Kami terus mengkaji logaritma. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mengira logaritma, proses ini dipanggil logaritma. Mula-mula kita akan memahami pengiraan logaritma mengikut definisi. Seterusnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemui menggunakan sifatnya. Selepas ini, kami akan menumpukan pada pengiraan logaritma melalui nilai awal yang ditentukan bagi logaritma lain. Akhir sekali, mari kita pelajari cara menggunakan jadual logaritma. Keseluruhan teori disediakan dengan contoh dengan penyelesaian terperinci.
Navigasi halaman.
Mengira logaritma mengikut takrifan
Dalam kes yang paling mudah adalah mungkin untuk melaksanakan dengan cepat dan mudah mencari logaritma mengikut definisi. Mari kita lihat dengan lebih dekat bagaimana proses ini berlaku.
Intipatinya adalah untuk mewakili nombor b dalam bentuk a c, dari mana, mengikut takrifan logaritma, nombor c ialah nilai logaritma. Iaitu, mengikut takrifan, rantaian kesamaan berikut sepadan dengan mencari logaritma: log a b=log a a c =c.
Jadi, pengiraan logaritma mengikut takrifan adalah untuk mencari nombor c supaya a c = b, dan nombor c itu sendiri ialah nilai logaritma yang dikehendaki.
Dengan mengambil kira maklumat dalam perenggan sebelumnya, apabila nombor di bawah tanda logaritma diberikan oleh kuasa tertentu asas logaritma, anda boleh segera menunjukkan apa logaritma itu sama dengan - ia sama dengan eksponen. Mari tunjukkan penyelesaian kepada contoh.
Contoh.
Cari log 2 2 −3, dan juga hitung logaritma asli bagi nombor e 5,3.
Penyelesaian.
Takrifan logaritma membolehkan kita untuk segera mengatakan bahawa log 2 2 −3 =−3. Sesungguhnya, nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas 2 kepada kuasa −3.
Begitu juga, kita dapati logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.
Jawapan:
log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.
Jika nombor b di bawah tanda logaritma tidak dinyatakan sebagai kuasa asas logaritma, maka anda perlu melihat dengan teliti untuk melihat sama ada ia mungkin untuk menghasilkan perwakilan nombor b dalam bentuk a c . Selalunya perwakilan ini agak jelas, terutamanya apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas kepada kuasa 1, atau 2, atau 3, ...
Contoh.
Hitung logaritma log 5 25 , dan .
Penyelesaian.
Adalah mudah untuk melihat bahawa 25=5 2, ini membolehkan anda mengira logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Mari kita teruskan untuk mengira logaritma kedua. Nombor itu boleh diwakili sebagai kuasa 7: 
(lihat jika perlu). Oleh itu, 
.
Mari kita tulis semula logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang anda boleh melihatnya 
, dari mana kami membuat kesimpulan bahawa 
. Oleh itu, mengikut takrifan logaritma 
.
Secara ringkas, penyelesaiannya boleh ditulis seperti berikut: .
Jawapan:
log 5 25=2 , 
Dan .
Apabila terdapat nombor asli yang cukup besar di bawah tanda logaritma, tidak ada salahnya untuk memasukkannya ke dalam faktor perdana. Ia sering membantu untuk mewakili nombor sedemikian sebagai beberapa kuasa asas logaritma, dan oleh itu mengira logaritma ini mengikut takrifan.
Contoh.
Cari nilai logaritma itu.
Penyelesaian.
Sesetengah sifat logaritma membolehkan anda menentukan nilai logaritma dengan segera. Sifat-sifat ini termasuk sifat logaritma satu dan sifat logaritma nombor yang sama dengan asas: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1. Iaitu, apabila di bawah tanda logaritma terdapat nombor 1 atau nombor a sama dengan asas logaritma, maka dalam kes ini logaritma adalah sama dengan 0 dan 1, masing-masing.
Contoh.
Apakah yang sama dengan logaritma dan log10?
Penyelesaian.
Sejak , maka daripada takrifan logaritma ia berikut 
.
Dalam contoh kedua, nombor 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan asasnya, jadi logaritma perpuluhan sepuluh adalah sama dengan satu, iaitu, lg10=lg10 1 =1.
Jawapan:
DAN lg10=1 .
Ambil perhatian bahawa pengiraan logaritma mengikut takrifan (yang kita bincangkan dalam perenggan sebelumnya) membayangkan penggunaan log kesamaan a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.
Dalam amalan, apabila nombor di bawah tanda logaritma dan asas logaritma mudah diwakili sebagai kuasa nombor tertentu, adalah sangat mudah untuk menggunakan formula 
, yang sepadan dengan salah satu sifat logaritma. Mari kita lihat contoh mencari logaritma yang menggambarkan penggunaan formula ini.
Contoh.
Kira logaritma.
Penyelesaian.
Jawapan:
.
Sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam pengiraan, tetapi kita akan membincangkannya dalam perenggan berikut.
Mencari logaritma melalui logaritma lain yang diketahui
Maklumat dalam perenggan ini meneruskan topik penggunaan sifat logaritma semasa mengiranya. Tetapi di sini perbezaan utama ialah sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asal dari segi logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita berikan contoh untuk penjelasan. Katakan kita tahu bahawa log 2 3≈1.584963, maka kita boleh mencari, sebagai contoh, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Dalam contoh di atas, sudah cukup untuk kita menggunakan sifat logaritma produk. Walau bagaimanapun, lebih kerap adalah perlu untuk menggunakan senjata sifat logaritma yang lebih luas untuk mengira logaritma asal melalui yang diberikan.
Contoh.
Kira logaritma 27 hingga asas 60 jika anda tahu bahawa log 60 2=a dan log 60 5=b.
Penyelesaian.
Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Adalah mudah untuk melihat bahawa 27 = 3 3, dan logaritma asal, disebabkan oleh sifat logaritma kuasa, boleh ditulis semula sebagai 3·log 60 3.
Sekarang mari kita lihat bagaimana untuk menyatakan log 60 3 dari segi logaritma yang diketahui. Sifat logaritma nombor yang sama dengan asas membolehkan kita menulis log kesamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Oleh itu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Oleh itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Akhir sekali, kita mengira logaritma asal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Jawapan:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Secara berasingan, adalah bernilai menyebut maksud formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma bentuk 
. Ia membolehkan anda berpindah dari logaritma dengan mana-mana asas kepada logaritma dengan asas tertentu, yang nilainya diketahui atau mungkin untuk mencarinya. Biasanya, dari logaritma asal, menggunakan formula peralihan, mereka berpindah ke logaritma dalam salah satu asas 2, e atau 10, kerana untuk pangkalan ini terdapat jadual logaritma yang membolehkan nilainya dikira dengan tahap tertentu. ketepatan. Dalam perenggan seterusnya kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.
Jadual logaritma dan kegunaannya
Untuk pengiraan anggaran nilai logaritma boleh digunakan jadual logaritma. Jadual logaritma asas 2 yang paling biasa digunakan, jadual logaritma asli dan jadual logaritma perpuluhan. Apabila bekerja dalam sistem nombor perpuluhan, adalah mudah untuk menggunakan jadual logaritma berdasarkan asas sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.
Jadual yang dibentangkan membolehkan anda mencari nilai logaritma perpuluhan nombor dari 1,000 hingga 9,999 (dengan tiga tempat perpuluhan) dengan ketepatan satu persepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan jadual logaritma perpuluhan menggunakan contoh khusus - ia lebih jelas dengan cara ini. Mari cari log1.256.
Dalam lajur kiri jadual logaritma perpuluhan kita dapati dua digit pertama nombor 1.256, iaitu, kita dapati 1.2 (nombor ini dibulatkan dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga nombor 1.256 (digit 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna merah). Digit keempat nombor asal 1.256 (digit 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan garis hijau). Sekarang kita dapati nombor dalam sel jadual logaritma di persimpangan baris bertanda dan lajur bertanda (nombor ini diserlahkan dalam oren). Jumlah nombor yang ditanda memberikan nilai logaritma perpuluhan yang dikehendaki tepat kepada tempat perpuluhan keempat, iaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Adakah mungkin, menggunakan jadual di atas, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor yang mempunyai lebih daripada tiga digit selepas titik perpuluhan, serta nilai yang melampaui julat dari 1 hingga 9.999? Ya awak boleh. Mari tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh.
Jom kira lg102.76332. Mula-mula anda perlu menulis nombor dalam bentuk piawai: 102.76332=1.0276332·10 2. Selepas ini, mantissa harus dibundarkan ke tempat perpuluhan ketiga, kita ada 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, manakala logaritma perpuluhan asal adalah lebih kurang sama dengan logaritma nombor yang terhasil, iaitu, kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita menggunakan sifat logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhir sekali, kita dapati nilai logaritma lg1.028 daripada jadual logaritma perpuluhan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Akibatnya, keseluruhan proses pengiraan logaritma kelihatan seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
Sebagai kesimpulan, perlu diperhatikan bahawa menggunakan jadual logaritma perpuluhan anda boleh mengira nilai anggaran mana-mana logaritma. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan formula peralihan untuk pergi ke logaritma perpuluhan, cari nilainya dalam jadual, dan lakukan pengiraan yang tinggal.
Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma, kita mempunyai . Daripada jadual logaritma perpuluhan kita dapati log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Oleh itu, 
.
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).
Mengikuti dari definisinya. Dan jadi logaritma nombor itu b berdasarkan A ditakrifkan sebagai eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan a untuk mendapatkan nombor b(logaritma hanya wujud untuk nombor positif).
Daripada rumusan ini berikutan bahawa pengiraan x=log a b, adalah bersamaan dengan menyelesaikan persamaan a x =b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 kerana 8 = 2 3 . Perumusan logaritma memungkinkan untuk mewajarkan bahawa jika b=a c, kemudian logaritma nombor itu b berdasarkan a sama Dengan. Jelas juga bahawa topik logaritma berkait rapat dengan topik kuasa sesuatu nombor.
Dengan logaritma, seperti mana-mana nombor, anda boleh lakukan operasi tambah, tolak dan berubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi disebabkan fakta bahawa logaritma bukan nombor biasa sepenuhnya, peraturan khas mereka sendiri terpakai di sini, yang dipanggil sifat utama.
Menambah dan menolak logaritma.
Mari kita ambil dua logaritma dengan asas yang sama: log a x Dan log a y. Kemudian adalah mungkin untuk melakukan operasi tambah dan tolak:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
daripada teorem hasil bagi logaritma satu lagi sifat logaritma boleh diperolehi. Umum mengetahui bahawa log a 1= 0, oleh itu
log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.
Ini bermakna terdapat persamaan:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritma dua nombor salingan atas sebab yang sama akan berbeza antara satu sama lain semata-mata oleh tanda. Jadi:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Sekarang kita akan melihat penukaran ungkapan yang mengandungi logaritma dari perspektif umum. Di sini kita akan mengkaji bukan sahaja transformasi ungkapan menggunakan sifat logaritma, tetapi juga mempertimbangkan transformasi ungkapan dengan logaritma am, yang mengandungi bukan sahaja logaritma, tetapi juga kuasa, pecahan, akar, dll. Seperti biasa, kami akan menyediakan semua bahan dengan contoh biasa dengan penerangan terperinci tentang penyelesaian.
Navigasi halaman.
Ungkapan dengan logaritma dan ungkapan logaritma
Melakukan sesuatu dengan pecahan
Dalam perenggan sebelumnya, kami meneliti transformasi asas yang dijalankan dengan pecahan individu yang mengandungi logaritma. Transformasi ini, sudah tentu, boleh dijalankan dengan setiap pecahan individu yang merupakan sebahagian daripada ungkapan yang lebih kompleks, contohnya, mewakili jumlah, perbezaan, hasil darab dan hasil bagi pecahan yang serupa. Tetapi selain bekerja dengan pecahan individu, menukar ungkapan jenis ini selalunya melibatkan pelaksanaan operasi sepadan dengan pecahan. Seterusnya kita akan melihat peraturan yang mana tindakan ini dijalankan.
Sejak gred 5-6 kami telah mengetahui peraturan yang digunakan. Dalam artikel pandangan umum pada operasi dengan pecahan Kami telah melanjutkan peraturan ini daripada pecahan biasa kepada pecahan bentuk am A/B, dengan A dan B ialah beberapa ungkapan angka, literal atau pembolehubah, dan B tidak sama dengan sifar. Jelaslah bahawa pecahan dengan logaritma adalah kes khas pecahan am. Dan dalam hal ini, jelas bahawa operasi dengan pecahan yang mengandungi logaritma dalam tatatanda mereka dijalankan mengikut peraturan yang sama. Iaitu:
- Untuk menambah atau menolak dua pecahan dengan penyebut yang sama, anda mesti menambah atau menolak pengangka dengan sewajarnya, tetapi biarkan penyebutnya sama.
- Untuk menambah atau menolak dua pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda perlu membawanya kepada penyebut biasa dan melakukan tindakan yang sesuai mengikut peraturan sebelumnya.
- Untuk mendarab dua pecahan, anda perlu menulis pecahan yang pengangkanya adalah hasil darab pembilang bagi pecahan asal, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebutnya.
- Untuk membahagikan pecahan kepada pecahan, anda perlu mendarab pecahan yang dibahagikan dengan pecahan yang merupakan songsang pembahagi, iaitu dengan pecahan dengan pengangka dan penyebut ditukar.
Berikut ialah beberapa contoh cara melaksanakan operasi dengan pecahan yang mengandungi logaritma.
Contoh.
Lakukan operasi dengan pecahan yang mengandungi logaritma: a) , b) 
, V) 
, G) 
.
Penyelesaian.
a) Penyebut pecahan yang ditambah adalah jelas sama. Oleh itu, mengikut peraturan untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, kami menambah pengangka, dan membiarkan penyebutnya sama: 
.
b) Di sini penyebutnya berbeza. Oleh itu, pertama anda perlu menukar pecahan kepada penyebut yang sama. Dalam kes kita, penyebut sudah dibentangkan dalam bentuk produk, dan apa yang perlu kita lakukan ialah mengambil penyebut pecahan pertama dan menambah faktor yang hilang daripada penyebut pecahan kedua. Dengan cara ini kita mendapat penyebut biasa bentuk 
. Dalam kes ini, pecahan yang ditolak dibawa kepada penyebut sepunya menggunakan faktor tambahan dalam bentuk logaritma dan ungkapan x 2 ·(x+1), masing-masing. Selepas ini, yang tinggal hanyalah menolak pecahan dengan penyebut yang sama, yang tidak sukar.
Jadi penyelesaiannya ialah: 
c) Diketahui bahawa hasil darab pecahan ialah pecahan, pengangkanya adalah hasil darab pengangka, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut, oleh itu. 
Ia mudah untuk melihat bahawa anda boleh mengurangkan pecahan dengan dua dan dengan logaritma perpuluhan, hasilnya kita ada 
.
d) Kita beralih daripada membahagi pecahan kepada pendaraban, menggantikan pecahan pembahagi dengan pecahan songsangnya. Jadi 
Pengangka pecahan yang terhasil boleh diwakili sebagai 
, dari mana faktor sepunya pengangka dan penyebut boleh dilihat dengan jelas - faktor x, anda boleh mengurangkan pecahan dengannya: 
Jawapan:
a) , b) 
, V) 
, G) 
.
Perlu diingat bahawa operasi dengan pecahan dijalankan dengan mengambil kira susunan tindakan yang dilakukan: pertama, pendaraban dan pembahagian, kemudian penambahan dan penolakan, dan jika terdapat kurungan, maka tindakan dalam kurungan dijalankan terlebih dahulu.
Contoh.
Lakukan sesuatu dengan pecahan 
.
Penyelesaian.
Pertama, kami menambah pecahan dalam kurungan, selepas itu kami akan mendarab: 
Jawapan:
Pada ketika ini, ia tetap mengatakan dengan kuat tiga perkara yang agak jelas, tetapi pada masa yang sama perkara penting:
Menukar Ungkapan Menggunakan Sifat Logaritma
Selalunya, mengubah ungkapan dengan logaritma melibatkan penggunaan identiti yang menyatakan definisi logaritma dan
Tugas yang penyelesaiannya menukar ungkapan logaritma, adalah perkara biasa pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Untuk berjaya mengatasinya dengan masa yang minimum, sebagai tambahan kepada identiti logaritma asas, anda perlu mengetahui dan menggunakan beberapa lagi formula dengan betul.
Ini ialah: a log a b = b, dengan a, b > 0, a ≠ 1 (Ia mengikut terus daripada takrifan logaritma).
log a b = log c b / log c a atau log a b = 1/log b a
di mana a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
di mana a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
di mana a, b, c > 0 dan a, b, c ≠ 1
Untuk menunjukkan kesahihan kesamaan keempat, mari kita ambil logaritma sisi kiri dan kanan ke asas a. Kami mendapat log a (a log dengan b) = log a (b log dengan a) atau log dengan b = log dengan · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log dengan b = log dengan b.
Kami telah membuktikan kesamaan logaritma, yang bermaksud bahawa ungkapan di bawah logaritma juga sama. Formula 4 telah terbukti.
Contoh 1.
Hitung 81 log 27 5 log 5 4 .
Penyelesaian.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Oleh itu,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Kemudian 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Anda boleh menyelesaikan tugasan berikut sendiri.
Kira (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0.2 5.
Sebagai pembayang, 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0.2 5 = -1.
Jawapan: 5.
Contoh 2.
Kira (√11) log √3 9- log 121 81 .
Penyelesaian.
Mari kita tukar ungkapan: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (formula 3 telah digunakan).
Kemudian (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Contoh 3.
Kira log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Penyelesaian.
Kami menggantikan logaritma yang terkandung dalam contoh dengan logaritma dengan asas 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Kemudian log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Selepas membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa, kita mendapat nombor 3. (Apabila memudahkan ungkapan, kita boleh menandakan log 2 3 dengan n dan memudahkan ungkapan
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Jawapan: 3.
Anda boleh menyelesaikan tugas berikut sendiri:
Kira (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Di sini adalah perlu untuk membuat peralihan kepada asas 3 logaritma dan pemfaktoran nombor besar kepada faktor perdana.
Jawapan: 1/2
Contoh 4.
Diberi tiga nombor A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Susun mengikut tertib menaik.
Penyelesaian.
Mari kita ubah nombor A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0.5 12 – log 0.5 3 = log 0.5 12/3 = log 0.5 4 = -2.
Mari kita bandingkan mereka
log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 dan log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Atau 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Jawab. Oleh itu, susunan meletakkan nombor ialah: C; A; DALAM.
Contoh 5.
Berapakah bilangan integer dalam selang (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Penyelesaian.
Mari kita tentukan antara kuasa nombor 3 yang mana nombor 1/16 terletak. Kami mendapat 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Oleh kerana fungsi y = log 3 x bertambah, maka log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Mari bandingkan log 6 (4/3) dan 1/5. Dan untuk ini kita membandingkan nombor 4/3 dan 6 1/5. Mari kita tingkatkan kedua-dua nombor kepada kuasa ke-5. Kami mendapat (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Oleh itu, selang (log 3 1 / 16 ; log 6 48) termasuk selang [-2; 4] dan integer -2 diletakkan di atasnya; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Jawapan: 7 integer.
Contoh 6.
Kira 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Penyelesaian.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Kemudian 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1.
Jawapan: -1.
Contoh 7.
Diketahui bahawa log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Cari log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Penyelesaian.
Nombor (√3 + 1) dan (√3 – 1); (√6 – 2) dan (√6 + 2) ialah konjugat.
Mari kita jalankan transformasi ungkapan berikut
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Kemudian log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Jawapan: 2 – A.
Contoh 8.
Permudahkan dan cari nilai anggaran ungkapan (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Penyelesaian.
Mari kita kurangkan semua logaritma kepada asas sepunya 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (Nilai anggaran lg 2 boleh didapati menggunakan jadual, peraturan slaid atau kalkulator).
Jawapan: 0.3010.
Contoh 9.
Kira log a 2 b 3 √(a 11 b -3) jika log √ a b 3 = 1. (Dalam contoh ini, a 2 b 3 ialah asas logaritma).
Penyelesaian.
Jika log √ a b 3 = 1, maka 3/(0.5 log a b = 1. Dan log a b = 1/6.
Kemudian log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Memandangkan bahawa log a b = 1/ 6 kita dapat (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1.
Jawapan: 2.1.
Anda boleh menyelesaikan tugas berikut sendiri:
Kira log √3 6 √2.1 jika log 0.7 27 = a.
Jawapan: (3 + a) / (3a).
Contoh 10.
Kira 6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Penyelesaian.
6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))
Kami mendapat 9 + 6 = 15.
Jawapan: 15.
Masih ada soalan? Tidak pasti bagaimana untuk mencari nilai ungkapan logaritma?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor -.
Pelajaran pertama adalah percuma!
blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.
Hari ini kita akan bercakap tentang formula logaritma dan kami akan memberi petunjuk contoh penyelesaian.
Mereka sendiri membayangkan corak penyelesaian mengikut sifat asas logaritma. Sebelum menggunakan formula logaritma untuk menyelesaikan, izinkan kami mengingatkan anda tentang semua sifat:
Sekarang, berdasarkan formula (sifat) ini, kami akan tunjukkan contoh penyelesaian logaritma.
Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan formula.
Logaritma nombor positif b kepada asas a (ditandakan dengan log a b) ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.
Mengikut definisi, log a b = x, yang bersamaan dengan a x = b, oleh itu log a a x = x.
Logaritma, contoh:
log 2 8 = 3, kerana 2 3 = 8
log 7 49 = 2, kerana 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, kerana 5 -1 = 1/5
Logaritma perpuluhan- ini ialah logaritma biasa, asasnya ialah 10. Ia dilambangkan sebagai lg.
log 10 100 = 2, kerana 10 2 = 100
Logaritma semula jadi- juga logaritma biasa, logaritma, tetapi dengan asas e (e = 2.71828... - nombor tak rasional). Ditandakan sebagai ln.
Adalah dinasihatkan untuk menghafal formula atau sifat logaritma, kerana kita akan memerlukannya kemudian apabila menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma dan ketaksamaan. Mari kita teliti setiap formula sekali lagi dengan contoh.
- Identiti logaritma asas
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritma hasil darab adalah sama dengan hasil tambah logaritma
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Sifat kuasa nombor logaritma dan asas logaritma
Eksponen bagi nombor logaritma log a b m = mlog a b
Eksponen asas log logaritma a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jika m = n, kita mendapat log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Peralihan kepada asas baharu
log a b = log c b/log c a,jika c = b, kita mendapat log b b = 1
kemudian log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
Seperti yang anda boleh lihat, formula untuk logaritma tidaklah begitu rumit seperti yang kelihatan. Sekarang, setelah melihat contoh penyelesaian logaritma, kita boleh beralih kepada persamaan logaritma. Kami akan melihat contoh penyelesaian persamaan logaritma dengan lebih terperinci dalam artikel: "". Jangan lepaskan!
Jika anda masih mempunyai soalan tentang penyelesaian, tuliskannya dalam ulasan artikel.
Nota: kami memutuskan untuk mendapatkan kelas pendidikan yang berbeza dan belajar di luar negara sebagai pilihan.