Proses mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen adalah mengingatkan penerbangan yang menarik mengelilingi objek (graf fungsi) dalam helikopter, menembak pada titik tertentu dari meriam jarak jauh dan memilih sangat mata khas dari titik ini untuk pukulan kawalan. Mata dipilih dengan cara tertentu dan mengikut peraturan tertentu. Dengan peraturan apa? Kami akan bercakap tentang ini lebih lanjut.
Jika fungsi y = f(x) adalah berterusan pada selang [ a, b] , kemudian ia sampai pada segmen ini paling kurang Dan nilai tertinggi . Ini boleh berlaku sama ada dalam titik melampau, atau di hujung segmen. Oleh itu, untuk mencari paling kurang Dan nilai terbesar fungsi , berterusan pada selang [ a, b] , anda perlu mengira nilainya dalam semua titik kritikal dan di hujung segmen, dan kemudian pilih yang terkecil dan terbesar daripadanya.
Biarkan, sebagai contoh, anda perlu menentukan nilai tertinggi fungsi f(x) pada segmen [ a, b] . Untuk melakukan ini, anda perlu mencari semua titik kritikalnya terletak pada [ a, b] .
Titik kritikal dipanggil titik di mana fungsi yang ditakrifkan, dan dia terbitan sama ada sama dengan sifar atau tidak wujud. Kemudian anda harus mengira nilai fungsi pada titik kritikal. Dan akhirnya, seseorang harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritikal dan di hujung segmen ( f(a) Dan f(b)). Yang terbesar daripada nombor ini ialah nilai terbesar fungsi pada segmen [a, b] .
Masalah mencari nilai fungsi terkecil .
Kami mencari nilai terkecil dan terbesar fungsi bersama-sama
Contoh 1. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi 
pada segmen [-1, 2]
.
Penyelesaian. Cari terbitan bagi fungsi ini. Mari samakan derivatif kepada sifar () dan dapatkan dua titik kritikal: dan . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada belakang segmen ini ia cukup untuk mengira nilainya di hujung segmen dan pada titik, kerana titik itu bukan milik segmen [-1, 2]. Nilai fungsi ini ialah: , , . Ia mengikuti itu nilai terkecil fungsi(ditunjukkan dengan warna merah pada graf di bawah), sama dengan -7, dicapai di hujung kanan segmen - pada titik , dan terhebat(juga merah pada graf), sama dengan 9, - pada titik kritikal.
Jika fungsi berterusan dalam selang tertentu dan selang ini bukan segmen (tetapi, sebagai contoh, selang; perbezaan antara selang dan segmen: titik sempadan selang tidak termasuk dalam selang, tetapi titik sempadan segmen dimasukkan ke dalam segmen), maka di antara nilai fungsi mungkin tidak ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, sebagai contoh, fungsi yang ditunjukkan dalam rajah di bawah adalah berterusan pada ]-∞, +∞[ dan tidak mempunyai nilai terbesar.
Walau bagaimanapun, untuk sebarang selang (tertutup, terbuka atau tidak terhingga), sifat berikut bagi fungsi berterusan adalah benar.
Contoh 4. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen [-1, 3] .
Penyelesaian. Kami mendapati terbitan fungsi ini sebagai terbitan hasil bagi:
.
Kami menyamakan derivatif kepada sifar, yang memberi kami satu titik kritikal: . Ia tergolong dalam segmen [-1, 3] . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:
Mari bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai tertinggi sama dengan 1 pada titik.
Kami terus mencari nilai terkecil dan terbesar fungsi bersama-sama
Terdapat guru yang, dalam topik mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi, tidak memberikan pelajar contoh untuk diselesaikan yang lebih kompleks daripada yang baru dibincangkan, iaitu, yang mana fungsi itu adalah polinomial atau pecahan, pengangka dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kita tidak akan mengehadkan diri kita kepada contoh sedemikian, kerana di kalangan guru ada mereka yang suka memaksa pelajar untuk berfikir sepenuhnya (jadual derivatif). Oleh itu, fungsi logaritma dan trigonometri akan digunakan.
Contoh 6. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen .
Penyelesaian. Kami mendapati terbitan fungsi ini sebagai derivatif produk :
Kami menyamakan derivatif kepada sifar, yang memberikan satu titik kritikal: . Ia tergolong dalam segmen. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:
Hasil daripada semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada titik dan pada titik dan nilai tertinggi, sama e², pada titik itu.
Contoh 7. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi 
pada segmen .
Penyelesaian. Cari terbitan bagi fungsi ini:
Kami menyamakan derivatif kepada sifar:
Satu-satunya titik kritikal adalah kepunyaan segmen. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:
Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , pada titik dan nilai tertinggi, sama , pada titik .
Dalam masalah ekstrem yang digunakan, mencari nilai terkecil (maksimum) fungsi, sebagai peraturan, turun kepada mencari minimum (maksimum). Tetapi bukan minimum atau maksimum itu sendiri yang lebih menarik minat praktikal, tetapi nilai-nilai hujah di mana ia dicapai. Apabila menyelesaikan masalah yang digunakan, ia timbul kesukaran tambahan- kompilasi fungsi yang menerangkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.
Contoh 8. Sebuah takungan dengan kapasiti 4, mempunyai bentuk selari dengan tapak segi empat sama dan buka di bahagian atas, anda perlu memancing dengan timah. Apakah dimensi tangki yang sepatutnya untuk menampungnya? jumlah paling sedikit bahan?
Penyelesaian. biarlah x- bahagian asas, h- ketinggian tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- isipadunya. Luas permukaan tangki dinyatakan oleh formula, i.e. ialah fungsi dua pembolehubah. Untuk menyatakan S sebagai fungsi satu pembolehubah, kami menggunakan fakta bahawa , dari mana . Menggantikan ungkapan yang ditemui h ke dalam formula untuk S:
Mari kita periksa fungsi ini ke tahap yang melampau. Ia ditakrifkan dan boleh dibezakan di mana-mana dalam ]0, +∞[ , dan
.
Kami menyamakan terbitan kepada sifar () dan mencari titik kritikal. Di samping itu, apabila derivatif tidak wujud, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan oleh itu tidak boleh menjadi titik ekstrem. Jadi, ini adalah satu-satunya titik kritikal. Mari kita semak untuk kehadiran ekstrem menggunakan tanda mencukupi kedua. Mari cari terbitan kedua. Apabila terbitan kedua lebih besar daripada sifar (). Ini bermakna apabila fungsi mencapai minimum 
. Sejak ini minimum ialah satu-satunya ekstrem bagi fungsi ini, ia adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi dasar tangki hendaklah 2 m, dan ketinggiannya hendaklah .
Contoh 9. Dari titik A terletak di landasan kereta api, ke titik DENGAN, terletak pada jarak darinya l, kargo mesti diangkut. Kos mengangkut unit berat per unit jarak dengan kereta api adalah sama dengan , dan melalui lebuh raya ia adalah sama dengan . Ke tahap mana M garisan kereta api sebuah lebuh raya perlu dibina untuk mengangkut kargo dari A V DENGAN adalah yang paling menjimatkan (bahagian AB kereta api diandaikan lurus)?
Apakah ekstrem bagi suatu fungsi dan apakah syarat yang diperlukan untuk ekstremum?
Extremum fungsi ialah maksimum dan minimum fungsi.
Prasyarat Maksimum dan minimum (ekstrem) fungsi adalah seperti berikut: jika fungsi f(x) mempunyai ekstrem pada titik x = a, maka pada titik ini terbitan sama ada sifar, atau tak terhingga, atau tidak wujud.
Syarat ini perlu, tetapi tidak mencukupi. Derivatif pada titik x = a boleh pergi ke sifar, infiniti, atau tidak wujud tanpa fungsi yang mempunyai ekstrem pada ketika ini.
Apakah syarat yang mencukupi untuk ekstrem fungsi (maksimum atau minimum)?
Syarat pertama:
Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a fungsi f(x) mempunyai maksimum
Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah negatif di sebelah kiri a dan positif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a fungsi f(x) mempunyai minimum dengan syarat bahawa fungsi f(x) di sini adalah selanjar.
Sebaliknya, anda boleh menggunakan yang kedua keadaan yang mencukupi ekstrem fungsi:
Biarkan pada titik x = a terbitan pertama f?(x) lenyap; jika terbitan kedua f??(a) adalah negatif, maka fungsi f(x) mempunyai maksimum pada titik x = a, jika ia positif, maka ia mempunyai minimum.
Apakah titik kritikal fungsi dan bagaimana untuk mencarinya?
Ini ialah nilai hujah fungsi di mana fungsi mempunyai ekstrem (iaitu maksimum atau minimum). Untuk mencarinya anda perlukan cari terbitan fungsi f?(x) dan, menyamakannya dengan sifar, selesaikan persamaan f?(x) = 0. Punca-punca persamaan ini, serta titik-titik di mana terbitan fungsi ini tidak wujud, adalah titik kritikal, iaitu, nilai-nilai hujah yang boleh wujud ekstrem. Mereka boleh dikenal pasti dengan mudah dengan melihat graf terbitan: kami berminat dengan nilai hujah di mana graf fungsi bersilang dengan paksi absis (paksi lembu) dan nilai di mana graf mengalami ketakselanjaran.
Sebagai contoh, mari kita cari ekstrem parabola.
Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Terbitan bagi fungsi: y?(x) = 6x + 2
Selesaikan persamaan: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
DALAM dalam kes ini titik genting ialah x0=-1/3. Ia adalah dengan nilai hujah ini yang mempunyai fungsi melampau. Kepada dia cari, gantikan nombor yang ditemui dalam ungkapan untuk fungsi dan bukannya "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Bagaimana untuk menentukan maksimum dan minimum fungsi, i.e. nilai terbesar dan terkecilnya?
Jika tanda terbitan apabila melalui titik kritikal x0 berubah daripada "tambah" kepada "tolak", maka x0 ialah titik maksimum; jika tanda derivatif berubah daripada tolak kepada tambah, maka x0 ialah titik minimum; jika tanda tidak berubah, maka pada titik x0 tidak ada maksimum atau minimum.
Untuk contoh yang dipertimbangkan:
Jom ambil nilai sewenang-wenangnya hujah di sebelah kiri titik kritikal: x = -1
Pada x = -1, nilai terbitan ialah y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (iaitu tanda ialah “tolak”).
Sekarang kita mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kanan titik kritikal: x = 1
Pada x = 1, nilai terbitan ialah y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (iaitu tanda ialah “tambah”).
Seperti yang anda lihat, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah apabila melalui titik kritikal. Ini bermakna bahawa pada nilai kritikal x0 kita mempunyai titik minimum.
Nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi pada selang waktu(pada segmen) didapati menggunakan prosedur yang sama, hanya mengambil kira fakta bahawa, mungkin, tidak semua titik kritikal akan terletak dalam selang waktu yang ditentukan. Titik kritikal yang berada di luar selang mesti dikecualikan daripada pertimbangan. Jika terdapat hanya satu titik kritikal dalam selang, ia akan mempunyai sama ada maksimum atau minimum. Dalam kes ini, untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi, kami juga mengambil kira nilai fungsi pada hujung selang.
Sebagai contoh, mari cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tersebut
y(x) = 3sin(x) - 0.5x
pada selang waktu:
Jadi, terbitan bagi fungsi tersebut ialah
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
Kami menyelesaikan persamaan 3cos(x) - 0.5 = 0
cos(x) = 0.5/3 = 0.16667
x = ±arccos(0.16667) + 2πk.
Kami mencari titik kritikal pada selang [-9; 9]:
x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (tidak termasuk dalam selang)
x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687
x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88
x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403
x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403
x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88
x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687
x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (tidak termasuk dalam selang)
Kami mencari nilai fungsi di nilai kritikal hujah:
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Ia boleh dilihat bahawa pada selang [-9; 9] fungsi mempunyai nilai terbesar pada x = -4.88:
x = -4.88, y = 5.398,
dan yang terkecil - pada x = 4.88:
x = 4.88, y = -5.398.
Pada selang [-6; -3] kita hanya mempunyai satu titik kritikal: x = -4.88. Nilai fungsi pada x = -4.88 ialah y = 5.398.
Cari nilai fungsi di hujung selang:
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
Pada selang [-6; -3] kita mempunyai nilai terbesar bagi fungsi tersebut
y = 5.398 pada x = -4.88
nilai terkecil -
y = 1.077 pada x = -3
Bagaimana untuk mencari titik lentur graf fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?
Untuk mencari semua titik infleksi garis y = f(x), anda perlu mencari terbitan kedua, samakan dengan sifar (selesaikan persamaan) dan uji semua nilai x yang mana terbitan kedua ialah sifar, tidak terhingga atau tidak wujud. Jika, apabila melalui salah satu nilai ini, derivatif kedua berubah tanda, maka graf fungsi mempunyai infleksi pada ketika ini. Jika ia tidak berubah, maka tidak ada bengkok.
Punca-punca persamaan f? (x) = 0, serta kemungkinan titik ketakselanjaran fungsi dan terbitan kedua, bahagikan domain takrifan fungsi kepada beberapa selang. Kecembungan pada setiap selangnya ditentukan oleh tanda terbitan kedua. Jika terbitan kedua pada satu titik pada selang yang dikaji adalah positif, maka garis y = f(x) adalah cekung ke atas, dan jika negatif, maka ke bawah.
Bagaimana untuk mencari ekstrem fungsi dua pembolehubah?
Untuk mencari extrema bagi fungsi f(x,y), boleh dibezakan dalam domain spesifikasinya, anda perlukan:
1) cari titik kritikal, dan untuk ini - selesaikan sistem persamaan
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) bagi setiap titik kritikal P0(a;b) siasat sama ada tanda perbezaan itu kekal tidak berubah
untuk semua titik (x;y) cukup hampir kepada P0. Jika perbezaannya kekal positif, maka pada titik P0 kita mempunyai minimum, jika negatif, maka kita mempunyai maksimum. Jika perbezaan tidak mengekalkan tandanya, maka tidak ada ekstrem pada titik P0.
Ekstrem fungsi ditentukan sama untuk lebih hujah.
Apakah kartun "Shrek Forever After" tentang?
Kartun: “Shrek Forever After” Tahun keluaran: 2010 Tayangan Perdana (Persekutuan Rusia): 20 Mei 2010 Negara: Amerika Syarikat Pengarah: Michael Pitchel Skrip: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: komedi keluarga, fantasi, pengembaraan Laman web rasmi: www.shrekforeverafter .com Plot keldai
Adakah mungkin untuk menderma darah semasa haid?
Doktor tidak mengesyorkan menderma darah semasa haid, kerana... kehilangan darah, walaupun tidak dalam kuantiti yang ketara, penuh dengan penurunan paras hemoglobin dan kemerosotan dalam kesejahteraan wanita. Semasa prosedur derma darah, keadaan kesihatan anda mungkin bertambah buruk sehingga pendarahan berlaku. Oleh itu, wanita hendaklah mengelak daripada menderma darah semasa haid. Dan sudah pada hari ke-5 selepas mereka selesai
Berapa kcal/jam yang digunakan semasa membasuh lantai?
Jenis aktiviti fizikal Penggunaan tenaga, kcal/jam Memasak 80 Berpakaian 30 Memandu 50 Membersihkan debu 80 Makan 30 Berkebun 135 Menyeterika 45 Mengemas katil 130 Membeli-belah 80 Kerja tidak aktif 75 Memotong kayu 300 Mencuci lantai 130 Seks 100-150 Menari aerobik intensiti rendah
Apakah maksud perkataan "penjahat"?
Penipu ialah pencuri yang terlibat dalam pencurian kecil-kecilan, atau orang licik yang terdedah kepada helah penipuan. Takrifan ini disahkan dalam kamus etimologi Krylov, mengikut mana perkataan "penipu" terbentuk daripada perkataan "zhal" (pencuri, penipu), berkaitan dengan kata kerja &la
Apakah nama cerita terakhir yang diterbitkan oleh saudara Strugatsky?
Sebuah cerita pendek Arkady dan Boris Strugatsky "On the Question of Cyclotation" pertama kali diterbitkan pada April 2008 dalam antologi fiksyen "Noon. XXI Century" (tambahan kepada majalah "Around the World", diterbitkan di bawah pengarang Boris Strugatsky). Penerbitan itu ditetapkan bertepatan dengan ulang tahun ke-75 Boris Strugatsky.
Di manakah anda boleh membaca cerita daripada peserta program Work And Travel USA?
Kerja dan Travel USA (bekerja dan melancong di USA) - program popular pertukaran pelajar, mengikut mana anda boleh menghabiskan musim panas di Amerika, bekerja secara sah dalam sektor perkhidmatan dan melancong. Sejarah program Kerja & Perjalanan disertakan dalam program pertukaran antara kerajaan Pro Pertukaran Budaya
Telinga. Latar belakang masakan dan sejarah Selama lebih daripada dua setengah abad, perkataan "ukha" telah digunakan untuk menamakan sup atau rebusan ikan segar. Tetapi ada masanya perkataan ini ditafsirkan dengan lebih luas. Ini bermakna sup - bukan sahaja ikan, tetapi juga daging, kacang dan juga manis. Jadi dalam dokumen sejarah — «
Portal maklumat dan pengambilan Superjob.ru - portal perekrutan Superjob.ru beroperasi pasaran Rusia pengambilan dalam talian sejak tahun 2000 dan merupakan peneraju antara sumber yang menawarkan carian pekerjaan dan kakitangan. Setiap hari, lebih daripada 80,000 resume pakar dan lebih daripada 10,000 kekosongan ditambah pada pangkalan data tapak.
Apa itu motivasi
Definisi motivasi Motivasi (dari bahasa Latin moveo - I move) - insentif untuk bertindak; proses fisiologi dan psikologi dinamik yang mengawal tingkah laku manusia, menentukan arah, organisasi, aktiviti dan kestabilannya; keupayaan seseorang untuk memenuhi keperluannya melalui kerja. Motivac
Siapa Bob Dylan
Bob Dylan (Bahasa Inggeris Bob Dylan, nama sebenarnya - Robert Allen Zimmerman Inggeris. Robert Allen Zimmerman; lahir 24 Mei 1941) ialah seorang penulis lagu Amerika yang, menurut tinjauan majalah Rolling Stone, adalah yang kedua (
Bagaimana untuk mengangkut tumbuhan dalaman
Selepas membeli tumbuhan dalaman, tukang kebun berhadapan dengan tugas bagaimana untuk menyampaikan bunga eksotik yang dibeli tanpa cedera. Pengetahuan tentang peraturan asas untuk membungkus dan mengangkut tumbuhan dalaman akan membantu menyelesaikan masalah ini. Tumbuhan mesti dibungkus untuk dibawa atau diangkut. Tidak kira seberapa pendek jarak tumbuhan itu diangkut, ia boleh rosak, kering, dan pada musim sejuk & m
Kadang-kadang dalam masalah B15 terdapat fungsi "buruk" yang sukar untuk mencari derivatif. Sebelum ini, ini hanya berlaku semasa ujian sampel, tetapi kini tugasan ini sangat biasa sehingga tidak boleh diabaikan lagi semasa membuat persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu yang sebenar.
Dalam kes ini, teknik lain berfungsi, salah satunya adalah monoton.
Fungsi f (x) dikatakan meningkat secara monoton pada segmen jika bagi mana-mana titik x 1 dan x 2 segmen ini yang berikut memegang:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Fungsi f (x) dikatakan menurun secara monoton pada segmen jika bagi mana-mana titik x 1 dan x 2 segmen ini yang berikut memegang:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Dengan kata lain, untuk fungsi yang semakin meningkat, semakin besar x, semakin besar f(x). Untuk fungsi menurun, sebaliknya adalah benar: x lebih besar, kurang f(x).
Sebagai contoh, logaritma meningkat secara monoton jika asas a > 1, dan menurun secara monoton jika 0< a < 1. Не забывайте про область nilai yang boleh diterima logaritma: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Punca kuasa dua aritmetik (dan bukan sahaja kuasa dua) meningkat secara monoton ke atas keseluruhan domain definisi:
Fungsi eksponen berkelakuan serupa dengan logaritma: ia meningkat untuk > 1 dan menurun untuk 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, fungsi eksponen ditakrifkan untuk semua nombor, bukan hanya x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Akhir sekali, ijazah dengan penunjuk negatif. Anda boleh menulisnya sebagai pecahan. Mereka mempunyai titik rehat di mana monotoni dipecahkan.
Semua fungsi ini tidak pernah ditemui dalam bentuk tulen. Mereka menambah polinomial, pecahan dan karut lain, yang menjadikannya sukar untuk mengira terbitan. Mari kita lihat apa yang berlaku dalam kes ini.
Koordinat puncak parabola
Selalunya hujah fungsi digantikan dengan trinomial kuadratik daripada bentuk y = ax 2 + bx + c. Grafnya ialah parabola standard yang kami minati:
- Cabang-cabang parabola boleh naik (untuk > 0) atau turun (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Puncak parabola ialah titik ekstrem bagi fungsi kuadratik di mana fungsi ini mengambil masa minimum (untuk > 0) atau maksimum (a< 0) значение.
Yang paling menarik ialah puncak parabola, absis yang dikira dengan formula:
Jadi, kita telah menemui titik ekstrem bagi fungsi kuadratik. Tetapi jika fungsi asal adalah monotonik, untuk itu titik x 0 juga akan menjadi titik ekstrem. Oleh itu, mari kita rumuskan peraturan utama:
Titik melampau trinomial kuadratik Dan fungsi kompleks, yang mana ia termasuk dalam, bertepatan. Oleh itu, anda boleh mencari x 0 untuk trinomial kuadratik, dan melupakan fungsinya.
Daripada alasan di atas, masih tidak jelas titik mana yang kita dapat: maksimum atau minimum. Walau bagaimanapun, tugas itu direka khusus supaya ini tidak menjadi masalah. Nilailah sendiri:
- Tiada segmen dalam pernyataan masalah. Oleh itu, tidak perlu mengira f(a) dan f(b). Ia kekal untuk mempertimbangkan hanya titik ekstrem;
- Tetapi hanya terdapat satu titik sedemikian - ini adalah puncak parabola x 0, koordinatnya dikira secara literal secara lisan dan tanpa sebarang derivatif.
Oleh itu, menyelesaikan masalah adalah sangat dipermudahkan dan hanya terdiri daripada dua langkah:
- Tuliskan persamaan parabola y = ax 2 + bx + c dan cari bucunya menggunakan formula: x 0 = −b /2a ;
- Cari nilai fungsi asal pada titik ini: f (x 0). Jika tidak syarat-syarat tambahan tidak, itu akan menjadi jawapannya.
Pada pandangan pertama, algoritma ini dan rasionalnya mungkin kelihatan rumit. Saya sengaja tidak menyiarkan gambarajah penyelesaian "telanjang", kerana penerapan peraturan sedemikian yang tidak bertimbang rasa penuh dengan kesilapan.
Mari kita lihat masalah sebenar dari percubaan Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik - betul-betul di sana teknik ini paling kerap berlaku. Pada masa yang sama, kami akan memastikan bahawa dengan cara ini banyak masalah B15 menjadi hampir lisan.
Di bawah tegakan akar fungsi kuadratik y = x 2 + 6x + 13. Graf bagi fungsi ini ialah parabola dengan cawangan ke atas, kerana pekali a = 1 > 0.
Puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Oleh kerana cabang parabola diarahkan ke atas, pada titik x 0 = −3 fungsi y = x 2 + 6x + 13 mengambil nilai minimumnya.
Akar meningkat secara monoton, yang bermaksud x 0 ialah titik minimum bagi keseluruhan fungsi. Kami ada:
Tugasan. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Di bawah logaritma terdapat lagi fungsi kuadratik: y = x 2 + 2x + 9. Graf ialah parabola dengan cabang ke atas, kerana a = 1 > 0.
Puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Jadi, pada titik x 0 = −1 fungsi kuadratik mengambil nilai minimumnya. Tetapi fungsi y = log 2 x adalah monotonik, jadi:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponen mengandungi fungsi kuadratik y = 1 − 4x − x 2 . Mari kita tulis semula dalam bentuk biasa: y = −x 2 − 4x + 1.
Jelas sekali, graf fungsi ini ialah parabola, bercabang ke bawah (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Fungsi asal adalah eksponen, ia adalah monotonik, jadi nilai terbesar adalah pada titik yang ditemui x 0 = -2:
Pembaca yang penuh perhatian mungkin akan menyedari bahawa kami tidak menulis julat nilai akar dan logaritma yang dibenarkan. Tetapi ini tidak diperlukan: di dalamnya terdapat fungsi yang nilainya sentiasa positif.
Akibat daripada domain fungsi
Kadang-kadang hanya mencari bucu parabola tidak mencukupi untuk menyelesaikan Masalah B15. Nilai yang anda cari mungkin berbohong di penghujung segmen, dan tidak sama sekali pada titik ekstrem. Jika masalah tidak menunjukkan segmen sama sekali, lihat julat nilai yang boleh diterima fungsi asal. Iaitu:
Sila ambil perhatian sekali lagi: sifar mungkin berada di bawah punca, tetapi tidak sekali-kali dalam logaritma atau penyebut pecahan. Mari lihat cara ini berfungsi dengan contoh khusus:
Tugasan. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut:
Di bawah punca sekali lagi terdapat fungsi kuadratik: y = 3 − 2x − x 2 . Grafnya ialah parabola, tetapi bercabang ke bawah kerana a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Punca kuasa dua daripada nombor negatif tidak wujud.
Kami menulis julat nilai yang dibenarkan (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Sekarang mari kita cari puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Titik x 0 = −1 tergolong dalam segmen ODZ - dan ini bagus. Sekarang kita mengira nilai fungsi pada titik x 0, serta pada hujung ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Jadi, kami mendapat nombor 2 dan 0. Kami diminta untuk mencari yang terbesar - ini adalah nombor 2.
Tugasan. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut:
y = log 0.5 (6x − x 2 − 5)
Di dalam logaritma terdapat fungsi kuadratik y = 6x − x 2 − 5. Ini adalah parabola dengan cabang ke bawah, tetapi dalam logaritma tidak boleh nombor negatif, jadi kami menulis ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Sila ambil perhatian: ketidaksamaan adalah ketat, jadi hujungnya bukan milik ODZ. Ini membezakan logaritma daripada akar, di mana hujung segmen sesuai dengan kita dengan baik.
Kami sedang mencari puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Puncak parabola sesuai mengikut ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Tetapi kerana kami tidak berminat dengan hujung segmen, kami mengira nilai fungsi hanya pada titik x 0:
y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2
Selalunya dalam fizik dan matematik ia diperlukan untuk mencari nilai terkecil sesuatu fungsi. Kami sekarang akan memberitahu anda bagaimana untuk melakukan ini.
Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi: arahan
- Untuk mengira nilai terkecil fungsi berterusan pada segmen tertentu, anda perlu mengikuti algoritma berikut:
- Cari terbitan bagi fungsi itu.
- Cari pada segmen tertentu titik yang derivatifnya adalah sama dengan sifar, serta semua titik kritikal. Kemudian ketahui nilai-nilai fungsi pada titik-titik ini, iaitu, selesaikan persamaan di mana x sama dengan sifar. Ketahui nilai mana yang paling kecil.
- Tentukan nilai fungsi tersebut titik akhir. Tentukan nilai terkecil bagi fungsi pada titik ini.
- Bandingkan data yang diperolehi dengan nilai terendah. Lebih kecil daripada nombor yang terhasil akan menjadi nilai terkecil bagi fungsi tersebut.
Ambil perhatian bahawa jika fungsi pada segmen tidak mempunyai titik terkecil, ini bermakna bahawa dalam segmen tertentu ia meningkat atau menurun. Oleh itu, nilai terkecil hendaklah dikira pada segmen terhingga fungsi.
Dalam semua kes lain, nilai fungsi dikira mengikut algoritma yang ditentukan. Pada setiap titik algoritma anda perlu menyelesaikan masalah yang mudah persamaan linear dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk mengelakkan kesilapan.
Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen separuh terbuka? Pada tempoh separuh terbuka atau buka fungsi, nilai terkecil harus ditemui dengan cara berikut. Pada titik akhir nilai fungsi, hitung had sebelah fungsi. Dalam erti kata lain, selesaikan persamaan di mana titik cenderung diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, di mana a dan b ialah nama titik kritikal.
Sekarang anda tahu cara mencari nilai terkecil bagi sesuatu fungsi. Perkara utama ialah melakukan semua pengiraan dengan betul, tepat dan tanpa kesilapan.
Apakah ekstrem bagi suatu fungsi dan apakah syarat yang diperlukan untuk ekstremum?
Extremum fungsi ialah maksimum dan minimum fungsi.
Syarat yang diperlukan untuk maksimum dan minimum (ekstrem) fungsi adalah seperti berikut: jika fungsi f(x) mempunyai ekstrem pada titik x = a, maka pada ketika ini terbitan adalah sama ada sifar, atau tak terhingga, atau tidak. tidak wujud.
Syarat ini perlu, tetapi tidak mencukupi. Derivatif pada titik x = a boleh pergi ke sifar, infiniti, atau tidak wujud tanpa fungsi yang mempunyai ekstrem pada ketika ini.
Apakah syarat yang mencukupi untuk ekstrem fungsi (maksimum atau minimum)?
Syarat pertama:
Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a fungsi f(x) mempunyai maksimum
Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah negatif di sebelah kiri a dan positif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a fungsi f(x) mempunyai minimum dengan syarat bahawa fungsi f(x) di sini adalah selanjar.
Sebaliknya, anda boleh menggunakan syarat mencukupi kedua untuk ekstrem fungsi:
Biarkan pada titik x = a terbitan pertama f?(x) lenyap; jika terbitan kedua f??(a) adalah negatif, maka fungsi f(x) mempunyai maksimum pada titik x = a, jika ia positif, maka ia mempunyai minimum.
Apakah titik kritikal fungsi dan bagaimana untuk mencarinya?
Ini ialah nilai hujah fungsi di mana fungsi mempunyai ekstrem (iaitu maksimum atau minimum). Untuk mencarinya anda perlukan cari terbitan fungsi f?(x) dan, menyamakannya dengan sifar, selesaikan persamaan f?(x) = 0. Punca-punca persamaan ini, serta titik-titik di mana terbitan fungsi ini tidak wujud, adalah titik kritikal, iaitu, nilai-nilai hujah yang boleh wujud ekstrem. Mereka boleh dikenal pasti dengan mudah dengan melihat graf terbitan: kami berminat dengan nilai hujah di mana graf fungsi bersilang dengan paksi absis (paksi lembu) dan nilai di mana graf mengalami ketakselanjaran.
Sebagai contoh, mari kita cari ekstrem parabola.
Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Terbitan bagi fungsi: y?(x) = 6x + 2
Selesaikan persamaan: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Dalam kes ini, titik kritikal ialah x0=-1/3. Ia adalah dengan nilai hujah ini yang mempunyai fungsi melampau. Kepada dia cari, gantikan nombor yang ditemui dalam ungkapan untuk fungsi dan bukannya "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Bagaimana untuk menentukan maksimum dan minimum fungsi, i.e. nilai terbesar dan terkecilnya?
Jika tanda terbitan apabila melalui titik kritikal x0 berubah daripada "tambah" kepada "tolak", maka x0 ialah titik maksimum; jika tanda derivatif berubah daripada tolak kepada tambah, maka x0 ialah titik minimum; jika tanda tidak berubah, maka pada titik x0 tidak ada maksimum atau minimum.
Untuk contoh yang dipertimbangkan:
Kami mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kiri titik kritikal: x = -1
Pada x = -1, nilai terbitan ialah y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (iaitu tanda ialah “tolak”).
Sekarang kita mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kanan titik kritikal: x = 1
Pada x = 1, nilai terbitan ialah y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (iaitu tanda ialah “tambah”).
Seperti yang anda lihat, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah apabila melalui titik kritikal. Ini bermakna bahawa pada nilai kritikal x0 kita mempunyai titik minimum.
Nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi pada selang waktu(pada segmen) didapati menggunakan prosedur yang sama, hanya mengambil kira fakta bahawa, mungkin, tidak semua titik kritikal akan terletak dalam selang waktu yang ditentukan. Titik kritikal yang berada di luar selang mesti dikecualikan daripada pertimbangan. Jika terdapat hanya satu titik kritikal dalam selang, ia akan mempunyai sama ada maksimum atau minimum. Dalam kes ini, untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi, kami juga mengambil kira nilai fungsi pada hujung selang.
Sebagai contoh, mari cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tersebut
y(x) = 3sin(x) - 0.5x
pada selang waktu:
Jadi, terbitan bagi fungsi tersebut ialah
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
Kami menyelesaikan persamaan 3cos(x) - 0.5 = 0
cos(x) = 0.5/3 = 0.16667
x = ±arccos(0.16667) + 2πk.
Kami mencari titik kritikal pada selang [-9; 9]:
x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (tidak termasuk dalam selang)
x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687
x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88
x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403
x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403
x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88
x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687
x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (tidak termasuk dalam selang)
Kami mencari nilai fungsi pada nilai kritikal hujah:
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Ia boleh dilihat bahawa pada selang [-9; 9] fungsi mempunyai nilai terbesar pada x = -4.88:
x = -4.88, y = 5.398,
dan yang terkecil - pada x = 4.88:
x = 4.88, y = -5.398.
Pada selang [-6; -3] kita hanya mempunyai satu titik kritikal: x = -4.88. Nilai fungsi pada x = -4.88 ialah y = 5.398.
Cari nilai fungsi di hujung selang:
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
Pada selang [-6; -3] kita mempunyai nilai terbesar bagi fungsi tersebut
y = 5.398 pada x = -4.88
nilai terkecil -
y = 1.077 pada x = -3
Bagaimana untuk mencari titik lentur graf fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?
Untuk mencari semua titik infleksi garis y = f(x), anda perlu mencari terbitan kedua, samakan dengan sifar (selesaikan persamaan) dan uji semua nilai x yang mana terbitan kedua ialah sifar, tidak terhingga atau tidak wujud. Jika, apabila melalui salah satu nilai ini, derivatif kedua berubah tanda, maka graf fungsi mempunyai infleksi pada ketika ini. Jika ia tidak berubah, maka tidak ada bengkok.
Punca-punca persamaan f? (x) = 0, serta kemungkinan titik ketakselanjaran fungsi dan terbitan kedua, bahagikan domain takrifan fungsi kepada beberapa selang. Kecembungan pada setiap selangnya ditentukan oleh tanda terbitan kedua. Jika terbitan kedua pada satu titik pada selang yang dikaji adalah positif, maka garis y = f(x) adalah cekung ke atas, dan jika negatif, maka ke bawah.
Bagaimana untuk mencari ekstrem fungsi dua pembolehubah?
Untuk mencari extrema bagi fungsi f(x,y), boleh dibezakan dalam domain spesifikasinya, anda perlukan:
1) cari titik kritikal, dan untuk ini - selesaikan sistem persamaan
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) bagi setiap titik kritikal P0(a;b) siasat sama ada tanda perbezaan itu kekal tidak berubah
untuk semua titik (x;y) cukup hampir kepada P0. Jika perbezaannya kekal positif, maka pada titik P0 kita mempunyai minimum, jika negatif, maka kita mempunyai maksimum. Jika perbezaan tidak mengekalkan tandanya, maka tidak ada ekstrem pada titik P0.
Extrema fungsi ditentukan sama untuk bilangan argumen yang lebih besar.