Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri ialah: mengurangkan persamaan kepada yang paling mudah (menggunakan formula trigonometri), memperkenalkan pembolehubah baru, dan pemfaktoran. Mari kita lihat penggunaannya dengan contoh. Beri perhatian kepada format penulisan penyelesaian kepada persamaan trigonometri.
Syarat yang perlu untuk berjaya menyelesaikan persamaan trigonometri ialah pengetahuan tentang formula trigonometri (topik 13 kerja 6).
Contoh.
1. Persamaan dikurangkan kepada yang paling mudah.
1) Selesaikan persamaan
Penyelesaian:
Jawapan:
2) Cari punca-punca persamaan
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, kepunyaan segmen.
Penyelesaian:
Jawapan:
2. Persamaan yang berkurang kepada kuadratik.
1) Selesaikan persamaan 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Penyelesaian: Menggunakan formula sin 2 x = 1 – cos 2 x, kita dapat
Jawapan:
2) Selesaikan persamaan cos 2x = 1 + 4 cosx.
Penyelesaian: Menggunakan formula cos 2x = 2 cos 2 x – 1, kita dapat
Jawapan:
3) Selesaikan persamaan tgx – 2ctgx + 1 = 0
Penyelesaian:
Jawapan:
3. Persamaan homogen
1) Selesaikan persamaan 2sinx – 3cosx = 0
Penyelesaian: Biarkan cosx = 0, kemudian 2sinx = 0 dan sinx = 0 – satu percanggahan dengan fakta bahawa sin 2 x + cos 2 x = 1. Ini bermakna cosx ≠ 0 dan kita boleh membahagikan persamaan dengan cosx. Kita mendapatkan
Jawapan:
2) Selesaikan persamaan 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Penyelesaian:
Kami menggunakan formula 1 = sin 2 x + cos 2 x dan sin 2x = 2 sinxcosx, kita dapat
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Biarkan cosx = 0, kemudian sin 2 x = 0 dan sinx = 0 – satu percanggahan dengan fakta bahawa sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ini bermakna cosx ≠ 0 dan kita boleh membahagikan persamaan dengan cos 2 x .
Kita mendapatkan
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Mari kita nyatakan tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Jawapan: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k
4. Persamaan bentuk a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Jawapan:
5. Persamaan diselesaikan dengan pemfaktoran.
1) Selesaikan persamaan sin2x – sinx = 0.
Punca persamaan f (X) = φ ( X) hanya boleh berfungsi sebagai nombor 0. Mari semak ini:
cos 0 = 0 + 1 – kesamaan adalah benar.
Nombor 0 adalah satu-satunya punca persamaan ini.
Jawapan: 0.
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.Menyelesaikan persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat: transformasi persamaan untuk mendapatkannya yang paling mudah taip (lihat di atas) dan penyelesaianterhasil paling mudah persamaan trigonometri. Terdapat tujuh kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
1. Kaedah algebra.
(kaedah penggantian dan penggantian berubah).
2. Pemfaktoran.
Contoh 1. Selesaikan persamaan: dosa x+kos x = 1 .
Penyelesaian. Mari kita alihkan semua sebutan persamaan ke kiri:
Dosa x+kos x – 1 = 0 ,
Marilah kita mengubah dan memfaktorkan ungkapan itu dalam
Bahagian kiri persamaan:
Contoh 2. Selesaikan persamaan: cos 2 x+ dosa x cos x = 1.
Penyelesaian: cos 2 x+ dosa x cos x– dosa 2 x– cos 2 x = 0 ,
Dosa x cos x– dosa 2 x = 0 ,
Dosa x· (kos x– dosa x ) = 0 ,
Contoh 3. Selesaikan persamaan: cos 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.
Penyelesaian: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,
2 cos 4 x cos 2 x= 2kos² 4 x ,
Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,
Cos 4 x · 2 dosa 3 x dosa x = 0 ,
1). cos 4 x= 0, 2). dosa 3 x= 0, 3). dosa x = 0 ,
3. Pengurangan kepada persamaan homogen.Persamaan dipanggil homogen daripada mengenai dosa Dan cos , Jika semua itu ahli darjah yang sama berbanding dengan dosa Dan cos sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, anda perlu: A) gerakkan semua anggotanya ke sebelah kiri; b) letakkan semua faktor sepunya daripada kurungan; V) samakan semua faktor dan kurungan kepada sifar; G) kurungan sama dengan sifar beri persamaan homogen darjah yang lebih rendah, yang harus dibahagikan kepada cos(atau dosa) dalam ijazah senior; d) selesaikan persamaan algebra yang terhasil untukTan . dosa 2 x+ 4 dosa x cos x+ 5kos 2 x = 2. Penyelesaian: 3sin 2 x+ 4 dosa x cos x+ 5 cos 2 x= 2 dosa 2 x+ 2cos 2 x , Dosa 2 x+ 4 dosa x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 tan x + 3 = 0 , dari sini y 2 + 4y +3 = 0 , Punca-punca persamaan ini ialah:y 1 = - 1, y 2 = - 3, oleh itu 1) sawo matang x= –1, 2) tan x = –3, |
4. Peralihan kepada separuh sudut.
Mari kita lihat kaedah ini sebagai contoh:
CONTOH Selesaikan persamaan: 3 dosa x– 5 cos x = 7.
Penyelesaian: 6 dosa ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =
7 dosa² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 dosa² ( x/ 2) – 6 dosa ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
tan² ( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Pengenalan sudut bantu.
Pertimbangkan persamaan bentuk:
a dosa x + b cos x = c ,
di mana a, b, c– pekali;x– tidak diketahui.
Sekarang pekali persamaan mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu: modulus (nilai mutlak) setiap satu yang mana tidak lebih daripada 1, dan hasil tambah kuasa duanya ialah 1. Kemudian kita boleh menandakan mereka sewajarnya Bagaimana cos dan dosa (di sini - kononnya sudut bantu), Danambil persamaan kita
Subjek:"Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri."
Objektif pelajaran:
pendidikan:
Membangunkan kemahiran untuk membezakan antara jenis persamaan trigonometri;
Mendalami pemahaman kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri;
pendidikan:
Memupuk minat kognitif dalam proses pendidikan;
Pembentukan keupayaan untuk menganalisis tugas yang diberikan;
membangun:
Untuk membangunkan kemahiran menganalisis situasi dan kemudian memilih jalan keluar yang paling rasional.
peralatan: poster dengan formula asas trigonometri, komputer, projektor, skrin.
Mari kita mulakan pelajaran dengan mengulangi teknik asas untuk menyelesaikan sebarang persamaan: mengurangkannya kepada bentuk piawai. Melalui penjelmaan, persamaan linear diturunkan kepada bentuk ax = b, persamaan kuadratik diturunkan kepada bentuk kapak 2 +bx +c =0. Dalam kes persamaan trigonometri, adalah perlu untuk mengurangkannya kepada yang paling mudah, dalam bentuk: sinx = a, cosx = a, tgx = a, yang boleh diselesaikan dengan mudah.
Pertama sekali, sudah tentu, untuk ini anda perlu menggunakan formula trigonometri asas yang dibentangkan pada poster: formula penambahan, formula sudut berganda, mengurangkan kepelbagaian persamaan. Kita sudah tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Mari kita ulangi beberapa daripadanya:
Pada masa yang sama, terdapat persamaan yang penyelesaiannya memerlukan pengetahuan tentang beberapa teknik khas.
Topik pelajaran kami adalah untuk mempertimbangkan teknik ini dan sistematik kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
1. Penukaran kepada persamaan kuadratik berkenaan dengan beberapa fungsi trigonometri diikuti dengan perubahan pembolehubah.
Mari kita lihat setiap kaedah yang disenaraikan dengan contoh, tetapi mari kita memikirkan lebih terperinci pada dua yang terakhir, kerana kita telah menggunakan dua yang pertama semasa menyelesaikan persamaan.
1. Penukaran kepada persamaan kuadratik berkenaan dengan beberapa fungsi trigonometri.
2. Menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah pemfaktoran.
3. Menyelesaikan persamaan homogen.
Persamaan homogen darjah pertama dan kedua ialah persamaan bentuk:
masing-masing (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Apabila menyelesaikan persamaan homogen, bahagikan kedua-dua belah sebutan persamaan dengan cosx untuk persamaan (1) dan dengan cos 2 x untuk (2). Pembahagian ini mungkin kerana sinx dan cosx tidak sama dengan sifar pada masa yang sama - ia menjadi sifar pada titik yang berbeza. Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan homogen darjah pertama dan kedua.
Mari kita ingat persamaan ini: apabila mempertimbangkan kaedah seterusnya - memperkenalkan hujah tambahan, kita akan menyelesaikannya dengan cara yang berbeza.
4. Pengenalan hujah bantu.
Mari kita pertimbangkan persamaan yang telah diselesaikan dengan kaedah sebelumnya:
Seperti yang anda lihat, hasil yang sama diperolehi.
Mari lihat contoh lain:
Dalam contoh yang dipertimbangkan, secara amnya jelas tentang persamaan asal yang perlu dibahagikan untuk memperkenalkan hujah tambahan. Tetapi ia mungkin berlaku bahawa ia tidak jelas pembahagi mana yang harus dipilih. Terdapat teknik khas untuk ini, yang kini akan kita pertimbangkan secara umum. Biarkan persamaan diberikan.