Terbitan terhingga pada satu titik. Terbitan bagi fungsi

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.

Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif fungsi yang paling mudah (dan tidak terlalu mudah). mengikut takrifan derivatif sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual terbitan muncul dan betul-betul peraturan tertentu pembezaan. Yang pertama bekerja dalam bidang mencari derivatif ialah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, anda tidak perlu mengira had yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi anda hanya perlu menggunakan jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.

Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda perdana memecahkan fungsi mudah kepada komponen dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Derivatif selanjutnya fungsi asas kita dapati dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil, hasil tambah dan hasil adalah dalam peraturan pembezaan. Jadual terbitan dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.

Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan bagi jumlah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.

Daripada jadual derivatif kita dapati bahawa terbitan "x" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus adalah sama dengan kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami membezakan sebagai terbitan jumlah di mana sebutan kedua mempunyai faktor tetap; ia boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Jika soalan masih timbul tentang dari mana sesuatu datang, soalan itu biasanya dijawab selepas membiasakan diri dengan jadual terbitan dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami beralih kepada mereka sekarang.

Jadual terbitan bagi fungsi mudah

1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sama dengan sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap
2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "X". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingati untuk masa yang lama
3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa.
4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1
5. Terbitan punca kuasa dua
6. Terbitan sinus
7. Terbitan kosinus
8. Terbitan tangen
9. Terbitan kotangen
10. Terbitan arcsine
11. Terbitan arccosine
12. Terbitan arkatangen
13. Terbitan arka cotangen
14. Terbitan logaritma asli
15. Terbitan bagi fungsi logaritma
16. Terbitan bagi eksponen
17. Terbitan fungsi eksponen

Peraturan pembezaan

1. Terbitan daripada jumlah atau perbezaan
2. Derivatif produk
2a. Terbitan ungkapan didarab dengan faktor malar
3. Terbitan hasil bagi
4. Terbitan fungsi kompleks

Peraturan 1.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu titik, maka fungsi boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan jumlah algebra derivatif fungsi ini.

Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan sebutan tetap, maka terbitan mereka adalah sama, iaitu

Peraturan 2.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika, maka produk mereka boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah bagi setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.

Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.

Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:

Peraturan 3.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika Dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakanu/v , dan

mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka.

Di mana untuk mencari perkara di halaman lain

Apabila mencari terbitan produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar Oleh itu, ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus lebih banyak contoh untuk derivatif ini - dalam artikel"Terbitan hasil dan hasil bagi fungsi " .

Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes itu faktor malar ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. ini kesilapan tipikal, yang berlaku pada peringkat awal mempelajari derivatif, tetapi apabila mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bahagian, rata-rata pelajar tidak lagi melakukan kesilapan ini.

Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes ini dibincangkan dalam contoh 10).

Lain-lain kesilapan biasa- penyelesaian mekanikal terbitan fungsi kompleks sebagai terbitan fungsi mudah. sebab tu terbitan bagi fungsi kompleks artikel berasingan dikhaskan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.

Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual dalam tetingkap baharu. Tindakan dengan kuasa dan akar Dan Operasi dengan pecahan.

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada terbitan pecahan dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti , kemudian ikut ke kelas" Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca ".

Jika anda mempunyai tugas seperti , maka anda mempunyai pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah."

Contoh langkah demi langkah - cara mencari derivatif

Contoh 3. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami mentakrifkan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah tersebut mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dengan terbitan satu lagi:

Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua mempunyai tanda tolak. Dalam setiap jumlah kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "X" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 bertukar menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kami memperoleh nilai derivatif berikut:

Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 4. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan formula untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan bagi penyebut, dan penyebut adalah kuasa dua bekas pengangka. Kita mendapatkan:

Kami telah pun menemui terbitan faktor dalam pengangka dalam contoh 2. Jangan juga kita lupa bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada masalah yang anda perlukan untuk mencari terbitan fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan kuasa yang berterusan, seperti, sebagai contoh, , kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca".

Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, iaitu, apabila fungsi kelihatan seperti , maka pengajaran untuk anda "Terbitan fungsi trigonometri mudah".

Contoh 5. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat produk, salah satu faktornya ialah Punca kuasa dua daripada pembolehubah tidak bersandar, terbitan yang kita kenali dalam jadual terbitan. Menggunakan peraturan untuk membezakan hasil darab dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kita memperoleh:

Contoh 6. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya ialah punca kuasa dua pembolehubah bebas. Dengan menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi, yang kami ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kami memperoleh:

Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .

Apabila membuat keputusan pelbagai tugas geometri, mekanik, fizik dan cabang ilmu lain menjadi perlu menggunakan proses analisis yang sama daripada fungsi ini y=f(x) menerima ciri baharu yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan) bagi fungsi tertentu f(x) dan ditetapkan oleh simbol

Proses yang mana daripada fungsi tertentu f(x) dapatkan ciri baharu f" (x), dipanggil pembezaan dan ia terdiri daripada tiga langkah berikut: 1) berikan hujah x kenaikan  x dan tentukan kenaikan yang sepadan bagi fungsi itu  y = f(x+ x) -f(x); 2) membina hubungan

3) mengira x malar dan  x0, kita dapati
, yang kami nyatakan dengan f" (x), seolah-olah menekankan bahawa fungsi yang terhasil hanya bergantung pada nilai x, di mana kita pergi ke had. Definisi: Terbitan y " =f " (x) fungsi yang diberikan y=f(x) untuk x tertentu dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah, dengan syarat kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika, sudah tentu, had ini wujud, i.e. terhingga. Oleh itu,
, atau

Ambil perhatian bahawa jika untuk beberapa nilai x, contohnya apabila x=a, sikap
di  x0 tidak cenderung had terhingga, maka dalam kes ini mereka mengatakan bahawa fungsi f(x) di x=a(atau pada titik x=a) tidak mempunyai terbitan atau tidak boleh dibezakan pada titik itu x=a.

2. Makna geometri bagi terbitan.

Pertimbangkan graf bagi fungsi y = f (x), boleh dibezakan di sekitar titik x 0

f(x)

Mari kita pertimbangkan garis lurus arbitrari yang melalui titik pada graf fungsi - titik A(x 0, f (x 0)) dan bersilang dengan graf pada satu titik B(x;f(x)). Garis (AB) sedemikian dipanggil secant. Daripada ∆ABC: AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Sejak AC || Lembu, kemudian ALO = BAC = β (sebagai sepadan untuk selari). Tetapi ALO ialah sudut kecondongan potongan AB ke arah positif paksi Lembu. Ini bermakna tanβ = k ialah pekali sudut garis lurus AB.

Sekarang kita akan mengurangkan ∆x, i.e. ∆х→ 0. Dalam kes ini, titik B akan menghampiri titik A mengikut graf, dan sekan AB akan berputar. Kedudukan mengehadkan sekan AB pada ∆x→ 0 akan menjadi garis lurus (a), dipanggil tangen kepada graf fungsi y = f (x) pada titik A.

Jika kita pergi ke had sebagai ∆x → 0 dalam kesamaan tgβ =∆y/∆x, kita dapat
ortg =f "(x 0), sejak
-sudut kecondongan tangen ke arah positif paksi Lembu
, mengikut takrifan terbitan. Tetapi tg = k ialah pekali sudut tangen, yang bermaksud k = tg = f "(x 0).

Jadi, makna geometri bagi terbitan adalah seperti berikut:

Terbitan fungsi pada titik x 0 sama dengan cerun tangen kepada graf fungsi yang dilukis pada titik dengan absis x 0 .

3. Makna fizikal terbitan.

Pertimbangkan pergerakan titik sepanjang garis lurus. Biarkan koordinat titik pada bila-bila masa x(t) diberikan. Adalah diketahui (dari kursus fizik) bahawa kelajuan purata dalam tempoh masa adalah sama dengan nisbah jarak yang dilalui dalam tempoh masa ini kepada masa, i.e.

Vav = ∆x/∆t. Mari kita pergi ke had dalam kesamaan terakhir sebagai ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kelajuan serta merta pada masa t 0, ∆t → 0.

dan lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (mengikut takrif terbitan).

Jadi, (t) =x"(t).

Makna fizikal terbitan adalah seperti berikut: terbitan fungsiy = f(x) pada titikx 0 ialah kadar perubahan fungsif(x) pada titikx 0

Derivatif digunakan dalam fizik untuk mencari halaju daripada fungsi koordinat lawan masa yang diketahui, pecutan daripada fungsi halaju lawan masa yang diketahui.

(t) = x"(t) - kelajuan,

a(f) = "(t) - pecutan, atau

Jika hukum pergerakan titik bahan dalam bulatan diketahui, maka seseorang boleh mencari halaju sudut dan pecutan sudut semasa pergerakan putaran:

φ = φ(t) - perubahan sudut mengikut masa,

ω = φ"(t) - halaju sudut,

ε = φ"(t) - pecutan sudut, atau ε = φ"(t).

Jika hukum taburan jisim rod tidak homogen diketahui, maka ketumpatan linear rod tidak homogen boleh didapati:

m = m(x) - jisim,

x  , l - panjang rod,

p = m"(x) - ketumpatan linear.

Menggunakan derivatif, masalah daripada teori keanjalan dan getaran harmonik diselesaikan. Jadi, mengikut undang-undang Hooke

F = -kx, x – koordinat pembolehubah, k – pekali keanjalan spring. Meletakkan ω 2 =k/m, kita memperoleh persamaan pembezaan bagi bandul spring x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

di mana ω = √k/√m kekerapan ayunan (l/c), k - kekakuan spring (H/m).

Persamaan dalam bentuk y" + ω 2 y = 0 dipanggil persamaan ayunan harmonik (mekanikal, elektrik, elektromagnet). Penyelesaian kepada persamaan tersebut ialah fungsi

y = Asin(ωt + φ 0) atau y = Acos(ωt + φ 0), di mana

A - amplitud ayunan, ω - frekuensi kitaran,

φ 0 - fasa permulaan.

Bilakah seseorang mengambil langkah berdikari pertamanya dalam belajar analisis matematik dan mula bertanya soalan janggal, maka tidak lagi mudah untuk melepaskan diri dengan frasa bahawa “ kalkulus pembezaan terdapat dalam kubis." Oleh itu, sudah tiba masanya untuk ditentukan dan mendedahkan rahsia kelahiran jadual terbitan dan peraturan pembezaan. Bermula dalam artikel tentang maksud terbitan, yang saya sangat mengesyorkan belajar, kerana di sana kita hanya melihat konsep terbitan dan mula mengklik pada masalah pada topik tersebut. Pelajaran yang sama ini jelas orientasi praktikal, tambahan pula,

contoh yang dibincangkan di bawah boleh, pada dasarnya, dikuasai secara formal semata-mata (contohnya, apabila tiada masa/keinginan untuk mendalami intipati terbitan). Ia juga sangat wajar (tetapi sekali lagi tidak perlu) untuk dapat mencari derivatif menggunakan kaedah "biasa" - sekurang-kurangnya pada tahap dua pelajaran asas: Bagaimana untuk mencari derivatif dan Derivatif bagi fungsi kompleks.

Tetapi ada satu perkara yang kita pasti tidak boleh lakukan tanpa sekarang, ia had fungsi. Anda mesti FAHAM apa itu had dan boleh menyelesaikannya sekurang-kurangnya pada tahap purata. Dan semua kerana terbitan

fungsi pada satu titik ditentukan oleh formula:

Izinkan saya mengingatkan anda tentang sebutan dan istilah: mereka memanggil pertambahan hujah;

– peningkatan fungsi;

- Ini simbol BERSATU(“delta” tidak boleh “dipotong” daripada “X” atau “Y”).

Jelas sekali, pembolehubah "dinamik" adalah pemalar dan hasil pengiraan had – nombor (kadang-kadang - infiniti "tambah" atau "tolak").

Sebagai satu perkara, anda boleh mempertimbangkan SEBARANG nilai yang dimiliki domain definisi fungsi di mana terbitan wujud.

Nota: klausa "di mana terbitan wujud" ialah V kes am ketara! Jadi, sebagai contoh, walaupun titik dimasukkan dalam domain definisi fungsi, terbitannya

tidak wujud di sana. Oleh itu formula

tidak terpakai pada titik itu

dan rumusan yang dipendekkan tanpa tempahan adalah salah. Fakta yang serupa juga sah untuk fungsi lain dengan "pecah" dalam graf, khususnya, untuk arcsine dan arccosine.

Oleh itu, selepas menggantikan , kami mendapat formula kerja kedua:

Beri perhatian kepada keadaan berbahaya yang boleh mengelirukan teko: dalam had ini, "x", sebagai pembolehubah bebas, memainkan peranan sebagai statistik, dan "dinamik" sekali lagi ditetapkan oleh kenaikan. Hasil pengiraan had

ialah fungsi terbitan.

Berdasarkan perkara di atas, kami merumuskan syarat dua masalah biasa:

- Cari derivatif pada satu titik, menggunakan definisi terbitan.

- Cari fungsi terbitan, menggunakan definisi terbitan. Versi ini, menurut pemerhatian saya, adalah lebih biasa dan akan diberi perhatian utama.

Perbezaan asas antara tugas ialah dalam kes pertama anda perlu mencari nombornya (sebagai pilihan, infiniti), dan pada yang kedua –

fungsi Di samping itu, derivatif mungkin tidak wujud sama sekali.

bagaimana?

Buat nisbah dan hitung had.

Dari mana ia datang? jadual terbitan dan peraturan pembezaan ? Terima kasih kepada satu-satunya had

Ia kelihatan seperti sihir, tetapi

dalam realiti - tipu muslihat dan tiada penipuan. Pada pelajaran Apakah derivatif? Saya mula melihat contoh khusus, di mana, menggunakan definisi, saya menemui terbitan bagi fungsi linear dan kuadratik. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu jadual derivatif, mengasah algoritma dan teknik penyelesaian:

Pada asasnya, anda perlu membuktikan kes istimewa terbitan fungsi kuasa, yang biasanya muncul dalam jadual: .

Penyelesaiannya secara teknikal diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulakan dengan pendekatan pertama yang sudah biasa: tangga bermula dengan papan, dan fungsi terbitan bermula dengan terbitan pada satu titik.

Pertimbangkan beberapa perkara (khusus) kepunyaan domain definisi fungsi yang terdapat derivatif. Mari kita tetapkan kenaikan pada ketika ini (sudah tentu, tidak melampaui o/o -ya) dan susun kenaikan yang sepadan bagi fungsi:

Mari kita mengira had:

Ketidakpastian 0:0 dihapuskan dengan teknik standard, dianggap kembali pada abad pertama SM. Jom perbanyakkan

pengangka dan penyebut bagi ungkapan konjugat :

Teknik untuk menyelesaikan had tersebut dibincangkan secara terperinci di pelajaran pengenalan tentang had fungsi.

Oleh kerana anda boleh memilih SEBARANG titik selang sebagai

Kemudian, setelah membuat penggantian, kami mendapat:

Sekali lagi mari kita bergembira dengan logaritma:

Cari terbitan fungsi menggunakan definisi terbitan

Penyelesaian: Mari kita pertimbangkan pendekatan yang berbeza untuk mempromosikan tugas yang sama. Ia betul-betul sama, tetapi lebih rasional dari segi reka bentuk. Ideanya adalah untuk menyingkirkan

subskrip dan gunakan huruf dan bukannya surat.

Pertimbangkan perkara sewenang-wenangnya domain definisi fungsi (selang waktu), dan tetapkan kenaikan di dalamnya. Tetapi di sini, dengan cara ini, seperti dalam kebanyakan kes, anda boleh melakukannya tanpa sebarang tempahan, kerana fungsi logaritma boleh dibezakan pada mana-mana titik dalam domain definisi.

Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mari cari derivatif:

Kesederhanaan reka bentuk diseimbangkan oleh kekeliruan yang boleh

berlaku di kalangan pemula (dan bukan sahaja). Lagipun, kita sudah biasa dengan fakta bahawa huruf "X" berubah dalam had! Tetapi di sini semuanya berbeza: - patung antik, dan - pelawat yang masih hidup, berjalan pantas di sepanjang koridor muzium. Iaitu, "x" adalah "seperti pemalar."

Saya akan mengulas mengenai penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Menggunakan sifat logaritma.

(2) Dalam kurungan, bahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.

(3) Dalam penyebut, kita mendarab dan membahagi secara buatan dengan "x" supaya

mengambil kesempatan daripada had yang indah , manakala sebagai sangat kecil menonjol.

Jawapan: mengikut definisi terbitan:

Atau ringkasnya:

Saya mencadangkan untuk membina dua lagi formula jadual sendiri:

Cari derivatif mengikut takrifan

DALAM dalam kes ini ia adalah mudah untuk segera membawa kenaikan tersusun kepada penyebut biasa. Sampel anggaran menyiapkan tugasan pada akhir pelajaran (kaedah pertama).

Cari derivatif mengikut takrifan

Dan di sini segala-galanya mesti dikurangkan kepada had yang luar biasa. Penyelesaiannya diformalkan dengan cara kedua.

Sebilangan yang lain derivatif jadual. Senarai penuh boleh didapati di buku teks sekolah, atau, sebagai contoh, jilid pertama Fichtenholtz. saya tidak nampak makna istimewa salinan dari buku dan bukti peraturan pembezaan - ia juga dihasilkan

formula

Mari kita beralih kepada tugas yang sebenarnya dihadapi: Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi , menggunakan definisi terbitan

Penyelesaian: gunakan gaya reka bentuk pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara kepunyaan dan tetapkan kenaikan hujah padanya. Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mungkin sesetengah pembaca masih belum memahami sepenuhnya prinsip yang perlu dibuat penambahan. Ambil satu titik (nombor) dan cari nilai fungsi di dalamnya: , iaitu, ke dalam fungsi

bukannya "X" anda harus menggantikan. Sekarang mari kita ambil

Kenaikan fungsi terkumpul Ia boleh memberi manfaat untuk segera dipermudahkan. Untuk apa? Memudahkan dan memendekkan penyelesaian kepada had selanjutnya.

Kami menggunakan formula, membuka kurungan dan memendekkan semua yang boleh dipendekkan:

Ayam belanda habis, tiada masalah dengan panggang:

Akhirnya:

Memandangkan anda boleh memilih mana-mana kualiti nombor sebenar, maka kita buat penggantian dan dapatkan .

Jawapan: a-priory.

Untuk tujuan pengesahan, mari cari derivatif menggunakan peraturan

pembezaan dan jadual:

Ia sentiasa berguna dan menyenangkan untuk mengetahui jawapan yang betul terlebih dahulu, jadi adalah lebih baik untuk membezakan fungsi yang dicadangkan dengan cara "cepat", sama ada secara mental atau dalam draf, pada permulaan penyelesaian.

Cari terbitan bagi suatu fungsi mengikut takrifan terbitan

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Hasilnya jelas:

Mari kembali ke gaya #2: Contoh 7

Mari kita ketahui segera apa yang harus berlaku. Oleh peraturan pembezaan fungsi kompleks:

Penyelesaian: pertimbangkan titik sewenang-wenangnya, kepunyaan, tetapkan kenaikan hujah di dalamnya dan jadikan kenaikan

Mari cari derivatif:

(1) Kami menggunakan formula trigonometri

(2) Di bawah sinus kita membuka kurungan, di bawah kosinus kita membentangkan istilah yang serupa.

(3) Di bawah sinus kita membatalkan istilah, di bawah kosinus kita membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.

(4) Oleh kerana keganjilan sinus, kami mengeluarkan "tolak". Di bawah kosinus

kami menunjukkan bahawa istilah .

(5) Kami menjalankan pendaraban buatan dalam penyebut untuk digunakan pertama had yang indah . Oleh itu, ketidakpastian dihapuskan, mari kita kemas hasilnya.

Jawapan: mengikut definisi Seperti yang anda lihat, kesukaran utama masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada

kerumitan had yang sangat + sedikit keaslian pembungkusan. Dalam amalan, kedua-dua kaedah reka bentuk berlaku, jadi saya menerangkan kedua-dua pendekatan dengan seberapa terperinci yang mungkin. Mereka adalah setara, tetapi masih, dalam tanggapan subjektif saya, adalah lebih dinasihatkan untuk boneka untuk berpegang pada pilihan 1 dengan "X-sifar".

Menggunakan takrifan, cari terbitan bagi fungsi tersebut

Ini adalah tugas untuk anda selesaikan sendiri. Sampel direka dalam semangat yang sama seperti contoh sebelumnya.

Mari lihat versi masalah yang lebih jarang:

Cari terbitan fungsi pada satu titik menggunakan takrif terbitan.

Pertama, apa yang sepatutnya menjadi garis bawah? Nombor Mari kita mengira jawapan dengan cara standard:

Penyelesaian: dari sudut pandangan yang jelas, tugas ini lebih mudah, kerana dalam formula, bukannya

nilai tertentu dipertimbangkan.

Mari kita tetapkan kenaikan pada titik dan susun kenaikan fungsi yang sepadan:

Mari kita hitung derivatif pada satu titik:

Kami menggunakan formula perbezaan tangen yang sangat jarang berlaku dan sekali lagi kami mengurangkan penyelesaian kepada yang pertama

had yang luar biasa:

Jawapan: mengikut takrifan terbitan pada satu titik.

Masalahnya tidak begitu sukar untuk diselesaikan dan “dalam Pandangan umum“- ia cukup untuk menggantikan paku atau hanya bergantung pada kaedah reka bentuk. Dalam kes ini, jelas bahawa hasilnya bukan nombor, tetapi fungsi terbitan.

Contoh 10 Menggunakan definisi, cari terbitan bagi fungsi tersebut pada titik

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Tugas bonus terakhir ditujukan terutamanya untuk pelajar dengan kajian yang mendalam analisis matematik, tetapi ia tidak akan menyakiti orang lain sama ada:

Adakah fungsi itu boleh dibezakan? pada titik itu?

Penyelesaian: Adalah jelas bahawa fungsi yang diberikan sekeping adalah berterusan pada satu titik, tetapi adakah ia boleh dibezakan di sana?

Algoritma penyelesaian, dan bukan sahaja untuk fungsi sekeping, ialah:

1) Cari terbitan kiri pada titik tertentu: .

2) Cari terbitan kanan pada titik tertentu: .

3) Jika terbitan satu sisi adalah terhingga dan bertepatan:

, maka fungsi itu boleh dibezakan pada titik itu

secara geometri, terdapat tangen sepunya di sini (lihat bahagian teori pelajaran Definisi dan maksud terbitan).

Jika dua diterima makna yang berbeza: (salah satu daripadanya mungkin menjadi tidak terhingga), maka fungsi itu tidak boleh dibezakan pada titik itu.

Jika kedua-dua terbitan satu sisi adalah sama dengan infiniti

(walaupun mereka mempunyai tanda yang berbeza), maka fungsinya tidak

boleh dibezakan pada titik, tetapi terdapat terbitan tak terhingga dan tangen menegak sepunya pada graf (lihat contoh pelajaran 5Persamaan biasa) .

Tahap pertama

Terbitan fungsi. Panduan Komprehensif (2019)

Cuba kita bayangkan jalan lurus yang melalui kawasan berbukit. Iaitu, ia naik dan turun, tetapi tidak membelok ke kanan atau kiri. Jika paksi diarahkan secara mendatar di sepanjang jalan dan menegak, maka garisan jalan akan sangat serupa dengan graf beberapa fungsi berterusan:

Paksi adalah tahap ketinggian sifar tertentu; dalam kehidupan kita menggunakan paras laut sebagainya.

Semasa kami bergerak ke hadapan di sepanjang jalan sedemikian, kami juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga boleh mengatakan: apabila hujah berubah (pergerakan sepanjang paksi abscissa), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang paksi ordinat). Sekarang mari kita fikirkan bagaimana untuk menentukan "kecuraman" jalan kita? Apakah jenis nilai ini? Ia sangat mudah: berapa banyak ketinggian akan berubah apabila bergerak ke hadapan pada jarak tertentu. Lagipun, pada kawasan yang berbeza jalan raya, bergerak ke hadapan (sepanjang paksi-x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun kuantiti yang berbeza meter berbanding paras laut (sepanjang paksi ordinat).

Mari kita nyatakan kemajuan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) biasanya digunakan sebagai awalan dalam matematik, yang bermaksud "perubahan". Iaitu, ini adalah perubahan dalam kuantiti, - perubahan; kemudian apa itu? Betul, perubahan magnitud.

Penting: ungkapan ialah satu keseluruhan, satu pembolehubah. Jangan sekali-kali memisahkan "delta" daripada "x" atau mana-mana huruf lain! Iaitu, sebagai contoh, .

Jadi, kami telah bergerak ke hadapan, secara mendatar, dengan. Jika kita membandingkan garis jalan dengan graf fungsi, maka bagaimana kita menyatakan kenaikan? Pastinya, . Iaitu, apabila kita bergerak ke hadapan, kita meningkat lebih tinggi.

Nilainya mudah dikira: jika pada mulanya kita berada pada ketinggian, dan selepas bergerak kita mendapati diri kita berada pada ketinggian, maka. Jika titik akhir ternyata lebih rendah daripada yang awal, ia akan menjadi negatif - ini bermakna kita tidak menaik, tetapi menurun.

Mari kembali ke "kecuraman": ini ialah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) ketinggian meningkat apabila bergerak ke hadapan satu unit jarak:

Mari kita anggap bahawa pada beberapa bahagian jalan, apabila bergerak ke hadapan sejauh satu kilometer, jalan itu naik satu kilometer. Kemudian cerun di tempat ini adalah sama. Dan jika jalan raya, semasa bergerak ke hadapan dengan m, menurun dengan km? Kemudian cerun adalah sama.

Sekarang mari kita lihat di puncak bukit. Jika anda mengambil permulaan bahagian setengah kilometer sebelum bahagian atas, dan hujung setengah kilometer selepas itu, anda dapat melihat bahawa ketinggiannya hampir sama.

Iaitu, mengikut logik kita, ternyata cerun di sini hampir sama dengan sifar, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak kilometer banyak boleh berubah. Kawasan yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk lebih mencukupi dan penilaian yang tepat kecuraman. Sebagai contoh, jika anda mengukur perubahan ketinggian semasa anda bergerak satu meter, hasilnya akan menjadi lebih tepat. Tetapi ketepatan ini mungkin tidak mencukupi untuk kita - lagipun, jika ada tiang di tengah jalan, kita boleh melepasinya. Apakah jarak yang harus kita pilih kemudian? Sentimeter? milimeter? Kurang lebih baik!

DALAM kehidupan sebenar Mengukur jarak ke milimeter terdekat adalah lebih daripada mencukupi. Tetapi ahli matematik sentiasa berusaha untuk kesempurnaan. Oleh itu, konsep itu dicipta sangat kecil, iaitu, nilai mutlak adalah kurang daripada sebarang nombor yang boleh kita namakan. Sebagai contoh, anda berkata: satu trilion! berapa kurang? Dan anda membahagikan nombor ini dengan - dan ia akan menjadi lebih sedikit. Dan sebagainya. Jika kita ingin menulis bahawa kuantiti adalah sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung kepada sifar"). Ia sangat penting untuk difahami bahawa nombor ini tidak sama dengan sifar! Tetapi sangat dekat dengannya. Ini bermakna anda boleh membahagikannya.

Konsep berlawanan dengan infinitesimal ialah infinitesimal besar (). Anda mungkin telah menemuinya semasa anda sedang mengusahakan ketidaksamaan: nombor ini adalah modulo lebih besar daripada sebarang nombor yang anda boleh fikirkan. Jika anda menghasilkan nombor terbesar yang mungkin, hanya darabkan dengan dua dan anda akan mendapat nombor yang lebih besar. Dan infiniti masih Tambahan pula apa yang akan berlaku. Sebenarnya, yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil adalah songsang antara satu sama lain, iaitu, di, dan sebaliknya: at.

Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Cerun yang dikira ideal ialah cerun yang dikira untuk segmen laluan yang sangat kecil, iaitu:

Saya perhatikan bahawa dengan anjakan sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda bahawa sangat kecil tidak bermakna sama dengan sifar. Jika anda membahagikan nombor terhingga dengan satu sama lain, anda boleh mendapatkan agak nombor biasa, Sebagai contoh, . Iaitu, satu nilai kecil boleh menjadi tepat kali lebih besar daripada yang lain.

Untuk apa semua ini? Jalan, kecuramannya... Kami tidak akan mengadakan perhimpunan kereta, tetapi kami mengajar matematik. Dan dalam matematik semuanya betul-betul sama, hanya dipanggil berbeza.

Konsep terbitan

Terbitan fungsi ialah nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah untuk kenaikan hujah yang tidak terhingga.

secara berperingkat dalam matematik mereka panggil perubahan. Sejauh mana hujah () berubah semasa ia bergerak di sepanjang paksi dipanggil pertambahan hujah dan ditetapkan Berapa banyak fungsi (ketinggian) telah berubah apabila bergerak ke hadapan sepanjang paksi dengan jarak dipanggil kenaikan fungsi dan ditetapkan.

Jadi, terbitan fungsi ialah nisbah kepada bila. Kami menandakan terbitan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan perdana di bahagian atas sebelah kanan: atau ringkasnya. Jadi, mari kita tulis formula terbitan menggunakan tatatanda ini:

Seperti dalam analogi dengan jalan, di sini apabila fungsi meningkat, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia adalah negatif.

Bolehkah terbitan sama dengan sifar? Sudah tentu. Sebagai contoh, jika kita memandu di jalan mendatar yang rata, kecuramannya adalah sifar. Dan memang benar, ketinggian tidak berubah sama sekali. Begitu juga dengan terbitan: terbitan bagi fungsi malar (malar) adalah sama dengan sifar:

kerana kenaikan fungsi sedemikian adalah sama dengan sifar untuk sebarang.

Mari kita ingat contoh puncak bukit. Ternyata ia adalah mungkin untuk mengatur hujung segmen bersama sisi yang berbeza dari atas, supaya ketinggian di hujung adalah sama, iaitu, segmen selari dengan paksi:

Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak tepat. Kami akan menaikkan segmen kami selari dengan dirinya sendiri, maka panjangnya akan berkurangan.

Akhirnya, apabila kita hampir tidak terhingga dengan bahagian atas, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada masa yang sama, ia kekal selari dengan paksi, iaitu perbezaan ketinggian di hujungnya adalah sama dengan sifar (ia tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi terbitan

Ini boleh difahami dengan cara ini: apabila kita berdiri di bahagian paling atas, anjakan kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita secara diabaikan.

Terdapat juga penjelasan algebra semata-mata: di sebelah kiri bucu fungsi meningkat, dan ke kanan ia berkurangan. Seperti yang kita ketahui sebelum ini, apabila fungsi meningkat, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia adalah negatif. Tetapi ia berubah dengan lancar, tanpa lompatan (kerana jalan raya tidak mengubah cerunnya secara mendadak di mana-mana). Oleh itu, antara negatif dan nilai positif pasti ada. Ia akan menjadi tempat fungsi tidak meningkat atau berkurangan - pada titik puncak.

Perkara yang sama berlaku untuk palung (kawasan di mana fungsi di sebelah kiri berkurangan dan di sebelah kanan meningkat):

Sedikit lagi tentang kenaikan.

Jadi kita tukar hujah kepada magnitud. Kita tukar dari nilai apa? Apa sudah jadi (hujah) sekarang? Kami boleh memilih mana-mana titik, dan sekarang kami akan menari daripadanya.

Pertimbangkan satu titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: kami meningkatkan koordinat dengan. Apa hujahnya sekarang? Sangat mudah: . Apakah nilai fungsi itu sekarang? Di mana hujah pergi, begitu juga fungsi: . Bagaimana pula dengan kenaikan fungsi? Tiada apa-apa yang baharu: ini masih merupakan jumlah yang mana fungsi telah berubah:

Berlatih mencari kenaikan:

Cari kenaikan fungsi pada titik apabila kenaikan hujah adalah sama dengan.
Begitu juga dengan fungsi pada satu titik.

Penyelesaian:

DALAM titik yang berbeza dengan kenaikan hujah yang sama, kenaikan fungsi akan berbeza. Ini bermakna derivatif pada setiap titik adalah berbeza (kami membincangkan perkara ini pada awal-awal lagi - kecuraman jalan adalah berbeza pada titik yang berbeza). Oleh itu, apabila kita menulis derivatif, kita mesti menunjukkan pada titik mana:

Fungsi kuasa.

Fungsi kuasa ialah fungsi di mana hujahnya berada pada tahap tertentu (logik, bukan?).

Lebih-lebih lagi - pada tahap apa pun: .

Kes paling mudah- ini adalah apabila eksponen:

Mari cari terbitannya pada satu titik. Mari kita ingat definisi terbitan:

Jadi hujah berubah dari kepada. Apakah pertambahan fungsi itu?

Kenaikan adalah ini. Tetapi fungsi pada mana-mana titik adalah sama dengan hujahnya. Itulah sebabnya:

Derivatif adalah sama dengan:

Terbitan daripada adalah sama dengan:

b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadratik (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini bermakna bahawa nilai kenaikan boleh diabaikan, kerana ia adalah sangat kecil, dan oleh itu tidak penting dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami datang dengan peraturan lain:

c) Kami meneruskan siri logik: .

Ungkapan ini boleh dipermudahkan dengan cara yang berbeza: buka kurungan pertama menggunakan formula untuk pendaraban singkatan kubus hasil tambah, atau memfaktorkan keseluruhan ungkapan menggunakan formula perbezaan kubus. Cuba lakukan sendiri menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan.

Jadi, saya mendapat perkara berikut:

Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Ini bermakna kita boleh mengabaikan semua istilah yang mengandungi:

Kita mendapatkan: .

d) Peraturan yang serupa boleh didapati untuk kuasa besar:

e) Ternyata peraturan ini boleh digeneralisasikan untuk fungsi kuasa dengan eksponen sewenang-wenangnya, malah bukan integer:

(2)

Peraturan itu boleh dirumuskan dalam perkataan: "darjah dibawa ke hadapan sebagai pekali, dan kemudian dikurangkan dengan ."

Kami akan membuktikan peraturan ini kemudian (hampir pada penghujungnya). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari terbitan bagi fungsi:

(dalam dua cara: dengan formula dan menggunakan takrifan derivatif - dengan mengira kenaikan fungsi);

. Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kuasa. Jika anda mempunyai soalan seperti "Bagaimana ini? Mana ijazah?”, ingat topik “”!
Ya, ya, akarnya juga ijazah, hanya pecahan: .
Ini bermakna punca kuasa dua kita hanyalah kuasa dengan eksponen:
.
Kami mencari derivatif menggunakan formula yang baru dipelajari:
Jika pada ketika ini ia menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik “”!!! (tentang ijazah dengan penunjuk negatif)
. Sekarang eksponen:
Dan sekarang melalui definisi (adakah anda sudah lupa?):
;
.
Sekarang, seperti biasa, kami mengabaikan istilah yang mengandungi:
.
. Gabungan kes terdahulu: .

Fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta daripada matematik yang lebih tinggi:

Dengan ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya pada tahun pertama institut anda (dan untuk sampai ke sana, anda perlu lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafik:

Kami melihat bahawa apabila fungsi itu tidak wujud - titik pada graf dipotong. Tetapi semakin dekat dengan nilai, semakin dekat fungsi itu.

Selain itu, anda boleh menyemak peraturan ini menggunakan kalkulator. Ya, ya, jangan segan, ambil kalkulator, kita belum berada di Peperiksaan Negeri Bersepadu lagi.

Jadi, jom cuba: ;

Jangan lupa tukar kalkulator anda kepada mod Radians!

dan lain-lain. Kami melihat bahawa semakin kurang, semakin nilai yang lebih dekat hubungan dengan

a) Pertimbangkan fungsinya. Seperti biasa, mari cari kenaikannya:

Mari tukarkan perbezaan sinus kepada produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula (ingat topik ""): .

Sekarang derivatifnya:

Jom buat pengganti: . Kemudian untuk infinitesimal ia juga infinitesimal: . Ungkapan untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita ingat itu dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika kuantiti yang tidak terhingga boleh diabaikan dalam jumlah (iaitu, pada).

Jadi kita dapat peraturan seterusnya:terbitan sinus adalah sama dengan kosinus:

Ini adalah terbitan asas (“jadual”). Inilah mereka dalam satu senarai:

Kemudian kami akan menambah beberapa lagi kepada mereka, tetapi ini adalah yang paling penting, kerana ia digunakan paling kerap.

Amalan:

Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik;
Cari terbitan bagi fungsi itu.

Penyelesaian:

Mula-mula, mari cari derivatif dalam bentuk umum, dan kemudian gantikan nilainya:
;
.
Di sini kita mempunyai sesuatu yang serupa dengan fungsi kuasa. Mari cuba bawa dia ke
pandangan biasa:
.
Hebat, kini anda boleh menggunakan formula:
.
.
. Eeeeee.....Apa ni????

Okay, anda betul, kami belum tahu cara mencari derivatif sedemikian. Di sini kita mempunyai gabungan beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, anda perlu mempelajari beberapa peraturan lagi:

Logaritma eksponen dan asli.

Terdapat fungsi dalam matematik yang terbitan untuk sebarang nilai adalah sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada masa yang sama. Ia dipanggil "eksponen", dan merupakan fungsi eksponen

Asas fungsi ini adalah pemalar - ia tidak terhingga perpuluhan, iaitu nombor tak rasional (seperti). Ia dipanggil "nombor Euler", itulah sebabnya ia dilambangkan dengan huruf.

Jadi, peraturannya:

Sangat mudah untuk diingati.

Baiklah, jangan pergi jauh, mari lihat dengan segera fungsi songsang. Fungsi yang manakah merupakan songsang bagi fungsi eksponen? Logaritma:

Dalam kes kami, asasnya ialah nombor:

Logaritma sedemikian (iaitu, logaritma dengan asas) dipanggil "semula jadi", dan kami menggunakan notasi khas untuknya: kami menulis sebaliknya.

Apakah ia sama dengan? Sudah tentu, .

Terbitan logaritma asli juga sangat mudah:

Contoh:

Cari terbitan bagi fungsi itu.
Apakah terbitan bagi fungsi tersebut?

Jawapan: Pempamer dan logaritma semula jadi- fungsi unik mudah dari segi derivatif. Fungsi eksponen dan logaritma dengan mana-mana asas lain akan mempunyai derivatif yang berbeza, yang akan kita analisis kemudian, selepas mari kita ikuti peraturan pembezaan.

Peraturan pembezaan

Peraturan apa? sekali lagi istilah baru, lagi?!...

Pembezaan ialah proses mencari terbitan.

Itu sahaja. Apa lagi yang boleh anda panggil proses ini dalam satu perkataan? Bukan derivatif... Ahli matematik memanggil pembezaan kenaikan yang sama bagi fungsi di. Istilah ini berasal dari differentia Latin - perbezaan. Di sini.

Apabila memperoleh semua peraturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, sebagai contoh, dan. Kami juga memerlukan formula untuk kenaikannya:

Terdapat 5 peraturan secara keseluruhan.

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan.

Jika - beberapa nombor tetap(malar), kemudian.

Jelas sekali, peraturan ini juga berfungsi untuk perbezaan: .

Jom buktikan. Biarlah, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari terbitan bagi fungsi:

pada satu titik;
pada satu titik;
pada satu titik;
pada titik.

Penyelesaian:

(derivatif adalah sama di semua titik, kerana ini fungsi linear, ingat?);

Derivatif produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baharu dan cari kenaikannya:

Derivatif:

Contoh:

Cari terbitan bagi fungsi dan;
Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik.

Penyelesaian:

Terbitan bagi fungsi eksponen

Sekarang pengetahuan anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari derivatif mana-mana fungsi eksponen, dan bukan hanya eksponen (adakah anda sudah lupa apakah itu?).

Jadi, mana ada nombor.

Kami sudah mengetahui terbitan fungsi tersebut, jadi mari cuba bawa fungsi kami ke pangkalan baharu:

Untuk ini kami akan gunakan peraturan mudah: . Kemudian:

Nah, ia berjaya. Sekarang cuba cari derivatif, dan jangan lupa bahawa fungsi ini adalah kompleks.

Terjadi?

Di sini, semak diri anda:

Formula itu ternyata sangat serupa dengan terbitan eksponen: seperti sediakala, ia tetap sama, hanya faktor yang muncul, iaitu hanya nombor, tetapi bukan pembolehubah.

Contoh:
Cari terbitan bagi fungsi:

Jawapan:

Ini hanyalah nombor yang tidak boleh dikira tanpa kalkulator, iaitu, ia tidak boleh ditulis dalam apa-apa lagi. dalam bentuk mudah. Oleh itu, kami meninggalkannya dalam borang ini dalam jawapan.

Terbitan bagi fungsi logaritma

Ia serupa di sini: anda sudah mengetahui terbitan logaritma asli:

Oleh itu, untuk mencari logaritma arbitrari dengan asas yang berbeza, sebagai contoh:

Kita perlu mengurangkan logaritma ini kepada asas. Bagaimanakah anda menukar asas logaritma? Saya harap anda ingat formula ini:

Hanya sekarang kami akan menulis sebaliknya:

Penyebutnya hanyalah pemalar (nombor tetap, tanpa pembolehubah). Derivatif diperoleh dengan sangat mudah:

Terbitan eksponen dan fungsi logaritma hampir tidak pernah muncul dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi tidak rugi untuk mengetahui mereka.

Terbitan fungsi kompleks.

Apa dah jadi" fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan arctangent. Fungsi ini boleh menjadi sukar untuk difahami (walaupun jika anda mendapati logaritma sukar, baca topik "Logaritma" dan anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandangan matematik, perkataan "kompleks" tidak bermaksud "sukar".

Bayangkan tali pinggang penghantar kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Sebagai contoh, yang pertama membungkus bar coklat dalam pembungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan reben. Hasilnya ialah objek komposit: bar coklat dibalut dan diikat dengan reben. Untuk makan coklat, anda perlu lakukan tindakan terbalik V susunan terbalik.

Mari kita cipta saluran paip matematik yang serupa: mula-mula kita akan mencari kosinus nombor, dan kemudian kuasa dua nombor yang terhasil. Jadi, kita diberi nombor (coklat), saya dapati kosinusnya (pembungkus), dan kemudian anda kuasai apa yang saya dapat (ikat dengan reben). Apa yang berlaku? Fungsi. Ini ialah contoh fungsi kompleks: apabila, untuk mencari nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan pembolehubah, dan kemudian tindakan kedua dengan apa yang terhasil daripada yang pertama.

Kita boleh melakukan langkah yang sama dengan mudah dalam susunan terbalik: mula-mula anda kuasa duakannya, dan kemudian saya mencari kosinus nombor yang terhasil: . Sangat mudah untuk meneka bahawa hasilnya hampir selalu berbeza. Ciri Penting fungsi kompleks: apabila susunan tindakan berubah, fungsi berubah.

Dalam kata lain, fungsi kompleks ialah fungsi yang hujahnya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (perkara yang sama). .

Tindakan yang kita lakukan terakhir akan dipanggil fungsi "luar"., dan tindakan yang dilakukan terlebih dahulu - sewajarnya fungsi "dalaman".(ini adalah nama tidak rasmi, saya menggunakannya hanya untuk menerangkan bahan dalam bahasa mudah).

Cuba tentukan sendiri fungsi luaran dan dalaman yang mana:

Jawapan: Mengasingkan fungsi dalam dan luar sangat serupa dengan mengubah pembolehubah: contohnya, dalam fungsi

Apakah tindakan yang akan kita lakukan dahulu? Mula-mula, mari kita hitung sinus, dan kemudian kiubkannya. Ini bermakna ia adalah fungsi dalaman, tetapi fungsi luaran.
Dan fungsi asal adalah komposisi mereka: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .

Kami menukar pembolehubah dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kami akan mengekstrak bar coklat kami dan mencari derivatifnya. Prosedur ini sentiasa diterbalikkan: mula-mula kita mencari derivatif fungsi luar, kemudian kita darabkan hasilnya dengan derivatif fungsi dalam. Berhubung dengan contoh asal, ia kelihatan seperti ini:

Contoh yang lain:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan rasmi:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

Nampak simple kan?

Mari kita semak dengan contoh:

Penyelesaian:

1) Dalaman: ;

Luaran: ;

2) Dalaman: ;

(Cukup jangan cuba memotongnya sekarang! Tiada apa-apa yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Luaran: ;

Ia dengan serta-merta jelas bahawa ini adalah fungsi kompleks tiga peringkat: lagipun, ini sudah menjadi fungsi yang kompleks dengan sendirinya, dan kami juga mengeluarkan akar daripadanya, iaitu, kami melakukan tindakan ketiga (kami meletakkan coklat dalam pembalut dan dengan reben di dalam beg bimbit). Tetapi tidak ada sebab untuk takut: kami masih akan "membongkar" fungsi ini dalam susunan yang sama seperti biasa: dari akhir.

Iaitu, mula-mula kita membezakan akar, kemudian kosinus, dan hanya kemudian ungkapan dalam kurungan. Dan kemudian kita melipatgandakan semuanya.

Dalam kes sedemikian, adalah mudah untuk menomborkan tindakan. Maksudnya, mari kita bayangkan apa yang kita tahu. Dalam susunan apakah kita akan melakukan tindakan untuk mengira nilai ungkapan ini? Mari lihat contoh:

Lebih lewat tindakan itu dilakukan, lebih banyak "luaran" fungsi yang sepadan. Urutan tindakan adalah sama seperti sebelumnya:

Di sini sarang biasanya 4 peringkat. Mari kita tentukan susunan tindakan.

1. Ungkapan radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Segi empat. .

5. Menyatukan segala-galanya:

TERBITAN. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Terbitan bagi fungsi- nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah untuk kenaikan hujah yang tidak terhingga:

Derivatif asas:

Peraturan pembezaan:

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Terbitan jumlah:

Derivatif produk:

Terbitan hasil bagi:

Terbitan fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

Kami mentakrifkan fungsi "dalaman" dan mencari terbitannya.
Kami mentakrifkan fungsi "luaran" dan mencari terbitannya.
Kami mendarabkan keputusan mata pertama dan kedua.