Jadi, kita ada kuasa dua. Jika anda mengambil nombor dari baris bawah, anda boleh dengan mudah mencari kuasa yang anda perlu menaikkan dua untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keenam. Ini boleh dilihat dari jadual.
Dan sekarang - sebenarnya, takrifan logaritma:
Asas logaritma x ialah kuasa yang mesti dinaikkan untuk mendapatkan x.
Penetapan: log a x = b, di mana a ialah asas, x ialah hujah, b ialah logaritma sebenarnya sama dengannya.
Contohnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma asas 2 bagi 8 ialah tiga kerana 2 3 = 8). Dengan log kejayaan yang sama 2 64 = 6, sejak 2 6 = 64.
Operasi mencari logaritma nombor kepada asas tertentu dipanggil logaritma. Jadi, mari tambah baris baharu pada jadual kami:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Malangnya, tidak semua logaritma dikira dengan begitu mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5 . Nombor 5 tiada dalam jadual, tetapi logik menentukan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем lebih ijazah dua, lebih besar bilangannya.
Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional: nombor selepas titik perpuluhan boleh ditulis ad infinitum, dan ia tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma ialah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Pada mulanya, ramai yang keliru di mana asasnya dan di mana hujahnya. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat sahaja gambar:
Di hadapan kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma ialah kuasa, di mana pangkalan mesti dibina untuk mendapatkan hujah. Ia adalah pangkalan yang dinaikkan kepada kuasa - ia diserlahkan dengan warna merah dalam gambar. Ternyata asasnya sentiasa di bawah! Saya memberitahu pelajar saya peraturan indah ini pada pelajaran pertama - dan tiada kekeliruan timbul.
Kami telah mengetahui definisinya - yang tinggal hanyalah mempelajari cara mengira logaritma, i.e. buang tanda "log". Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:
- Hujah dan asas mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar. Ini berikutan daripada definisi ijazah penunjuk rasional, yang mana definisi logaritma turun.
- Asas mesti berbeza daripada satu, kerana satu hingga mana-mana darjah masih kekal satu. Oleh kerana itu, persoalan "kepada apa kuasa seseorang mesti dibangkitkan untuk mendapat dua" tidak bermakna. Tidak ada ijazah seperti itu!
Sekatan sedemikian dipanggil julat nilai yang boleh diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritma kelihatan seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Ambil perhatian bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma). Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 = −1, kerana 0.5 = 2 −1.
Namun, kini kami hanya mempertimbangkan ungkapan angka, di mana ia tidak diperlukan untuk mengetahui CVD logaritma. Semua sekatan telah diambil kira oleh pengarang masalah. Tetapi apabila mereka pergi persamaan logaritma dan ketidaksamaan, keperluan DHS akan menjadi wajib. Lagipun, asas dan hujah mungkin mengandungi pembinaan yang sangat kuat yang tidak semestinya sepadan dengan sekatan di atas.
Sekarang mari kita pertimbangkan skim umum mengira logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:
- Nyatakan asas a dan hujah x sebagai kuasa dengan kemungkinan asas minimum yang lebih besar daripada satu. Sepanjang perjalanan, lebih baik untuk menyingkirkan perpuluhan;
- Selesaikan persamaan bagi pembolehubah b: x = a b ;
- Nombor b yang terhasil akan menjadi jawapannya.
Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan kelihatan pada langkah pertama. Keperluan bahawa asas itu lebih daripada satu, sangat relevan: ia mengurangkan kemungkinan ralat dan sangat memudahkan pengiraan. Sama dengan perpuluhan: jika anda segera menukarnya kepada yang biasa, akan terdapat banyak ralat yang lebih sedikit.
Mari lihat cara skema ini berfungsi menggunakan contoh khusus:
Tugasan. Kira logaritma: log 5 25
- Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Kami menerima jawapan: 2.
Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Tugasan. Kira logaritma:
Tugasan. Kira logaritma: log 4 64
- Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Kami menerima jawapan: 3.
Tugasan. Kira logaritma: log 16 1
- Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Kami menerima jawapan: 0.
Tugasan. Kira logaritma: log 7 14
- Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak boleh diwakili sebagai kuasa tujuh, sejak 7 1< 14 < 7 2 ;
- daripada perenggan sebelumnya ia berikutan bahawa logaritma tidak dikira;
- Jawapannya tiada perubahan: log 7 14.
Nota kecil kepada contoh terakhir. Bagaimanakah anda boleh memastikan bahawa sesuatu nombor bukanlah kuasa tepat bagi nombor lain? Ia sangat mudah - hanya pecahkannya menjadi faktor utama. Jika pengembangan mempunyai sekurang-kurangnya dua faktor yang berbeza, bilangannya bukanlah kuasa yang tepat.
Tugasan. Ketahui sama ada nombor adalah kuasa yang tepat: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - darjah tepat, kerana hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan kuasa yang tepat, kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - darjah tepat;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan kuasa yang tepat;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan darjah yang tepat;
Kami juga perhatikan bahawa kami sendiri nombor perdana sentiasa darjah yang tepat bagi diri mereka sendiri.
Logaritma perpuluhan
Sesetengah logaritma adalah sangat biasa sehingga mereka mempunyai nama dan simbol khas.
Logaritma perpuluhan bagi x ialah logaritma kepada asas 10, i.e. Kuasa yang nombor 10 mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: lg x.
Sebagai contoh, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dsb.
Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" muncul dalam buku teks, ketahui bahawa ini bukan kesilapan menaip. ini logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak biasa dengan notasi ini, anda sentiasa boleh menulis semula:
log x = log 10 x
Semua yang benar untuk logaritma biasa adalah benar untuk logaritma perpuluhan.
Logaritma semula jadi
Terdapat satu lagi logaritma yang mempunyai sebutan tersendiri. Dalam beberapa cara, ia lebih penting daripada perpuluhan. Ia mengenai tentang logaritma semula jadi.
Logaritma asli bagi x ialah logaritma kepada asas e, i.e. kuasa yang nombor e mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: ln x .
Ramai yang akan bertanya: apakah nombor e? ini nombor tak rasional, miliknya nilai sebenar mustahil untuk mencari dan merekodkan. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2.718281828459...
Kami tidak akan menjelaskan secara terperinci tentang apakah nombor ini dan mengapa ia diperlukan. Ingatlah bahawa e ialah asas logaritma asli:
ln x = log e x
Oleh itu ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 ialah nombor tak rasional. sama sekali, logaritma semula jadi mana-mana nombor rasional tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, untuk satu: ln 1 = 0.
Untuk logaritma asli, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah sah.
Logaritma nombor b kepada asas a ialah eksponen yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor b.
Jika, maka.
Logaritma - melampau penting kuantiti matematik , memandangkan kalkulus logaritma membenarkan bukan sahaja menyelesaikan persamaan eksponen, tetapi juga beroperasi dengan eksponen, membezakan eksponen dan fungsi logaritma, integrasikan mereka dan bawa mereka ke bentuk yang lebih boleh diterima untuk dikira.
Bersentuhan dengan
Semua sifat logaritma berkaitan secara langsung dengan sifat fungsi eksponen. Sebagai contoh, hakikat bahawa 
bermakna:
Perlu diingatkan bahawa apabila menyelesaikan tugasan tertentu, sifat logaritma mungkin lebih penting dan berguna daripada peraturan untuk bekerja dengan kuasa.
Mari kita kemukakan beberapa identiti:
Berikut ialah ungkapan algebra asas:
;
.
Perhatian! boleh wujud hanya untuk x>0, x≠1, y>0.
Mari kita cuba memahami persoalan tentang apa itu logaritma semula jadi. Minat khusus dalam matematik mewakili dua jenis- yang pertama mempunyai nombor "10" sebagai asasnya, dan dipanggil "logaritma perpuluhan". Yang kedua dipanggil semula jadi. Asas logaritma asli ialah nombor “e”. Inilah yang akan kita bincangkan secara terperinci dalam artikel ini.
Jawatan:
- lg x - perpuluhan;
- ln x - semula jadi.
Menggunakan identiti, kita boleh melihat bahawa ln e = 1, serta fakta bahawa lg 10=1.
Graf logaritma semula jadi
Mari bina graf logaritma asli menggunakan kaedah klasik standard titik demi titik. Jika anda mahu, anda boleh menyemak sama ada kami membina fungsi dengan betul dengan memeriksa fungsi tersebut. Walau bagaimanapun, masuk akal untuk mempelajari cara membinanya "secara manual" untuk mengetahui cara mengira logaritma dengan betul.
Fungsi: y = ln x. Mari tuliskan jadual titik yang akan dilalui oleh graf:
Mari kita terangkan mengapa kita memilih nilai-nilai khusus hujah x ini. Ini semua tentang identiti: . Untuk logaritma asli identiti ini akan kelihatan seperti ini:
Untuk kemudahan, kita boleh mengambil lima titik rujukan:
;
;
.
;
.
Oleh itu, mengira logaritma semula jadi adalah tugas yang agak mudah selain itu, ia memudahkan pengiraan operasi dengan kuasa, mengubahnya menjadi pendaraban biasa.
Dengan memplot graf titik demi titik, kami mendapat graf anggaran:
Domain takrifan logaritma semula jadi (iaitu semua nilai yang sah hujah X) - semua nombor lebih besar daripada sifar.
Perhatian! Domain takrifan logaritma asli merangkumi sahaja nombor positif! Skop definisi tidak termasuk x=0. Ini adalah mustahil berdasarkan syarat kewujudan logaritma.
Julat nilai (iaitu semua nilai sah fungsi y = ln x) ialah semua nombor dalam selang.
Had log semula jadi
Mengkaji graf, persoalan timbul - bagaimana fungsi berfungsi pada y<0.
Jelas sekali, graf fungsi cenderung melintasi paksi-y, tetapi tidak akan dapat melakukan ini, kerana logaritma asli bagi x<0 не существует.
Had semula jadi log boleh ditulis dengan cara ini:
Formula untuk menggantikan asas logaritma
Berurusan dengan logaritma semula jadi adalah lebih mudah daripada berurusan dengan logaritma yang mempunyai asas arbitrari. Itulah sebabnya kita akan cuba belajar bagaimana untuk mengurangkan sebarang logaritma kepada logaritma semula jadi, atau menyatakannya kepada asas sewenang-wenangnya melalui logaritma semula jadi.
Mari kita mulakan dengan identiti logaritma:
Kemudian sebarang nombor atau pembolehubah y boleh diwakili sebagai:
di mana x ialah sebarang nombor (positif mengikut sifat logaritma).
Ungkapan ini boleh diambil secara logaritma pada kedua-dua belah pihak. Mari kita lakukan ini menggunakan asas z yang sewenang-wenangnya:
Mari kita gunakan sifat (hanya bukannya "c" kita mempunyai ungkapan):
Dari sini kita mendapat formula universal:
.
Khususnya, jika z=e, maka:
.
Kami dapat mewakili logaritma kepada asas sembarangan melalui nisbah dua logaritma asli.
Kami menyelesaikan masalah
Untuk lebih memahami logaritma semula jadi, mari kita lihat contoh beberapa masalah.
Masalah 1. Adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan ln x = 3.
Penyelesaian: Menggunakan takrifan logaritma: jika , maka , kita dapat:
Masalah 2. Selesaikan persamaan (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Penyelesaian: Menggunakan takrifan logaritma: jika , maka , kita dapat:
.
Mari kita gunakan definisi logaritma sekali lagi:
.
Oleh itu:
.
Anda boleh mengira jawapannya atau anda boleh meninggalkannya dalam borang ini.
Tugasan 3. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian: Mari kita buat penggantian: t = ln x. Kemudian persamaan akan mengambil bentuk berikut:
.
Kami mempunyai persamaan kuadratik. Mari cari diskriminasinya:
Punca pertama persamaan:
.
Punca kedua persamaan:
.
Mengingati bahawa kita membuat penggantian t = ln x, kita dapat:
Dalam statistik dan teori kebarangkalian, kuantiti logaritma didapati sangat kerap. Ini tidak menghairankan, kerana nombor e sering mencerminkan kadar pertumbuhan kuantiti eksponen.
Dalam sains komputer, pengaturcaraan dan teori komputer, logaritma didapati agak kerap, contohnya, untuk menyimpan N bit dalam ingatan.
Dalam teori fraktal dan dimensi, logaritma sentiasa digunakan, kerana dimensi fraktal ditentukan hanya dengan bantuan mereka.
Dalam mekanik dan fizik Tiada bahagian di mana logaritma tidak digunakan. Taburan barometrik, semua prinsip termodinamik statistik, persamaan Tsiolkovsky, dll. adalah proses yang boleh diterangkan secara matematik hanya menggunakan logaritma.
Dalam kimia, logaritma digunakan dalam persamaan Nernst dan penerangan proses redoks.
Hebatnya, walaupun dalam muzik, untuk mengetahui bilangan bahagian oktaf, logaritma digunakan.
Logaritma asli Fungsi y=ln x sifat-sifatnya
Bukti sifat utama logaritma asli
Sifat asas logaritma asli, graf, domain definisi, set nilai, formula asas, terbitan, kamiran, pengembangan dalam siri kuasa dan perwakilan fungsi ln x menggunakan nombor kompleks.
Definisi
Logaritma semula jadi ialah fungsi y = ln x, songsangan bagi eksponen, x = e y, dan ialah logaritma kepada asas nombor e: ln x = log e x.
Logaritma asli digunakan secara meluas dalam matematik kerana terbitannya mempunyai bentuk termudah: (ln x)′ = 1/ x.
berdasarkan takrifan, asas logaritma asli ialah nombor e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
Graf bagi fungsi y = ln x.
Graf logaritma asli (fungsi y = ln x) diperoleh daripada graf eksponen melalui pantulan cermin berbanding garis lurus y = x.
Logaritma asli ditakrifkan untuk nilai positif pembolehubah x. Ia meningkat secara monoton dalam domain definisinya.
Pada x → 0 had logaritma asli ialah tolak infiniti (-∞).
Sebagai x → + ∞, had logaritma asli ialah campur infiniti (+ ∞). Untuk x besar, logaritma meningkat agak perlahan. Mana-mana fungsi kuasa x a dengan eksponen positif a berkembang lebih cepat daripada logaritma.
Sifat logaritma semula jadi
Domain definisi, set nilai, ekstrem, peningkatan, penurunan
Logaritma semula jadi ialah fungsi yang meningkat secara monoton, jadi ia tidak mempunyai ekstrem. Sifat utama logaritma semula jadi dibentangkan dalam jadual.
ln nilai x
ln 1 = 0
Formula asas untuk logaritma semula jadi
Formula berikut daripada definisi fungsi songsang:
Sifat utama logaritma dan akibatnya
Formula penggantian asas
Mana-mana logaritma boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma semula jadi menggunakan formula penggantian asas:
Bukti formula ini dibentangkan dalam bahagian "Logaritma".
Fungsi songsang
Songsangan logaritma asli ialah eksponen.
Jika , maka
Jika, maka.
Terbitan ln x
Terbitan logaritma asli:
.
Terbitan logaritma asli modulus x:
.
Terbitan urutan ke-n:
.
Rumus terbitan > > >
kamiran
Kamiran dikira dengan pengamiran mengikut bahagian:
.
Jadi,
Ungkapan menggunakan nombor kompleks
Pertimbangkan fungsi pembolehubah kompleks z:
.
Mari kita nyatakan pembolehubah kompleks z melalui modul r dan hujah φ
:
.
Dengan menggunakan sifat logaritma, kita mempunyai:
.
Ataupun
.
Hujah φ tidak ditakrifkan secara unik. Jika anda meletakkan
, dengan n ialah integer,
ia akan menjadi nombor yang sama untuk n yang berbeza.
Oleh itu, logaritma asli, sebagai fungsi pembolehubah kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.
Pengembangan siri kuasa
Apabila pengembangan berlaku:
Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.
Apakah logaritma?
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya persamaan dengan logaritma.
Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! Tidak percaya saya? baiklah. Kini, hanya dalam 10 - 20 minit anda:
1. Anda akan faham apa itu logaritma.
2. Belajar menyelesaikan keseluruhan kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar apa-apa tentang mereka.
3. Belajar mengira logaritma mudah.
Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban dan cara menaikkan nombor kepada kuasa...
Saya rasa awak ada keraguan... Baik, okey, tandakan masanya! Pergi!
Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala anda:
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Logaritma asli. Asas logaritma asli. Logaritma nombor asli"
Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 11
Manual interaktif untuk gred 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk gred 10–11 "Logaritma"
Apakah itu logaritma semula jadi
Kawan-kawan, dalam pelajaran lepas kita belajar sesuatu yang baru, nombor khas– e. Hari ini kami akan terus bekerja dengan nombor ini.Kami telah mengkaji logaritma dan kami tahu bahawa asas logaritma boleh menjadi banyak nombor yang lebih besar daripada 0. Hari ini kita juga akan melihat logaritma yang asasnya ialah nombor e. Ia mempunyai tatatanda sendiri: $\ln(n)$ ialah logaritma asli. Entri ini bersamaan dengan entri: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Fungsi eksponen dan logaritma adalah songsang, maka logaritma asli adalah songsang bagi fungsi: $y=e^x$.
Fungsi songsang adalah simetri berkenaan dengan garis lurus $y=x$.
Mari kita plot logaritma asli dengan memplot fungsi eksponen berkenaan dengan garis lurus $y=x$.
Perlu diingat bahawa sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi $y=e^x$ pada titik (0;1) ialah 45°. Kemudian sudut kecondongan tangen kepada graf logaritma asli pada titik (1;0) juga akan sama dengan 45°. Kedua-dua tangen ini akan selari dengan garis $y=x$. Mari kita rajah tangen: 
Sifat fungsi $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat di seluruh domain definisi.
4. Tidak terhad dari atas, tidak terhad dari bawah.
5. Nilai terhebat tidak, nilai terendah Tidak.
6. Berterusan.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Cembung ke atas.
9. Boleh dibezakan di mana-mana.
saya tahu matematik yang lebih tinggi itu telah terbukti terbitan bagi fungsi songsang ialah songsangan bagi terbitan bagi fungsi yang diberi.
Tidak perlu mendalami buktinya sangat masuk akal, mari tulis formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Contoh.
Kira nilai terbitan fungsi: $y=\ln(2x-7)$ pada titik $x=4$.
Penyelesaian.
DALAM Pandangan umum fungsi kita diwakili oleh fungsi $y=f(kx+m)$, kita boleh mengira derivatif bagi fungsi tersebut.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Mari kita hitung nilai terbitan pada titik yang diperlukan: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Jawapan: 2.
Contoh.
Lukis tangen pada graf fungsi $y=ln(x)$ pada titik $х=е$.
Penyelesaian.
Kita ingat baik persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Kami mengira secara berurutan nilai yang diperlukan.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Persamaan tangen pada titik $x=e$ ialah fungsi $y=\frac(x)(e)$.
Mari kita lukiskan logaritma asli dan garis tangen. 
Contoh.
Periksa fungsi untuk monotonicity dan extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Penyelesaian.
Domain takrifan fungsi $D(y)=(0;+∞)$.
Mari cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivatif wujud untuk semua x daripada domain takrifan, maka titik kritikal Tidak. Mari cari titik pegun:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Titik $х=-1$ tidak tergolong dalam domain definisi. Kemudian kita mempunyai satu titik pegun$x=1$. Mari cari selang peningkatan dan penurunan: 
Titik $x=1$ ialah titik minimum, kemudian $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Jawapan: Fungsi berkurangan pada segmen (0;1], fungsi bertambah pada sinar $)