2. Asas teori kebarangkalian
Nilai yang dijangkakan
Pertimbangkan pembolehubah rawak dengan nilai berangka. Selalunya berguna untuk mengaitkan nombor dengan fungsi ini - "nilai min" atau, seperti yang mereka katakan, "nilai purata", "indeks kecenderungan memusat". Atas beberapa sebab, beberapa daripadanya akan menjadi jelas kemudian, jangkaan matematik biasanya digunakan sebagai "nilai purata".
Definisi 3. Jangkaan matematik pembolehubah rawak X nombor yang dipanggil
mereka. jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah wajaran nilai pembolehubah rawak dengan pemberat sama dengan kebarangkalian peristiwa asas yang sepadan.
Contoh 6. Mari kita hitung jangkaan matematik nombor yang muncul pada muka atas die. Ia mengikuti terus dari Definisi 3 bahawa
Kenyataan 2. Biarkan pembolehubah rawak X mengambil nilai x 1, x 2,…, xm. Maka persamaan itu benar
(5)
mereka. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah wajaran nilai pembolehubah rawak dengan pemberat sama dengan kebarangkalian pembolehubah rawak mengambil nilai tertentu.
Tidak seperti (4), di mana penjumlahan dijalankan terus ke atas peristiwa asas, peristiwa rawak boleh terdiri daripada beberapa peristiwa asas.
Kadangkala hubungan (5) diambil sebagai definisi jangkaan matematik. Walau bagaimanapun, dengan menggunakan Takrif 3, seperti yang ditunjukkan di bawah, adalah lebih mudah untuk mewujudkan sifat jangkaan matematik yang diperlukan untuk membina model kebarangkalian fenomena sebenar daripada menggunakan hubungan (5).
Untuk membuktikan hubungan (5), kita kumpulkan kepada (4) sebutan dengan nilai yang sama bagi pembolehubah rawak:
Oleh kerana faktor malar boleh diambil daripada tanda jumlah, maka
Dengan menentukan kebarangkalian sesuatu kejadian
Menggunakan dua hubungan terakhir kami memperoleh yang diperlukan:
Konsep jangkaan matematik dalam teori probabilistik-statistik sepadan dengan konsep pusat graviti dalam mekanik. Mari letakkan dalam mata x 1, x 2,…, xm pada paksi nombor jisim P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) masing-masing. Kemudian kesamaan (5) menunjukkan bahawa pusat graviti sistem mata bahan ini bertepatan dengan jangkaan matematik, yang menunjukkan keaslian Definisi 3.
Pernyataan 3. biarlah X- nilai rawak, M(X)- jangkaan matematiknya, A- nombor tertentu. Kemudian
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3J[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Untuk membuktikan ini, mari kita pertimbangkan dahulu pembolehubah rawak yang malar, i.e. fungsi memetakan ruang peristiwa asas kepada satu titik A. Oleh kerana pengganda malar boleh diambil melebihi tanda jumlah, maka
Jika setiap ahli suatu jumlah dibahagikan kepada dua sebutan, maka keseluruhan jumlah dibahagikan kepada dua jumlah, yang mana yang pertama terdiri daripada sebutan pertama, dan yang kedua terdiri daripada yang kedua. Oleh itu, jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak X+Y, ditakrifkan pada ruang yang sama peristiwa asas, adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik M(X) Dan M(U) pembolehubah rawak ini:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Dan oleh itu M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Seperti yang ditunjukkan di atas, M(M(X)) = M(X). Oleh itu, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Kerana ia (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Itu M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Mari kita permudahkan persamaan terakhir. Seperti yang ditunjukkan pada permulaan bukti Pernyataan 3, jangkaan matematik bagi pemalar ialah pemalar itu sendiri, dan oleh itu M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Oleh kerana pengganda malar boleh diambil melebihi tanda jumlah, maka M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Bahagian kanan kesamaan terakhir ialah 0 kerana, seperti yang ditunjukkan di atas, M(X-M(X))=0. Oleh itu, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , itulah yang perlu dibuktikan.
Daripada perkara di atas ia mengikuti bahawa M[(X- a) 2 ] mencapai tahap minimum A, sama M[(X- M(X)) 2 ], di a = M(X), kerana sebutan kedua dalam kesamaan 3) sentiasa bukan negatif dan sama dengan 0 sahaja untuk nilai yang ditentukan A.
Kenyataan 4. Biarkan pembolehubah rawak X mengambil nilai x 1, x 2,…, xm, dan f ialah beberapa fungsi hujah berangka. Kemudian
Untuk membuktikannya, mari kumpulkan di sebelah kanan kesamaan (4), yang mentakrifkan jangkaan matematik, istilah dengan nilai yang sama:
Dengan menggunakan fakta bahawa faktor malar boleh diambil daripada tanda jumlah, dan takrifan kebarangkalian kejadian rawak (2), kita memperoleh
Q.E.D.
Kenyataan 5. biarlah X Dan U– pembolehubah rawak ditakrifkan pada ruang yang sama bagi peristiwa asas, A Dan b- beberapa nombor. Kemudian M(aX+ olehY)= pagi(X)+ bM(Y).
Menggunakan takrif jangkaan matematik dan sifat simbol penjumlahan, kami memperoleh rantai kesamaan:
Yang diperlukan telah terbukti.
Di atas menunjukkan bagaimana jangkaan matematik bergantung pada peralihan ke titik rujukan lain dan ke unit pengukuran lain (peralihan Y=aX+b), serta fungsi pembolehubah rawak. Keputusan yang diperoleh sentiasa digunakan dalam analisis teknikal dan ekonomi, dalam menilai aktiviti kewangan dan ekonomi sesebuah perusahaan, semasa peralihan daripada satu mata wang kepada mata wang lain dalam pengiraan ekonomi asing, dalam dokumentasi kawal selia dan teknikal, dsb. Keputusan yang sedang dipertimbangkan membolehkan penggunaan formula pengiraan yang sama untuk skala dan anjakan pelbagai parameter.
| Sebelumnya |
Ciri berangka asas pembolehubah rawak diskret dan selanjar: jangkaan matematik, serakan dan sisihan piawai. Sifat dan contoh mereka.
Undang-undang taburan (fungsi taburan dan siri taburan atau ketumpatan kebarangkalian) menerangkan sepenuhnya kelakuan pembolehubah rawak. Tetapi dalam beberapa masalah, cukup untuk mengetahui beberapa ciri berangka nilai yang dikaji (contohnya, nilai purata dan kemungkinan sisihan daripadanya) untuk menjawab soalan yang dikemukakan. Mari kita pertimbangkan ciri berangka utama pembolehubah rawak diskret.
Definisi 7.1.Jangkaan matematik Pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil kali nilai yang mungkin dan kebarangkalian sepadannya:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)
Jika bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah tidak terhingga, maka jika siri yang terhasil menumpu secara mutlak.
Nota 1. Jangkaan matematik kadang-kadang dipanggil purata wajaran, kerana ia lebih kurang sama dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak ke atas sejumlah besar eksperimen.
Nota 2. Daripada definisi jangkaan matematik, nilainya adalah tidak kurang daripada nilai terkecil yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan tidak lebih daripada yang terbesar.
Nota 3. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret ialah bukan rawak(malar. Kita akan lihat kemudian bahawa perkara yang sama berlaku untuk pembolehubah rawak berterusan.
Contoh 1. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak X- bilangan bahagian standard antara tiga yang dipilih daripada kumpulan 10 bahagian, termasuk 2 bahagian yang rosak. Mari buat siri pengedaran untuk X. Dari keadaan masalah ia mengikuti bahawa X boleh mengambil nilai 1, 2, 3. Kemudian
Contoh 2. Tentukan jangkaan matematik pembolehubah rawak X- bilangan lambungan syiling sebelum penampilan pertama jata. Kuantiti ini boleh mengambil bilangan nilai yang tidak terhingga (set nilai yang mungkin ialah set nombor asli). Siri pengedarannya mempunyai bentuk:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (apabila mengira, formula untuk jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga telah digunakan dua kali: , dari mana ).
Sifat jangkaan matematik.
1) Jangkaan matematik pemalar adalah sama dengan pemalar itu sendiri:
M(DENGAN) = DENGAN.(7.2)
Bukti. Jika kita pertimbangkan DENGAN sebagai pembolehubah rawak diskret yang mengambil hanya satu nilai DENGAN dengan kebarangkalian R= 1, maka M(DENGAN) = DENGAN?1 = DENGAN.
2) Faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan matematik:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Bukti. Jika pembolehubah rawak X diberikan oleh siri pengedaran
Kemudian M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = DENGAN(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definisi 7.2. Dua pembolehubah rawak dipanggil bebas, jika undang-undang pengedaran salah seorang daripada mereka tidak bergantung pada nilai yang telah diambil oleh yang lain. Jika tidak pembolehubah rawak bergantung.
Definisi 7.3. Jom telefon hasil darab pembolehubah rawak bebas X Dan Y pembolehubah rawak XY, nilai yang mungkin adalah sama dengan produk semua nilai yang mungkin X untuk semua nilai yang mungkin Y, dan kebarangkalian yang sepadan adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian faktor.
3) Jangkaan matematik hasil darab dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Bukti. Untuk memudahkan pengiraan, kami mengehadkan diri kami kepada kes apabila X Dan Y ambil hanya dua nilai yang mungkin:
Oleh itu, M(XY) = x 1 y 1 ?hlm 1 g 1 + x 2 y 1 ?hlm 2 g 1 + x 1 y 2 ?hlm 1 g 2 + x 2 y 2 ?hlm 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 hlm 1 + x 2 hlm 2) + + y 2 g 2 (x 1 hlm 1 + x 2 hlm 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 hlm 1 + x 2 hlm 2) = M(X)?M(Y).
Nota 1. Anda juga boleh membuktikan sifat ini untuk lebih banyak kemungkinan nilai faktor.
Nota 2. Sifat 3 adalah benar untuk hasil darab sebarang bilangan pembolehubah rawak bebas, yang dibuktikan dengan aruhan matematik.
Definisi 7.4. Mari kita tentukan jumlah pembolehubah rawak X Dan Y sebagai pembolehubah rawak X+Y, nilai yang mungkin adalah sama dengan jumlah setiap nilai yang mungkin X dengan setiap nilai yang mungkin Y; kebarangkalian jumlah tersebut adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian terma (untuk pembolehubah rawak bersandar - hasil darab kebarangkalian satu sebutan dengan kebarangkalian bersyarat kedua).
4) Jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak (bergantung atau bebas) adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Bukti.
Mari kita pertimbangkan sekali lagi pembolehubah rawak yang ditakrifkan oleh siri taburan yang diberikan dalam bukti sifat 3. Kemudian nilai yang mungkin X+Y adalah X 1 + di 1 , X 1 + di 2 , X 2 + di 1 , X 2 + di 2. Mari kita nyatakan kebarangkalian mereka masing-masing sebagai R 11 , R 12 , R 21 dan R 22. Kami akan mencari M(X+Y) = (x 1 + y 1)hlm 11 + (x 1 + y 2)hlm 12 + (x 2 + y 1)hlm 21 + (x 2 + y 2)hlm 22 =
= x 1 (hlm 11 + hlm 12) + x 2 (hlm 21 + hlm 22) + y 1 (hlm 11 + hlm 21) + y 2 (hlm 12 + hlm 22).
Mari kita buktikan R 11 + R 22 = R 1 . Sesungguhnya peristiwa itu X+Y akan mengambil nilai X 1 + di 1 atau X 1 + di 2 dan kebarangkaliannya ialah R 11 + R 22 bertepatan dengan peristiwa itu X = X 1 (kebarangkaliannya ialah R 1). Ia dibuktikan dengan cara yang serupa itu hlm 21 + hlm 22 = R 2 , hlm 11 + hlm 21 = g 1 , hlm 12 + hlm 22 = g 2. Bermaksud,
M(X+Y) = x 1 hlm 1 + x 2 hlm 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Komen. Daripada sifat 4 ia berikutan bahawa jumlah sebarang bilangan pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah tersebut.
Contoh. Cari jangkaan matematik hasil tambah bilangan mata yang diperoleh apabila membaling lima dadu.
Mari cari jangkaan matematik bilangan mata yang dilemparkan apabila membaling satu dadu:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Nombor yang sama adalah sama dengan jangkaan matematik bilangan mata yang dilempar pada mana-mana dadu. Oleh itu, dengan harta 4 M(X)=
Penyerakan.
Untuk mempunyai idea tentang kelakuan pembolehubah rawak, tidak cukup untuk mengetahui jangkaan matematiknya sahaja. Pertimbangkan dua pembolehubah rawak: X Dan Y, ditentukan oleh siri pengedaran borang
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| hlm | 0,5 | 0,5 |
Kami akan mencari M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Seperti yang anda lihat, jangkaan matematik kedua-dua kuantiti adalah sama, tetapi jika untuk HM(X) menerangkan dengan baik kelakuan pembolehubah rawak, sebagai nilai yang paling berkemungkinan (dan nilai selebihnya tidak jauh berbeza daripada 50), maka nilainya Y ketara dikeluarkan daripada M(Y). Oleh itu, bersama dengan jangkaan matematik, adalah wajar untuk mengetahui berapa banyak nilai pembolehubah rawak menyimpang daripadanya. Untuk mencirikan penunjuk ini, penyebaran digunakan.
Definisi 7.5.Penyerakan (penyebaran) pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik bagi kuasa dua sisihan daripada jangkaan matematiknya:
D(X) = M (X-M(X))². (7.6)
Mari kita cari varians pembolehubah rawak X(bilangan bahagian standard antara yang dipilih) dalam contoh 1 kuliah ini. Mari kita hitung sisihan kuasa dua bagi setiap nilai yang mungkin daripada jangkaan matematik:
(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Oleh itu,
Nota 1. Dalam menentukan serakan, bukan sisihan daripada min itu sendiri yang dinilai, tetapi kuasa duanya. Ini dilakukan supaya penyimpangan tanda yang berbeza tidak membatalkan satu sama lain.
Nota 2. Daripada definisi serakan, kuantiti ini hanya mengambil nilai bukan negatif.
Nota 3. Terdapat formula untuk mengira varians yang lebih mudah untuk pengiraan, yang kesahihannya dibuktikan dalam teorem berikut:
Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Bukti.
Menggunakan apa M(X) ialah nilai malar, dan sifat jangkaan matematik, kami mengubah formula (7.6) kepada bentuk:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), itulah yang perlu dibuktikan.
Contoh. Mari kita hitung varians pembolehubah rawak X Dan Y dibincangkan pada permulaan bahagian ini. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Jadi, varians pembolehubah rawak kedua adalah beberapa ribu kali lebih besar daripada varians yang pertama. Oleh itu, walaupun tanpa mengetahui undang-undang taburan kuantiti ini, berdasarkan nilai serakan yang diketahui kita boleh menyatakan bahawa X sedikit menyimpang daripada jangkaan matematiknya, manakala untuk Y penyelewengan ini agak ketara.
Sifat serakan.
1) Varians nilai tetap DENGAN sama dengan sifar:
D (C) = 0. (7.8)
Bukti. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Faktor pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan dengan mengkuadratkannya:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Bukti. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Varians jumlah dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan jumlah variansnya:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Bukti. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Akibat 1. Varians hasil tambah beberapa pembolehubah rawak yang saling bebas adalah sama dengan jumlah variansnya.
Akibat 2. Varians jumlah pemalar dan pembolehubah rawak adalah sama dengan varians pembolehubah rawak.
4) Varians perbezaan antara dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan jumlah variansnya:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Bukti. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varians memberikan nilai purata sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada min; Untuk menilai sisihan itu sendiri, nilai yang dipanggil sisihan piawai digunakan.
Definisi 7.6.Sisihan piawaiσ pembolehubah rawak X dipanggil punca kuasa dua varians:
Contoh. Dalam contoh sebelumnya, sisihan piawai X Dan Y adalah sama masing-masing
Antara ciri-ciri berangka pembolehubah rawak, pertama sekali, perlu diperhatikan ciri-ciri yang mencirikan kedudukan pembolehubah rawak pada paksi berangka, i.e. menunjukkan beberapa purata, nilai anggaran di mana semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dikumpulkan.
Nilai purata pembolehubah rawak ialah nombor tertentu iaitu, seolah-olah, "wakil"nya dan menggantikannya dalam kira-kira anggaran pengiraan. Apabila kami menyebut: "purata masa operasi lampu ialah 100 jam" atau "purata titik hentaman dianjakkan berbanding sasaran sebanyak 2 m ke kanan", kami menunjukkan ciri berangka tertentu pembolehubah rawak yang menerangkan lokasinya pada paksi berangka, i.e. "ciri kedudukan".
Daripada ciri-ciri kedudukan dalam teori kebarangkalian, peranan yang paling penting dimainkan oleh jangkaan matematik pembolehubah rawak, yang kadang-kadang dipanggil hanya nilai purata pembolehubah rawak.
Mari kita pertimbangkan pembolehubah rawak diskret yang mempunyai nilai yang mungkin dengan kebarangkalian. Kita perlu mencirikan dengan beberapa nombor kedudukan nilai pembolehubah rawak pada paksi-x, dengan mengambil kira hakikat bahawa nilai-nilai ini mempunyai kebarangkalian yang berbeza. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang dipanggil "purata wajaran" nilai, dan setiap nilai semasa purata harus diambil kira dengan "berat" berkadar dengan kebarangkalian nilai ini. Oleh itu, kita akan mengira purata pembolehubah rawak, yang akan kita nyatakan dengan:
atau, memandangkan,
. (5.6.1)
Purata wajaran ini dipanggil jangkaan matematik pembolehubah rawak. Oleh itu, kami memperkenalkan satu daripada konsep teori kebarangkalian yang paling penting - konsep jangkaan matematik.
Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.
Ambil perhatian bahawa dalam rumusan di atas definisi jangkaan matematik adalah sah, secara tegasnya, hanya untuk pembolehubah rawak diskret; Di bawah ini kita akan umumkan konsep ini kepada kes kuantiti berterusan.
Untuk menjadikan konsep jangkaan matematik lebih jelas, mari kita beralih kepada tafsiran mekanikal bagi taburan pembolehubah rawak diskret. Biarkan terdapat titik dengan absis pada paksi absis, di mana jisim tertumpu, masing-masing, dan . Maka, jelas sekali, jangkaan matematik yang ditakrifkan oleh formula (5.6.1) tidak lebih daripada absis pusat graviti sistem mata bahan tertentu.
Jangkaan matematik pembolehubah rawak disambungkan oleh pergantungan yang pelik dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak ke atas sejumlah besar eksperimen. Pergantungan ini adalah jenis yang sama seperti pergantungan antara kekerapan dan kebarangkalian, iaitu: dengan sejumlah besar eksperimen, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pendekatan pembolehubah rawak (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Daripada kehadiran sambungan antara kekerapan dan kebarangkalian, seseorang boleh menyimpulkan sebagai akibatnya kehadiran sambungan yang serupa antara min aritmetik dan jangkaan matematik.
Sesungguhnya, pertimbangkan pembolehubah rawak diskret yang dicirikan oleh siri taburan:
di mana 
.
Biarkan eksperimen bebas dijalankan, di mana setiap kuantiti mengambil nilai tertentu. Mari kita anggap bahawa nilai muncul sekali, nilai muncul sekali, dan nilai muncul sekali. Jelas sekali,
Mari kita hitung min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan kuantiti, yang, berbeza dengan jangkaan matematik, kita nyatakan:
Tetapi tidak ada yang lebih daripada kekerapan (atau kebarangkalian statistik) sesuatu peristiwa; kekerapan ini boleh ditetapkan. Kemudian
,
mereka. min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan frekuensi nilai ini.
Apabila bilangan eksperimen bertambah, frekuensi akan menghampiri (bertumpu dalam kebarangkalian) kepada kebarangkalian yang sepadan. Akibatnya, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak akan menghampiri (bertumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya apabila bilangan eksperimen bertambah.
Kaitan antara min aritmetik dan jangkaan matematik yang dirumuskan di atas membentuk kandungan salah satu bentuk hukum nombor besar. Kami akan memberikan bukti kukuh undang-undang ini dalam Bab 13.
Kita sedia maklum bahawa semua bentuk undang-undang nombor besar menyatakan fakta bahawa beberapa purata adalah stabil dalam sebilangan besar eksperimen. Di sini kita bercakap tentang kestabilan min aritmetik daripada satu siri cerapan kuantiti yang sama. Dengan sebilangan kecil eksperimen, min aritmetik keputusannya adalah rawak; dengan peningkatan yang mencukupi dalam bilangan eksperimen, ia menjadi "hampir tidak rawak" dan, menstabilkan, mendekati nilai malar - jangkaan matematik.
Kestabilan purata ke atas sejumlah besar percubaan boleh disahkan dengan mudah secara eksperimen. Sebagai contoh, apabila menimbang badan di makmal pada skala yang tepat, hasil daripada menimbang kita memperoleh nilai baru setiap kali; Untuk mengurangkan ralat pemerhatian, kami menimbang badan beberapa kali dan menggunakan min aritmetik bagi nilai yang diperolehi. Adalah mudah untuk melihat bahawa dengan peningkatan lagi dalam bilangan eksperimen (penimbang), min aritmetik bertindak balas terhadap peningkatan ini semakin berkurangan dan, dengan bilangan eksperimen yang cukup besar, secara praktikalnya tidak lagi berubah.
Formula (5.6.1) untuk jangkaan matematik sepadan dengan kes pembolehubah rawak diskret. Untuk kuantiti yang berterusan, jangkaan matematik secara semula jadi dinyatakan bukan sebagai jumlah, tetapi sebagai kamiran:
, (5.6.2)
di manakah ketumpatan taburan kuantiti .
Formula (5.6.2) diperoleh daripada formula (5.6.1) jika nilai individu di dalamnya digantikan dengan parameter x yang sentiasa berubah, kebarangkalian yang sepadan - oleh unsur kebarangkalian, dan jumlah akhir - oleh kamiran. Pada masa hadapan, kami selalunya akan menggunakan kaedah ini untuk melanjutkan formula yang diperolehi untuk kuantiti tak selanjar kepada kes kuantiti berterusan.
Dalam tafsiran mekanikal, jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan mengekalkan makna yang sama - absis pusat graviti dalam kes apabila jisim diagihkan sepanjang absis secara berterusan, dengan ketumpatan . Tafsiran ini selalunya membenarkan seseorang untuk mencari jangkaan matematik tanpa mengira kamiran (5.6.2), daripada pertimbangan mekanikal yang mudah.
Di atas kami memperkenalkan tatatanda untuk jangkaan matematik kuantiti . Dalam beberapa kes, apabila kuantiti dimasukkan dalam formula sebagai nombor tertentu, adalah lebih mudah untuk menandakannya dengan satu huruf. Dalam kes ini, kami akan menandakan jangkaan matematik sesuatu nilai dengan:
Notasi dan untuk jangkaan matematik akan digunakan secara selari pada masa hadapan, bergantung pada kemudahan rakaman formula tertentu. Marilah kita juga bersetuju, jika perlu, untuk menyingkat perkataan "jangkaan matematik" dengan huruf m.o.
Perlu diingatkan bahawa ciri yang paling penting bagi sesuatu kedudukan - jangkaan matematik - tidak wujud untuk semua pembolehubah rawak. Adalah mungkin untuk mengarang contoh pembolehubah rawak sedemikian yang jangkaan matematiknya tidak wujud, kerana jumlah atau kamiran yang sepadan menyimpang.
Pertimbangkan, sebagai contoh, pembolehubah rawak tak selanjar dengan siri taburan:
Adalah mudah untuk mengesahkannya, i.e. siri pengedaran masuk akal; bagaimanapun, jumlah dalam kes ini berbeza dan, oleh itu, tiada jangkaan matematik nilai. Walau bagaimanapun, kes sebegini tidak begitu menarik untuk diamalkan. Biasanya, pembolehubah rawak yang kita hadapi mempunyai julat nilai yang mungkin terhad dan, sudah tentu, mempunyai jangkaan matematik.
Di atas kami memberikan formula (5.6.1) dan (5.6.2), masing-masing menyatakan jangkaan matematik, untuk pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan.
Jika kuantiti tergolong dalam kuantiti jenis campuran, maka jangkaan matematiknya dinyatakan dengan formula bentuk:
, (5.6.3)
di mana jumlahnya meluas ke semua titik di mana fungsi pengagihan tidak selanjar, dan kamiran meluas ke semua kawasan di mana fungsi pengagihan adalah berterusan.
Sebagai tambahan kepada ciri-ciri kedudukan yang paling penting - jangkaan matematik - dalam amalan, ciri-ciri lain kedudukan kadang-kadang digunakan, khususnya, mod dan median pembolehubah rawak.
Mod pembolehubah rawak ialah nilai yang paling berkemungkinan. Istilah "nilai paling berkemungkinan" secara tegasnya hanya terpakai kepada kuantiti tidak berterusan; untuk kuantiti berterusan, mod ialah nilai di mana ketumpatan kebarangkalian adalah maksimum. Marilah kita bersetuju untuk menandakan mod dengan huruf. Dalam Rajah. 5.6.1 dan 5.6.2 masing-masing menunjukkan mod bagi pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan.
Jika poligon taburan (lengkung agihan) mempunyai lebih daripada satu maksimum, taburan itu dipanggil "multimodal" (Rajah 5.6.3 dan 5.6.4).
Kadangkala terdapat pengedaran yang mempunyai minimum di tengah dan bukannya maksimum (Rajah 5.6.5 dan 5.6.6). Pengagihan sedemikian dipanggil "anti-modal". Contoh taburan antimodal ialah taburan yang diperolehi dalam Contoh 5, n° 5.1.
Dalam kes umum, mod dan jangkaan matematik pembolehubah rawak tidak bertepatan. Dalam kes tertentu, apabila taburan adalah simetri dan modal (iaitu mempunyai mod) dan terdapat jangkaan matematik, maka ia bertepatan dengan mod dan pusat simetri taburan.
Satu lagi ciri kedudukan sering digunakan - apa yang dipanggil median pembolehubah rawak. Ciri ini biasanya digunakan hanya untuk pembolehubah rawak berterusan, walaupun ia boleh ditakrifkan secara rasmi untuk pembolehubah tak selanjar.
Median pembolehubah rawak ialah nilainya
mereka. kemungkinan besar pembolehubah rawak akan kurang daripada atau lebih besar daripada . Secara geometri, median ialah absis bagi titik di mana kawasan yang dihadkan oleh lengkung taburan dibahagikan kepada separuh (Rajah 5.6.7).
Teori kebarangkalian adalah cabang khusus matematik yang hanya dipelajari oleh pelajar institusi pengajian tinggi. Adakah anda suka pengiraan dan formula? Tidakkah anda takut dengan prospek untuk membiasakan diri dengan taburan normal, entropi ensemble, jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak diskret? Kemudian subjek ini akan menjadi sangat menarik kepada anda. Mari kita berkenalan dengan beberapa konsep asas yang paling penting dalam cabang sains ini.
Mari kita ingat asasnya
Walaupun anda masih ingat konsep paling mudah bagi teori kebarangkalian, jangan abaikan perenggan pertama artikel. Intinya ialah tanpa pemahaman yang jelas tentang asas, anda tidak akan dapat bekerja dengan formula yang dibincangkan di bawah.
Jadi, beberapa peristiwa rawak berlaku, beberapa percubaan. Hasil daripada tindakan yang kami ambil, kami boleh memperoleh beberapa hasil - sesetengah daripadanya berlaku lebih kerap, yang lain kurang kerap. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil yang sebenarnya diperoleh daripada satu jenis kepada jumlah bilangan yang mungkin. Hanya dengan mengetahui definisi klasik konsep ini anda boleh mula mengkaji jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak berterusan.
Purata
Di sekolah, semasa pelajaran matematik, anda mula bekerja dengan min aritmetik. Konsep ini digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian, dan oleh itu tidak boleh diabaikan. Perkara utama bagi kita pada masa ini ialah kita akan menemuinya dalam formula untuk jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak.
Kami mempunyai urutan nombor dan ingin mencari min aritmetik. Apa yang diperlukan daripada kita ialah meringkaskan semua yang ada dan bahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan itu. Marilah kita mempunyai nombor dari 1 hingga 9. Jumlah unsur akan sama dengan 45, dan kita akan membahagikan nilai ini dengan 9. Jawapan: - 5.
Penyerakan
Dalam istilah saintifik, serakan ialah purata kuasa dua sisihan nilai yang diperoleh bagi sesuatu ciri daripada min aritmetik. Ia dilambangkan dengan satu huruf Latin besar D. Apakah yang diperlukan untuk mengiranya? Bagi setiap elemen jujukan, kami mengira perbezaan antara nombor sedia ada dan min aritmetik dan kuasa duakannya. Akan ada nilai yang sama banyaknya dengan hasil untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Seterusnya, kami merumuskan semua yang diterima dan membahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan. Jika kita mempunyai lima hasil yang mungkin, maka bahagikan dengan lima.
Penyerakan juga mempunyai ciri-ciri yang perlu diingati untuk digunakan semasa menyelesaikan masalah. Contohnya, apabila meningkatkan pembolehubah rawak sebanyak X kali, varians meningkat sebanyak X kuasa dua kali (iaitu X*X). Ia tidak pernah kurang daripada sifar dan tidak bergantung pada peralihan nilai ke atas atau ke bawah dengan jumlah yang sama. Selain itu, untuk percubaan bebas, varians jumlah adalah sama dengan jumlah varians.
Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians pembolehubah rawak diskret dan jangkaan matematik.
Katakan kami menjalankan 21 eksperimen dan mendapat 7 hasil yang berbeza. Kami memerhati setiap daripada mereka 1, 2, 2, 3, 4, 4 dan 5 kali, masing-masing. Apakah varians akan sama dengan?
Mula-mula, mari kita hitung min aritmetik: jumlah unsur, sudah tentu, ialah 21. Bahagikannya dengan 7, dapatkan 3. Sekarang tolak 3 daripada setiap nombor dalam urutan asal, kuasa duakan setiap nilai, dan tambah hasilnya bersama-sama. Hasilnya ialah 12. Sekarang apa yang perlu kita lakukan ialah membahagikan nombor dengan bilangan elemen, dan, nampaknya, itu sahaja. Tetapi ada tangkapan! Mari kita bincangkannya.
Pergantungan kepada bilangan eksperimen
Ternyata apabila mengira varians, penyebut boleh mengandungi satu daripada dua nombor: sama ada N atau N-1. Di sini N ialah bilangan eksperimen yang dilakukan atau bilangan unsur dalam jujukan (yang pada asasnya adalah perkara yang sama). Ini bergantung pada apa?
Jika bilangan ujian diukur dalam ratusan, maka kita mesti meletakkan N dalam penyebut. Jika dalam unit, maka N-1. Para saintis memutuskan untuk melukis sempadan secara simbolik: hari ini ia melalui nombor 30. Jika kami menjalankan kurang daripada 30 eksperimen, maka kami akan membahagikan jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.
Tugasan
Mari kita kembali kepada contoh penyelesaian masalah varians dan jangkaan matematik. Kami mendapat nombor perantaraan 12, yang perlu dibahagikan dengan N atau N-1. Memandangkan kami menjalankan 21 eksperimen, iaitu kurang daripada 30, kami akan memilih pilihan kedua. Jadi jawapannya ialah: varians ialah 12/2 = 2.
Nilai yang dijangkakan
Mari kita beralih kepada konsep kedua, yang mesti kita pertimbangkan dalam artikel ini. Jangkaan matematik adalah hasil daripada menambah semua hasil yang mungkin didarab dengan kebarangkalian yang sepadan. Adalah penting untuk memahami bahawa nilai yang diperolehi, serta hasil pengiraan varians, diperolehi sekali sahaja untuk keseluruhan masalah, tidak kira berapa banyak hasil yang dipertimbangkan di dalamnya.
Formula untuk jangkaan matematik agak mudah: kita mengambil hasilnya, darab dengan kebarangkaliannya, menambah yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dan lain-lain. Semua yang berkaitan dengan konsep ini tidak sukar untuk dikira. Sebagai contoh, jumlah nilai jangkaan adalah sama dengan nilai jangkaan jumlah tersebut. Perkara yang sama berlaku untuk kerja. Tidak setiap kuantiti dalam teori kebarangkalian membenarkan anda melakukan operasi mudah tersebut. Mari kita ambil masalah dan kirakan maksud dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Selain itu, kami terganggu oleh teori - sudah tiba masanya untuk berlatih.
Satu lagi contoh
Kami menjalankan 50 percubaan dan mendapat 10 jenis hasil - nombor dari 0 hingga 9 - muncul dalam peratusan yang berbeza. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingat bahawa untuk mendapatkan kebarangkalian, anda perlu membahagikan nilai peratusan dengan 100. Oleh itu, kita mendapat 0.02; 0.1, dsb. Mari kita kemukakan contoh penyelesaian masalah bagi varians pembolehubah rawak dan jangkaan matematik.
Kami mengira min aritmetik menggunakan formula yang kami ingat dari sekolah rendah: 50/10 = 5.
Sekarang mari kita tukar kebarangkalian kepada bilangan hasil "sebahagian" untuk memudahkan pengiraan. Kami mendapat 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Daripada setiap nilai yang diperoleh, kami menolak min aritmetik, selepas itu kami kuasa duakan setiap keputusan yang diperolehi. Lihat cara melakukan ini menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Seterusnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lain, lakukan sendiri operasi ini. Jika anda melakukan semuanya dengan betul, maka selepas menambah semuanya, anda akan mendapat 90.
Mari kita teruskan mengira varians dan nilai jangkaan dengan membahagikan 90 dengan N. Mengapa kita memilih N berbanding N-1? Betul, kerana bilangan eksperimen yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kami mendapat varians. Jika anda mendapat nombor yang berbeza, jangan putus asa. Kemungkinan besar, anda membuat kesilapan mudah dalam pengiraan. Semak semula apa yang anda tulis, dan semuanya mungkin akan sesuai.
Akhir sekali, ingat formula untuk jangkaan matematik. Kami tidak akan memberikan semua pengiraan, kami hanya akan menulis jawapan yang boleh anda semak selepas menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Nilai yang dijangkakan ialah 5.48. Mari kita hanya ingat bagaimana untuk menjalankan operasi, menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 0*0.02 + 1*0.1... dan seterusnya. Seperti yang anda lihat, kami hanya mendarabkan nilai hasil dengan kebarangkaliannya.
penyelewengan
Konsep lain yang berkait rapat dengan serakan dan jangkaan matematik ialah sisihan piawai. Ia dilambangkan sama ada dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan berapa banyak secara purata nilai menyimpang daripada ciri pusat. Untuk mencari nilainya, anda perlu mengira punca kuasa dua varians.
Jika anda memplot graf taburan normal dan ingin melihat sisihan kuasa dua terus padanya, ini boleh dilakukan dalam beberapa peringkat. Ambil separuh daripada imej ke kiri atau kanan mod (nilai pusat), lukiskan serenjang dengan paksi mendatar supaya kawasan angka yang terhasil adalah sama. Saiz segmen antara tengah taburan dan unjuran yang terhasil pada paksi mendatar akan mewakili sisihan piawai.
Perisian
Seperti yang dapat dilihat daripada huraian formula dan contoh yang dikemukakan, mengira varians dan jangkaan matematik bukanlah prosedur yang paling mudah dari sudut aritmetik. Untuk tidak membuang masa, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di institusi pengajian tinggi - ia dipanggil "R". Ia mempunyai fungsi yang membolehkan anda mengira nilai untuk banyak konsep daripada statistik dan teori kebarangkalian.
Sebagai contoh, anda menentukan vektor nilai. Ini dilakukan seperti berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Akhirnya
Serakan dan jangkaan matematik adalah sukar untuk mengira apa-apa pada masa hadapan. Dalam kursus utama kuliah di universiti, mereka sudah dibincangkan pada bulan pertama mempelajari subjek tersebut. Justru kerana kekurangan pemahaman tentang konsep-konsep mudah ini dan ketidakupayaan untuk mengiranya, ramai pelajar serta-merta mula ketinggalan dalam program dan kemudian menerima gred buruk pada akhir sesi, yang menghalang mereka daripada biasiswa.
Berlatih selama sekurang-kurangnya satu minggu, setengah jam sehari, menyelesaikan tugas yang serupa dengan yang dibentangkan dalam artikel ini. Kemudian, pada mana-mana ujian dalam teori kebarangkalian, anda akan dapat mengatasi contoh tanpa petua dan helaian curang.
Seperti yang telah diketahui, undang-undang taburan sepenuhnya mencirikan pembolehubah rawak. Walau bagaimanapun, selalunya undang-undang pengedaran tidak diketahui dan seseorang terpaksa menghadkan diri kepada kurang maklumat. Kadangkala adalah lebih menguntungkan untuk menggunakan nombor yang menggambarkan pembolehubah rawak secara keseluruhan; nombor sedemikian dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak. Salah satu ciri berangka yang penting ialah jangkaan matematik.
Jangkaan matematik, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, adalah lebih kurang sama dengan nilai purata pembolehubah rawak. Untuk menyelesaikan banyak masalah, sudah cukup untuk mengetahui jangkaan matematik. Sebagai contoh, jika diketahui bahawa jangkaan matematik bilangan mata yang dijaringkan oleh penembak pertama adalah lebih besar daripada yang kedua, maka penembak pertama, secara purata, mendapat lebih banyak mata daripada yang kedua, dan, oleh itu, menembak lebih baik. daripada yang kedua. Walaupun jangkaan matematik memberikan maklumat yang lebih sedikit tentang pembolehubah rawak daripada hukum taburannya, pengetahuan tentang jangkaan matematik adalah mencukupi untuk menyelesaikan masalah seperti di atas dan banyak lagi.
§ 2. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret
Jangkaan matematik Pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkaliannya.
Biarkan pembolehubah rawak X hanya boleh mengambil nilai X 1 , X 2 , ..., X P , yang kebarangkaliannya adalah sama R 1 , R 2 , . . ., R P . Kemudian jangkaan matematik M(X) pembolehubah rawak X ditentukan oleh persamaan
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n hlm n .
Jika pembolehubah rawak diskret X mengambil set boleh kira nilai yang mungkin, kemudian
M(X)=
Selain itu, jangkaan matematik wujud jika siri di sebelah kanan kesamaan menumpu secara mutlak.
Komen. Daripada definisi itu, jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret ialah kuantiti bukan rawak (malar). Kami mengesyorkan agar anda mengingati kenyataan ini, kerana ia akan digunakan berkali-kali kemudian. Ia akan ditunjukkan kemudian bahawa jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan juga merupakan nilai malar.
Contoh 1. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak X, mengetahui hukum pembahagiannya:
Penyelesaian. Jangkaan matematik yang diperlukan adalah sama dengan jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkaliannya:
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Contoh 2. Cari jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa A dalam satu percubaan, jika kebarangkalian kejadian A sama dengan R.
Penyelesaian. Nilai rawak X - bilangan kejadian acara A dalam satu ujian - boleh mengambil hanya dua nilai: X 1 = 1 (acara A berlaku) dengan kebarangkalian R Dan X 2 = 0 (acara A tidak berlaku) dengan kebarangkalian q= 1 -R. Jangkaan matematik yang diperlukan
M(X)= 1* hlm+ 0* q= hlm
Jadi, jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam satu percubaan adalah sama dengan kebarangkalian kejadian ini. Keputusan ini akan digunakan di bawah.
§ 3. Maksud kebarangkalian jangkaan matematik
Biar terhasil P ujian di mana pembolehubah rawak X diterima T 1 nilai kali X 1 , T 2 nilai kali X 2 ,...,m k nilai kali x k , dan T 1 + T 2 + …+t Kepada = hlm. Kemudian jumlah semua nilai yang diambil X, sama dengan
X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Kepada T Kepada .
Mari cari min aritmetik 
semua nilai yang diterima oleh pembolehubah rawak, yang mana kami membahagikan jumlah yang dijumpai dengan jumlah ujian:
=
(X 1 T 1
+
X 2 T 2 +
... +
X Kepada T Kepada)/P,
=
X 1
(m 1 /
n)
+
X 2
(m 2 /
n)
+ ... +
X Kepada
(T Kepada /P).
(*)
Menyedari bahawa sikap m 1 / n- frekuensi relatif W 1 nilai X 1 , m 2 / n - frekuensi relatif W 2 nilai X 2 dan lain-lain, kami menulis hubungan (*) seperti ini:
=X 1
W 1
+
x 2 W 2
+ ..
. + X Kepada W k .
(**)
Mari kita anggap bahawa bilangan ujian agak besar. Kemudian kekerapan relatif adalah lebih kurang sama dengan kebarangkalian kejadian itu berlaku (ini akan dibuktikan dalam Bab IX, § 6):
W 1
hlm 1 ,
W 2
hlm 2 ,
…,
W k
hlm k .
Menggantikan frekuensi relatif dengan kebarangkalian yang sepadan dalam hubungan (**), kita perolehi
x 1 hlm 1
+
X 2 R 2
+ … +
X Kepada R Kepada .
Bahagian kanan kesaksamaan anggaran ini ialah M(X). Jadi,
M(X).
Maksud kebarangkalian keputusan yang diperolehi adalah seperti berikut: jangkaan matematik adalah lebih kurang sama(lebih tepat, lebih banyak bilangan ujian) min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak.
Catatan 1. Adalah mudah untuk memahami bahawa jangkaan matematik adalah lebih besar daripada yang terkecil dan kurang daripada nilai yang mungkin terbesar. Dalam erti kata lain, pada garis nombor, nilai yang mungkin terletak di sebelah kiri dan kanan jangkaan matematik. Dalam pengertian ini, jangkaan matematik mencirikan lokasi pengedaran dan oleh itu sering dipanggil Pusat pengagihan.
Istilah ini dipinjam daripada mekanik: jika jisim R 1 , R 2 , ..., R P terletak di titik absis x 1 ,
X 2 ,
...,
X n, dan 
kemudian absis pusat graviti
x c =
.
Mempertimbangkan itu
=
M
(X)
Dan 
kita mendapatkan M(X)= x Dengan .
Jadi, jangkaan matematik adalah absis pusat graviti sistem titik material, absis yang sama dengan nilai kemungkinan pembolehubah rawak, dan jisimnya sama dengan kebarangkalian mereka.
Catatan 2. Asal usul istilah "jangkaan matematik" dikaitkan dengan tempoh awal kemunculan teori kebarangkalian (abad XVI - XVII), apabila skop penggunaannya terhad kepada perjudian. Pemain berminat dengan nilai purata kemenangan yang dijangkakan, atau, dengan kata lain, jangkaan matematik untuk menang.