Menaikkan logaritma kepada kuasa. Logaritma

Berhubung dengan

tugas mencari mana-mana tiga nombor daripada dua nombor lain yang diberi boleh ditetapkan. Jika a dan kemudian N diberikan, ia didapati dengan eksponen. Jika N dan kemudian a diberi dengan mengambil punca darjah x (atau menaikkannya kepada kuasa). Sekarang pertimbangkan kes apabila, diberi a dan N, kita perlu mencari x.

Biarkan nombor N positif: nombor a positif dan tidak sama dengan satu: .

Definisi. Logaritma nombor N ke pangkalan a ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor N; logaritma dilambangkan dengan

Oleh itu, dalam kesamaan (26.1) eksponen didapati sebagai logaritma N kepada asas a. Catatan

mempunyai sama maksud. Kesamaan (26.1) kadangkala dipanggil identiti utama teori logaritma; sebenarnya ia menyatakan definisi konsep logaritma. Oleh takrifan ini Asas logaritma a sentiasa positif dan berbeza daripada kesatuan; nombor logaritma N adalah positif. Nombor negatif dan sifar tidak mempunyai logaritma. Ia boleh dibuktikan bahawa mana-mana nombor dengan asas tertentu mempunyai logaritma yang jelas. Oleh itu kesaksamaan memerlukan . Perhatikan bahawa syarat penting di sini adalah sebaliknya kesimpulan tidak akan dibenarkan, kerana kesamaan adalah benar untuk sebarang nilai x dan y.

Contoh 1. Cari

Penyelesaian. Untuk mendapatkan nombor, anda mesti menaikkan asas 2 kepada kuasa Oleh itu.

Anda boleh membuat nota apabila menyelesaikan contoh sedemikian dalam bentuk berikut:

Contoh 2. Cari .

Penyelesaian. Kami ada

Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemui logaritma yang dikehendaki dengan mewakili nombor logaritma sebagai kuasa asas dengan penunjuk rasional. DALAM kes am, sebagai contoh, untuk dsb., ini tidak boleh dilakukan, kerana logaritma mempunyai makna yang tidak rasional. Mari kita perhatikan satu isu yang berkaitan dengan kenyataan ini. Dalam perenggan 12 kami memberikan konsep kemungkinan untuk menentukan mana-mana ijazah sebenar diberi nombor positif. Ini adalah perlu untuk pengenalan logaritma, yang, secara amnya, boleh menjadi nombor tidak rasional.

Mari kita lihat beberapa sifat logaritma.

Sifat 1. Jika nombor dan asas adalah sama, maka logaritma sama dengan satu, dan, sebaliknya, jika logaritma adalah sama dengan satu, maka nombor dan asas adalah sama.

Bukti. Biar Dengan takrifan logaritma yang kita ada dan dari mana

Sebaliknya, biarkan Kemudian mengikut definisi

Sifat 2. Logaritma satu kepada sebarang tapak adalah sama dengan sifar.

Bukti. Mengikut takrifan logaritma ( darjah sifar sebarang asas positif adalah sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini

Q.E.D.

Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Sesungguhnya, kita mempunyai .

Sebelum merumuskan sifat logaritma seterusnya, marilah kita bersetuju untuk mengatakan bahawa dua nombor a dan b terletak pada sisi yang sama bagi nombor ketiga c jika kedua-duanya lebih besar daripada c atau kurang daripada c. Jika satu daripada nombor ini lebih besar daripada c, dan satu lagi kurang daripada c, maka kita akan mengatakan bahawa mereka terletak di sepanjang sisi yang berbeza dari kampung

Harta 3. Jika nombor dan tapak terletak pada sisi yang sama dari satu, maka logaritmanya adalah positif; Jika nombor dan tapak terletak pada sisi bertentangan satu, maka logaritmanya adalah negatif.

Pembuktian harta 3 adalah berdasarkan fakta bahawa darjah a lebih daripada satu, jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen positif atau asas kurang daripada satu dan eksponen negatif. Kuasa adalah kurang daripada satu jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen negatif atau asas kurang daripada satu dan eksponen positif.

Terdapat empat kes untuk dipertimbangkan:

Kami akan mengehadkan diri kami untuk menganalisis yang pertama daripada mereka;

Biarkan dalam kesamaan eksponen tidak boleh negatif mahupun sama dengan sifar, oleh itu, ia adalah positif, iaitu, seperti yang diperlukan untuk dibuktikan.

Contoh 3. Ketahui yang manakah logaritma di bawah adalah positif dan yang mana negatif:

Penyelesaian, a) kerana nombor 15 dan asas 12 terletak pada sisi yang sama dari satu;

b) kerana 1000 dan 2 terletak pada satu sisi unit; dalam kes ini, tidak penting bahawa asas lebih besar daripada nombor logaritma;

c) kerana 3.1 dan 0.8 terletak pada bahagian bertentangan perpaduan;

G); kenapa?

d); kenapa?

Sifat-sifat berikut 4-6 sering dipanggil peraturan logaritma: mereka membenarkan, mengetahui logaritma beberapa nombor, untuk mencari logaritma hasil darab, hasil bagi, dan darjah setiap satu daripadanya.

Sifat 4 (peraturan logaritma produk). Logaritma hasil darab beberapa nombor positif oleh asas ini sama dengan jumlah logaritma nombor ini kepada asas yang sama.

Bukti. Biarkan nombor yang diberi adalah positif.

Untuk logaritma produk mereka, kami menulis kesamaan (26.1) yang mentakrifkan logaritma:

Dari sini kita akan dapati

Membandingkan pangkat pertama dan ungkapan terakhir, kami memperoleh kesaksamaan yang diperlukan:

Perhatikan bahawa syarat itu penting; logaritma hasil darab dua nombor negatif masuk akal, tetapi dalam kes ini kita dapat

Secara umum, jika hasil darab beberapa faktor adalah positif, maka logaritmanya adalah sama dengan jumlah logaritma nilai mutlak faktor-faktor ini.

Sifat 5 (peraturan untuk mengambil logaritma hasil bagi). Logaritma hasil bagi nombor positif adalah sama dengan perbezaan antara logaritma dividen dan pembahagi, dibawa ke pangkalan yang sama. Bukti. Kami secara konsisten mencari

Q.E.D.

Harta 6 (peraturan logaritma kuasa). Logaritma kuasa beberapa nombor positif sama dengan logaritma nombor ini didarab dengan eksponen.

Bukti. Mari kita tulis semula identiti utama (26.1) untuk nombor:

Q.E.D.

Akibat. Logaritma punca nombor positif adalah sama dengan logaritma radikal dibahagikan dengan eksponen punca:

Kesahihan akibat ini boleh dibuktikan dengan membayangkan bagaimana dan menggunakan harta 6.

Contoh 4. Ambil logaritma kepada asas a:

a) (diandaikan bahawa semua nilai b, c, d, e adalah positif);

b) (diandaikan bahawa ).

Penyelesaian, a) Ia adalah mudah untuk pergi ke ungkapan ini kepada kuasa pecahan:

Berdasarkan kesamaan (26.5)-(26.7), kita kini boleh menulis:

Kami perhatikan bahawa operasi yang lebih mudah dilakukan pada logaritma nombor daripada pada nombor itu sendiri: apabila mendarab nombor, logaritma mereka ditambah, apabila membahagi, mereka ditolak, dsb.

Itulah sebabnya logaritma digunakan dalam amalan pengkomputeran (lihat perenggan 29).

Tindakan songsang logaritma dipanggil potentiation, iaitu: potentiation ialah tindakan di mana nombor itu sendiri ditemui daripada logaritma tertentu nombor. Pada asasnya, potentiasi bukanlah sebarang tindakan khas: ia datang untuk meningkatkan asas kepada kuasa ( sama dengan logaritma nombor). Istilah "potentiation" boleh dianggap sinonim dengan istilah "exponentiation".

Apabila mempotensikan, anda mesti menggunakan peraturan songsang kepada peraturan logaritma: gantikan jumlah logaritma dengan logaritma hasil darab, perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi, dsb. Khususnya, jika terdapat faktor di hadapan daripada tanda logaritma, maka semasa potensiasi ia mesti dipindahkan ke darjah eksponen di bawah tanda logaritma.

Contoh 5. Cari N jika diketahui bahawa

Penyelesaian. Sehubungan dengan peraturan potensiasi yang baru dinyatakan, kami akan memindahkan faktor 2/3 dan 1/3 yang berdiri di hadapan tanda logaritma di sebelah kanan kesamaan ini kepada eksponen di bawah tanda logaritma ini; kita mendapatkan

Sekarang kita gantikan perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi:

untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantaian kesamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya daripada ketidakrasionalan dalam penyebut (fasal 25).

Harta 7. Jika tapak lebih besar daripada satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih besar (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih kecil), jika asasnya kurang daripada satu, maka nombor yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih kecil (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih besar).

Sifat ini juga dirumuskan sebagai peraturan untuk mengambil logaritma ketaksamaan, kedua-dua belahnya adalah positif:

Apabila logaritma ketaksamaan kepada asas lebih besar daripada satu, tanda ketaksamaan dikekalkan, dan apabila logaritma kepada asas kurang daripada satu, tanda ketaksamaan berubah kepada sebaliknya (lihat juga perenggan 80).

Buktinya adalah berdasarkan sifat 5 dan 3. Pertimbangkan kes apabila Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita memperoleh

(a dan N/M terletak pada sisi perpaduan yang sama). Dari sini

Kes a berikut, pembaca akan memikirkannya sendiri.

Fokus artikel ini ialah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, tunjukkan jawatan yang diterima, kami akan memberikan contoh logaritma, dan bercakap tentang logaritma asli dan perpuluhan. Selepas ini kita akan mempertimbangkan identiti logaritma asas.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma timbul apabila menyelesaikan masalah dalam dalam erti kata tertentu songsang, apabila anda perlu mencari eksponen bagi nilai yang diketahui ijazah dan asas yang diketahui.

Tetapi cukup mukaddimah, sudah tiba masanya untuk menjawab soalan "apa itu logaritma"? Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Logaritma b kepada asas a, di mana a>0, a≠1 dan b>0 ialah eksponen yang anda perlukan untuk menaikkan nombor a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada peringkat ini, kami perhatikan bahawa perkataan "logaritma" yang dituturkan harus segera menimbulkan dua soalan susulan: "nombor apa" dan "atas asas apa." Dalam erti kata lain, tiada logaritma, tetapi hanya logaritma nombor kepada beberapa asas.

Jom masuk segera tatatanda logaritma: logaritma nombor b hingga asas a biasanya dilambangkan sebagai log a b. Logaritma nombor b kepada asas e dan logaritma kepada asas 10 mempunyai sebutan khas mereka sendiri lnb dan logb, iaitu, mereka menulis bukan log e b, tetapi lnb, dan bukan log 10 b, tetapi lgb.

Kini kami boleh berikan: .
Dan rekod tidak masuk akal, kerana dalam yang pertama di bawah tanda logaritma ada nombor negatif, pada yang kedua terdapat nombor negatif dalam pangkalan, dan pada yang ketiga terdapat nombor negatif di bawah tanda logaritma dan unit dalam pangkalan.

Sekarang mari kita bercakap tentang peraturan untuk membaca logaritma. Log a b dibaca sebagai "logaritma b kepada asas a". Sebagai contoh, log 2 3 ialah logaritma tiga kepada asas 2, dan ialah logaritma dua titik dua pertiga kepada asas 2 Punca kuasa dua daripada lima. Logaritma kepada asas e dipanggil logaritma semula jadi, dan notasi lnb berbunyi "logaritma semula jadi b". Sebagai contoh, ln7 ialah logaritma asli bagi tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma asli bagi pi. Logaritma asas 10 juga mempunyai nama khas - logaritma perpuluhan, dan lgb dibaca sebagai "logaritma perpuluhan b". Sebagai contoh, lg1 ialah logaritma perpuluhan bagi satu, dan lg2.75 ialah logaritma perpuluhan bagi dua koma tujuh lima perseratus.

Perlu diingat secara berasingan pada syarat a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana datangnya sekatan ini. Kesamaan bentuk yang dipanggil , yang secara langsung mengikuti daripada takrifan logaritma yang diberikan di atas, akan membantu kita melakukan ini.

Mari kita mulakan dengan a≠1. Oleh kerana satu kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan satu, kesamaan hanya boleh benar apabila b=1, tetapi log 1 1 boleh menjadi sebarang nombor sebenar. Untuk mengelakkan kekaburan ini, a≠1 diandaikan.

Marilah kita mewajarkan kesesuaian syarat a>0. Dengan a=0, mengikut takrifan logaritma, kita akan mempunyai kesamaan yang hanya mungkin dengan b=0. Tetapi kemudian log 0 0 boleh menjadi sebarang nombor nyata bukan sifar, kerana sifar kepada mana-mana kuasa bukan sifar ialah sifar. Keadaan a≠0 membolehkan kita mengelakkan kekaburan ini. Dan apabila a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhir sekali, keadaan b>0 mengikuti daripada ketaksamaan a>0, sejak , dan nilai kuasa dengan asas positif a sentiasa positif.

Untuk menyimpulkan perkara ini, katakan bahawa definisi logaritma yang dinyatakan membolehkan anda segera menunjukkan nilai logaritma apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah kuasa tertentu asas. Sesungguhnya, takrifan logaritma membolehkan kita menyatakan bahawa jika b=a p, maka logaritma nombor b kepada asas a adalah sama dengan p. Iaitu, log kesamaan a a p =p adalah benar. Sebagai contoh, kita tahu bahawa 2 3 =8, kemudian log 2 8=3. Kami akan bercakap lebih lanjut mengenai perkara ini dalam artikel.

Hari ini kita akan bercakap tentang formula logaritma dan kami akan memberi petunjuk contoh penyelesaian.

Mereka sendiri membayangkan corak penyelesaian mengikut sifat asas logaritma. Sebelum menggunakan formula logaritma untuk menyelesaikan, izinkan kami mengingatkan anda tentang semua sifat:

Sekarang, berdasarkan formula (sifat) ini, kami akan tunjukkan contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan formula.

Logaritma nombor positif b kepada asas a (ditandakan dengan log a b) ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Mengikut definisi, log a b = x, yang bersamaan dengan a x = b, oleh itu log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, kerana 2 3 = 8

log 7 49 = 2, kerana 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, kerana 5 -1 = 1/5

Logaritma perpuluhan- ini ialah logaritma biasa, asasnya ialah 10. Ia dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2, kerana 10 2 = 100

Logaritma semula jadi- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan asas e (e = 2.71828... - nombor tak rasional). Ditandakan sebagai ln.

Adalah dinasihatkan untuk menghafal formula atau sifat logaritma, kerana kita akan memerlukannya kemudian apabila menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma dan ketidaksamaan. Mari kita teliti setiap formula sekali lagi dengan contoh.

Identiti logaritma asas
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritma hasil darab adalah sama dengan hasil tambah logaritma
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Sifat kuasa nombor logaritma dan asas logaritma
Eksponen bagi nombor logaritma log a b m = mlog a b

Eksponen asas log logaritma a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

jika m = n, kita mendapat log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Peralihan kepada asas baharu
log a b = log c b/log c a,
jika c = b, kita mendapat log b b = 1

kemudian log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang anda boleh lihat, formula untuk logaritma tidaklah begitu rumit seperti yang kelihatan. Sekarang, setelah melihat contoh penyelesaian logaritma, kita boleh beralih kepada persamaan logaritma. Kami akan melihat contoh penyelesaian persamaan logaritma dengan lebih terperinci dalam artikel: "". Jangan lepaskan!

Jika anda masih mempunyai soalan tentang penyelesaian, tuliskannya dalam ulasan artikel.

Nota: kami memutuskan untuk mendapatkan kelas pendidikan yang berbeza dan belajar di luar negara sebagai pilihan.

Apabila masyarakat berkembang dan pengeluaran menjadi lebih kompleks, matematik juga berkembang. Pergerakan daripada mudah kepada kompleks. Daripada perakaunan konvensional dengan kaedah tambah dan tolak, dengan mereka diulang berkali-kali, datang kepada konsep pendaraban dan pembahagian. Mengurangkan operasi pendaraban berulang menjadi konsep eksponen. Jadual pertama pergantungan nombor pada asas dan bilangan eksponen telah disusun semula pada abad ke-8 oleh ahli matematik India Varasena. Daripada mereka anda boleh mengira masa berlakunya logaritma.

Lakaran sejarah

Kebangkitan Eropah pada abad ke-16 juga merangsang perkembangan mekanik. T memerlukan jumlah pengiraan yang besar berkaitan dengan pendaraban dan pembahagian nombor berbilang digit. Meja-meja kuno adalah perkhidmatan yang hebat. Mereka memungkinkan untuk menggantikan operasi kompleks dengan yang lebih mudah - penambahan dan penolakan. Langkah besar Kerja ahli matematik Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, memimpin, di mana dia menyedari idea ramai ahli matematik. Ini membolehkan anda menggunakan jadual bukan sahaja untuk darjah dalam bentuk nombor perdana, tetapi juga untuk yang rasional sewenang-wenangnya.

Pada tahun 1614, orang Scotland John Napier, mengembangkan idea-idea ini, mula-mula diperkenalkan istilah baru"logaritma nombor." Yang baharu telah disusun meja kompleks untuk mengira logaritma sinus dan kosinus, serta tangen. Ini sangat mengurangkan kerja ahli astronomi.

Jadual baru mula muncul, yang berjaya digunakan oleh saintis sepanjang masa tiga abad. Banyak masa berlalu sebelum operasi baharu dalam algebra memperoleh bentuk siapnya. Takrifan logaritma telah diberikan dan sifatnya dikaji.

Hanya pada abad ke-20, dengan kemunculan kalkulator dan komputer, manusia meninggalkan jadual kuno yang telah berjaya berfungsi sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b untuk asas a nombor x iaitu kuasa a untuk membuat b. Ini ditulis sebagai formula: x = log a(b).

Sebagai contoh, log 3(9) akan bersamaan dengan 2. Ini jelas jika anda mengikut definisi. Jika kita menaikkan 3 kepada kuasa 2, kita mendapat 9.

Oleh itu, definisi yang dirumus menetapkan hanya satu sekatan: nombor a dan b mestilah nyata.

Jenis-jenis logaritma

Takrif klasik dipanggil logaritma sebenar dan sebenarnya merupakan penyelesaian kepada persamaan a x = b. Pilihan a = 1 adalah sempadan dan tidak menarik. Perhatian: 1 kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan 1.

Nilai sebenar logaritma ditakrifkan hanya apabila asas dan hujah lebih besar daripada 0, dan asas tidak boleh sama dengan 1.

Tempat istimewa dalam bidang matematik mainkan logaritma, yang akan dinamakan bergantung pada saiz pangkalannya:

Peraturan dan sekatan

Sifat asas logaritma ialah peraturan: logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian pernyataan ini akan ada: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), fungsi hasil adalah sama dengan perbezaan fungsi.

Daripada dua peraturan sebelumnya adalah mudah untuk melihat bahawa: log a(b p) = p * log a(b).

Harta lain termasuk:

Komen. Jangan buat kesilapan biasa - logaritma jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.

Selama berabad-abad, operasi mencari logaritma adalah tugas yang agak memakan masa. Ahli matematik digunakan formula yang terkenal teori logaritma pengembangan polinomial:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), di mana n - nombor asli lebih besar daripada 1, yang menentukan ketepatan pengiraan.

Logaritma dengan tapak lain dikira menggunakan teorem tentang peralihan dari satu tapak ke tapak yang lain dan sifat logaritma hasil darab.

Oleh kerana kaedah ini sangat intensif buruh dan apabila membuat keputusan masalah praktikal sukar untuk dilaksanakan, kami menggunakan jadual logaritma yang telah disusun sebelumnya, yang mempercepatkan semua kerja dengan ketara.

Dalam sesetengah kes, graf logaritma yang direka khas telah digunakan, yang memberikan kurang ketepatan, tetapi mempercepatkan carian dengan ketara nilai yang dikehendaki. Lengkung fungsi y = log a(x), dibina di atas beberapa titik, membolehkan anda menggunakan pembaris biasa untuk mencari nilai fungsi pada mana-mana titik lain. Jurutera masa yang lama Untuk tujuan ini, apa yang dipanggil kertas graf telah digunakan.

Pada abad ke-17, keadaan pengkomputeran analog tambahan pertama muncul, yang abad ke-19 memperoleh rupa yang telah siap. Peranti yang paling berjaya dipanggil peraturan slaid. Walaupun kesederhanaan peranti, penampilannya dengan ketara mempercepatkan proses semua pengiraan kejuruteraan, dan ini sukar untuk dipandang tinggi. Pada masa ini, beberapa orang biasa dengan peranti ini.

Kemunculan kalkulator dan komputer menjadikan penggunaan mana-mana peranti lain menjadi sia-sia.

Persamaan dan ketaksamaan

Untuk penyelesaian persamaan yang berbeza dan ketaksamaan menggunakan logaritma, formula berikut digunakan:

Bergerak dari satu pangkalan ke pangkalan lain: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Akibat daripada pilihan sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan adalah berguna untuk mengetahui:

Nilai logaritma akan menjadi positif hanya jika asas dan hujah kedua-duanya lebih besar atau kurang daripada satu; jika sekurang-kurangnya satu syarat dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
Jika fungsi logaritma digunakan pada bahagian kanan dan kiri ketaksamaan, dan asas logaritma lebih besar daripada satu, maka tanda ketaksamaan itu dikekalkan; sebaliknya ia berubah.

Masalah contoh

Mari kita pertimbangkan beberapa pilihan untuk menggunakan logaritma dan sifatnya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:

Pertimbangkan pilihan untuk meletakkan logaritma dalam kuasa:

Masalah 3. Kira 25^log 5(3). Penyelesaian: dalam keadaan masalah, entri adalah serupa dengan yang berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tuliskannya secara berbeza: 5^log 5(3*2), atau kuasa dua nombor sebagai hujah fungsi boleh ditulis sebagai kuasa dua bagi fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan sifat logaritma, ungkapan ini bersamaan dengan 3^2. Jawapan: hasil pengiraan kita dapat 9.

Penggunaan praktikal

Sebagai alat matematik semata-mata, ia kelihatan jauh dari kehidupan sebenar bahawa logaritma tiba-tiba diperolehi sangat penting untuk menerangkan objek dunia sebenar. Sukar untuk mencari ilmu yang tidak digunakan. Ini terpakai sepenuhnya bukan sahaja untuk semula jadi, tetapi juga untuk bidang pengetahuan kemanusiaan.

Kebergantungan logaritma

Berikut ialah beberapa contoh kebergantungan berangka:

Mekanik dan fizik

Dari segi sejarah, mekanik dan fizik sentiasa berkembang menggunakan kaedah matematik penyelidikan dan pada masa yang sama berfungsi sebagai insentif untuk pembangunan matematik, termasuk logaritma. Teori kebanyakan undang-undang fizik ditulis dalam bahasa matematik. Mari kita berikan hanya dua contoh huraian undang-undang fizikal menggunakan logaritma.

Selesaikan masalah pengiraan seperti ini saiz kompleks Bagaimana kelajuan roket boleh ditentukan dengan menggunakan formula Tsiolkovsky, yang meletakkan asas bagi teori penerokaan angkasa lepas:

V = I * ln (M1/M2), di mana

V – kelajuan akhir kapal terbang.
I – impuls spesifik enjin.
M 1 – jisim awal roket.
M 2 – jisim akhir.

Satu lagi contoh penting - ini digunakan dalam formula seorang lagi saintis hebat Max Planck, yang berfungsi untuk menilai keadaan keseimbangan dalam termodinamik.

S = k * ln (Ω), di mana

S – sifat termodinamik.
k – Pemalar Boltzmann.
Ω ialah berat statistik bagi keadaan yang berbeza.

Kimia

Kurang jelas ialah penggunaan formula dalam kimia yang mengandungi nisbah logaritma. Mari kita berikan hanya dua contoh:

Persamaan Nernst, keadaan potensi redoks medium berhubung dengan aktiviti bahan dan pemalar keseimbangan.
Pengiraan pemalar seperti indeks autolisis dan keasidan larutan juga tidak boleh dilakukan tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan ia sama sekali tidak jelas apa kaitan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai hubungan songsang nilai keamatan rangsangan kepada nilai keamatan yang lebih rendah.

Selepas contoh di atas, tidak hairan lagi topik logaritma digunakan secara meluas dalam biologi. Keseluruhan jilid boleh ditulis tentang bentuk biologi yang sepadan dengan lingkaran logaritma.

Kawasan lain

Nampaknya kewujudan dunia adalah mustahil tanpa kaitan dengan fungsi ini, dan ia memerintah semua undang-undang. Lebih-lebih lagi apabila undang-undang alam berkaitan dengan janjang geometri. Perlu beralih ke tapak web MatProfi, dan terdapat banyak contoh sedemikian dalam bidang aktiviti berikut:

Senarai itu boleh menjadi tidak berkesudahan. Setelah menguasai prinsip asas fungsi ini, anda boleh terjun ke dunia kebijaksanaan yang tidak terhingga.

Logaritma sesuatu nombor N berdasarkan A dipanggil eksponen X , yang anda perlu bina A untuk mendapatkan nombor N

Dengan syarat itu
,
,

Daripada takrifan logaritma ia mengikutinya
, iaitu
- kesamaan ini ialah identiti logaritma asas.

Logaritma kepada asas 10 dipanggil logaritma perpuluhan. Sebaliknya
menulis
.

Logaritma kepada pangkalan e dipanggil semula jadi dan ditetapkan
.

Sifat asas logaritma.

Logaritma satu adalah sama dengan sifar untuk sebarang asas.

Logaritma hasil darab adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

3) Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma

Faktor
dipanggil modulus peralihan daripada logaritma ke tapak a kepada logaritma di pangkalan b .

Menggunakan sifat 2-5, selalunya mungkin untuk mengurangkan logaritma ungkapan kompleks kepada hasil operasi aritmetik mudah pada logaritma.

Sebagai contoh,

Penjelmaan logaritma sedemikian dipanggil logaritma. Penjelmaan songsang kepada logaritma dipanggil potensiasi.

Bab 2. Unsur-unsur matematik yang lebih tinggi.

1. Had

Had fungsi
ialah nombor terhingga A jika, sebagai xx 0 bagi setiap yang telah ditetapkan
, terdapat nombor sedemikian
bahawa sebaik sahaja
, Itu
.

Fungsi yang mempunyai had berbeza daripadanya dengan jumlah yang sangat kecil:
, di mana- b.m.v., i.e.
.

Contoh. Pertimbangkan fungsinya
.

Apabila berusaha
, fungsi y cenderung kepada sifar:

1.1. Teorem asas tentang had.

Had nilai tetap sama dengan nilai malar ini

Had amaun (perbezaan). nombor terhingga fungsi adalah sama dengan jumlah (perbezaan) had fungsi ini.

Had hasil darab bilangan fungsi terhingga sama dengan produk had fungsi ini.

Had hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan hasil bagi had fungsi ini jika had penyebutnya bukan sifar.

Had Hebat

,
, Di mana

1.2. Contoh Pengiraan Had

Walau bagaimanapun, tidak semua had dikira dengan begitu mudah. Lebih kerap, pengiraan had adalah untuk mendedahkan ketidakpastian jenis: atau .

2. Terbitan bagi fungsi

Mari kita mempunyai fungsi
, berterusan pada segmen
.

Hujah mendapat sedikit peningkatan
. Kemudian fungsi akan menerima kenaikan
.

Nilai hujah sepadan dengan nilai fungsi
.

Nilai hujah
sepadan dengan nilai fungsi.

Oleh itu, .

Mari kita cari had nisbah ini pada
. Jika had ini wujud, maka ia dipanggil derivatif bagi fungsi yang diberikan.

Definisi 3 Terbitan bagi fungsi yang diberi
dengan hujah dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah, apabila kenaikan hujah secara sewenang-wenangnya cenderung kepada sifar.

Terbitan fungsi
boleh ditetapkan seperti berikut:

; ; ; .

Definisi 4Operasi mencari terbitan bagi suatu fungsi dipanggil pembezaan.

2.1. Makna mekanikal derivatif.

Mari kita pertimbangkan gerakan rectilinear beberapa badan tegar atau titik bahan.

Biarkan pada satu ketika titik bergerak
berada di kejauhan dari kedudukan permulaan
.

Selepas beberapa tempoh masa
dia bergerak jauh
. Sikap =- kelajuan purata titik bahan
. Mari kita cari had nisbah ini, dengan mengambil kira itu
.

Oleh itu, definisi kelajuan serta merta pergerakan titik material turun untuk mencari terbitan laluan berkenaan dengan masa.

2.2. Makna geometri terbitan

Marilah kita mempunyai fungsi yang ditakrifkan secara grafik
.

nasi. 1. Makna geometri terbitan

Jika
, kemudian tunjuk
, akan bergerak di sepanjang lengkung, menghampiri titik
.

Oleh itu
, iaitu nilai terbitan untuk nilai argumen tertentu secara berangka sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh tangen pada titik tertentu dengan arah positif paksi
.

2.3. Jadual formula pembezaan asas.

Fungsi kuasa

Fungsi eksponen

Fungsi logaritma

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri songsang

2.4. Peraturan pembezaan.

Terbitan daripada

Terbitan hasil tambah (perbezaan) fungsi

Terbitan hasil darab dua fungsi

Terbitan hasil bagi dua fungsi

2.5. Terbitan daripada fungsi kompleks.

Biarkan fungsi diberikan
supaya ia boleh diwakili dalam bentuk

Dan
, di mana pembolehubah adalah hujah perantaraan, maka

Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi yang diberikan berkenaan dengan hujah perantaraan dan terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan x.

Contoh 1.

Contoh 2.

3. Fungsi pembezaan.

Biar ada
, boleh dibezakan pada beberapa selang
lepaskan di fungsi ini mempunyai terbitan

barulah kita boleh menulis

(1),

di mana - kuantiti yang tidak terhingga,

sejak bila

Mendarab semua sebutan kesamaan (1) dengan
kami ada:

di mana
- b.m.v. perintah yang lebih tinggi.

Magnitud
dipanggil pembezaan fungsi
dan ditetapkan

3.1. Nilai geometri pembezaan.

Biarkan fungsi diberikan
.

Rajah.2. Makna geometri pembezaan.

Jelas sekali, perbezaan fungsi
adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen pada titik tertentu.

3.2. Derivatif dan pembezaan pelbagai pesanan.

Jika ada
, Kemudian
dipanggil terbitan pertama.

Terbitan terbitan pertama dipanggil terbitan tertib kedua dan ditulis
.

Terbitan susunan ke-n bagi fungsi
dipanggil derivatif tertib (n-1) dan ditulis:

Pembezaan pembezaan fungsi dipanggil pembezaan kedua atau pembezaan tertib kedua.

.

.

3.3 Menyelesaikan masalah biologi menggunakan pembezaan.

Tugasan 1. Kajian telah menunjukkan bahawa pertumbuhan koloni mikroorganisma mematuhi undang-undang
, Di mana N – bilangan mikroorganisma (dalam ribuan), t – masa (hari).

b) Adakah penduduk koloni akan bertambah atau berkurang dalam tempoh ini?

Jawab. Saiz koloni akan bertambah.

Tugasan 2. Air di tasik diuji secara berkala untuk memantau kandungan bakteria patogen. Melalui t hari selepas ujian, kepekatan bakteria ditentukan oleh nisbah

Bilakah tasik akan mempunyai kepekatan minimum bakteria dan adakah mungkin untuk berenang di dalamnya?

Penyelesaian: Fungsi mencapai maks atau min apabila terbitannya ialah sifar.

Mari tentukan maks atau min dalam masa 6 hari. Untuk melakukan ini, mari kita ambil terbitan kedua.

Jawapan: Selepas 6 hari akan ada kepekatan minimum bakteria.