Untuk pelajar matematik yang lebih tinggi perlu diketahui bahawa jumlah tertentu siri kuasa, tergolong dalam selang penumpuan siri yang diberikan kepada kami, ternyata menjadi bilangan kali berterusan dan tidak terhad fungsi dibezakan. Timbul persoalan: bolehkah dikatakan bahawa yang diberikan fungsi sewenang-wenangnya f(x) ialah hasil tambah beberapa siri kuasa? Iaitu, dalam keadaan apakah fungsi f(x) boleh digambarkan? siri kuasa? Kepentingan soalan ini terletak pada fakta bahawa adalah mungkin untuk menggantikan fungsi f(x) dengan jumlah beberapa sebutan pertama siri kuasa, iaitu polinomial. Penggantian fungsi ini agak ungkapan ringkas- polinomial - juga mudah apabila menyelesaikan masalah tertentu, iaitu: semasa menyelesaikan kamiran, semasa mengira, dsb.
Telah terbukti bahawa untuk fungsi tertentu f(x), di mana adalah mungkin untuk mengira derivatif sehingga tertib ke (n+1), termasuk yang terakhir, dalam kejiranan (α - R; x 0 + R ) beberapa titik x = α, adalah benar bahawa formula:
Formula ini dinamakan sempena nama saintis terkenal Brooke Taylor. Siri yang diperoleh daripada yang sebelumnya dipanggil siri Maclaurin:
Peraturan yang memungkinkan untuk melakukan pengembangan dalam siri Maclaurin:
- Tentukan terbitan bagi pesanan pertama, kedua, ketiga...
- Kirakan apa yang sama dengan terbitan pada x=0.
- Tuliskan siri Maclaurin untuk fungsi ini, dan kemudian tentukan selang penumpuannya.
- Tentukan selang (-R;R), di mana baki formula Maclaurin
R n (x) -> 0 pada n -> infiniti. Jika satu wujud, fungsi f(x) di dalamnya mesti bertepatan dengan jumlah siri Maclaurin.
Mari kita pertimbangkan siri Maclaurin untuk fungsi individu.
1. Jadi, yang pertama ialah f(x) = e x. Sudah tentu, dengan ciri-cirinya, fungsi sedemikian mempunyai terbitan susunan yang sangat berbeza, dan f (k) (x) = e x , di mana k sama dengan semua. Gantikan x = 0. Kita dapat f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Berdasarkan perkara di atas, siri e x akan kelihatan seperti ini:
2. Siri Maclaurin untuk fungsi f(x) = sin x. Mari kita jelaskan dengan segera bahawa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan mempunyai derivatif, sebagai tambahan, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), dengan k sama dengan sebarang nombor asli. Iaitu, setelah membuat pengiraan mudah, kita boleh membuat kesimpulan bahawa siri untuk f(x) = sin x akan menjadi dalam bentuk berikut:
3. Sekarang mari kita cuba pertimbangkan fungsi f(x) = cos x. Untuk semua yang tidak diketahui ia mempunyai terbitan susunan arbitrari, dan |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Jadi, kami telah menyenaraikan fungsi paling penting yang boleh dikembangkan dalam siri Maclaurin, tetapi ia ditambah dengan siri Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kami akan menyenaraikannya. Perlu diingatkan juga bahawa siri Taylor dan Maclaurin adalah bahagian penting dalam kerja amali untuk menyelesaikan siri dalam matematik yang lebih tinggi. Jadi, siri Taylor.
1. Yang pertama ialah siri untuk fungsi f(x) = ln(1+x). Seperti dalam contoh sebelumnya, untuk f(x) = ln(1+x) yang diberikan kita boleh menambah siri menggunakan bentuk am siri Maclaurin. walau bagaimanapun, untuk fungsi ini siri Maclaurin boleh diperolehi dengan lebih mudah. Setelah menyepadukan siri geometri tertentu, kami memperoleh satu siri untuk f(x) = ln(1+x) sampel sedemikian:
2. Dan yang kedua, yang akan menjadi muktamad dalam artikel kami, ialah siri untuk f(x) = arctan x. Untuk x kepunyaan selang [-1;1] pengembangan adalah sah:
Itu sahaja. Artikel ini mengkaji siri Taylor dan Maclaurin yang paling banyak digunakan dalam matematik tinggi, khususnya dalam universiti ekonomi dan teknikal.
16.1. Peluasan fungsi asas kepada siri Taylor dan
Maclaurin
Mari kita tunjukkan bahawa jika fungsi arbitrari ditakrifkan pada set 
, di sekitar titik itu 
mempunyai banyak derivatif dan merupakan hasil tambah siri kuasa:
maka anda boleh mencari pekali siri ini.
Mari kita gantikan dalam siri kuasa 
. Kemudian 
.
Mari kita cari terbitan pertama bagi fungsi tersebut 
:
Pada 
:
.
Untuk derivatif kedua kita dapat:
Pada 
:
.
Meneruskan prosedur ini n sebaik sahaja kita mendapat: 
.
Oleh itu, kami memperoleh satu siri kuasa bentuk:
,
yang dipanggil di sebelah Taylor untuk fungsi 
di sekitar titik itu 
.
Satu kes khas siri Taylor ialah Siri Maclaurin di 
:
Baki siri Taylor (Maclaurin) diperoleh dengan membuang siri utama n ahli pertama dan dilambangkan sebagai 
. Kemudian fungsi 
boleh ditulis sebagai jumlah n ahli pertama siri ini 
dan selebihnya 
:,
.
Bakinya biasanya 
dinyatakan dalam formula yang berbeza.
Salah satunya adalah dalam bentuk Lagrange:
, Di mana 
.
.
Ambil perhatian bahawa dalam amalan siri Maclaurin lebih kerap digunakan. Oleh itu, untuk menulis fungsi 
dalam bentuk jumlah siri kuasa adalah perlu:
1) cari pekali siri Maclaurin (Taylor);
2) cari kawasan penumpuan siri kuasa yang terhasil;
3) buktikan bahawa siri ini menumpu kepada fungsi 
.
Teorem1
(syarat yang perlu dan mencukupi untuk penumpuan siri Maclaurin). Biarkan jejari penumpuan siri itu 
. Agar siri ini menumpu dalam selang 
untuk berfungsi 
, adalah perlu dan mencukupi untuk syarat dipenuhi: 
dalam selang waktu yang ditentukan.
Teorem 2. Jika terbitan sebarang susunan fungsi 
dalam beberapa selang 
terhad dalam nilai mutlak kepada nombor yang sama M, itu dia 
, maka dalam selang ini fungsi 
boleh dikembangkan menjadi siri Maclaurin.
Contoh1
.
Kembangkan dalam siri Taylor di sekeliling titik 
fungsi.
Penyelesaian.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Rantau penumpuan 
.
Contoh2
.
Kembangkan fungsi 
dalam siri Taylor sekitar satu titik 
.
Penyelesaian:
Cari nilai fungsi dan terbitannya di 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Mari letakkan nilai ini berturut-turut. Kita mendapatkan:
atau 
.
Mari kita cari kawasan penumpuan siri ini. Mengikut ujian d'Alembert, satu siri menumpu jika
.
Oleh itu, untuk mana-mana 
had ini adalah kurang daripada 1, dan oleh itu julat penumpuan siri itu ialah: 
.
Mari kita pertimbangkan beberapa contoh pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi asas asas. Ingat bahawa siri Maclaurin:
.
menumpu pada selang 
untuk berfungsi 
.
Ambil perhatian bahawa untuk mengembangkan fungsi menjadi satu siri adalah perlu:
a) cari pekali siri Maclaurin untuk fungsi ini;
b) hitung jejari penumpuan bagi siri yang terhasil;
c) membuktikan bahawa siri yang terhasil menumpu kepada fungsi 
.
Contoh 3. Pertimbangkan fungsinya 
.
Penyelesaian.
Mari kita hitung nilai fungsi dan terbitannya di 
.
Kemudian pekali berangka siri mempunyai bentuk:
untuk sesiapa n. Mari kita gantikan pekali yang ditemui ke dalam siri Maclaurin dan dapatkan: 
Mari kita cari jejari penumpuan siri yang terhasil, iaitu:
.
Oleh itu, siri itu menumpu pada selang 
.
Siri ini menumpu kepada fungsi 
untuk sebarang nilai 
, kerana pada sebarang selang waktu 
fungsi 
dan derivatif nilai mutlaknya terhad bilangannya 
.
Contoh4
.
Pertimbangkan fungsinya 
.
Penyelesaian.
:
Adalah mudah untuk melihat bahawa terbitan tertib genap 
, dan terbitan adalah tertib ganjil. Mari kita gantikan pekali yang ditemui ke dalam siri Maclaurin dan dapatkan pengembangan:
Mari kita cari selang penumpuan siri ini. Menurut tanda d'Alembert:
untuk sesiapa 
. Oleh itu, siri itu menumpu pada selang 
.
Siri ini menumpu kepada fungsi 
, kerana semua derivatifnya terhad kepada perpaduan.
Contoh5
.
.
Penyelesaian.
Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di 
:
Oleh itu, pekali siri ini: 
Dan 
, oleh itu:
Sama seperti baris sebelumnya, kawasan penumpuan 
. Siri menumpu kepada fungsi 
, kerana semua derivatifnya terhad kepada perpaduan.
Sila ambil perhatian bahawa fungsi 
pengembangan ganjil dan siri dalam kuasa ganjil, fungsi 
– genap dan pengembangan kepada satu siri dalam kuasa genap.
Contoh6
.
Siri binomial: 
.
Penyelesaian.
Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di 
:
Daripada ini dapat dilihat bahawa:
Mari kita gantikan nilai pekali ini ke dalam siri Maclaurin dan dapatkan pengembangan fungsi ini kepada siri kuasa:
Mari kita cari jejari penumpuan siri ini:
Oleh itu, siri itu menumpu pada selang 
. Pada titik had di 
Dan 
siri mungkin atau mungkin tidak menumpu bergantung pada eksponen 
.
Siri yang dikaji menumpu pada selang 
untuk berfungsi 
, iaitu jumlah siri itu 
di 
.
Contoh7
.
Mari kita kembangkan fungsi dalam siri Maclaurin 
.
Penyelesaian.
Untuk mengembangkan fungsi ini menjadi satu siri, kami menggunakan siri binomial di 
. Kita mendapatkan: 
Berdasarkan sifat siri kuasa (siri kuasa boleh disepadukan dalam kawasan penumpuannya), kami dapati kamiran sisi kiri dan kanan siri ini:
Mari kita cari luas penumpuan siri ini: 
,
iaitu, luas penumpuan siri ini ialah selang 
. Mari kita tentukan penumpuan siri pada hujung selang. Pada 
. Siri ini adalah siri yang harmoni, iaitu, ia menyimpang. Pada 
kita mendapat siri nombor dengan istilah biasa 
.
Siri ini menumpu mengikut kriteria Leibniz. Oleh itu, kawasan penumpuan siri ini ialah selang 
.
16.2. Penggunaan siri kuasa dalam pengiraan anggaran
Dalam pengiraan anggaran, siri kuasa memainkan peranan yang sangat penting. Dengan bantuan mereka, jadual fungsi trigonometri, jadual logaritma, jadual nilai fungsi lain telah disusun, yang digunakan dalam pelbagai bidang pengetahuan, contohnya, dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik. Di samping itu, pengembangan fungsi ke dalam siri kuasa berguna untuk kajian teori mereka. Isu utama apabila menggunakan siri kuasa dalam pengiraan anggaran ialah persoalan menganggar ralat apabila menggantikan jumlah siri dengan jumlah siri pertama. n ahli.
Mari kita pertimbangkan dua kes:
fungsi dikembangkan menjadi siri berselang seli;
fungsi itu dikembangkan menjadi satu siri tanda malar.
Pengiraan menggunakan siri berselang-seli
Biarkan fungsi 
berkembang menjadi siri kuasa berselang-seli. Kemudian apabila mengira fungsi ini untuk nilai tertentu 
kita memperoleh siri nombor yang mana kita boleh menggunakan kriteria Leibniz. Selaras dengan kriteria ini, jika jumlah siri digantikan dengan jumlah yang pertama n terma, maka ralat mutlak tidak melebihi sebutan pertama baki siri ini, iaitu: 
.
Contoh8
.
Kira 
dengan ketepatan 0.0001.
Penyelesaian.
Kami akan menggunakan siri Maclaurin untuk 
, menggantikan nilai sudut dalam radian:
Jika kita membandingkan sebutan pertama dan kedua siri dengan ketepatan yang diberikan, maka: .
Penggal ketiga pengembangan:
kurang daripada ketepatan pengiraan yang ditetapkan. Oleh itu, untuk mengira 
ia cukup untuk meninggalkan dua penggal siri, iaitu
.
Justeru 
.
Contoh9
.
Kira 
dengan ketepatan 0.001.
Penyelesaian.
Kami akan menggunakan formula siri binomial. Untuk melakukan ini, mari kita menulis 
sebagai: 
.
Dalam ungkapan ini 
,
Mari bandingkan setiap terma siri dengan ketepatan yang ditentukan. Ia adalah jelas bahawa 
. Oleh itu, untuk mengira 
ia cukup untuk meninggalkan tiga penggal siri.
atau 
.
Pengiraan menggunakan siri positif
Contoh10
.
Kira nombor 
dengan ketepatan 0.001.
Penyelesaian.
Berturut-turut untuk fungsi 
mari kita ganti 
. Kita mendapatkan:
Mari kita anggarkan ralat yang timbul apabila menggantikan jumlah siri dengan jumlah siri pertama 
ahli. Mari kita tuliskan ketidaksamaan yang jelas:
iaitu 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Mengikut masalah, anda perlu mencari n supaya ketidaksamaan berikut berlaku: 
atau 
.
Ia adalah mudah untuk menyemak bahawa apabila n= 6:
.
Oleh itu, 
.
Contoh11
.
Kira 
dengan ketepatan 0.0001.
Penyelesaian.
Ambil perhatian bahawa untuk mengira logaritma seseorang boleh menggunakan siri untuk fungsi tersebut 
, tetapi siri ini menumpu dengan sangat perlahan dan untuk mencapai ketepatan yang diberikan adalah perlu untuk mengambil 9999 sebutan! Oleh itu, untuk mengira logaritma, sebagai peraturan, satu siri untuk fungsi digunakan 
, yang menumpu pada selang 
.
Jom kira 
menggunakan siri ini. biarlah 
, Kemudian 
.
Oleh itu, 
,
Untuk mengira 
dengan ketepatan yang diberikan, ambil jumlah empat sebutan pertama: 
.
Selebihnya siri ini 
mari kita buang. Mari kita anggarkan ralat. Ia adalah jelas bahawa 
atau 
.
Oleh itu, dalam siri yang digunakan untuk pengiraan, sudah cukup untuk mengambil hanya empat sebutan pertama dan bukannya 9999 dalam siri untuk fungsi 
.
Soalan diagnosis diri
1. Apakah siri Taylor?
2. Apakah bentuk siri Maclaurin?
3. Merumuskan teorem tentang pengembangan fungsi dalam siri Taylor.
4. Tuliskan pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi utama.
5. Nyatakan kawasan penumpuan bagi siri yang dipertimbangkan.
6. Bagaimana untuk menganggarkan ralat dalam pengiraan anggaran menggunakan siri kuasa?
Dalam teori siri fungsian, tempat pusat diduduki oleh bahagian yang dikhaskan untuk pengembangan fungsi menjadi siri.
Oleh itu, tugasan ditetapkan: untuk fungsi tertentu kita perlu mencari siri kuasa sedemikian
yang menumpu pada selang tertentu dan jumlahnya adalah sama dengan 
,
mereka.
=
..
Tugas ini dipanggil masalah mengembangkan fungsi menjadi siri kuasa.
Keadaan yang diperlukan untuk kebolehuraikan fungsi dalam siri kuasa ialah kebolehbezaannya bilangan kali yang tidak terhingga - ini berikutan daripada sifat siri kuasa penumpuan. Syarat ini dipenuhi, sebagai peraturan, untuk fungsi asas dalam domain definisi mereka.
Jadi mari kita anggap bahawa fungsi 
mempunyai terbitan sebarang susunan. Adakah mungkin untuk mengembangkannya menjadi siri kuasa? Jika ya, bagaimana kita boleh mencari siri ini? Bahagian kedua masalah lebih mudah untuk diselesaikan, jadi mari kita mulakan dengannya.
Mari kita andaikan bahawa fungsi 
boleh diwakili sebagai jumlah siri kuasa yang menumpu dalam selang yang mengandungi titik X 0 :
=
..
(*)
di mana A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – pekali yang tidak diketahui (belum).
Mari kita masukkan kesamaan (*) nilainya x = x 0 , maka kita dapat
.
Mari kita bezakan siri kuasa (*) sebutan dengan sebutan
=
..
dan percaya di sini x = x 0 , kita mendapatkan
.
Dengan pembezaan seterusnya kami memperoleh siri
=
..
beriman x = x 0 ,
kita mendapatkan 
, di mana 
.
Selepas P-pelbagai pembezaan yang kita dapat
Dengan mengandaikan dalam persamaan terakhir x = x 0 ,
kita mendapatkan 
, di mana
Jadi, pekali didapati
,
,
,
…,
,….,
menggantikan yang mana ke dalam siri (*), kita dapat
Siri yang terhasil dipanggil di sebelah Taylor
untuk fungsi
.
Oleh itu, kami telah menetapkan itu jika fungsi boleh dikembangkan menjadi siri kuasa dalam kuasa (x - x 0 ), maka pengembangan ini adalah unik dan siri yang terhasil semestinya siri Taylor.
Ambil perhatian bahawa siri Taylor boleh diperolehi untuk sebarang fungsi yang mempunyai terbitan sebarang susunan pada titik itu x = x 0 . Tetapi ini tidak bermakna bahawa tanda yang sama boleh diletakkan di antara fungsi dan siri yang terhasil, i.e. bahawa hasil tambah siri itu adalah sama dengan fungsi asal. Pertama, kesamaan seperti itu hanya boleh masuk akal dalam kawasan penumpuan, dan siri Taylor yang diperoleh untuk fungsi itu mungkin menyimpang, dan kedua, jika siri Taylor menumpu, maka jumlahnya mungkin tidak bertepatan dengan fungsi asal.
3.2. Keadaan yang mencukupi untuk kebolehuraian fungsi dalam siri Taylor
Marilah kita merumuskan pernyataan dengan bantuan yang mana tugas itu akan diselesaikan.
Jika fungsi
dalam beberapa kejiranan titik x 0 mempunyai derivatif sehingga (n+
1) daripada perintah termasuk, maka dalam kejiranan ini kita adaformula
Taylor
di manaR n (X)-selebihnya istilah formula Taylor - mempunyai bentuk (bentuk Lagrange)
di mana titikξ terletak di antara x dan x 0 .
Perhatikan bahawa terdapat perbezaan antara siri Taylor dan formula Taylor: formula Taylor ialah jumlah terhingga, i.e. P - nombor tetap.
Ingat bahawa jumlah siri itu S(x) boleh ditakrifkan sebagai had jujukan fungsi jumlah separa S P (x) pada selang waktu tertentu X:
.
Menurut ini, untuk mengembangkan fungsi menjadi siri Taylor bermakna mencari siri sedemikian untuk mana-mana XX
Mari kita tulis formula Taylor dalam bentuk di mana
perasan, itu 
mentakrifkan ralat yang kita dapat, menggantikan fungsi f(x)
polinomial S n (x).
Jika 
, Itu 
, mereka. fungsi itu dikembangkan menjadi siri Taylor. Begitu juga sebaliknya, jika 
, Itu 
.
Demikian kami buktikan kriteria untuk kebolehuraian fungsi dalam siri Taylor.
Untuk fungsif(x) berkembang menjadi siri Taylor, adalah perlu dan memadai bahawa pada selang ini
, Di manaR n (x) ialah sebutan selebihnya bagi siri Taylor.
Menggunakan kriteria yang dirumuskan, seseorang boleh mendapatkan mencukupisyarat untuk kebolehuraian fungsi dalam siri Taylor.
Jika dalambeberapa kejiranan titik x 0 nilai mutlak semua derivatif fungsi adalah terhad kepada nombor yang sama M≥ 0, iaitu
, To dalam kejiranan ini fungsi berkembang menjadi siri Taylor.
Daripada perkara di atas ia berikut algoritmapengembangan fungsi f(x) dalam siri Taylor di sekitar satu titik X 0 :
1. Mencari terbitan bagi fungsi f(x):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Kira nilai fungsi dan nilai terbitannya pada titik X 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Kami secara rasmi menulis siri Taylor dan mencari kawasan penumpuan siri kuasa yang terhasil.
4. Kami menyemak pemenuhan syarat yang mencukupi, i.e. kami menubuhkan untuk yang X daripada kawasan penumpuan, baki jangka R n (x)
cenderung kepada sifar sebagai 
atau
.
Peluasan fungsi ke dalam siri Taylor menggunakan algoritma ini dipanggil pengembangan fungsi ke dalam siri Taylor mengikut definisi atau penguraian langsung.
"Cari pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi f(x)"- Beginilah tugas dalam matematik yang lebih tinggi, yang sesetengah pelajar boleh lakukan, manakala yang lain tidak dapat mengatasi contoh. Terdapat beberapa cara untuk mengembangkan satu siri dalam kuasa; di sini kami akan memberikan teknik untuk mengembangkan fungsi menjadi siri Maclaurin. Apabila membangunkan fungsi dalam siri, anda perlu pandai mengira derivatif.
Contoh 4.7 Kembangkan fungsi dalam kuasa x
Pengiraan: Kami melakukan pengembangan fungsi mengikut formula Maclaurin. Mula-mula, mari kita kembangkan penyebut fungsi menjadi satu siri 
Akhir sekali, darabkan pengembangan dengan pengangka.
Sebutan pertama ialah nilai fungsi pada sifar f (0) = 1/3.
Mari cari terbitan bagi fungsi tertib pertama dan lebih tinggi f (x) dan nilai terbitan ini pada titik x=0 
Seterusnya, berdasarkan corak perubahan dalam nilai derivatif pada 0, kami menulis formula untuk derivatif ke- 
Jadi, kami mewakili penyebut dalam bentuk pengembangan dalam siri Maclaurin 
Kami mendarab dengan pengangka dan memperoleh pengembangan fungsi yang dikehendaki dalam satu siri dalam kuasa x 
Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit di sini.
Semua perkara utama adalah berdasarkan keupayaan untuk mengira derivatif dan dengan cepat menyamaratakan nilai derivatif tertib lebih tinggi pada sifar. Contoh berikut akan membantu anda mempelajari cara menyusun fungsi dalam satu siri dengan cepat.
Contoh 4.10 Cari pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi tersebut
Pengiraan: Seperti yang anda mungkin telah meneka, kami akan meletakkan kosinus dalam pengangka dalam satu siri. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan formula untuk kuantiti tak terhingga, atau memperoleh pengembangan kosinus melalui derivatif. Akibatnya, kita sampai pada siri berikut dalam kuasa x 
Seperti yang anda lihat, kami mempunyai pengiraan minimum dan perwakilan padat pengembangan siri.
Contoh 4.16 Kembangkan fungsi dalam kuasa x:
7/(12-x-x^2)
Pengiraan: Dalam contoh seperti ini, adalah perlu untuk mengembangkan pecahan melalui hasil tambah pecahan mudah.
Kami tidak akan menunjukkan bagaimana untuk melakukan ini sekarang, tetapi dengan bantuan pekali tak tentu kami akan sampai pada jumlah pecahan.
Seterusnya kita menulis penyebut dalam bentuk eksponen 
Ia kekal untuk mengembangkan istilah menggunakan formula Maclaurin. Merumuskan istilah pada kuasa "x" yang sama, kami menyusun formula untuk istilah umum pengembangan fungsi dalam siri 
Bahagian terakhir peralihan kepada siri pada permulaan adalah sukar untuk dilaksanakan, kerana sukar untuk menggabungkan formula untuk indeks berpasangan dan tidak berpasangan (darjah), tetapi dengan latihan anda akan menjadi lebih baik dalam hal itu.
Contoh 4.18 Cari pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi tersebut
Pengiraan: Mari cari terbitan bagi fungsi ini: 
Mari kembangkan fungsi menjadi satu siri menggunakan salah satu formula McLaren: 
Kami menjumlahkan istilah siri mengikut istilah berdasarkan fakta bahawa kedua-duanya adalah sama. Setelah menyepadukan keseluruhan sebutan siri demi sebutan, kami memperoleh pengembangan fungsi itu ke dalam siri dalam kuasa x 
Terdapat peralihan antara dua baris terakhir pengembangan yang akan mengambil banyak masa anda pada permulaan. Mengitlak formula siri bukan mudah untuk semua orang, jadi jangan risau tentang tidak dapat formula yang bagus dan padat.
Contoh 4.28 Cari pengembangan siri Maclaurin bagi fungsi:
Mari kita tulis logaritma seperti berikut 
Menggunakan formula Maclaurin, kami mengembangkan fungsi logaritma dalam satu siri dalam kuasa x 
Konvolusi terakhir adalah rumit pada pandangan pertama, tetapi apabila tanda bergantian anda akan sentiasa mendapat sesuatu yang serupa. Pelajaran input mengenai topik fungsi penjadualan berturut-turut selesai. Skim penguraian lain yang sama menarik akan dibincangkan secara terperinci dalam bahan berikut.
Jika fungsi f(x) mempunyai terbitan semua pesanan pada selang tertentu yang mengandungi titik a, maka formula Taylor boleh digunakan untuknya:
,
di mana r n– apa yang dipanggil istilah baki atau baki siri, ia boleh dianggarkan menggunakan formula Lagrange:
, di mana nombor x berada di antara x dan a.
Peraturan untuk memasukkan fungsi:
Jika untuk beberapa nilai X r n→0 pada n→∞, maka dalam had formula Taylor menjadi menumpu untuk nilai ini siri Taylor:
,
Oleh itu, fungsi f(x) boleh dikembangkan menjadi siri Taylor pada titik x yang dipertimbangkan jika:
1) ia mempunyai terbitan semua pesanan;
2) siri yang dibina menumpu pada ketika ini.
Apabila a = 0 kita mendapat satu siri yang dipanggil berhampiran Maclaurin:
,
Peluasan fungsi termudah (elemen) dalam siri Maclaurin:
Fungsi eksponen
, R=∞
Fungsi trigonometri 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Fungsi actgx tidak berkembang dalam kuasa x, kerana ctg0=∞
Fungsi hiperbolik
Fungsi logaritma
, -1
Siri binomial
.
Contoh No. 1. Kembangkan fungsi ke dalam siri kuasa f(x)= 2x.
Penyelesaian. Mari kita cari nilai fungsi dan terbitannya di X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2x dalam 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Menggantikan nilai derivatif yang diperoleh ke dalam formula siri Taylor, kami memperoleh:
Jejari penumpuan siri ini adalah sama dengan infiniti, oleh itu pengembangan ini sah untuk -∞<x<+∞.
Contoh No. 2. Tulis siri Taylor dalam kuasa ( X+4) untuk fungsi f(x)= e x.
Penyelesaian. Mencari terbitan bagi fungsi e x dan nilai mereka pada titik itu X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Oleh itu, siri Taylor fungsi yang diperlukan mempunyai bentuk:
Peluasan ini juga sah untuk -∞<x<+∞.
Contoh No. 3. Kembangkan fungsi f(x)=ln x dalam satu siri dalam kuasa ( X- 1),
(iaitu dalam siri Taylor di sekitar titik X=1).
Penyelesaian. Cari terbitan bagi fungsi ini.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Menggantikan nilai ini ke dalam formula, kami memperoleh siri Taylor yang dikehendaki:
Menggunakan ujian d'Alembert, anda boleh mengesahkan bahawa siri itu menumpu pada ½x-1½<1 . Действительно,
Siri menumpu jika ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 kita memperoleh siri berselang-seli yang memenuhi syarat kriteria Leibniz. Apabila x=0 fungsi tidak ditakrifkan. Oleh itu, kawasan penumpuan siri Taylor ialah selang separuh terbuka (0;2].
Contoh No. 4. Kembangkan fungsi ke dalam siri kuasa. Contoh No. 5. Kembangkan fungsi ke dalam siri Maclaurin. Komen
.
Kaedah ini berdasarkan teorem tentang keunikan pengembangan fungsi dalam siri kuasa. Intipati teorem ini ialah dalam kejiranan titik yang sama dua siri kuasa yang berbeza tidak boleh diperoleh yang akan menumpu kepada fungsi yang sama, tidak kira bagaimana pengembangannya dilakukan. Contoh No. 5a. Kembangkan fungsi dalam siri Maclaurin dan nyatakan rantau penumpuan. Pecahan 3/(1-3x) boleh dianggap sebagai hasil tambah janjang geometri menyusut tak terhingga dengan penyebut 3x, jika |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Contoh No. 6. Kembangkan fungsi ke dalam siri Taylor di sekitar titik x = 3. Contoh No. 7. Tulis siri Taylor dalam kuasa (x -1) bagi fungsi ln(x+2) . Contoh No. 8. Kembangkan fungsi f(x)=sin(πx/4) ke dalam siri Taylor di sekitar titik x =2. Contoh No. 1. Kira ln(3) kepada 0.01 yang terdekat. Contoh No. 2. Kira kepada 0.0001 yang terdekat. Contoh No. 3. Hitung kamiran ∫ 0 1 4 sin (x) x hingga dalam 10 -5 . Contoh No. 4. Hitung kamiran ∫ 0 1 4 e x 2 dengan kejituan 0.001.
Penyelesaian. Dalam pengembangan (1) kita gantikan x dengan -x 2, kita dapat:
, -∞
Penyelesaian. Kami ada
Menggunakan formula (4), kita boleh menulis:
menggantikan –x dan bukannya x dalam formula, kita dapat:
Dari sini kita dapati: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Membuka kurungan, menyusun semula terma siri dan membawa istilah yang serupa, kami dapat
. Siri ini menumpu dalam selang (-1;1), kerana ia diperoleh daripada dua siri, setiap satu daripadanya menumpu dalam selang ini.
Formula (1)-(5) juga boleh digunakan untuk mengembangkan fungsi yang sepadan menjadi siri Taylor, i.e. untuk mengembangkan fungsi dalam kuasa integer positif ( Ha). Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk melakukan transformasi yang serupa pada fungsi tertentu untuk mendapatkan salah satu fungsi (1)-(5), di mana sebaliknya X kos k( Ha) m , dengan k ialah nombor tetap, m ialah integer positif. Selalunya mudah untuk membuat perubahan pembolehubah t=Ha dan mengembangkan fungsi yang terhasil berkenaan dengan t dalam siri Maclaurin.
Penyelesaian. Mula-mula kita dapati 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ke peringkat rendah:
dengan rantau penumpuan |x|< 1/3.
Penyelesaian. Masalah ini boleh diselesaikan, seperti sebelum ini, menggunakan definisi siri Taylor, yang mana kita perlu mencari derivatif fungsi dan nilainya di X=3. Walau bagaimanapun, lebih mudah untuk menggunakan pengembangan sedia ada (5):
=
Siri yang terhasil menumpu pada atau –3
Penyelesaian.
Siri itu menumpu pada , atau -2< x < 5.
Penyelesaian. Mari buat penggantian t=x-2:
Menggunakan pengembangan (3), di mana kita menggantikan π / 4 t sebagai ganti x, kita memperoleh:
Siri yang terhasil menumpu kepada fungsi yang diberikan pada -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Pengiraan anggaran menggunakan siri kuasa
Siri kuasa digunakan secara meluas dalam pengiraan anggaran. Dengan bantuan mereka, anda boleh mengira nilai punca, fungsi trigonometri, logaritma nombor, dan kamiran pasti dengan ketepatan yang diberikan. Siri juga digunakan apabila menyepadukan persamaan pembezaan.
Pertimbangkan pengembangan fungsi dalam siri kuasa:
Untuk mengira nilai anggaran fungsi pada titik tertentu X, kepunyaan kawasan penumpuan siri yang ditunjukkan, yang pertama ditinggalkan dalam pengembangannya n ahli ( n– nombor terhingga), dan sebutan selebihnya dibuang:
Untuk menganggar ralat nilai anggaran yang diperolehi, adalah perlu untuk menganggarkan baki rn (x) yang dibuang. Untuk melakukan ini, gunakan teknik berikut:
Penyelesaian. Mari kita gunakan pengembangan di mana x=1/2 (lihat contoh 5 dalam topik sebelumnya):
Mari kita semak sama ada kita boleh membuang baki selepas tiga sebutan pertama pengembangan; untuk melakukan ini, kita akan menilainya menggunakan jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga:
Jadi kita boleh buang baki ini dan dapatkan
Penyelesaian. Mari gunakan siri binomial. Oleh kerana 5 3 ialah kubus integer yang paling hampir dengan 130, adalah dinasihatkan untuk mewakili nombor 130 sebagai 130 = 5 3 +5. 
kerana sudah menjadi sebutan keempat siri berselang-seli yang terhasil yang memenuhi kriteria Leibniz adalah kurang daripada ketepatan yang diperlukan:
, jadi ia dan syarat yang mengikutinya boleh dibuang.
Banyak kamiran pasti atau tidak wajar yang diperlukan secara praktikal tidak boleh dikira menggunakan formula Newton-Leibniz, kerana penggunaannya dikaitkan dengan mencari antiterbitan, yang selalunya tidak mempunyai ungkapan dalam fungsi asas. Ia juga berlaku bahawa mencari antiderivatif adalah mungkin, tetapi ia tidak semestinya memerlukan buruh. Walau bagaimanapun, jika fungsi integrand dikembangkan menjadi siri kuasa, dan had penyepaduan tergolong dalam selang penumpuan siri ini, maka pengiraan anggaran kamiran dengan ketepatan yang telah ditetapkan adalah mungkin.
Penyelesaian. Kamiran tak tentu yang sepadan tidak boleh dinyatakan dalam fungsi asas, i.e. mewakili "kamiran tidak kekal". Formula Newton-Leibniz tidak boleh digunakan di sini. Mari kita mengira kamiran lebih kurang.
Membahagikan istilah dengan istilah siri untuk dosa x pada x, kita mendapatkan: 
Mengintegrasikan istilah siri ini mengikut sebutan (ini mungkin, kerana had penyepaduan tergolong dalam selang penumpuan siri ini), kami memperoleh:
Oleh kerana siri yang terhasil memenuhi syarat Leibniz dan sudah cukup untuk mengambil jumlah dua sebutan pertama untuk mendapatkan nilai yang diingini dengan ketepatan yang diberikan.
Oleh itu, kita dapati 
.
Penyelesaian.
. Mari kita semak sama ada kita boleh membuang baki selepas penggal kedua siri yang terhasil.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.