Belajar logaritma dari awal. Sifat logaritma dan contoh penyelesaiannya

(dari bahasa Yunani λόγος - "perkataan", "hubungan" dan ἀριθμός - "nombor") nombor b berdasarkan a(log α b) dipanggil nombor sedemikian c, Dan b= a c, iaitu rekod log α b=c Dan b=ac adalah setara. Logaritma masuk akal jika a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Dalam kata lain logaritma nombor b berdasarkan A dirumuskan sebagai eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan a untuk mendapatkan nombor b(logaritma hanya wujud untuk nombor positif).

Daripada rumusan ini, pengiraan x= log α b, adalah bersamaan dengan menyelesaikan persamaan a x =b.

Sebagai contoh:

log 2 8 = 3 kerana 8 = 2 3 .

Mari kita tekankan bahawa rumusan logaritma yang ditunjukkan memungkinkan untuk menentukan dengan segera nilai logaritma, apabila nombor di bawah tanda logaritma bertindak sebagai beberapa kuasa asas. Sesungguhnya, perumusan logaritma memungkinkan untuk mewajarkan bahawa jika b=a c, kemudian logaritma nombor itu b berdasarkan a sama Dengan. Jelas juga bahawa topik logaritma berkait rapat dengan topik tersebut kuasa sesuatu nombor.

Mengira logaritma dipanggil logaritma. Logaritma ialah operasi matematik mengambil logaritma. Apabila mengambil logaritma, hasil darab faktor diubah menjadi jumlah sebutan.

Potensi ialah operasi matematik songsang bagi logaritma. Semasa potensiasi, asas tertentu dinaikkan kepada tahap ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam kes ini, jumlah istilah diubah menjadi hasil darab faktor.

Selalunya, logaritma sebenar digunakan dengan asas 2 (perduaan), nombor Euler e ≈ 2.718 (logaritma asli) dan 10 (perpuluhan).

hidup di fasa ini adalah dinasihatkan untuk dipertimbangkan sampel logaritma log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Dan entri lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 tidak masuk akal, kerana pada yang pertama nombor negatif diletakkan di bawah tanda logaritma, di yang kedua - nombor negatif di pangkalan, dan di ketiga - kedua-dua nombor negatif di bawah tanda logaritma dan unit dalam pangkalan.

Syarat untuk menentukan logaritma.

Perlu dipertimbangkan secara berasingan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0. di mana kita mendapat definisi logaritma. Mari kita lihat mengapa sekatan ini diambil. Kesamaan bentuk x = log α akan membantu kita dengan ini b, dipanggil identiti logaritma asas, yang secara langsung mengikut takrifan logaritma yang diberikan di atas.

Jom ambil syarat a≠1. Oleh kerana satu kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan satu, kesamaan x=log α b hanya boleh wujud apabila b=1, tetapi log 1 1 akan menjadi sebarang nombor nyata. Untuk menghapuskan kekaburan ini, kami ambil a≠1.

Mari kita buktikan keperluan syarat itu a>0. Pada a=0 mengikut rumusan logaritma boleh wujud hanya apabila b=0. Dan sewajarnya kemudian log 0 0 boleh menjadi sebarang nombor nyata bukan sifar, kerana sifar kepada mana-mana kuasa bukan sifar adalah sifar. Kekaburan ini boleh dihapuskan dengan syarat a≠0. Dan bila a<0 kita perlu menolak analisis nilai rasional dan tidak rasional logaritma, kerana ijazah dengan eksponen rasional dan tidak rasional ditakrifkan hanya untuk asas bukan negatif. Atas sebab inilah syarat itu ditetapkan a>0.

DAN syarat terakhir b>0 berikutan daripada ketidaksamaan a>0, kerana x=log α b, dan nilai darjah dengan asas positif a sentiasa positif.

Ciri-ciri logaritma.

Logaritma bercirikan tersendiri ciri-ciri, yang membawa kepada penggunaan meluas untuk memudahkan pengiraan yang teliti. Apabila bergerak "ke dunia logaritma," pendaraban diubah dengan lebih banyak lagi mudah dilipat, bahagi ialah penolakan, dan eksponen dan pengekstrakan akar diubah, masing-masing, kepada pendaraban dan pembahagian oleh eksponen.

Perumusan logaritma dan jadual nilainya (untuk fungsi trigonometri) pertama kali diterbitkan pada tahun 1614 oleh ahli matematik Scotland John Napier. Jadual logaritma, diperbesar dan diperincikan oleh saintis lain, digunakan secara meluas dalam pengiraan saintifik dan kejuruteraan, dan kekal relevan sehingga penggunaan kalkulator elektronik dan komputer.

Logaritma sesuatu nombor N berdasarkan A dipanggil eksponen X , yang anda perlu bina A untuk mendapatkan nombor N

Dengan syarat itu
,
,

Daripada takrifan logaritma ia mengikutinya
, iaitu
- kesamaan ini ialah identiti logaritma asas.

Logaritma kepada asas 10 dipanggil logaritma perpuluhan. Sebaliknya
menulis
.

Logaritma kepada pangkalan e dipanggil semula jadi dan ditetapkan
.

Sifat asas logaritma.

Logaritma satu dalam mana-mana asas sama dengan sifar

Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma faktor.

3) Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma

Faktor
dipanggil modulus peralihan daripada logaritma ke tapak a kepada logaritma di pangkalan b .

Menggunakan sifat 2-5, selalunya mungkin untuk mengurangkan logaritma ungkapan kompleks kepada hasil operasi aritmetik mudah pada logaritma.

Sebagai contoh,

Penjelmaan logaritma sedemikian dipanggil logaritma. Transformasi songsang kepada logaritma dipanggil potensiasi.

Bab 2. Unsur-unsur matematik yang lebih tinggi.

1. Had

Had fungsi
ialah nombor terhingga A jika, sebagai xx 0 bagi setiap yang telah ditetapkan
, terdapat nombor sedemikian
bahawa sebaik sahaja
, Itu
.

Fungsi yang mempunyai had berbeza daripadanya dengan jumlah yang sangat kecil:
, di mana- b.m.v., i.e.
.

Contoh. Pertimbangkan fungsinya
.

Apabila berusaha
, fungsi y cenderung kepada sifar:

1.1. Teorem asas tentang had.

Had nilai tetap sama dengan nilai malar ini

Had amaun (perbezaan). nombor terhingga fungsi adalah sama dengan jumlah (perbezaan) had fungsi ini.

Had hasil darab bilangan fungsi terhingga sama dengan produk had fungsi ini.

Had hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan hasil bagi had fungsi ini jika had penyebutnya bukan sifar.

Had Hebat

,
, Di mana

1.2. Contoh Pengiraan Had

Walau bagaimanapun, tidak semua had dikira dengan begitu mudah. Lebih kerap, pengiraan had adalah untuk mendedahkan ketidakpastian jenis: atau .

2. Terbitan bagi fungsi

Mari kita mempunyai fungsi
, berterusan pada segmen
.

Hujah mendapat sedikit peningkatan
. Kemudian fungsi akan menerima kenaikan
.

Nilai hujah sepadan dengan nilai fungsi
.

Nilai hujah
sepadan dengan nilai fungsi.

Oleh itu, .

Mari kita cari had nisbah ini pada
. Jika had ini wujud, maka ia dipanggil derivatif bagi fungsi yang diberikan.

Definisi 3 Terbitan bagi fungsi yang diberi
dengan hujah dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah, apabila kenaikan hujah secara sewenang-wenangnya cenderung kepada sifar.

Terbitan fungsi
boleh ditetapkan seperti berikut:

; ; ; .

Definisi 4Operasi mencari terbitan bagi suatu fungsi dipanggil pembezaan.

2.1. Makna mekanikal derivatif.

Mari kita pertimbangkan gerakan rectilinear beberapa badan tegar atau titik bahan.

Biarkan pada satu ketika titik bergerak
berada di kejauhan dari kedudukan permulaan
.

Selepas beberapa tempoh masa
dia bergerak jauh
. Sikap =- kelajuan purata titik material
. Mari kita cari had nisbah ini, dengan mengambil kira itu
.

Oleh itu, definisi kelajuan serta merta pergerakan titik material turun untuk mencari terbitan laluan berkenaan dengan masa.

2.2. Makna geometri terbitan

Marilah kita mempunyai fungsi yang ditakrifkan secara grafik
.

nasi. 1. Makna geometri terbitan

Jika
, kemudian tunjuk
, akan bergerak di sepanjang lengkung, menghampiri titik
.

Oleh itu
, iaitu nilai terbitan untuk nilai argumen tertentu secara berangka sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh tangen pada titik tertentu dengan arah positif paksi
.

2.3. Jadual formula pembezaan asas.

Fungsi kuasa

Fungsi eksponen

Fungsi logaritma

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri songsang

2.4. Peraturan pembezaan.

Terbitan daripada

Terbitan hasil tambah (perbezaan) fungsi

Terbitan hasil darab dua fungsi

Terbitan hasil bagi dua fungsi

2.5. Terbitan daripada fungsi kompleks.

Biarkan fungsi diberikan
supaya ia boleh diwakili dalam bentuk

Dan
, di mana pembolehubah adalah hujah perantaraan, maka

Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi yang diberikan berkenaan dengan hujah perantaraan dan terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan x.

Contoh 1.

Contoh 2.

3. Fungsi pembezaan.

Biarlah ada
, boleh dibezakan pada beberapa selang
lepaskan di fungsi ini mempunyai terbitan

barulah kita boleh menulis

(1),

di mana - kuantiti yang tidak terhingga,

sejak bila

Mendarab semua sebutan kesamaan (1) dengan
kami ada:

di mana
- b.m.v. perintah yang lebih tinggi.

Magnitud
dipanggil pembezaan fungsi
dan ditetapkan

3.1. Nilai geometri pembezaan.

Biarkan fungsi diberikan
.

Rajah.2. Makna geometri pembezaan.

Jelas sekali, perbezaan fungsi
adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen pada titik tertentu.

3.2. Derivatif dan pembezaan pelbagai pesanan.

Jika ada
, Kemudian
dipanggil terbitan pertama.

Terbitan terbitan pertama dipanggil terbitan tertib kedua dan ditulis
.

Terbitan susunan ke-n bagi fungsi
dipanggil derivatif tertib (n-1) dan ditulis:

Pembezaan pembezaan fungsi dipanggil pembezaan kedua atau pembezaan tertib kedua.

.

.

3.3 Menyelesaikan masalah biologi menggunakan pembezaan.

Tugasan 1. Kajian telah menunjukkan bahawa pertumbuhan koloni mikroorganisma mematuhi undang-undang
, Di mana N – bilangan mikroorganisma (dalam ribuan), t – masa (hari).

b) Adakah penduduk koloni akan bertambah atau berkurang dalam tempoh ini?

Jawab. Saiz koloni akan bertambah.

Tugasan 2. Air di tasik diuji secara berkala untuk memantau kandungan bakteria patogen. Melalui t hari selepas ujian, kepekatan bakteria ditentukan oleh nisbah

Bilakah tasik akan mempunyai kepekatan minimum bakteria dan adakah mungkin untuk berenang di dalamnya?

Penyelesaian: Fungsi mencapai maks atau min apabila terbitannya ialah sifar.

Mari tentukan maks atau min dalam masa 6 hari. Untuk melakukan ini, mari kita ambil terbitan kedua.

Jawapan: Selepas 6 hari akan ada kepekatan minimum bakteria.

Salah satu unsur algebra aras primitif ialah logaritma. Nama berasal dari bahasa Yunani daripada perkataan "nombor" atau "kuasa" dan bermaksud sejauh mana nombor dalam pangkalan mesti dinaikkan untuk mencari nombor akhir.

Jenis-jenis logaritma

log a b – logaritma nombor b ke asas a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b – logaritma perpuluhan (logaritma hingga asas 10, a = 10);
ln b – logaritma asli (logaritma kepada asas e, a = e).

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Logaritma b kepada asas a ialah eksponen yang memerlukan b dinaikkan kepada asas a. Hasil yang diperolehi disebut seperti ini: "logaritma b ke asas a." Penyelesaian kepada masalah logaritma ialah anda perlu menentukan kuasa yang diberikan dalam nombor dengan nombor yang ditunjukkan. Terdapat beberapa peraturan asas untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta menukar tatatanda itu sendiri. Menggunakan mereka, penyelesaian dibuat persamaan logaritma, terbitan ditemui, kamiran diselesaikan, dan banyak operasi lain dilakukan. Pada asasnya, penyelesaian kepada logaritma itu sendiri ialah tatatanda yang dipermudahkan. Berikut adalah formula dan sifat asas:

Untuk mana-mana a ; a > 0; a ≠ 1 dan untuk sebarang x ; y > 0.

a log a b = b – asas identiti logaritma
log a 1 = 0
loga a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , untuk k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – formula untuk berpindah ke pangkalan baharu
log a x = 1/log x a

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma - arahan langkah demi langkah untuk menyelesaikan

Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.

Sila ambil perhatian: jika logaritma asas ialah 10, maka entri dipendekkan, menghasilkan logaritma perpuluhan. Jika ia berbaloi nombor asli e, kemudian kita menulisnya, mengurangkannya kepada logaritma asli. Ini bermakna hasil semua logaritma ialah kuasa yang mana nombor asas dinaikkan untuk mendapatkan nombor b.

Secara langsung, penyelesaiannya terletak pada pengiraan darjah ini. Sebelum menyelesaikan ungkapan dengan logaritma, ia mesti dipermudahkan mengikut peraturan, iaitu, menggunakan formula. Anda boleh mencari identiti utama dengan kembali sedikit dalam artikel.

Menambah dan menolak logaritma dengan dua nombor yang berbeza, tetapi dengan asas yang sama, gantikan dengan satu logaritma dengan hasil darab atau pembahagian nombor b dan c, masing-masing. Dalam kes ini, anda boleh menggunakan formula untuk berpindah ke pangkalan lain (lihat di atas).

Jika anda menggunakan ungkapan untuk memudahkan logaritma, terdapat beberapa batasan untuk dipertimbangkan. Dan itu ialah: asas logaritma a hanyalah nombor positif, tetapi bukan sama dengan satu. Nombor b, seperti a, mestilah lebih besar daripada sifar.

Terdapat kes di mana, dengan memudahkan ungkapan, anda tidak akan dapat mengira logaritma masuk bentuk berangka. Ia berlaku bahawa ungkapan sedemikian tidak masuk akal, kerana banyak kuasa adalah nombor tidak rasional. Di bawah keadaan ini, biarkan kuasa nombor sebagai logaritma.

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma tidak tepat nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya satu masalah serius tidak dapat diselesaikan. masalah logaritma. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

log a x+ log a y=log a (x · y);
log a x− log a y=log a (x : y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Catatan: detik penting di sini - alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dikira (lihat pelajaran “Apakah itu logaritma”). Lihat contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi mereka ternyata agak nombor biasa. Banyak yang dibina atas fakta ini kertas ujian. Bagaimana dengan kawalan? ungkapan yang serupa dalam semua kesungguhan (kadang-kadang dengan hampir tiada perubahan) ditawarkan pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Ia mudah untuk menyedarinya peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dan satu lagi: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:
[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:

[Kapsyen untuk gambar]

Saya fikir untuk contoh terakhir penjelasan diperlukan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan log logaritma diberikan a x. Kemudian untuk sebarang nombor c seperti itu c> 0 dan c≠ 1, kesamaan adalah benar:
[Kapsyen untuk gambar]
Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapatkan:
[Kapsyen untuk gambar]

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam konvensional ungkapan berangka. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

[Kapsyen untuk gambar]

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

[Kapsyen untuk gambar]

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

[Kapsyen untuk gambar]

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi penunjuk darjah berdiri dalam hujah. Nombor n boleh jadi apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah yang dipanggil: identiti logaritma asas.

Malah, apa yang akan berlaku jika nombor b meningkatkan kuasa sehingga bilangan b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: anda mendapat nombor yang sama ini a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:
[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Mempertimbangkan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapatkan:

[Kapsyen untuk gambar]

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

log a a= 1 ialah unit logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a dari asas ini adalah sama dengan satu.
log a 1 = 0 ialah sifar logaritma. Pangkalan a boleh jadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a 0 = 1 adalah akibat langsung daripada definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

Mari kita mulakan dengan sifat logaritma satu. Perumusannya adalah seperti berikut: logaritma perpaduan adalah sama dengan sifar, iaitu, log a 1=0 untuk sebarang a>0, a≠1. Buktinya tidak sukar: kerana a 0 =1 untuk mana-mana a memenuhi syarat di atas a>0 dan a≠1, maka log kesamaan a 1=0 yang akan dibuktikan mengikuti serta-merta daripada takrifan logaritma.

Mari kita berikan contoh aplikasi harta yang dipertimbangkan: log 3 1=0, log1=0 dan .

Mari kita beralih ke harta seterusnya: logaritma nombor, sama dengan asas, sama dengan satu, itu dia, log a a=1 untuk a>0, a≠1. Sesungguhnya, kerana a 1 =a untuk sebarang a, maka mengikut takrifan log logaritma a a=1 .

Contoh penggunaan sifat logaritma ini ialah kesamaan log 5 5=1, log 5.6 5.6 dan lne=1.

Contohnya, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 dan .

Logaritma hasil darab dua nombor positif x dan y adalah sama dengan hasil darab logaritma nombor ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma produk. Oleh kerana sifat-sifat ijazah a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, dan oleh kerana identiti logaritma utama log a x =x dan log a y =y, maka log a x ·a log a y =x·y. Oleh itu, log a x+log a y =x·y, daripadanya, mengikut takrifan logaritma, kesamaan yang dibuktikan berikut.

Mari tunjukkan contoh menggunakan sifat logaritma hasil darab: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Sifat logaritma hasil darab boleh digeneralisasikan kepada hasil darab nombor terhingga n nombor positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Kesaksamaan ini boleh dibuktikan tanpa masalah.

Sebagai contoh, logaritma asli produk boleh digantikan dengan hasil tambah tiga logaritma semula jadi nombor 4 , e , dan .

Logaritma hasil bagi dua nombor positif x dan y adalah sama dengan perbezaan antara logaritma nombor ini. Sifat logaritma hasil bagi sepadan dengan formula bentuk , di mana a>0, a≠1, x dan y ialah beberapa nombor positif. Kesahan formula ini terbukti serta formula untuk logaritma produk: sejak , kemudian mengikut takrifan logaritma.

Berikut ialah contoh menggunakan sifat logaritma ini: .

Mari kita teruskan ke sifat logaritma kuasa. Logaritma darjah adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma modulus asas darjah ini. Mari kita tulis sifat logaritma kuasa ini sebagai formula: log a b p =p·log a |b|, di mana a>0, a≠1, b dan p ialah nombor sedemikian rupa sehingga darjah b p masuk akal dan b p >0.

Mula-mula kita buktikan sifat ini untuk positif b. Identiti logaritma asas membolehkan kita mewakili nombor b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ungkapan yang terhasil, disebabkan oleh sifat kuasa, adalah sama dengan p·log a b . Jadi kita sampai kepada kesamaan b p =a p·log a b, dari mana, mengikut takrifan logaritma, kita membuat kesimpulan bahawa log a b p =p·log a b.

Ia kekal untuk membuktikan sifat ini untuk negatif b. Di sini kita perhatikan bahawa ungkapan log a b p untuk negatif b hanya masuk akal untuk eksponen genap p (kerana nilai darjah b p mestilah lebih besar daripada sifar, dalam sebaliknya logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kes ini b p ==b| hlm. Kemudian b p ==b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, dari mana log a b p =p·log a |b| .

Sebagai contoh, dan ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Ia mengikuti dari harta sebelumnya sifat logaritma daripada punca: logaritma punca ke-n adalah sama dengan hasil darab pecahan 1/n dengan logaritma ungkapan radikal, iaitu, , di mana a>0, a≠1, n – nombor asli, lebih besar daripada satu, b>0 .

Buktinya adalah berdasarkan kesamaan (lihat), yang sah untuk mana-mana b positif, dan sifat logaritma kuasa: .

Berikut ialah contoh menggunakan harta ini: .

Sekarang mari kita buktikan formula untuk berpindah ke asas logaritma baharu baik hati . Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk membuktikan kesahihan log kesamaan c b=log a b·log c a. Identiti logaritma asas membolehkan kita mewakili nombor b sebagai log a b , kemudian log c b=log c a log a b . Ia tetap menggunakan sifat logaritma darjah: log c a log a b =log a b log c a. Ini membuktikan log kesamaan c b=log a b·log c a, yang bermaksud bahawa formula peralihan kepada asas baharu logaritma juga telah dibuktikan.

Mari tunjukkan beberapa contoh menggunakan sifat logaritma ini: dan .

Formula untuk berpindah ke pangkalan baharu membolehkan anda meneruskan kerja dengan logaritma yang mempunyai asas "mudah". Sebagai contoh, ia boleh digunakan untuk beralih kepada logaritma semula jadi atau perpuluhan supaya anda boleh mengira nilai logaritma daripada jadual logaritma. Formula untuk berpindah ke asas logaritma baharu juga membenarkan, dalam beberapa kes, untuk mencari nilai logaritma tertentu apabila nilai beberapa logaritma dengan asas lain diketahui.

Digunakan dengan kerap kes istimewa formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma dengan c=b bentuk . Ini menunjukkan bahawa log a b dan log b a – . Cth, .

Formula juga sering digunakan , yang sesuai untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengesahkan perkataan kami, kami akan menunjukkan cara ia boleh digunakan untuk mengira nilai logaritma borang . Kami ada . Untuk membuktikan formula ia cukup untuk menggunakan formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma a: .

Ia kekal untuk membuktikan sifat-sifat perbandingan logaritma.

Mari kita buktikan bahawa untuk sebarang nombor positif b 1 dan b 2, b 1 log a b 2 , dan untuk a>1 – ketaksamaan log a b 1

Akhirnya, ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir logaritma yang disenaraikan. Mari kita hadkan diri kita kepada pembuktian bahagian pertamanya, iaitu, kita akan membuktikan bahawa jika a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 1 ialah log benar a 1 b>log a 2 b . Pernyataan selebihnya bagi sifat logaritma ini dibuktikan mengikut prinsip yang serupa.

Mari gunakan kaedah yang bertentangan. Katakan untuk 1 >1, a 2 >1 dan 1 1 ialah log benar a 1 b≤log a 2 b . Berdasarkan sifat logaritma, ketaksamaan ini boleh ditulis semula sebagai Dan masing-masing, dan daripada mereka ia mengikuti bahawa log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2, masing-masing. Kemudian, mengikut sifat kuasa dengan asas yang sama, kesamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 mesti dipegang, iaitu, a 1 ≥a 2 . Jadi kami sampai kepada percanggahan dengan syarat 1

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).