Logaritma 0 hingga asas 4. Ungkapan logaritma

Kami terus mengkaji logaritma. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mengira logaritma, proses ini dipanggil logaritma. Mula-mula kita akan memahami pengiraan logaritma mengikut definisi. Seterusnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemui menggunakan sifatnya. Selepas ini, kita akan fokus pada pengiraan logaritma melalui pada mulanya tetapkan nilai logaritma lain. Akhir sekali, mari belajar cara menggunakan jadual logaritma. Keseluruhan teori disediakan dengan contoh dengan penyelesaian terperinci.

Navigasi halaman.

Mengira logaritma mengikut takrifan

Dalam kes yang paling mudah adalah mungkin untuk melaksanakan dengan cepat dan mudah mencari logaritma mengikut definisi. Mari kita lihat dengan lebih dekat bagaimana proses ini berlaku.

Intipatinya adalah untuk mewakili nombor b dalam bentuk a c, dari mana, mengikut takrifan logaritma, nombor c ialah nilai logaritma. Iaitu, mengikut takrifan, rantaian kesamaan berikut sepadan dengan mencari logaritma: log a b=log a a c =c.

Jadi, pengiraan logaritma mengikut takrifan adalah untuk mencari nombor c supaya a c = b, dan nombor c itu sendiri ialah nilai logaritma yang dikehendaki.

Dengan mengambil kira maklumat dalam perenggan sebelumnya, apabila nombor di bawah tanda logaritma diberikan oleh kuasa tertentu asas logaritma, anda boleh segera menunjukkan apa logaritma itu sama dengan - ia sama dengan penunjuk ijazah. Mari tunjukkan penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 −3, dan juga hitung logaritma asli bagi nombor e 5,3.

Penyelesaian.

Takrifan logaritma membolehkan kita untuk segera mengatakan bahawa log 2 2 −3 =−3. Sesungguhnya, nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas 2 kepada kuasa −3.

Begitu juga, kita dapati logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Jawapan:

log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.

Jika nombor b di bawah tanda logaritma tidak dinyatakan sebagai kuasa asas logaritma, maka anda perlu melihat dengan teliti untuk melihat sama ada ia mungkin untuk menghasilkan perwakilan nombor b dalam bentuk a c . Selalunya perwakilan ini agak jelas, terutamanya apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas kepada kuasa 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Penyelesaian.

Adalah mudah untuk melihat bahawa 25=5 2, ini membolehkan anda mengira logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Mari kita teruskan untuk mengira logaritma kedua. Nombor itu boleh diwakili sebagai kuasa 7: (lihat jika perlu). Oleh itu, .

Mari kita tulis semula logaritma ketiga dalam borang berikut. Sekarang anda boleh melihatnya , dari mana kami membuat kesimpulan bahawa . Oleh itu, mengikut takrifan logaritma .

Secara ringkas, penyelesaiannya boleh ditulis seperti berikut: .

Jawapan:

log 5 25=2 , Dan .

Apabila di bawah tanda logaritma terdapat tanda yang cukup besar nombor asli, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya faktor utama. Ia sering membantu untuk mewakili nombor sedemikian sebagai beberapa kuasa asas logaritma, dan oleh itu mengira logaritma ini mengikut takrifan.

Contoh.

Cari nilai logaritma itu.

Penyelesaian.

Sesetengah sifat logaritma membolehkan anda menentukan nilai logaritma dengan segera. Sifat-sifat ini termasuk sifat logaritma unit dan sifat logaritma nombor, sama dengan asas: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Iaitu, apabila di bawah tanda logaritma terdapat nombor 1 atau nombor sama dengan asas logaritma, maka dalam kes ini logaritma adalah sama dengan 0 dan 1, masing-masing.

Contoh.

Apakah yang sama dengan logaritma dan log10?

Penyelesaian.

Sejak , maka daripada takrifan logaritma ia berikut .

Dalam contoh kedua, nombor 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan asasnya, jadi logaritma perpuluhan sepuluh sama dengan satu, iaitu log10=lg10 1 =1.

Jawapan:

DAN lg10=1 .

Ambil perhatian bahawa pengiraan logaritma mengikut takrifan (yang kita bincangkan dalam perenggan sebelumnya) membayangkan penggunaan log kesamaan a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam amalan, apabila nombor di bawah tanda logaritma dan asas logaritma mudah diwakili sebagai kuasa nombor tertentu, adalah sangat mudah untuk menggunakan formula , yang sepadan dengan salah satu sifat logaritma. Mari kita pertimbangkan contoh mencari logaritma, menggambarkan penggunaan formula ini.

Contoh.

Kira logaritma.

Penyelesaian.

Jawapan:

Sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam pengiraan, tetapi kita akan membincangkannya dalam perenggan berikut.

Mencari logaritma melalui logaritma lain yang diketahui

Maklumat dalam perenggan ini meneruskan topik penggunaan sifat logaritma semasa mengiranya. Tetapi di sini perbezaan utama ialah sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asal dari segi logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita berikan contoh untuk penjelasan. Katakan kita tahu bahawa log 2 3≈1.584963, maka kita boleh mencari, sebagai contoh, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, sudah cukup untuk kita menggunakan sifat logaritma produk. Walau bagaimanapun, lebih kerap adalah perlu untuk menggunakan senjata sifat logaritma yang lebih luas untuk mengira logaritma asal melalui yang diberikan.

Contoh.

Kira logaritma 27 hingga asas 60 jika anda tahu bahawa log 60 2=a dan log 60 5=b.

Penyelesaian.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Adalah mudah untuk melihat bahawa 27 = 3 3 , dan logaritma asal, disebabkan oleh sifat logaritma kuasa, boleh ditulis semula sebagai 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana untuk menyatakan log 60 3 dari segi logaritma yang diketahui. Sifat logaritma nombor yang sama dengan asas membolehkan kita menulis log kesamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Oleh itu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Oleh itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Akhir sekali, kita mengira logaritma asal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Jawapan:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Secara berasingan, adalah bernilai menyebut maksud formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma bentuk . Ia membolehkan anda berpindah dari logaritma dengan mana-mana asas kepada logaritma dengan asas tertentu, yang nilainya diketahui atau mungkin untuk mencarinya. Biasanya, dari logaritma asal, menggunakan formula peralihan, mereka berpindah ke logaritma dalam salah satu asas 2, e atau 10, kerana untuk pangkalan ini terdapat jadual logaritma yang membolehkan nilainya dikira dengan tahap tertentu. ketepatan. DALAM titik seterusnya kami akan menunjukkan kepada anda bagaimana ia dilakukan.

Jadual logaritma dan kegunaannya

Untuk pengiraan anggaran nilai logaritma boleh digunakan jadual logaritma. Jadual logaritma asas 2 yang paling biasa digunakan ialah jadual logaritma semula jadi dan jadual logaritma perpuluhan. Apabila bekerja di sistem perpuluhan Untuk kalkulus, adalah mudah untuk menggunakan jadual logaritma berdasarkan asas sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Jadual yang dibentangkan membolehkan anda mencari nilai logaritma perpuluhan nombor dari 1,000 hingga 9,999 (dengan tiga tempat perpuluhan) dengan ketepatan satu persepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan jadual logaritma perpuluhan ke dalam contoh khusus- lebih jelas seperti itu. Mari cari log1.256.

Dalam lajur kiri jadual logaritma perpuluhan kita dapati dua digit pertama nombor 1.256, iaitu, kita dapati 1.2 (nombor ini dibulatkan dengan warna biru untuk kejelasan). Kita dapati digit ketiga 1.256 (digit 5) dalam yang pertama atau baris terakhir di sebelah kiri garisan berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna merah). Digit keempat nombor asal 1.256 (digit 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan garis hijau). Sekarang kita dapati nombor dalam sel jadual logaritma di persimpangan baris bertanda dan lajur bertanda (nombor ini diserlahkan oren). Jumlah nombor yang ditanda memberikan nilai yang dikehendaki logaritma perpuluhan tepat kepada tempat perpuluhan keempat, iaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Adakah mungkin, menggunakan jadual di atas, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor yang mempunyai lebih daripada tiga digit selepas titik perpuluhan, serta nilai yang melampaui julat dari 1 hingga 9.999? Ya, anda boleh. Mari tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh.

Jom kira lg102.76332. Mula-mula anda perlu menulis nombor dalam bentuk piawai : 102.76332=1.0276332·10 2. Selepas ini, mantissa harus dibundarkan ke tempat perpuluhan ketiga, kita ada 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, manakala logaritma perpuluhan asal adalah lebih kurang sama dengan logaritma nombor yang terhasil, iaitu, kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita menggunakan sifat logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhir sekali, kita dapati nilai logaritma lg1.028 daripada jadual logaritma perpuluhan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Akibatnya, keseluruhan proses pengiraan logaritma kelihatan seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu diperhatikan bahawa menggunakan jadual logaritma perpuluhan anda boleh mengira nilai anggaran mana-mana logaritma. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan formula peralihan untuk pergi ke logaritma perpuluhan, cari nilainya dalam jadual, dan lakukan pengiraan yang tinggal.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma, kita mempunyai . Daripada jadual logaritma perpuluhan kita dapati log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Oleh itu, .

Rujukan.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).

sifat utama.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

alasan yang sama

Log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Peralihan kepada asas baharu

Biarlah diberi log logaritma kapak. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Lihat juga:

Sifat asas logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen adalah sama dengan 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy.

Sifat asas logaritma

Mengetahui peraturan ini, anda akan tahu dan nilai yang tepat pempamer, dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Contoh untuk logaritma

Ungkapan logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan sifat 3.5 kami mengira

4. di mana .

Contoh 2. Cari x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma tidak tepat nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya satu masalah serius tidak dapat diselesaikan. masalah logaritma. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini - alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi mereka ternyata agak nombor biasa. Banyak yang dibina atas fakta ini ujian. Bagaimana dengan kawalan? ungkapan yang serupa dalam semua kesungguhan (kadang-kadang dengan hampir tiada perubahan) ditawarkan pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Ia mudah untuk menyedarinya peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , iaitu Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa penyebut mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya fikir untuk contoh terakhir penjelasan diperlukan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut.

Formula logaritma. Penyelesaian contoh logaritma.

Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log2 7. Oleh kerana log2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam konvensional ungkapan berangka. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya dengan membuat keputusan persamaan logaritma dan ketidaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan kepada kuasa sedemikian sehingga nombor b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: hasilnya adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk peralihan ke pangkalan baru, yang utama identiti logaritma kadang-kadang ia adalah satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Mempertimbangkan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita dapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu - logaritma sama dengan sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

Lihat juga:

Logaritma b kepada asas a menandakan ungkapan. Untuk mengira logaritma bermakna mencari kuasa x () di mana kesamaan itu dipenuhi

Sifat asas logaritma

Adalah perlu untuk mengetahui sifat di atas, kerana hampir semua masalah dan contoh yang berkaitan dengan logaritma diselesaikan berdasarkan mereka. Selebihnya sifat eksotik boleh diperoleh melalui manipulasi matematik dengan formula ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Apabila mengira formula untuk jumlah dan perbezaan logaritma (3.4) anda sering terjumpa. Selebihnya agak rumit, tetapi dalam beberapa tugas, ia amat diperlukan untuk memudahkan ungkapan kompleks dan mengira nilainya.

Kes biasa logaritma

Beberapa logaritma yang paling biasa ialah logaritma yang asasnya sama dengan sepuluh, eksponen atau dua.
Logaritma kepada asas sepuluh biasanya dipanggil logaritma perpuluhan dan hanya dilambangkan dengan lg(x).

Jelas dari rakaman itu bahawa asas tidak ditulis dalam rakaman. Contohnya

Logaritma asli ialah logaritma yang tapaknya ialah eksponen (ditandakan dengan ln(x)).

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen adalah sama dengan 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy. Mengetahui peraturan ini, anda akan mengetahui nilai sebenar eksponen dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Dan satu lagi logaritma penting kepada asas dua dilambangkan dengan

Terbitan logaritma fungsi adalah sama dengan satu dibahagikan dengan pembolehubah

Kamiran atau logaritma antiterbitan ditentukan oleh pergantungan

Bahan yang diberikan sudah cukup untuk anda menyelesaikan kelas masalah yang luas berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk membantu anda memahami bahan, saya akan memberikan hanya beberapa contoh biasa daripada kurikulum sekolah dan universiti.

Contoh untuk logaritma

Ungkapan logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan sifat 3.5 kami mengira

2.
Dengan sifat perbezaan logaritma yang kita ada

3.
Menggunakan sifat 3.5 kita dapati

4. di mana .

Dalam penampilan ungkapan kompleks menggunakan beberapa peraturan dipermudahkan untuk membentuk

Mencari nilai logaritma

Contoh 2. Cari x jika

Penyelesaian. Untuk pengiraan, kami memohon kepada penggal terakhir 5 dan 13 sifat

Kami meletakkannya dalam rekod dan berkabung

Oleh kerana asas adalah sama, kami menyamakan ungkapan

Logaritma. Tahap kemasukan.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Penyelesaian: Mari kita ambil logaritma pembolehubah untuk menulis logaritma melalui hasil tambah sebutannya

Ini hanyalah permulaan perkenalan kita dengan logaritma dan sifatnya. Amalkan pengiraan, perkayakan kemahiran praktikal anda - tidak lama lagi anda akan memerlukan pengetahuan yang anda peroleh untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Setelah mempelajari kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan mengembangkan pengetahuan anda untuk yang lain tidak kurang topik penting- ketaksamaan logaritma...

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya, tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log6 4 + log6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa penyebut mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Peralihan kepada asas baharu

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

Ungkapan Logaritma, contoh penyelesaian. Dalam artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugasan bertanyakan soalan mencari makna ungkapan. Perlu diingatkan bahawa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maksudnya adalah sangat penting. Bagi Peperiksaan Negeri Bersepadu pula, logaritma digunakan semasa menyelesaikan persamaan, dalam masalah yang diterapkan, juga dalam tugas yang berkaitan dengan kajian fungsi.

Mari kita berikan contoh untuk memahami maksud logaritma:

Identiti logaritma asas:

Sifat logaritma yang mesti sentiasa diingati:

*Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

*Logaritma bagi hasil (pecahan) adalah sama dengan perbezaan antara logaritma faktor.

* * *

*Logaritma darjah sama dengan produk eksponen dengan logaritma tapaknya.

* * *

*Peralihan kepada asas baharu

* * *

Lebih banyak hartanah:

* * *

Pengiraan logaritma berkait rapat dengan penggunaan sifat eksponen.

Mari kita senaraikan beberapa daripadanya:

Intipatinya daripada harta ini terletak pada fakta bahawa apabila memindahkan pengangka ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah kepada sebaliknya. Contohnya:

Akibat daripada harta ini:

* * *

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas kekal sama, tetapi eksponen didarabkan.

* * *

Seperti yang telah anda lihat, konsep logaritma itu sendiri adalah mudah. Perkara utama ialah apa yang diperlukan amalan yang baik, yang memberikan kemahiran tertentu. Sudah tentu, pengetahuan tentang formula diperlukan. Sekiranya kemahiran menukar logaritma asas belum dibangunkan, maka apabila menyelesaikan tugas mudah anda boleh membuat kesilapan dengan mudah.

Berlatih, selesaikan contoh paling mudah dari kursus matematik dahulu, kemudian beralih kepada yang lebih kompleks. Pada masa hadapan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "menakutkan" diselesaikan;

Itu sahaja! Semoga berjaya kepada anda!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Hari ini kita akan bercakap tentang formula logaritma dan memberi petunjuk contoh penyelesaian.

Mereka sendiri membayangkan corak penyelesaian mengikut sifat asas logaritma. Sebelum menggunakan formula logaritma untuk menyelesaikan, izinkan kami mengingatkan anda tentang semua sifat:

Sekarang, berdasarkan formula (sifat) ini, kami akan tunjukkan contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan formula.

Logaritma nombor positif b kepada asas a (ditandakan dengan log a b) ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Mengikut definisi, log a b = x, yang bersamaan dengan a x = b, oleh itu log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, kerana 2 3 = 8

log 7 49 = 2, kerana 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, kerana 5 -1 = 1/5

Logaritma perpuluhan- ini ialah logaritma biasa, asasnya ialah 10. Ia dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2, kerana 10 2 = 100

Logaritma semula jadi- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan asas e (e = 2.71828... - nombor tak rasional). Ditandakan sebagai ln.

Adalah dinasihatkan untuk menghafal formula atau sifat logaritma, kerana kita akan memerlukannya kemudian apabila menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma dan ketaksamaan. Mari kita teliti setiap formula sekali lagi dengan contoh.

Identiti logaritma asas
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritma hasil darab adalah sama dengan hasil tambah logaritma
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Sifat kuasa nombor logaritma dan asas logaritma
Eksponen bagi nombor logaritma log a b m = mlog a b

Eksponen asas log logaritma a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

jika m = n, kita mendapat log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Peralihan kepada asas baharu
log a b = log c b/log c a,
jika c = b, kita mendapat log b b = 1

kemudian log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang anda boleh lihat, formula untuk logaritma tidaklah rumit seperti yang kelihatan. Sekarang, setelah melihat contoh penyelesaian logaritma, kita boleh beralih kepada persamaan logaritma. Kami akan melihat contoh penyelesaian persamaan logaritma dengan lebih terperinci dalam artikel: "". Jangan terlepas!

Jika anda masih mempunyai soalan tentang penyelesaian, tuliskannya dalam ulasan artikel.

Nota: kami memutuskan untuk mendapatkan kelas pendidikan yang berbeza dan belajar di luar negara sebagai pilihan.

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

log a x+ log a y= log a (x · y);
log a x− log a y= log a (x : y).

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dan satu perkara lagi: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:
[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:

[Kapsyen untuk gambar]

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan log logaritma diberikan a x. Kemudian untuk sebarang nombor c sedemikian rupa c> 0 dan c≠ 1, kesamaan adalah benar:
[Kapsyen untuk gambar]
Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita dapat:
[Kapsyen untuk gambar]

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

[Kapsyen untuk gambar]

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

[Kapsyen untuk gambar]

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

[Kapsyen untuk gambar]

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi penunjuk darjah berdiri dalam hujah. Nombor n boleh jadi apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah yang dipanggil: identiti logaritma asas.

Malah, apa yang akan berlaku jika nombor b meningkatkan kuasa sehingga bilangan b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: anda mendapat nombor yang sama ini a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:
[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - kita hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

[Kapsyen untuk gambar]

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

log a a= 1 ialah unit logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a dari asas ini adalah sama dengan satu.
log a 1 = 0 ialah sifar logaritma. Pangkalan a boleh jadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a 0 = 1 adalah akibat langsung daripada definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.