Sebaik-baiknya yang kejuruteraan - yang mempunyai butang dengan tanda akar: "√". Biasanya, untuk mengekstrak akar, cukup untuk menaip nombor itu sendiri, dan kemudian tekan butang: "√".
Kebanyakan telefon bimbit moden mempunyai aplikasi kalkulator dengan fungsi pengekstrakan akar. Prosedur untuk mencari punca nombor menggunakan kalkulator telefon adalah sama seperti di atas.
Contoh.
Cari daripada 2.
Hidupkan kalkulator (jika ia dimatikan) dan tekan butang dengan imej dua dan akar ("2" "√" berturut-turut). Sebagai peraturan, anda tidak perlu menekan kekunci "=". Hasilnya, kami mendapat nombor seperti 1.4142 (bilangan digit dan "bulat" bergantung pada kedalaman bit dan tetapan kalkulator).
Nota: Apabila cuba mencari punca, kalkulator biasanya memberikan ralat.
Jika anda mempunyai akses kepada komputer, maka mencari punca nombor adalah sangat mudah.
1. Anda boleh menggunakan aplikasi Kalkulator, tersedia pada hampir mana-mana komputer. Untuk Windows XP, program ini boleh dilancarkan seperti berikut:
"Mula" - "Semua Program" - "Aksesori" - "Kalkulator".
Adalah lebih baik untuk menetapkan pandangan kepada "biasa". By the way, tidak seperti kalkulator sebenar, butang untuk mengekstrak akar ditandakan "sqrt" dan bukan "√".
Jika anda tidak boleh pergi ke kalkulator menggunakan kaedah yang ditunjukkan, anda boleh menjalankan kalkulator standard "secara manual":
"Mula" - "Jalankan" - "calc".
2. Untuk mencari punca nombor, anda juga boleh menggunakan beberapa program yang dipasang pada komputer anda. Di samping itu, program ini mempunyai kalkulator terbina dalam sendiri.
Sebagai contoh, untuk aplikasi MS Excel, anda boleh melakukan urutan tindakan berikut:
Lancarkan MS Excel.
Kami menulis dalam mana-mana sel nombor yang kami perlukan untuk mengekstrak akarnya.
Alihkan penuding sel ke lokasi lain
Tekan butang pemilihan fungsi (fx)
Pilih fungsi "ROOT".
Kami menentukan sel dengan nombor sebagai hujah kepada fungsi tersebut
Klik "OK" atau "Enter"
Kelebihan kaedah ini ialah sekarang sudah cukup untuk memasukkan sebarang nilai ke dalam sel dengan nombor, seperti dalam fungsi, .
Catatan.
Terdapat beberapa cara lain yang lebih eksotik untuk mencari punca nombor. Contohnya, dalam "sudut", menggunakan peraturan slaid atau jadual Bradis. Walau bagaimanapun, kaedah ini tidak dibincangkan dalam artikel ini kerana kerumitan dan tidak berguna secara praktikal.
Video mengenai topik
Sumber:
- cara mencari punca nombor
Kadangkala situasi timbul apabila anda perlu melakukan beberapa jenis pengiraan matematik, termasuk mengekstrak punca kuasa dua dan punca nombor yang lebih besar. Punca ke-n bagi suatu nombor ialah nombor yang kuasa ke-nnya ialah nombor a.
Arahan
Untuk mencari punca "n" daripada , lakukan perkara berikut.
Pada komputer anda, klik "Mula" - "Semua Program" - "Aksesori". Kemudian pergi ke subseksyen "Perkhidmatan" dan pilih "Kalkulator". Anda boleh melakukan ini secara manual: klik Mula, taip "calk" dalam kotak Run dan tekan Enter. Akan buka. Untuk mengekstrak punca kuasa dua nombor, masukkannya ke dalam kalkulator dan tekan butang berlabel "sqrt". Kalkulator akan mengekstrak punca darjah kedua, dipanggil punca kuasa dua, daripada nombor yang dimasukkan.
Untuk mengekstrak akar yang darjahnya lebih tinggi daripada yang kedua, anda perlu menggunakan jenis kalkulator lain. Untuk melakukan ini, dalam antara muka kalkulator, klik butang "Lihat" dan pilih baris "Kejuruteraan" atau "Saintifik" dari menu. Kalkulator jenis ini mempunyai fungsi yang diperlukan untuk mengira punca ke-n.
Untuk mengekstrak punca darjah ketiga (), pada kalkulator "kejuruteraan", masukkan nombor yang dikehendaki dan tekan butang "3√". Untuk mendapatkan punca yang darjahnya lebih tinggi daripada 3, masukkan nombor yang dikehendaki, tekan butang dengan ikon “y√x” dan kemudian masukkan nombor - eksponen. Selepas ini, tekan tanda sama (butang "=") dan anda akan mendapat akar yang dikehendaki.
Jika kalkulator anda tidak mempunyai fungsi "y√x", yang berikut.
Untuk mengekstrak akar kubus, masukkan ungkapan radikal, kemudian letakkan tanda semak dalam kotak semak, yang terletak di sebelah tulisan "Inv". Dengan tindakan ini, anda akan membalikkan fungsi butang kalkulator, iaitu, dengan mengklik pada butang kiub, anda akan mengekstrak punca kiub. Pada butang yang anda
Cara mengekstrak akar daripada nombor. Dalam artikel ini kita akan belajar cara mengambil punca kuasa dua nombor empat dan lima digit.
Mari kita ambil punca kuasa dua 1936 sebagai contoh.
Oleh itu, 
.
Digit terakhir dalam nombor 1936 ialah nombor 6. Kuasa dua nombor 4 dan nombor 6 berakhir pada 6. Oleh itu, 1936 boleh menjadi kuasa dua nombor 44 atau nombor 46. Ia kekal untuk menyemak menggunakan pendaraban.
Bermaksud,
Mari kita ambil punca kuasa dua bagi 15129.
Oleh itu, 
.
Digit terakhir dalam nombor 15129 ialah nombor 9. Kuasa dua nombor 3 dan nombor 7 berakhir dengan 9. Oleh itu, 15129 boleh menjadi kuasa dua nombor 123 atau nombor 127. Mari semak menggunakan pendaraban.
Bermaksud, 
Bagaimana untuk mengekstrak akar - video
Dan sekarang saya cadangkan anda menonton video Anna Denisova - "Bagaimana untuk mengekstrak akar ", pengarang tapak" Fizik mudah", di mana dia menerangkan cara mencari punca kuasa dua dan kubus tanpa kalkulator.
Video ini membincangkan beberapa cara untuk mengekstrak akar:
1. Cara paling mudah untuk mengekstrak punca kuasa dua.
2. Dengan pemilihan menggunakan kuasa dua hasil tambah.
3. Kaedah Babylon.
4. Kaedah mengekstrak punca kuasa dua lajur.
5. Cara cepat untuk mengekstrak akar kubus.
6. Kaedah mengekstrak punca kubus dalam lajur.
Fakta 1.
\(\bullet\) Mari kita ambil beberapa nombor bukan negatif \(a\) (iaitu, \(a\geqslant 0\) ). Kemudian (aritmetik) punca kuasa dua daripada nombor \(a\) dipanggil nombor bukan negatif sedemikian \(b\) , apabila kuasa dua kita mendapat nombor \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama seperti )\quad a=b^2\] Daripada definisi itu, ia mengikutinya \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Sekatan ini adalah syarat penting untuk kewujudan punca kuasa dua dan harus diingat!
Ingat bahawa sebarang nombor apabila kuasa dua memberikan hasil bukan negatif. Iaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Apakah yang sama dengan \(\sqrt(25)\)? Kita tahu bahawa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Oleh kerana mengikut takrifan kita mesti mencari nombor bukan negatif, maka \(-5\) tidak sesuai, oleh itu, \(\sqrt(25)=5\) (sejak \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) dipanggil mengambil punca kuasa dua nombor \(a\) , dan nombor \(a\) dipanggil ungkapan radikal.
\(\bullet\) Berdasarkan takrifan, ungkapan \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), dsb. tak masuk akal.
Fakta 2.
Untuk pengiraan pantas, adalah berguna untuk mempelajari jadual kuasa dua nombor asli daripada \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Fakta 3.
Apakah operasi yang boleh anda lakukan dengan punca kuasa dua?
\(\peluru\) Jumlah atau perbezaan punca kuasa dua TIDAK SAMA dengan punca kuasa dua hasil tambah atau perbezaan, iaitu \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Oleh itu, jika anda perlu mengira, sebagai contoh, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka pada mulanya anda mesti mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\ sqrt(49)\ ) dan kemudian lipatkannya. Oleh itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak ditemui apabila menambah \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ungkapan tersebut tidak akan diubah lagi dan kekal seperti sedia ada . Sebagai contoh, dalam jumlah \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapati \(\sqrt(49)\) ialah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak boleh diubah dalam apa-apa cara, Itulah sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Malangnya, ungkapan ini tidak boleh dipermudahkan lagi\(\bullet\) Hasil darab/bilangan bagi punca kuasa dua adalah sama dengan punca kuasa dua hasil darab/bilangan, iaitu \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (dengan syarat bahawa kedua-dua belah persamaan itu masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Menggunakan sifat ini, adalah mudah untuk mencari punca kuasa dua nombor besar dengan memfaktorkannya.
Mari kita lihat contoh. Mari cari \(\sqrt(44100)\) . Oleh kerana \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Mengikut kriteria kebolehbahagi, nombor \(441\) boleh dibahagi dengan \(9\) (kerana hasil tambah digitnya ialah 9 dan boleh dibahagi dengan 9), oleh itu, \(441:9=49\), iaitu \(441=9\ cdot 49\) .
Oleh itu kami mendapat: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari lihat contoh lain: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari tunjukkan cara memasukkan nombor di bawah tanda punca kuasa dua menggunakan contoh ungkapan \(5\sqrt2\) (notasi pendek untuk ungkapan \(5\cdot \sqrt2\)). Oleh kerana \(5=\sqrt(25)\) , maka \
Perhatikan juga bahawa, sebagai contoh,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Kenapa begitu? Mari kita jelaskan menggunakan contoh 1). Seperti yang anda sudah faham, kami tidak boleh mengubah nombor \(\sqrt2\). Mari kita bayangkan bahawa \(\sqrt2\) ialah beberapa nombor \(a\) . Sehubungan itu, ungkapan \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lebih daripada \(a+3a\) (satu nombor \(a\) campur tiga lagi nombor yang sama \(a\)). Dan kita tahu bahawa ini adalah sama dengan empat nombor sedemikian \(a\) , iaitu, \(4\sqrt2\) .
Fakta 4.
\(\bullet\) Mereka sering menyebut "anda tidak boleh mengekstrak akar" apabila anda tidak boleh menyingkirkan tanda \(\sqrt () \ \) punca (radikal) apabila mencari nilai nombor . Sebagai contoh, anda boleh mengambil punca nombor \(16\) kerana \(16=4^2\) , oleh itu \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi adalah mustahil untuk mengekstrak punca nombor \(3\), iaitu, untuk mencari \(\sqrt3\), kerana tiada nombor yang kuasa dua akan memberikan \(3\) .
Nombor sedemikian (atau ungkapan dengan nombor sedemikian) adalah tidak rasional. Contohnya, nombor \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dan sebagainya. adalah tidak rasional.
Juga tidak rasional ialah nombor \(\pi\) (nombor "pi", lebih kurang sama dengan \(3.14\)), \(e\) (nombor ini dipanggil nombor Euler, ia lebih kurang sama dengan \(2.7 \)) dan lain-lain.
\(\bullet\) Sila ambil perhatian bahawa sebarang nombor adalah sama ada rasional atau tidak rasional. Dan bersama-sama semua nombor rasional dan semua nombor tak rasional membentuk satu set yang dipanggil satu set nombor nyata. Set ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Ini bermakna semua nombor yang kita ketahui pada masa ini dipanggil nombor nyata.
Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus nombor nyata \(a\) ialah nombor bukan negatif \(|a|\) sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) pada garisan sebenar. Sebagai contoh, \(|3|\) dan \(|-3|\) adalah sama dengan 3, kerana jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) ialah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) ialah nombor bukan negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) ialah nombor negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahawa untuk nombor negatif modulus "makan" tolak, manakala nombor positif, serta nombor \(0\), dibiarkan tidak berubah oleh modulus.
TAPI Peraturan ini hanya terpakai kepada nombor. Jika di bawah tanda modulus anda terdapat \(x\) yang tidak diketahui (atau yang tidak diketahui lain), contohnya, \(|x|\) , yang kita tidak tahu sama ada ia positif, sifar atau negatif, kemudian singkirkan daripada modulus kita tidak boleh. Dalam kes ini, ungkapan ini kekal sama: \(|x|\) . \(\bullet\) Formula berikut dipegang: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(disediakan ) a\geqslant 0\] Selalunya kesilapan berikut dibuat: mereka mengatakan bahawa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah perkara yang sama. Ini hanya benar jika \(a\) ialah nombor positif atau sifar. Tetapi jika \(a\) ialah nombor negatif, maka ini adalah palsu. Ia cukup untuk mempertimbangkan contoh ini. Mari kita ambil bukannya \(a\) nombor \(-1\) . Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ungkapan \((\sqrt (-1))^2\) tidak wujud sama sekali (lagipun, adalah mustahil untuk menggunakan tanda akar meletakkan nombor negatif!).
Oleh itu, kami menarik perhatian anda kepada fakta bahawa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), kerana \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Sejak \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ungkapan \(2n\) menandakan nombor genap)
Iaitu, apabila mengambil punca nombor yang pada tahap tertentu, darjah ini dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan bahawa jika modul tidak dibekalkan, ternyata punca nombor adalah sama dengan \(-25\ ); tetapi kita ingat, bahawa mengikut definisi akar ini tidak boleh berlaku: apabila mengekstrak akar, kita harus sentiasa mendapat nombor positif atau sifar)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kerana sebarang nombor kepada kuasa genap adalah bukan negatif)
Fakta 6.
Bagaimana untuk membandingkan dua punca kuasa dua?
\(\bullet\) Untuk punca kuasa dua adalah benar: jika \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, mari kita ubah ungkapan kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Oleh itu, sejak \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Antara integer apakah \(\sqrt(50)\) terletak?
Oleh kerana \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Mari bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0.5\) . Mari kita anggap bahawa \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((tambah satu pada kedua-dua belah))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((menempatkan kedua-dua belah))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(disejajarkan)\] Kami melihat bahawa kami telah memperoleh ketidaksamaan yang tidak betul. Oleh itu, andaian kami adalah salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Ambil perhatian bahawa menambah nombor tertentu pada kedua-dua belah ketaksamaan tidak menjejaskan tandanya. Mendarab/membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan nombor positif juga tidak menjejaskan tandanya, tetapi mendarab/membahagi dengan nombor negatif membalikkan tanda ketaksamaan!
Anda boleh kuasa duakan kedua-dua belah persamaan/ketaksamaan SAHAJA JIKA kedua-dua belah bukan negatif. Sebagai contoh, dalam ketaksamaan daripada contoh sebelumnya anda boleh kuasa dua dua belah, dalam ketaksamaan \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Perlu diingat bahawa \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\] Mengetahui maksud anggaran nombor ini akan membantu anda semasa membandingkan nombor! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika ia boleh diekstrak) daripada sejumlah besar yang tidak terdapat dalam jadual petak, anda mesti terlebih dahulu menentukan antara "ratusan" ia terletak, kemudian – antara " puluh”, dan kemudian tentukan digit terakhir nombor ini. Mari tunjukkan cara ini berfungsi dengan contoh.
Mari kita ambil \(\sqrt(28224)\) . Kami tahu bahawa \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), dsb. Ambil perhatian bahawa \(28224\) adalah antara \(10\,000\) dan \(40\,000\) . Oleh itu, \(\sqrt(28224)\) adalah antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan antara "puluhan" nombor kita terletak (iaitu, sebagai contoh, antara \(120\) dan \(130\)). Juga daripada jadual segi empat sama kita tahu bahawa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dsb., kemudian \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Jadi kita lihat bahawa \(28224\) adalah antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh itu, nombor \(\sqrt(28224)\) adalah antara \(160\) dan \(170\) .
Mari cuba tentukan digit terakhir. Mari kita ingat apakah nombor satu digit, apabila kuasa dua, berikan \(4\) pada penghujungnya? Ini ialah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhir sama ada 2 atau 8. Mari semak ini. Mari cari \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh itu, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Untuk menyelesaikan dengan secukupnya Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, anda perlu terlebih dahulu mempelajari bahan teori, yang memperkenalkan anda kepada banyak teorem, formula, algoritma, dll. Pada pandangan pertama, nampaknya ini agak mudah. Walau bagaimanapun, mencari sumber di mana teori Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dibentangkan dengan cara yang mudah dan difahami untuk pelajar dengan apa-apa peringkat latihan sebenarnya adalah tugas yang agak sukar. Buku teks sekolah tidak boleh sentiasa disimpan di tangan. Dan mencari formula asas untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik boleh menjadi sukar walaupun di Internet.
Mengapakah begitu penting untuk mempelajari teori dalam matematik bukan sahaja untuk mereka yang mengambil Peperiksaan Negeri Bersatu?
- Kerana ia meluaskan pandangan anda. Mempelajari bahan teori dalam matematik berguna untuk sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan jawapan kepada pelbagai soalan yang berkaitan dengan pengetahuan tentang dunia di sekeliling mereka. Segala-galanya di alam tersusun dan mempunyai logik yang jelas. Inilah yang tercermin dalam sains, yang melaluinya adalah mungkin untuk memahami dunia.
- Kerana ia mengembangkan kecerdasan. Dengan mempelajari bahan rujukan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, serta menyelesaikan pelbagai masalah, seseorang belajar untuk berfikir dan menaakul secara logik, untuk merumuskan pemikiran dengan cekap dan jelas. Dia mengembangkan keupayaan untuk menganalisis, membuat generalisasi, dan membuat kesimpulan.
Kami menjemput anda untuk menilai secara peribadi semua kelebihan pendekatan kami terhadap pensisteman dan pembentangan bahan pendidikan.
Dalam kata pengantar edisi pertamanya, "In the Kingdom of Ingenuity" (1908), E. I. Ignatiev menulis: "... inisiatif intelektual, kecerdasan cepat dan "kecerdikan" tidak boleh "digerudi ke dalam" atau "dimasukkan ke" kepala sesiapa sahaja. Hasilnya boleh dipercayai hanya apabila pengenalan kepada bidang pengetahuan matematik dibuat dengan cara yang mudah dan menyenangkan, menggunakan objek dan contoh dari situasi biasa dan setiap hari, dipilih dengan kecerdasan dan hiburan yang sesuai.
Dalam kata pengantar kepada edisi 1911 "Peranan Memori dalam Matematik" E.I. Ignatiev menulis "... dalam matematik bukan formula yang harus diingat, tetapi proses berfikir."
Untuk mengekstrak punca kuasa dua, terdapat jadual kuasa dua untuk nombor dua digit anda boleh memfaktorkan nombor itu ke dalam faktor perdana dan mengekstrak punca kuasa dua produk. Jadual petak kadang-kadang tidak mencukupi; mengekstrak akar dengan pemfaktoran adalah tugas yang memakan masa, yang juga tidak selalu membawa kepada hasil yang diingini. Cuba ambil punca kuasa dua bagi 209764? Pemfaktoran ke dalam faktor perdana memberikan hasil darab 2*2*52441. Secara percubaan dan kesilapan, pemilihan - ini, sudah tentu, boleh dilakukan jika anda pasti bahawa ini adalah integer. Kaedah yang saya ingin cadangkan membolehkan anda mengambil punca kuasa dua dalam apa jua keadaan.
Pada suatu masa dahulu di institut (Institut Pedagogi Negeri Perm) kami diperkenalkan dengan kaedah ini, yang sekarang saya ingin bincangkan. Saya tidak pernah terfikir sama ada kaedah ini mempunyai bukti, jadi sekarang saya terpaksa menyimpulkan beberapa bukti itu sendiri.
Asas kaedah ini ialah komposisi nombor =.
=&, i.e. & 2 =596334.
1. Bahagikan nombor (5963364) kepada pasangan dari kanan ke kiri (5`96`33`64)
2. Ekstrak punca kuasa dua kumpulan pertama di sebelah kiri ( - nombor 2). Ini adalah cara kita mendapatkan digit pertama &.
3. Cari kuasa dua digit pertama (2 2 =4).
4. Cari beza antara kumpulan pertama dan kuasa dua digit pertama (5-4=1).
5. Kami menurunkan dua digit seterusnya (kami mendapat nombor 196).
6. Gandakan digit pertama yang kami temui dan tulis di sebelah kiri di belakang baris (2*2=4).
7. Sekarang kita perlu mencari digit kedua nombor itu &: dua kali ganda digit pertama yang kita dapati menjadi digit sepuluh nombor, yang apabila didarab dengan bilangan unit, anda perlu mendapatkan nombor kurang daripada 196 (ini adalah nombor 4, 44*4=176). 4 ialah digit kedua bagi &.
8. Cari bezanya (196-176=20).
9. Kami merobohkan kumpulan seterusnya (kami mendapat nombor 2033).
10. Gandakan nombor 24, kita dapat 48.
Terdapat 11.48 puluh dalam nombor, apabila didarab dengan bilangan satu, kita sepatutnya mendapat nombor kurang daripada 2033 (484*4=1936). Digit satu yang kami temui (4) ialah digit ketiga nombor &.
Saya telah memberikan bukti untuk kes berikut:
1. Mengeluarkan punca kuasa dua nombor tiga digit;
2. Mengeluarkan punca kuasa dua nombor empat digit.
Kaedah anggaran untuk mengekstrak punca kuasa dua (tanpa menggunakan kalkulator).
1. Orang Babylon purba menggunakan kaedah berikut untuk mencari nilai anggaran punca kuasa dua nombor x mereka. Mereka mewakili nombor x sebagai jumlah a 2 + b, di mana a 2 ialah kuasa dua tepat nombor asli a (a 2 ? x) paling hampir dengan nombor x, dan menggunakan formula 
. (1)
Menggunakan formula (1), kami mengekstrak punca kuasa dua, sebagai contoh, daripada nombor 28:
Hasil pengekstrakan punca 28 menggunakan MK ialah 5.2915026.
Seperti yang anda lihat, kaedah Babylon memberikan anggaran yang baik kepada nilai sebenar akar.
2. Isaac Newton membangunkan kaedah untuk mengekstrak punca kuasa dua yang bermula sejak Heron of Alexandria (sekitar 100 AD). Kaedah ini (dikenali sebagai kaedah Newton) adalah seperti berikut.
biarlah a 1- penghampiran pertama nombor (sebagai 1 anda boleh mengambil nilai punca kuasa dua nombor asli - kuasa dua tepat tidak melebihi X).
Seterusnya, anggaran yang lebih tepat a 2 nombor
ditemui oleh formula 
.
Selalunya, apabila menyelesaikan masalah, kita berhadapan dengan sejumlah besar yang perlu kita keluarkan Punca kuasa dua. Ramai pelajar memutuskan bahawa ini adalah satu kesilapan dan mula menyelesaikan semula keseluruhan contoh. Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh melakukan ini! Terdapat dua sebab untuk ini:
- Akar bilangan besar memang muncul dalam masalah. Terutama dalam teks;
- Terdapat algoritma yang mana akar ini dikira hampir secara lisan.
Kami akan mempertimbangkan algoritma ini hari ini. Mungkin beberapa perkara akan kelihatan tidak dapat difahami oleh anda. Tetapi jika anda memberi perhatian kepada pelajaran ini, anda akan menerima senjata yang kuat melawan punca kuasa dua.
Jadi, algoritma:
- Hadkan punca yang diperlukan di atas dan di bawah kepada nombor yang gandaan 10. Oleh itu, kami akan mengurangkan julat carian kepada 10 nombor;
- Daripada 10 nombor ini, buang nombor yang pastinya tidak boleh menjadi akar. Akibatnya, 1-2 nombor akan kekal;
- Kuadratkan 1-2 nombor ini. Yang kuasa duanya sama dengan nombor asal akan menjadi punca.
Sebelum mempraktikkan algoritma ini, mari kita lihat setiap langkah individu.
Had akar
Pertama sekali, kita perlu mengetahui antara nombor mana akar kita terletak. Adalah sangat diingini bahawa nombor menjadi gandaan sepuluh:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Kami mendapat satu siri nombor:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Apakah yang diberitahu oleh nombor ini kepada kita? Ia mudah: kita mendapat sempadan. Ambil, sebagai contoh, nombor 1296. Ia terletak antara 900 dan 1600. Oleh itu, puncanya tidak boleh kurang daripada 30 dan lebih besar daripada 40:
[Kapsyen untuk gambar]
Perkara yang sama berlaku untuk mana-mana nombor lain yang anda boleh mencari punca kuasa dua. Sebagai contoh, 3364:
[Kapsyen untuk gambar]Oleh itu, bukannya nombor yang tidak dapat difahami, kami mendapat julat yang sangat spesifik di mana akar asalnya terletak. Untuk mengecilkan lagi kawasan carian, teruskan ke langkah kedua.
Menghapuskan nombor yang jelas tidak perlu
Jadi, kita mempunyai 10 nombor - calon untuk akar. Kami mendapatkannya dengan cepat, tanpa pemikiran dan pendaraban yang kompleks dalam lajur. Inilah masa untuk maju ke hadapan.
Percaya atau tidak, kami kini akan mengurangkan bilangan nombor calon kepada dua - sekali lagi tanpa sebarang pengiraan yang rumit! Ia cukup untuk mengetahui peraturan khas. Ini dia:
Digit terakhir petak hanya bergantung pada digit terakhir nombor asal.
Dalam erti kata lain, lihat sahaja digit terakhir petak itu dan kita akan segera memahami di mana nombor asal itu berakhir.
Terdapat hanya 10 digit yang boleh berada di tempat terakhir. Mari cuba untuk mengetahui apa yang mereka bertukar menjadi apabila kuasa dua. Lihat jadual:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Jadual ini adalah satu lagi langkah ke arah pengiraan punca. Seperti yang anda lihat, nombor dalam baris kedua ternyata simetri berbanding lima. Sebagai contoh:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Seperti yang anda lihat, digit terakhir adalah sama dalam kedua-dua kes. Ini bermakna, sebagai contoh, punca 3364 mesti berakhir dengan 2 atau 8. Sebaliknya, kita mengingati sekatan dari perenggan sebelumnya. Kita mendapatkan:
[Kapsyen untuk gambar] Petak merah menunjukkan bahawa kita belum mengetahui angka ini. Tetapi akarnya terletak dalam julat dari 50 hingga 60, di mana terdapat hanya dua nombor yang berakhir dengan 2 dan 8:
[Kapsyen untuk gambar]Itu sahaja! Daripada semua kemungkinan akar, kami meninggalkan hanya dua pilihan! Dan ini adalah dalam kes yang paling sukar, kerana digit terakhir boleh menjadi 5 atau 0. Dan kemudian akan ada hanya satu calon untuk akar!
pengiraan akhir
Jadi, kita ada 2 nombor calon lagi. Bagaimana anda tahu yang mana satu akarnya? Jawapannya jelas: kuasa duakan kedua-dua nombor. Yang kuasa dua memberikan nombor asal akan menjadi punca.
Sebagai contoh, untuk nombor 3364 kami menjumpai dua nombor calon: 52 dan 58. Mari kita kuasai dua:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
Itu sahaja! Ternyata akarnya ialah 58! Pada masa yang sama, untuk memudahkan pengiraan, saya menggunakan formula untuk kuasa dua jumlah dan perbezaan. Terima kasih kepada ini, saya tidak perlu mendarabkan nombor ke dalam lajur! Ini adalah satu lagi tahap pengoptimuman pengiraan, tetapi, sudah tentu, ia adalah pilihan sepenuhnya :)
Contoh pengiraan punca
Teori, sudah tentu, bagus. Tetapi mari kita semak dalam amalan.
[Kapsyen untuk gambar]
Mula-mula, mari kita ketahui antara nombor yang mana nombor 576 terletak:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Sekarang mari kita lihat nombor terakhir. Ia bersamaan dengan 6. Bilakah ini berlaku? Hanya jika akar berakhir dalam 4 atau 6. Kami mendapat dua nombor:
Apa yang tinggal ialah mengduakan setiap nombor dan membandingkannya dengan yang asal:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Hebat! Petak pertama ternyata sama dengan nombor asal. Jadi ini adalah akarnya.
Tugasan. Kira punca kuasa dua:
[Kapsyen untuk gambar]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Mari lihat digit terakhir:
1369 → 9;
33; 37.
segi empat sama:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.
Ini jawapannya: 37.
Tugasan. Kira punca kuasa dua:
[Kapsyen untuk gambar]
Kami mengehadkan bilangan:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Mari lihat digit terakhir:
2704 → 4;
52; 58.
segi empat sama:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Kami menerima jawapan: 52. Nombor kedua tidak lagi perlu diduakan.
Tugasan. Kira punca kuasa dua:
[Kapsyen untuk gambar]
Kami mengehadkan bilangan:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Mari lihat digit terakhir:
4225 → 5;
65.
Seperti yang anda lihat, selepas langkah kedua hanya ada satu pilihan yang tinggal: 65. Ini adalah akar yang dikehendaki. Tetapi mari kita tetapkannya dan semak:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Semuanya betul. Kami menulis jawapannya.
Kesimpulan
Malangnya, tidak lebih baik. Mari kita lihat sebab-sebabnya. Terdapat dua daripadanya:
- Di mana-mana peperiksaan biasa dalam matematik, sama ada Peperiksaan Negeri atau Peperiksaan Negeri Bersepadu, penggunaan kalkulator adalah dilarang. Dan jika anda membawa kalkulator ke dalam kelas, anda boleh ditendang keluar daripada peperiksaan dengan mudah.
- Jangan jadi seperti orang Amerika yang bodoh. Yang tidak seperti akar - mereka tidak boleh menambah dua nombor perdana. Dan apabila mereka melihat pecahan, mereka biasanya menjadi histeria.