Janjang yang semakin berkurangan adalah jumlahnya. Jumlah janjang geometri menurun tak terhingga dan paradoks Zeno

Janjang geometri. Panduan yang komprehensif dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh membezakan yang mana satu pertama, yang mana kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.

Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-n bagi jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Jenis janjang yang paling biasa ialah aritmetik dan geometri. Dalam topik ini kita akan bercakap tentang jenis kedua - janjang geometri.

Mengapakah janjang geometri diperlukan dan sejarahnya?

Malah pada zaman purba, sami ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa (lebih dikenali sebagai Fibonacci) menangani keperluan praktikal perdagangan. Rahib itu berhadapan dengan tugas menentukan dengan bantuan yang mana jumlah paling sedikit berat bolehkah anda menimbang barang? Dalam karya-karyanya, Fibonacci membuktikan bahawa sistem pemberat sedemikian adalah optimum: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang terpaksa berurusan dengan perkembangan geometri, yang mungkin anda pernah dengar dan sekurang-kurangnya mempunyai konsep umum. Setelah anda memahami sepenuhnya topik tersebut, fikirkan mengapa sistem sedemikian adalah optimum?

Pada masa ini, dalam amalan hidup, janjang geometri Ia menunjukkan dirinya apabila melabur wang di bank, apabila jumlah faedah dikira pada jumlah terkumpul dalam akaun untuk tempoh sebelumnya. Dalam erti kata lain, jika anda meletakkan wang pada deposit masa di bank simpanan, maka selepas setahun deposit akan meningkat dengan jumlah asal, i.e. jumlah baru akan sama dengan sumbangan didarab dengan. Pada tahun yang lain, jumlah ini akan meningkat sebanyak, i.e. jumlah yang diperoleh pada masa itu akan didarab semula dan seterusnya. Keadaan yang serupa diterangkan dalam masalah untuk mengira apa yang dipanggil faedah kompaun- peratusan diambil setiap kali daripada jumlah yang ada dalam akaun, dengan mengambil kira faedah sebelumnya. Kita akan bercakap tentang tugas-tugas ini sedikit kemudian.

Ada banyak lagi kes mudah, di mana janjang geometri digunakan. Sebagai contoh, penyebaran influenza: seseorang menjangkiti orang lain, mereka pula menjangkiti orang lain, dan dengan itu gelombang kedua jangkitan adalah seseorang, dan mereka pula menjangkiti orang lain... dan seterusnya.. .

By the way, piramid kewangan, MMM yang sama, adalah pengiraan yang mudah dan kering berdasarkan sifat janjang geometri. Menarik? Mari kita fikirkan.

Janjang geometri.

Katakan kita ada urutan nombor:

Anda akan segera menjawab bahawa ini adalah mudah dan nama jujukan sedemikian ialah janjang aritmetik dengan perbezaan sebutannya. Bagaimana pula ini:

Jika anda menolak yang sebelumnya daripada nombor berikutnya, anda akan melihat bahawa setiap kali anda mendapat perbezaan baru(dsb.), tetapi urutannya pasti wujud dan mudah untuk diperhatikan - setiap satu nombor seterusnya kali lebih banyak daripada yang sebelumnya!

Urutan nombor jenis ini dipanggil janjang geometri dan ditetapkan.

Janjang geometri () ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

Sekatan bahawa sebutan pertama ( ) adalah tidak sama dan tidak rawak. Mari kita anggap bahawa tidak ada, dan sebutan pertama masih sama, dan q sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata:

Setuju bahawa ini bukan lagi kemajuan.

Seperti yang anda faham, kami akan mendapat keputusan yang sama jika terdapat sebarang nombor selain sifar, a. Dalam kes ini, tidak akan ada perkembangan, kerana keseluruhannya siri nombor akan ada sama ada semua sifar, atau satu nombor dan semua sifar selebihnya.

Sekarang mari kita bercakap dengan lebih terperinci tentang penyebut janjang geometri, iaitu, o.

Mari kita ulangi: - ini adalah nombor berapa kalikah setiap sebutan berikutnya berubah? janjang geometri.

Apa yang anda fikir ia boleh jadi? Betul, positif dan negatif, tetapi bukan sifar (kami bercakap tentang ini lebih tinggi sedikit).

Mari kita anggap bahawa kita adalah positif. Biar dalam kes kita, a. Apakah nilai sebutan kedua dan? Anda boleh menjawabnya dengan mudah:

betul tu. Sehubungan itu, jika, maka semua terma janjang berikutnya mempunyai tanda yang sama- Mereka adalah positif.

Bagaimana jika ia negatif? Contohnya, a. Apakah nilai sebutan kedua dan?

Ini adalah cerita yang sama sekali berbeza

Cuba kira syarat janjang ini. Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada. Oleh itu, jika, maka tanda-tanda istilah janjang geometri itu silih berganti. Iaitu, jika anda melihat janjang dengan tanda berselang-seli untuk ahlinya, maka penyebutnya adalah negatif. Pengetahuan ini boleh membantu anda menguji diri anda semasa menyelesaikan masalah mengenai topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: cuba tentukan jujukan nombor yang mana merupakan janjang geometri dan yang mana janjang aritmetik:

faham? Mari bandingkan jawapan kami:

Janjang geometri - 3, 6.
Janjang aritmetik - 2, 4.
Ia bukan aritmetik mahupun janjang geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke janjang terakhir kita dan cuba mencari istilahnya, sama seperti dalam aritmetik. Seperti yang anda mungkin telah meneka, terdapat dua cara untuk mencarinya.

Kami mendarabkan setiap sebutan dengan berturut-turut.

Jadi, sebutan ke bagi janjang geometri yang diterangkan adalah sama dengan.

Seperti yang telah anda duga, kini anda sendiri akan memperoleh formula yang akan membantu anda mencari mana-mana ahli janjang geometri. Atau adakah anda telah membangunkannya sendiri, menerangkan cara mencari ahli ke-1 langkah demi langkah? Jika ya, maka semak ketepatan alasan anda.

Marilah kita menggambarkan ini dengan contoh mencari istilah ke-dalam janjang ini:

Dalam kata lain:

Cari sendiri nilai sebutan bagi janjang geometri yang diberikan.

Terjadi? Mari bandingkan jawapan kami:

Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kita didarab secara berurutan dengan setiap sebutan sebelumnya bagi janjang geometri.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini- Mari letakkannya dalam bentuk umum dan dapatkan:

Formula terbitan adalah benar untuk semua nilai - baik positif dan negatif. Semak ini sendiri dengan mengira terma janjang geometri dengan syarat berikut: , A.

Adakah anda mengira? Mari bandingkan hasilnya:

Setuju bahawa adalah mungkin untuk mencari istilah janjang dengan cara yang sama seperti istilah, walau bagaimanapun, terdapat kemungkinan pengiraan yang salah. Dan jika kita telah menemui istilah ke-janjang geometri, maka apa yang lebih mudah daripada menggunakan bahagian "dipotong" formula.

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

Baru-baru ini, kami bercakap tentang apa yang boleh sama ada lebih besar atau kurang daripada sifar, bagaimanapun, ada makna khusus yang mana janjang geometri dipanggil semakin berkurangan.

Mengapa anda fikir nama ini diberikan?
Mula-mula, mari kita tuliskan beberapa janjang geometri yang terdiri daripada sebutan.
Katakan, kemudian:

Kami melihat bahawa setiap sebutan berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya dengan faktor, tetapi adakah terdapat sebarang nombor? Anda akan segera menjawab - "tidak". Itulah sebabnya ia berkurangan tidak terhingga - ia berkurangan dan berkurangan, tetapi tidak pernah menjadi sifar.

Untuk memahami dengan jelas bagaimana ini kelihatan secara visual, mari cuba lukis graf perkembangan kami. Jadi, untuk kes kami, formula mengambil bentuk berikut:

Pada graf kami terbiasa merencanakan pergantungan, oleh itu:

Intipati ungkapan tidak berubah: dalam entri pertama kami menunjukkan pergantungan nilai ahli janjang geometri pada nombor ordinalnya, dan dalam entri kedua kami hanya mengambil nilai ahli janjang geometri sebagai , dan menetapkan nombor ordinal bukan sebagai, tetapi sebagai. Apa yang perlu dilakukan ialah membina graf.
Mari lihat apa yang anda dapat. Inilah graf yang saya hasilkan:

Adakah kamu nampak? Fungsi berkurangan, cenderung kepada sifar, tetapi tidak pernah melepasinya, jadi ia berkurangan secara tidak terhingga. Mari kita tandai titik kita pada graf, dan pada masa yang sama maksud dan koordinat:

Cuba gambarkan secara skematik graf janjang geometri jika sebutan pertamanya juga sama. Analisis apakah perbezaan dengan graf kami yang terdahulu?

Adakah anda berjaya? Inilah graf yang saya hasilkan:

Memandangkan anda telah memahami sepenuhnya asas topik janjang geometri: anda tahu apa itu, anda tahu cara mencari istilahnya, dan anda juga tahu apa itu janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga, mari kita beralih kepada sifat utamanya.

Sifat janjang geometri.

Adakah anda ingat harta ahli janjang aritmetik? Ya, ya, bagaimana untuk mencari nilai nombor tertentu kemajuan, apabila terdapat nilai sebelumnya dan seterusnya dari ahli perkembangan ini. Adakah awak ingat? ini:

Sekarang kita berhadapan dengan soalan yang sama untuk istilah janjang geometri. Untuk menarik diri formula yang serupa, mari kita mula melukis dan membuat penaakulan. Anda akan lihat, ia sangat mudah, dan jika anda terlupa, anda boleh mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil satu lagi janjang geometri yang mudah, di mana kita tahu dan. Bagaimana untuk mencari? Dengan janjang aritmetik ia adalah mudah dan ringkas, tetapi bagaimana pula di sini? Malah, tidak ada yang rumit dalam geometri sama ada - anda hanya perlu menulis setiap nilai yang diberikan kepada kami mengikut formula.

Anda mungkin bertanya, apa yang perlu kita lakukan mengenainya sekarang? Ya, sangat mudah. Mula-mula, mari kita gambarkan formula ini dalam gambar dan cuba lakukan pelbagai manipulasi dengannya untuk mencapai nilai.

Mari kita abstrak dari nombor yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui formula. Kita perlu mencari nilai yang diserlahkan oren, mengetahui ahli yang bersebelahan dengannya. Mari kita cuba menghasilkan dengan mereka pelbagai tindakan, akibatnya kita boleh dapat.

Penambahan.
Mari cuba tambah dua ungkapan dan kita dapat:

daripada ungkapan yang diberikan, seperti yang anda lihat, kami tidak boleh menyatakannya dalam apa-apa cara, oleh itu, kami akan mencuba pilihan lain - penolakan.

Penolakan.

Seperti yang anda lihat, kita tidak boleh menyatakan ini sama ada, oleh itu, mari kita cuba untuk mendarabkan ungkapan ini dengan satu sama lain.

Pendaraban.

Sekarang lihat dengan teliti apa yang kita ada dengan mendarabkan istilah janjang geometri yang diberikan kepada kita berbanding dengan apa yang perlu dijumpai:

Cuba teka apa yang saya cakapkan? Betul, untuk mencari kita perlu ambil Punca kuasa dua daripada nombor janjang geometri bersebelahan dengan yang dikehendaki didarab dengan satu sama lain:

Di sini anda pergi. Anda sendiri memperoleh sifat janjang geometri. Cuba tulis formula ini Pandangan umum. Terjadi?

Lupa syaratnya? Fikirkan mengapa ia penting, contohnya, cuba kira sendiri. Apa yang akan berlaku dalam kes ini? Betul, mengarut sepenuhnya kerana formulanya kelihatan seperti ini:

Oleh itu, jangan lupa had ini.

Sekarang mari kita kira apa yang sama

Jawapan yang betul - ! Jika anda tidak lupa yang kedua semasa mengira makna yang mungkin, maka anda adalah rakan yang hebat dan boleh terus ke latihan, dan jika anda terlupa, baca apa yang dibincangkan di bawah dan perhatikan mengapa perlu menulis kedua-dua akar dalam jawapan.

Mari kita lukis kedua-dua janjang geometri kita - satu dengan nilai dan satu lagi dengan nilai dan semak sama ada kedua-duanya mempunyai hak untuk wujud:

Untuk menyemak sama ada janjang geometri sedemikian wujud atau tidak, adalah perlu untuk melihat sama ada ia adalah sama antara semua diberikan ahli? Hitung q untuk kes pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita perlu menulis dua jawapan? Kerana tanda istilah yang anda cari bergantung kepada sama ada positif atau negatif! Dan kerana kita tidak tahu apa itu, kita perlu menulis kedua-dua jawapan dengan tambah dan tolak.

Sekarang anda telah menguasai perkara utama dan memperoleh formula untuk sifat janjang geometri, cari, mengetahui dan

Bandingkan jawapan anda dengan jawapan yang betul:

Apa pendapat anda, bagaimana jika kita diberi bukan nilai-nilai terma janjang geometri yang bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki, tetapi sama jarak daripadanya. Sebagai contoh, kita perlu mencari, dan diberi dan. Bolehkah kita menggunakan formula yang kita perolehi dalam kes ini? Cuba untuk mengesahkan atau menafikan kemungkinan ini dengan cara yang sama, menerangkan kandungan setiap nilai, seperti yang anda lakukan semasa anda asalnya memperoleh formula, di.
Apa yang kamu dapat?

Sekarang lihat dengan teliti sekali lagi.
dan sepadan:

Dari sini kita boleh membuat kesimpulan bahawa formula berfungsi bukan sahaja dengan jiran dengan sebutan janjang geometri yang dikehendaki, tetapi juga dengan sama jarak dari apa yang ahli cari.

Oleh itu, formula awal kami mengambil bentuk:

Iaitu, jika dalam kes pertama kita berkata begitu, sekarang kita mengatakan bahawa ia boleh sama dengan mana-mana nombor asli, yang lebih kecil. Perkara utama ialah ia adalah sama untuk kedua-dua nombor yang diberikan.

Berlatih terus contoh khusus, hanya berhati-hati!

, . Cari.
, . Cari.
, . Cari.

Memutuskan? Saya harap anda sangat prihatin dan perasan sedikit tangkapan.

Mari bandingkan hasilnya.

Dalam dua kes pertama, kami menggunakan formula di atas dengan tenang dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kes ketiga, selepas pemeriksaan lebih dekat nombor siri nombor yang diberikan kepada kami, kami faham bahawa ia tidak sama jarak dengan nombor yang kami cari: ialah tarikh sebelumnya, tetapi dikeluarkan pada kedudukan, jadi tidak mungkin untuk menggunakan formula.

Bagaimana untuk menyelesaikannya? Ia sebenarnya tidak sesukar yang disangka! Mari kita tuliskan kandungan setiap nombor yang diberikan kepada kita dan nombor yang kita cari.

Jadi kita ada dan. Mari lihat apa yang boleh kita lakukan dengan mereka? Saya cadangkan bahagikan dengan. Kita mendapatkan:

Kami menggantikan data kami ke dalam formula:

Langkah seterusnya yang boleh kita temui - untuk ini kita perlu ambil akar kubus daripada nombor yang terhasil.

Sekarang mari kita lihat semula apa yang kita ada. Kami memilikinya, tetapi kami perlu mencarinya, dan ia, pada gilirannya, adalah sama dengan:

Kami menemui semua data yang diperlukan untuk pengiraan. Gantikan ke dalam formula:

Jawapan kami: .

Cuba selesaikan sendiri masalah serupa yang lain:
Diberi: ,
Cari:

Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada - .

Seperti yang anda lihat, pada asasnya anda perlukan ingat hanya satu formula- . Anda boleh mengeluarkan semua selebihnya sendiri tanpa sebarang kesulitan pada bila-bila masa. Untuk melakukan ini, hanya tulis janjang geometri yang paling mudah pada sekeping kertas dan tuliskan jumlah yang sama dengan setiap nombornya, mengikut formula yang diterangkan di atas.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri.

Sekarang mari kita lihat formula yang membolehkan kita mengira dengan cepat jumlah sebutan bagi janjang geometri dalam selang tertentu:

Untuk mendapatkan formula bagi jumlah sebutan bagi janjang geometri terhingga, darabkan semua bahagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:

Lihat dengan teliti: apakah persamaan dua formula terakhir? Betul, ahli biasa, contohnya, dan sebagainya, kecuali ahli pertama dan terakhir. Mari cuba tolak 1 daripada persamaan ke-2. Apa yang kamu dapat?

Sekarang nyatakan istilah janjang geometri melalui formula dan gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam formula terakhir kami:

Kumpulan ungkapan. Anda sepatutnya mendapat:

Apa yang perlu dilakukan ialah menyatakan:

Sehubungan itu, dalam kes ini.

Bagaimana jika? Apakah formula yang berfungsi kemudian? Bayangkan satu janjang geometri di. Apa yang dia suka? Baris yang betul nombor yang sama, dengan itu formula akan kelihatan seperti dengan cara berikut:

Terdapat banyak legenda tentang janjang aritmetik dan geometri. Salah satunya ialah legenda Set, pencipta catur.

Ramai orang tahu bahawa permainan catur dicipta di India. Apabila raja Hindu bertemu dengannya, dia gembira dengan kecerdasannya dan pelbagai jawatan yang mungkin ada padanya. Setelah mengetahui bahawa ia dicipta oleh salah seorang rakyatnya, raja memutuskan untuk memberi ganjaran kepadanya. Dia memanggil pencipta kepada dirinya sendiri dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling mahir sekalipun.

Seta meminta masa untuk berfikir, dan apabila keesokan harinya Seta menghadap raja, dia mengejutkan raja dengan kesopanan yang belum pernah terjadi sebelumnya dari permintaannya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, sebutir gandum untuk yang kedua, sebutir gandum untuk ketiga, seperempat, dsb.

Raja marah dan menghalau Set, mengatakan bahawa permintaan hamba itu tidak layak untuk kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahawa hamba akan menerima bijirinnya untuk semua petak papan.

Dan sekarang persoalannya: menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri, hitung berapa banyak butir yang perlu diterima oleh Seth?

Mari kita mulakan alasan. Oleh kerana, mengikut syarat, Seth meminta sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dan lain-lain, maka kita melihatnya dalam masalah itu. kita bercakap tentang tentang janjang geometri. Apakah persamaan dalam kes ini?
Betul.

Jumlah segi empat sama papan catur. Masing-masing, . Kami mempunyai semua data, yang tinggal hanyalah memasukkannya ke dalam formula dan mengira.

Untuk membayangkan sekurang-kurangnya kira-kira "skala" nombor yang diberi, ubah menggunakan sifat darjah:

Sudah tentu, jika anda mahu, anda boleh mengambil kalkulator dan mengira nombor yang anda habiskan, dan jika tidak, anda perlu mengambil kata-kata saya untuk itu: nilai akhir ungkapan itu.
Itu dia:

quintillion quadrillion trilion billion million thousand.

Fuh) Jika anda ingin membayangkan betapa besarnya bilangan ini, maka anggarkan berapa besar kandang yang diperlukan untuk menampung keseluruhan jumlah bijirin.
Jika bangsal itu m tinggi dan m lebar, panjangnya perlu memanjang sejauh km, i.e. dua kali lebih jauh dari Bumi ke Matahari.

Sekiranya raja itu kuat dalam matematik, dia boleh menjemput saintis itu sendiri untuk mengira bijirin, kerana untuk mengira sejuta biji, dia memerlukan sekurang-kurangnya satu hari pengiraan tanpa jemu, dan memandangkan perlu untuk mengira kuintilon, bijirin. perlu dikira sepanjang hayatnya.

Sekarang mari kita selesaikan masalah mudah yang melibatkan jumlah sebutan bagi janjang geometri.
Seorang pelajar kelas 5A Vasya jatuh sakit akibat selesema, tetapi terus pergi ke sekolah. Setiap hari Vasya menjangkiti dua orang, yang seterusnya menjangkiti dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang dalam kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan sakit dengan selesema?

Jadi, istilah pertama janjang geometri ialah Vasya, iaitu seseorang. Penggal ke-3 janjang geometri ialah dua orang yang dijangkitinya pada hari pertama ketibaannya. jumlah keseluruhan ahli janjang adalah sama dengan bilangan pelajar dalam 5A. Sehubungan itu, kita bercakap tentang perkembangan di mana:

Mari kita gantikan data kita ke dalam formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri:

Seluruh kelas akan jatuh sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya formula dan nombor? Cuba gambarkan sendiri "jangkitan" pelajar. Terjadi? Lihat bagaimana ia kelihatan untuk saya:

Kira sendiri berapa hari yang diperlukan untuk pelajar jatuh sakit dengan selesema jika setiap orang menjangkiti seseorang, dan hanya ada seorang di dalam kelas.

Apakah nilai yang anda dapat? Ternyata semua orang mula sakit selepas sehari.

Seperti yang anda lihat, tugas yang serupa dan lukisan kepadanya menyerupai piramid, di mana setiap satu berikutnya "membawa" orang baru. Walau bagaimanapun, lambat laun tiba masanya apabila yang terakhir tidak dapat menarik sesiapa pun. Dalam kes kita, jika kita membayangkan bahawa kelas itu terpencil, orang dari menutup rantaian (). Oleh itu, jika seseorang itu terlibat dalam piramid kewangan, di mana wang diberikan jika anda membawa dua peserta lain, kemudian orang itu (atau kes am) tidak akan membawa sesiapa, dan oleh itu akan kehilangan semua yang mereka laburkan dalam penipuan kewangan ini.

Semua yang dinyatakan di atas merujuk kepada janjang geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang anda ingat, kami ada jenis istimewa- janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga. Bagaimana untuk mengira jumlah ahlinya? Dan mengapa jenis perkembangan ini ada ciri-ciri tertentu? Mari kita fikirkan bersama.

Jadi, mula-mula, mari kita lihat semula lukisan janjang geometri yang semakin berkurangan dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat formula untuk jumlah janjang geometri, yang diperoleh sedikit lebih awal:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, graf menunjukkan bahawa ia cenderung kepada sifar. Iaitu, pada, akan menjadi hampir sama, masing-masing, apabila mengira ungkapan yang kita akan dapat hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahawa apabila mengira jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga, kurungan ini boleh diabaikan, kerana ia akan sama.

- formula ialah hasil tambah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga.

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika keadaan menyatakan secara eksplisit bahawa kita perlu mencari jumlah tak terhingga bilangan ahli.

Jika nombor tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan formula untuk jumlah n sebutan, walaupun jika atau.

Sekarang mari kita berlatih.

Cari hasil tambah sebutan pertama janjang geometri dengan dan.
Cari hasil tambah sebutan bagi janjang geometri menyusut tak terhingga dengan dan.

Saya harap anda sangat berhati-hati. Mari bandingkan jawapan kami:

Kini anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri, dan sudah tiba masanya untuk beralih dari teori kepada amalan. Masalah janjang geometri yang paling biasa dihadapi pada peperiksaan ialah masalah mengira faedah kompaun. Inilah yang akan kita bincangkan.

Masalah pengiraan faedah kompaun.

Anda mungkin pernah mendengar apa yang dipanggil formula faedah kompaun. Adakah anda faham maksudnya? Jika tidak, mari kita fikirkan, kerana sebaik sahaja anda memahami proses itu sendiri, anda akan segera memahami apa kaitan janjang geometri dengannya.

Kami semua pergi ke bank dan tahu bahawa ada keadaan yang berbeza pada deposit: ini adalah istilah, dan perkhidmatan tambahan, dan faedah dengan dua cara yang berbeza pengiraannya - mudah dan kompleks.

DENGAN minat mudah semuanya lebih kurang jelas: faedah terakru sekali pada akhir tempoh deposit. Iaitu, jika kita mengatakan bahawa kita mendepositkan 100 rubel selama setahun, maka mereka akan dikreditkan hanya pada akhir tahun. Oleh itu, pada akhir deposit kami akan menerima rubel.

Faedah kompaun- ini adalah pilihan di mana ia berlaku permodalan faedah, iaitu penambahan mereka kepada amaun deposit dan pengiraan pendapatan seterusnya bukan dari permulaan, tetapi daripada jumlah deposit terkumpul. Huruf besar tidak berlaku secara berterusan, tetapi dengan beberapa kekerapan. Sebagai peraturan, tempoh tersebut adalah sama dan paling kerap bank menggunakan sebulan, suku atau tahun.

Katakan kita mendepositkan rubel yang sama setiap tahun, tetapi dengan permodalan bulanan deposit. Apa yang kita buat?

Adakah anda memahami segala-galanya di sini? Jika tidak, mari kita fikirkan langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Menjelang akhir bulan, kami sepatutnya mempunyai jumlah dalam akaun kami yang terdiri daripada rubel kami ditambah faedah ke atasnya, iaitu:

Setuju?

Kita boleh mengeluarkannya daripada kurungan dan kemudian kita mendapat:

Setuju, formula ini sudah lebih serupa dengan apa yang kami tulis pada mulanya. Apa yang tinggal ialah memikirkan peratusan

Dalam penyataan masalah kita diberitahu tentang kadar tahunan. Seperti yang anda ketahui, kami tidak mendarab dengan - kami menukar peratusan kepada pecahan perpuluhan, iaitu:

Betul ke? Sekarang anda mungkin bertanya, dari mana datangnya nombor itu? Sangat ringkas!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN faedah yang terakru BULANAN. Seperti yang anda ketahui, dalam satu tahun bulan, sewajarnya, bank akan mengenakan kami sebahagian daripada faedah tahunan setiap bulan:

menyedarinya? Sekarang cuba tulis bagaimana bahagian formula ini akan kelihatan jika saya katakan bahawa faedah dikira setiap hari.
Adakah anda berjaya? Mari bandingkan hasilnya:

Bagus! Mari kembali kepada tugas kami: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke akaun kami pada bulan kedua, dengan mengambil kira faedah terakru pada jumlah deposit terkumpul.
Inilah yang saya dapat:

Atau, dengan kata lain:

Saya fikir anda telah pun melihat corak dan melihat janjang geometri dalam semua ini. Tuliskan jumlah ahlinya, atau, dengan kata lain, jumlah wang yang akan kami terima pada akhir bulan.
Adakah? Jom semak!

Seperti yang anda lihat, jika anda meletakkan wang di bank selama setahun pada kadar faedah yang mudah, anda akan menerima rubel, dan jika pada kadar faedah kompaun, anda akan menerima rubel. Faedahnya kecil, tetapi ini hanya berlaku pada tahun ke-, tetapi untuk lebih tempoh yang panjang permodalan adalah lebih menguntungkan:

Mari lihat satu lagi jenis masalah: faedah kompaun. Selepas apa yang anda fikirkan, ia akan menjadi asas untuk anda. Jadi, tugas:

Syarikat Zvezda mula melabur dalam industri pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak 2001, ia telah menerima keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. Berapakah keuntungan yang akan diterima oleh syarikat Zvezda pada penghujung tahun 2003 jika keuntungan tidak dikeluarkan daripada edaran?

Modal syarikat Zvezda pada tahun 2000.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2001.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2002.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita boleh menulis secara ringkas:

Untuk kes kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Sila ambil perhatian bahawa dalam masalah ini kita tidak mempunyai pembahagian sama ada oleh atau oleh, kerana peratusan diberikan SECARA TAHUNAN dan ia dikira SECARA TAHUNAN. Iaitu, apabila membaca masalah mengenai faedah kompaun, perhatikan berapa peratusan yang diberikan dan dalam tempoh berapa ia dikira, dan hanya kemudian teruskan ke pengiraan.
Sekarang anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri.

Latihan.

Cari sebutan janjang geometri jika diketahui bahawa, dan
Cari hasil tambah sebutan pertama janjang geometri itu jika diketahui bahawa, dan
Syarikat MDM Capital mula melabur dalam industri pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak 2004, ia telah menerima keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. syarikat MSK Aliran tunai"mula melabur dalam industri pada 2005 dalam jumlah $10,000, mula membuat keuntungan pada 2006 dalam jumlah. Berapa banyakkah modal sesebuah syarikat lebih besar daripada yang lain pada akhir tahun 2007, jika keuntungan tidak dikeluarkan daripada edaran?

Jawapan:

Oleh kerana penyataan masalah tidak mengatakan bahawa perkembangan adalah tidak terhingga dan anda perlu mencari jumlahnya nombor tertentu anggotanya, maka pengiraan dilakukan mengikut formula:
Syarikat Modal MDM:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- meningkat sebanyak 100% iaitu 2 kali ganda.
Masing-masing:
rubel
Syarikat MSK Aliran Tunai:
2005, 2006, 2007.
- meningkat dengan, iaitu, mengikut masa.
Masing-masing:
rubel
rubel

Mari kita ringkaskan.

1) Janjang geometri ( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

2) Persamaan sebutan bagi janjang geometri ialah .

3) boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan.

jika, maka semua istilah janjang berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka adalah positif;
jika, maka semua terma janjang berikutnya tanda ganti;
apabila - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

4), dengan - sifat janjang geometri (istilah bersebelahan)

atau
, pada (istilah sama jarak)

Apabila anda menemuinya, jangan lupa itu mesti ada dua jawapan.

Sebagai contoh,

5) Jumlah sebutan bagi janjang geometri dikira dengan formula:
atau

Jika janjang menurun secara tidak terhingga, maka:
atau

6) Masalah yang melibatkan faedah kompaun juga dikira menggunakan formula bagi sebutan ke-satu janjang geometri, dengan syarat tunai tidak ditarik balik daripada peredaran:

KEMAJUAN GEOMETRI. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Janjang geometri( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

Penyebut janjang geometri boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan.

Jika, maka semua terma perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - ia adalah positif;
jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya tanda ganti;
apabila - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

Persamaan sebutan janjang geometri - .

Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri dikira dengan formula:
atau

JURUTAN NOMER VI

§ l48. Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga

Sehingga kini, apabila bercakap tentang jumlah, kita selalu menganggap bahawa bilangan istilah dalam jumlah ini adalah terhingga (contohnya, 2, 15, 1000, dll.). Tetapi apabila menyelesaikan beberapa masalah (terutamanya matematik yang lebih tinggi) seseorang itu perlu berurusan dengan hasil tambah bilangan sebutan yang tidak terhingga

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Apakah jumlah ini? A-priory hasil tambah bilangan sebutan yang tidak terhingga a 1 , a 2 , ..., a n , ... dipanggil had jumlah S n pertama P nombor apabila P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Had (2), sudah tentu, mungkin wujud atau tidak. Sehubungan itu, mereka mengatakan bahawa jumlah (1) wujud atau tidak wujud.

Bagaimanakah kita dapat mengetahui sama ada jumlah (1) wujud dalam setiap satu kes tertentu? Keputusan bersama Isu ini melangkaui skop program kami. Walau bagaimanapun, ada satu yang penting kes istimewa, yang kini perlu kita pertimbangkan. Kita akan bercakap tentang menjumlahkan terma bagi janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

biarlah a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... ialah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga. Ini bermakna bahawa | q |< 1. Сумма первых P syarat perkembangan ini adalah sama

Daripada teorem utama tentang had pembolehubah(lihat § 136) kita dapat:

Tetapi 1 = 1, a qn = 0. Oleh itu

Jadi, hasil tambah suatu janjang geometri yang menyusut tak terhingga adalah sama dengan sebutan pertama janjang ini dibahagikan dengan satu tolak penyebut janjang ini.

1) Jumlah janjang geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... adalah sama dengan

dan hasil tambah janjang geometri ialah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama

2) Mudah pecahan berkala 0.454545 ... tukar kepada biasa.

Untuk menyelesaikan masalah ini, mari kita bayangkan pecahan yang diberi sebagai jumlah tak terhingga:

Sisi kanan kesamaan ini ialah hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga, sebutan pertamanya bersamaan dengan 45/100, dan penyebutnya ialah 1/100. sebab tu

Menggunakan kaedah yang diterangkan, peraturan am untuk menukar pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa boleh diperolehi (lihat Bab II, § 38):

Untuk menukar pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa, anda perlu melakukan perkara berikut: letakkan noktah dalam pengangka perpuluhan, dan penyebutnya ialah nombor yang terdiri daripada sembilan diambil seberapa banyak kali bilangan digit dalam tempoh pecahan perpuluhan.

3) Tukarkan pecahan berkala bercampur 0.58333 .... kepada pecahan biasa.

Mari kita bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Di sebelah kanan kesamaan ini, semua sebutan, bermula dari 3/1000, membentuk janjang geometri menyusut tak terhingga, sebutan pertamanya bersamaan dengan 3/1000, dan penyebutnya ialah 1/10. sebab tu

Menggunakan kaedah yang diterangkan, peraturan am untuk menukar pecahan berkala campuran kepada pecahan biasa boleh diperolehi (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak membentangkannya di sini. Tidak perlu mengingati peraturan yang rumit ini. Adalah lebih berguna untuk mengetahui bahawa mana-mana pecahan berkala bercampur boleh diwakili sebagai hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga dan nombor tertentu. Dan formulanya

untuk jumlah janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga, anda mesti, sudah tentu, ingat.

Sebagai latihan, kami mencadangkan anda, sebagai tambahan kepada masalah No. 995-1000 yang diberikan di bawah, sekali lagi beralih kepada masalah No. 301 § 38.

Senaman

995. Apakah yang dipanggil hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga?

996. Cari hasil tambah janjang geometri menurun tak terhingga:

997. Pada nilai apa X perkembangan

adakah ia semakin berkurangan? Cari jumlah janjang sedemikian.

998.V segi tiga sama sisi dengan sebelah A ditulis dengan menyambung titik tengah sisinya segi tiga baru; segi tiga baharu ditulis dalam segi tiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum.

a) jumlah perimeter semua segi tiga ini;

b) jumlah kawasan mereka.

999. Segi empat dengan sisi A ditulis dengan menyambung titik tengah sisinya persegi baru; segi empat sama ditulis dalam petak ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Cari hasil tambah perimeter semua segi empat sama ini dan hasil tambah luasnya.

1000. Susun suatu janjang geometri yang menyusut tak terhingga supaya hasil tambahnya adalah sama dengan 25/4, dan hasil tambah kuasa dua sebutannya adalah sama dengan 625/24.

Dengan memperkenalkan notasi pada permulaan bab, kami dengan bijak mengelak persoalan jumlah tak terhingga dengan pada dasarnya berkata, “Mari kita tinggalkan itu untuk kemudian. Sementara itu, kita boleh mengandaikan bahawa semua jumlah yang berlaku hanya mempunyai bilangan terhingga sebutan bukan sifar! Tetapi masa perhitungan akhirnya tiba - kita mesti menghadapi hakikat itu

jumlahnya boleh menjadi tidak terhingga. Dan untuk memberitahu kebenaran, jumlah yang tidak terhingga disertai dengan keadaan yang menyenangkan dan tidak menyenangkan.

Pertama, tentang yang tidak menyenangkan: ternyata kaedah yang kami gunakan semasa mengendalikan jumlah tidak selalu sah untuk jumlah yang tidak terhingga. Dan sekarang untuk perkara yang baik: ada yang luas kelas yang diatur jumlah yang tidak berkesudahan, yang mana semua operasi yang kami lakukan adalah sah sepenuhnya. Sebab di sebalik kedua-dua keadaan akan menjadi jelas selepas kita mengetahui maksud sebenar penjumlahan.

Semua orang tahu apa itu jumlah akhir: kami menambah semua istilah kepada jumlah, satu demi satu, sehingga semuanya berjumlah. Tetapi jumlah yang tidak terhingga harus ditentukan dengan lebih teliti supaya tidak mendapat masalah.

adalah sama dengan 2, kerana apabila kita menggandakannya kita mendapat

Tetapi kemudian, mengikut logik yang sama, kita perlu mengira jumlahnya

sama dengan -1, kerana apabila kita menggandakannya kita dapat

Sesuatu yang pelik sedang berlaku: bagaimana anda boleh mendapatkannya nombor negatif, merumuskan nilai positif? Nampaknya lebih baik untuk membiarkan jumlah T tidak ditentukan, dan mungkin kita harus mengandaikan bahawa oleh kerana sebutan dalam T menjadi lebih besar daripada sebarang nombor terhingga tetap. (Perhatikan bahawa kuantiti adalah satu lagi "penyelesaian" kepada persamaan; ia juga "menyelesaikan" persamaan

Mari cuba berikan takrifan yang betul tentang nilai jumlah arbitrari di mana set K boleh menjadi tak terhingga. Sebagai permulaan, anggap semua istilah a adalah bukan negatif. Dalam kes ini definisi yang sesuai tidak sukar dicari: jika bagi mana-mana subset terhingga terdapat pemalar pengehad A sedemikian

maka kita ambil jumlahnya sebagai yang terkecil daripada semua A tersebut. (Seperti berikut daripada sifat terkenal nombor nyata, set semua A tersebut sentiasa mengandungi unsur terkecil.) Tetapi jika pemalar pengehad A tidak wujud. , kami ambil ini bermaksud bahawa jika A -

beberapa nombor nyata, maka terdapat beberapa bilangan terhingga bagi a, jumlahnya melebihi A.

Takrifan dalam perenggan sebelumnya dirumuskan dengan sangat halus sehingga tidak bergantung pada sebarang susunan yang mungkin wujud dalam set indeks K. Oleh itu, hujah yang akan kami berikan akan sah bukan sahaja untuk jumlah ke atas set integer, tetapi juga untuk jumlah berbilang dengan banyak indeks

Khususnya, apabila K ialah set integer bukan negatif, takrifan kami untuk istilah bukan negatif a bermakna bahawa

Dan inilah sebabnya: mana-mana jujukan nombor nyata yang tidak berkurangan mempunyai had (mungkin sama dengan Jika had ini sama, beberapa set terhingga integer bukan negatif, yang kesemuanya kemudian; oleh itu, sama ada atau A ialah pemalar mengehad. Tetapi jika A adalah beberapa nombor kurang sempadan yang ditetapkan A, maka terdapat sedemikian rupa sehingga, sebagai tambahan, set terhingga membuktikan fakta bahawa A bukanlah pemalar had.

Kini anda boleh mengira dengan mudah magnitud jumlah tak terhingga tertentu mengikut definisi yang diberikan. Sebagai contoh, jika kemudian

Khususnya, jumlah tak terhingga dan T, yang telah dibincangkan sebentar tadi, adalah sama dengan 2 dan, masing-masing, seperti yang kita jangkakan. Satu lagi contoh yang patut diberi perhatian:

Sekarang mari kita pertimbangkan kes apabila, bersama-sama dengan jumlah bukan negatif, jumlah itu boleh mengandungi istilah negatif. Apa, sebagai contoh, sepatutnya jumlah

Jika kita mengumpulkan istilah dalam pasangan, kita mendapat:

jadi jumlahnya ternyata sama dengan sifar; tetapi jika kita mula mengumpulkan kepada pasangan selangkah kemudian, kita dapat

iaitu jumlahnya sama dengan satu.

Kita juga boleh cuba memasukkan formula kerana kita tahu bahawa formula ini sah untuk tetapi kemudian kita akan dipaksa untuk mengakui bahawa jumlah tak terhingga ini adalah sama kerana ia adalah jumlah integer!

Contoh lain yang menarik ialah jumlah tak terhingga dalam kedua-dua arah di mana pada k 0 dan pada E boleh ditulis sebagai

Jika kita mengira jumlah ini dengan bermula dari elemen "pusat" dan bergerak ke luar,

maka kita mendapat 1; dan kita mendapat 1 yang sama jika kita mengalihkan semua kurungan satu elemen ke kiri,

kerana hasil tambah semua nombor yang disertakan dalam kurungan dalam ialah

Penaakulan yang sama menunjukkan bahawa nilai jumlah tetap sama dengan 1 jika kurungan ini dialihkan sebarang nombor tetap elemen ke kiri atau ke kanan - ini menguatkan pendapat kami bahawa jumlah itu benar-benar sama dengan 1. Tetapi, sebaliknya, jika kami mengumpulkan terma seperti berikut:

maka pasangan kurungan dalam akan mengandungi nombor

Dalam ch. 9 ia akan ditunjukkan bahawa, oleh itu, kaedah ini pengelompokan membawa kepada idea bahawa jumlah yang tidak terhingga dalam kedua-dua arah sebenarnya sepatutnya sama dengan

Terdapat sesuatu yang tidak bermakna tentang jumlah yang memberi makna yang berbeza apabila menambah ahlinya cara yang berbeza. Manual analisis moden termasuk keseluruhan baris takrifan yang mana makna bermakna diberikan kepada jumlah patologi sedemikian; tetapi jika kita meminjam definisi ini, kita tidak akan dapat beroperasi dengan -notasi sebebas yang telah kita lakukan setakat ini. Tujuan buku ini adalah sedemikian rupa sehingga kita tidak memerlukan penjelasan yang halus tentang konsep itu " penumpuan bersyarat" - kami akan mematuhi takrifan jumlah tak terhingga sedemikian, yang meninggalkan berkuat kuasa semua operasi yang kami gunakan dalam bab ini.

Pada dasarnya, takrifan jumlah tak terhingga kami agak mudah. Biarkan K ialah satu set dan biarkan a ialah sebutan nilai sebenar bagi jumlah yang ditakrifkan bagi setiap . (Malah, ia boleh bermakna beberapa indeks supaya set K itu sendiri boleh menjadi multidimensi.) Sebarang nombor nyata x boleh diwakili sebagai perbezaan bahagian positif dan negatifnya,

(Sama ada atau Kami telah menjelaskan bagaimana untuk menentukan magnitud jumlah tak terhingga kerana ia bukan negatif. Oleh itu, kami definisi umum Adakah ini:

melainkan jika kedua-dua jumlah di sebelah kanan adalah sama. DALAM kes yang terakhir Jumlah Hlek masih tidak pasti.

Biarkan Tskekak dan Jika jumlahnya adalah terhingga, maka mereka mengatakan bahawa jumlah itu menumpu secara mutlak kepada . Jika ia terhingga, maka mereka mengatakan bahawa jumlah itu menyimpang kepada Begitu juga, jika ia adalah terhingga, maka mereka mengatakan bahawa ia menyimpang kepada Jika, maka mereka tidak berkata apa-apa.

Kami bermula dengan definisi yang "berfungsi" untuk istilah bukan negatif jumlah itu, dan kemudian melanjutkannya kepada mana-mana istilah bernilai sebenar Jika ahli jumlah itu ialah nombor kompleks, maka definisi kami jelas boleh dilanjutkan kepada kes ini. jumlah ditakrifkan sebagai - bahagian nyata dan khayalan a, dengan syarat kedua-dua jumlah ini wujud dalam B. sebaliknya jumlah Hkek tidak ditentukan. (Lihat latihan 18.)

Perkara yang malang, seperti yang telah disebutkan, adalah bahawa beberapa jumlah yang tidak terhingga harus dibiarkan tidak ditentukan kerana operasi yang kami lakukan dengan mereka boleh membawa kepada kemustahilan. (Lihat latihan 34.) Perkara yang menarik ialah semua operasi daripada bab ini adalah benar-benar sah apabila kita berurusan dengan jumlah yang benar-benar bertumpu dalam erti kata yang baru ditubuhkan.

Kami boleh mengesahkan fakta yang menggembirakan ini dengan menunjukkan bahawa setiap peraturan penjelmaan jumlah kami membiarkan magnitud sebarang jumlah tertumpu mutlak tidak berubah. Secara lebih khusus, ini bermakna seseorang itu harus menyemak pemenuhan undang-undang pengagihan, gabungan dan komutatif, ditambah dengan peraturan yang mana seseorang boleh mula menjumlahkan sebarang pembolehubah; semua yang kami lakukan dalam bab ini boleh diperoleh daripada empat operasi jumlah asas ini.

Undang-undang pengagihan (2.15) boleh dirumuskan dengan lebih tegas seperti berikut: jika jumlah Xek a menumpu secara mutlak kepada dan jika c ialah beberapa nombor kompleks, maka Lkek benar-benar menumpu kepada Ini boleh dibuktikan dengan membahagikan terlebih dahulu jumlah kepada nyata dan khayalan, kemudian kepada bahagian positif dan negatif, seperti yang mereka lakukan sebelum ini, dan membuktikan kes khas apabila setiap istilah jumlah itu bukan negatif. Bukti dalam kes tertentu ini berfungsi kerana fakta bahawa untuk mana-mana set terhingga fakta terakhir boleh dibuktikan dengan induksi pada saiz set

Undang-undang gabungan(2.16) boleh dirumuskan seperti berikut: jika jumlah itu menumpu secara mutlak kepada A dan B, masing-masing, maka jumlah itu secara mutlak menumpu kepada Ternyata ini adalah kes khas lebih teorem am, yang akan kami buktikan sebentar lagi.

Sebenarnya tidak ada keperluan untuk membuktikan undang-undang komutatif (2.17), kerana apabila membincangkan formula (2.35) kami menunjukkan bagaimana untuk mendapatkannya sebagai kes khas peraturan Am perubahan dalam susunan penjumlahan.

Takrif dan sifat bagi fungsi tak terhingga dan besar tak terhingga pada satu titik. Bukti sifat dan teorem. Hubungan antara fungsi infinitesimal dan infinite large.

Takrifan fungsi infinitesimal dan infinitesimal

Biarkan x 0 ialah titik terhingga atau tak terhingga: ∞, -∞ atau +∞.

Definisi fungsi infinitesimal
Fungsi α (x) dipanggil sangat kecil kerana x cenderung kepada x 0 0 , dan ia sama dengan sifar:
.

Definisi fungsi yang tidak terhingga besar
Fungsi f (x) dipanggil besar tak terhingga kerana x cenderung kepada x 0 , jika fungsi mempunyai had sebagai x → x 0 , dan ia sama dengan infiniti:
.

Sifat-sifat fungsi infinitesimal

Sifat hasil tambah, beza dan hasil darab bagi fungsi yang sangat kecil

Jumlah, perbezaan dan hasil bilangan terhingga bagi fungsi terhingga sebagai x → x 0 ialah fungsi tak terhingga sebagai x → x 0 .

Sifat ini adalah akibat langsung daripada sifat aritmetik bagi had sesuatu fungsi.

Teorem produk fungsi terhad kepada sangat kecil

Hasil bagi fungsi yang dibatasi pada beberapa kejiranan tertusuk titik x 0 , hingga tak terhingga, sebagai x → x 0 , ialah fungsi infinitesimal sebagai x → x 0 .

Sifat mewakili fungsi sebagai jumlah pemalar dan fungsi kecil tak terhingga

Agar fungsi f (x) telah had akhir, ia adalah perlu dan mencukupi untuk
,
di mana - tidak terhingga fungsi kecil sebagai x → x 0 .

Sifat-sifat fungsi yang tidak terhingga besar

Teorem pada hasil tambah fungsi bersempadan dan besar tak terhingga

Jumlah atau perbezaan fungsi sempadan pada beberapa kejiranan tertusuk titik x 0 , dan fungsi besar tak terhingga, sebagai x → x 0 , adalah tidak terhingga fungsi yang hebat sebagai x → x 0 .

Teorem pembahagian fungsi berhad dengan besar tak terhingga

Jika fungsi f (x) besar tak terhingga sebagai x → x 0 , dan fungsi g (x)- adalah terhad pada beberapa kejiranan tertusuk titik x 0 , Itu
.

Teorem tentang pembahagian fungsi yang dibatasi di bawahnya dengan yang sangat kecil

Jika suatu fungsi , pada beberapa kejiranan tertusuk titik , oleh nilai mutlak bersempadan di bawah nombor positif:
,
dan fungsinya adalah sangat kecil seperti x → x 0 :
,
dan terdapat kejiranan tertusuk titik di mana , kemudian
.

Harta ketaksamaan fungsi yang tidak terhingga besar

Jika fungsi itu besar tidak terhingga pada:
,
dan fungsi dan , pada beberapa kejiranan tertusuk titik memenuhi ketaksamaan:
,
maka fungsinya juga besar tak terhingga pada:
.

Hartanah ini mempunyai dua kes khas.

Biarkan, pada beberapa kejiranan tertusuk titik , berfungsi dan memenuhi ketaksamaan:
.
Kemudian jika , maka dan .
Jika , maka dan .

Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan tidak terhingga

Daripada dua sifat sebelumnya mengikuti hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil.

Jika suatu fungsi adalah besar tak terhingga pada , maka fungsi itu adalah sangat kecil pada .

Jika suatu fungsi adalah sangat kecil untuk , dan , maka fungsi itu adalah besar tak terhingga untuk .

Hubungan antara fungsi infinitesimal dan infinites large boleh dinyatakan secara simbolik:
, .

Jika fungsi infinitesimal mempunyai tanda tertentu di , iaitu, ia adalah positif (atau negatif) pada beberapa kejiranan tertusuk titik , maka kita boleh menulisnya seperti ini:
.
Dengan cara yang sama, jika fungsi besar tak terhingga mempunyai tanda tertentu di , maka mereka menulis:
, atau .

Kemudian hubungan simbolik antara fungsi kecil dan besar tak terhingga boleh ditambah dengan hubungan berikut:
, ,
, .

Formula tambahan, memautkan simbol infiniti boleh didapati pada halaman
"Menunjuk pada infiniti dan sifatnya."

Bukti sifat dan teorem

Bukti teorem pada hasil darab fungsi terikat dan yang sangat kecil

Biarkan fungsi menjadi besar tidak terhingga untuk:
.
Dan biarkan ada kejiranan tertusuk titik di mana
di .

Mari kita ambil urutan arbitrari yang menumpu kepada . Kemudian, bermula dari beberapa nombor N, unsur-unsur jujukan akan tergolong dalam kejiranan ini:
di .
Kemudian
di .

Mengikut takrifan had sesuatu fungsi menurut Heine,
.
Kemudian, dengan sifat ketaksamaan jujukan besar tak terhingga,
.
Oleh kerana jujukan adalah sewenang-wenangnya, menumpu kepada , maka, dengan takrifan had fungsi mengikut Heine,
.

Harta tersebut telah terbukti.

Rujukan:
L.D. Kudryavtsev. Nah analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 2003.

Untuk mengira hasil tambah suatu siri, anda hanya perlu menambah elemen baris beberapa kali. Sebagai contoh:

Dalam contoh di atas, ini dilakukan dengan sangat mudah, kerana ia perlu dijumlahkan beberapa kali terhingga. Tetapi bagaimana jika had atas penjumlahan ialah infiniti? Sebagai contoh, jika kita perlu mencari jumlah siri berikut:

Dengan analogi dengan contoh sebelumnya, kita boleh menulis jumlah ini seperti ini:

Tetapi apa yang perlu dilakukan seterusnya?! Pada peringkat ini adalah perlu untuk memperkenalkan konsep jumlah separa barisan. Jadi, hasil tambah separa siri(ditandakan S n) ialah hasil tambah n sebutan pertama siri itu. Itu. dalam kes kami:

Kemudian jumlah siri asal boleh dikira sebagai had jumlah separa:

Justeru, untuk mengira jumlah siri, entah bagaimana perlu mencari ungkapan bagi jumlah separa siri (S n ). Dalam kes tertentu kami, siri ini ialah janjang geometri yang semakin berkurangan dengan penyebut 1/3. Seperti yang anda ketahui, jumlah n unsur pertama janjang geometri dikira dengan formula:

di sini b 1 ialah elemen pertama janjang geometri (dalam kes kami ialah 1) dan q ialah penyebut janjang itu (dalam kes kami 1/3). Oleh itu, jumlah separa S n untuk siri kami adalah sama dengan:

Maka jumlah siri kami (S) mengikut definisi yang diberikan di atas adalah sama dengan:

Contoh yang dibincangkan di atas agak mudah. Biasanya, mengira jumlah siri adalah lebih sukar dan kesukaran yang paling besar terletak pada mencari jumlah separa siri itu. Ditampilkan di bawah kalkulator dalam talian, berdasarkan sistem Wolfram Alpha, membolehkan anda mengira jumlah siri yang agak kompleks. Lebih-lebih lagi, jika kalkulator tidak dapat mencari jumlah siri, kemungkinan besar siri ini adalah divergen (dalam kes ini kalkulator memaparkan mesej seperti "jumlah diverges"), i.e. Kalkulator ini juga secara tidak langsung membantu mendapatkan gambaran tentang penumpuan siri.

Untuk mencari jumlah siri anda, anda mesti menentukan pembolehubah siri, yang lebih rendah dan had atas penjumlahan, serta ungkapan untuk sebutan ke-n siri (iaitu, ungkapan sebenar untuk siri itu sendiri).