Satu daripada tugas yang paling penting kalkulus pembezaan adalah pembangunan contoh biasa kajian tingkah laku fungsi.
Jika fungsi y=f(x) adalah selanjar pada selang , dan terbitannya adalah positif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) bertambah sebanyak (f"(x)0) Jika fungsi y=f (x) adalah selanjar pada segmen , dan terbitannya adalah negatif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) berkurang sebanyak (f"(x)0. )
Selang di mana fungsi tidak berkurangan atau meningkat dipanggil selang monotonisitas fungsi. Kemonotonan sesuatu fungsi boleh berubah hanya pada titik domain definisinya di mana tanda terbitan pertama berubah. Titik di mana terbitan pertama fungsi hilang atau mempunyai ketakselanjaran dipanggil kritikal.
Teorem 1 (1hb keadaan yang mencukupi kewujudan ekstrem).
Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan pada titik x 0 dan biarkan terdapat kejiranan δ>0 supaya fungsi itu berterusan pada selang dan boleh dibezakan pada selang (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan derivatifnya mengekalkan tanda kekal pada setiap selang ini. Kemudian jika pada x 0 -δ,x 0) dan (x 0 , x 0 +δ) tanda-tanda terbitan adalah berbeza, maka x 0 ialah titik ekstrem, dan jika ia bertepatan, maka x 0 bukan titik ekstrem. . Lebih-lebih lagi, jika, apabila melalui titik x0, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak (di sebelah kiri x 0 f"(x)>0 berpuas hati, maka x 0 ialah titik maksimum; jika derivatif bertukar tanda dari tolak hingga tambah (di sebelah kanan x 0 dilaksanakan f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Titik maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minimum fungsi dipanggil nilai ekstremnya.
Teorem 2 (tanda perlu bagi ekstrem tempatan).
Jika fungsi y=f(x) mempunyai ekstrem pada arus x=x 0, maka sama ada f’(x 0)=0 atau f’(x 0) tidak wujud.
Pada titik ekstrem fungsi boleh beza, tangen kepada grafnya adalah selari dengan paksi Lembu.
Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem:
1) Cari terbitan bagi fungsi tersebut.
2) Cari titik kritikal, i.e. titik di mana fungsi adalah selanjar dan terbitan adalah sifar atau tidak wujud.
3) Pertimbangkan kejiranan setiap titik, dan periksa tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik ini.
4) Tentukan koordinat titik ekstrem untuk nilai ini titik kritikal menggantikan fungsi ini. Menggunakan keadaan yang mencukupi untuk ekstrem, buat kesimpulan yang sesuai.
Contoh 18. Periksa fungsi y=x 3 -9x 2 +24x untuk ekstrem
Penyelesaian.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan terbitan kepada sifar, kita dapati x 1 =2, x 2 =4. DALAM dalam kes ini derivatif ditakrifkan di mana-mana; Ini bermakna selain daripada dua titik yang ditemui, tiada titik kritikal yang lain.
3) Tanda terbitan y"=3(x-2)(x-4) berubah bergantung pada selang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Apabila melalui titik x=2, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak, dan apabila melalui titik x=4 - dari tolak hingga tambah.
4) Pada titik x=2 fungsi mempunyai maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.
Teorem 3. (syarat mencukupi ke-2 untuk kewujudan ekstrem).
Biarkan f"(x 0) dan pada titik x 0 wujud f""(x 0). Kemudian jika f""(x 0)>0, maka x 0 ialah titik minimum, dan jika f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Pada segmen, fungsi y=f(x) boleh mencapai nilai terkecil (y terkecil) atau terbesar (y tertinggi) sama ada pada titik kritikal fungsi yang terletak dalam selang (a;b), atau pada hujung segmen.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan y=f(x) pada segmen:
1) Cari f"(x).
2) Cari titik di mana f"(x)=0 atau f"(x) tidak wujud, dan pilih daripadanya titik yang terletak di dalam segmen.
3) Kira nilai fungsi y=f(x) pada titik yang diperolehi dalam langkah 2), serta pada hujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil daripadanya: masing-masing adalah yang terbesar (y). terbesar) dan nilai terkecil (y terkecil) bagi fungsi pada selang waktu.
Contoh 19. Cari nilai terbesar bagi fungsi selanjar y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas itu.
1) Kami mempunyai y"=3x 2 -6x-45 pada segmen
2) Derivatif y" wujud untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Kira nilai fungsi pada titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmen mengandungi hanya titik x=5. Nilai terbesar fungsi yang ditemui ialah 225, dan yang terkecil ialah nombor 50. Jadi, y max = 225, y min = 50.
Kajian fungsi pada kecembungan
Rajah menunjukkan graf bagi dua fungsi. Yang pertama adalah cembung ke atas, yang kedua cembung ke bawah.
Fungsi y=f(x) adalah selanjar pada selang dan boleh dibezakan dalam selang (a;b), dipanggil cembung ke atas (ke bawah) pada selang ini jika, untuk axb, grafnya terletak tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) daripada tangen yang dilukis pada sebarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), dengan axb.
Teorem 4. Biarkan fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada mana-mana titik pedalaman x segmen dan selanjar pada hujung segmen ini. Kemudian jika ketaksamaan f""(x)0 memegang pada selang (a;b), maka fungsi itu adalah cembung ke bawah pada selang ; jika ketaksamaan f""(x)0 kekal pada selang (a;b), maka fungsi itu adalah cembung ke atas pada .
Teorem 5. Jika fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada selang (a;b) dan jika ia berubah tanda apabila melalui titik x 0, maka M(x 0 ;f(x 0)) ialah titik infleksi.
Peraturan untuk mencari titik infleksi:
1) Cari titik di mana f""(x) tidak wujud atau lenyap.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang terdapat pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorem 4, buat satu kesimpulan.
Contoh 20. Cari titik ekstrem dan titik infleksi graf bagi fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Kami mempunyai f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas sekali, f"(x)=0 apabila x 1 =0, x 2 =1. Apabila melalui titik x=0, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah, tetapi apabila melalui titik x=1 ia tidak menukar tanda. Ini bermakna x=0 ialah titik minimum (y min =12), dan tiada ekstrem pada titik x=1. Seterusnya, kita dapati 
. Terbitan kedua hilang pada titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda derivatif kedua berubah seperti berikut: Pada sinar (-∞;) kita mempunyai f""(x)>0, pada selang (;1) kita mempunyai f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh itu, x= ialah titik infleksi graf fungsi (peralihan daripada cembung ke bawah kepada cembung ke atas) dan x=1 juga ialah titik infleksi (peralihan dari cembung ke atas kepada cembung ke bawah). Jika x=, maka y=; jika, maka x=1, y=13.
Algoritma untuk mencari asimtot graf
I. Jika y=f(x) sebagai x → a, maka x=a ialah asimtot menegak.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞, maka y=A ialah asimtot mengufuk.
III. Untuk mencari asimtot serong, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Kira . Jika had wujud dan bersamaan dengan b, maka y=b ialah asimtot mendatar; jika , kemudian pergi ke langkah kedua.
2) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan sama dengan k, maka pergi ke langkah ketiga.
3) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan sama dengan b, maka pergi ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot oblik y=kx+b.
Contoh 21: Cari asymptot untuk fungsi 
1) 
2)
3)
4) Persamaan asimtot oblik mempunyai bentuk
Skim untuk mengkaji fungsi dan membina grafnya
I. Cari domain takrifan fungsi.
II. Cari titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.
III. Cari asimtot.
IV. Cari titik ekstrem yang mungkin.
V. Cari titik kritikal.
VI. Dengan menggunakan angka bantu, teroka tanda terbitan pertama dan kedua. Tentukan kawasan fungsi bertambah dan berkurangan, cari arah kecembungan graf, titik ekstrem dan titik infleksi.
VII. Bina graf, dengan mengambil kira penyelidikan yang dijalankan dalam perenggan 1-6.
Contoh 22: Bina graf bagi fungsi mengikut rajah di atas
Penyelesaian.
I. Domain bagi suatu fungsi ialah set semua nombor nyata kecuali x=1.
II. Oleh kerana persamaan x 2 +1=0 tidak mempunyai punca nyata, graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi Ox, tetapi bersilang dengan paksi Oy pada titik (0;-1).
III. Mari kita jelaskan persoalan kewujudan asimtot. Mari kita kaji kelakuan fungsi berhampiran titik ketakselanjaran x=1. Oleh kerana y → ∞ sebagai x → -∞, y → +∞ sebagai x → 1+, maka garis lurus x=1 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh itu, graf tidak mempunyai asimtot mendatar. Selanjutnya, dari kewujudan had
Menyelesaikan persamaan x 2 -2x-1=0 kita memperoleh dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2
V. Untuk mencari titik kritikal, kita mengira terbitan kedua:
Oleh kerana f""(x) tidak hilang, tiada titik kritikal.
VI. Mari kita periksa tanda terbitan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem yang perlu dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bahagikan domain kewujudan fungsi kepada selang (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dan (1+√2;+∞).
Dalam setiap selang ini, derivatif mengekalkan tandanya: dalam yang pertama - tambah, dalam kedua - tolak, dalam ketiga - tambah. Urutan tanda terbitan pertama akan ditulis seperti berikut: +,-+.
Kami mendapati bahawa fungsi meningkat pada (-∞;1-√2), menurun pada (1-√2;1+√2), dan meningkat semula pada (1+√2;+∞). Mata melampau: maksimum pada x=1-√2, dan f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, dan f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) graf adalah cembung ke atas, dan pada (1;+∞) ia cembung ke bawah.
VII Mari kita buat jadual nilai yang diperolehi
VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kami membina lakaran graf fungsi tersebut 
Jika tugas memerlukan kajian penuh fungsi f (x) = x 2 4 x 2 - 1 dengan binaan grafnya, maka kita akan mempertimbangkan prinsip ini secara terperinci.
Untuk menyelesaikan masalah jenis ini, anda harus menggunakan sifat dan graf utama fungsi asas. Algoritma penyelidikan merangkumi langkah-langkah berikut:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mencari domain definisi
Oleh kerana penyelidikan dijalankan ke atas domain takrifan fungsi, adalah perlu untuk bermula dengan langkah ini.
Contoh 1
belakang contoh ini melibatkan mencari sifar penyebut untuk mengecualikan mereka daripada ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Akibatnya, anda boleh mendapatkan akar, logaritma, dan sebagainya. Kemudian ODZ boleh dicari punca darjah genap jenis g (x) 4 dengan ketaksamaan g (x) ≥ 0, untuk logaritma log a g (x) dengan ketaksamaan g (x) > 0.
Mengkaji sempadan ODZ dan mencari asimtot menegak
Terdapat asimtot menegak pada sempadan fungsi, apabila had sebelah pada titik tersebut adalah tidak terhingga.
Contoh 2
Sebagai contoh, pertimbangkan titik sempadan sama dengan x = ± 1 2.
Maka adalah perlu untuk mengkaji fungsi untuk mencari had sebelah. Kemudian kita dapati bahawa: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
Ini menunjukkan bahawa had sebelah adalah tak terhingga, yang bermaksud garis lurus x = ± 1 2 ialah asimtot menegak graf.
Kajian tentang fungsi dan sama ada ia genap atau ganjil
Apabila keadaan y (- x) = y (x) dipenuhi, fungsi itu dianggap genap. Ini menunjukkan bahawa graf terletak secara simetri berkenaan dengan Oy. Apabila keadaan y (- x) = - y (x) dipenuhi, fungsi tersebut dianggap ganjil. Ini bermakna bahawa simetri adalah relatif kepada asal koordinat. Jika sekurang-kurangnya satu ketaksamaan tidak dipenuhi, kita memperoleh fungsi bentuk am.
Kesamaan y (- x) = y (x) menunjukkan bahawa fungsi itu genap. Apabila membina, adalah perlu untuk mengambil kira bahawa akan ada simetri berkenaan dengan Oy.
Untuk menyelesaikan ketaksamaan, selang peningkatan dan penurunan digunakan dengan keadaan f " (x) ≥ 0 dan f " (x) ≤ 0, masing-masing.
Definisi 1
Titik pegun- ini adalah titik yang menjadikan terbitan kepada sifar.
Mata kritikal- ini adalah titik dalaman dari domain definisi di mana terbitan fungsi adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.
Apabila membuat keputusan, nota berikut mesti diambil kira:
- bagi selang sedia ada ketaksamaan bertambah dan berkurangan dalam bentuk f " (x) > 0, titik kritikal tidak termasuk dalam penyelesaian;
- titik di mana fungsi ditakrifkan tanpa terbitan terhingga mesti dimasukkan dalam selang peningkatan dan penurunan (contohnya, y = x 3, di mana titik x = 0 menjadikan fungsi ditakrifkan, terbitan mempunyai nilai infiniti pada ini. titik, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 termasuk dalam selang yang semakin meningkat);
- Untuk mengelakkan pertikaian, disyorkan untuk menggunakan sastera matematik, yang disyorkan oleh Kementerian Pendidikan.
Kemasukan titik kritikal dalam selang peningkatan dan penurunan jika ia memenuhi domain takrifan fungsi.
Definisi 2
Untuk menentukan selang kenaikan dan penurunan fungsi, adalah perlu untuk mencari:
- terbitan;
- titik kritikal;
- bahagikan domain definisi kepada selang menggunakan titik kritikal;
- tentukan tanda terbitan pada setiap selang, di mana + ialah peningkatan dan - ialah penurunan.
Contoh 3
Cari terbitan pada domain takrifan f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Penyelesaian
Untuk menyelesaikannya anda perlu:
- cari titik pegun, contoh ini mempunyai x = 0;
- cari sifar penyebutnya, contoh mengambil nilai sifar pada x = ± 1 2.
Kami meletakkan titik pada garis nombor untuk menentukan terbitan pada setiap selang. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengambil sebarang titik dari selang dan melakukan pengiraan. Pada hasil positif Pada graf kami menggambarkan +, yang bermaksud fungsi semakin meningkat, dan - bermakna ia semakin berkurangan.
Sebagai contoh, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, yang bermaksud bahawa selang pertama di sebelah kiri mempunyai tanda +. Pertimbangkan pada garis nombor.
Jawapan:
- fungsi meningkat pada selang - ∞; - 1 2 dan (- 1 2 ; 0 ] ;
- terdapat penurunan dalam selang [0; 1 2) dan 1 2 ; + ∞ .
Dalam rajah, menggunakan + dan -, kepositifan dan negatif fungsi digambarkan, dan anak panah menunjukkan penurunan dan peningkatan.
Titik ekstrem fungsi ialah titik di mana fungsi itu ditakrifkan dan melaluinya tanda perubahan terbitan.
Contoh 4
Jika kita mempertimbangkan contoh di mana x = 0, maka nilai fungsi di dalamnya adalah sama dengan f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Apabila tanda derivatif berubah dari + ke - dan melalui titik x = 0, maka titik dengan koordinat (0; 0) dianggap sebagai titik maksimum. Apabila tanda berubah dari - kepada +, kami memperoleh titik minimum.
Kecembungan dan kelenturan ditentukan dengan menyelesaikan ketaksamaan dalam bentuk f "" (x) ≥ 0 dan f "" (x) ≤ 0. Kurang biasa digunakan ialah nama convexity down bukannya concavity, dan convexity upward bukan convexity.
Definisi 3
Untuk menentukan selang lekuk dan cembung perlu:
- cari terbitan kedua;
- cari sifar bagi fungsi terbitan kedua;
- bahagikan kawasan definisi kepada selang dengan titik yang muncul;
- tentukan tanda selang.
Contoh 5
Cari terbitan kedua daripada domain definisi.
Penyelesaian
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Kita dapati sifar pengangka dan penyebut, di mana dalam contoh kita ada sifar penyebut x = ± 1 2
Sekarang anda perlu memplot titik pada garis nombor dan menentukan tanda terbitan kedua dari setiap selang. Kami dapat itu
Jawapan:
- fungsinya adalah cembung daripada selang - 1 2 ; 12 ;
- fungsinya adalah cekung daripada selang - ∞ ; - 1 2 dan 1 2; + ∞ .
Definisi 4
Titik infleksi– ini ialah titik dalam bentuk x 0 ; f (x 0) . Apabila ia mempunyai tangen kepada graf fungsi, maka apabila ia melalui x 0 fungsi bertukar tanda kepada sebaliknya.
Dalam erti kata lain, ini adalah titik di mana terbitan kedua melepasi dan menukar tanda, dan pada titik itu sendiri ia sama dengan sifar atau tidak wujud. Semua titik dianggap sebagai domain fungsi.
Dalam contoh, adalah jelas bahawa tiada titik infleksi, kerana derivatif kedua bertukar tanda semasa melalui titik x = ± 1 2. Mereka, sebaliknya, tidak termasuk dalam skop definisi.
Mencari asimtot mendatar dan serong
Apabila mentakrifkan fungsi pada infiniti, anda perlu mencari asimtot mendatar dan serong.
Definisi 5
Asimtot serong digambarkan menggunakan garis lurus, diberikan oleh persamaan y = k x + b, dengan k = lim x → ∞ f (x) x dan b = lim x → ∞ f (x) - k x.
Untuk k = 0 dan b tidak sama dengan infiniti, kita dapati bahawa asimtot serong menjadi mendatar.
Dalam erti kata lain, asimtot dianggap sebagai garis yang graf fungsi menghampiri pada infiniti. Ini memudahkan pembinaan pantas graf fungsi.
Jika tiada asimtot, tetapi fungsi ditakrifkan pada kedua-dua infiniti, adalah perlu untuk mengira had fungsi pada infiniti ini untuk memahami bagaimana graf fungsi akan bertindak.
Contoh 6
Mari kita pertimbangkan sebagai contoh itu
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
ialah asimtot mendatar. Selepas memeriksa fungsi, anda boleh mula membinanya.
Mengira nilai fungsi pada titik perantaraan
Untuk menjadikan graf lebih tepat, adalah disyorkan untuk mencari beberapa nilai fungsi pada titik perantaraan.
Contoh 7
Daripada contoh yang kita pertimbangkan, adalah perlu untuk mencari nilai fungsi pada titik x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Oleh kerana fungsinya adalah genap, kita mendapat bahawa nilai-nilai bertepatan dengan nilai-nilai pada titik-titik ini, iaitu, kita mendapat x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Mari kita tulis dan selesaikan:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08
Untuk menentukan maksima dan minima fungsi, titik infleksi, dan titik perantaraan, adalah perlu untuk membina asimtot. Untuk penetapan yang mudah, selang peningkatan, penurunan, kecembungan dan lekuk direkodkan. Jom tengok gambar di bawah.
Ia adalah perlu untuk melukis garis graf melalui titik yang ditanda, yang akan membolehkan anda mendekati asimtot dengan mengikuti anak panah.
Ini menyimpulkan penerokaan penuh fungsi. Terdapat kes membina beberapa fungsi asas yang mana transformasi geometri digunakan.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter