Mencari nilai terkecil fungsi pada segmen. Bagaimana untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi dalam kawasan tertutup bersempadan? Nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi
Selalunya dalam fizik dan matematik anda perlu mencari nilai terkecil fungsi. Kami sekarang akan memberitahu anda bagaimana untuk melakukan ini.
Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi: arahan
Cari pada segmen tertentu titik yang derivatifnya adalah sama dengan sifar, serta semua titik kritikal. Kemudian ketahui nilai-nilai fungsi pada titik-titik ini, iaitu, selesaikan persamaan di mana x sama dengan sifar. Ketahui nilai mana yang paling kecil.
Tentukan nilai fungsi tersebut titik akhir. Tentukan nilai terkecil bagi fungsi pada titik ini.
Bandingkan data yang diperolehi dengan nilai terendah. Lebih kecil daripada nombor yang terhasil akan menjadi nilai terkecil bagi fungsi tersebut.
Ambil perhatian bahawa jika fungsi pada segmen tidak mempunyai titik terkecil, ini bermakna bahawa dalam segmen tertentu ia bertambah atau berkurang. Oleh itu, nilai terkecil hendaklah dikira pada segmen terhingga fungsi.
Dalam semua kes lain, nilai fungsi dikira mengikut algoritma yang ditentukan. Pada setiap titik algoritma anda perlu menyelesaikan masalah yang mudah persamaan linear dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk mengelakkan kesilapan.
Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen separuh terbuka? Pada tempoh separuh terbuka atau buka fungsi, nilai terkecil harus ditemui dengan cara berikut. Pada titik akhir nilai fungsi, hitung had sebelah fungsi. Dalam erti kata lain, selesaikan persamaan di mana titik kecenderungan diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, di mana a dan b ialah nama titik kritikal.
Sekarang anda tahu cara mencari nilai terkecil bagi sesuatu fungsi. Perkara utama ialah melakukan semua pengiraan dengan betul, tepat dan tanpa kesilapan.
Dalam artikel ini saya akan bercakap tentang cara menggunakan kemahiran mencari untuk mengkaji fungsi: untuk mencari nilai terbesar atau terkecilnya. Dan kemudian kami akan menyelesaikan beberapa masalah daripada Tugas B15 daripada Buka bank tugasan untuk .
Seperti biasa, kita ingat dulu teorinya.
Pada permulaan mana-mana kajian fungsi, kita dapati ia
Untuk mencari nilai terbesar atau terkecil bagi sesuatu fungsi, anda perlu meneliti selang mana fungsi itu meningkat dan apabila ia berkurangan.
Untuk melakukan ini, kita perlu mencari derivatif fungsi dan memeriksa selang tanda malarnya, iaitu selang di mana terbitan mengekalkan tandanya.
Selang di mana terbitan sesuatu fungsi adalah positif ialah selang bagi fungsi bertambah.
Selang di mana terbitan fungsi adalah negatif ialah selang fungsi menurun.
1 . Mari selesaikan tugasan B15 (No. 245184)
Untuk menyelesaikannya, kami akan mengikuti algoritma berikut:
a) Cari domain takrifan fungsi
b) Mari kita cari terbitan bagi fungsi tersebut.
c) Mari samakan dengan sifar.
d) Mari kita cari selang tanda malar bagi fungsi itu.
Saya menerangkan penyelesaian terperinci untuk tugas ini dalam TUTORIAL VIDEO:
Penyemak imbas anda mungkin tidak disokong. Untuk menggunakan jurulatih " Waktu Peperiksaan Negeri Bersatu", cuba muat turun Firefox
2. Mari selesaikan tugasan B15 (No. 282862)
Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut pada segmen
Adalah jelas bahawa fungsi mengambil nilai terbesar pada segmen pada titik maksimum, pada x=2. Mari cari nilai fungsi pada ketika ini:
Jawapan: 5
3. Mari selesaikan tugasan B15 (No. 245180):
Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. Kerana mengikut domain takrifan fungsi asal title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. Penbilang sama dengan sifar di . Mari semak sama ada ia milik fungsi ODZ. Untuk melakukan ini, mari semak sama ada syarat title="4-2x-x^2>0"> при .!}
Tajuk="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
ini bermakna titik itu tergolong dalam fungsi ODZ
Mari kita periksa tanda terbitan di sebelah kanan dan kiri titik:
Kami melihat bahawa fungsi mengambil nilai terbesar pada titik . Sekarang mari kita cari nilai fungsi di:
Catatan 1. Ambil perhatian bahawa dalam masalah ini kami tidak menemui domain takrifan fungsi: kami hanya menetapkan sekatan dan menyemak sama ada titik di mana terbitan itu bersamaan dengan sifar tergolong dalam domain takrifan fungsi tersebut. Ini ternyata mencukupi untuk tugas ini. Walau bagaimanapun, ini tidak selalu berlaku. Ia bergantung kepada tugas.
Nota 2. Apabila mengkaji tingkah laku fungsi kompleks anda boleh menggunakan peraturan ini:
jika fungsi luaran bagi fungsi kompleks semakin meningkat, maka fungsi tersebut mengambil nilai terbesarnya pada titik yang sama fungsi dalaman mengambil nilai yang paling besar. Ini berikutan daripada takrifan fungsi yang semakin meningkat: fungsi meningkat pada selang I jika nilai hujah yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.
jika fungsi luar fungsi kompleks berkurangan, maka fungsi mengambil nilai terbesarnya pada titik yang sama di mana fungsi dalam mengambil nilai terkecilnya . Ini berikutan daripada takrifan fungsi menurun: fungsi berkurang pada selang I jika nilai hujah yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.
Dalam contoh kami, fungsi luaran meningkat di seluruh domain definisi. Di bawah tanda logaritma terdapat ungkapan - trinomial kuadratik, yang, dengan pekali pendahuluan negatif, mengambil nilai terbesar pada titik itu . Seterusnya, kita gantikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi dan cari nilai terbesarnya.
Algoritma piawai untuk menyelesaikan masalah tersebut melibatkan, selepas mencari sifar fungsi, menentukan tanda terbitan pada selang. Kemudian pengiraan nilai pada titik maksimum (atau minimum) yang ditemui dan pada sempadan selang, bergantung pada soalan apa yang ada dalam keadaan.
Saya menasihati anda untuk melakukan perkara yang sedikit berbeza. kenapa? Saya menulis tentang ini.
Saya mencadangkan untuk menyelesaikan masalah seperti berikut:
1. Cari terbitan. 2. Cari sifar terbitan. 3. Tentukan yang mana antara mereka tergolong selang ini. 4. Kami mengira nilai fungsi pada sempadan selang dan titik langkah 3. 5. Kami membuat kesimpulan (jawab soalan yang dikemukakan).
Semasa menyelesaikan contoh yang dibentangkan, penyelesaian itu tidak dipertimbangkan secara terperinci persamaan kuadratik, anda mesti boleh melakukan ini. Mereka juga patut tahu.
Mari lihat contoh:
77422. Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x 3 –3x+4 pada segmen [–2;0].
Mari kita cari sifar terbitan:
Titik x = –1 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.
Kami mengira nilai fungsi pada titik –2, –1 dan 0:
Nilai terbesar bagi fungsi tersebut ialah 6.
Jawapan: 6
77425. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – 3x 2 + 2 pada ruas itu.
Titik x = 2 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.
Kami mengira nilai fungsi pada titik 1, 2 dan 4:
Nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah –2.
Jawapan: –2
77426. Cari nilai terbesar bagi fungsi y = x 3 – 6x 2 pada ruas [–3;3].
Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
Mari kita cari sifar terbitan:
Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi titik x = 0.
Kami mengira nilai fungsi pada titik –3, 0 dan 3:
Nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah 0.
Jawapan: 0
77429. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – 2x 2 + x +3 pada ruas itu.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
3x 2 – 4x + 1 = 0
Kami mendapat akar: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi hanya x = 1.
Mari cari nilai fungsi pada titik 1 dan 4:
Kami mendapati bahawa nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah 3.
Jawapan: 3
77430. Cari nilai terbesar bagi fungsi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pada ruas [– 4; -1].
Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
Mari kita cari sifar terbitan dan selesaikan persamaan kuadratik:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Mari kita dapatkan akarnya:
Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi punca x = –1.
Kami mencari nilai fungsi pada titik –4, –1, –1/3 dan 1:
Kami mendapati bahawa nilai terbesar fungsi ialah 3.
Jawapan: 3
77433. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – x 2 – 40x +3 pada ruas itu.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
Mari kita cari sifar terbitan dan selesaikan persamaan kuadratik:
3x 2 – 2x – 40 = 0
Mari kita dapatkan akarnya:
Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi punca x = 4.
Cari nilai fungsi pada titik 0 dan 4:
Kami mendapati bahawa nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah –109.
Jawapan: –109
Mari kita pertimbangkan cara untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi tanpa derivatif. Pendekatan ini boleh digunakan jika anda ada masalah besar. Prinsipnya mudah - kita menggantikan semua nilai integer dari selang ke dalam fungsi (hakikatnya ialah dalam semua prototaip sedemikian jawapannya adalah integer).
77437. Cari nilai terkecil bagi fungsi y=7+12x–x 3 pada ruas [–2;2].
Gantikan mata dari –2 hingga 2:
Lihat penyelesaian
77434. Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pada ruas [–2;0].
Itu sahaja. Semoga berjaya!
Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.
P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.
Pernyataan masalah 2:
Diberi fungsi yang ditakrifkan dan berterusan pada selang tertentu. Anda perlu mencari nilai terbesar (terkecil) bagi fungsi pada selang ini.
Asas teori. Teorem (Teorem Weierstrass Kedua):
Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan dalam selang tertutup, maka ia mencapai nilai maksimum dan minimum dalam selang ini.
Fungsi ini boleh mencapai nilai terbesar dan terkecil sama ada dengan titik dalaman jurang atau di sempadannya. Mari kita gambarkan semua pilihan yang mungkin.
Penjelasan: 1) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik . 2) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik. 3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (ini ialah titik minimum). 4) Fungsi adalah malar pada selang, i.e. ia mencapai nilai minimum dan maksimum pada mana-mana titik dalam selang, dan nilai minimum dan maksimum adalah sama antara satu sama lain. 5) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (walaupun pada hakikatnya fungsi itu mempunyai kedua-dua maksimum dan minimum pada selang ini). 6) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada satu titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada satu titik (ini ialah titik minimum). Ulasan:
"Maksimum" dan "nilai maksimum" adalah perkara yang berbeza. Ini berikutan daripada definisi maksimum dan pemahaman intuitif frasa "nilai maksimum".
Algoritma untuk menyelesaikan masalah 2.
4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.
Contoh 4:
Tentukan nilai terbesar dan terkecil bagi suatu fungsi pada segmen. Penyelesaian: 1) Cari terbitan bagi fungsi itu. 2) Cari titik pegun (dan titik yang disyaki ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan. Beri perhatian kepada titik di mana tiada terbitan terhingga dua sisi. 3) Kira nilai fungsi pada titik pegun dan pada sempadan selang.
4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.
Fungsi pada segmen ini mencapai nilai terbesarnya pada titik dengan koordinat .
Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .
Anda boleh mengesahkan ketepatan pengiraan dengan melihat graf fungsi yang dikaji.
Ulasan: Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik maksimum, dan minimumnya pada sempadan segmen.
Kes khas.
Katakan kita perlu mencari maksimum dan nilai minimum beberapa fungsi pada selang waktu. Selepas melengkapkan titik pertama algoritma, i.e. pengiraan terbitan, ia menjadi jelas bahawa, sebagai contoh, ia hanya memerlukan nilai negatif ke atas keseluruhan segmen yang dipertimbangkan. Ingat bahawa jika derivatif adalah negatif, maka fungsinya berkurangan. Kami mendapati bahawa fungsi berkurangan sepanjang keseluruhan segmen. Keadaan ini ditunjukkan dalam graf No. 1 pada permulaan artikel.
Fungsi berkurangan pada segmen, i.e. ia tidak mempunyai titik ekstrem. Daripada gambar, anda boleh melihat bahawa fungsi akan mengambil nilai terkecil pada sempadan kanan segmen, dan nilai terbesar di sebelah kiri. jika derivatif pada segmen adalah positif di mana-mana, maka fungsi meningkat. Nilai terkecil berada di sempadan kiri segmen, yang terbesar adalah di sebelah kanan.
Dalam amalan, ia adalah perkara biasa untuk menggunakan derivatif untuk mengira nilai terbesar dan terkecil fungsi. Kami melakukan tindakan ini apabila kami memikirkan cara untuk meminimumkan kos, meningkatkan keuntungan, mengira beban optimum pada pengeluaran, dll., iaitu, dalam kes di mana kami perlu menentukan nilai optimum parameter. Untuk menyelesaikan masalah sedemikian dengan betul, anda perlu mempunyai pemahaman yang baik tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Biasanya kami mentakrifkan nilai ini dalam selang x tertentu, yang seterusnya mungkin sepadan dengan keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripadanya. Ia boleh menjadi seperti segmen [a; b ] , dan selang terbuka (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), selang tak terhingga (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) atau selang tak terhingga - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞), (- ∞ ; + ∞) .
Dalam bahan ini kami akan memberitahu anda cara mengira nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi yang ditakrifkan secara eksplisit dengan satu pembolehubah y=f(x) y = f (x) .
Definisi asas
Mari kita mulakan, seperti biasa, dengan perumusan definisi asas.
Definisi 1
Nilai terbesar bagi fungsi y = f (x) pada selang x tertentu ialah nilai m a x y = f (x 0) x ∈ X, yang mana bagi sebarang nilai x x ∈ X, x ≠ x 0 menjadikan ketaksamaan f (x) ≤ f (x) sah 0) .
Definisi 2
Nilai terkecil bagi fungsi y = f (x) pada selang x tertentu ialah nilai m i n x ∈ X y = f (x 0) , yang mana bagi sebarang nilai x ∈ X, x ≠ x 0 menjadikan ketaksamaan f(X f (x) ≥ f (x 0) .
Definisi ini agak jelas. Lebih mudah lagi, kita boleh mengatakan ini: nilai terbesar bagi sesuatu fungsi ialah yang paling tinggi sangat penting pada selang yang diketahui pada abscissa x 0, dan yang terkecil ialah nilai terkecil yang diterima pada selang yang sama pada x 0.
Definisi 3
Titik pegun ialah nilai hujah fungsi di mana terbitannya menjadi 0.
Mengapakah kita perlu tahu apa itu titik pegun? Untuk menjawab soalan ini, kita perlu mengingati teorem Fermat. Ia berikutan daripadanya bahawa titik pegun ialah titik di mana extremum fungsi boleh dibezakan terletak (iaitu, minimum atau maksimum setempatnya). Akibatnya, fungsi akan mengambil nilai terkecil atau terbesar pada selang tertentu dengan tepat pada salah satu titik pegun.
Fungsi juga boleh mengambil nilai terbesar atau terkecil pada titik di mana fungsi itu sendiri ditakrifkan dan terbitan pertamanya tidak wujud.
Soalan pertama yang timbul apabila mengkaji topik ini: dalam semua kes, bolehkah kita menentukan nilai terbesar atau terkecil fungsi pada selang tertentu? Tidak, kita tidak boleh melakukan ini apabila sempadan selang tertentu bertepatan dengan sempadan kawasan takrifan, atau jika kita berhadapan dengan selang tak terhingga. Ia juga berlaku bahawa fungsi dalam segmen tertentu atau pada infiniti akan mengambil masa yang sangat kecil atau tidak terhingga nilai yang besar. Dalam kes ini, tidak mungkin untuk menentukan nilai terbesar dan/atau terkecil.
Titik ini akan menjadi lebih jelas selepas digambarkan pada graf:
Angka pertama menunjukkan kepada kita fungsi yang mengambil nilai terbesar dan terkecil (m a x y dan m i n y) pada titik pegun yang terletak pada segmen [ - 6 ; 6].
Mari kita periksa secara terperinci kes yang ditunjukkan dalam graf kedua. Mari kita tukar nilai segmen kepada [ 1 ; 6 ] dan kita dapati bahawa nilai terbesar fungsi akan dicapai pada titik dengan absis pada sempadan kanan selang, dan yang terkecil pada titik pegun.
Dalam rajah ketiga, absis titik mewakili titik sempadan segmen [- 3 ; 2]. Ia sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tertentu.
Sekarang mari kita lihat gambar keempat. Di dalamnya, fungsi mengambil m a x y (nilai terbesar) dan m i n y (nilai terkecil) pada titik pegun pada selang terbuka (- 6 ; 6) .
Jika kita mengambil selang [1; 6), maka kita boleh mengatakan bahawa nilai terkecil fungsi padanya akan dicapai pada titik pegun. Nilai terbesar tidak akan kita ketahui. Fungsi boleh mengambil nilai maksimumnya pada x sama dengan 6 jika x = 6 tergolong dalam selang. Ini betul-betul kes yang ditunjukkan dalam graf 5.
Pada graf 6 nilai terendah fungsi ini memperoleh pada sempadan kanan selang (- 3; 2 ], dan kita tidak boleh membuat kesimpulan yang pasti tentang nilai terbesar.
Dalam Rajah 7 kita melihat bahawa fungsi akan mempunyai m a x y pada titik pegun yang mempunyai absis sama dengan 1. Fungsi akan mencapai nilai minimumnya pada sempadan selang c sebelah kanan. Pada infiniti tolak, nilai fungsi akan secara asimptotik mendekati y = 3.
Jika kita ambil selang x ∈ 2 ; + ∞ , maka kita akan melihat bahawa fungsi yang diberikan tidak akan mengambil nilai terkecil mahupun terbesar padanya. Jika x cenderung kepada 2, maka nilai fungsi akan cenderung kepada tolak infiniti, kerana garis lurus x = 2 ialah asimtot menegak. Jika absis cenderung kepada tambah infiniti, maka nilai fungsi akan secara asimptotik mendekati y = 3. Ini betul-betul kes yang ditunjukkan dalam Rajah 8.
Dalam perenggan ini kami akan membentangkan urutan tindakan yang perlu dilakukan untuk mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi pada segmen tertentu.
Mula-mula, mari kita cari domain takrifan fungsi tersebut. Mari kita semak sama ada segmen yang dinyatakan dalam keadaan termasuk di dalamnya.
Sekarang mari kita hitung mata yang terkandung dalam segmen ini di mana derivatif pertama tidak wujud. Selalunya ia boleh didapati dalam fungsi yang hujahnya ditulis di bawah tanda modulus, atau dalam fungsi kuasa, eksponennya ialah nombor rasional pecahan.
Seterusnya, mari kita ketahui yang mana titik pegun termasuk segmen yang diberikan. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira derivatif fungsi, kemudian menyamakannya dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil, dan kemudian pilih punca yang sesuai. Jika kita tidak mendapat satu mata pegun atau ia tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, maka kita terus ke langkah seterusnya.
Kami menentukan nilai yang akan diambil oleh fungsi pada titik pegun tertentu (jika ada), atau pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), atau kami mengira nilai untuk x = a dan x = b.
5. Kami mempunyai beberapa nilai fungsi, daripada mana kami kini perlu memilih yang terbesar dan terkecil. Ini akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang perlu kita cari.
Mari lihat cara menggunakan algoritma ini dengan betul semasa menyelesaikan masalah.
Contoh 1
keadaan: fungsi y = x 3 + 4 x 2 diberikan. Tentukan nilai terbesar dan terkecilnya pada segmen [1; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .
Penyelesaian:
Mari kita mulakan dengan mencari domain definisi bagi fungsi yang diberikan. Dalam kes ini, ia akan menjadi set semua nombor nyata kecuali 0. Dengan kata lain, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Kedua-dua segmen yang dinyatakan dalam keadaan akan berada di dalam kawasan definisi.
Sekarang kita mengira derivatif fungsi mengikut peraturan pembezaan pecahan:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Kami mengetahui bahawa terbitan fungsi akan wujud di semua titik segmen [1; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .
Sekarang kita perlu menentukan titik pegun fungsi. Mari kita lakukan ini menggunakan persamaan x 3 - 8 x 3 = 0. Dia hanya ada satu akar sebenar, sama dengan 2. Ia akan menjadi titik pegun fungsi dan akan jatuh ke dalam segmen pertama [1; 4 ] .
Mari kita hitung nilai fungsi pada hujung segmen pertama dan pada ketika ini, i.e. untuk x = 1, x = 2 dan x = 4:
Kami mendapati bahawa nilai terbesar bagi fungsi m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 akan dicapai pada x = 1, dan terkecil m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pada x = 2.
Segmen kedua tidak termasuk satu titik pegun, jadi kita perlu mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen yang diberikan:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Ini bermakna m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Jawapan: Untuk segmen [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , untuk segmen [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Lihat gambar:
Sebelum anda belajar kaedah ini, kami menasihati anda untuk menyemak cara mengira had sebelah dan had pada infiniti dengan betul, serta mempelajari kaedah asas untuk mencarinya. Untuk mencari nilai terbesar dan/atau terkecil fungsi pada selang terbuka atau tak terhingga, lakukan langkah berikut secara berurutan.
Mula-mula, anda perlu menyemak sama ada selang yang diberikan akan menjadi subset domain bagi fungsi yang diberikan.
Marilah kita tentukan semua titik yang terkandung dalam selang yang diperlukan dan di mana terbitan pertama tidak wujud. Ia biasanya berlaku dalam fungsi di mana hujah disertakan dalam tanda modulus, dan dalam fungsi kuasa dengan pecahan. penunjuk rasional. Jika mata ini tiada, maka anda boleh meneruskan ke langkah seterusnya.
Sekarang mari kita tentukan titik pegun yang akan jatuh dalam selang waktu yang diberikan. Pertama, kita samakan terbitan kepada 0, selesaikan persamaan dan pilih punca yang sesuai. Jika kami tidak mempunyai satu titik pegun atau ia tidak berada dalam selang waktu yang ditentukan, maka kami segera meneruskan tindakan selanjutnya. Mereka ditentukan oleh jenis selang.
Jika selang adalah dalam bentuk [ a ; b) , maka kita perlu mengira nilai fungsi pada titik x = a dan satu sisi had lim x → b - 0 f (x) .
Jika selang mempunyai bentuk (a; b ], maka kita perlu mengira nilai fungsi pada titik x = b dan had satu sisi lim x → a + 0 f (x).
Jika selang mempunyai bentuk (a; b), maka kita perlu mengira had sebelah lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Jika selang adalah dalam bentuk [ a ; + ∞), maka kita perlu mengira nilai pada titik x = a dan had pada tambah infiniti lim x → + ∞ f (x) .
Jika selang itu kelihatan seperti (- ∞ ; b ] , kita mengira nilai pada titik x = b dan had pada tolak infiniti lim x → - ∞ f (x) .
Jika - ∞ ; b , maka kita pertimbangkan had sebelah lim x → b - 0 f (x) dan had pada tolak infiniti lim x → - ∞ f (x)
Jika - ∞; + ∞ , maka kita pertimbangkan had pada tolak dan tambah infiniti lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
Pada akhirnya, anda perlu membuat kesimpulan berdasarkan nilai dan had fungsi yang diperolehi. Terdapat banyak pilihan yang tersedia di sini. Jadi, jika had satu sisi adalah sama dengan tolak infiniti atau tambah infiniti, maka jelaslah bahawa tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi tersebut. Di bawah ini kita akan melihat satu contoh biasa. Penerangan Terperinci akan membantu anda memahami apa itu. Jika perlu, anda boleh kembali ke Rajah 4 - 8 di bahagian pertama bahan.
Contoh 2
Keadaan: fungsi yang diberi y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Hitung nilai terbesar dan terkecilnya dalam selang - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2), [ 1 ; 2), 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).
Penyelesaian
Pertama sekali, kita mencari domain definisi fungsi. Penyebut pecahan mengandungi trinomial kuadratik, yang tidak sepatutnya bertukar kepada 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Kami telah memperoleh domain takrifan fungsi yang mana semua selang yang dinyatakan dalam keadaan tergolong.
Sekarang mari kita bezakan fungsi dan dapatkan:
y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Akibatnya, terbitan bagi fungsi wujud di seluruh domain definisinya.
Mari kita teruskan untuk mencari titik pegun. Terbitan fungsi menjadi 0 pada x = - 1 2 . Ini ialah titik pegun yang terletak dalam selang (- 3 ; 1 ] dan (- 3 ; 2) .
Mari kita hitung nilai fungsi pada x = - 4 untuk selang (- ∞ ; - 4 ], serta had pada tolak infiniti:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Oleh kerana 3 e 1 6 - 4 > - 1, ia bermakna bahawa m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ini tidak membenarkan kita menentukan secara unik nilai terkecil bagi fungsi. Kita hanya boleh membuat kesimpulan bahawa terdapat kekangan di bawah - 1, kerana pada nilai inilah fungsi tersebut menghampiri secara asimtotik pada infiniti tolak.
Keistimewaan selang kedua ialah tidak ada satu titik pegun dan tidak ada satu sempadan yang ketat di dalamnya. Akibatnya, kita tidak akan dapat mengira sama ada nilai terbesar atau terkecil bagi fungsi tersebut. Setelah menentukan had pada infiniti tolak dan sebagai hujah cenderung kepada - 3 di sebelah kiri, kami hanya mendapat selang nilai:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Ini bermakna bahawa nilai fungsi akan terletak dalam selang - 1; +∞
Untuk mencari nilai terbesar bagi fungsi dalam selang ketiga, kita tentukan nilainya pada titik pegun x = - 1 2 jika x = 1. Kita juga perlu mengetahui had berat sebelah untuk kes apabila hujah cenderung kepada - 3 di sebelah kanan:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Ternyata fungsi itu akan mengambil nilai terbesar pada titik pegun m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Bagi nilai terkecil, kita tidak boleh menentukannya. Semua yang kita tahu , ialah kehadiran had yang lebih rendah kepada - 4 .
Untuk selang waktu (- 3 ; 2), ambil keputusan pengiraan sebelumnya dan sekali lagi kirakan had sebelah kiri yang sama dengan had sebelah kiri:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Ini bermakna m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, dan nilai terkecil tidak dapat ditentukan, dan nilai fungsi dihadkan dari bawah oleh nombor - 4 .
Berdasarkan apa yang kita dapat dalam dua pengiraan sebelumnya, kita boleh mengatakan bahawa pada selang [1; 2) fungsi akan mengambil nilai terbesar pada x = 1, tetapi adalah mustahil untuk mencari yang terkecil.
Pada selang (2 ; + ∞) fungsi tidak akan mencapai sama ada nilai terbesar atau terkecil, i.e. ia akan mengambil nilai dari selang - 1; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Setelah mengira apakah nilai fungsi itu akan sama dengan pada x = 4, kita dapati bahawa m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dan fungsi yang diberikan pada tambah infiniti akan secara asimptotik menghampiri garis lurus y = - 1 .
Mari kita bandingkan apa yang kita dapat dalam setiap pengiraan dengan graf fungsi yang diberikan. Dalam rajah, asimtot ditunjukkan oleh garis putus-putus.
Itu sahaja yang kami ingin beritahu anda tentang mencari nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi. Urutan tindakan yang telah kami berikan akan membantu anda membuat pengiraan yang diperlukan secepat dan semudah mungkin. Tetapi ingat bahawa selalunya berguna untuk mengetahui terlebih dahulu pada selang mana fungsi akan berkurangan dan pada mana ia akan meningkat, selepas itu anda boleh membuat kesimpulan lanjut. Dengan cara ini anda boleh menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi dengan lebih tepat dan mewajarkan keputusan yang diperoleh.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
pada segmen
. Seterusnya, kita gantikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi 
pada segmen. 
