Vektor biasanya difahami sebagai kuantiti yang mempunyai 2 ciri utama:
- modul;
- arah tuju.
Oleh itu, dua vektor dianggap sama jika modul, serta arah kedua-duanya, bertepatan. Nilai yang dipersoalkan paling kerap ditulis sebagai huruf dengan anak panah dilukis di atasnya.
Antara kuantiti yang paling biasa bagi jenis yang sepadan ialah kelajuan, daya, dan juga, sebagai contoh, pecutan.
Dari sudut pandangan geometri, vektor boleh menjadi segmen terarah, yang panjangnya berkorelasi dengan modulnya.
Jika kita mempertimbangkan kuantiti vektor secara berasingan daripada arahnya, maka ia pada dasarnya boleh diukur. Benar, ini akan menjadi, satu cara atau yang lain, ciri separa kuantiti yang sepadan. Penuh - dicapai hanya jika ia ditambah dengan parameter segmen arah.
Apakah kuantiti skalar?
Secara skalar kita biasanya bermaksud kuantiti yang hanya mempunyai satu ciri, iaitu nilai berangka. Dalam kes ini, nilai yang dipertimbangkan boleh mengambil nilai positif atau negatif.
Kuantiti skalar biasa termasuk jisim, kekerapan, voltan dan suhu. Dengan mereka adalah mungkin untuk melakukan pelbagai operasi matematik - penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian.
Arah (sebagai ciri) bukan tipikal untuk kuantiti skalar.
Perbandingan
Perbezaan utama antara kuantiti vektor dan kuantiti skalar ialah yang pertama mempunyai ciri utama - magnitud dan arah, manakala yang kedua mempunyai nilai berangka. Perlu diingat bahawa kuantiti vektor, seperti kuantiti skalar, pada dasarnya boleh diukur, bagaimanapun, dalam kes ini ciri-cirinya hanya akan ditentukan sebahagiannya, kerana akan ada kekurangan arah.
Setelah menentukan perbezaan antara vektor dan kuantiti skalar, kami akan memaparkan kesimpulan dalam jadual kecil.
Dua perkataan yang menakutkan pelajar sekolah - vektor dan skalar - sebenarnya tidak menakutkan. Jika anda mendekati topik dengan minat, maka semuanya boleh difahami. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan kuantiti mana yang vektor dan yang mana skalar. Lebih tepat lagi, kami akan memberikan contoh. Setiap pelajar mungkin menyedari bahawa dalam fizik beberapa kuantiti dilambangkan bukan sahaja dengan simbol, tetapi juga dengan anak panah di atas. Apa yang mereka maksudkan? Ini akan dibincangkan di bawah. Mari cuba fikirkan bagaimana ia berbeza daripada skalar.
Contoh vektor. Bagaimanakah mereka ditetapkan?
Apakah yang dimaksudkan dengan vektor? Itu yang mencirikan pergerakan. Tidak kira sama ada di angkasa atau di atas kapal terbang. Apakah kuantiti kuantiti vektor secara umum? Sebagai contoh, kapal terbang terbang pada kelajuan tertentu pada ketinggian tertentu, mempunyai jisim tertentu, dan mula bergerak dari lapangan terbang dengan pecutan yang diperlukan. Bagaimana dengan pergerakan kapal terbang? Apa yang membuatkan dia terbang? Sudah tentu, pecutan, kelajuan. Kuantiti vektor dari kursus fizik adalah contoh yang jelas. Secara terang-terangan, kuantiti vektor dikaitkan dengan gerakan, sesaran.
Air juga bergerak pada kelajuan tertentu dari ketinggian gunung. Adakah kamu nampak? Pergerakan dilakukan bukan mengikut isipadu atau jisim, tetapi dengan kelajuan. Seorang pemain tenis membenarkan bola bergerak dengan bantuan raket. Ia menetapkan pecutan. Dengan cara ini, daya yang digunakan dalam kes ini juga merupakan kuantiti vektor. Kerana ia diperoleh hasil daripada kelajuan dan pecutan yang diberikan. Kuasa juga boleh mengubah dan menjalankan tindakan tertentu. Angin yang menggerakkan daun di atas pokok juga boleh dianggap sebagai contoh. Kerana ada kelajuan.
Kuantiti positif dan negatif
Kuantiti vektor ialah kuantiti yang mempunyai arah dalam ruang sekeliling dan magnitud. Perkataan seram itu muncul lagi, modul kali ini. Bayangkan anda perlu menyelesaikan masalah di mana nilai pecutan negatif akan direkodkan. Secara semula jadi, makna negatif, nampaknya, tidak wujud. Bagaimanakah kelajuan boleh menjadi negatif?
Vektor mempunyai konsep sedemikian. Ini terpakai, sebagai contoh, untuk daya yang dikenakan pada badan, tetapi mempunyai arah yang berbeza. Ingat yang ketiga di mana tindakan adalah sama dengan tindak balas. Lelaki itu bermain tarik tali. Satu pasukan memakai baju-T biru, satu pasukan lagi memakai baju-T kuning. Yang terakhir ternyata lebih kuat. Mari kita anggap bahawa vektor daya mereka diarahkan secara positif. Pada masa yang sama, yang pertama tidak boleh menarik tali, tetapi mereka mencuba. Timbul kuasa yang menentang.
Kuantiti vektor atau skalar?
Mari kita bercakap tentang bagaimana kuantiti vektor berbeza daripada kuantiti skalar. Parameter yang manakah tidak mempunyai arah, tetapi mempunyai makna tersendiri? Mari kita senaraikan beberapa kuantiti skalar di bawah:
Adakah mereka semua mempunyai hala tuju? Tidak. Kuantiti yang manakah vektor dan yang mana skalar hanya boleh ditunjukkan dengan contoh visual. Dalam fizik terdapat konsep sedemikian bukan sahaja dalam bahagian "Mekanik, dinamik dan kinematik", tetapi juga dalam perenggan "Elektrik dan kemagnetan". Daya Lorentz juga merupakan kuantiti vektor.
Vektor dan skalar dalam formula
Buku teks fizik selalunya mengandungi formula yang mempunyai anak panah di bahagian atas. Ingat hukum kedua Newton. Daya ("F" dengan anak panah di atas) adalah sama dengan hasil darab jisim ("m") dan pecutan ("a" dengan anak panah di atas). Seperti yang dinyatakan di atas, daya dan pecutan adalah kuantiti vektor, tetapi jisim adalah skalar.
Malangnya, tidak semua penerbitan mempunyai penetapan kuantiti ini. Ini mungkin dilakukan untuk memudahkan urusan supaya pelajar sekolah tidak terpedaya. Sebaik-baiknya beli buku dan buku rujukan yang menunjukkan vektor dalam formula.
Ilustrasi akan menunjukkan kuantiti mana satu vektor. Adalah disyorkan untuk memberi perhatian kepada gambar dan rajah dalam pelajaran fizik. Kuantiti vektor mempunyai arah. Ke mana ia diarahkan Sudah tentu, ke bawah. Ini bermakna anak panah akan ditunjukkan dalam arah yang sama.
Fizik dipelajari secara mendalam di universiti teknikal. Dalam banyak disiplin, guru bercakap tentang kuantiti skalar dan vektor. Pengetahuan sedemikian diperlukan dalam bidang berikut: pembinaan, pengangkutan, sains semula jadi.
Dalam fizik, terdapat beberapa kategori kuantiti: vektor dan skalar.
Apakah kuantiti vektor?
Kuantiti vektor mempunyai dua ciri utama: arah dan modul. Dua vektor akan sama jika nilai mutlak dan arahnya adalah sama. Untuk menunjukkan kuantiti vektor, huruf dengan anak panah di atasnya paling kerap digunakan. Contoh kuantiti vektor ialah daya, halaju, atau pecutan.
Untuk memahami intipati kuantiti vektor, seseorang harus mempertimbangkannya dari sudut pandangan geometri. Vektor ialah segmen garisan yang mempunyai arah. Panjang segmen sedemikian berkorelasi dengan nilai modulusnya. Contoh fizikal kuantiti vektor ialah anjakan titik bahan yang bergerak di angkasa. Parameter seperti pecutan titik ini, kelajuan dan daya yang bertindak ke atasnya, medan elektromagnet juga akan dipaparkan sebagai kuantiti vektor.
Jika kita menganggap kuantiti vektor tanpa mengira arah, maka segmen sedemikian boleh diukur. Tetapi keputusan yang terhasil hanya akan mencerminkan ciri-ciri separa kuantiti. Untuk mengukurnya sepenuhnya, nilai harus ditambah dengan parameter lain segmen arah.
Dalam algebra vektor terdapat konsep vektor sifar. Konsep ini bermaksud satu titik. Bagi arah vektor sifar, ia dianggap tidak pasti. Untuk menandakan vektor sifar, sifar aritmetik digunakan, ditaip dalam huruf tebal.
Jika kita menganalisis semua perkara di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa semua segmen terarah mentakrifkan vektor. Dua segmen akan mentakrifkan satu vektor hanya jika ia sama. Apabila membandingkan vektor, peraturan yang sama digunakan seperti semasa membandingkan kuantiti skalar. Kesaksamaan bermaksud persetujuan yang lengkap dalam semua aspek.
Apakah kuantiti skalar?
Tidak seperti vektor, kuantiti skalar hanya mempunyai satu parameter - ini nilai berangkanya. Perlu diingat bahawa nilai yang dianalisis boleh mempunyai sama ada nilai berangka positif atau negatif.
Contohnya termasuk jisim, voltan, kekerapan atau suhu. Dengan kuantiti sedemikian anda boleh melakukan pelbagai operasi aritmetik: penambahan, pembahagian, penolakan, pendaraban. Untuk kuantiti skalar, ciri seperti arah bukanlah tipikal.
Kuantiti skalar diukur dengan nilai berangka, jadi ia boleh dipaparkan pada paksi koordinat. Sebagai contoh, selalunya paksi jarak perjalanan, suhu atau masa dibina.
Perbezaan utama antara kuantiti skalar dan vektor
Daripada huraian yang diberikan di atas, jelas bahawa perbezaan utama antara kuantiti vektor dan kuantiti skalar adalah ciri-ciri. Kuantiti vektor mempunyai arah dan magnitud, manakala kuantiti skalar hanya mempunyai nilai berangka. Sudah tentu, kuantiti vektor, seperti kuantiti skalar, boleh diukur, tetapi ciri sedemikian tidak akan lengkap, kerana tiada arah.
Untuk lebih jelas membayangkan perbezaan antara kuantiti skalar dan kuantiti vektor, satu contoh harus diberikan. Untuk melakukan ini, mari kita ambil bidang pengetahuan seperti klimatologi. Jika kita katakan bahawa angin bertiup pada kelajuan 8 meter sesaat, maka kuantiti skalar akan diperkenalkan. Tetapi jika kita mengatakan bahawa angin utara bertiup pada kelajuan 8 meter sesaat, maka kita bercakap tentang nilai vektor.
Vektor memainkan peranan yang besar dalam matematik moden, serta dalam banyak bidang mekanik dan fizik. Kebanyakan kuantiti fizik boleh diwakili sebagai vektor. Ini membolehkan kami membuat generalisasi dan memudahkan formula dan keputusan yang digunakan dengan ketara. Selalunya nilai vektor dan vektor dikenal pasti antara satu sama lain. Sebagai contoh, dalam fizik anda mungkin mendengar bahawa kelajuan atau daya ialah vektor.
vektor- konsep matematik semata-mata yang hanya digunakan dalam fizik atau sains gunaan lain dan yang membolehkan seseorang memudahkan penyelesaian beberapa masalah yang kompleks.
vektor− segmen lurus terarah.
Dalam kursus fizik asas seseorang perlu beroperasi dengan dua kategori kuantiti − skalar dan vektor
.
skalar kuantiti (scalar) ialah kuantiti yang dicirikan oleh nilai berangka dan tanda. Skalar ialah panjang − l, jisim − m, laluan − s, masa − t, suhu − T, cas elektrik − q, tenaga − W, koordinat, dsb.
Semua operasi algebra (penambahan, penolakan, pendaraban, dsb.) digunakan pada kuantiti skalar.
Contoh 1.
Tentukan jumlah caj sistem, yang terdiri daripada caj yang termasuk di dalamnya, jika q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Caj sistem penuh
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Contoh 2.
Untuk persamaan kuadratik bentuk
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
vektor Kuantiti (vektor) ialah kuantiti, untuk menentukan mana yang perlu ditunjukkan, sebagai tambahan kepada nilai berangka, arah. Vektor − kelajuan v, paksa F, dorongan hlm, kekuatan medan elektrik E, aruhan magnet B dan sebagainya.
Nilai berangka vektor (modulus) dilambangkan dengan huruf tanpa simbol vektor atau vektor disertakan di antara bar menegak r = |r|.
Secara grafik, vektor diwakili oleh anak panah (Rajah 1),
Panjangnya pada skala tertentu adalah sama dengan magnitudnya, dan arahnya bertepatan dengan arah vektor.
Dua vektor adalah sama jika magnitud dan arahnya bertepatan.
Kuantiti vektor ditambah secara geometri (mengikut peraturan algebra vektor).
Mencari jumlah vektor daripada vektor komponen yang diberikan dipanggil penambahan vektor.
Penambahan dua vektor dijalankan mengikut segi empat selari atau peraturan segitiga. Jumlah vektor
c = a + b
sama dengan pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor a Dan b. Modulkannya
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Rajah 2). 
Pada α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) ialah teorem Pythagoras.
Vektor c yang sama boleh diperoleh menggunakan petua segitiga jika dari hujung vektor a ketepikan vektor b. Vektor mengekori c (menghubungkan permulaan vektor a dan hujung vektor b) ialah jumlah vektor bagi sebutan (vektor komponen a Dan b).
Vektor yang terhasil didapati sebagai garis mengekor garis putus yang pautannya ialah vektor komponen (Rajah 3). 
Contoh 3.
Tambah dua daya F 1 = 3 N dan F 2 = 4 N, vektor F 1 Dan F 2 buat sudut α 1 = 10° dan α 2 = 40° dengan ufuk, masing-masing
F = F 1 + F 2(Gamb. 4). 
Hasil penambahan kedua-dua daya ini ialah daya yang dipanggil paduan. vektor F diarahkan sepanjang pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor F 1 Dan F 2, kedua-dua belah, dan sama dalam modulus dengan panjangnya.
Modul vektor F cari dengan teorem kosinus
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6.8 H.
Jika
(α 2 − α 1) = 90°, kemudian F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Sudut yang merupakan vektor F adalah sama dengan paksi Lembu, kita dapati ia menggunakan formula
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.
Unjuran vektor a pada paksi Ox (Oy) ialah kuantiti skalar bergantung pada sudut α antara arah vektor a dan paksi Ox (Oy). (Gamb. 5) 
Unjuran vektor a pada paksi Ox dan Oy bagi sistem koordinat segi empat tepat. (Gamb. 6) 
Untuk mengelakkan kesilapan semasa menentukan tanda unjuran vektor pada paksi, adalah berguna untuk mengingati peraturan berikut: jika arah komponen bertepatan dengan arah paksi, maka unjuran vektor pada ini paksi adalah positif, tetapi jika arah komponen bertentangan dengan arah paksi, maka unjuran vektor adalah negatif. (Gamb. 7) 
Penolakan vektor ialah penambahan di mana vektor ditambah kepada vektor pertama, secara numerik sama dengan yang kedua, dalam arah yang bertentangan
a − b = a + (−b) = d(Gamb. 8). 
Biarkan ia perlu daripada vektor a tolak vektor b, perbezaan mereka − d. Untuk mencari perbezaan dua vektor, anda perlu pergi ke vektor a tambah vektor ( −b), iaitu vektor d = a − b akan menjadi vektor yang diarahkan dari permulaan vektor a ke hujung vektor ( −b) (Gamb. 9). 
Dalam segi empat selari yang dibina pada vektor a Dan b kedua-dua belah, satu pepenjuru c mempunyai makna jumlah, dan yang lain d− perbezaan vektor a Dan b(Gamb. 9).
Hasil daripada vektor a oleh skalar k sama dengan vektor b= k a, modulusnya adalah k kali lebih besar daripada modulus vektor a, dan arahnya bertepatan dengan arah a bagi k positif dan sebaliknya bagi k negatif.
Contoh 4.
Tentukan momentum jasad seberat 2 kg bergerak pada kelajuan 5 m/s. (Gamb. 10) 
Dorongan badan hlm= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s dan dihalakan ke arah kelajuan v.
Contoh 5.
Satu cas q = -7.5 nC diletakkan dalam medan elektrik dengan kekuatan E = 400 V/m. Cari magnitud dan arah daya yang bertindak ke atas cas itu.
Kuasanya ialah F= q E. Oleh kerana cas adalah negatif, vektor daya diarahkan ke arah yang bertentangan dengan vektor E. (Gamb. 11) 
Bahagian vektor a dengan skalar k adalah bersamaan dengan mendarab a sebanyak 1/k.
Produk dot vektor a Dan b dipanggil skalar "c", sama dengan hasil darab moduli vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Rajah 12) 
Contoh 6.
Cari kerja yang dilakukan oleh daya malar F = 20 N, jika sesaran ialah S = 7.5 m, dan sudut α antara daya dan sesaran ialah α = 120°.
Kerja yang dilakukan oleh daya adalah sama, mengikut definisi, dengan hasil skalar daya dan sesaran
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Karya seni vektor vektor a Dan b dipanggil vektor c, secara berangka sama dengan hasil darab nilai mutlak vektor a dan b didarab dengan sinus sudut di antara mereka:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
vektor c berserenjang dengan satah di mana vektor terletak a Dan b, dan arahnya berkaitan dengan arah vektor a Dan b peraturan skru kanan (Gamb. 13). 
Contoh 7.
Tentukan daya yang bertindak pada konduktor sepanjang 0.2 m, diletakkan dalam medan magnet, aruhannya ialah 5 T, jika kekuatan arus dalam konduktor ialah 10 A dan ia membentuk sudut α = 30° dengan arah medan .
Kuasa ampere
dF = I = Idl × B atau F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 m × 1/2 = 5 N.
Pertimbangkan penyelesaian masalah.
1. Bagaimanakah dua vektor diarahkan, modulinya adalah sama dan sama dengan a, jika modulus jumlahnya sama dengan: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Penyelesaian.
a) Dua vektor diarahkan sepanjang satu garis lurus dalam arah yang bertentangan. Jumlah vektor ini ialah sifar. 
b) Dua vektor diarahkan sepanjang satu garis lurus ke arah yang sama. Jumlah vektor ini ialah 2a. 
c) Dua vektor diarahkan pada sudut 120° antara satu sama lain. Jumlah vektor ialah a. Vektor yang terhasil didapati menggunakan teorem kosinus: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 dan α = 120°.
d) Dua vektor diarahkan pada sudut 90° antara satu sama lain. Modulus hasil tambah adalah sama dengan
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 dan α = 90°. 
e) Dua vektor diarahkan pada sudut 60° antara satu sama lain. Modulus hasil tambah adalah sama dengan
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 dan α = 60°.
Jawab: Sudut α antara vektor adalah sama dengan: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Jika a = a 1 + a 2 orientasi vektor, apa yang boleh dikatakan tentang orientasi vektor bersama a 1 Dan a 2, jika: a) a = a 1 + a 2 ; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?
Penyelesaian.
a) Jika jumlah vektor didapati sebagai jumlah modul vektor ini, maka vektor diarahkan sepanjang satu garis lurus, selari antara satu sama lain a 1 ||a 2.
b) Jika vektor diarahkan pada sudut antara satu sama lain, maka jumlahnya didapati menggunakan teorem kosinus untuk segi empat selari
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 dan α = 90°.
vektor adalah berserenjang antara satu sama lain a 1 ⊥ a 2.
c) Keadaan a 1 + a 2 = a 1 − a 2 boleh dilaksanakan jika a 2− vektor sifar, maka a 1 + a 2 = a 1 .
Jawapan. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− vektor sifar.
3. Dua daya 1.42 N setiap satu dikenakan pada satu titik jasad pada sudut 60° antara satu sama lain. Pada sudut manakah dua daya 1.75 N setiap satu harus dikenakan pada titik yang sama pada jasad supaya tindakannya mengimbangi tindakan dua daya pertama?
Penyelesaian.
Mengikut keadaan masalah, dua daya 1.75 N setiap satu mengimbangi dua daya 1.42 N setiap satu Ini mungkin jika modul vektor pasangan daya yang terhasil adalah sama. Kami menentukan vektor yang terhasil menggunakan teorem kosinus untuk segi empat selari. Untuk pasangan daya pertama:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
untuk pasangan daya kedua, masing-masing
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Menyamakan sisi kiri persamaan
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Mari cari sudut β yang diperlukan antara vektor
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Selepas pengiraan,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90.7°.
Penyelesaian kedua.
Mari kita pertimbangkan unjuran vektor pada paksi koordinat OX (Gamb.). 
Menggunakan hubungan antara sisi dalam segi tiga tepat, kita dapat
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
di mana
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) dan β ≈ 90.7°.
4. Vektor a = 3i − 4j. Apakah kuantiti skalar c untuk |c a| = 7,5?
Penyelesaian.
c a= c( 3i − 4j) = 7,5
Modul vektor a akan sama
a 2 = 3 2 + 4 2, dan a = ±5,
kemudian dari
c.(±5) = 7.5,
mari cari itu
c = ±1.5.
5. Vektor a 1 Dan a 2 keluar dari asal dan mempunyai koordinat hujung Cartesan (6, 0) dan (1, 4), masing-masing. Cari vektor a 3 supaya: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Penyelesaian.
Mari kita gambarkan vektor dalam sistem koordinat Cartesan (Gamb.) 
a) Vektor yang terhasil di sepanjang paksi Ox ialah
a x = 6 + 1 = 7.
Vektor yang terhasil di sepanjang paksi Oy ialah
a y = 4 + 0 = 4.
Untuk jumlah vektor sama dengan sifar, syarat itu perlu dipenuhi
a 1 + a 2 = −a 3.
vektor a 3 modulo akan sama dengan jumlah vektor a 1 + a 2, tetapi diarahkan ke arah yang bertentangan. Koordinat akhir vektor a 3 adalah sama dengan (−7, −4), dan modulus
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.
B) Vektor yang terhasil di sepanjang paksi Ox ialah
a x = 6 − 1 = 5,
dan vektor yang terhasil di sepanjang paksi Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Apabila syarat dipenuhi
a 1 − a 2 = −a 3,
vektor a 3 akan mempunyai koordinat hujung vektor a x = –5 dan a y = −4, dan modulusnya adalah sama dengan
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.
6. Seorang utusan berjalan 30 m ke utara, 25 m ke timur, 12 m ke selatan, dan kemudian menaiki lif ke ketinggian 36 m di sebuah bangunan. Berapakah jarak yang dilalui olehnya dan sesaran S ?
Penyelesaian.
Mari kita gambarkan situasi yang diterangkan dalam masalah pada satah pada skala sewenang-wenangnya (Gamb.). 
Akhir vektor O.A. mempunyai koordinat 25 m ke timur, 18 m ke utara dan 36 ke atas (25; 18; 36). Jarak yang dilalui oleh seseorang adalah sama dengan
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Magnitud vektor anjakan boleh didapati menggunakan formula
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
di mana x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (m).
Jawab: L = 103 m, S = 47.4 m.
7. Sudut α antara dua vektor a Dan b sama dengan 60°. Tentukan panjang vektor c = a + b dan sudut β antara vektor a Dan c. Magnitud vektor ialah a = 3.0 dan b = 2.0.
Penyelesaian.
Panjang vektor sama dengan jumlah vektor a Dan b Mari tentukan menggunakan teorem kosinus untuk segi empat selari (Gamb.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Selepas penggantian
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Untuk menentukan sudut β, kita menggunakan teorem sinus untuk segitiga ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Pada masa yang sama, anda harus tahu itu
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Menyelesaikan persamaan trigonometri mudah, kita sampai pada ungkapan
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
oleh itu,
β = arctan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Mari kita semak menggunakan teorem kosinus untuk segitiga:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
di mana
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Dan
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Jawab: c ≈ 4.4; β ≈ 23°.
Selesaikan masalah.
8. Bagi vektor a Dan b ditakrifkan dalam Contoh 7, cari panjang vektor d = a − b sudut γ
antara a Dan d.
9. Cari unjuran vektor a = 4.0i + 7.0j kepada garis lurus, yang arahnya menjadikan sudut α = 30° dengan paksi Lembu. vektor a dan garis lurus terletak pada satah xOy.
10. Vektor a menjadikan sudut α = 30° dengan garis lurus AB, a = 3.0. Pada sudut manakah β kepada garis AB harus vektor diarahkan? b(b = √(3)) supaya vektor c = a + b adalah selari dengan AB? Cari panjang vektor c.
11. Tiga vektor diberikan: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Mencari) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Sudut antara vektor a Dan b adalah sama dengan α = 60°, a = 2.0, b = 1.0. Cari panjang vektor c = (a, b)a + b Dan d = 2b − a/2.
13. Buktikan bahawa vektor a Dan b adalah berserenjang jika a = (2, 1, −5) dan b = (5, −5, 1).
14. Cari sudut α antara vektor a Dan b, jika a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vektor a menjadikan sudut α = 30° dengan paksi Lembu, unjuran vektor ini ke paksi Oy adalah sama dengan a y = 2.0. vektor b berserenjang dengan vektor a dan b = 3.0 (lihat rajah). 
vektor c = a + b. Cari: a) unjuran vektor b pada paksi Ox dan Oy; b) nilai c dan sudut β antara vektor c dan paksi Lembu; teksi); d) (a, c).
Jawapan:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
10. β = 300°; c = 3.5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2.6; d = 1.7.
14. α = 44.4°.
15. a) b x = −1.5; b y = 2.6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16.0.
Dengan mempelajari fizik, anda mempunyai peluang besar untuk meneruskan pendidikan anda di universiti teknikal. Ini akan memerlukan pendalaman pengetahuan yang selari dalam matematik, kimia, bahasa, dan kurang kerap mata pelajaran lain. Pemenang Olimpik Republikan, Savich Egor, graduan dari salah satu fakulti MIPT, di mana tuntutan besar diletakkan pada pengetahuan dalam kimia. Jika anda memerlukan bantuan di Akademi Sains Negeri dalam bidang kimia, kemudian hubungi profesional anda pasti akan menerima bantuan yang berkelayakan dan tepat pada masanya.