Jawab: siri mencapah.

Contoh No. 3

Cari hasil tambah siri $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Memandangkan had bawah penjumlahan ialah 1, sebutan sepunya siri itu ditulis di bawah tanda jumlah: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Mari kita buat jumlah separa ke-n siri itu, i.e. Mari kita jumlahkan sebutan $n$ pertama bagi siri nombor tertentu:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Mengapa saya menulis dengan tepat $\frac(2)(3\cdot 5)$, dan bukan $\frac(2)(15)$, akan jelas daripada penceritaan selanjutnya. Walau bagaimanapun, mencatatkan sebahagian daripada jumlah tidak membawa kami satu iota lebih dekat kepada matlamat kami. Kita perlu mencari $\lim_(n\to\infty)S_n$, tetapi jika kita hanya menulis:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\kanan), $$

maka rekod ini, betul-betul dalam bentuk, tidak akan memberi kita apa-apa pada dasarnya. Untuk mencari had, ungkapan untuk jumlah separa mesti terlebih dahulu dipermudahkan.

Terdapat penjelmaan piawai untuk ini, yang terdiri daripada penguraian pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, yang mewakili sebutan umum siri itu, kepada pecahan asas. Topik yang berasingan ditumpukan kepada isu penguraian pecahan rasional kepada pecahan asas (lihat, sebagai contoh, contoh No. 3 di halaman ini). Mengembangkan pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ menjadi pecahan asas, kita akan mempunyai:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Kami menyamakan pengangka bagi pecahan di sebelah kiri dan kanan kesamaan yang terhasil:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Terdapat dua cara untuk mencari nilai $A$ dan $B$. Anda boleh membuka kurungan dan menyusun semula terma, atau anda boleh menggantikan beberapa nilai yang sesuai dan bukannya $n$. Hanya untuk kepelbagaian, dalam contoh ini kita akan pergi ke cara pertama, dan dalam yang seterusnya kita akan menggantikan nilai peribadi $n$. Membuka kurungan dan menyusun semula istilah, kami mendapat:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Di sebelah kiri kesamaan, $n$ didahului oleh sifar. Jika anda suka, untuk kejelasan, bahagian kiri kesamaan boleh diwakili sebagai $0\cdot n+ 2$. Oleh kerana di sebelah kiri kesamaan $n$ didahului dengan sifar, dan di sebelah kanan kesamaan $n$ didahului oleh $2A+2B$, kita mempunyai persamaan pertama: $2A+2B=0$. Mari segera bahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 2, selepas itu kita dapat $A+B=0$.

Oleh kerana di sebelah kiri kesamaan istilah bebas adalah sama dengan 2, dan di sebelah kanan kesamaan istilah bebas adalah sama dengan $3A+B$, kemudian $3A+B=2$. Jadi, kami mempunyai sistem:

$$ \kiri\(\mulakan(diselaraskan) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \akhir(diselaraskan)\kanan. $$

Kami akan melaksanakan pembuktian menggunakan kaedah aruhan matematik. Pada langkah pertama, anda perlu menyemak sama ada kesamaan yang dibuktikan adalah benar $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ untuk $n=1$. Kita tahu bahawa $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, tetapi adakah ungkapan $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ akan memberikan nilai $\frac( 2 )(15)$, jika kita menggantikan $n=1$ ke dalamnya? Mari semak:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Jadi, untuk $n=1$ kesamaan $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dipenuhi. Ini melengkapkan langkah pertama kaedah aruhan matematik.

Mari kita anggap bahawa untuk $n=k$ kesaksamaan dipenuhi, i.e. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Mari kita buktikan bahawa kesamaan yang sama akan dipenuhi untuk $n=k+1$. Untuk melakukan ini, pertimbangkan $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Oleh kerana $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, maka $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Mengikut andaian yang dibuat di atas $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, oleh itu formula $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ akan mengambil borang:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Kesimpulan: formula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ betul untuk $n=k+1$. Oleh itu, mengikut kaedah aruhan matematik, formula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ adalah benar untuk sebarang $n\in N$. Kesaksamaan telah terbukti.

Dalam kursus standard matematik yang lebih tinggi, mereka biasanya berpuas hati dengan "memangkas" membatalkan istilah, tanpa memerlukan sebarang bukti. Jadi, kami mendapat ungkapan untuk jumlah separa ke-n: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Mari cari nilai $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Kesimpulan: siri yang diberikan menumpu dan hasil tambahnya ialah $S=\frac(1)(3)$.

Cara kedua untuk memudahkan formula bagi jumlah separa.

Sejujurnya, saya lebih suka kaedah ini sendiri :) Mari tuliskan jumlah separa dalam versi yang disingkatkan:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Kami memperoleh lebih awal bahawa $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, oleh itu:

$$ S_n=\jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\jumlah\had_(k=1)^(n)\kiri (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan). $$

Jumlah $S_n$ mengandungi bilangan terhingga istilah, jadi kami boleh menyusun semulanya mengikut kehendak kami. Saya ingin terlebih dahulu menambah semua istilah dalam bentuk $\frac(1)(2k+1)$, dan kemudian beralih kepada terma borang $\frac(1)(2k+3)$. Ini bermakna kami akan membentangkan amaun separa seperti berikut:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\kiri(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\kanan). $$

Sudah tentu, notasi yang diperluaskan sangat menyusahkan, jadi kesamaan di atas boleh ditulis dengan lebih padat:

$$ S_n=\jumlah\had_(k=1)^(n)\kiri(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Sekarang mari kita ubah ungkapan $\frac(1)(2k+1)$ dan $\frac(1)(2k+3)$ ke dalam satu bentuk. Saya fikir ia adalah mudah untuk mengurangkannya kepada bentuk pecahan yang lebih besar (walaupun mungkin untuk menggunakan yang lebih kecil, ini adalah soal rasa). Oleh kerana $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (semakin besar penyebut, semakin kecil pecahan), kami akan memberikan pecahan $\frac(1)(2k+ 3) $ kepada bentuk $\frac(1)(2k+1)$.

Saya akan membentangkan ungkapan dalam penyebut pecahan $\frac(1)(2k+3)$ seperti berikut:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Dan jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ kini boleh ditulis seperti berikut:

$$ \jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\jumlah\had_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jika kesamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ tidak menimbulkan sebarang soalan, maka mari kita teruskan. Jika anda mempunyai sebarang soalan, sila kembangkan nota.

Bagaimanakah kami mendapat amaun yang ditukar? tunjukkan\sembunyi

Kami mempunyai siri $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Mari perkenalkan pembolehubah baharu dan bukannya $k+1$ - contohnya, $t$. Jadi $t=k+1$.

Bagaimanakah pembolehubah lama $k$ berubah? Dan ia berubah daripada 1 kepada $n$. Mari kita ketahui bagaimana pembolehubah baharu $t$ akan berubah. Jika $k=1$, maka $t=1+1=2$. Jika $k=n$, maka $t=n+1$. Jadi, ungkapan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ kini menjadi: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Kami mempunyai jumlah $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Soalan: adakah penting huruf mana yang digunakan dalam jumlah ini? :) Hanya menulis huruf $k$ dan bukannya $t$, kita mendapat perkara berikut:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Inilah cara kita mendapatkan kesamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Oleh itu, jumlah separa boleh diwakili seperti berikut:

$$ S_n=\jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Ambil perhatian bahawa jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ dan $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ berbeza hanya dalam had penjumlahan. Mari kita jadikan had ini sama. "Mengambil" elemen pertama daripada jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ kita akan mempunyai:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Mengambil" elemen terakhir daripada jumlah $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, kita dapat:

$$\jumlah\had_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Kemudian ungkapan untuk jumlah separa akan mengambil bentuk:

$$ S_n=\jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jika anda melangkau semua penjelasan, maka proses mencari formula yang dipendekkan untuk jumlah separa ke-n akan mengambil bentuk berikut:

$$ S_n=\jumlah\had_(k=1)^(n)u_k =\jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \jumlah\had_(k=1)^(n)\kiri(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan)=\\ =\jumlah\had_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\jumlah\had_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\kanan)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Biar saya ingatkan anda bahawa kami telah mengurangkan pecahan $\frac(1)(2k+3)$ kepada bentuk $\frac(1)(2k+1)$. Sudah tentu, anda boleh melakukan sebaliknya, i.e. mewakili pecahan $\frac(1)(2k+1)$ sebagai $\frac(1)(2k+3)$. Ungkapan akhir untuk jumlah separa tidak akan berubah. Dalam kes ini, saya akan menyembunyikan proses mencari amaun separa di bawah nota.

Bagaimana untuk mencari $S_n$ jika ditukar kepada pecahan lain? tunjukkan\sembunyi

$$ S_n =\jumlah\had_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\jumlah\had_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\kanan) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Jadi, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Cari had $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Siri yang diberikan menumpu dan jumlahnya $S=\frac(1)(3)$.

Jawab: $S=\frac(1)(3)$.

Kesinambungan topik mencari jumlah siri akan dibincangkan dalam bahagian kedua dan ketiga.

Definisi asas

Definisi. Jumlah sebutan bagi urutan nombor tak terhingga dipanggil siri nombor.

Dalam kes ini, kami akan memanggil nombor ahli siri, dan un - istilah biasa siri itu.

Definisi. Jumlah, n = 1, 2, ... dipanggil jumlah persendirian (separa) siri.

Oleh itu, adalah mungkin untuk mempertimbangkan urutan jumlah separa siri S1, S2, …, Sn, …

Definisi. Suatu siri dipanggil konvergen jika urutan jumlah separanya menumpu. Jumlah siri penumpu ialah had jujukan jumlah separanya.

Definisi. Jika urutan jumlah separa siri mencapah, i.e. tidak mempunyai had, atau mempunyai had tak terhingga, maka siri itu dipanggil mencapah dan tiada jumlah ditetapkan kepadanya.

Sifat Baris

1) Penumpuan atau pencapahan siri tidak akan dilanggar jika anda menukar, membuang atau menambah bilangan sebutan terhingga bagi siri itu.

2) Pertimbangkan dua siri dan, dengan C ialah nombor tetap.

Teorem. Jika satu siri menumpu dan hasil tambahnya sama dengan S, maka siri itu juga menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan CS. (C 0)

3) Pertimbangkan dua baris dan. Jumlah atau beza siri ini akan dipanggil siri di mana unsur-unsur diperoleh hasil daripada penambahan (penolakan) unsur-unsur asal dengan nombor yang sama.

Teorem. Jika siri dan menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan S dan, masing-masing, maka siri itu juga menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan S +.

Perbezaan dua siri penumpu juga akan menjadi siri penumpu.

Hasil tambah siri penumpu dan siri mencapah ialah siri mencapah.

Adalah mustahil untuk membuat pernyataan umum tentang jumlah dua siri mencapah.

Apabila mengkaji siri, mereka terutamanya menyelesaikan dua masalah: mengkaji penumpuan dan mencari jumlah siri.

Kriteria Cauchy.

(syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk penumpuan siri)

Agar jujukan boleh menumpu, adalah perlu dan mencukupi bahawa bagi mana-mana terdapat nombor N supaya untuk n > N dan sebarang p > 0, di mana p ialah integer, ketaksamaan akan berlaku:

Bukti. (keperluan)

Biarkan untuk sebarang nombor terdapat nombor N supaya ketaksamaan itu

dipenuhi apabila n>N. Untuk n>N dan sebarang integer p>0 ketaksamaan juga berlaku. Dengan mengambil kira kedua-dua ketidaksamaan, kami memperoleh:

Keperluan telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.

Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk siri ini.

Untuk satu siri menjadi konvergen, adalah perlu dan mencukupi bahawa bagi mana-mana terdapat nombor N supaya untuk n>N dan mana-mana p>0 ketaksamaan akan berlaku.

Walau bagaimanapun, dalam amalan, menggunakan kriteria Cauchy secara langsung tidak begitu mudah. Oleh itu, sebagai peraturan, ujian penumpuan yang lebih mudah digunakan:

1) Jika siri itu menumpu, maka adalah perlu bahawa istilah sepunya un cenderung kepada sifar. Walau bagaimanapun, syarat ini tidak mencukupi. Kita hanya boleh mengatakan bahawa jika istilah biasa tidak cenderung kepada sifar, maka siri itu pasti menyimpang. Sebagai contoh, siri harmonik yang dipanggil adalah berbeza, walaupun istilah biasanya cenderung kepada sifar.

Siri nombor ialah jujukan yang dianggap bersama dengan jujukan lain (ia juga dipanggil jujukan jumlah separa). Konsep yang sama digunakan dalam analisis matematik dan kompleks.

Jumlah siri nombor boleh dikira dengan mudah dalam Excel menggunakan fungsi SERIES.SUM. Mari lihat contoh cara fungsi ini berfungsi, dan kemudian bina graf fungsi. Mari belajar cara menggunakan siri nombor dalam amalan semasa mengira pertumbuhan modal. Tetapi pertama, sedikit teori.

Jumlah siri nombor

Siri nombor boleh dianggap sebagai sistem penghampiran kepada nombor. Untuk menetapkannya, gunakan formula:

Berikut ialah urutan awal nombor dalam siri dan peraturan penjumlahan:

• ∑ - tanda matematik jumlah;
• a i - hujah umum;
• i ialah pembolehubah, peraturan untuk menukar setiap hujah berikutnya;
• ∞ ialah tanda infiniti, "had" sehingga penjumlahan dijalankan.

Notasi bermaksud: nombor asli dari 1 hingga "tambah infiniti" dijumlahkan. Oleh kerana i = 1, pengiraan jumlah bermula dari satu. Jika terdapat nombor lain di sini (contohnya, 2, 3), maka kita akan mula menjumlahkan daripadanya (dari 2, 3).

Selaras dengan pembolehubah i, siri boleh ditulis dikembangkan:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (sehingga "tambah infiniti").

Takrifan jumlah siri nombor diberikan melalui “jumlah separa”. Dalam matematik mereka dilambangkan Sn. Mari kita tulis siri nombor kita dalam bentuk jumlah separa:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Hasil tambah siri nombor ialah had jumlah separa S n . Jika had adalah terhad, kita bercakap tentang siri "tumpu". Infinite - tentang "berbeza".

Pertama, mari kita cari jumlah siri nombor:

Sekarang mari kita bina jadual nilai ahli siri dalam Excel:

Kami mengambil hujah pertama umum daripada formula: i=3.

Kami dapati semua nilai i berikut menggunakan formula: =B4+$B$1. Letakkan kursor di sudut kanan bawah sel B5 dan darabkan formula.

Mari cari nilai. Jadikan sel C4 aktif dan masukkan formula: =SUM(2*B4+1). Salin sel C4 ke julat yang ditentukan.

Nilai jumlah argumen diperoleh menggunakan fungsi: =SUM(C4:C11). Gabungan hotkey ALT+“+” (tambah pada papan kekunci).



Fungsi ROW.SUM dalam Excel

Untuk mencari jumlah siri nombor dalam Excel, gunakan fungsi matematik SERIES.SUM. Program ini menggunakan formula berikut:

Argumen fungsi:

• x – nilai berubah;
• n – ijazah untuk hujah pertama;
• m ialah langkah di mana darjah ditingkatkan untuk setiap penggal berikutnya;
• a ialah pekali bagi kuasa x yang sepadan.

Syarat penting untuk fungsi berfungsi:

• semua hujah diperlukan (iaitu, semua mesti diisi);
• semua argumen adalah nilai NUMERIC;
• vektor pekali mempunyai panjang tetap (had "infiniti" tidak akan berfungsi);
• bilangan “pekali” = bilangan hujah.

Mengira jumlah siri dalam Excel

Fungsi SERIES.SUM yang sama berfungsi dengan siri kuasa (salah satu varian siri berfungsi). Tidak seperti angka, hujah mereka adalah fungsi.

Siri fungsional sering digunakan dalam bidang kewangan dan ekonomi. Anda boleh katakan ini adalah kawasan permohonan mereka.

Contohnya, mereka mendepositkan sejumlah wang (a) ke dalam bank untuk tempoh tertentu (n). Kami mempunyai bayaran tahunan sebanyak x peratus. Untuk mengira jumlah terakru pada akhir tempoh pertama, formula digunakan:

S 1 = a (1 + x).

Pada akhir tempoh kedua dan seterusnya, bentuk ungkapan adalah seperti berikut:

S 2 = a (1 + x) 2 ;

S 3 = a (1 + x) 2, dsb.

Untuk mencari jumlah:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Jumlah separa dalam Excel boleh didapati menggunakan fungsi BS().

Parameter awal untuk tugas latihan:

Menggunakan fungsi matematik piawai, kita dapati jumlah terkumpul pada akhir penggal. Untuk melakukan ini, dalam sel D2 kita menggunakan formula: =B2*DEGREE(1+B3;4)

Sekarang dalam sel D3 kita akan menyelesaikan masalah yang sama menggunakan fungsi Excel terbina dalam: =BS(B3;B1;;-B2)

Hasilnya adalah sama, seperti yang sepatutnya.

1. “Kadar” ialah kadar faedah di mana deposit dibuat. Oleh kerana format peratusan ditetapkan dalam sel B3, kami hanya menentukan pautan ke sel ini dalam medan hujah. Jika suatu nombor dinyatakan, maka ia akan ditulis sebagai seratus daripadanya (20/100).
2. “Nper” ialah bilangan tempoh untuk pembayaran faedah. Dalam contoh kami - 4 tahun.
3. "Plt" - pembayaran berkala. Dalam kes kami tidak ada. Oleh itu, kami tidak mengisi ruangan hujah.
4. “Ps” - “nilai semasa”, jumlah deposit. Oleh kerana kami berpisah dengan wang ini untuk seketika, kami menunjukkan parameter dengan tanda "-".

Oleh itu, fungsi BS membantu kami mencari jumlah siri fungsian.

Excel mempunyai fungsi terbina dalam lain untuk mencari parameter yang berbeza. Biasanya ini adalah fungsi untuk bekerja dengan projek pelaburan, sekuriti dan pembayaran susut nilai.

Memplot fungsi hasil tambah siri nombor

Mari bina graf fungsi yang mencerminkan pertumbuhan modal. Untuk melakukan ini, kita perlu membina graf bagi fungsi yang merupakan hasil tambah siri yang dibina. Sebagai contoh, mari kita ambil data yang sama pada deposit:

Baris pertama menunjukkan jumlah terkumpul selepas satu tahun. Dalam kedua - dalam dua. Dan seterusnya.

Mari buat satu lagi lajur di mana kita akan mencerminkan keuntungan:

Seperti yang kita fikirkan - dalam bar formula.

Berdasarkan data yang diperoleh, kita akan membina graf fungsi.

Mari pilih 2 julat: A5:A9 dan C5:C9. Pergi ke tab "Sisipkan" - alat "Rajah". Pilih carta pertama:

Mari jadikan masalah itu lebih "digunakan". Dalam contoh kami menggunakan faedah kompaun. Ia terakru pada amaun terakru dalam tempoh sebelumnya.

Mari ambil minat mudah untuk perbandingan. Formula minat mudah dalam Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Mari tambahkan nilai yang diperoleh pada carta "Pertumbuhan Modal".

Jelas sekali kesimpulan yang akan dibuat oleh pelabur.

Formula matematik untuk jumlah separa siri berfungsi (dengan faedah mudah): S n = a (1 + x*n), dengan a ialah jumlah deposit awal, x ialah faedah, n ialah tempoh.

Untuk mengira hasil tambah suatu siri, anda hanya perlu menambah elemen baris beberapa kali. Contohnya:

Dalam contoh di atas, ini dilakukan dengan sangat mudah, kerana ia perlu dijumlahkan beberapa kali terhingga. Tetapi bagaimana jika had atas penjumlahan ialah infiniti? Sebagai contoh, jika kita perlu mencari jumlah siri berikut:

Dengan analogi dengan contoh sebelumnya, kita boleh menulis jumlah ini seperti ini:

Tetapi apa yang perlu dilakukan seterusnya?! Pada peringkat ini adalah perlu untuk memperkenalkan konsep hasil tambah separa siri. Jadi, hasil tambah separa siri(ditandakan S n) ialah hasil tambah n sebutan pertama siri itu. Itu. dalam kes kami:

Kemudian jumlah siri asal boleh dikira sebagai had jumlah separa:

Justeru, untuk mengira jumlah siri, entah bagaimana perlu mencari ungkapan bagi jumlah separa siri (S n ). Dalam kes tertentu kami, siri ini ialah janjang geometri yang menurun dengan penyebut 1/3. Seperti yang anda ketahui, jumlah n unsur pertama janjang geometri dikira dengan formula:

di sini b 1 ialah elemen pertama janjang geometri (dalam kes kami ialah 1) dan q ialah penyebut janjang itu (dalam kes kami 1/3). Oleh itu, jumlah separa S n untuk siri kami adalah sama dengan:

Maka jumlah siri kami (S) mengikut definisi yang diberikan di atas adalah sama dengan:

Contoh yang dibincangkan di atas agak mudah. Biasanya, mengira jumlah siri adalah lebih sukar dan kesukaran yang paling besar terletak pada mencari jumlah separa siri itu. Kalkulator dalam talian yang dibentangkan di bawah, dibuat berdasarkan sistem Wolfram Alpha, membolehkan anda mengira jumlah siri yang agak kompleks. Selain itu, jika kalkulator tidak dapat mencari jumlah siri, kemungkinan siri itu berbeza (dalam hal ini kalkulator memaparkan mesej seperti "jumlah mencapah"), i.e. Kalkulator ini juga secara tidak langsung membantu mendapatkan gambaran tentang penumpuan siri.

Untuk mencari jumlah siri anda, anda perlu menentukan pembolehubah siri, had bawah dan atas penjumlahan, serta ungkapan untuk sebutan ke-n siri (iaitu, ungkapan sebenar untuk siri itu sendiri) .

Definisi asas.

Definisi. Jumlah sebutan bagi urutan nombor tak terhingga dipanggil siri nombor.

Pada masa yang sama, nombor
kami akan memanggil mereka ahli siri, dan u n– ahli biasa siri ini.

Definisi. Jumlah
,n = 1, 2, … dipanggil jumlah persendirian (sebahagian). barisan.

Oleh itu, adalah mungkin untuk mempertimbangkan urutan jumlah separa siri itu S 1 , S 2 , …, S n , …

Definisi. baris
dipanggil konvergen, jika jujukan jumlah separanya menumpu. Jumlah siri penumpu ialah had bagi jujukan jumlah separanya.

Definisi. Jika urutan jumlah separa siri mencapah, i.e. tidak mempunyai had, atau mempunyai had tak terhingga, maka siri itu dipanggil mencapah dan tiada amaun diperuntukkan kepadanya.

Sifat baris.

1) Penumpuan atau pencapahan siri tidak akan dilanggar jika anda menukar, membuang atau menambah bilangan sebutan terhingga bagi siri itu.

2) Pertimbangkan dua baris
Dan
, dengan C ialah nombor tetap.

Teorem. Jika baris
menumpu dan hasil tambahnya adalah samaS, kemudian siri
juga menumpu, dan hasil tambahnya adalah sama dengan CS. (C  0)

3) Pertimbangkan dua baris
Dan
.Jumlah atau perbezaan siri ini akan dipanggil siri
, di mana unsur diperoleh dengan menambah (menolak) unsur asal dengan nombor yang sama.

Teorem. Jika baris
Dan
bertumpu dan jumlahnya adalah samaSDan , kemudian siri
juga menumpu dan hasil tambahnya adalah samaS +  .

Perbezaan dua siri penumpu juga akan menjadi siri penumpu.

Hasil tambah siri penumpu dan siri mencapah ialah siri mencapah.

Adalah mustahil untuk membuat pernyataan umum tentang jumlah dua siri mencapah.

Apabila mengkaji siri, mereka menyelesaikan dua masalah: mengkaji penumpuan dan mencari jumlah siri.

Kriteria Cauchy.

(syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk penumpuan siri)

Untuk urutan
adalah konvergen, adalah perlu dan mencukupi untuk mana-mana
terdapat nombor sedemikianN, bahawa padan > Ndan mana-manahlm> 0, di mana p ialah integer, ketaksamaan berikut akan berlaku:

.

Bukti. (keperluan)

biarlah
, kemudian untuk sebarang nombor
terdapat nombor N sedemikian sehingga ketaksamaan

dipenuhi apabila n>N. Untuk n>N dan sebarang integer p>0 ketaksamaan juga berlaku
. Dengan mengambil kira kedua-dua ketidaksamaan, kami memperoleh:

Keperluan telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.

Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk siri ini.

Untuk siri
adalah konvergen, adalah perlu dan mencukupi untuk mana-mana
ada nomborNsedemikian rupa sehingga din> Ndan mana-manahlm>0 ketidaksamaan akan berlaku

.

Walau bagaimanapun, dalam amalan, menggunakan kriteria Cauchy secara langsung tidak begitu mudah. Oleh itu, sebagai peraturan, ujian penumpuan yang lebih mudah digunakan:

1) Jika baris
bertumpu, maka adalah perlu bahawa istilah biasa u n cenderung kepada sifar. Walau bagaimanapun, syarat ini tidak mencukupi. Kita hanya boleh mengatakan bahawa jika istilah biasa tidak cenderung kepada sifar, maka siri itu pasti menyimpang. Sebagai contoh, siri harmonik yang dipanggil adalah berbeza, walaupun istilah lazimnya cenderung kepada sifar.

Contoh. Siasat penumpuan siri itu

Kami akan mencari
- kriteria yang diperlukan untuk penumpuan tidak dipenuhi, yang bermaksud siri menyimpang.

2) Jika siri menumpu, maka jujukan jumlah separanya adalah terhad.

Walau bagaimanapun, tanda ini juga tidak mencukupi.

Contohnya, siri 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… menyimpang, kerana urutan jumlah separanya menyimpang disebabkan oleh fakta bahawa

Walau bagaimanapun, urutan jumlah separa adalah terhad, kerana
pada mana-mana n.

Siri dengan istilah bukan negatif.

Apabila mengkaji siri tanda malar, kami akan mengehadkan diri kami untuk mempertimbangkan siri dengan istilah bukan negatif, kerana dengan hanya mendarab dengan –1, siri ini boleh diperolehi dengan sebutan negatif.

Teorem. Untuk penumpuan siri
dengan istilah bukan negatif, adalah perlu dan mencukupi untuk jumlah separa siri itu disempadani.

Tanda untuk membandingkan siri dengan istilah bukan negatif.

Biarkan dua baris diberikan
Dan
di u n , v n  0 .

Teorem. Jika u n  v n pada mana-mana n, kemudian daripada penumpuan siri
siri itu menumpu
, dan daripada perbezaan siri
siri itu menyimpang
.

Bukti. Mari kita nyatakan dengan S n Dan  n jumlah separa siri
Dan
. Kerana mengikut syarat teorem, siri
bertumpu, maka jumlah separanya dihadkan, i.e. di hadapan semua orang n n  M, dengan M ialah nombor tertentu. Tetapi kerana u n  v n, Itu S n   n kemudian hasil tambah separa siri itu
juga terhad, dan ini mencukupi untuk penumpuan.

Contoh. Periksa siri untuk penumpuan

Kerana
, dan siri harmonik menyimpang, maka sirinya menyimpang
.

Contoh.

Kerana
, dan siri
menumpu (seperti janjang geometri yang menurun), kemudian siri itu
juga bertumpu.

Tanda penumpuan berikut juga digunakan:

Teorem. Jika
dan ada hadnya
, Di manah– nombor selain sifar, kemudian siri
Dan
berkelakuan sama dari segi penumpuan.

Tanda D'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - ahli matematik Perancis)

Jika untuk satu siri
dengan istilah positif terdapat nombor sedemikianq<1, что для всех достаточно больших nketidaksamaan berlaku

kemudian satu siri
menumpu, jika untuk semua terdapat cukup besarnsyarat dipenuhi

kemudian satu siri
menyimpang.

Tanda menghadkan D'Alembert.

Kriteria had D'Alembert adalah akibat daripada kriteria D'Alembert di atas.

Jika ada had
, kemudian bila < 1 ряд сходится, а при  > 1 – menyimpang. Jika = 1, maka persoalan penumpuan tidak dapat dijawab.

Contoh. Tentukan penumpuan siri itu .

Kesimpulan: siri itu menumpu.

Contoh. Tentukan penumpuan siri itu

Kesimpulan: siri itu menumpu.

Tanda Cauchy. (tanda radikal)

Jika untuk satu siri
dengan istilah bukan negatif terdapat nombor sedemikianq<1, что для всех достаточно больших nketidaksamaan berlaku

,

kemudian satu siri
menumpu, jika untuk semua terdapat cukup besarnketidaksamaan berlaku

kemudian satu siri
menyimpang.

Akibat. Jika ada had
, kemudian bila<1 ряд сходится, а при >Baris 1 menyimpang.

Contoh. Tentukan penumpuan siri itu
.

Kesimpulan: siri itu menumpu.

Contoh. Tentukan penumpuan siri itu
.

Itu. Ujian Cauchy tidak menjawab soalan penumpuan siri. Mari kita periksa sama ada syarat penumpuan yang diperlukan dipenuhi. Seperti yang dinyatakan di atas, jika satu siri menumpu, maka istilah sepunya siri itu cenderung kepada sifar.

,

Oleh itu, syarat yang diperlukan untuk penumpuan tidak dipenuhi, yang bermaksud siri menyimpang.

Ujian Cauchy Integral.

Jika (x) ialah fungsi positif berterusan menurun sepanjang selang Dan
kemudian kamiran
Dan
berkelakuan sama dari segi penumpuan.

Siri bergantian.

Barisan bergantian.

Siri berselang-seli boleh ditulis sebagai:

di mana

tanda Leibniz.

Jika tanda baris berselang seli nilai mutlaku i semakin berkurangan
dan istilah biasa cenderung kepada sifar
, maka siri itu menumpu.

Penumpuan mutlak dan bersyarat bagi siri.

Mari kita pertimbangkan beberapa siri berselang-seli (dengan istilah tanda sewenang-wenangnya).

(1)

dan satu siri yang terdiri daripada nilai mutlak ahli siri (1):

(2)

Teorem. Daripada penumpuan siri (2) mengikuti penumpuan siri (1).

Bukti. Siri (2) ialah siri dengan istilah bukan negatif. Jika siri (2) menumpu, maka mengikut kriteria Cauchy untuk sebarang >0 terdapat nombor N supaya untuk n>N dan sebarang integer p>0 ketaksamaan berikut adalah benar:

Mengikut sifat nilai mutlak:

Iaitu, mengikut kriteria Cauchy, daripada penumpuan siri (2) penumpuan siri (1) berikut.

Definisi. baris
dipanggil konvergen secara mutlak, jika siri itu menumpu
.

Adalah jelas bahawa untuk siri tanda malar konsep penumpuan dan penumpuan mutlak bertepatan.

Definisi. baris
dipanggil konvergen bersyarat, jika ia menumpu dan siri
menyimpang.

Ujian D'Alembert dan Cauchy untuk siri berselang-seli.

biarlah
- siri berselang-seli.

Tanda D'Alembert. Jika ada had
, kemudian bila<1 ряд
akan benar-benar menumpu, dan apabila>

Tanda Cauchy. Jika ada had
, kemudian bila<1 ряд
akan bertumpu secara mutlak, dan jika >1 siri itu akan bercapah. Apabila =1, tanda tidak memberikan jawapan tentang penumpuan siri itu.

Sifat siri penumpuan mutlak.

1) Teorem. Untuk penumpuan mutlak siri
adalah perlu dan mencukupi bahawa ia boleh diwakili sebagai perbezaan dua siri penumpu dengan sebutan bukan negatif.

Akibat. Siri penumpuan bersyarat ialah perbezaan dua siri mencapah dengan sebutan bukan negatif cenderung kepada sifar.

2) Dalam siri penumpuan, mana-mana kumpulan terma siri yang tidak mengubah susunannya mengekalkan penumpuan dan magnitud siri itu.

3) Jika suatu siri menumpu secara mutlak, maka siri yang diperoleh daripadanya melalui sebarang pilihatur sebutan juga menumpu secara mutlak dan mempunyai jumlah yang sama.

Dengan menyusun semula terma bagi siri penumpuan bersyarat, seseorang boleh mendapatkan siri penumpuan bersyarat yang mempunyai sebarang jumlah yang telah ditetapkan, dan juga siri mencapah.

4) Teorem. Untuk mana-mana pengelompokan ahli siri penumpuan mutlak (dalam kes ini, bilangan kumpulan boleh sama ada terhingga atau tak terhingga, dan bilangan ahli dalam kumpulan boleh sama ada terhingga atau tak terhingga), siri penumpuan diperolehi, jumlah yang sama dengan jumlah siri asal.

5) Jika baris Dan bertumpu secara mutlak dan jumlahnya adalah sama S dan , kemudian satu siri yang terdiri daripada semua hasil darab bentuk
diambil dalam sebarang susunan, juga menumpu secara mutlak dan jumlahnya adalah sama dengan S - hasil tambah siri darab.

Jika anda mendarab siri penumpuan bersyarat, anda boleh mendapatkan siri mencapah sebagai hasilnya.

Urutan berfungsi.

Definisi. Jika ahli siri bukan nombor, tetapi fungsi X, maka siri itu dipanggil berfungsi.

Kajian penumpuan siri fungsian adalah lebih rumit daripada kajian siri berangka. Siri berfungsi yang sama boleh, dengan nilai pembolehubah yang sama X menumpu, dan dengan yang lain - mencapah. Oleh itu, persoalan penumpuan siri fungsian adalah untuk menentukan nilai pembolehubah tersebut X, di mana siri itu menumpu.

Set nilai tersebut dipanggil kawasan penumpuan.

Memandangkan had bagi setiap fungsi yang termasuk dalam rantau penumpuan siri ialah nombor tertentu, had jujukan fungsian akan menjadi fungsi tertentu:

Definisi. Susulan ( f n (x) } menumpu untuk berfungsi f(x) pada segmen jika untuk sebarang nombor >0 dan sebarang titik X daripada segmen yang dipertimbangkan terdapat nombor N = N(, x), supaya ketaksamaan

dipenuhi apabila n>N.

Dengan nilai yang dipilih >0, setiap titik segmen mempunyai nombornya sendiri dan, oleh itu, akan terdapat bilangan nombor tak terhingga yang sepadan dengan semua titik segmen. Jika anda memilih yang terbesar daripada semua nombor ini, maka nombor ini akan sesuai untuk semua titik segmen, i.e. akan menjadi perkara biasa kepada semua mata.

Definisi. Susulan ( f n (x) } menumpu secara seragam untuk berfungsi f(x) pada segmen , jika bagi sebarang nombor >0 terdapat nombor N = N() supaya ketaksamaan

dipenuhi untuk n>N untuk semua titik segmen.

Contoh. Pertimbangkan urutannya

Urutan ini menumpu pada keseluruhan garis nombor kepada fungsi f(x)=0 , kerana

Mari bina graf bagi urutan ini:

sinx

Seperti yang dapat dilihat, dengan peningkatan jumlah n graf jujukan menghampiri paksi X.

Siri berfungsi.

Definisi. Jumlah persendirian (sebahagian). julat berfungsi
fungsi dipanggil

Definisi. Julat fungsi
dipanggil konvergen pada titik ( x=x 0 ), jika jujukan jumlah separanya menumpu pada titik ini. Had urutan
dipanggil jumlah barisan
pada titik X 0 .

Definisi. Set semua nilai X, yang mana siri itu menumpu
dipanggil kawasan penumpuan barisan.

Definisi. baris
dipanggil bertumpu seragam pada selang jika jujukan hasil tambah separa siri ini menumpu secara seragam pada selang ini.

Teorem. (Kriteria Cauchy untuk penumpuan seragam siri)

Untuk penumpuan seragam siri
adalah perlu dan memadai untuk sebarang nombor >0 nombor sedemikian wujudN( ), yang padan> Ndan mana-mana keseluruhanhlm>0 ketaksamaan

akan bertahan untuk semua x pada selang [a, b].

Teorem. (Ujian Weierstrass untuk penumpuan seragam)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – ahli matematik Jerman)

baris
menumpu secara seragam dan mutlak pada selang [a, b], jika moduli sebutannya pada segmen yang sama tidak melebihi sebutan sepadan siri nombor penumpuan dengan sebutan positif:

mereka. terdapat ketidaksamaan:

.

Mereka juga mengatakan bahawa dalam kes ini siri berfungsi
adalah major siri nombor
.

Contoh. Periksa siri untuk penumpuan
.

Kerana
sentiasa, ia adalah jelas bahawa
.

Selain itu, diketahui bahawa siri harmonik am apabila=3>1 menumpu, maka, mengikut ujian Weierstrass, siri yang dikaji menumpu secara seragam dan, lebih-lebih lagi, dalam sebarang selang.

Contoh. Periksa siri untuk penumpuan .

Pada selang [-1,1] ketaksamaan berlaku
mereka. mengikut kriteria Weierstrass, siri yang dikaji menumpu pada segmen ini, tetapi menyimpang pada selang (-, -1)  (1, ).

Sifat siri penumpuan seragam.

1) Teorem tentang kesinambungan hasil tambah suatu siri.

Jika ahli siri
- berterusan pada segmen [a, b] dan siri itu menumpu secara seragam, kemudian hasil tambahnyaS(x) ialah fungsi berterusan pada selang [a, b].

2) Teorem mengenai pengamiran sebutan demi sebutan bagi suatu siri.

Bertumpu seragam pada segmen [a, b] siri dengan sebutan selanjar boleh disepadukan sebutan demi sebutan pada selang ini, i.e. satu siri yang terdiri daripada kamiran sebutannya di atas segmen [a, b] , menumpu kepada kamiran hasil tambah siri ke atas segmen ini.

3) Teorem mengenai pembezaan sebutan demi sebutan bagi suatu siri.

Jika ahli siri
menumpu pada segmen [a, b] mewakili fungsi berterusan yang mempunyai terbitan berterusan, dan satu siri yang terdiri daripada terbitan ini
menumpu secara seragam pada segmen ini, maka siri ini menumpu secara seragam dan boleh dibezakan sebutan demi sebutan.

Berdasarkan fakta bahawa jumlah siri adalah beberapa fungsi pembolehubah X, anda boleh melaksanakan operasi mewakili fungsi dalam bentuk siri (pengembangan fungsi kepada siri), yang digunakan secara meluas dalam penyepaduan, pembezaan dan operasi lain dengan fungsi.

Dalam amalan, pengembangan siri kuasa fungsi sering digunakan.

Siri kuasa.

Definisi. Siri kuasa dipanggil satu siri bentuk

.

Untuk mengkaji penumpuan siri kuasa, adalah mudah untuk menggunakan ujian d'Alembert.

Contoh. Periksa siri untuk penumpuan

Kami menggunakan tanda d'Alembert:

.

Kami mendapati bahawa siri ini menumpu pada
dan menyimpang pada
.

Sekarang kita tentukan penumpuan pada titik sempadan 1 dan –1.

Untuk x = 1:
Siri ini menumpu mengikut kriteria Leibniz (lihat tanda Leibniz.).

Pada x = -1:
siri mencapah (siri harmonik).

Teorem Abel.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – ahli matematik Norway)

Teorem. Jika siri kuasa
menumpu padax = x 1 , kemudian ia menumpu dan, lebih-lebih lagi, untuk semua orang
.

Bukti. Mengikut syarat teorem, oleh kerana terma siri adalah terhad, maka

di mana k- beberapa nombor tetap. Ketaksamaan berikut adalah benar:

Daripada ketidaksamaan ini jelas bahawa apabila x< x 1 nilai berangka terma siri kami akan menjadi kurang (sekurang-kurangnya tidak lebih) daripada sebutan siri yang sepadan di sebelah kanan ketaksamaan yang ditulis di atas, yang membentuk janjang geometri. Penyebut janjang ini mengikut syarat teorem, ia adalah kurang daripada satu, oleh itu, janjang ini adalah siri penumpuan.

Oleh itu, berdasarkan kriteria perbandingan, kami membuat kesimpulan bahawa siri
menumpu, yang bermaksud siri
menumpu secara mutlak.

Oleh itu, jika siri kuasa
menumpu pada satu titik X 1 , maka ia menumpu secara mutlak pada mana-mana titik dalam selang panjang 2 berpusat pada satu titik X = 0.

Akibat. Jika di x = x 1 siri itu menyimpang, kemudian ia menyimpang untuk semua orang
.

Oleh itu, bagi setiap siri kuasa terdapat nombor R positif supaya untuk semua X sedemikian rupa
siri ini benar-benar menumpu, dan untuk semua
barisan menyimpang. Dalam kes ini, nombor R dipanggil jejari penumpuan. Selang (-R, R) dipanggil selang penumpuan.

Ambil perhatian bahawa selang ini boleh ditutup pada satu atau kedua-dua belah, atau tidak ditutup.

Jejari penumpuan boleh didapati menggunakan formula:

Contoh. Cari luas penumpuan siri itu

Mencari jejari penumpuan
.

Oleh itu, siri ini menumpu untuk sebarang nilai X. Istilah biasa siri ini cenderung kepada sifar.

Teorem. Jika siri kuasa
menumpu kepada nilai positif x=x 1 , maka ia menumpu secara seragam dalam sebarang selang di dalamnya
.

Tindakan dengan siri kuasa.