Derivatif kompleks. Terbitan logaritma.
Terbitan fungsi eksponen kuasa

Kami terus meningkatkan teknik pembezaan kami. Dalam pelajaran ini, kita akan menyatukan bahan yang telah kita bahas, melihat derivatif yang lebih kompleks, dan juga membiasakan diri dengan teknik dan helah baharu untuk mencari terbitan, khususnya, dengan terbitan logaritma.

Kepada pembaca yang telah Level rendah penyediaan, anda harus merujuk kepada artikel Bagaimana untuk mencari derivatif? Contoh penyelesaian, yang akan membolehkan anda meningkatkan kemahiran anda hampir dari awal. Seterusnya, anda perlu mengkaji halaman dengan teliti Terbitan fungsi kompleks, fahami dan selesaikan Semua contoh yang saya berikan. Pelajaran ini secara logiknya adalah yang ketiga, dan selepas menguasainya, anda dengan yakin akan membezakan fungsi yang agak kompleks. Adalah tidak diingini untuk mengambil jawatan “Di mana lagi? Ya, itu sudah cukup! ”, kerana semua contoh dan penyelesaian diambil dari yang sebenar ujian dan sering ditemui dalam amalan.

Mari kita mulakan dengan pengulangan. Pada pelajaran Terbitan fungsi kompleks Kami melihat beberapa contoh dengan ulasan terperinci. Semasa kajian kalkulus pembezaan dan bahagian lain analisis matematik– anda perlu membezakan dengan kerap, dan tidak selalunya mudah (dan tidak semestinya perlu) untuk menerangkan contoh dengan terperinci. Oleh itu, kami akan berlatih mencari derivatif secara lisan. "Calon" yang paling sesuai untuk ini adalah derivatif daripada fungsi kompleks yang paling mudah, contohnya:

Mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks :

Apabila mengkaji topik matan lain pada masa hadapan, rakaman terperinci seperti itu paling kerap tidak diperlukan; Cuba kita bayangkan pada pukul 3 pagi ada a panggilan telefon, Dan suara yang menyenangkan bertanya: "Apakah terbitan tangen dua X?" Ini harus diikuti dengan respons yang hampir serta-merta dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan untuk keputusan bebas.

Contoh 1

Cari derivatif berikut secara lisan, dalam satu tindakan, contohnya: . Untuk menyelesaikan tugas anda hanya perlu menggunakan jadual terbitan bagi fungsi asas(jika anda belum ingat lagi). Jika anda menghadapi sebarang kesulitan, saya cadangkan anda membaca semula pelajaran Terbitan fungsi kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Jawapan di akhir pelajaran

Derivatif kompleks

Selepas penyediaan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 fungsi sarang akan menjadi kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan kelihatan rumit kepada sesetengah orang, tetapi jika anda memahaminya (seseorang akan menderita), maka hampir semua perkara lain dalam kalkulus pembezaan Ia akan kelihatan seperti jenaka kanak-kanak.

Contoh 2

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Seperti yang telah dinyatakan, apabila mencari derivatif fungsi kompleks, pertama sekali, adalah perlu Betul FAHAM pelaburan anda. Dalam kes di mana terdapat keraguan, saya mengingatkan anda helah yang berguna: kami mengambil nilai percubaan "x", sebagai contoh, dan cuba (secara mental atau dalam draf) untuk menggantikan nilai yang diberikan menjadi "ungkapan yang mengerikan".

1) Mula-mula kita perlu mengira ungkapan, yang bermaksud jumlah adalah pembenaman terdalam.

2) Kemudian anda perlu mengira logaritma:

4) Kemudian kubus kosinus:

5) Pada langkah kelima perbezaannya:

6) Dan akhirnya, fungsi terluar ialah punca kuasa dua:

Formula untuk membezakan fungsi kompleks akan digunakan dalam susunan terbalik, daripada fungsi paling luar kepada paling dalam. Kami membuat keputusan:

Nampaknya tiada kesilapan...

(1) Ambil terbitan punca kuasa dua.

(2) Kami mengambil terbitan perbezaan menggunakan peraturan

(3) Terbitan bagi rangkap tiga ialah sifar. Dalam sebutan kedua kita mengambil terbitan darjah (kubus).

(4) Ambil terbitan bagi kosinus.

(5) Ambil terbitan logaritma.

(6) Dan akhirnya, kami mengambil terbitan daripada pembenaman terdalam.

Ia mungkin kelihatan terlalu sukar, tetapi ini bukanlah contoh yang paling kejam. Ambil, sebagai contoh, koleksi Kuznetsov dan anda akan menghargai semua keindahan dan kesederhanaan terbitan yang dianalisis. Saya perhatikan bahawa mereka suka memberikan perkara yang sama dalam peperiksaan untuk menyemak sama ada pelajar memahami cara mencari terbitan fungsi kompleks atau tidak faham.

Contoh berikut adalah untuk anda selesaikan sendiri.

Contoh 3

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Petunjuk: Mula-mula kita menggunakan peraturan lineariti dan peraturan pembezaan produk

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Sudah tiba masanya untuk beralih kepada sesuatu yang lebih kecil dan lebih bagus.
Ia tidak biasa untuk contoh untuk menunjukkan hasil bukan dua, tetapi tiga fungsi. Bagaimana untuk mencari terbitan daripada produk tiga pengganda?

Contoh 4

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Mula-mula kita lihat, adakah mungkin untuk menukar hasil darab tiga fungsi kepada hasil darab dua fungsi? Sebagai contoh, jika kita mempunyai dua polinomial dalam produk, maka kita boleh membuka kurungan. Tetapi dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, semua fungsi adalah berbeza: darjah, eksponen dan logaritma.

Dalam kes sedemikian adalah perlu secara berurutan gunakan peraturan pembezaan produk dua kali

Caranya ialah dengan "y" kita menandakan hasil darab dua fungsi: , dan dengan "ve" kita menandakan logaritma: . Mengapa ini boleh dilakukan? Adakah ia benar-benar – ini bukan hasil dua faktor dan peraturan itu tidak berkesan?! Tidak ada yang rumit:

Kini ia kekal untuk menggunakan peraturan untuk kali kedua untuk kurungan:

Anda masih boleh diselewengkan dan mengeluarkan sesuatu daripada kurungan, tetapi masuk dalam kes ini Adalah lebih baik untuk meninggalkan jawapan dalam borang ini - lebih mudah untuk menyemak.

Contoh yang dipertimbangkan boleh diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua-dua penyelesaian adalah benar-benar setara.

Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas dalam sampel ia diselesaikan menggunakan kaedah pertama.

Mari kita lihat contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Terdapat beberapa cara yang anda boleh pergi di sini:

Atau seperti ini:

Tetapi penyelesaiannya akan ditulis dengan lebih padat jika kita mula-mula menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi , mengambil untuk keseluruhan pengangka:

Pada dasarnya, contoh itu diselesaikan, dan jika ia dibiarkan seperti itu, ia tidak akan menjadi ralat. Tetapi jika anda mempunyai masa, anda dinasihatkan untuk menyemak draf untuk melihat sama ada jawapannya boleh dipermudahkan? Mari kita kurangkan ungkapan pengangka kepada penyebut biasa Dan mari kita singkirkan pecahan tiga tingkat:

Kelemahan penyederhanaan tambahan ialah terdapat risiko membuat kesilapan bukan apabila mencari derivatif, tetapi semasa transformasi sekolah cetek. Sebaliknya, guru sering menolak tugasan dan meminta untuk "mengingatkannya" derivatif.

Contoh yang lebih mudah untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 7

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Kami terus menguasai kaedah mencari derivatif, dan kini kami akan mempertimbangkan kes biasa apabila logaritma "mengerikan" dicadangkan untuk pembezaan

Contoh 8

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Di sini anda boleh pergi jauh, menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks:

Tetapi langkah pertama serta-merta menjerumuskan anda ke dalam keputusasaan - anda perlu mengambil derivatif yang tidak menyenangkan kuasa pecahan, dan kemudian juga daripada pecahan.

sebab tu sebelum ini bagaimana untuk mengambil terbitan logaritma "canggih", ia mula-mula dipermudahkan menggunakan sifat sekolah yang terkenal:

! Jika anda mempunyai buku nota latihan di tangan, salin formula ini terus di sana. Jika anda tidak mempunyai buku nota, salinnya pada sekeping kertas, kerana contoh pelajaran yang tinggal akan berkisar pada formula ini.

Penyelesaian itu sendiri boleh ditulis seperti ini:

Mari kita ubah fungsi:

Mencari terbitan:

Pra-menukar fungsi itu sendiri sangat memudahkan penyelesaian. Oleh itu, apabila logaritma yang serupa dicadangkan untuk pembezaan, ia sentiasa dinasihatkan untuk "memecahkannya".

Dan kini beberapa contoh mudah untuk anda selesaikan sendiri:

Contoh 9

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Contoh 10

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Semua transformasi dan jawapan berada di akhir pelajaran.

Terbitan logaritma

Jika terbitan logaritma adalah muzik yang begitu manis, maka persoalan timbul: adakah mungkin dalam beberapa kes untuk menyusun logaritma secara buatan? Boleh! Dan juga perlu.

Contoh 11

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Kami baru-baru ini melihat contoh yang serupa. Apa nak buat? Anda boleh menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi secara berurutan, dan kemudian peraturan pembezaan produk. Kelemahan kaedah ini ialah anda mempunyai pecahan tiga tingkat yang besar, yang anda tidak mahu berurusan sama sekali.

Tetapi dalam teori dan amalan terdapat satu perkara yang mengagumkan seperti terbitan logaritma. Logaritma boleh disusun secara buatan dengan "menggantung" mereka pada kedua-dua belah:

Sekarang anda perlu "memecahkan" logaritma sebelah kanan sebanyak mungkin (formula di hadapan mata anda?). Saya akan menerangkan proses ini dengan terperinci:

Mari kita mulakan dengan pembezaan.
Kami menyimpulkan kedua-dua bahagian di bawah perdana:

Terbitan sebelah kanan agak mudah; Saya tidak akan mengulas mengenainya, kerana jika anda membaca teks ini, anda sepatutnya dapat mengendalikannya dengan yakin.

Bagaimana dengan sebelah kiri?

Di sebelah kiri kita ada fungsi kompleks. Saya meramalkan soalan: "Mengapa, adakah terdapat satu huruf "Y" di bawah logaritma?"

Hakikatnya ialah "permainan satu huruf" ini - ADAKAH SENDIRI SATU FUNGSI(jika tidak begitu jelas, rujuk artikel Derivatif bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat). Oleh itu, logaritma ialah fungsi luaran, dan "y" ialah fungsi dalaman. Dan kami menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks :

Di sebelah kiri, seolah-olah dengan sihir tongkat sihir kita mempunyai derivatif. Seterusnya, mengikut peraturan perkadaran, kami memindahkan "y" dari penyebut sebelah kiri ke bahagian atas sebelah kanan:

Dan sekarang mari kita ingat apakah jenis fungsi "pemain" yang kita bincangkan semasa pembezaan? Jom tengok syaratnya:

Jawapan akhir:

Contoh 12

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Contoh contoh reka bentuk jenis ini pada akhir pelajaran.

Menggunakan terbitan logaritma adalah mungkin untuk menyelesaikan mana-mana contoh No. 4-7, perkara lain ialah fungsi di sana lebih mudah, dan, mungkin, penggunaan derivatif logaritma tidak begitu wajar.

Terbitan fungsi eksponen kuasa

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini lagi. Fungsi eksponen kuasa ialah fungsi yang kedua-dua darjah dan asas bergantung pada "x". Contoh klasik, yang akan diberikan kepada anda dalam mana-mana buku teks atau di mana-mana kuliah:

Bagaimana untuk mencari terbitan fungsi eksponen kuasa?

Ia adalah perlu untuk menggunakan teknik yang baru dibincangkan - terbitan logaritma. Kami menggantung logaritma pada kedua-dua belah:

Sebagai peraturan, di sebelah kanan darjah diambil dari bawah logaritma:

Akibatnya, di sebelah kanan kita mempunyai produk dua fungsi, yang akan dibezakan oleh formula standard .

Kami mencari terbitan; untuk melakukan ini, kami sertakan kedua-dua bahagian di bawah pukulan:

Tindakan selanjutnya adalah mudah:

Akhirnya:

Jika sebarang penukaran tidak jelas sepenuhnya, sila baca semula penjelasan Contoh #11 dengan teliti.

DALAM tugas amali Fungsi eksponen kuasa akan sentiasa lebih kompleks daripada contoh yang dibincangkan dalam kuliah.

Contoh 13

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Kami menggunakan terbitan logaritma.

Di sebelah kanan kita mempunyai pemalar dan hasil darab dua faktor - "x" dan "logaritma logaritma x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Apabila membezakan, seperti yang kita ingat, adalah lebih baik untuk segera memindahkan pemalar keluar dari tanda terbitan supaya ia tidak menghalangnya; dan, sudah tentu, kami menggunakan peraturan biasa :

Seperti yang anda lihat, algoritma untuk menggunakan derivatif logaritma tidak mengandungi sebarang helah atau helah khas, dan mencari terbitan fungsi eksponen kuasa biasanya tidak dikaitkan dengan "siksaan."

Contoh diberikan tentang pengiraan terbitan menggunakan formula terbitan bagi fungsi kompleks.

Di sini kami memberikan contoh pengiraan derivatif bagi fungsi berikut:
; ; ; ; .

Jika fungsi boleh diwakili sebagai fungsi kompleks dalam borang berikut:
,
maka terbitannya ditentukan oleh formula:
.
Dalam contoh di bawah, kami akan menulis formula ini seperti berikut:
.
mana .
Di sini, subskrip atau , terletak di bawah tanda terbitan, menandakan pembolehubah yang mana pembezaan dilakukan.

Biasanya, dalam jadual derivatif, derivatif fungsi daripada pembolehubah x diberikan. Walau bagaimanapun, x ialah parameter formal. Pembolehubah x boleh digantikan oleh mana-mana pembolehubah lain. Oleh itu, apabila membezakan fungsi daripada pembolehubah, kita hanya menukar, dalam jadual derivatif, pembolehubah x kepada pembolehubah u.

Contoh mudah

Contoh 1

Cari terbitan bagi fungsi kompleks
.

Penyelesaian

Mari kita menulisnya fungsi yang diberikan dalam bentuk yang setara:
.
Dalam jadual derivatif kita dapati:
;
.

Menurut formula untuk derivatif fungsi kompleks, kita mempunyai:
.
Di sini.

Jawab

Contoh 2

Cari terbitan
.

Penyelesaian

Kami mengambil pemalar 5 daripada tanda terbitan dan daripada jadual terbitan kami dapati:
.

.
Di sini.

Jawab

Contoh 3

Cari terbitan
.

Penyelesaian

Kami mengeluarkan pemalar -1 untuk tanda terbitan dan daripada jadual derivatif kita dapati:
;
Daripada jadual derivatif kita dapati:
.

Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks:
.
Di sini.

Jawab

Contoh yang lebih kompleks

Dalam lebih contoh yang kompleks kami menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks beberapa kali. Dalam kes ini, kita mengira derivatif dari hujung. Iaitu, kita memecahkan fungsi kepada bahagian komponennya dan mencari terbitan bahagian paling mudah yang digunakan jadual derivatif. Kami juga menggunakan peraturan untuk membezakan jumlah, produk dan pecahan. Kemudian kita membuat penggantian dan menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks.

Contoh 4

Cari terbitan
.

Penyelesaian

Mari kita serlahkan paling banyak bahagian mudah formula dan cari terbitannya. .

.
Di sini kami telah menggunakan notasi
.

Kami mencari terbitan bahagian seterusnya bagi fungsi asal menggunakan keputusan yang diperolehi. Kami menggunakan peraturan untuk membezakan jumlah:
.

Sekali lagi kita menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks.

.
Di sini.

Jawab

Contoh 5

Cari terbitan bagi fungsi itu
.

Penyelesaian

Mari pilih bahagian termudah formula dan cari terbitannya daripada jadual terbitan. .

Kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks.
.
Di sini
.

buat keputusan tugas fizikal atau contoh dalam matematik adalah mustahil sama sekali tanpa pengetahuan tentang terbitan dan kaedah mengiranya. Derivatif adalah salah satu daripada konsep yang paling penting analisis matematik. ini topik asas kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini. Apakah derivatif, apakah fizikalnya dan makna geometri bagaimana untuk mengira terbitan fungsi? Semua soalan ini boleh digabungkan menjadi satu: bagaimana untuk memahami derivatif?

Makna geometri dan fizikal terbitan

Biar ada fungsi f(x) , dinyatakan dalam selang waktu tertentu (a, b) . Titik x dan x0 tergolong dalam selang ini. Apabila x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah hujah - perbezaan dalam nilainya x-x0 . Perbezaan ini ditulis sebagai delta x dan dipanggil penambahan hujah. Perubahan atau kenaikan fungsi ialah perbezaan antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi derivatif:

Terbitan bagi fungsi pada satu titik ialah had nisbah pertambahan fungsi pada titik tertentu kepada pertambahan hujah apabila yang kedua cenderung kepada sifar.

Jika tidak, ia boleh ditulis seperti ini:

Apa gunanya mencari had sedemikian? Dan inilah perkaranya:

terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan tangen sudut antara paksi OX dan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu.

Makna fizikal terbitan: terbitan laluan berkenaan dengan masa adalah sama dengan kelajuan gerakan rectilinear.

Memang sejak zaman sekolah semua orang tahu bahawa kelajuan adalah laluan tertentu x=f(t) dan masa t . kelajuan purata untuk tempoh masa tertentu:

Untuk mengetahui kelajuan pergerakan pada satu-satu masa t0 anda perlu mengira had:

Peraturan satu: tetapkan pemalar

Pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Lebih-lebih lagi, ini mesti dilakukan. Apabila menyelesaikan contoh dalam matematik, ambil sebagai peraturan - Jika anda boleh memudahkan ungkapan, pastikan anda memudahkannya .

Contoh. Mari kita hitung derivatif:

Peraturan dua: terbitan hasil tambah fungsi

Terbitan hasil tambah dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah derivatif fungsi ini. Perkara yang sama berlaku untuk terbitan perbezaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorem ini, tetapi mempertimbangkan contoh praktikal.

Cari terbitan bagi fungsi:

Peraturan tiga: terbitan hasil darab fungsi

Terbitan hasil darab dua fungsi boleh dibezakan dikira dengan formula:

Contoh: cari terbitan bagi suatu fungsi:

Penyelesaian:

Adalah penting untuk bercakap tentang mengira derivatif fungsi kompleks di sini. Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan dan terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Dalam contoh di atas kita menjumpai ungkapan:

Dalam kes ini, hujah perantaraan ialah 8x kepada kuasa kelima. Untuk mengira derivatif ungkapan sedemikian, kita mula-mula mengira derivatif fungsi luaran berkenaan dengan hujah perantaraan, dan kemudian darab dengan terbitan hujah perantaraan itu sendiri berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Peraturan empat: terbitan hasil bagi dua fungsi

Formula untuk menentukan terbitan hasil bagi dua fungsi:

Kami cuba bercakap tentang derivatif untuk boneka dari awal. Topik ini tidak semudah yang kelihatan, jadi amaran: selalunya terdapat perangkap dalam contoh, jadi berhati-hati semasa mengira derivatif.

Dengan sebarang soalan mengenai perkara ini dan topik lain, anda boleh menghubungi perkhidmatan pelajar. belakang jangka pendek Kami akan membantu anda menyelesaikan ujian yang paling sukar dan menyelesaikan masalah, walaupun anda tidak pernah melakukan pengiraan terbitan sebelum ini.

Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) ditakrifkan dalam selang tertentu yang mengandungi titik \(x_0\). Mari kita berikan hujah kenaikan \(\Delta x \) supaya ia tidak meninggalkan selang ini. Mari cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila bergerak dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat had kepada nisbah ini pada \(\Delta x \rightarrow 0\), maka had yang ditentukan dipanggil terbitan fungsi\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menandakan terbitan." Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah ciri baharu, tetapi secara semula jadi dikaitkan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud. Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y = f(x).

Makna geometri terbitan adalah seperti berikut. Jika boleh melukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik dengan absis x=a, yang tidak selari dengan paksi-y, maka f(a) menyatakan kecerunan tangen. :
\(k = f"(a)\)

Oleh kerana \(k = tg(a) \), maka kesamaan \(f"(a) = tan(a) \) adalah benar.

Sekarang mari kita tafsirkan takrifan terbitan dari sudut kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x kesamaan anggaran \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \lebih kurang f"(x)\), iaitu \(\Delta y \lebih kurang f"(x) \cdot\ Delta x\). Makna bermakna kesamaan anggaran yang terhasil adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan dalam titik yang diberikan X. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2\) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x)?

1. Betulkan nilai \(x\), cari \(f(x)\)
2. Berikan hujah \(x\) kenaikan \(\Delta x\), pergi ke titik baru\(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Cipta hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada titik x.

Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).

Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan antara satu sama lain?

Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M(x; f(x)), dan, ingat, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu fungsi mesti selanjar pada titik x.

Ini adalah hujah "hands-on". Mari kita berikan alasan yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x\) dipegang. Jika dalam kesamaan ini \(\Delta x \) cenderung kepada sifar, maka \(\Delta y \) akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.

Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia berterusan pada titik itu.

Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik simpang" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika tangen tidak boleh ditarik ke graf fungsi, maka terbitan tidak wujud pada titik itu.

Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x = 0. Pekali cerun baris sedemikian tidak mempunyai, yang bermaksud bahawa \(f"(0) \) tidak wujud sama ada

Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah seseorang boleh membuat kesimpulan daripada graf fungsi bahawa ia boleh dibezakan?

Jawapannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika adalah mungkin untuk melukis tangen pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.

Peraturan pembezaan

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, hasil tambah, hasil darab fungsi, serta "fungsi fungsi," iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C - nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Terbitan bagi fungsi kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Jadual terbitan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Bukti formula untuk terbitan fungsi kompleks diberikan. Kes apabila fungsi kompleks bergantung pada satu atau dua pembolehubah dipertimbangkan secara terperinci. Generalisasi dibuat kepada kes itu sebarang nombor pembolehubah.

Di sini kami membentangkan kesimpulannya formula berikut untuk terbitan bagi fungsi kompleks.
Jika , maka
.
Jika , maka
.
Jika , maka
.

Terbitan fungsi kompleks daripada satu pembolehubah

Biarkan fungsi pembolehubah x diwakili sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
di mana terdapat beberapa fungsi. Fungsi ini boleh dibezakan untuk beberapa nilai pembolehubah x. Fungsi ini boleh dibezakan pada nilai pembolehubah.
Kemudian fungsi kompleks (komposit) boleh dibezakan pada titik x dan terbitannya ditentukan oleh formula:
(1) .

Formula (1) juga boleh ditulis seperti berikut:
;
.

Bukti

Mari kita perkenalkan notasi berikut.
;
.
Di sini terdapat fungsi pembolehubah dan , terdapat fungsi pembolehubah dan . Tetapi kita akan meninggalkan hujah-hujah fungsi ini supaya tidak mengacaukan pengiraan.

Oleh kerana fungsi dan boleh dibezakan pada titik x dan , masing-masing, maka pada titik ini terdapat terbitan bagi fungsi ini, iaitu had berikut:
;
.

Pertimbangkan fungsi berikut:
.
Untuk nilai tetap pembolehubah u, ialah fungsi . Jelas sekali
.
Kemudian
.

Oleh kerana fungsi itu ialah fungsi boleh dibezakan pada titik itu, ia berterusan pada titik itu. sebab tu
.
Kemudian
.

Sekarang kita dapati derivatifnya.

.

Formulanya terbukti.

Akibat

Jika fungsi pembolehubah x boleh diwakili sebagai fungsi kompleks bagi fungsi kompleks
,
maka terbitannya ditentukan oleh formula
.
Di sini , dan terdapat beberapa fungsi yang boleh dibezakan.

Untuk membuktikan formula ini, kita mengira secara berurutan derivatif menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks.
Pertimbangkan fungsi kompleks
.
Derivatifnya
.
Pertimbangkan fungsi asal
.
Derivatifnya
.

Terbitan fungsi kompleks daripada dua pembolehubah

Sekarang biarkan fungsi kompleks bergantung pada beberapa pembolehubah. Mula-mula mari kita lihat kes fungsi kompleks dua pembolehubah.

Biarkan fungsi bergantung pada pembolehubah x diwakili sebagai fungsi kompleks dua pembolehubah dalam bentuk berikut:
,
di mana
dan terdapat fungsi boleh beza untuk beberapa nilai pembolehubah x;
- fungsi dua pembolehubah, boleh dibezakan pada titik , . Kemudian fungsi kompleks ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik dan mempunyai derivatif, yang ditentukan oleh formula:
(2) .

Bukti

Oleh kerana fungsi dan boleh dibezakan pada titik, ia ditakrifkan dalam kejiranan tertentu pada titik ini, adalah berterusan pada titik, dan terbitannya wujud pada titik, iaitu had berikut:
;
.
Di sini
;
.
Oleh kerana kesinambungan fungsi ini pada satu titik, kami mempunyai:
;
.

Oleh kerana fungsi boleh dibezakan pada titik, ia ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik ini, berterusan pada titik ini, dan kenaikannya boleh ditulis dalam bentuk berikut:
(3) .
Di sini

- kenaikan fungsi apabila hujahnya ditambah dengan nilai dan ;
;

- terbitan separa bagi fungsi berkenaan dengan pembolehubah dan .
Untuk nilai tetap dan , dan adalah fungsi pembolehubah dan . Mereka cenderung kepada sifar pada dan:
;
.
Sejak dan , kemudian
;
.

Kenaikan fungsi:

. :
.
Mari kita gantikan (3):



.

Formulanya terbukti.

Terbitan fungsi kompleks daripada beberapa pembolehubah

Kesimpulan di atas dengan mudah boleh digeneralisasikan kepada kes apabila bilangan pembolehubah fungsi kompleks adalah lebih daripada dua.

Contohnya, jika f ialah fungsi tiga pembolehubah, Itu
,
di mana
, dan terdapat fungsi boleh dibezakan untuk beberapa nilai pembolehubah x;
- fungsi boleh beza bagi tiga pembolehubah pada titik , , .
Kemudian, daripada definisi kebolehbezaan fungsi, kita mempunyai:
(4)
.
Kerana, kerana kesinambungan,
; ; ,
Itu
;
;
.

Membahagikan (4) dengan dan melepasi had, kami memperoleh:
.

Dan akhirnya, mari kita pertimbangkan paling kes am .
Biarkan fungsi pembolehubah x diwakili sebagai fungsi kompleks bagi n pembolehubah dalam bentuk berikut:
,
di mana
terdapat fungsi boleh beza untuk beberapa nilai pembolehubah x;
- fungsi boleh beza bagi n pembolehubah pada satu titik
, , ... , .
Kemudian
.