Daripada eksponen integer nombor a, peralihan kepada eksponen rasional mencadangkan dirinya. Di bawah ini kami akan mentakrifkan ijazah dengan eksponen rasional, dan kami akan melakukan ini dengan cara yang semua sifat ijazah dengan eksponen integer dipelihara. Ini perlu kerana integer adalah sebahagian daripada nombor rasional.

Adalah diketahui bahawa set nombor rasional terdiri daripada integer dan pecahan, dan setiap pecahan boleh diwakili sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen integer dalam perenggan sebelumnya, oleh itu, untuk melengkapkan definisi darjah dengan eksponen rasional, kami perlu memberi makna kepada darjah nombor itu. a dengan penunjuk pecahan m/n, Di mana m ialah integer, dan n- semula jadi. Mari lakukannya.

Mari kita pertimbangkan ijazah dengan eksponen pecahan bentuk . Untuk harta kuasa kepada kuasa kekal sah, kesaksamaan mesti dipegang . Jika kita mengambil kira kesamaan yang terhasil dan bagaimana kita menentukan punca ke-n darjah, maka adalah logik untuk diterima, dengan syarat diberikan m, n Dan a ungkapan itu masuk akal.

Adalah mudah untuk menyemak bahawa untuk semua sifat ijazah dengan eksponen integer adalah sah (ini dilakukan dalam sifat bahagian ijazah dengan eksponen rasional).

Alasan di atas membolehkan kita membuat perkara berikut kesimpulan: jika diberi data m, n Dan a ungkapan itu masuk akal, kemudian kuasa nombor itu a dengan penunjuk pecahan m/n dipanggil akar n darjah ke- a ke tahap m.

Pernyataan ini membawa kita hampir kepada definisi ijazah dengan eksponen pecahan. Apa yang tinggal adalah untuk menerangkan apa m, n Dan a ungkapan itu masuk akal. Bergantung kepada sekatan yang dikenakan m, n Dan a Terdapat dua pendekatan utama.

1. Cara paling mudah adalah dengan mengenakan sekatan ke atas a, setelah menerima a≥0 untuk positif m Dan a>0 untuk negatif m(sejak bila m≤0 ijazah 0 m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapat takrif berikut bagi ijazah dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Kuasa nombor positif a dengan penunjuk pecahan m/n , Di mana m- keseluruhan, dan n– nombor asli, dipanggil punca n-kepada nombor a ke tahap m, itu dia, .

Kuasa pecahan sifar juga ditentukan dengan satu-satunya kaveat bahawa penunjuk mesti positif.

Definisi.

Kuasa sifar dengan eksponen positif pecahan m/n , Di mana m ialah integer positif, dan n– nombor asli, ditakrifkan sebagai .
Apabila darjah tidak ditentukan, iaitu darjah nombor sifar dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu diingat bahawa dengan takrifan ijazah dengan eksponen pecahan ini, terdapat satu kaveat: untuk beberapa perkara negatif. a dan beberapa m Dan n ungkapan itu masuk akal, tetapi kami membuang kes ini dengan memperkenalkan syarat tersebut a≥0. Sebagai contoh, entri itu masuk akal atau , dan takrifan yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahawa kuasa dengan eksponen pecahan bentuk tidak masuk akal, kerana asasnya tidak boleh negatif.

2. Satu lagi pendekatan untuk menentukan darjah dengan eksponen pecahan m/n terdiri daripada mempertimbangkan secara berasingan eksponen genap dan ganjil punca. Pendekatan ini memerlukan syarat tambahan: kuasa nombor a, eksponen yang merupakan pecahan biasa boleh dikurangkan, dianggap sebagai kuasa nombor a, penunjuknya ialah pecahan tidak boleh dikurangkan yang sepadan (kepentingan keadaan ini akan diterangkan di bawah). Iaitu, jika m/n ialah pecahan tidak boleh dikurangkan, kemudian untuk sebarang nombor asli k ijazah digantikan dengan .

Untuk walaupun n dan positif m ungkapan itu masuk akal untuk mana-mana bukan negatif a(akar genap bagi nombor negatif tidak mempunyai makna), untuk negatif m nombor a mesti masih berbeza daripada sifar (jika tidak akan ada pembahagian dengan sifar). Dan untuk ganjil n dan positif m nombor a boleh menjadi sebarang (akar ganjil ditakrifkan untuk sebarang nombor nyata), dan untuk negatif m nombor a mestilah bukan sifar (supaya tiada pembahagian dengan sifar).

Alasan di atas membawa kita kepada takrifan ijazah dengan eksponen pecahan ini.

Definisi.

biarlah m/n- pecahan tidak boleh dikurangkan, m- keseluruhan, dan n- nombor asli. Bagi mana-mana pecahan boleh dikurangkan, darjah digantikan dengan . Tahap a dengan eksponen pecahan tidak dapat dikurangkan m/n- ia adalah untuk

o sebarang nombor nyata a, keseluruhannya positif m dan semula jadi yang ganjil n, Sebagai contoh, ;

o sebarang nombor nyata bukan sifar a, integer negatif m dan ganjil n, Sebagai contoh, ;

o sebarang nombor bukan negatif a, keseluruhannya positif m dan juga n, Sebagai contoh, ;

o sebarang positif a, integer negatif m dan juga n, Sebagai contoh, ;

o dalam kes lain, darjah dengan penunjuk pecahan tidak ditentukan, contohnya darjah tidak ditentukan .a kami tidak melampirkan sebarang makna pada entri; kami mentakrifkan kuasa nombor sifar untuk eksponen pecahan positif m/n Bagaimana , untuk eksponen pecahan negatif kuasa nombor sifar tidak ditentukan.

Sebagai kesimpulan perkara ini, marilah kita menarik perhatian kepada fakta bahawa eksponen pecahan boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan atau nombor bercampur, contohnya, . Untuk mengira nilai ungkapan jenis ini, anda perlu menulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa, dan kemudian gunakan takrifan eksponen dengan eksponen pecahan. Untuk contoh di atas kita ada Dan

Pelajaran video "Eksponen dengan eksponen rasional" mengandungi bahan pendidikan visual untuk mengajar pelajaran mengenai topik ini. Pelajaran video mengandungi maklumat tentang konsep ijazah dengan eksponen rasional, sifat darjah tersebut, serta contoh yang menerangkan penggunaan bahan pendidikan untuk menyelesaikan masalah praktikal. Tujuan pengajaran video ini adalah untuk menyampaikan bahan pendidikan dengan jelas dan jelas, memudahkan perkembangan dan hafalannya oleh pelajar, dan mengembangkan kebolehan menyelesaikan masalah menggunakan konsep yang dipelajari.

Kelebihan utama pelajaran video ialah keupayaan untuk melakukan transformasi dan pengiraan secara visual, keupayaan untuk menggunakan kesan animasi untuk meningkatkan kecekapan pembelajaran. Iringan suara membantu membangunkan pertuturan matematik yang betul, dan juga memungkinkan untuk menggantikan penjelasan guru, membebaskannya untuk menjalankan kerja individu.

Pelajaran video bermula dengan memperkenalkan topik. Apabila menghubungkan kajian topik baharu dengan bahan yang telah dikaji sebelum ini, adalah dicadangkan untuk mengingati bahawa n √a sebaliknya dilambangkan sebagai 1/n untuk n semula jadi dan positif a. Perwakilan n-root ini dipaparkan pada skrin. Seterusnya, kami mencadangkan untuk mempertimbangkan maksud ungkapan a m/n, di mana a ialah nombor positif dan m/n ialah pecahan. Takrif darjah dengan eksponen rasional sebagai m/n = n √a m diberikan, diserlahkan dalam bingkai. Adalah diperhatikan bahawa n boleh menjadi nombor asli, dan m boleh menjadi integer.

Selepas mentakrifkan darjah dengan eksponen rasional, maknanya didedahkan melalui contoh: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Ia juga menunjukkan contoh di mana kuasa yang diwakili oleh perpuluhan ditukar kepada pecahan untuk diwakili sebagai punca: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 dan contoh dengan kuasa negatif: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Keanehan kes khas apabila asas darjah adalah sifar ditunjukkan secara berasingan. Adalah diperhatikan bahawa ijazah ini masuk akal hanya dengan eksponen pecahan positif. Dalam kes ini, nilainya ialah sifar: 0 m/n =0.

Satu lagi ciri ijazah dengan eksponen rasional diperhatikan - bahawa ijazah dengan eksponen pecahan tidak boleh dipertimbangkan dengan eksponen pecahan. Contoh tatatanda darjah yang salah diberikan: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Seterusnya dalam pelajaran video kita membincangkan sifat-sifat ijazah dengan eksponen rasional. Adalah diperhatikan bahawa sifat ijazah dengan eksponen integer juga akan sah untuk ijazah dengan eksponen rasional. Adalah dicadangkan untuk menarik balik senarai hartanah yang juga sah dalam kes ini:

1. Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponennya menambah: a p a q =a p+q.
2. Pembahagian darjah dengan asas yang sama dikurangkan kepada darjah dengan asas tertentu dan perbezaan dalam eksponen: a p:a q =a p-q.
3. Jika kita menaikkan darjah kepada kuasa tertentu, maka kita berakhir dengan darjah dengan asas tertentu dan hasil darab eksponen: (a p) q =a pq.

Semua sifat ini sah untuk kuasa dengan eksponen rasional p, q dan asas positif a>0. Juga, transformasi darjah apabila membuka kurungan kekal benar:

1. (ab) p =a p b p - menaikkan kepada beberapa kuasa dengan eksponen rasional hasil darab dua nombor dikurangkan kepada hasil darab nombor, setiap satunya dinaikkan kepada kuasa tertentu.
2. (a/b) p =a p /b p - menaikkan pecahan kepada kuasa dengan eksponen rasional diturunkan kepada pecahan yang pengangka dan penyebutnya dinaikkan kepada kuasa tertentu.

Tutorial video membincangkan contoh penyelesaian yang menggunakan sifat kuasa yang dipertimbangkan dengan eksponen yang rasional. Contoh pertama meminta anda mencari nilai ungkapan yang mengandungi pembolehubah x dalam kuasa pecahan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Walaupun kerumitan ungkapan, menggunakan sifat kuasa ia boleh diselesaikan dengan mudah. Menyelesaikan masalah bermula dengan memudahkan ungkapan, yang menggunakan peraturan menaikkan kuasa dengan eksponen rasional kepada kuasa, serta mendarab kuasa dengan asas yang sama. Selepas menggantikan nilai yang diberi x=8 ke dalam ungkapan ringkas x 1/3 +48, ​​mudah untuk mendapatkan nilai - 50.

Dalam contoh kedua, anda perlu mengurangkan pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi kuasa dengan eksponen rasional. Dengan menggunakan sifat darjah, kita mengasingkan faktor x 1/3 daripada perbezaan, yang kemudiannya dikurangkan dalam pengangka dan penyebut, dan menggunakan rumus perbezaan kuasa dua, pengangka difaktorkan, yang memberikan pengurangan lanjut faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut. Hasil daripada penjelmaan tersebut ialah pecahan pendek x 1/4 +3.

Pelajaran video "Eksponen dengan eksponen rasional" boleh digunakan dan bukannya guru menerangkan topik pelajaran baharu. Manual ini juga mengandungi maklumat yang cukup lengkap untuk pelajar belajar secara berdikari. Bahan ini juga boleh berguna untuk pembelajaran jarak jauh.

MBOU "Sidorskaya"

sekolah komprehensif"

Pembangunan rancangan pengajaran terbuka

dalam algebra dalam gred 11 mengenai topik:

Disediakan dan dilaksanakan

guru matematik

Ishakova E.F.

Rangka pelajaran terbuka dalam algebra dalam gred 11.

Subjek : "Ijazah dengan eksponen yang rasional."

Jenis pelajaran : Mempelajari bahan baharu

Objektif Pelajaran:

Memperkenalkan pelajar kepada konsep ijazah dengan eksponen rasional dan sifat asasnya, berdasarkan bahan yang telah dipelajari sebelumnya (ijazah dengan eksponen integer).

Membangunkan kemahiran pengiraan dan keupayaan untuk menukar dan membandingkan nombor dengan eksponen rasional.

Untuk membangunkan literasi matematik dan minat matematik dalam kalangan pelajar.

peralatan : Kad tugas, pembentangan pelajar mengikut ijazah dengan penunjuk integer, pembentangan guru mengikut ijazah dengan penunjuk rasional, komputer riba, projektor multimedia, skrin.

Semasa kelas:

mengatur masa.

Menyemak penguasaan topik yang dilindungi menggunakan kad tugas individu.

Tugasan No 1.

=2;

B) =x + 5;

Selesaikan sistem persamaan tak rasional: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tugasan No. 2.

Selesaikan persamaan tidak rasional: = - 3;

B) = x - 2;

Selesaikan sistem persamaan tak rasional: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Menyampaikan topik dan objektif pelajaran.

Topik pelajaran kita hari ini ialah “ Kuasa dengan eksponen rasional».

Penjelasan bahan baharu menggunakan contoh bahan yang telah dipelajari sebelumnya.

Anda sudah biasa dengan konsep ijazah dengan eksponen integer. Siapa yang akan membantu saya mengingati mereka?

Pengulangan menggunakan persembahan " Darjah dengan eksponen integer».

Untuk sebarang nombor a, b dan sebarang integer m dan n kesamaan adalah sah:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Hari ini kita akan generalisasi konsep kuasa nombor dan memberi makna kepada ungkapan yang mempunyai eksponen pecahan. Mari kita perkenalkan takrifan darjah dengan eksponen rasional (Pembentangan "Ijazah dengan eksponen rasional"):

Kuasa a > 0 dengan eksponen rasional r = , Di mana m ialah integer, dan n - semula jadi ( n > 1), memanggil nombor itu m .

Jadi, mengikut definisi kita mendapat itu = m .

Mari cuba gunakan definisi ini apabila menyelesaikan tugasan.

CONTOH No 1

Saya Mempersembahkan ungkapan sebagai punca nombor:

A) B) DALAM) .

Sekarang mari cuba gunakan definisi ini secara terbalik

II Ungkapkan ungkapan sebagai kuasa dengan eksponen rasional:

A) 2 B) DALAM) 5 .

Kuasa 0 ditakrifkan hanya untuk eksponen positif.

0 r= 0 untuk mana-mana r> 0.

Menggunakan definisi ini, rumah-rumah anda akan melengkapkan #428 dan #429.

Sekarang mari kita tunjukkan bahawa dengan takrifan ijazah dengan eksponen rasional yang dirumuskan di atas, sifat asas darjah dikekalkan, yang benar untuk mana-mana eksponen.

Untuk sebarang nombor rasional r dan s dan sebarang positif a dan b, persamaan berikut dipegang:

1 0 . a r a s =a r+s ;

CONTOH: *

20 . a r: a s =a r-s ;

CONTOH: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

CONTOH: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

CONTOH: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

CONTOH menggunakan beberapa sifat sekaligus: * : .

Minit pendidikan jasmani.

Kami meletakkan pen di atas meja, meluruskan bahagian belakang, dan kini kami mencapai ke hadapan, kami mahu menyentuh papan. Kini kami telah menaikkannya dan condong ke kanan, kiri, ke hadapan, ke belakang. Awak tunjukkan tangan awak, sekarang tunjukkan saya bagaimana jari awak boleh menari.

Bekerja pada bahan

Mari kita perhatikan dua lagi sifat kuasa dengan eksponen rasional:

6 0 . biarlah r ialah nombor rasional dan 0< a < b . Тогда

a r < b r di r> 0,

a r < b r di r< 0.

7 0 . Untuk sebarang nombor rasionalr Dan s daripada ketidaksamaan r> s mengikuti itu

a r>a r untuk > 1,

a r < а r pada 0< а < 1.

CONTOH: Bandingkan nombor:

DAN ; 2 300 dan 3 200 .

Ringkasan pelajaran:

Hari ini dalam pelajaran kita mengimbas kembali sifat ijazah dengan eksponen integer, mempelajari definisi dan sifat asas ijazah dengan eksponen rasional, dan mengkaji aplikasi bahan teori ini dalam amalan semasa melakukan latihan. Saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta bahawa topik "Ijazah dengan eksponen rasional" adalah wajib dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Semasa menyediakan kerja rumah ( No. 428 dan No. 429

Kuasa dengan eksponen rasional

Khasyanova T.G.,

guru matematik

Bahan yang dibentangkan akan berguna kepada guru matematik apabila mempelajari topik "Eksponen dengan eksponen rasional."

Tujuan bahan yang dibentangkan: untuk mendedahkan pengalaman saya menjalankan pelajaran mengenai topik "Ijazah dengan eksponen rasional" program kerja disiplin "Matematik".

Metodologi untuk menjalankan pelajaran sepadan dengan jenisnya - pelajaran dalam mengkaji dan pada mulanya menyatukan pengetahuan baru. Pengetahuan dan kemahiran asas dikemas kini berdasarkan pengalaman yang diperoleh sebelum ini; hafalan utama, penyatuan dan aplikasi maklumat baharu. Penggabungan dan aplikasi bahan baru berlaku dalam bentuk penyelesaian masalah yang saya uji kerumitan yang berbeza-beza, memberikan hasil yang positif dalam menguasai topik.

Pada permulaan pelajaran, saya menetapkan matlamat berikut untuk pelajar: pendidikan, perkembangan, pendidikan. Semasa pelajaran saya menggunakan pelbagai kaedah aktiviti: hadapan, individu, pasangan, bebas, ujian. Tugas-tugas telah dibezakan dan memungkinkan untuk mengenal pasti, pada setiap peringkat pelajaran, tahap pemerolehan pengetahuan. Jumlah dan kerumitan tugasan sepadan dengan ciri umur pelajar. Dari pengalaman saya, kerja rumah, serupa dengan masalah yang diselesaikan di dalam bilik darjah, membolehkan anda menyatukan pengetahuan dan kemahiran yang diperoleh dengan pasti. Pada akhir pelajaran, refleksi telah dijalankan dan hasil kerja individu pelajar dinilai.

Matlamat tercapai. Pelajar mempelajari konsep dan sifat ijazah dengan eksponen rasional, dan belajar menggunakan sifat ini apabila menyelesaikan masalah praktikal. Untuk kerja bebas, gred diumumkan pada pelajaran seterusnya.

Saya percaya metodologi yang saya gunakan untuk mengajar matematik boleh digunakan oleh guru matematik.

Topik pelajaran: Kuasa dengan eksponen rasional

Tujuan pelajaran:

Mengenal pasti tahap penguasaan pelajar terhadap kompleks pengetahuan dan kemahiran dan, berdasarkannya, menggunakan penyelesaian tertentu untuk meningkatkan proses pendidikan.

Objektif pelajaran:

Pendidikan: untuk membentuk pengetahuan baru di kalangan pelajar konsep asas, peraturan, undang-undang untuk menentukan darjah dengan penunjuk rasional, keupayaan untuk menggunakan pengetahuan secara bebas dalam keadaan standard, dalam keadaan yang diubah suai dan tidak standard;

membangun: berfikir secara logik dan menyedari kebolehan kreatif;

menaikkan: mengembangkan minat dalam matematik, menambah perbendaharaan kata anda dengan istilah baharu dan mendapatkan maklumat tambahan tentang dunia di sekeliling anda. Memupuk kesabaran, ketabahan, dan keupayaan untuk mengatasi kesukaran.

mengatur masa

Pengemaskinian ilmu rujukan

Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen ditambah, tetapi asasnya tetap sama:

Sebagai contoh,

2. Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen darjah akan ditolak, tetapi asasnya tetap sama:

Sebagai contoh,

3. Apabila menaikkan darjah kepada kuasa, eksponen didarabkan, tetapi asasnya tetap sama:

Sebagai contoh,

4. Darjah produk adalah sama dengan hasil darab faktor:

Sebagai contoh,

5. Darjah bagi hasil adalah sama dengan hasil bagi darjah dividen dan pembahagi:

Sebagai contoh,

Latihan dengan penyelesaian

Cari maksud ungkapan:

Penyelesaian:

Dalam kes ini, tiada satu pun sifat ijazah dengan eksponen semula jadi boleh digunakan secara eksplisit, kerana semua darjah mempunyai asas yang berbeza. Mari kita tulis beberapa kuasa dalam bentuk yang berbeza:

(darjah produk adalah sama dengan produk darjah faktor);

(apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen ditambah, tetapi asasnya tetap sama; apabila menaikkan darjah kepada kuasa, eksponen didarab, tetapi asasnya tetap sama).

Kemudian kita dapat:

Dalam contoh ini, empat sifat pertama darjah dengan eksponen semula jadi telah digunakan.

Aritmetik punca kuasa dua
ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya sama dengana,
. Pada
- ekspresi
tidak ditakrifkan, kerana tiada nombor nyata yang kuasa duanya sama dengan nombor negatifa.

imlak matematik(8-10 min.)

Pilihan

II. Pilihan

1.Cari nilai ungkapan

A)

b)

1.Cari nilai ungkapan

A)

b)

2. Kira

A)

b)

DALAM)

2. Kira

A)

b)

V)

Ujian kendiri(di papan lapel):

Matriks Respons:

№ pilihan/tugas

Masalah 1

Masalah 2

Pilihan 1

a) 2

b) 2

a) 0.5

b)

V)

Pilihan 2

a) 1.5

b)

A)

b)

pukul 4

II.Pembentukan pengetahuan baharu

Mari kita pertimbangkan maksud ungkapan itu, di mana - nombor positif– nombor pecahan dan integer m, n-semulajadi (n›1)

Takrif: kuasa a›0 dengan eksponen rasionalr = , m-keseluruhan, n-semula jadi ( n›1) nombor dipanggil.

Jadi:

Sebagai contoh:

Nota:

1. Untuk sebarang a positif dan sebarang nombor r rasional secara positif.

2. Bila
kuasa rasional sesuatu nomboratidak ditentukan.

Ungkapan seperti
tak masuk akal.

3.Jika nombor positif pecahan ialah
.

Jika pecahan nombor negatif, maka -tidak masuk akal.

Sebagai contoh: - tidak masuk akal.

Mari kita pertimbangkan sifat ijazah dengan eksponen rasional.

Biarkan a >0, b>0; r, s - sebarang nombor rasional. Kemudian ijazah dengan mana-mana eksponen rasional mempunyai sifat berikut:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Penyatuan. Pembentukan kemahiran dan kebolehan baharu.

Kad tugas berfungsi dalam kumpulan kecil dalam bentuk ujian.

Tahap pertama

Ijazah dan sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)

Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukannya? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala-galanya tentang ijazah, apa yang mereka perlukan, dan cara menggunakan pengetahuan anda dalam kehidupan seharian, baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, pengetahuan tentang ijazah akan membawa anda lebih dekat untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu atau Peperiksaan Negeri Bersepadu dan memasuki universiti impian anda.

Jom... (Jom!)

Nota PENTING! Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PERTAMA

Eksponen ialah operasi matematik seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan segala-galanya dalam bahasa manusia menggunakan contoh yang sangat mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap orang mempunyai dua botol cola. Berapa banyak cola yang ada? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis secara berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian memikirkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual darab. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Apakah helah pengiraan yang bijak lain yang telah dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Jika anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor itu kepada kuasa kelima. Sebagai contoh, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima ialah... Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Apa yang perlu anda lakukan ialah ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ini akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa dipanggil ijazah kedua? segi empat sama nombor, dan yang ketiga - kiub? Apakah maksudnya? Soalan yang sangat bagus. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan kuasa dua atau kuasa kedua nombor itu.

Bayangkan kolam persegi berukuran satu meter dengan satu meter. Kolam renang berada di dacha anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi... kolam itu tidak mempunyai dasar! Anda perlu menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan bawah kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menuding jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika anda mempunyai jubin satu meter dengan satu meter, anda memerlukan kepingan. Ia mudah... Tetapi di manakah anda pernah melihat jubin sedemikian? Jubin itu kemungkinan besar akan menjadi cm dengan cm. Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda." Kemudian anda perlu membiak. Jadi, di satu sisi bahagian bawah kolam kita akan muat jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Darab dengan dan anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa untuk menentukan luas dasar kolam kita mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya? Apakah maksudnya? Oleh kerana kita mendarab nombor yang sama, kita boleh menggunakan teknik "pengembangan". (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabnya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkannya kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga lebih sedikit ralat dalam pengiraan Untuk Peperiksaan Negeri Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh kepada kuasa kedua akan menjadi (). Atau kita boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut ialah tugas untuk anda: kira berapa banyak petak yang terdapat pada papan catur menggunakan petak nombor itu... Pada satu sisi sel dan pada sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan atau... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Anda akan mendapat sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Oleh itu, isipadu dan cecair, diukur dalam meter padu. Tidak dijangka, bukan?) Lukiskan kolam: bahagian bawahnya bersaiz satu meter dan dalam satu meter, dan cuba kira berapa banyak kubus berukuran satu meter dengan satu meter akan muat ke dalam kolam anda.

Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa yang awak dapat? Tidak hilang? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Jadi itu! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka memudahkan perkara ini juga. Kami mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya... Apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh memanfaatkan ijazah tersebut. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga kiub adalah sama. Tertulis begini: .

Yang tinggal hanyalah ingat jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah dicipta oleh orang yang berhenti kerja dan orang yang licik untuk menyelesaikan masalah hidup mereka, dan bukan untuk mencipta masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, untuk setiap juta yang anda hasilkan, anda membuat satu juta lagi. Iaitu, setiap juta anda berganda pada awal setiap tahun. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda duduk sekarang dan "mengira dengan jari anda," maka anda seorang yang sangat rajin dan... bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua didarab dengan dua... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya kali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan anda mempunyai pertandingan dan orang yang boleh mengira terpantas akan mendapat berjuta-juta ini... Perlu diingati kuasa nombor, bukankah anda fikir?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, untuk setiap juta yang anda hasilkan, anda memperoleh dua lagi. Hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kepada kuasa keempat ia adalah sama dengan satu juta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang perlu anda ketahui tentangnya.

Terma dan konsep... supaya tidak keliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Apa pendapat kamu, apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ia adalah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah sedemikian? Lebih mudah - ini adalah nombor yang terletak di bawah, di pangkalan.

Berikut adalah lukisan untuk ukuran yang baik.

Nah, secara umum, untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik... Ijazah dengan asas “ ” dan eksponen “ ” dibaca sebagai “kepada darjah” dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan eksponen asli

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa itu nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan objek: satu, dua, tiga... Apabila kita mengira objek, kita tidak berkata: "tolak lima," "tolak enam," "tolak tujuh." Kami juga tidak mengatakan: "satu pertiga", atau "sifar koma lima". Ini bukan nombor semula jadi. Apakah nombor yang anda fikir ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ia adalah apabila tiada apa-apa. Apakah maksud nombor negatif (“tolak”)? Tetapi mereka dicipta terutamanya untuk menunjukkan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan ialah nombor rasional. Bagaimana mereka timbul, adakah anda fikir? Sangat ringkas. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka kekurangan nombor semula jadi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional... Menarik, bukan?

Terdapat juga nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Ringkasnya, ia adalah pecahan perpuluhan tak terhingga. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, anda mendapat nombor tidak rasional.

Ringkasan:

Mari kita takrifkan konsep darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

1. Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
2. Untuk kuasa dua nombor bermakna mendarabnya dengan sendiri:
3. Menduakan nombor bermakna mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:
.

Sifat darjah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat: apa itu Dan ?

A-priory:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah pengganda kepada faktor, dan hasilnya adalah pengganda.

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu: , yang perlu dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama!
Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. itu sahaja kuasa ke satu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut definisi, ini adalah kuasa ke-1 nombor:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam kuasa penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita mendarab dengan, ia berfungsi.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh untuk diamalkan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Ini adalah formula untuk pendaraban singkatan, iaitu perbezaan kuasa dua! Kita mendapatkan:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika ia diterbalikkan, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Keseluruhan kita memanggil nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda " ") dan nombor.

integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu:

Seperti biasa, marilah kita bertanya pada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Mari kita pertimbangkan beberapa darjah dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor itu dengan, dan kami mendapat perkara yang sama seperti - . Apakah nombor yang perlu anda darabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari kita ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih akan mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor kepada kuasa sifar, ia mestilah sama. Jadi berapa banyak perkara ini benar? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita tidak boleh hanya membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Jom teruskan. Selain nombor asli dan nombor, integer juga termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu kuasa negatif, mari kita lakukan seperti kali terakhir: darab beberapa nombor biasa dengan nombor yang sama kepada kuasa negatif:

Dari sini adalah mudah untuk menyatakan perkara yang anda cari:

Sekarang mari kita lanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor dengan kuasa negatif ialah kebalikan nombor yang sama dengan kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama Pangkalan tidak boleh nol:(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis masalah untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombornya menakutkan, tetapi pada Peperiksaan Negeri Bersepadu anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar untuk mengatasinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang mari kita pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, dan.

Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan", pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang mari kita ingat peraturan tentang "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama dengan.

Iaitu, punca kuasa ke adalah operasi songsang menaikkan kepada kuasa: .

Ternyata begitu. Jelas sekali, kes istimewa ini boleh diperluaskan: .

Sekarang kita tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperoleh menggunakan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Mari kita ingat peraturan: sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak walaupun akar daripada nombor negatif!

Ini bermakna nombor tersebut tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu ungkapan itu tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ungkapan?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor itu boleh diwakili dalam bentuk pecahan lain yang boleh dikurangkan, contohnya, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, tetapi ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi jika kita menulis penunjuk secara berbeza, kita akan menghadapi masalah sekali lagi: (iaitu, kita mendapat keputusan yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, kami pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi kalau:

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh untuk diamalkan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang datang bahagian yang paling sukar. Sekarang kita akan memikirkannya darjah dengan eksponen tidak rasional.

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti ijazah dengan eksponen rasional, kecuali

Lagipun, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari darjah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali;

...nombor kepada kuasa sifar- ini, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu nombor;

...darjah integer negatif- seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar menyelesaikan contoh sedemikian :))

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan kuasa kepada kuasa:

Sekarang lihat penunjuk. Adakah dia tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Mari kita ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami mengurangkan pecahan dalam eksponen kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP MAJU

Penentuan ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

• — asas ijazah;
• - eksponen.

Darjah dengan penunjuk semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Darjah dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

Pembinaan kepada tahap sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Sekali lagi tentang sifar: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Sifat darjah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

A-priory:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini kita mendapat produk berikut:

Tetapi mengikut definisi ia adalah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

Satu lagi nota penting: peraturan ini - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kumpulkan semula kerja ini seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan: !

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini kita hanya membincangkan apa yang sepatutnya indeks darjah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam kuasa semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat - .

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya tanda akan berubah. Peraturan mudah berikut boleh dirumuskan:

1. malah ijazah, - nombor positif.
2. Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
3. Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
4. Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika kita ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, yang bermaksud asasnya kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya dengan satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum kita melihat peraturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Kirakan ungkapan:

Penyelesaian :

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Ini adalah formula untuk pendaraban singkatan, iaitu perbezaan kuasa dua!

Kita mendapatkan:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika ia diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Tetapi bagaimana? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ternyata seperti ini:

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah. Tetapi penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada masa yang sama! Anda tidak boleh menggantikannya dengan menukar hanya satu kelemahan yang kami tidak suka!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan permudahkannya:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapakah jumlah huruf? kali dengan pengganda - apakah perkara ini mengingatkan anda? Ini tidak lebih daripada definisi operasi pendaraban: Terdapat hanya pengganda di sana. Iaitu, ini, mengikut takrifan, ialah kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis ijazah dengan eksponen yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari darjah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali; nombor kepada kuasa sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya tertentu. "nombor kosong", iaitu nombor; darjah dengan eksponen negatif integer - seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Ia adalah objek matematik semata-mata yang dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

1)

2)

3)

Jawapan:

1. Mari kita ingat perbezaan formula kuasa dua. Jawapan: .
2. Kami mengurangkan pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua pecahan biasa. Kita dapat, contohnya: .
3. Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

Kuasa dengan eksponen rasional

darjah, eksponennya ialah nombor negatif dan pecahan.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

darjah yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat darjah

Ciri-ciri darjah.

• Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
• Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
• Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
• Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
• Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA MEMILIKI PERKATAAN...

Bagaimana anda suka artikel itu? Tulis di bawah dalam komen sama ada anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda menggunakan hartanah ijazah.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dalam peperiksaan anda!