Segitiga ialah salah satu bentuk geometri yang paling biasa, yang kita kenali di sekolah rendah. Setiap pelajar menghadapi persoalan bagaimana mencari luas segi tiga dalam pelajaran geometri. Jadi, apakah ciri mencari luas angka yang diberikan boleh dikenal pasti? Dalam artikel ini kita akan melihat formula asas yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas sedemikian, dan juga menganalisis jenis segitiga.
Jenis-jenis segitiga
Anda boleh mencari luas segi tiga dengan cara yang sama sekali berbeza, kerana dalam geometri terdapat lebih daripada satu jenis rajah yang mengandungi tiga sudut. Jenis ini termasuk:
- Bodoh.
- Sama sisi (betul).
- Segitiga kanan.
- Sama kaki.
Mari kita lihat dengan lebih dekat setiap jenis segitiga yang sedia ada.
Angka geometri ini dianggap paling biasa apabila menyelesaikan masalah geometri. Apabila timbul keperluan untuk melukis segi tiga sewenang-wenangnya, pilihan ini datang untuk menyelamatkan.
Dalam segi tiga akut, seperti namanya, semua sudut adalah akut dan ditambah sehingga 180°.
Jenis segi tiga ini juga sangat biasa, tetapi agak kurang biasa daripada segi tiga akut. Sebagai contoh, apabila menyelesaikan segi tiga (iaitu, beberapa sisi dan sudutnya diketahui dan anda perlu mencari elemen yang tinggal), kadangkala anda perlu menentukan sama ada sudut itu tumpul atau tidak. Kosinus ialah nombor negatif.
B, nilai salah satu sudut melebihi 90°, jadi dua sudut yang selebihnya boleh mengambil nilai kecil (contohnya, 15° atau 3°).
Untuk mencari kawasan segitiga jenis ini, anda perlu mengetahui beberapa nuansa, yang akan kita bincangkan kemudian.
Segitiga sekata dan sama kaki
Poligon sekata ialah rajah yang merangkumi n sudut dan semua sisi dan sudut adalah sama. Ini adalah segi tiga biasa. Oleh kerana jumlah semua sudut segitiga ialah 180°, maka setiap tiga sudut ialah 60°.
Segi tiga sekata, kerana sifatnya, juga dipanggil angka sama sisi.
Ia juga perlu diperhatikan bahawa hanya satu bulatan boleh ditulis dalam segitiga biasa, dan hanya satu bulatan boleh diterangkan di sekelilingnya, dan pusatnya terletak pada titik yang sama.
Sebagai tambahan kepada jenis sama sisi, seseorang juga boleh membezakan segi tiga sama kaki, yang sedikit berbeza daripadanya. Dalam segitiga sedemikian, dua sisi dan dua sudut adalah sama antara satu sama lain, dan sisi ketiga (yang sudut yang sama bersebelahan) ialah tapaknya.
Rajah menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki DEF yang sudut D dan F adalah sama dan DF ialah tapak.
Segitiga kanan
Segitiga tegak dinamakan sedemikian kerana salah satu sudutnya adalah tegak, iaitu sama dengan 90°. Dua sudut yang lain menambah sehingga 90°.
Sisi terbesar bagi segi tiga sedemikian, terletak bertentangan dengan sudut 90°, ialah hipotenus, manakala dua sisi yang tinggal ialah kaki. Untuk jenis segi tiga ini, teorem Pythagoras digunakan:
Jumlah kuasa dua panjang kaki adalah sama dengan kuasa dua panjang hipotenus.
Rajah menunjukkan sebuah segi tiga tepat BAC dengan hipotenus AC dan kaki AB dan BC.
Untuk mencari luas segi tiga dengan sudut tepat, anda perlu mengetahui nilai berangka kakinya.
Mari kita beralih kepada formula untuk mencari luas angka yang diberikan.
Formula asas untuk mencari kawasan
Dalam geometri, terdapat dua formula yang sesuai untuk mencari luas bagi kebanyakan jenis segitiga, iaitu bagi segi tiga akut, tumpul, sekata dan sama kaki. Mari lihat setiap daripada mereka.
Di sebelah dan ketinggian
Formula ini adalah universal untuk mencari luas angka yang sedang kita pertimbangkan. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengetahui panjang sisi dan panjang ketinggian yang ditarik kepadanya. Formula itu sendiri (separuh hasil darab tapak dan ketinggian) adalah seperti berikut:
di mana A ialah sisi segi tiga yang diberi, dan H ialah ketinggian segi tiga itu.
Sebagai contoh, untuk mencari luas segi tiga akut ACB, anda perlu mendarabkan sisi AB dengan ketinggian CD dan membahagikan nilai yang terhasil dengan dua.
Walau bagaimanapun, tidak selalu mudah untuk mencari luas segi tiga dengan cara ini. Sebagai contoh, untuk menggunakan formula ini untuk segi tiga tumpul, anda perlu memanjangkan salah satu sisinya dan kemudian melukis ketinggian kepadanya.
Dalam amalan, formula ini digunakan lebih kerap daripada yang lain.
Di kedua-dua belah dan sudut
Formula ini, seperti yang sebelumnya, sesuai untuk kebanyakan segi tiga dan dalam maksudnya adalah akibat daripada formula untuk mencari luas sisi dan ketinggian segitiga. Maksudnya, formula yang dimaksudkan boleh diperolehi dengan mudah daripada yang sebelumnya. Formulasinya kelihatan seperti ini:
S = ½*sinO*A*B,
di mana A dan B ialah sisi segi tiga, dan O ialah sudut antara sisi A dan B.
Mari kita ingat bahawa sinus sudut boleh dilihat dalam jadual khas yang dinamakan sempena ahli matematik Soviet yang cemerlang V. M. Bradis.
Sekarang mari kita beralih kepada formula lain yang hanya sesuai untuk jenis segitiga yang luar biasa.
Luas segi tiga tepat
Sebagai tambahan kepada formula universal, yang merangkumi keperluan untuk mencari ketinggian dalam segi tiga, kawasan segitiga yang mengandungi sudut tegak boleh didapati dari kakinya.
Oleh itu, luas segi tiga yang mengandungi sudut tegak ialah separuh hasil darab kakinya, atau:
dengan a dan b ialah kaki bagi segi tiga tegak.
Segitiga biasa
Jenis rajah geometri ini berbeza kerana luasnya boleh didapati untuk nilai yang ditunjukkan hanya satu sisinya (kerana semua sisi segitiga sekata adalah sama). Oleh itu, apabila berhadapan dengan tugas "mencari luas segi tiga apabila sisinya sama", anda perlu menggunakan formula berikut:
S = A 2 *√3 / 4,
di mana A ialah sisi segi tiga sama sisi.
Formula Heron
Pilihan terakhir untuk mencari luas segi tiga ialah formula Heron. Untuk menggunakannya, anda perlu mengetahui panjang tiga sisi rajah. Formula Heron kelihatan seperti ini:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
dengan a, b dan c ialah sisi bagi segi tiga yang diberi.
Kadang-kadang masalah diberikan: "luas segitiga biasa adalah untuk mencari panjang sisinya." Dalam kes ini, kita perlu menggunakan formula yang telah kita ketahui untuk mencari luas segi tiga sekata dan dapatkan daripadanya nilai sisi (atau segi empat samanya):
A 2 = 4S / √3.
Tugas peperiksaan
Terdapat banyak formula dalam masalah GIA dalam matematik. Di samping itu, agak kerap adalah perlu untuk mencari kawasan segitiga pada kertas berkotak-kotak.
Dalam kes ini, adalah paling mudah untuk menarik ketinggian ke salah satu sisi rajah, tentukan panjangnya dari sel dan gunakan formula universal untuk mencari kawasan:
Oleh itu, selepas mengkaji formula yang dibentangkan dalam artikel itu, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah mencari luas segi tiga dalam apa jua bentuk.
Seperti yang anda ingat dari kurikulum geometri sekolah anda, segitiga ialah angka yang terbentuk daripada tiga segmen yang disambungkan oleh tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Segitiga membentuk tiga sudut, maka nama rajah itu. Definisi mungkin berbeza. Segitiga juga boleh dipanggil poligon dengan tiga sudut, jawapannya juga betul. Segi tiga dibahagikan mengikut bilangan sisi yang sama dan saiz sudut dalam rajah. Oleh itu, segi tiga dibezakan sebagai isosceles, equilateral and scalene, serta segi empat tepat, akut dan tumpul, masing-masing.
Terdapat banyak formula untuk mengira luas segi tiga. Pilih cara mencari luas segi tiga, i.e. Formula mana yang hendak digunakan terpulang kepada anda. Tetapi perlu diperhatikan hanya beberapa notasi yang digunakan dalam banyak formula untuk mengira luas segi tiga. Jadi, ingat:
S ialah luas segi tiga,
a, b, c ialah sisi segi tiga,
h ialah ketinggian segi tiga,
R ialah jejari bulatan yang dihadkan,
p ialah separuh perimeter.
Berikut ialah notasi asas yang mungkin berguna kepada anda jika anda benar-benar terlupa kursus geometri anda. Di bawah adalah pilihan yang paling mudah difahami dan tidak rumit untuk mengira kawasan segitiga yang tidak diketahui dan misteri. Ia tidak sukar dan akan berguna untuk keperluan rumah anda dan untuk membantu anak-anak anda. Mari kita ingat cara mengira luas segi tiga semudah mungkin:
Dalam kes kami, luas segi tiga ialah: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 cm persegi. Ingat bahawa kawasan diukur dalam sentimeter persegi (sqcm).
Segitiga tegak dan luasnya.
Segitiga tegak ialah segi tiga di mana satu sudut adalah sama dengan 90 darjah (oleh itu dipanggil kanan). Sudut tegak dibentuk oleh dua garis serenjang (dalam kes segitiga, dua segmen berserenjang). Dalam segi tiga tegak hanya boleh ada satu sudut tegak, kerana... jumlah semua sudut mana-mana satu segi tiga adalah sama dengan 180 darjah. Ternyata 2 sudut lain harus membahagikan baki 90 darjah, contohnya 70 dan 20, 45 dan 45, dsb. Jadi, anda masih ingat perkara utama, yang tinggal hanyalah untuk mengetahui cara mencari luas segi tiga tepat. Mari kita bayangkan bahawa kita mempunyai segi tiga tepat di hadapan kita, dan kita perlu mencari kawasannya S.
1. Cara paling mudah untuk menentukan luas segi tiga tepat dikira menggunakan formula berikut:
Dalam kes kami, luas segi tiga tepat ialah: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 cm persegi.
Pada dasarnya, tidak ada lagi keperluan untuk mengesahkan kawasan segitiga dengan cara lain, kerana Hanya yang ini akan berguna dan akan membantu dalam kehidupan seharian. Tetapi terdapat juga pilihan untuk mengukur luas segitiga melalui sudut akut.
2. Untuk kaedah pengiraan lain, anda mesti mempunyai jadual kosinus, sinus dan tangen. Nilailah sendiri, berikut adalah beberapa pilihan untuk mengira luas segi tiga tepat yang masih boleh digunakan:
Kami memutuskan untuk menggunakan formula pertama dan dengan beberapa tompok kecil (kami melukisnya dalam buku nota dan menggunakan pembaris dan protraktor lama), tetapi kami mendapat pengiraan yang betul:
S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). Kami mendapat keputusan berikut: 3.6=3.7, tetapi dengan mengambil kira peralihan sel, kami boleh memaafkan nuansa ini.
Segitiga sama kaki dan luasnya.
Sekiranya anda berhadapan dengan tugas mengira formula untuk segi tiga sama kaki, maka cara paling mudah ialah menggunakan yang utama dan apa yang dianggap sebagai formula klasik untuk luas segi tiga.
Tetapi pertama, sebelum mencari luas segi tiga sama kaki, mari kita ketahui jenis angka itu. Segitiga sama kaki ialah segi tiga di mana dua sisi mempunyai panjang yang sama. Kedua-dua sisi ini dipanggil sisi, sisi ketiga dipanggil pangkalan. Jangan mengelirukan segitiga sama kaki dengan segitiga sama sisi, i.e. segi tiga sekata dengan ketiga-tiga sisinya sama. Dalam segi tiga sedemikian tidak ada kecenderungan khas kepada sudut, atau lebih tepatnya kepada saiznya. Walau bagaimanapun, sudut pada tapak dalam segi tiga sama kaki adalah sama, tetapi berbeza daripada sudut antara sisi yang sama. Jadi, anda sudah mengetahui formula pertama dan utama;
Segitiga ialah rajah geometri yang terdiri daripada tiga garis lurus yang menghubungkan pada titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Titik sambungan garis adalah bucu segitiga, yang ditetapkan oleh huruf Latin (contohnya, A, B, C). Garis lurus penghubung segitiga dipanggil segmen, yang juga biasanya dilambangkan dengan huruf Latin. Jenis segitiga berikut dibezakan:
- segi empat tepat.
- Bodoh.
- Sudut akut.
- serba boleh.
- sama sisi.
- Sama kaki.
Formula am untuk mengira luas segi tiga
Formula untuk luas segi tiga berdasarkan panjang dan tinggi
S= a*h/2,
di mana a ialah panjang sisi segi tiga yang luasnya perlu dicari, h ialah panjang ketinggian yang dilukis ke tapak.
Formula Heron
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
dengan √ ialah punca kuasa dua, p ialah separuh perimeter bagi segi tiga itu, a,b,c ialah panjang setiap sisi segi tiga itu. Separuh perimeter segitiga boleh dikira menggunakan formula p=(a+b+c)/2.
Formula untuk luas segi tiga berdasarkan sudut dan panjang segmen
S = (a*b*sin(α))/2,
dengan b,c ialah panjang sisi segi tiga, sin(α) ialah sinus sudut antara kedua-dua belah.
Formula untuk luas segi tiga diberi jejari bulatan bertulis dan tiga sisi
S=p*r,
di mana p ialah separuh perimeter segi tiga yang luasnya perlu dicari, r ialah jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga ini.
Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya
S= (a*b*c)/4*R,
di mana a,b,c ialah panjang setiap sisi segi tiga, R ialah jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga itu.
Formula untuk luas segi tiga menggunakan koordinat titik Cartesian
Koordinat Cartesan titik ialah koordinat dalam sistem xOy, di mana x ialah absis, y ialah ordinat. Sistem koordinat Cartesian xOy pada satah ialah paksi berangka yang saling berserenjang Ox dan Oy dengan asalan sepunya di titik O. Jika koordinat titik pada satah ini diberikan dalam bentuk A(x1, y1), B(x2, y2). ) dan C(x3, y3 ), maka anda boleh mengira luas segi tiga menggunakan formula berikut, yang diperoleh daripada hasil vektor dua vektor.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
di mana || bermaksud modul.
Bagaimana untuk mencari luas segi tiga tepat
Segitiga tegak ialah segi tiga dengan satu sudut berukuran 90 darjah. Segitiga hanya boleh mempunyai satu sudut sedemikian.
Formula untuk luas segi tiga tepat pada dua sisi
S= a*b/2,
dengan a,b ialah panjang kaki. Kaki ialah sisi yang bersebelahan dengan sudut tepat.
Formula untuk luas segi tiga tepat berdasarkan hipotenus dan sudut akut
S = a*b*sin(α)/ 2,
dengan a, b ialah kaki segi tiga, dan sin(α) ialah sinus bagi sudut di mana garis a, b bersilang.
Formula untuk luas segi tiga tepat berdasarkan sisi dan sudut bertentangan
S = a*b/2*tg(β),
dengan a, b ialah kaki segi tiga, tan(β) ialah tangen bagi sudut di mana kaki a, b disambungkan.
Bagaimana untuk mengira luas segi tiga sama kaki
Segitiga sama kaki ialah satu yang mempunyai dua sisi yang sama. Sisi ini dipanggil sisi, dan sisi yang lain adalah pangkalan. Untuk mengira luas segi tiga sama kaki, anda boleh menggunakan salah satu daripada formula berikut.
Formula asas untuk mengira luas segi tiga sama kaki
S=h*c/2,
di mana c ialah tapak segi tiga, h ialah ketinggian segi tiga diturunkan ke tapak.
Formula segi tiga sama kaki berdasarkan sisi dan tapak
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
di mana c ialah tapak segi tiga, a ialah saiz salah satu sisi segi tiga sama kaki.
Bagaimana untuk mencari luas segi tiga sama sisi
Segitiga sama sisi ialah segi tiga di mana semua sisi adalah sama. Untuk mengira luas segi tiga sama sisi, anda boleh menggunakan formula berikut:
S = (√3*a*a)/4,
dengan a ialah panjang sisi segi tiga sama sisi.
Formula di atas akan membolehkan anda mengira kawasan segitiga yang diperlukan. Adalah penting untuk diingat bahawa untuk mengira luas segi tiga, anda perlu mempertimbangkan jenis segi tiga dan data yang tersedia yang boleh digunakan untuk pengiraan.
Anda boleh menemui lebih daripada 10 formula untuk mengira luas segi tiga di Internet Banyak daripadanya digunakan dalam masalah dengan sisi dan sudut segitiga yang diketahui. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa contoh yang kompleks di mana, mengikut syarat tugasan, hanya satu sisi dan sudut segitiga diketahui, atau jejari bulatan berhad atau bersurat dan satu lagi ciri. Dalam kes sedemikian, formula mudah tidak boleh digunakan.
Formula yang diberikan di bawah akan membolehkan anda menyelesaikan 95 peratus masalah yang anda perlukan untuk mencari luas segi tiga.
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan formula kawasan sepunya.
Pertimbangkan segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah
Dalam rajah dan di bawah dalam formula, sebutan klasik semua cirinya diperkenalkan.
a,b,c – sisi segi tiga,
R - jejari bulatan yang dihadkan,
r - jejari bulatan bertulis,
h[b],h[a],h[c] – ketinggian yang dilukis mengikut sisi a,b,c.
alfa, beta, hamma – sudut berhampiran bucu.
Formula asas untuk luas segi tiga
1. Luasnya adalah sama dengan separuh hasil darab sisi segi tiga dan tingginya diturunkan ke sisi ini. Dalam bahasa rumus, definisi ini boleh ditulis seperti berikut
Oleh itu, jika sisi dan ketinggian diketahui, maka setiap pelajar akan mencari luasnya.
Dengan cara ini, dari formula ini seseorang boleh memperoleh satu hubungan yang berguna antara ketinggian
2. Jika kita mengambil kira bahawa ketinggian segi tiga melalui sisi bersebelahan dinyatakan oleh pergantungan
Kemudian formula kawasan pertama diikuti oleh formula kedua daripada jenis yang sama
Lihat dengan teliti pada formula - ia mudah diingat, kerana kerja itu melibatkan dua sisi dan sudut di antara mereka. Jika kita menetapkan sisi dan sudut segitiga dengan betul (seperti dalam rajah di atas), kita akan mendapat dua sisi a, b dan sudut disambungkan kepada yang ketiga Dengan (hamma).
3. Bagi sudut segitiga, hubungannya adalah benar
Pergantungan membolehkan anda menggunakan formula berikut untuk luas segi tiga dalam pengiraan:
Contoh pergantungan ini sangat jarang berlaku, tetapi anda mesti ingat bahawa terdapat formula sedemikian.
4. Jika sisi dan dua sudut yang bersebelahan diketahui, maka luasnya ditemui oleh rumus
5. Formula bagi luas dari segi sisi dan kotangen sudut bersebelahan adalah seperti berikut
Dengan menyusun semula indeks anda boleh mendapatkan kebergantungan untuk pihak lain.
6. Rumus luas di bawah digunakan dalam masalah apabila bucu segitiga ditentukan pada satah mengikut koordinat. Dalam kes ini, kawasan adalah sama dengan separuh penentu yang diambil modulo.
7. Formula Heron digunakan dalam contoh dengan sisi segitiga yang diketahui.
Mula-mula cari separuh perimeter segi tiga itu
Dan kemudian tentukan kawasan menggunakan formula
atau
Ia agak kerap digunakan dalam kod program kalkulator.
8. Jika semua ketinggian segi tiga diketahui, maka luasnya ditentukan oleh formula
Sukar untuk mengira pada kalkulator, tetapi dalam pakej MathCad, Mathematica, Maple kawasannya ialah "masa dua".
9. Formula berikut menggunakan jejari yang diketahui bagi bulatan bersurat dan berhad. 
Khususnya, jika jejari dan sisi segitiga, atau perimeternya, diketahui, maka luasnya dikira mengikut formula
10. Dalam contoh di mana sisi dan jejari atau diameter bulatan berbatas diberi, luas didapati menggunakan formula
11. Formula berikut menentukan luas segi tiga dari segi sisi dan sudut segi tiga.
Dan akhirnya - kes khas:
Luas segi tiga tepat dengan kaki a dan b sama dengan separuh hasil darabnya
Formula untuk luas segi tiga sama sisi (sekata).=
= satu perempat hasil darab segi empat sama sisi dan punca tiga.
Konsep kawasan
Konsep luas mana-mana rajah geometri, khususnya segitiga, akan dikaitkan dengan rajah seperti segi empat sama. Untuk luas unit mana-mana rajah geometri kita akan mengambil luas segi empat sama yang sisinya sama dengan satu. Untuk kesempurnaan, mari kita ingat dua sifat asas untuk konsep luas angka geometri.
Harta 1: Jika angka geometri adalah sama, maka luasnya juga sama.
Hartanah 2: Mana-mana angka boleh dibahagikan kepada beberapa angka. Selain itu, luas angka asal adalah sama dengan jumlah luas semua angka konstituennya.
Mari kita lihat contoh.
Contoh 1
Jelas sekali, salah satu sisi segitiga ialah pepenjuru segi empat tepat, satu sisinya mempunyai panjang $5$ (kerana terdapat $5$ sel), dan satu lagi ialah $6$ (kerana terdapat $6$ sel). Oleh itu, luas segi tiga ini akan sama dengan separuh daripada segi empat tepat tersebut. Luas segi empat tepat ialah
Kemudian luas segi tiga adalah sama dengan
Jawapan: $15$.
Seterusnya, kita akan mempertimbangkan beberapa kaedah untuk mencari luas segi tiga, iaitu menggunakan ketinggian dan tapak, menggunakan formula Heron dan luas segi tiga sama sisi.
Bagaimana untuk mencari luas segi tiga menggunakan ketinggian dan tapaknya
Teorem 1
Luas segi tiga boleh didapati sebagai separuh hasil darab panjang sisi dan tinggi pada sisi itu.
Secara matematik ia kelihatan seperti ini
$S=\frac(1)(2)αh$
dengan $a$ ialah panjang sisi, $h$ ialah ketinggian yang dilukis padanya.
Bukti.
Pertimbangkan segi tiga $ABC$ di mana $AC=α$. Ketinggian $BH$ dilukis ke sisi ini, yang bersamaan dengan $h$. Mari kita bina sehingga segi empat sama $AXYC$ seperti dalam Rajah 2.
Luas segi empat tepat $AXBH$ ialah $h\cdot AH$ dan luas segi empat tepat $HBYC$ ialah $h\cdot HC$. Kemudian
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Oleh itu, luas segi tiga yang diperlukan, dengan sifat 2, adalah sama dengan
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorem terbukti.
Contoh 2
Cari luas segi tiga dalam rajah di bawah jika sel itu mempunyai luas sama dengan satu
Asas segi tiga ini adalah sama dengan $9$ (kerana $9$ ialah $9$ segi empat sama). Ketinggian juga $9$. Kemudian, dengan Teorem 1, kita dapat
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Jawapan: $40.5$.
Formula Heron
Teorem 2
Jika kita diberi tiga sisi segitiga $α$, $β$ dan $γ$, maka luasnya boleh didapati seperti berikut
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
di sini $ρ$ bermaksud separuh perimeter segi tiga ini.
Bukti.
Pertimbangkan angka berikut:
Dengan teorem Pythagoras, daripada segi tiga $ABH$ kita perolehi
Daripada segi tiga $CBH$, mengikut teorem Pythagoras, kita ada
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Daripada kedua-dua hubungan ini kita memperolehi persamaan
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Oleh kerana $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, maka $α+β+γ=2ρ$, yang bermaksud
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Dengan Teorem 1, kita dapat
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$