Gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor berkaitan secara langsung dengan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor tersebut. ini sambungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorem berikut.
Teorem.
Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer positif a dan b adalah sama dengan hasil darab a dan b dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar a dan b, iaitu, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Bukti.
biarlah M ialah beberapa gandaan nombor a dan b. Iaitu, M boleh dibahagikan dengan a, dan mengikut takrif kebolehbahagi, terdapat beberapa integer k supaya kesamaan M=a·k adalah benar. Tetapi M juga boleh dibahagi dengan b, maka a·k boleh dibahagi dengan b.
Mari kita nyatakan gcd(a, b) sebagai d. Kemudian kita boleh menulis kesamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan menjadi nombor perdana secara relatif. Akibatnya, syarat yang diperolehi dalam perenggan sebelumnya bahawa a · k boleh dibahagikan dengan b boleh dirumuskan semula seperti berikut: a 1 · d · k dibahagikan dengan b 1 · d , dan ini, disebabkan sifat boleh bahagi, adalah bersamaan dengan syarat bahawa a 1 · k boleh dibahagi dengan b 1 .
Anda juga perlu menulis dua akibat penting daripada teorem yang dipertimbangkan.
Gandaan sepunya dua nombor adalah sama dengan gandaan sepunya terkecilnya.
Ini memang berlaku, kerana sebarang gandaan sepunya M bagi nombor a dan b ditentukan oleh kesamaan M=LMK(a, b)·t untuk beberapa nilai integer t.
Gandaan sepunya terkecil bagi koprime nombor positif a dan b adalah sama dengan hasil keluarannya.
Rasional fakta ini agak jelas. Oleh kerana a dan b adalah relatif perdana, maka gcd(a, b)=1, oleh itu, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor
Mencari gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor boleh dikurangkan untuk mencari KCM dua nombor secara berurutan. Cara ini dilakukan ditunjukkan dalam teorem berikut a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan gandaan sepunya bagi nombor m k-1 dan a k , oleh itu, bertepatan dengan gandaan sepunya bagi nombor m k . Dan oleh kerana gandaan positif terkecil bagi nombor m k ialah nombor m k itu sendiri, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1, a 2, ..., a k ialah m k.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am.
- Vinogradov I.M. Asas teori nombor.
- Mikhelovich Sh.H. Teori nombor.
- Kulikov L.Ya. dan lain-lain Pengumpulan masalah dalam algebra dan teori nombor: Tutorial untuk pelajar fizik dan matematik. keistimewaan institut pedagogi.
Kalkulator dalam talian membolehkan anda mencari dengan cepat pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil untuk dua atau mana-mana nombor nombor lain.
Kalkulator untuk mencari GCD dan LCM
Cari GCD dan LOC
Menjumpai GCD dan LOC: 5806
Cara menggunakan kalkulator
- Masukkan nombor dalam medan input
- Jika anda memasukkan aksara yang salah, medan input akan diserlahkan dengan warna merah
- klik butang "Cari GCD dan LCM".
Cara memasukkan nombor
- Nombor dimasukkan dipisahkan oleh ruang, noktah atau koma
- Panjang nombor yang dimasukkan tidak terhad, jadi mencari GCD dan LCM bagi nombor panjang tidaklah sukar
Apakah GCD dan NOC?
Pembahagi sepunya terbesar beberapa nombor ialah integer semula jadi terbesar di mana semua nombor asal boleh dibahagikan tanpa baki. Pembahagi sepunya terbesar disingkatkan sebagai GCD.
Gandaan sepunya terkecil beberapa nombor ialah nombor terkecil, yang boleh dibahagi dengan setiap nombor asal tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil disingkatkan sebagai NOC.
Bagaimana untuk menyemak bahawa nombor boleh dibahagikan dengan nombor lain tanpa baki?
Untuk mengetahui sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, anda boleh menggunakan beberapa sifat kebolehbahagi nombor. Kemudian, dengan menggabungkannya, anda boleh menyemak kebolehpecahan sebahagian daripadanya dan gabungannya.
Beberapa tanda pembahagian nombor
1. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 2
Untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagikan dengan dua (sama ada genap), cukup untuk melihat digit terakhir nombor ini: jika ia sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka nombor itu adalah genap, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 2.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 2.
Penyelesaian: Kami melihat digit terakhir: 8 - ini bermakna nombor itu boleh dibahagikan dengan dua.
2. Ujian pembahagian untuk nombor dengan 3
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 apabila jumlah digitnya boleh dibahagi dengan tiga. Oleh itu, untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagi dengan 3, anda perlu mengira jumlah digit dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Walaupun jumlah digit itu sangat besar, anda boleh mengulangi proses yang sama sekali lagi.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 3.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagikan dengan tiga.
3. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 5
Nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah sifar atau lima.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 5.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu TIDAK boleh dibahagikan dengan lima.
4. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 9
Tanda ini hampir sama dengan tanda boleh bahagi dengan tiga: nombor boleh dibahagi dengan 9 apabila jumlah digitnya boleh dibahagikan dengan 9.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 9.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagikan dengan sembilan.
Bagaimana untuk mencari GCD dan LCM bagi dua nombor
Bagaimana untuk mencari gcd dua nombor
Paling dengan cara yang mudah Mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor ialah mencari semua pembahagi yang mungkin bagi nombor-nombor ini dan pilih yang terbesar daripadanya.
Mari kita pertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):
- Kami memfaktorkan kedua-dua nombor: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Kita dapati faktor biasa, iaitu yang kedua-dua nombor mempunyai: 1, 2 dan 2.
- Kami mengira hasil darab faktor ini: 1 2 2 = 4 - ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 28 dan 36.
Bagaimana untuk mencari LCM bagi dua nombor
Terdapat dua cara yang paling biasa untuk mencari gandaan terkecil daripada dua nombor. Kaedah pertama ialah anda boleh menulis gandaan pertama bagi dua nombor, dan kemudian memilih antara mereka nombor yang akan menjadi biasa kepada kedua-dua nombor dan pada masa yang sama yang terkecil. Dan yang kedua ialah mencari gcd nombor ini. Mari kita pertimbangkan sahaja.
Untuk mengira LCM, anda perlu mengira hasil darab nombor asal dan kemudian membahagikannya dengan GCD yang ditemui sebelum ini. Mari kita cari LCM untuk nombor 28 dan 36 yang sama:
- Cari hasil darab nombor 28 dan 36: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), seperti yang telah diketahui, adalah sama dengan 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Mencari GCD dan LCM untuk beberapa nombor
Pembahagi sepunya terbesar boleh didapati untuk beberapa nombor, bukan hanya dua. Untuk tujuan ini, nombor yang ditemui untuk pembahagi sepunya terbesar difaktorkan ke dalam faktor perdana, maka hasil darab faktor sepunya ditemui faktor utama nombor-nombor ini. Anda juga boleh menggunakan hubungan berikut untuk mencari gcd beberapa nombor: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).
Hubungan yang serupa digunakan untuk gandaan sepunya terkecil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Contoh: cari GCD dan LCM untuk nombor 12, 32 dan 36.
- Mula-mula, mari kita faktorkan nombor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Mari cari faktor sepunya: 1, 2 dan 2.
- Produk mereka akan memberikan GCD: 1·2·2 = 4
- Sekarang mari kita cari LCM: untuk melakukan ini, mari kita cari LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 dahulu.
- Untuk mencari NOC semua orang tiga nombor, anda perlu mencari GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
Ungkapan Matematik dan tugas memerlukan banyak pengetahuan tambahan. NOC adalah salah satu yang utama, terutamanya sering digunakan dalam Topik ini dipelajari di sekolah menengah, dan ia tidak begitu sukar untuk memahami bahan seseorang yang biasa dengan kuasa dan jadual pendaraban tidak akan mengalami kesukaran untuk mengenal pasti nombor yang diperlukan dan menemui hasil.
Definisi
Gandaan sepunya ialah nombor yang boleh dibahagikan sepenuhnya kepada dua nombor pada masa yang sama (a dan b). Selalunya, nombor ini diperoleh dengan mendarab nombor asal a dan b. Nombor mesti boleh dibahagi dengan kedua-dua nombor sekaligus, tanpa sisihan.
NOC adalah jawatan yang diterima nama pendek, dikumpulkan daripada huruf pertama.
Cara-cara untuk mendapatkan nombor
Kaedah mendarab nombor tidak selalunya sesuai untuk mencari LCM, ia lebih sesuai untuk nombor satu digit atau dua digit yang mudah. Adalah menjadi kebiasaan untuk membahagikan kepada faktor; semakin besar bilangannya, semakin banyak faktor yang akan ada.
Contoh #1
Untuk contoh paling mudah, sekolah biasanya menggunakan nombor perdana, satu atau dua digit. Sebagai contoh, anda perlu membuat keputusan tugasan seterusnya, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 7 dan 3, penyelesaiannya agak mudah, cuma darabkannya. Akibatnya, kita mempunyai nombor 21, bilangan yang lebih kecil cuma tidak.
Contoh No. 2
Versi kedua tugas adalah lebih sukar. Nombor 300 dan 1260 diberikan, mencari LOC adalah wajib. Untuk menyelesaikan masalah, tindakan berikut diandaikan:
Penguraian nombor pertama dan kedua kepada faktor mudah. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Tahap pertama selesai.
Peringkat kedua melibatkan bekerja dengan data yang telah diperolehi. Setiap nombor yang diterima mesti mengambil bahagian dalam mengira keputusan akhir. Bagi setiap pengganda, paling banyak nombor besar kejadian. LCM ialah nombor umum, jadi faktor nombor mesti diulang di dalamnya, setiap satu, malah yang terdapat dalam satu salinan. Kedua-dua nombor awal mengandungi nombor 2, 3 dan 5, in darjah yang berbeza, 7 hadir dalam satu kes sahaja.
Untuk mengira keputusan akhir, anda perlu mengambil setiap nombor dalam kuasa terbesar yang diwakili ke dalam persamaan. Apa yang tinggal adalah untuk mendarab dan mendapatkan jawapan jika diisi dengan betul, tugas itu sesuai dengan dua langkah tanpa penjelasan:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
Itulah keseluruhan masalah, jika anda cuba mengira nombor yang betul melalui pendaraban, maka jawapannya pasti tidak akan betul, kerana 300 * 1260 = 378,000.
Peperiksaan:
6300 / 300 = 21 - betul;
6300 / 1260 = 5 - betul.
Ketepatan keputusan yang diperoleh ditentukan dengan menyemak - membahagikan LCM dengan kedua-dua nombor asal jika nombor itu adalah integer dalam kedua-dua kes, maka jawapannya adalah betul.
Apakah maksud NOC dalam matematik?
Seperti yang anda tahu, tidak ada satu pun fungsi yang tidak berguna dalam matematik, ini tidak terkecuali. Tujuan yang paling biasa bagi nombor ini adalah untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa. Apa yang biasa dipelajari dalam darjah 5-6 sekolah Menengah. Juga tambahan ialah pembahagi biasa untuk semua gandaan, jika keadaan sedemikian terdapat dalam masalah. Ungkapan yang serupa boleh mencari gandaan bukan sahaja dua nombor, tetapi juga banyak lebih- tiga, lima dan seterusnya. Bagaimana lebih banyak nombor- mereka lebih banyak tindakan dalam tugas, tetapi ini tidak meningkatkan kerumitan.
Sebagai contoh, memandangkan nombor 250, 600 dan 1500, anda perlu mencari LCM biasa mereka:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - contoh ini menerangkan pemfaktoran secara terperinci, tanpa pengurangan.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Untuk mengarang ungkapan, adalah perlu untuk menyebut semua faktor, dalam kes ini 2, 5, 3 diberikan - untuk semua nombor ini adalah perlu untuk menentukan tahap maksimum.
Perhatian: semua faktor mesti dibawa ke tahap pemudahan lengkap, jika boleh, diuraikan ke tahap satu digit.
Peperiksaan:
1) 3000 / 250 = 12 - betul;
2) 3000 / 600 = 5 - benar;
3) 3000 / 1500 = 2 - betul.
Kaedah ini tidak memerlukan sebarang helah atau kebolehan tahap genius, semuanya mudah dan jelas.
Cara lain
Dalam matematik, banyak perkara disambungkan, banyak perkara boleh diselesaikan dengan dua atau lebih cara, begitu juga untuk mencari gandaan sepunya terkecil, LCM. Kaedah berikut boleh digunakan dalam kes dua digit mudah dan nombor satu digit. Jadual disusun di mana pendaraban dimasukkan secara menegak, pengganda secara mendatar, dan hasil darab ditunjukkan dalam sel bersilang lajur. Anda boleh mencerminkan jadual menggunakan garis, mengambil nombor dan menulis hasil pendaraban nombor ini dengan integer, dari 1 hingga infiniti, kadang-kadang 3-5 mata sudah cukup, nombor kedua dan seterusnya menjalani proses pengiraan yang sama. Semuanya berlaku sehingga gandaan sepunya ditemui.
Memandangkan nombor 30, 35, 42, anda perlu mencari LCM yang menyambungkan semua nombor:
1) Gandaan 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, dsb.
2) Gandaan 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, dsb.
3) Gandaan 42: 84, 126, 168, 210, 252, dsb.
Adalah ketara bahawa semua nombor agak berbeza, satu-satunya nombor biasa di antara mereka ialah 210, jadi ia akan menjadi NOC. Di antara proses yang terlibat dalam pengiraan ini terdapat juga pembahagi sepunya terbesar, yang dikira mengikut prinsip yang sama dan sering ditemui dalam masalah jiran. Perbezaannya adalah kecil, tetapi agak ketara, LCM melibatkan pengiraan nombor yang dibahagikan dengan semua nilai awal yang diberikan, dan GCD melibatkan pengiraan nilai tertinggi yang mana nombor asal dibahagikan.
Pembahagi sepunya terbesar
Definisi 2
Jika nombor asli a boleh dibahagi dengan nombor asli $b$, maka $b$ dipanggil pembahagi $a$, dan $a$ dipanggil gandaan $b$.
Biarkan $a$ dan $b$ ialah nombor asli. Nombor $c$ dipanggil pembahagi sepunya bagi kedua-dua $a$ dan $b$.
Set pembahagi sepunya bagi nombor $a$ dan $b$ adalah terhingga, kerana tiada pembahagi ini boleh lebih besar daripada $a$. Ini bermakna di antara pembahagi ini terdapat pembahagi terbesar, yang dipanggil pembahagi sepunya terbesar bagi nombor $a$ dan $b$ dan dilambangkan dengan tatatanda berikut:
$GCD\(a;b)\ atau \D\(a;b)$
Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor yang anda perlukan:
- Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.
Contoh 1
Cari gcd bagi nombor $121$ dan $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pilih nombor yang termasuk dalam pengembangan nombor ini
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.
$GCD=2\cdot 11=22$
Contoh 2
Cari gcd bagi monomial $63$ dan $81$.
Kami akan mencari mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini:
Mari kita faktorkan nombor menjadi faktor perdana
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Kami memilih nombor yang termasuk dalam pengembangan nombor ini
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Mari cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.
$GCD=3\cdot 3=9$
Anda boleh mencari gcd bagi dua nombor dengan cara lain, menggunakan set pembahagi nombor.
Contoh 3
Cari gcd bagi nombor $48$ dan $60$.
Penyelesaian:
Mari cari set pembahagi nombor $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Sekarang mari cari set pembahagi nombor $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\kanan\) $
Mari cari persilangan set ini: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - set ini akan menentukan set pembahagi sepunya bagi nombor $48$ dan $60 $. Elemen terbesar dalam set ini ialah nombor $12$. Ini bermakna pembahagi sepunya terbesar bagi nombor $48$ dan $60$ ialah $12$.
Definisi NPL
Definisi 3
Gandaan sepunya nombor asli $a$ dan $b$ ialah nombor asli yang merupakan gandaan bagi kedua-dua $a$ dan $b$.
Gandaan sepunya nombor ialah nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor asal tanpa baki Contohnya, untuk nombor $25$ dan $50$, gandaan sepunya ialah nombor $50,100,150,200, dsb.
Gandaan sepunya terkecil akan dipanggil gandaan sepunya terkecil dan akan dilambangkan dengan LCM$(a;b)$ atau K$(a;b).$
Untuk mencari LCM bagi dua nombor, anda perlu:
- Faktorkan nombor menjadi faktor perdana
- Tuliskan faktor yang merupakan sebahagian daripada nombor pertama dan tambahkan kepada mereka faktor yang merupakan sebahagian daripada kedua dan bukan sebahagian daripada yang pertama
Contoh 4
Cari LCM bagi nombor $99$ dan $77$.
Kami akan mencari mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini
Faktorkan nombor menjadi faktor perdana
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam yang pertama
tambahkan kepada mereka pengganda yang merupakan sebahagian daripada yang kedua dan bukan sebahagian daripada yang pertama
Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil ialah gandaan sepunya terkecil yang dikehendaki
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Menyusun senarai pembahagi nombor selalunya merupakan tugas yang sangat memerlukan tenaga kerja. Terdapat cara untuk mencari GCD yang dipanggil algoritma Euclidean.
Pernyataan yang berdasarkan algoritma Euclidean:
Jika $a$ dan $b$ ialah nombor asli, dan $a\vdots b$, maka $D(a;b)=b$
Jika $a$ dan $b$ ialah nombor asli seperti $b
Menggunakan $D(a;b)= D(a-b;b)$, kita boleh mengurangkan nombor yang dipertimbangkan secara berturut-turut sehingga kita mencapai sepasang nombor supaya satu daripadanya boleh dibahagikan dengan yang lain. Maka yang lebih kecil daripada nombor ini akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki untuk nombor $a$ dan $b$.
Sifat GCD dan LCM
- Sebarang gandaan sepunya bagi $a$ dan $b$ boleh dibahagi dengan K$(a;b)$
- Jika $a\vdots b$ , maka К$(a;b)=a$
Jika K$(a;b)=k$ dan $m$ ialah nombor asli, maka K$(am;bm)=km$
Jika $d$ ialah pembahagi sepunya untuk $a$ dan $b$, maka K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jika $a\vdots c$ dan $b\vdots c$ , maka $\frac(ab)(c)$ ialah gandaan sepunya bagi $a$ dan $b$
Untuk sebarang nombor asli $a$ dan $b$ kesamaan dipegang
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Mana-mana pembahagi sepunya bagi nombor $a$ dan $b$ ialah pembahagi nombor $D(a;b)$
Definisi. Nombor asli terbesar di mana nombor a dan b dibahagikan tanpa baki dipanggil pembahagi sepunya terbesar (GCD) nombor-nombor ini.
Mari kita cari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 24 dan 35.
Pembahagi 24 ialah nombor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembahagi 35 ialah nombor 1, 5, 7, 35.
Kami melihat bahawa nombor 24 dan 35 hanya mempunyai satu pembahagi biasa - nombor 1. Nombor sedemikian dipanggil saling perdana.
Definisi. Nombor asli dipanggil saling perdana, jika pembahagi sepunya terbesar (GCD) mereka ialah 1.
Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) boleh didapati tanpa menulis semua pembahagi nombor yang diberikan.
Mari kita faktorkan nombor 48 dan 36 dan dapatkan:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, kami memotong faktor yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor kedua (iaitu, dua dua).
Faktor yang tinggal ialah 2 * 2 * 3. Hasil darabnya bersamaan dengan 12. Nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 48 dan 36. Pembahagi sepunya terbesar bagi tiga nombor atau lebih juga ditemui.
Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar
2) daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor ini, potong yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor lain;
3) cari hasil darab faktor yang tinggal.
Jika semua nombor yang diberi boleh dibahagi dengan salah satu daripadanya, maka nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar nombor yang diberi.
Sebagai contoh, pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 15, 45, 75 dan 180 ialah nombor 15, kerana semua nombor lain boleh dibahagikan dengannya: 45, 75 dan 180.
Gandaan sepunya terkecil (LCM)
Definisi. Gandaan sepunya terkecil (LCM) nombor asli a dan b ialah nombor asli terkecil yang merupakan gandaan bagi kedua-dua a dan b. Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor 75 dan 60 boleh didapati tanpa menuliskan gandaan nombor ini berturut-turut. Untuk melakukan ini, mari faktorkan 75 dan 60 ke dalam faktor perdana: 75 = 3 * 5 * 5, dan 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang 2 dan 2 daripada pengembangan nombor kedua (iaitu, kita menggabungkan faktor-faktor).
Kami mendapat lima faktor 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hasil darabnya ialah 300. Nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60.
Mereka juga mencari gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor.
Kepada cari gandaan sepunya terkecil beberapa nombor asli, anda perlukan:
1) faktorkan mereka ke dalam faktor utama;
2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor;
3) menambah kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor yang tinggal;
4) cari hasil darab faktor yang terhasil.
Ambil perhatian bahawa jika salah satu daripada nombor ini boleh dibahagikan dengan semua nombor lain, maka nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.
Sebagai contoh, gandaan sepunya terkecil bagi nombor 12, 15, 20, dan 60 ialah 60 kerana ia boleh dibahagi dengan semua nombor tersebut.
Pythagoras (abad VI SM) dan pelajarnya mengkaji persoalan pembahagian nombor. nombor, sama dengan jumlah Mereka memanggil semua pembahaginya (tanpa nombor itu sendiri) sebagai nombor yang sempurna. Sebagai contoh, nombor 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) adalah sempurna. Nombor sempurna seterusnya ialah 496, 8128, 33,550,336 The Pythagoreans hanya tahu tiga nombor sempurna yang pertama. Yang keempat - 8128 - dikenali pada abad ke-1. n. e. Yang kelima - 33,550,336 - ditemui pada abad ke-15. Menjelang tahun 1983, 27 nombor sempurna sudah diketahui. Tetapi saintis masih tidak tahu sama ada terdapat ganjil nombor yang sempurna, adakah terdapat nombor sempurna yang terbesar?
Minat ahli matematik purba dalam nombor perdana berpunca daripada fakta bahawa sebarang nombor adalah sama ada perdana atau boleh diwakili sebagai hasil darab nombor perdana, iaitu nombor perdana adalah seperti batu bata yang daripadanya seluruh nombor asli dibina.
Anda mungkin perasan bahawa nombor perdana dalam siri nombor asli berlaku secara tidak sekata - di beberapa bahagian siri terdapat lebih banyak daripada mereka, di bahagian lain - kurang. Tetapi semakin jauh kita bergerak bersama siri nombor, nombor perdana yang kurang sepunya ialah. Timbul persoalan: adakah terdapat nombor perdana yang terakhir (terbesar)? Ahli matematik Yunani purba Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya "Elements", yang merupakan buku teks utama matematik selama dua ribu tahun, membuktikan bahawa terdapat banyak nombor perdana yang tidak terhingga, iaitu di belakang setiap nombor perdana terdapat bilangan perdana yang lebih besar. nombor.
Untuk mencari nombor perdana, seorang lagi ahli matematik Yunani pada masa yang sama, Eratosthenes, telah menghasilkan kaedah ini. Dia menulis semua nombor dari 1 hingga beberapa nombor, dan kemudian memotong satu, yang bukan perdana mahupun nombor komposit, kemudian dicoret melalui satu semua nombor yang datang selepas 2 (nombor yang merupakan gandaan 2, iaitu 4, 6, 8, dsb.). Nombor pertama yang tinggal selepas 2 ialah 3. Kemudian, selepas dua, semua nombor yang datang selepas 3 (nombor yang merupakan gandaan 3, iaitu 6, 9, 12, dsb.) telah dicoret. akhirnya hanya nombor perdana sahaja yang tidak bersilang.