baik untuk menentukan wilayah mengikut ketidaksamaan. Adakah kita berminat dengan bahagian satah yang terletak di bawah garis lurus $y=x+1$? Ok, jadi $y ≤ x+1$. Sekiranya kawasan kita terletak di atas garisan $y=0$? Hebat, ini bermakna $y ≥ 0$. Ngomong-ngomong, dua ketaksamaan terakhir dengan mudah boleh digabungkan menjadi satu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \kiri \( \mula(dijajar) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \akhir(diselaraskan) \kanan. $$

Ketaksamaan ini mentakrifkan rantau $D$, dan mereka mentakrifkannya dengan jelas, tanpa membenarkan sebarang kekaburan. Tetapi bagaimana ini membantu kita dengan soalan yang dinyatakan pada permulaan nota? Ia juga akan membantu :) Kita perlu menyemak sama ada titik $M_1(1;1)$ tergolong dalam rantau $D$. Mari kita gantikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem ketaksamaan yang mentakrifkan rantau ini. Jika kedua-dua ketaksamaan berpuas hati, maka intinya terletak di dalam rantau ini. Jika sekurang-kurangnya satu daripada ketidaksamaan tidak berpuas hati, maka perkara itu bukan milik wilayah itu. Jadi:

$$ \kiri \( \mula(dijajar) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \akhir(dijajar) \kanan. \;\; \kiri \( \mula(dijajar) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Kedua-dua ketidaksamaan adalah sah. Titik $M_1(1;1)$ tergolong dalam wilayah $D$.

Kini tiba masanya untuk mengkaji kelakuan fungsi di sempadan rantau, i.e. Mari pergi ke . Mari kita mulakan dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (paksi absis) mengehadkan rantau $D$ di bawah keadaan $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita gantikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Kami menandakan fungsi satu pembolehubah $x$ yang diperoleh hasil daripada penggantian sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada selang $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari cari terbitan bagi fungsi ini dan samakannya dengan sifar:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Nilai $x=2$ tergolong dalam segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, jadi kami juga akan menambah $M_2(2;0)$ pada senarai mata. Di samping itu, mari kita mengira nilai fungsi $z$ di hujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. pada mata $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Dengan cara ini, jika titik $M_2$ tidak tergolong dalam segmen yang sedang dipertimbangkan, maka, sudah tentu, tidak perlu mengira nilai fungsi $z$ di dalamnya.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda boleh, sudah tentu, menggantikan koordinat titik-titik ini ke dalam ungkapan asal $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Sebagai contoh, untuk mata $M_2$ kita dapat:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Walau bagaimanapun, pengiraan boleh dipermudahkan sedikit. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahawa pada segmen $M_3M_4$ kita mempunyai $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menulisnya secara terperinci:

\mulakan(diselaraskan) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligned)

Sudah tentu, biasanya tidak ada keperluan untuk rekod terperinci sedemikian, dan pada masa akan datang kami akan menulis semua pengiraan secara ringkas:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari kita beralih kepada garis lurus $x=3$. Garis lurus ini mengehadkan rantau $D$ di bawah keadaan $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita gantikan $x=3$ ke dalam fungsi yang diberi $z$. Hasil daripada penggantian ini kita mendapat fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada selang $0 ≤ y ≤ 4$. Mari cari terbitan bagi fungsi ini dan samakannya dengan sifar:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ tergolong dalam segmen $0 ≤ y ≤ 4$, jadi kami juga akan menambah $M_5(3;3)$ pada mata yang ditemui sebelum ini. Di samping itu, adalah perlu untuk mengira nilai fungsi $z$ pada titik di hujung segmen $0 ≤ y ≤ 4$, i.e. pada mata $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah pun mengira nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_5$ dan $M_6$. Biar saya ingatkan anda bahawa pada segmen $M_4M_6$ kita mempunyai $z(x,y)=f_2(y)$, oleh itu:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligned)

Dan akhirnya, pertimbangkan sempadan terakhir rantau $D$, i.e. garis lurus $y=x+1$. Garis lurus ini mengehadkan rantau $D$ di bawah keadaan $-1 ≤ x ≤ 3$. Menggantikan $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mempunyai:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita mempunyai fungsi satu pembolehubah $x$. Dan sekali lagi kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi ini pada selang $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari cari terbitan bagi fungsi $f_(3)(x)$ dan samakannya dengan sifar:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Nilai $x=1$ tergolong dalam selang $-1 ≤ x ≤ 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambah $M_7(1;2)$ pada senarai mata dan ketahui apakah nilai fungsi $z$ pada ketika ini. Mata di hujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. mata $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ telah dipertimbangkan lebih awal, kami sudah menemui nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua penyelesaian selesai. Kami menerima tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari beralih kepada . Memilih nilai terbesar dan terkecil daripada nombor yang diperoleh dalam perenggan ketiga, kita akan mempunyai:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalah selesai, yang tinggal hanyalah menulis jawapan.

Jawab: $z_(min)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh No. 2

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ di rantau $x^2+y^2 ≤ 25$.

Mula-mula, mari kita bina lukisan. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini ialah garis sempadan kawasan tertentu) mentakrifkan bulatan dengan pusat di titik asal (iaitu pada titik $(0;0)$) dan jejari 5. Ketaksamaan $x^2 +y^2 ≤ $25 memenuhi semua titik di dalam dan pada bulatan yang disebut.

Kami akan bertindak mengikut. Mari cari derivatif separa dan cari titik kritikal.

$$ \frac(\sebahagian z)(\sebahagian x)=2x-12; \frac(\sebahagian z)(\sebahagian y)=2y+16. $$

Tiada titik di mana terbitan separa yang ditemui tidak wujud. Mari kita ketahui pada titik apakah kedua-dua derivatif separa serentak bersamaan dengan sifar, i.e. mari cari titik pegun.

$$ \kiri \( \mula(dijajar) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(dijajar) \kanan. \;\; \kiri \( \mula(dijajar) & x =6;\\ & y=-8 \end(aligned) \right $$.

Kami mendapat titik pegun$(6;-8)$. Walau bagaimanapun, titik yang ditemui bukan milik rantau $D$. Ini mudah ditunjukkan tanpa perlu melukis. Mari kita semak sama ada ketaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ berlaku, yang mentakrifkan wilayah kita $D$. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, i.e. ketaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ tidak berlaku. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ tidak tergolong dalam kawasan $D$.

Jadi, tiada titik kritikal di dalam rantau $D$. Mari kita teruskan ke... Kita perlu mengkaji kelakuan sesuatu fungsi pada sempadan kawasan tertentu, i.e. pada bulatan $x^2+y^2=25$. Kita boleh, sudah tentu, menyatakan $y$ dalam sebutan $x$, dan kemudian menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam fungsi kami $z$. Daripada persamaan bulatan kita dapat: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Menggantikan, sebagai contoh, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mempunyai:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Penyelesaian selanjutnya akan sama sepenuhnya dengan kajian kelakuan fungsi di sempadan wilayah dalam contoh No. 1 sebelumnya. Walau bagaimanapun, nampaknya saya lebih munasabah untuk menggunakan kaedah Lagrange dalam situasi ini. Kami akan berminat hanya pada bahagian pertama kaedah ini. Selepas menggunakan bahagian pertama kaedah Lagrange, kami akan memperoleh titik di mana kami akan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami mengarang fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami mencari terbitan separa bagi fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sepadan:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \kiri \( \mulakan (diselaraskan) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $

Untuk menyelesaikan sistem ini, mari kita nyatakan bahawa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari cuba gantikan $\lambda=-1$ ke dalam persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Percanggahan yang terhasil $0=6$ menunjukkan bahawa nilai $\lambda=-1$ tidak boleh diterima. Output: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam sebutan $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aligned)

Saya percaya bahawa ia menjadi jelas di sini mengapa kami menetapkan syarat $\lambda\neq -1$ secara khusus. Ini dilakukan untuk menyesuaikan ungkapan $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Iaitu, untuk memastikan bahawa penyebut $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita gantikan ungkapan yang terhasil untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga sistem, i.e. dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \kiri(\frac(6)(1+\lambda) \kanan)^2+\kiri(\frac(-8)(1+\lambda) \kanan)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Daripada kesamarataan yang terhasil, ia berikutan bahawa $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh itu kita mempunyai dua nilai parameter $\lambda$, iaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Sehubungan itu, kami mendapat dua pasangan nilai $x$ dan $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aligned)

Jadi, kami mendapat dua mata yang mungkin ekstrem bersyarat, iaitu $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Mari cari nilai fungsi $z$ pada titik $M_1$ dan $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aligned)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil daripada nilai yang kita perolehi dalam langkah pertama dan kedua. Tetapi dalam dalam kes ini pilihannya kecil :) Kami ada:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Jawab: $z_(min)=-75; \; z_(maks)=$125.

Algoritma piawai untuk menyelesaikan masalah tersebut melibatkan, selepas mencari sifar fungsi, menentukan tanda terbitan pada selang. Kemudian pengiraan nilai pada titik maksimum (atau minimum) yang ditemui dan pada sempadan selang, bergantung pada soalan apa yang ada dalam keadaan.

Saya menasihati anda untuk melakukan perkara yang sedikit berbeza. kenapa? Saya menulis tentang ini.

Saya mencadangkan untuk menyelesaikan masalah seperti berikut:

1. Cari terbitan.
2. Cari sifar terbitan.
3. Tentukan yang mana antara mereka tergolong selang yang diberikan.
4. Kami mengira nilai fungsi pada sempadan selang dan titik langkah 3.
5. Kami membuat kesimpulan (jawab soalan yang dikemukakan).

Semasa menyelesaikan contoh yang dibentangkan, penyelesaian itu tidak dipertimbangkan secara terperinci persamaan kuadratik, anda mesti boleh melakukan ini. Mereka juga patut tahu.

Mari lihat contoh:

77422. Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x 3 –3x+4 pada segmen [–2;0].

Mari kita cari sifar terbitan:

Titik x = –1 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.

Kami mengira nilai fungsi pada titik –2, –1 dan 0:

Nilai terbesar bagi fungsi tersebut ialah 6.

Jawapan: 6

77425. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – 3x 2 + 2 pada ruas itu.

Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari kita cari sifar terbitan:

Titik x = 2 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.

Kami mengira nilai fungsi pada titik 1, 2 dan 4:

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah –2.

Jawapan: –2

77426. Cari nilai terbesar bagi fungsi y = x 3 – 6x 2 pada ruas [–3;3].

Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari kita cari sifar terbitan:

Titik x = 0 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.

Kami mengira nilai fungsi pada titik –3, 0 dan 3:

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah 0.

Jawapan: 0

77429. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – 2x 2 + x +3 pada ruas itu.

Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Kami mendapat akar: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi hanya x = 1.

Mari cari nilai fungsi pada titik 1 dan 4:

Kami mendapati bahawa nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah 3.

Jawapan: 3

77430. Cari nilai terbesar bagi fungsi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pada ruas [– 4; -1].

Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari cari sifar terbitan dan selesaikan persamaan kuadratik:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Mari kita dapatkan akarnya:

Punca x = –1 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.

Kami mencari nilai fungsi pada titik –4, –1, –1/3 dan 1:

Kami mendapati bahawa nilai terbesar fungsi ialah 3.

Jawapan: 3

77433. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – x 2 – 40x +3 pada ruas itu.

Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari cari sifar terbitan dan selesaikan persamaan kuadratik:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Mari kita dapatkan akarnya:

Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi punca x = 4.

Cari nilai fungsi pada titik 0 dan 4:

Kami mendapati bahawa nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah –109.

Jawapan: –109

Mari kita pertimbangkan cara untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi tanpa derivatif. Pendekatan ini boleh digunakan jika anda ada masalah besar. Prinsipnya mudah - kita menggantikan semua nilai integer dari selang ke dalam fungsi (hakikatnya ialah dalam semua prototaip sedemikian jawapannya adalah integer).

77437. Cari nilai terkecil bagi fungsi y=7+12x–x 3 pada ruas [–2;2].

Gantikan mata dari –2 hingga 2: Lihat penyelesaian

77434. Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pada ruas [–2;0].

Itu sahaja. Semoga berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.