Titik kritikal fungsi. Mencari titik melampau

Titik x 0 dipanggil titik maksimum bagi fungsi f(x) jika dalam beberapa kejiranan titik x 0 ketaksamaan ()(0 xfxf) dipenuhi

Titik x 1 dipanggil titik minimum fungsi f(x), jika dalam beberapa kejiranan titik x 1 ketaksamaan ()(1 xfxf) Nilai fungsi pada titik x 0 dan x 1 dipanggil maksimum dan minimum fungsi, masing-masing Maksimum dan minimum fungsi dipanggil ekstrem fungsi .

Pada satu selang, fungsi boleh mempunyai beberapa ekstrem, dan mungkin minimum pada satu titik adalah lebih besar daripada maksimum pada yang lain. Maksimum atau minimum fungsi pada selang tertentu bukanlah, secara umum, nilai terbesar dan terkecil fungsi itu. Jika pada satu titik xx 00 fungsi boleh beza f(xf(x)) mempunyai ekstrem, maka dalam beberapa kejiranan titik ini teorem Fermat memegang dan terbitan fungsi pada titik ini adalah sama dengan sifar: 0)(0 xf

Walau bagaimanapun, fungsi mungkin mempunyai ekstrem pada titik di mana ia tidak boleh dibezakan. Sebagai contoh, fungsi xy mempunyai minimum pada titik 0 x tetapi ia tidak boleh dibezakan pada ketika ini.

Agar fungsi y=f(x) mempunyai ekstrem pada titik x 0, adalah perlu bahawa terbitannya pada titik ini bersamaan dengan sifar atau tidak wujud.

Titik di mana keadaan ekstrem yang diperlukan dipenuhi dipanggil kritikal atau pegun. T. jld. , jika terdapat ekstrem pada mana-mana titik, maka titik ini adalah kritikal. Tetapi titik kritikal tidak semestinya titik ekstrem.

Mari kita gunakan syarat ekstrem yang diperlukan: xxy 2)(2 002 xprixy 0 0 y x - titik kritikal

Mari kita gunakan syarat ekstrem yang diperlukan: 23 3)1(xxy 003 2 xprixy 1 0 y x - titik kritikal

Jika, apabila melalui titik x 0, terbitan bagi fungsi boleh beza y=f(x) menukar tanda daripada tambah kepada tolak, maka x 0 ialah titik maksimum, dan jika daripada tolak kepada tambah, maka x 0 ialah minimum titik.

Biarkan perubahan derivatif menandakan daripada tambah kepada tolak, iaitu, pada selang 0 tertentu; xa 0)(xf dan pada beberapa selang bx; 0 0)(xf Kemudian fungsi y=f(x) akan meningkat sebanyak 0; xa

dan akan berkurangan sebanyak bx; 0 Mengikut takrifan fungsi meningkat 00 ;)()(xaxallforxfxf Untuk fungsi menurun bxxallforxfxf;)()(00 0 x ialah titik maksimum. Ia dibuktikan sama untuk minimum.

1 Cari terbitan bagi fungsi)(xfy 2 Cari titik genting bagi fungsi di mana terbitan adalah sifar atau tidak wujud.

3 Menyiasat tanda terbitan di sebelah kiri dan di sebelah kanan setiap titik genting. 4 Cari ekstrem bagi fungsi itu.

Mari gunakan skema untuk mengkaji fungsi kepada ekstrem: 1 Cari terbitan fungsi: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx

3 Kami meneliti tanda terbitan ke kiri dan ke kanan setiap titik kritikal: x 4 1 1 y y Tiada ekstrem pada titik x=1 x=1.

Jika terbitan pertama bagi fungsi boleh beza y=f(x) pada titik x 0 adalah sama dengan sifar, dan terbitan kedua pada titik ini adalah positif, maka x 0 ialah titik minimum, dan jika terbitan kedua adalah negatif, maka x 0 ialah titik maksimum.

Biarkan 0)(0 xf oleh itu 0)(0 xf dan dalam beberapa kejiranan titik x 00, iaitu 0)()(xfxf

functionba; akan bertambah pada)(xf yang mengandungi titik x 00. Tetapi Ho 0)(0 xf pada selang 0; xa 0)(xf dan pada selang bx; 0 0)(xf

Oleh itu, apabila melalui titik x 00, fungsi menukar tanda daripada tolak kepada tambah, oleh itu titik ini ialah titik minimum.)(xf Kes untuk maksimum fungsi dibuktikan dengan cara yang sama.

Skim untuk mengkaji fungsi pada ekstrem dalam kes ini adalah serupa dengan yang sebelumnya, tetapi titik ketiga harus digantikan dengan: 3 Cari terbitan kedua dan tentukan tandanya pada setiap titik kritikal.

Daripada syarat mencukupi kedua, ia berikutan bahawa jika pada titik kritikal derivatif kedua fungsi itu tidak sama dengan sifar, maka titik ini ialah titik ekstrem. Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar: jika pada titik kritikal derivatif kedua fungsi adalah sama dengan sifar, maka titik ini juga boleh menjadi titik ekstrem. Dalam kes ini, untuk mengkaji fungsi adalah perlu untuk menggunakan syarat pertama yang mencukupi untuk ekstrem.

Ini adalah bahagian yang agak menarik dalam matematik, yang pasti semua graduan dan pelajar hadapi. Namun, tidak semua orang suka matan. Ada yang tidak dapat memahami perkara asas seperti kajian fungsi yang kelihatan standard. Artikel ini bertujuan untuk membetulkan kesilapan tersebut. Ingin mengetahui lebih lanjut tentang analisis fungsi? Adakah anda ingin tahu apa itu titik ekstrem dan cara mencarinya? Maka artikel ini adalah untuk anda.

Mengkaji graf fungsi

Pertama, anda perlu memahami sebab anda perlu menganalisis graf sama sekali. Terdapat fungsi mudah yang tidak sukar untuk dilukis. Contoh menarik bagi fungsi sedemikian ialah parabola. Tidak sukar untuk melukis graf. Apa yang diperlukan ialah, menggunakan penjelmaan mudah, untuk mencari nombor di mana fungsi mengambil nilai 0. Dan pada dasarnya, ini semua yang anda perlu tahu untuk melukis graf parabola.

Tetapi bagaimana jika fungsi yang kita perlukan untuk membuat graf adalah lebih kompleks? Oleh kerana sifat-sifat fungsi kompleks tidak begitu jelas, adalah perlu untuk menjalankan analisis keseluruhan. Hanya selepas ini fungsi boleh digambarkan secara grafik. Bagaimana untuk melakukan ini? Anda boleh mendapatkan jawapan kepada soalan ini dalam artikel ini.

Pelan Analisis Fungsi

Perkara pertama yang perlu kita lakukan ialah menjalankan kajian cetek fungsi, di mana kita mencari domain definisi. Jadi, mari kita mulakan mengikut urutan. Domain definisi ialah set nilai yang mana fungsi itu ditakrifkan. Ringkasnya, ini adalah nombor yang boleh digunakan dalam fungsi dan bukannya x. Untuk menentukan skop, anda hanya perlu melihat rekod. Sebagai contoh, adalah jelas bahawa fungsi y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 mempunyai domain takrifan iaitu set nombor nyata. Nah, dengan fungsi seperti (x 2 - 2x)/x semuanya sedikit berbeza. Oleh kerana nombor dalam penyebut mestilah tidak sama dengan 0, domain takrifan fungsi ini ialah semua nombor nyata selain sifar.

Seterusnya, anda perlu mencari sifar fungsi yang dipanggil. Ini adalah nilai hujah di mana keseluruhan fungsi mengambil nilai sifar. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menyamakan fungsi dengan sifar, pertimbangkan secara terperinci dan lakukan beberapa transformasi. Mari kita ambil fungsi yang sudah biasa y(x) = (x 2 - 2x)/x. Dari kursus sekolah kita tahu bahawa pecahan adalah sama dengan 0 apabila pengangkanya sama dengan sifar. Oleh itu, kami membuang penyebut dan mula bekerja dengan pengangka, menyamakannya dengan sifar. Kami mendapat x 2 - 2x = 0 dan letakkan x daripada kurungan. Oleh itu x (x - 2) = 0. Akibatnya, kita dapati fungsi kita adalah sama dengan sifar apabila x sama dengan 0 atau 2.

Apabila memeriksa graf fungsi, ramai orang menghadapi masalah dalam bentuk titik ekstrem. Dan ia pelik. Lagipun, keterlaluan adalah topik yang agak mudah. Tidak percaya saya? Lihat sendiri dengan membaca bahagian artikel ini, di mana kita akan bercakap tentang mata minimum dan maksimum.

Pertama, ia patut memahami apa itu ekstrem. Extremum ialah nilai had yang dicapai oleh fungsi pada graf. Ternyata terdapat dua nilai ekstrem - maksimum dan minimum. Untuk kejelasan, anda boleh lihat gambar di atas. Dalam kawasan yang dikaji, titik -1 ialah maksimum bagi fungsi y (x) = x 5 - 5x, dan titik 1, sewajarnya, adalah minimum.

Juga, jangan mengelirukan konsep. Titik ekstrem fungsi ialah hujah di mana fungsi tertentu memperoleh nilai ekstrem. Sebaliknya, ekstrem ialah nilai minimum dan maksimum fungsi. Sebagai contoh, pertimbangkan semula rajah di atas. -1 dan 1 ialah titik ekstrem bagi fungsi, dan 4 dan -4 ialah titik ekstrem itu sendiri.

Mencari titik melampau

Tetapi bagaimana anda masih mencari titik ekstrem fungsi? Semuanya agak mudah. Perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mencari terbitan persamaan. Katakan kita menerima tugasan: “Cari titik ekstrem bagi fungsi y (x), x ialah hujah Untuk kejelasan, mari kita ambil fungsi y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Mari bezakan dan. dapatkan persamaan berikut: 3x 2 + 4x + 1. Akibatnya, kita mempunyai persamaan kuadratik piawai Apa yang perlu dilakukan seterusnya ialah menyamakannya dengan sifar dan mencari punca-punca Memandangkan diskriminasi lebih besar daripada sifar (D = 16 - 12 = 4), persamaan ini ditentukan oleh dua punca adalah siapa? Titik yang manakah adalah maksimum dan yang mana adalah minimum untuk melakukan ini, anda perlu mengambil titik jiran dan mengetahui nilainya , ambil nombor -2, yang terletak di sebelah kiri di sepanjang garis koordinat dari -. 1. Gantikan nilai ini ke dalam persamaan y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Hasilnya, kita mendapat nombor positif Ini bermakna dalam selang 1/3 hingga -1 fungsi meningkat. Ini, seterusnya, bermakna bahawa pada selang dari tolak infiniti hingga 1/3 dan dari -1 hingga tambah infiniti fungsi berkurangan. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa nombor 1/3 ialah titik minimum fungsi pada selang yang dikaji, dan -1 ialah titik maksimum.

Perlu juga diperhatikan bahawa Peperiksaan Negeri Bersepadu memerlukan bukan sahaja mencari mata ekstrem, tetapi juga melakukan beberapa jenis operasi dengan mereka (menambah, mendarab, dll.). Atas sebab inilah ia patut memberi perhatian khusus kepada keadaan masalah. Lagipun, kerana kurang perhatian, anda boleh kehilangan mata.

Definisi. Titik maksimum dan minimum fungsi dipanggil titik melampau.

Teorem. (syarat yang diperlukan untuk kewujudan ekstrem) Jika fungsif(x) boleh dibezakan pada titik x = x 1 dan titik x 1 ialah titik ekstrem, maka terbitan fungsi itu hilang pada ketika ini.

Bukti. Katakan fungsi f(x) mempunyai maksimum pada titik x = x 1.

Kemudian, untuk positif x>0 yang cukup kecil, ketaksamaan berikut adalah benar:

A-priory:

Itu. jika х0, tetapiх<0, тоf(x 1)0, а еслих0, нох>0, makaf(x 1)0.

Dan ini hanya mungkin jika pada х0f(x 1) = 0.

Untuk kes jika fungsi f(x) mempunyai minimum pada titik x 2, teorem dibuktikan dengan cara yang sama.

Teorem telah terbukti.

Akibat. Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Jika terbitan fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan sifar, ini tidak bermakna fungsi itu mempunyai ekstrem pada ketika ini. Contoh fasih ini ialah fungsi y = x 3, terbitan yang pada titik x = 0 adalah sama dengan sifar, tetapi pada ketika ini fungsi itu hanya mempunyai infleksi, dan bukan maksimum atau minimum.

Definisi. Mata kritikal fungsi ialah titik di mana terbitan fungsi itu tidak wujud atau sama dengan sifar.

Teorem yang dibincangkan di atas memberi kita syarat yang diperlukan untuk kewujudan ekstrem, tetapi ini tidak mencukupi.

Contoh: f(x) =x Contoh: f(x) =

y y

Pada titik x = 0 fungsi mempunyai minimum, tetapi pada titik x = 0 fungsi tidak mempunyai kedua-duanya

tidak mempunyai derivatif. maksimum, tiada minimum, tiada pengeluaran

Secara umumnya, fungsi f(x) boleh mempunyai ekstrem pada titik di mana terbitan tidak wujud atau sama dengan sifar.

Teorem. (Syarat yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem)

Biarkan fungsif(x) adalah berterusan dalam selang (a, b), yang mengandungi titik kritikal x 1 , dan boleh dibezakan pada semua titik selang ini (kecuali, mungkin, titik x itu sendiri 1 ).

Jika, apabila melalui titik x 1 dari kiri ke kanan terbitan fungsif (x) menukar tanda daripada “+” kepada “-“, kemudian pada titik x = x 1 fungsif(x) mempunyai maksimum, dan jika derivatif bertukar tanda daripada "-" kepada "+", maka fungsi mempunyai minimum.

Bukti.

biarlah

Mengikut teorem Lagrange: f(x) – f(x 1 ) = f ( )(x – x 1 ), di manax<

Kemudian: 1) Jika x< x 1 , то0;f()(x–x 1)<0, следовательно

f(x) –f(x 1)<0 илиf(x)

2) Jika x > x 1, maka>x 1 f()<0;f()(x–x 1)<0, следовательно

f(x) –f(x 1)<0 илиf(x)

Oleh kerana jawapannya bertepatan, kita boleh mengatakan bahawa f(x)

Bukti teorem untuk titik minimum adalah serupa.

Teorem telah terbukti.

Berdasarkan perkara di atas, anda boleh membangunkan prosedur bersatu untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen:

Cari titik genting bagi fungsi tersebut.

Cari nilai fungsi pada titik kritikal.

Cari nilai fungsi di hujung segmen.

Pilih nilai terbesar dan terkecil di antara nilai yang diperoleh.

Mempelajari fungsi untuk penggunaan ekstrem

derivatif pesanan yang lebih tinggi.

Biarkan pada titik x = x 1 f(x 1) = 0 dan f(x 1) wujud dan selanjar di beberapa kejiranan titik x 1.

Teorem. Jikaf (x 1 ) = 0, maka fungsinyaf(x) pada titik x = x 1 mempunyai maksimum jikaf (x 1 )<0 и минимум, если f (x 1 )>0.

Bukti.

Biarkan f(x 1) = 0 dan f(x 1)<0. Т.к. функцияf(x) непрерывна, тоf(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Kerana f(x) = (f(x))< 0, тоf(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , ноf(x 1)=0, т.е.f(x) >0 pada x x 1 . Ini bermakna apabila melalui titik x = x 1, terbitan f(x) menukar tanda daripada “+” kepada “-“, i.e. pada ketika ini fungsi f(x) mempunyai maksimum.

Untuk kes fungsi minimum, teorem dibuktikan dengan cara yang sama.

Jika f(x) = 0, maka sifat titik genting tidak diketahui. Kajian lanjut diperlukan untuk menentukannya.

Cembung dan lekuk lengkung.

Titik infleksi.

Definisi. Lengkungnya cembung naik pada selang (a,b) jika semua titiknya terletak di bawah mana-mana tangennya pada selang ini. Lengkung cembung ke atas dipanggil cembung, dan lengkung yang menghadap cembung ke bawah dipanggil cekung.

di

Rajah menunjukkan ilustrasi definisi di atas.

Teorem 1. Jika di semua titik selang (a, b) terbitan kedua bagi fungsi ituf(x) adalah negatif, maka keluky = f(x) ialah cembung ke atas (cembung).

Bukti. Biarkan x 0 (a,b). Mari kita lukis tangen pada lengkung pada ketika ini.

Persamaan lengkung: y=f(x);

Persamaan tangen:

Ia mesti dibuktikan bahawa .

Dengan teorem Lagrange untuk f(x) –f(x 0): ,x 0

Mengikut teorem Lagrange untuk

Biarkan x > x 0 kemudianx 0 0 иc–x 0 > 0, dan sebagai tambahan, mengikut syarat

, oleh itu,
.

Biarkan x Itu

.

Begitu juga dibuktikan bahawa jika f(x) > 0 pada selang (a,b), maka lengkung y=f(x) adalah cekung pada selang (a,b).

Teorem telah terbukti.

Definisi. Titik yang memisahkan bahagian cembung lengkung dengan bahagian cekung dipanggil titik infleksi.

Adalah jelas bahawa pada titik infleksi tangen memotong lengkung.

Teorem 2. Biarkan lengkung ditakrifkan oleh persamaany = f(x). Jika terbitan keduaf (a) = 0 atauf (a) tidak wujud walaupun melalui titik x = af (x) bertukar tanda, maka titik lengkung dengan absis x = a ialah titik infleksi.

Bukti. 1) Biarkan f(x)< 0 при х 0 atx>a. Kemudian pada

x acurve ialah cekung, i.e. titik x = a – titik infleksi.

Biarkan f(x) > 0 apabila x b– cembung ke atas. Thenx=b ialah titik infleksi.

Teorem telah terbukti.

Asimtot.

Apabila mengkaji fungsi, selalunya berlaku apabila koordinat x titik pada lengkung bergerak ke infiniti, lengkung menghampiri garis lurus tertentu secara tidak tentu.

Definisi. Garis lurus dipanggil asimtot lengkung jika jarak dari titik pembolehubah lengkung ke garis lurus ini cenderung kepada sifar apabila titik bergerak ke infiniti.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap lengkung mempunyai asimtot. Asimtot boleh lurus atau serong. Mempelajari fungsi untuk kehadiran asimtot adalah sangat penting dan membolehkan anda menentukan dengan lebih tepat sifat fungsi dan kelakuan graf lengkung.

Secara umumnya, lengkung, menghampiri asimtotnya secara tidak tentu, boleh bersilang, dan bukan pada satu titik, seperti yang ditunjukkan dalam graf fungsi di bawah
. Asimtot serongnya ialah y = x.

Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci kaedah untuk mencari asimtot lengkung.

Asimtot menegak.

Daripada takrifan asymptot ia mengikuti bahawa jika
atau
atau
, maka garis lurus x = a ialah asimtot bagi lengkung y = f (x).

Sebagai contoh, untuk fungsi
garis lurus x = 5 ialah asimtot menegak.

Asimtot serong.

Katakan bahawa lengkung y=f(x) mempunyai asimptot senget y=kx+b.

Pertimbangkan rajah berikut.

Ia menunjukkan graf fungsi y = x^3 – 3*x^2. Mari kita pertimbangkan beberapa selang yang mengandungi titik x = 0, contohnya dari -1 hingga 1. Selang sedemikian juga dipanggil kejiranan titik x = 0. Seperti yang dapat dilihat pada graf, dalam kejiranan ini fungsi y = x ^3 – 3*x^2 mengambil nilai terbesar tepat pada titik x = 0.

Fungsi maksimum dan minimum

Dalam kes ini, titik x = 0 dipanggil titik maksimum fungsi. Dengan analogi dengan ini, titik x = 2 dipanggil titik minimum bagi fungsi y = x^3 – 3*x^2. Kerana terdapat kejiranan titik ini di mana nilai pada ketika ini akan menjadi minimum di antara semua nilai lain dari kejiranan ini.

titik maksimum fungsi f(x) dipanggil titik x0, dengan syarat terdapat kejiranan bagi titik x0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x0 dari kejiranan ini, ketaksamaan f(x) kekal< f(x0).

titik minimum fungsi f(x) dipanggil titik x0, dengan syarat terdapat kejiranan bagi titik x0 supaya untuk semua x tidak sama dengan x0 dari kejiranan ini, ketaksamaan f(x) > f(x0) kekal.

Pada titik maksimum dan minimum fungsi, nilai terbitan fungsi ialah sifar. Tetapi ini bukanlah syarat yang mencukupi untuk kewujudan fungsi pada titik maksimum atau minimum.

Sebagai contoh, fungsi y = x^3 pada titik x = 0 mempunyai terbitan sama dengan sifar. Tetapi titik x = 0 bukanlah titik minimum atau maksimum fungsi. Seperti yang anda ketahui, fungsi y = x^3 bertambah sepanjang keseluruhan paksi berangka.

Oleh itu, titik minimum dan maksimum akan sentiasa berada di antara punca persamaan f’(x) = 0. Tetapi tidak semua punca persamaan ini akan menjadi titik maksimum atau minimum.

Titik pegun dan kritikal

Titik di mana nilai terbitan fungsi adalah sifar dipanggil titik pegun. Mungkin juga terdapat titik maksimum atau minimum pada titik di mana terbitan fungsi itu tidak wujud sama sekali. Contohnya, y = |x| pada titik x = 0 mempunyai minimum, tetapi terbitan tidak wujud pada ketika ini. Titik ini akan menjadi titik kritikal fungsi.

Titik kritikal fungsi ialah titik di mana terbitan adalah sama dengan sifar, atau derivatif tidak wujud pada ketika ini, iaitu, fungsi pada titik ini tidak boleh dibezakan. Untuk mencari maksimum atau minimum fungsi, syarat yang mencukupi mesti dipenuhi.

Biarkan f(x) ialah beberapa fungsi boleh beza pada selang (a;b). Titik x0 tergolong dalam selang ini dan f’(x0) = 0. Kemudian:

1. jika, apabila melalui titik pegun x0, fungsi f(x) dan terbitannya bertukar tanda, daripada "tambah" kepada "tolak", maka titik x0 ialah titik maksimum fungsi itu.

2. jika, apabila melalui titik pegun x0, fungsi f(x) dan terbitannya bertukar tanda, daripada "tolak" kepada "tambah", maka titik x0 ialah titik minimum fungsi itu.