Nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi

Nilai terbesar bagi sesuatu fungsi ialah yang terbesar, nilai terkecil ialah terkecil daripada semua nilainya.

Satu fungsi hanya boleh mempunyai satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau ia mungkin tidak mempunyai nilai sama sekali. Mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan adalah berdasarkan sifat berikut bagi fungsi ini:

1) Jika dalam selang tertentu (terhingga atau tidak terhingga) fungsi y=f(x) adalah berterusan dan hanya mempunyai satu ekstrem dan jika ini adalah maksimum (minimum), maka ia akan menjadi nilai terbesar (terkecil) fungsi dalam selang ini.

2) Jika fungsi f(x) adalah berterusan pada segmen tertentu, maka ia semestinya mempunyai nilai terbesar dan terkecil pada segmen ini. Nilai ini dicapai sama ada pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau di sempadan segmen ini.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil pada segmen, disyorkan untuk menggunakan skema berikut:

1. Cari terbitan.

2. Cari titik genting bagi fungsi yang =0 atau tidak wujud.

3. Cari nilai fungsi pada titik kritikal dan di hujung segmen dan pilih daripadanya f maks terbesar dan f maks terkecil.

Apabila membuat keputusan masalah yang diterapkan, khususnya pengoptimuman, penting mempunyai tugas mencari nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) fungsi pada selang X. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, seseorang harus, berdasarkan syarat, memilih pembolehubah bebas dan menyatakan nilai yang dikaji melalui pembolehubah ini. Kemudian cari nilai terbesar atau terkecil yang dikehendaki bagi fungsi yang terhasil. Dalam kes ini, selang perubahan pembolehubah bebas, yang boleh terhingga atau tidak terhingga, juga ditentukan daripada keadaan masalah.

Contoh. Takungan berbentuk seperti bahagian atas terbuka segi empat selari dengan bahagian bawah persegi, anda perlu tin bahagian dalam. Apakah ukuran tangki yang sepatutnya jika kapasitinya ialah 108 liter? air supaya kos tinningnya minima?

Penyelesaian. Kos menyalut tangki dengan timah akan menjadi minimum jika, untuk kapasiti tertentu, luas permukaannya adalah minimum. Mari kita nyatakan dengan a dm sisi tapak, b dm ketinggian tangki. Maka luas S permukaannya adalah sama dengan

DAN

Hubungan yang terhasil mewujudkan hubungan antara luas permukaan takungan S (fungsi) dan sisi tapak a (argumen). Mari kita periksa fungsi S untuk ekstrem. Mari cari derivatif pertama, samakan dengan sifar dan selesaikan persamaan yang terhasil:

Oleh itu a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi pada selang waktu.

Penyelesaian: Fungsi yang ditentukan berterusan pada keseluruhan garis nombor. Terbitan fungsi

Derivatif untuk dan untuk . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik ini:

.

Nilai fungsi pada hujung selang yang diberikan adalah sama. Oleh itu, nilai terbesar fungsi adalah sama dengan pada , nilai terkecil fungsi adalah sama dengan pada .

Soalan ujian kendiri

1. Merumuskan peraturan L'Hopital untuk mendedahkan ketidakpastian bentuk. Senaraikan Pelbagai jenis ketidakpastian yang mana peraturan L'Hopital boleh digunakan.

2. Merumus tanda-tanda peningkatan dan penurunan fungsi.

3. Tentukan maksimum dan minimum fungsi.

4. Merumus syarat yang perlu kewujudan ekstrem.

5. Apakah nilai hujah (titik mana) yang dipanggil kritikal? Bagaimana untuk mencari mata ini?

6. Apakah tanda-tanda yang mencukupi tentang kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi? Gariskan skema untuk mengkaji fungsi pada ekstrem menggunakan terbitan pertama.

7. Gariskan skema untuk mengkaji fungsi pada ekstrem menggunakan terbitan kedua.

8. Mentakrifkan kecembungan dan lekuk lengkung.

9. Apakah yang dipanggil titik fleksi bagi graf fungsi? Nyatakan kaedah untuk mencari titik ini.

10. Merumuskan tanda-tanda cembung dan lekuk yang perlu dan mencukupi bagi sesuatu lengkung pada belakang segmen ini.

11. Takrifkan asimtot bagi lengkung. Bagaimana untuk mencari menegak, mendatar dan asimtot serong grafik fungsi?

12. Garis besar skim umum menyelidik fungsi dan membina grafnya.

13. Merumuskan peraturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada selang tertentu.

Dan untuk menyelesaikannya, anda memerlukan pengetahuan minimum tentang topik tersebut. Yang seterusnya berakhir tahun akademik, semua orang mahu pergi bercuti, dan untuk mendekatkan masa ini, saya akan terus kepada intinya:

Mari kita mulakan dengan kawasan. Kawasan yang dimaksudkan dalam keadaan tersebut ialah terhad tertutup set titik pada satah. Sebagai contoh, set titik yang dibatasi oleh segi tiga, termasuk seluruh segi tiga (jika dari sempadan"cucuk keluar" sekurang-kurangnya satu titik, maka wilayah itu tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, terdapat juga kawasan yang berbentuk segi empat tepat, bulat, dan lebih besar sedikit. bentuk kompleks. Perlu diingatkan bahawa secara teori analisis matematik definisi yang ketat diberikan batasan, pengasingan, sempadan, dll., tetapi saya fikir semua orang menyedari konsep ini pada tahap intuitif, dan kini tiada lagi yang diperlukan.

Kawasan rata secara piawai dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai peraturan, ditentukan secara analitikal - oleh beberapa persamaan (tidak semestinya linear); kurang kerap ketidaksamaan. Peribahasa biasa: "kawasan tertutup, dibatasi oleh garisan ».

Bahagian integral Tugas yang dimaksudkan ialah membina kawasan dalam lukisan. Bagaimana hendak melakukannya? Anda perlu melukis semua garisan yang disenaraikan (dalam dalam kes ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang berlaku. Kawasan yang dicari biasanya berlorek ringan, dan sempadannya ditandai dengan garis tebal:


Kawasan yang sama juga boleh ditetapkan ketaksamaan linear: , yang atas sebab tertentu sering ditulis sebagai senarai terhitung dan bukannya sistem.
Oleh kerana sempadan itu adalah milik wilayah, maka semua ketidaksamaan, tentu saja, longgar.

Dan kini intipati tugas itu. Bayangkan bahawa paksi keluar terus ke arah anda dari asal. Pertimbangkan fungsi yang berterusan dalam setiap titik kawasan. Graf fungsi ini mewakili beberapa permukaan, dan kebahagiaan kecil ialah untuk menyelesaikan masalah hari ini kita tidak perlu tahu rupa permukaan ini. Ia boleh terletak lebih tinggi, lebih rendah, bersilang dengan pesawat - semua ini tidak penting. Dan yang berikut adalah penting: mengikut Teorem Weierstrass, berterusan V terhad ditutup kawasan fungsi mencapai nilai terbesarnya (tertinggi") dan paling kurang ("paling rendah") nilai yang perlu dicari. Nilai sedemikian dicapai atau V titik pegun, kepunyaan wilayahD , atau pada titik-titik yang terletak di sempadan kawasan ini. Ini membawa kepada algoritma penyelesaian yang mudah dan telus:

Contoh 1

Dalam terhad kawasan tertutup

Penyelesaian: Pertama sekali, anda perlu menggambarkan kawasan dalam lukisan. Malangnya, secara teknikalnya sukar bagi saya untuk membuat model interaktif masalah itu, dan oleh itu saya akan segera membentangkan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua perkara "mencurigakan" yang ditemui semasa penyelidikan. Mereka biasanya disenaraikan satu demi satu apabila ia ditemui:

Berdasarkan mukadimah, adalah mudah untuk memecahkan keputusan kepada dua perkara:

I) Cari titik pegun. Ini adalah tindakan standard yang kami lakukan berulang kali dalam kelas. tentang ekstrem beberapa pembolehubah:

Mendapati titik pegun kepunyaan kawasan-kawasan: (tanda pada lukisan), yang bermaksud kita harus mengira nilai fungsi pada titik tertentu:

- seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen, keputusan penting Saya akan highlight dalam huruf tebal. Adalah mudah untuk mengesannya dalam buku nota dengan pensel.

Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya menyemak keadaan yang mencukupi untuk ekstrem. kenapa? Walaupun pada satu ketika fungsi itu mencapai, sebagai contoh, minimum tempatan, maka ini TIDAK BERMAKSUD bahawa nilai yang terhasil akan yang minimum di seluruh rantau ini (lihat permulaan pelajaran tentang keterlaluan tanpa syarat) .

Apa yang perlu dilakukan jika titik pegun TIDAK tergolong dalam kawasan itu? Hampir tiada! Perlu diingatkan itu dan teruskan ke perkara seterusnya.

II) Kami meneroka sempadan rantau ini.

Memandangkan sempadan terdiri daripada sisi segi tiga, adalah mudah untuk membahagikan kajian kepada 3 subseksyen. Tetapi lebih baik untuk tidak melakukannya bagaimanapun. Dari sudut pandangan saya, adalah lebih berfaedah untuk terlebih dahulu mempertimbangkan segmen selari paksi koordinat, dan pertama sekali, mereka yang berbaring di atas kapak itu sendiri. Untuk memahami keseluruhan urutan dan logik tindakan, cuba kaji pengakhiran "dalam satu nafas":

1) Mari kita berurusan dengan bahagian bawah segi tiga. Untuk melakukan ini, gantikan terus ke dalam fungsi:

Sebagai alternatif, anda boleh melakukannya seperti ini:

Secara geometri ini bermakna satah koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"mengukir" daripada permukaan parabola "ruang", yang bahagian atasnya serta-merta disyaki. Mari kita ketahui di mana dia berada:

– nilai yang terhasil "jatuh" ke dalam kawasan itu, dan ia mungkin berubah pada ketika itu (ditanda pada lukisan) fungsi mencapai maksimum atau nilai terendah di seluruh wilayah. Satu cara atau yang lain, mari kita lakukan pengiraan:

"Calon" yang lain, sudah tentu, penghujung segmen. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik (ditanda pada lukisan):

Di sini, secara kebetulan, anda boleh melakukan semakan mini lisan menggunakan versi "dilucutkan":

2) Untuk penyelidikan sebelah kanan kami menggantikan segi tiga ke dalam fungsi dan "menyesuaikan perkara":

Di sini kami akan segera melakukan semakan kasar, "membunyikan" hujung segmen yang telah diproses:
, Hebat.

Situasi geometri adalah berkaitan titik sebelumnya:

– nilai yang terhasil juga "masuk ke dalam bidang minat kita," yang bermaksud kita perlu mengira apakah fungsi pada titik yang muncul adalah sama dengan:

Mari kita periksa hujung kedua segmen:

Menggunakan fungsi , mari lakukan semakan kawalan:

3) Mungkin semua orang boleh meneka bagaimana untuk meneroka bahagian yang tinggal. Kami menggantikannya ke dalam fungsi dan menjalankan penyederhanaan:

Hujung segmen telah pun dikaji, tetapi dalam draf kami masih menyemak sama ada kami telah menemui fungsi dengan betul :
– bertepatan dengan keputusan subperenggan pertama;
– bertepatan dengan keputusan subperenggan ke-2.

Ia kekal untuk mengetahui sama ada terdapat sesuatu yang menarik di dalam segmen:

- Terdapat! Menggantikan garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapat ordinat "menarik" ini:

Kami menandakan titik pada lukisan dan mencari nilai fungsi yang sepadan:

Mari semak pengiraan menggunakan versi "belanjawan". :
, pesanan.

Dan langkah terakhir: Kami melihat dengan teliti semua nombor "berani", saya mengesyorkan bahawa pemula juga membuat satu senarai:

daripada mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Jawab Mari kita menulis dalam gaya masalah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen:

Sekiranya berlaku, saya akan mengulas lagi makna geometri keputusan:
- inilah yang paling banyak titik tinggi permukaan di kawasan itu;
- inilah yang paling banyak titik rendah permukaan di kawasan tersebut.

Dalam tugasan yang dianalisis, kami mengenal pasti 7 titik "mencurigakan", tetapi bilangannya berbeza-beza mengikut tugasan. Untuk kawasan segi tiga, "set penyelidikan" minimum terdiri daripada tiga mata. Ini berlaku apabila fungsi, sebagai contoh, menentukan kapal terbang– jelas sekali bahawa tiada titik pegun, dan fungsi itu boleh mencapai nilai maksimum/paling kecil hanya pada bucu segi tiga. Tetapi terdapat hanya satu atau dua contoh yang serupa - biasanya anda perlu berurusan dengan beberapa permukaan urutan ke-2.

Jika anda cuba menyelesaikan tugas sedemikian sedikit, maka segitiga boleh membuat kepala anda berputar, dan itulah sebabnya saya bersedia untuk anda contoh luar biasa supaya menjadi segi empat sama :))

Contoh 2

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi dalam kawasan tertutup yang dibatasi oleh garisan

Contoh 3

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup terhad.

Perhatian istimewa Beri perhatian kepada susunan rasional dan teknik mengkaji sempadan wilayah, serta rantaian pemeriksaan perantaraan, yang hampir akan mengelakkan kesilapan pengiraan sepenuhnya. Secara umumnya, anda boleh menyelesaikannya dengan cara yang anda suka, tetapi dalam beberapa masalah, contohnya, dalam Contoh 2, terdapat setiap peluang untuk menjadikan hidup anda lebih sukar. Sampel anggaran menyelesaikan tugasan di akhir pelajaran.

Mari kita sistematikkan algoritma penyelesaian, jika tidak dengan ketekunan saya sebagai labah-labah, ia entah bagaimana tersesat dalam benang panjang komen contoh pertama:

– Pada langkah pertama, kami membina kawasan itu, dinasihatkan untuk menaunginya dan menyerlahkan sempadan dengan garis tebal. Semasa penyelesaian, mata akan muncul yang perlu ditanda pada lukisan.

– Cari titik pegun dan hitung nilai fungsi hanya pada mereka yang tergolong dalam wilayah tersebut. Kami menyerlahkan nilai yang terhasil dalam teks (contohnya, bulatkan dengan pensel). Jika titik pegun BUKAN milik rantau ini, maka kami menandakan fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Jika titik pegun tidak sama sekali, maka kami membuat kesimpulan bertulis bahawa mereka tidak hadir. Walau apa pun, perkara ini tidak boleh dilangkau!

– Kami sedang meneroka sempadan rantau ini. Pertama, adalah berfaedah untuk memahami garis lurus yang selari dengan paksi koordinat (kalau ada pun). Kami juga menyerlahkan nilai fungsi yang dikira pada titik "mencurigakan". Banyak yang telah diperkatakan di atas tentang teknik penyelesaian dan sesuatu yang lain akan dikatakan di bawah - baca, baca semula, mendalaminya!

– Daripada nombor yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawapannya. Kadang-kadang ia berlaku bahawa fungsi mencapai nilai sedemikian pada beberapa titik sekaligus - dalam kes ini, semua titik ini harus ditunjukkan dalam jawapan. Biarkan, sebagai contoh, dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Kemudian kita tuliskan itu

Contoh terakhir didedikasikan untuk orang lain idea yang berguna yang akan berguna dalam amalan:

Contoh 4

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup .

Saya telah mengekalkan rumusan pengarang, di mana kawasan itu diberikan dalam bentuk ketaksamaan berganda. Keadaan ini boleh ditulis oleh sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk masalah ini:

Saya mengingatkan anda bahawa dengan tak linear kami menghadapi ketidaksamaan pada , dan jika anda tidak memahami makna geometri tatatanda, maka jangan berlengah dan jelaskan keadaan sekarang;-)

Penyelesaian, seperti biasa, bermula dengan membina kawasan yang mewakili sejenis "sole":

Hmm, kadang-kadang anda perlu mengunyah bukan sahaja granit sains ...

I) Cari titik pegun:

Sistem ini adalah impian orang bodoh :)

Titik pegun kepunyaan rantau itu, iaitu, terletak pada sempadannya.

Jadi, tidak mengapa... pelajaran berjalan lancar - inilah yang dimaksudkan dengan minum teh yang betul =)

II) Kami meneroka sempadan rantau ini. Tanpa berlengah lagi, mari kita mulakan dengan paksi-x:

1) Jika , maka

Mari kita cari di mana puncak parabola itu:
– hargai detik sebegitu – anda “tekan” sehingga ke tahap yang semuanya sudah jelas. Tetapi kami masih tidak lupa tentang menyemak:

Mari kita hitung nilai fungsi di hujung segmen:

2) C bawah Mari kita fikirkan "bahagian bawah" "dalam sekali duduk" - kami menggantikannya ke dalam fungsi tanpa sebarang kompleks, dan kami hanya akan berminat dalam segmen:

Kawalan:

Ini sudah membawa sedikit keterujaan kepada pemanduan membosankan di sepanjang trek berliku. Mari cari titik kritikal:

Mari buat keputusan persamaan kuadratik, adakah anda masih ingat apa-apa lagi tentang ini? ...Namun, ingat, sudah tentu, jika tidak, anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya pengiraan dalam perpuluhan(yang, by the way, jarang), maka yang biasa menanti kami di sini pecahan sepunya. Kami mencari punca "X" dan menggunakan persamaan untuk menentukan koordinat "permainan" yang sepadan bagi mata "calon":


Mari kita hitung nilai fungsi pada titik yang ditemui:

Semak sendiri fungsinya.

Sekarang kami mengkaji dengan teliti trofi yang dimenangi dan menuliskannya jawab:

Ini adalah "calon", ini adalah "calon"!

Untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 5

Cari yang terkecil dan nilai tertinggi fungsi di kawasan tertutup

Entri dengan pendakap kerinting berbunyi seperti ini: "satu set mata sedemikian."

Kadang-kadang dalam contoh yang serupa guna Kaedah pengganda Lagrange, tetapi tidak mungkin terdapat keperluan sebenar untuk menggunakannya. Jadi, sebagai contoh, jika fungsi dengan domain yang sama "de" diberikan, maka selepas penggantian ke dalamnya - dengan terbitan daripada tiada kesukaran; Lebih-lebih lagi, semuanya disediakan dalam "satu baris" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan separuh bulatan atas dan bawah secara berasingan. Tetapi, sudah tentu, terdapat lebih banyak lagi kes kompleks, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana, sebagai contoh, ialah persamaan bulatan yang sama) Sukar untuk bertahan – sama seperti sukar untuk bertahan tanpa rehat yang baik!

Selamat berseronok semua dan jumpa lagi musim hadapan!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan:

Proses mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen adalah mengingatkan penerbangan yang menarik mengelilingi objek (graf fungsi) dalam helikopter, menembak pada titik tertentu dari meriam jarak jauh dan memilih sangat mata khas dari titik ini untuk pukulan kawalan. Mata dipilih dengan cara tertentu dan mengikut peraturan tertentu. Dengan peraturan apa? Kami akan bercakap tentang ini lebih lanjut.

Jika fungsi y = f(x) adalah berterusan pada selang [ a, b] , kemudian ia sampai pada segmen ini paling kurang Dan nilai tertinggi . Ini boleh berlaku sama ada dalam titik melampau, atau di hujung segmen. Oleh itu, untuk mencari paling kurang Dan nilai terbesar fungsi , berterusan pada selang [ a, b] , anda perlu mengira nilainya dalam semua titik kritikal dan di hujung segmen, dan kemudian pilih yang terkecil dan terbesar daripadanya.

Biarkan, sebagai contoh, anda ingin menentukan nilai terbesar bagi fungsi tersebut f(x) pada segmen [ a, b] . Untuk melakukan ini, anda perlu mencari semua titik kritikalnya terletak pada [ a, b] .

Titik kritikal dipanggil titik di mana fungsi yang ditakrifkan, dan dia terbitan sama ada sama dengan sifar atau tidak wujud. Kemudian anda harus mengira nilai fungsi pada titik kritikal. Dan akhirnya, seseorang harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritikal dan di hujung segmen ( f(a) Dan f(b)). Yang terbesar daripada nombor ini ialah nilai terbesar fungsi pada segmen [a, b] .

Masalah mencari nilai fungsi terkecil .

Kami mencari nilai terkecil dan terbesar fungsi bersama-sama

Contoh 1. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen [-1, 2] .

Penyelesaian. Cari terbitan bagi fungsi ini. Mari samakan derivatif kepada sifar () dan dapatkan dua titik kritikal: dan . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen tertentu, cukup untuk mengira nilainya di hujung segmen dan pada titik, kerana titik itu tidak tergolong dalam segmen [-1, 2]. Nilai fungsi ini ialah: , , . Ia berikutan itu nilai fungsi terkecil(ditunjukkan dengan warna merah pada graf di bawah), sama dengan -7, dicapai di hujung kanan segmen - pada titik , dan terhebat(juga merah pada graf), sama dengan 9, - pada titik kritikal.

Jika fungsi berterusan dalam selang tertentu dan selang ini bukan segmen (tetapi, sebagai contoh, selang; perbezaan antara selang dan segmen: titik sempadan selang tidak termasuk dalam selang, tetapi titik sempadan segmen dimasukkan dalam segmen), maka di antara nilai fungsi mungkin tidak ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, sebagai contoh, fungsi yang ditunjukkan dalam rajah di bawah adalah berterusan pada ]-∞, +∞[ dan tidak mempunyai nilai terbesar.

Walau bagaimanapun, untuk sebarang selang (tertutup, terbuka atau tidak terhingga), sifat berikut bagi fungsi berterusan adalah benar.

Contoh 4. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen [-1, 3] .

Penyelesaian. Kami mendapati terbitan fungsi ini sebagai terbitan hasil bagi:

.

Kami menyamakan derivatif kepada sifar, yang memberi kami satu titik kritikal: . Ia tergolong dalam segmen [-1, 3]. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:

Mari bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai tertinggi sama dengan 1 pada titik.

Kami terus mencari nilai terkecil dan terbesar fungsi bersama-sama

Terdapat guru yang, dalam topik mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi, tidak memberikan pelajar contoh untuk diselesaikan yang lebih kompleks daripada yang baru dibincangkan, iaitu, yang mana fungsi itu adalah polinomial atau pecahan, pengangka dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kita tidak akan mengehadkan diri kita kepada contoh sedemikian, kerana di kalangan guru ada mereka yang suka memaksa pelajar untuk berfikir sepenuhnya (jadual derivatif). Oleh itu, fungsi logaritma dan trigonometri akan digunakan.

Contoh 6. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen .

Penyelesaian. Kami mendapati terbitan fungsi ini sebagai derivatif produk :

Kami menyamakan derivatif kepada sifar, yang memberikan satu titik kritikal: . Ia tergolong dalam segmen. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:

Hasil daripada semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada titik dan pada titik dan nilai tertinggi, sama e², pada titik itu.

Contoh 7. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen .

Penyelesaian. Cari terbitan bagi fungsi ini:

Kami menyamakan derivatif kepada sifar:

Satu-satunya titik kritikal adalah kepunyaan segmen. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:

Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , pada titik dan nilai tertinggi, sama , pada titik .

Dalam masalah ekstrem yang digunakan, mencari nilai terkecil (maksimum) fungsi, sebagai peraturan, turun kepada mencari minimum (maksimum). Tetapi bukan minimum atau maksimum itu sendiri yang lebih menarik minat praktikal, tetapi nilai-nilai hujah di mana ia dicapai. Apabila menyelesaikan masalah yang digunakan, ia timbul kesukaran tambahan- penyusunan fungsi yang menerangkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 8. Sebuah takungan dengan kapasiti 4, mempunyai bentuk selari dengan tapak segi empat sama dan buka di bahagian atas, anda perlu tin. Apakah dimensi tangki yang sepatutnya untuk menampungnya? jumlah paling sedikit bahan?

Penyelesaian. biarlah x- bahagian asas, h- ketinggian tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- isipadunya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan formula, i.e. ialah fungsi dua pembolehubah. Untuk menyatakan S sebagai fungsi satu pembolehubah, kami menggunakan fakta bahawa , dari mana . Menggantikan ungkapan yang ditemui h ke dalam formula untuk S:

Mari kita periksa fungsi ini secara melampau. Ia ditakrifkan dan boleh dibezakan di mana-mana dalam ]0, +∞[ , dan

.

Kami menyamakan terbitan kepada sifar () dan mencari titik kritikal. Di samping itu, apabila derivatif tidak wujud, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan oleh itu tidak boleh menjadi titik ekstrem. Jadi, ini adalah satu-satunya titik kritikal. Mari kita semak untuk kehadiran ekstrem menggunakan tanda mencukupi kedua. Mari cari terbitan kedua. Apabila terbitan kedua lebih besar daripada sifar (). Ini bermakna apabila fungsi mencapai tahap minimum . Sejak ini minimum ialah satu-satunya ekstrem bagi fungsi ini, ia adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi dasar tangki hendaklah 2 m, dan ketinggiannya hendaklah .

Contoh 9. Dari titik A terletak di landasan kereta api, ke titik DENGAN, terletak pada jarak darinya l, kargo mesti diangkut. Kos mengangkut unit berat per unit jarak dengan kereta api adalah sama dengan , dan melalui lebuh raya ia adalah sama dengan . Ke tahap mana M garisan kereta api sebuah lebuh raya perlu dibina untuk mengangkut kargo dari A V DENGAN adalah yang paling menjimatkan (bahagian AB kereta api diandaikan lurus)?

Algoritma piawai untuk menyelesaikan masalah tersebut melibatkan, selepas mencari sifar fungsi, menentukan tanda terbitan pada selang. Kemudian pengiraan nilai pada titik maksimum (atau minimum) yang ditemui dan pada sempadan selang, bergantung pada soalan apa yang ada dalam keadaan.

Saya menasihati anda untuk melakukan perkara yang sedikit berbeza. kenapa? Saya menulis tentang ini.

Saya cadangkan selesaikan masalah sebegini dengan cara berikut:

1. Cari terbitan.
2. Cari sifar terbitan.
3. Tentukan yang mana antara mereka tergolong selang yang diberikan.
4. Kami mengira nilai fungsi pada sempadan selang dan titik langkah 3.
5. Kami membuat kesimpulan (jawab soalan yang dikemukakan).

Semasa menyelesaikan contoh yang dibentangkan, penyelesaian itu tidak dipertimbangkan secara terperinci persamaan kuadratik, anda sepatutnya boleh melakukan ini. Mereka juga patut tahu.

Mari lihat contoh:

77422. Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x 3 –3x+4 pada segmen [–2;0].

Mari kita cari sifar terbitan:

Titik x = –1 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.

Kami mengira nilai fungsi pada titik –2, –1 dan 0:

Nilai terbesar bagi fungsi tersebut ialah 6.

Jawapan: 6

77425. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – 3x 2 + 2 pada ruas itu.

Mari cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari kita cari sifar terbitan:

Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi titik x = 2.

Kami mengira nilai fungsi pada titik 1, 2 dan 4:

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah –2.

Jawapan: –2

77426. Cari nilai terbesar bagi fungsi y = x 3 – 6x 2 pada ruas [–3;3].

Mari cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari kita cari sifar terbitan:

Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi titik x = 0.

Kami mengira nilai fungsi pada titik –3, 0 dan 3:

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah 0.

Jawapan: 0

77429. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – 2x 2 + x +3 pada ruas itu.

Mari cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Kami mendapat akar: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi hanya x = 1.

Mari cari nilai fungsi pada titik 1 dan 4:

Kami mendapati bahawa nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah 3.

Jawapan: 3

77430. Cari nilai terbesar bagi fungsi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pada ruas [– 4; -1].

Mari cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari cari sifar terbitan dan selesaikan persamaan kuadratik:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Mari kita dapatkan akarnya:

Punca x = –1 tergolong dalam selang yang dinyatakan dalam keadaan.

Kami mencari nilai fungsi pada titik –4, –1, –1/3 dan 1:

Kami mendapati bahawa nilai terbesar fungsi ialah 3.

Jawapan: 3

77433. Cari nilai terkecil bagi fungsi y = x 3 – x 2 – 40x +3 pada ruas itu.

Mari cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:

Mari cari sifar terbitan dan selesaikan persamaan kuadratik:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Mari kita dapatkan akarnya:

Selang yang dinyatakan dalam keadaan mengandungi punca x = 4.

Cari nilai fungsi pada titik 0 dan 4:

Kami mendapati bahawa nilai terkecil bagi fungsi tersebut ialah –109.

Jawapan: –109

Mari kita pertimbangkan kaedah untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi tanpa derivatif. Pendekatan ini boleh digunakan jika anda ada masalah besar. Prinsipnya mudah - kami menggantikan semua nilai integer dari selang ke dalam fungsi (hakikatnya ialah dalam semua prototaip sedemikian jawapannya adalah integer).

77437. Cari nilai terkecil bagi fungsi y=7+12x–x 3 pada ruas [–2;2].

Gantikan mata dari –2 hingga 2: Lihat penyelesaian

77434. Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pada ruas [–2;0].

Itu sahaja. Semoga berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Selalunya dalam fizik dan matematik ia diperlukan untuk mencari nilai terkecil sesuatu fungsi. Kami sekarang akan memberitahu anda bagaimana untuk melakukan ini.

Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi: arahan

1. Untuk mengira nilai terkecil fungsi berterusan pada segmen tertentu, anda perlu mengikuti algoritma berikut:
2. Cari terbitan bagi fungsi itu.
3. Cari pada segmen tertentu titik di mana terbitan adalah sama dengan sifar, serta semua titik kritikal. Kemudian ketahui nilai-nilai fungsi pada titik-titik ini, iaitu, selesaikan persamaan di mana x sama dengan sifar. Ketahui nilai mana yang paling kecil.
4. Tentukan nilai fungsi tersebut titik akhir. Tentukan nilai terkecil bagi fungsi pada titik ini.
5. Bandingkan data yang diperolehi dengan nilai terendah. Lebih kecil daripada nombor yang terhasil akan menjadi nilai terkecil bagi fungsi tersebut.

Ambil perhatian bahawa jika fungsi pada segmen tidak mempunyai titik terkecil, ini bermakna bahawa dalam segmen tertentu ia meningkat atau menurun. Oleh itu, nilai terkecil hendaklah dikira pada segmen terhingga fungsi.

Dalam semua kes lain, nilai fungsi dikira mengikut algoritma yang ditentukan. Pada setiap titik algoritma anda perlu menyelesaikan masalah yang mudah persamaan linear dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk mengelakkan kesilapan.

Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen separuh terbuka? Pada tempoh separuh terbuka atau buka fungsi, nilai terkecil harus ditemui seperti berikut. Pada titik akhir nilai fungsi, hitung had sebelah fungsi. Dalam erti kata lain, selesaikan persamaan di mana titik kecenderungan diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, di mana a dan b ialah nama titik kritikal.

Sekarang anda tahu cara mencari nilai terkecil bagi sesuatu fungsi. Perkara utama ialah melakukan semua pengiraan dengan betul, tepat dan tanpa kesilapan.