Bagaimana untuk memudahkan contoh ungkapan. Bagaimana untuk memudahkan ungkapan algebra

§ 1 Konsep memudahkan ungkapan literal

Dalam pelajaran ini, kita akan membiasakan diri dengan konsep "istilah serupa" dan, menggunakan contoh, kita akan belajar cara melakukan pengurangan istilah yang serupa, dengan itu memudahkan ungkapan literal.

Mari kita ketahui maksud konsep "pemudahan". Perkataan “permudah” berasal daripada perkataan “permudahkan”. Memudahkan bermaksud menjadikan mudah, lebih ringkas. Oleh itu, untuk memudahkan ungkapan literal adalah untuk menjadikannya lebih pendek, dengan kuantiti minimum tindakan.

Pertimbangkan ungkapan 9x + 4x. Ini adalah ungkapan literal yang merupakan jumlah. Istilah di sini dibentangkan sebagai hasil darab nombor dan huruf. Faktor berangka bagi istilah tersebut dipanggil pekali. Dalam ungkapan ini, pekali ialah nombor 9 dan 4. Sila ambil perhatian bahawa faktor yang diwakili oleh huruf adalah sama dalam kedua-dua sebutan jumlah ini.

Mari kita ingat hukum pengagihan pendaraban:

Untuk mendarab jumlah dengan nombor, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor itu dan menambah produk yang terhasil.

DALAM pandangan umum ditulis seperti berikut: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Hukum ini adalah benar dalam kedua-dua arah ac + bc = (a + b) ∙ c

Mari kita gunakannya pada ungkapan literal kita: jumlah hasil darab 9x dan 4x adalah sama dengan hasil darab yang faktor pertamanya ialah sama dengan jumlah 9 dan 4, faktor kedua ialah x.

9 + 4 = 13, itu 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Daripada tiga tindakan dalam ungkapan, hanya ada satu tindakan yang tinggal - pendaraban. Ini bermakna bahawa kami telah menjadikan ungkapan literal kami lebih mudah, i.e. dipermudahkannya.

§ 2 Pengurangan istilah yang serupa

Istilah 9x dan 4x berbeza hanya dalam pekalinya - istilah sedemikian dipanggil serupa. Bahagian huruf bagi istilah yang serupa adalah sama. Istilah yang sama juga termasuk nombor dan sebutan yang sama.

Sebagai contoh, dalam ungkapan 9a + 12 - 15 sebutan yang serupa ialah nombor 12 dan -15, dan dalam jumlah hasil darab 12 dan 6a, nombor 14 dan hasil darab 12 dan 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) sebutan sama yang diwakili oleh hasil darab 12 dan 6a.

Adalah penting untuk diperhatikan bahawa istilah yang pekalinya sama, tetapi faktor hurufnya berbeza, tidak serupa, walaupun kadangkala berguna untuk menggunakan hukum taburan pendaraban kepada mereka, sebagai contoh, jumlah hasil darab 5x dan 5y ialah sama dengan hasil darab nombor 5 dan hasil tambah x dan y

5x + 5y = 5(x + y).

Mari kita ringkaskan ungkapan -9a + 15a - 4 + 10.

Istilah yang sama dalam dalam kes ini ialah sebutan -9a dan 15a, kerana ia hanya berbeza dalam pekalinya. Pengganda huruf mereka adalah sama, dan istilah -4 dan 10 juga serupa, kerana ia adalah nombor. Tambahkan istilah serupa:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Kami mendapat: 6a + 6.

Dengan mempermudahkan ungkapan, kami mendapati jumlah istilah yang serupa dalam matematik ini dipanggil pengurangan istilah yang serupa.

Jika menambah istilah sedemikian sukar, anda boleh membuat perkataan untuknya dan menambah objek.

Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan:

Untuk setiap huruf kita mengambil objek kita sendiri: b-apple, c-pear, maka kita mendapat: 2 epal tolak 5 pear ditambah 8 pear.

Bolehkah kita menolak pear daripada epal? Sudah tentu tidak. Tetapi kita boleh menambah 8 pear kepada tolak 5 pear.

Mari kita kemukakan istilah serupa -5 pear + 8 pear. Istilah yang sama mempunyai bahagian huruf yang sama, jadi apabila membawa istilah yang sama, cukup untuk menambah pekali dan menambah bahagian huruf kepada hasilnya:

(-5 + 8) pear - anda mendapat 3 pear.

Kembali kepada ungkapan literal kami, kami mempunyai -5 s + 8 s = 3 s. Oleh itu, selepas membawa istilah yang serupa, kita memperoleh ungkapan 2b + 3c.

Oleh itu, dalam pelajaran ini anda membiasakan diri dengan konsep "istilah serupa" dan belajar cara memudahkan ungkapan huruf dengan mengurangkan istilah yang serupa.

Senarai literatur yang digunakan:

1. Matematik. darjah 6: rancangan pengajaran ke buku teks I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // pengarang-penyusun L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematik. Darjah 6: buku teks untuk pelajar institusi pendidikan. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematik. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dan lain-lain/diedit oleh G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademi Sains Rusia, Akademi Pendidikan Rusia. M.: "Pencerahan", 2010.
4. Matematik. Darjah 6: pengajian untuk institusi pendidikan am/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematik. darjah 6: buku teks/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Imej yang digunakan:

Selalunya tugas memerlukan jawapan yang dipermudahkan. Walaupun kedua-dua jawapan mudah dan tidak mudah adalah betul, pengajar anda mungkin menurunkan gred anda jika anda tidak memudahkan jawapan anda. Selain itu, ungkapan matematik yang dipermudahkan adalah lebih mudah untuk digunakan. Oleh itu, adalah sangat penting untuk belajar untuk memudahkan ungkapan.

Langkah

Susunan operasi matematik yang betul

1. Ingat susunan pelaksanaan yang betul operasi matematik. Apabila memudahkan ungkapan matematik, perlu diperhatikan susunan tertentu tindakan, memandangkan sesetengah operasi matematik diutamakan berbanding yang lain dan mesti dilakukan terlebih dahulu (sebenarnya, tidak mengikut susunan yang betul dalam melakukan operasi akan membawa anda kepada keputusan yang salah). Ingat susunan operasi matematik berikut: ungkapan dalam kurungan, eksponen, darab, bahagi, tambah, tolak.

   • Ambil perhatian bahawa mengetahui susunan operasi yang betul akan membolehkan anda memudahkan kebanyakan ungkapan mudah, tetapi untuk memudahkan polinomial (ungkapan dengan pembolehubah), anda perlu mengetahui helah khas (lihat bahagian seterusnya).

2. Mulakan dengan menyelesaikan ungkapan dalam kurungan. Dalam matematik, kurungan menunjukkan bahawa ungkapan di dalamnya mesti dinilai terlebih dahulu. Oleh itu, apabila memudahkan sebarang ungkapan matematik, mulakan dengan menyelesaikan ungkapan yang disertakan dalam kurungan (tidak kira apa operasi yang anda perlu lakukan di dalam kurungan). Tetapi ingat bahawa apabila bekerja dengan ungkapan yang disertakan dalam kurungan, anda mesti mengikut susunan operasi, iaitu istilah dalam kurungan didarab, dibahagikan, ditambah, ditolak dan seterusnya.

   • Sebagai contoh, mari kita permudahkan ungkapan 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Di sini kita mulakan dengan ungkapan dalam kurungan: 5 + 2 = 7 dan 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Ungkapan dalam pasangan kurungan kedua dipermudahkan kepada 5 kerana 4/2 mesti dibahagikan terlebih dahulu (mengikut susunan operasi yang betul). Jika anda tidak mengikut perintah ini, anda akan mendapat jawapan yang salah: 3 + 4 = 7 dan 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Jika terdapat sepasang kurungan lain dalam kurungan, mula permudahkan dengan menyelesaikan ungkapan dalam kurungan dalam dan kemudian teruskan untuk menyelesaikan ungkapan dalam kurungan luar.

3. Exponentiate. Setelah menyelesaikan ungkapan dalam kurungan, teruskan ke eksponen (ingat bahawa kuasa mempunyai eksponen dan asas). Naikkan ungkapan (atau nombor) yang sepadan kepada kuasa dan gantikan hasilnya ke dalam ungkapan yang diberikan kepada anda.

   • Dalam contoh kami, satu-satunya ungkapan (nombor) kepada kuasa ialah 3 2: 3 2 = 9. Dalam ungkapan yang diberikan kepada anda, gantikan 3 2 dengan 9 dan anda akan mendapat: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. gandakan. Ingat bahawa operasi pendaraban boleh diwakili oleh simbol berikut: "x", "∙" atau "*". Tetapi jika tiada simbol antara nombor dan pembolehubah (contohnya, 2x) atau antara nombor dan nombor dalam kurungan (contohnya, 4(7)), maka ini juga merupakan operasi pendaraban.

   • Dalam contoh kami, terdapat dua operasi pendaraban: 2x (dua didarab dengan pembolehubah “x”) dan 4(7) (empat didarab dengan tujuh). Kami tidak tahu nilai x, jadi kami akan meninggalkan ungkapan 2x seperti sedia ada. 4(7) = 4 x 7 = 28. Sekarang anda boleh menulis semula ungkapan yang diberikan kepada anda seperti berikut: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Bahagikan. Ingat bahawa operasi bahagi boleh diwakili oleh simbol berikut: “/”, “÷” atau “–” (anda boleh melihat aksara terakhir dalam pecahan). Sebagai contoh, 3/4 ialah tiga dibahagikan dengan empat.

   • Dalam contoh kami, tiada lagi operasi bahagi, kerana anda sudah membahagi 4 dengan 2 (4/2) apabila menyelesaikan ungkapan dalam kurungan. Jadi anda boleh pergi ke langkah seterusnya. Ingat bahawa kebanyakan ungkapan tidak mengandungi semua operasi matematik sekaligus (hanya sebahagian daripadanya).

6. lipat. Apabila menambah istilah bagi sesuatu ungkapan, anda boleh mulakan dengan istilah di paling jauh (ke kiri), atau anda boleh menambah istilah yang ditambah dengan mudah dahulu. Sebagai contoh, dalam ungkapan 49 + 29 + 51 +71, mula-mula lebih mudah untuk menambah 49 + 51 = 100, kemudian 29 + 71 = 100 dan akhirnya 100 + 100 = 200. Ia adalah lebih sukar untuk menambah seperti ini: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Dalam contoh kami 2x + 28 + 9 + 5 terdapat dua operasi tambah. Mari kita mulakan dengan sebutan paling luar (kiri): 2x + 28; anda tidak boleh menambah 2x dan 28 kerana anda tidak tahu nilai pembolehubah "x". Oleh itu, tambah 28 + 9 = 37. Sekarang ungkapan itu boleh ditulis semula seperti berikut: 2x + 37 - 5.

7. Tolak. ini operasi terakhir V mengikut susunan yang betul menjalankan operasi matematik. Pada peringkat ini anda juga boleh menambah nombor negatif atau lakukan pada peringkat menambah ahli - ini tidak akan menjejaskan keputusan akhir dalam apa cara sekalipun.

   • Dalam contoh kami 2x + 37 - 5 hanya terdapat satu operasi tolak: 37 - 5 = 32.

8. Pada peringkat ini, selepas melakukan semua operasi matematik, anda harus mendapatkan ungkapan yang dipermudahkan. Tetapi jika ungkapan yang diberikan kepada anda mengandungi satu atau lebih pembolehubah, maka ingat bahawa istilah dengan pembolehubah akan kekal seperti sedia ada. Menyelesaikan (tidak memudahkan) ungkapan dengan pembolehubah melibatkan mencari nilai pembolehubah itu. Kadangkala ungkapan berubah boleh dipermudahkan menggunakan kaedah khas(lihat bahagian seterusnya).

   • Dalam contoh kami, jawapan akhir ialah 2x + 32. Anda tidak boleh menambah dua istilah sehingga anda mengetahui nilai pembolehubah "x". Sebaik sahaja anda mengetahui nilai pembolehubah, anda boleh memudahkan binomial ini dengan mudah.

   Memudahkan ungkapan kompleks

   1. Penambahan istilah yang serupa. Ingat bahawa anda hanya boleh menolak dan menambah istilah yang serupa, iaitu istilah dengan pembolehubah yang sama dan penunjuk yang sama ijazah. Sebagai contoh, anda boleh menambah 7x dan 5x, tetapi anda tidak boleh menambah 7x dan 5x 2 (kerana eksponen adalah berbeza).

      • Peraturan ini juga terpakai kepada ahli yang mempunyai berbilang pembolehubah. Sebagai contoh, anda boleh menambah 2xy 2 dan -3xy 2 , tetapi anda tidak boleh menambah 2xy 2 dan -3x 2 y atau 2xy 2 dan -3y 2 .
      • Mari kita lihat contoh: x 2 + 3x + 6 - 8x. Di sini istilah serupa ialah 3x dan 8x, jadi ia boleh ditambah bersama. Ungkapan yang dipermudahkan kelihatan seperti ini: x 2 - 5x + 6.

   2. Permudahkan pecahan nombor. Dalam pecahan sedemikian, kedua-dua pengangka dan penyebut mengandungi nombor (tanpa pembolehubah). Pecahan berangka dipermudahkan dalam beberapa cara. Pertama, cukup bahagikan penyebut dengan pengangka. Kedua, faktorkan pengangka dan penyebut dan batalkan faktor yang serupa (kerana membahagikan nombor dengan sendirinya akan memberi anda 1). Dengan kata lain, jika kedua-dua pengangka dan penyebut mempunyai faktor yang sama, anda boleh menggugurkannya dan mendapatkan pecahan yang dipermudahkan.

      • Sebagai contoh, pertimbangkan pecahan 36/60. Dengan menggunakan kalkulator, bahagikan 36 dengan 60 untuk mendapatkan 0.6. Tetapi anda boleh memudahkan pecahan ini dengan cara lain dengan memfaktorkan pengangka dan penyebut: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Oleh kerana 6/6 = 1, pecahan yang dipermudahkan ialah: 1 x 6/10 = 6/10. Tetapi pecahan ini juga boleh dipermudahkan: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Jika pecahan mengandungi pembolehubah, anda boleh membatalkan faktor seperti dengan pembolehubah. Faktorkan kedua-dua pengangka dan penyebut dan batalkan faktor serupa, walaupun ia mengandungi pembolehubah (ingat bahawa faktor serupa di sini mungkin mengandungi pembolehubah atau tidak).

      • Mari kita lihat contoh: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ungkapan ini boleh ditulis semula (difaktorkan) dalam bentuk: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Oleh kerana sebutan 3x berada dalam kedua-dua pengangka dan penyebut, anda boleh membatalkannya untuk memberikan ungkapan yang dipermudahkan: (x + 1)/(5 - x). Mari lihat contoh lain: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Sila ambil perhatian bahawa anda tidak boleh membatalkan sebarang istilah - hanya faktor yang sama yang terdapat dalam kedua-dua pengangka dan penyebut dibatalkan. Sebagai contoh, dalam ungkapan (x(x + 2))/x, pembolehubah (faktor) “x” berada dalam kedua-dua pengangka dan penyebut, jadi “x” boleh dikurangkan untuk mendapatkan ungkapan yang dipermudahkan: (x + 2)/1 = x + 2. Walau bagaimanapun, dalam ungkapan (x + 2)/x, pembolehubah “x” tidak boleh dikurangkan (kerana “x” bukan faktor dalam pengangka).

   4. Buka kurungan. Untuk melakukan ini, darabkan istilah di luar kurungan dengan setiap istilah dalam kurungan. Kadangkala ini membantu untuk memudahkan ungkapan yang kompleks. Ini terpakai kepada kedua-dua ahli yang nombor perdana, dan kepada ahli yang mengandungi pembolehubah.

      • Contohnya, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, dan 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Sila ambil perhatian bahawa dalam ungkapan pecahan Tidak perlu membuka kurungan jika faktor yang sama terdapat dalam kedua-dua pengangka dan penyebut. Sebagai contoh, dalam ungkapan (3(x 2 + 8))/3x tidak perlu mengembangkan kurungan, kerana di sini anda boleh membatalkan faktor 3 dan mendapatkan ungkapan yang dipermudahkan (x 2 + 8)/x. Ungkapan ini lebih mudah digunakan; jika anda ingin mengembangkan kurungan, anda akan mendapat ungkapan kompleks berikut: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Polinomial faktor. Menggunakan kaedah ini, anda boleh memudahkan beberapa ungkapan dan polinomial. Pemfaktoran ialah operasi bertentangan dengan pembukaan kurungan, iaitu ungkapan ditulis sebagai hasil darab dua ungkapan, setiap satunya disertakan dalam kurungan. Dalam sesetengah kes, pemfaktoran boleh mengurangkan ungkapan yang sama. DALAM kes khas(biasanya dengan persamaan kuadratik) pemfaktoran akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan.

      • Pertimbangkan ungkapan x 2 - 5x + 6. Ia difaktorkan: (x - 3)(x - 2). Oleh itu, jika, sebagai contoh, ungkapan diberikan (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), maka anda boleh menulis semula sebagai (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), kurangkan ungkapan (x - 2) dan dapatkan ungkapan yang dipermudahkan (x - 3)/2.
      • Polinomial pemfaktoran digunakan untuk menyelesaikan (mencari punca) persamaan (persamaan ialah polinomial bersamaan dengan 0). Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 5x + 6 = 0. Dengan memfaktorkannya, anda mendapat (x - 3)(x - 2) = 0. Oleh kerana sebarang ungkapan yang didarab dengan 0 adalah sama dengan 0, kita boleh menulisnya seperti ini : x - 3 = 0 dan x - 2 = 0. Oleh itu, x = 3 dan x = 2, iaitu, anda telah menemui dua punca persamaan yang diberikan kepada anda.

Ungkapan literal (atau ungkapan dengan pembolehubah) ialah ungkapan matematik, yang terdiri daripada nombor, huruf dan simbol operasi matematik. Sebagai contoh, ungkapan berikut adalah literal:

a+b+4

Menggunakan ungkapan abjad anda boleh menulis undang-undang, formula, persamaan dan fungsi. Keupayaan untuk memanipulasi ungkapan huruf adalah kuncinya ilmu yang baik algebra dan matematik yang lebih tinggi.

Sebarang masalah serius dalam matematik bermuara kepada penyelesaian persamaan. Dan untuk dapat menyelesaikan persamaan, anda perlu dapat bekerja dengan ungkapan literal.

Untuk bekerja dengan ungkapan literal, anda perlu mahir dalam aritmetik asas: penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, hukum asas matematik, pecahan, operasi dengan pecahan, perkadaran. Dan bukan hanya belajar, tetapi fahami dengan teliti.

Isi pelajaran

Pembolehubah

Huruf yang terkandung dalam ungkapan literal dipanggil pembolehubah. Sebagai contoh, dalam ungkapan a+b+4 pembolehubah ialah huruf a Dan b. Jika kita menggantikan sebarang nombor dan bukannya pembolehubah ini, maka ungkapan literal a+b+4 kenalan ungkapan angka, yang nilainya boleh didapati.

Nombor yang digantikan untuk pembolehubah dipanggil nilai pembolehubah. Sebagai contoh, mari kita ubah nilai pembolehubah a Dan b. Tanda sama digunakan untuk menukar nilai

a = 2, b = 3

Kami telah menukar nilai pembolehubah a Dan b. Pembolehubah a diberi nilai 2 , pembolehubah b diberi nilai 3 . Akibatnya, ungkapan literal a+b+4 bertukar menjadi ungkapan angka biasa 2+3+4 yang nilainya boleh didapati:

2 + 3 + 4 = 9

Apabila pembolehubah didarab, ia ditulis bersama. Sebagai contoh, rekod ab maksudnya sama dengan entry a×b. Jika kita menggantikan pembolehubah a Dan b nombor 2 Dan 3 , maka kita dapat 6

2 × 3 = 6

Anda juga boleh menulis bersama-sama pendaraban nombor dengan ungkapan dalam kurungan. Sebagai contoh, bukannya a×(b + c) boleh ditulis a(b + c). Menggunakan hukum taburan pendaraban, kita perolehi a(b + c)=ab+ac.

Kemungkinan

Dalam ungkapan literal anda selalunya boleh mencari tatatanda di mana nombor dan pembolehubah ditulis bersama, sebagai contoh 3a. Ini sebenarnya adalah singkatan untuk mendarab nombor 3 dengan pembolehubah. a dan entri ini kelihatan seperti 3×a .

Dengan kata lain, ungkapan 3a ialah hasil darab nombor 3 dan pembolehubah a. Nombor 3 dalam kerja ini mereka panggil pekali. Pekali ini menunjukkan berapa kali pembolehubah akan ditingkatkan a. Ungkapan ini boleh dibaca sebagai " a tiga kali" atau "tiga kali A", atau "meningkatkan nilai pembolehubah a tiga kali", tetapi paling kerap dibaca sebagai "tiga a«

Contohnya, jika pembolehubah a sama dengan 5 , kemudian nilai ungkapan 3a akan sama dengan 15.

3 × 5 = 15

Bercakap dalam bahasa mudah, pekali ialah nombor yang datang sebelum huruf (sebelum pembolehubah).

Terdapat beberapa huruf, sebagai contoh 5abc. Di sini pekali ialah nombor 5 . Pekali ini menunjukkan bahawa hasil darab pembolehubah abc meningkat lima kali ganda. Ungkapan ini boleh dibaca sebagai " abc lima kali" atau "meningkatkan nilai ungkapan abc lima kali" atau "lima abc«.

Jika bukan pembolehubah abc gantikan nombor 2, 3 dan 4, kemudian nilai ungkapan 5abc akan sama 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Anda boleh membayangkan secara mental bagaimana nombor 2, 3 dan 4 mula-mula didarab, dan nilai yang terhasil meningkat lima kali ganda:

Tanda pekali hanya merujuk kepada pekali dan tidak digunakan pada pembolehubah.

Pertimbangkan ungkapan −6b. Tolak sebelum pekali 6 , terpakai hanya pada pekali 6 , dan tidak tergolong dalam pembolehubah b. Memahami fakta ini akan membolehkan anda tidak membuat kesilapan pada masa akan datang dengan tanda-tanda.

Mari cari nilai ungkapan itu −6b di b = 3.

−6b −6×b. Untuk kejelasan, mari kita tulis ungkapan itu −6b dalam bentuk kembangan dan gantikan nilai pembolehubah b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Contoh 2. Cari nilai ungkapan −6b di b = −5

Mari kita tulis ungkapan −6b dalam bentuk yang diperluaskan

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Contoh 3. Cari nilai ungkapan −5a+b di a = 3 Dan b = 2

−5a+b ini bentuk pendek penyertaan daripada −5 × a + b, jadi untuk kejelasan kami menulis ungkapan itu −5×a+b dalam bentuk kembangan dan gantikan nilai pembolehubah a Dan b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Kadang-kadang huruf ditulis tanpa pekali, sebagai contoh a atau ab. Dalam kes ini, pekalinya ialah perpaduan:

tetapi secara tradisinya unit itu tidak ditulis, jadi mereka hanya menulis a atau ab

Sekiranya terdapat tolak sebelum huruf, maka pekalinya ialah nombor −1 . Contohnya, ungkapan −a sebenarnya kelihatan seperti −1a. Ini ialah hasil tolak satu dan pembolehubah a. Ternyata begini:

−1 × a = −1a

Terdapat tangkapan kecil di sini. Dalam ungkapan −a tanda tolak di hadapan pembolehubah a sebenarnya merujuk kepada "unit tidak kelihatan" dan bukannya pembolehubah a. Oleh itu, anda harus berhati-hati apabila menyelesaikan masalah.

Contohnya, jika diberi ungkapan −a dan kami diminta untuk mencari nilainya di a = 2, kemudian di sekolah kami menggantikan dua dan bukannya pembolehubah a dan mendapat jawapan −2 , tanpa terlalu memfokuskan pada bagaimana ia ternyata. Malah, tolak satu didarab dengan nombor positif 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Jika diberi ungkapan −a dan anda perlu mencari nilainya di a = −2, kemudian kita gantikan −2 bukannya pembolehubah a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Untuk mengelakkan kesilapan, pada mulanya unit yang tidak kelihatan boleh ditulis secara eksplisit.

Contoh 4. Cari nilai ungkapan abc di a=2 , b=3 Dan c=4

Ungkapan abc 1×a×b×c. Untuk kejelasan, mari kita tulis ungkapan itu abc a, b Dan c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Contoh 5. Cari nilai ungkapan abc di a=−2 , b=−3 Dan c=−4

Mari kita tulis ungkapan abc dalam bentuk diperluas dan gantikan nilai pembolehubah a, b Dan c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Contoh 6. Cari nilai ungkapan − abc di a=3 , b=5 dan c=7

Ungkapan − abc ini adalah bentuk pendek untuk −1×a×b×c. Untuk kejelasan, mari kita tulis ungkapan itu − abc dalam bentuk diperluas dan gantikan nilai pembolehubah a, b Dan c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Contoh 7. Cari nilai ungkapan − abc di a=−2 , b=−4 dan c=−3

Mari kita tulis ungkapan − abc dalam bentuk yang diperluaskan:

−abc = −1 × a × b × c

Mari kita gantikan nilai pembolehubah a , b Dan c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Bagaimana untuk menentukan pekali

Kadangkala anda perlu menyelesaikan masalah di mana anda perlu menentukan pekali ungkapan. Pada dasarnya, tugasan ini sangat mudah. Ia cukup untuk dapat mendarab nombor dengan betul.

Untuk menentukan pekali dalam ungkapan, anda perlu mendarab secara berasingan nombor yang disertakan dalam ungkapan ini dan secara berasingan mendarabkan huruf. Faktor berangka yang terhasil akan menjadi pekali.

Contoh 1. 7m×5a×(−3)×n

Ungkapan itu terdiri daripada beberapa faktor. Ini boleh dilihat dengan jelas jika anda menulis ungkapan dalam bentuk yang diperluaskan. Iaitu, karya-karya 7m Dan 5a tulis dalam borang 7×m Dan 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Mari kita gunakan undang-undang bersekutu pendaraban, yang membolehkan anda mendarab faktor dalam sebarang susunan. Iaitu, kita akan secara berasingan mendarabkan nombor dan secara berasingan mendarabkan huruf (pembolehubah):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105lelaki

Pekalinya ialah −105 . Selepas selesai, adalah dinasihatkan untuk menyusun bahagian huruf dalam susunan abjad:

−105pagi

Contoh 2. Tentukan pekali dalam ungkapan: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Pekalinya ialah 6.

Contoh 3. Tentukan pekali dalam ungkapan:

Mari kita darab nombor dan huruf secara berasingan:

Pekali ialah -1. Sila ambil perhatian bahawa unit tidak ditulis, kerana kebiasaan untuk tidak menulis pekali 1.

Tugasan yang kelihatan paling mudah ini boleh memainkan jenaka yang sangat kejam kepada kita. Selalunya ternyata tanda pekali ditetapkan secara tidak betul: sama ada tolak hilang atau, sebaliknya, ia telah ditetapkan dengan sia-sia. Untuk mengelakkan ini kesilapan yang menjengkelkan, mesti dipelajari pada tahap yang baik.

Penambahan dalam ungkapan literal

Apabila menambah beberapa nombor, jumlah nombor ini diperolehi. Nombor yang menambah dipanggil addends. Terdapat beberapa istilah, contohnya:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Apabila ungkapan terdiri daripada istilah, lebih mudah untuk dinilai kerana menambah lebih mudah daripada menolak. Tetapi ungkapan itu boleh mengandungi bukan sahaja penambahan, tetapi juga penolakan, sebagai contoh:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Dalam ungkapan ini, nombor 3 dan 5 adalah subtrahend, bukan addend. Tetapi tiada apa yang menghalang kita daripada menggantikan penolakan dengan penambahan. Kemudian kita sekali lagi mendapat ungkapan yang terdiri daripada istilah:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Tidak kira nombor −3 dan −5 kini mempunyai tanda tolak. Perkara utama ialah semua nombor dalam ungkapan ini disambungkan dengan tanda tambahan, iaitu, ungkapan itu adalah jumlah.

Kedua-dua ungkapan 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Dan 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sama dengan nilai yang sama - tolak satu

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Oleh itu, makna ungkapan tidak akan terjejas jika kita menggantikan penolakan dengan penambahan di suatu tempat.

Anda juga boleh menggantikan penolakan dengan penambahan dalam ungkapan literal. Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan berikut:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Untuk sebarang nilai pembolehubah a, b, c, d Dan s ungkapan 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Dan 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) akan sama dengan nilai yang sama.

Anda mesti bersedia untuk fakta bahawa guru di sekolah atau guru di institut boleh memanggil nombor genap (atau pembolehubah) yang bukan addend.

Contohnya, jika perbezaan itu ditulis di papan tulis a−b, maka cikgu takkan cakap macam tu a adalah minit, dan b- boleh ditolak. Dia akan memanggil kedua-dua pembolehubah satu secara umum — syarat. Dan semua kerana ungkapan bentuk a−b ahli matematik melihat bagaimana jumlah a+(−b). Dalam kes ini, ungkapan menjadi jumlah, dan pembolehubah a Dan (−b) menjadi istilah.

Istilah yang serupa

Istilah yang serupa- ini adalah istilah yang mempunyai bahagian huruf yang sama. Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan 7a + 6b + 2a. Komponen 7a Dan 2a mempunyai bahagian huruf yang sama - pembolehubah a. Jadi syaratnya 7a Dan 2a adalah serupa.

Biasanya, istilah serupa ditambah untuk memudahkan ungkapan atau menyelesaikan persamaan. Operasi ini dipanggil membawa istilah yang serupa.

Untuk membawa istilah yang serupa, anda perlu menambah pekali istilah ini, dan darabkan hasil yang terhasil dengan bahagian huruf biasa.

Sebagai contoh, mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 3a + 4a + 5a. Dalam kes ini, semua istilah adalah serupa. Mari kita tambahkan pekalinya dan darabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa - dengan pembolehubah a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Istilah yang sama biasanya dibawa dalam fikiran dan hasilnya ditulis dengan serta-merta:

3a + 4a + 5a = 12a

Juga, seseorang boleh membuat alasan seperti berikut:

Terdapat 3 pembolehubah a , 4 lagi pembolehubah a dan 5 lagi pembolehubah a telah ditambah kepada mereka. Hasilnya, kami mendapat 12 pembolehubah a

Mari kita lihat beberapa contoh membawa istilah yang serupa. Memandangkan itu topik ini adalah sangat penting, pada mulanya kami akan menulis setiap butiran kecil secara terperinci. Walaupun pada hakikatnya semuanya sangat mudah di sini, kebanyakan orang membuat banyak kesilapan. Kebanyakannya disebabkan oleh ketidakpedulian, bukan kejahilan.

Contoh 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Mari kita tambahkan pekali dalam ungkapan ini dan darabkan hasil yang terhasil dengan bahagian huruf biasa:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

reka bentuk (3 + 2 + 6 + 8)×a Anda tidak perlu menulisnya, jadi kami akan menulis jawapannya dengan segera

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Contoh 2. Berikan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 2a+a

Penggal kedua a ditulis tanpa pekali, tetapi sebenarnya terdapat pekali di hadapannya 1 , yang kita tidak nampak kerana ia tidak direkodkan. Jadi ungkapan itu kelihatan seperti ini:

2a + 1a

Sekarang mari kita kemukakan istilah yang serupa. Iaitu, kami menambah pekali dan mendarabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Mari tulis penyelesaian secara ringkas:

2a + a = 3a

2a+a, anda boleh berfikir secara berbeza:

Contoh 3. Berikan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 2a−a

Mari gantikan penolakan dengan penambahan:

2a + (−a)

Penggal kedua (−a) ditulis tanpa pekali, tetapi pada hakikatnya ia kelihatan seperti (−1a). Pekali −1 sekali lagi tidak kelihatan kerana fakta bahawa ia tidak dirakam. Jadi ungkapan itu kelihatan seperti ini:

2a + (−1a)

Sekarang mari kita kemukakan istilah yang serupa. Mari tambah pekali dan darabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Biasanya ditulis lebih pendek:

2a − a = a

Memberi istilah yang serupa dalam ungkapan 2a−a Anda boleh berfikir secara berbeza:

Terdapat 2 pembolehubah a, tolak satu pembolehubah a, akhirnya hanya tinggal satu pembolehubah a

Contoh 4. Berikan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Sekarang mari kita kemukakan istilah yang serupa. Mari tambah pekali dan darab hasilnya dengan jumlah bahagian huruf

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Mari tulis penyelesaian secara ringkas:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Terdapat ungkapan yang mengandungi beberapa pelbagai kumpulan istilah yang serupa. Sebagai contoh, 3a + 3b + 7a + 2b. Untuk ungkapan sedemikian, peraturan yang sama digunakan seperti yang lain, iaitu, menambah pekali dan mendarabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa. Tetapi untuk mengelakkan kesilapan, ia mudah kumpulan yang berbeza Istilah diserlahkan dengan baris yang berbeza.

Sebagai contoh, dalam ungkapan 3a + 3b + 7a + 2b istilah yang mengandungi pembolehubah a, boleh digariskan dengan satu baris dan istilah yang mengandungi pembolehubah b, boleh ditekankan dengan dua baris:

Sekarang kita boleh mengemukakan istilah yang serupa. Iaitu, tambah pekali dan darabkan hasil yang terhasil dengan jumlah bahagian huruf. Ini mesti dilakukan untuk kedua-dua kumpulan istilah: untuk istilah yang mengandungi pembolehubah a dan untuk istilah yang mengandungi pembolehubah b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Sekali lagi, kami ulangi, ungkapan itu mudah, dan istilah yang serupa boleh diberikan dalam fikiran:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Contoh 5. Berikan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 5a − 6a −7b + b

Mari gantikan penolakan dengan penambahan jika boleh:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Mari kita gariskan istilah yang serupa dengan baris yang berbeza. Istilah yang mengandungi pembolehubah a kita gariskan dengan satu baris, dan istilah adalah kandungan pembolehubah b, gariskan dengan dua baris:

Sekarang kita boleh mengemukakan istilah yang serupa. Iaitu, tambah pekali dan darabkan hasil yang terhasil dengan bahagian huruf biasa:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Jika ungkapan tersebut mengandungi nombor biasa tanpa faktor huruf, ia ditambah secara berasingan.

Contoh 6. Berikan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Mari gantikan penolakan dengan penambahan jika boleh:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Mari kita kemukakan istilah yang serupa. Nombor −5 Dan 7 tidak mempunyai faktor huruf, tetapi ia adalah istilah yang serupa - ia hanya perlu ditambah. Dan istilah 2b akan kekal tidak berubah, kerana ia adalah satu-satunya dalam ungkapan ini yang mempunyai faktor huruf b, dan tiada apa-apa untuk menambahnya dengan:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Mari tulis penyelesaian secara ringkas:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Istilah boleh dipesan supaya istilah yang mempunyai bahagian huruf yang sama terletak di bahagian ungkapan yang sama.

Contoh 7. Berikan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 5t+2x+3x+5t+x

Memandangkan ungkapan itu adalah jumlah beberapa istilah, ini membolehkan kami menilainya dalam sebarang susunan. Oleh itu, istilah yang mengandungi pembolehubah t, boleh ditulis pada permulaan ungkapan, dan istilah yang mengandungi pembolehubah x pada akhir ungkapan:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Sekarang kita boleh membentangkan istilah yang serupa:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Mari tulis penyelesaian secara ringkas:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Jumlah nombor berlawanan sama dengan sifar. Peraturan ini juga berfungsi untuk ungkapan literal. Jika ungkapan mengandungi istilah yang sama, tetapi dengan tanda yang bertentangan, maka anda boleh menyingkirkannya pada peringkat mengurangkan istilah yang serupa. Dalam erti kata lain, hanya hapuskan mereka daripada ungkapan, kerana jumlahnya adalah sifar.

Contoh 8. Berikan istilah yang serupa dalam ungkapan tersebut 3t − 4t − 3t + 2t

Mari gantikan penolakan dengan penambahan jika boleh:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponen 3t Dan (−3t) adalah bertentangan. Jumlah sebutan berlawanan ialah sifar. Jika kami mengalih keluar sifar ini daripada ungkapan, nilai ungkapan tidak akan berubah, jadi kami akan mengalih keluarnya. Dan kami akan mengeluarkannya dengan hanya memotong syarat 3t Dan (−3t)

Akibatnya, kita akan ditinggalkan dengan ungkapan (−4t) + 2t. Dalam ungkapan ini, anda boleh menambah istilah yang serupa dan mendapatkan jawapan akhir:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Mari tulis penyelesaian secara ringkas:

Memudahkan Ungkapan

"mudahkan ungkapan" dan di bawah adalah ungkapan yang perlu dipermudahkan. Permudahkan ungkapan bermakna menjadikannya lebih ringkas dan lebih pendek.

Malah, kami telah pun memudahkan ungkapan apabila kami telah mengurangkan pecahan. Selepas pengurangan, pecahan menjadi lebih pendek dan lebih mudah difahami.

Pertimbangkan contoh berikut. Permudahkan ungkapan.

Tugas ini secara literal boleh difahami seperti berikut: "Gunakan sebarang tindakan yang sah pada ungkapan ini, tetapi jadikan ia lebih mudah." .

Dalam kes ini, anda boleh mengurangkan pecahan, iaitu, bahagikan pengangka dan penyebut pecahan itu dengan 2:

Apa lagi yang boleh anda lakukan? Anda boleh mengira pecahan yang terhasil. Kemudian kita mendapat pecahan perpuluhan 0.5

Hasilnya, pecahan telah dipermudahkan kepada 0.5.

Soalan pertama yang perlu anda tanya pada diri sendiri apabila membuat keputusan tugasan yang serupa, mestilah “Apa yang boleh dibuat?” . Kerana ada tindakan yang boleh anda lakukan, dan ada tindakan yang tidak boleh anda lakukan.

Satu lagi perkara penting Perkara yang perlu diingat ialah nilai ungkapan tidak boleh berubah selepas memudahkan ungkapan. Mari kita kembali kepada ungkapan. Ungkapan ini mewakili bahagian yang boleh dilakukan. Setelah melakukan pembahagian ini, kami mendapat nilai ungkapan ini, yang sama dengan 0.5

Tetapi kami memudahkan ungkapan itu dan mendapat ungkapan ringkas baharu. Nilai ungkapan dipermudahkan baharu masih 0.5

Tetapi kami juga cuba untuk memudahkan ungkapan dengan mengiranya. Hasilnya, kami menerima jawapan akhir sebanyak 0.5.

Oleh itu, tidak kira bagaimana kita memudahkan ungkapan, nilai ungkapan yang terhasil masih sama dengan 0.5. Ini bermakna pemudahan telah dijalankan dengan betul pada setiap peringkat. Inilah yang harus kita perjuangkan apabila mempermudahkan ungkapan - maksud ungkapan itu tidak seharusnya menderita akibat tindakan kita.

Selalunya perlu untuk memudahkan ungkapan literal. Peraturan penyederhanaan yang sama digunakan untuk mereka seperti untuk ungkapan berangka. Anda boleh melakukan sebarang tindakan yang sah, selagi nilai ungkapan tidak berubah.

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 1. Permudahkan sesuatu ungkapan 5.21s × t × 2.5

Untuk memudahkan ungkapan ini, anda boleh mendarab nombor secara berasingan dan mendarab huruf secara berasingan. Tugas ini sangat serupa dengan yang kami lihat semasa kami belajar untuk menentukan pekali:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Jadi ungkapan 5.21s × t × 2.5 dipermudahkan kepada 13,025hb.

Contoh 2. Permudahkan sesuatu ungkapan −0.4 × (−6.3b) × 2

Sekeping kedua (−6.3b) boleh diterjemahkan ke dalam bentuk yang boleh difahami oleh kita, iaitu ditulis dalam bentuk ( −6,3)×b , kemudian darab nombor secara berasingan dan darab huruf secara berasingan:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

Jadi ungkapan −0.4 × (−6.3b) × 2 dipermudahkan kepada 5.04b

Contoh 3. Permudahkan sesuatu ungkapan

Mari tulis ungkapan ini dengan lebih terperinci untuk melihat dengan jelas di mana nombor dan di mana hurufnya:

Sekarang mari kita darabkan nombor secara berasingan dan darabkan huruf secara berasingan:

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada −abc. Penyelesaian ini boleh ditulis secara ringkas:

Apabila memudahkan ungkapan, pecahan boleh dikurangkan semasa proses penyelesaian, dan bukan pada akhir, seperti yang kita lakukan dengan pecahan biasa. Sebagai contoh, jika dalam proses penyelesaian kita menjumpai ungkapan bentuk , maka sama sekali tidak perlu untuk mengira pengangka dan penyebut dan melakukan sesuatu seperti ini:

Pecahan boleh dikurangkan dengan memilih faktor dalam pengangka dan penyebut dan mengurangkan faktor ini dengan terbesarnya. pembahagi biasa. Dalam erti kata lain, penggunaan di mana kita tidak menerangkan secara terperinci apa pembahagi pengangka dan penyebut.

Sebagai contoh, dalam pengangka faktornya ialah 12 dan dalam penyebut faktor 4 boleh dikurangkan dengan 4. Kami menyimpan empat dalam fikiran kami, dan membahagikan 12 dan 4 dengan empat ini, kami menulis jawapan di sebelah nombor ini, setelah terlebih dahulu mencoret mereka

Kini anda boleh mendarabkan faktor kecil yang terhasil. Dalam kes ini, terdapat beberapa daripadanya dan anda boleh melipatgandakannya dalam fikiran anda:

Dari masa ke masa, anda mungkin mendapati bahawa apabila menyelesaikan masalah tertentu, ungkapan mula "menjadi gemuk", jadi adalah dinasihatkan untuk membiasakan diri pengiraan pantas. Apa yang boleh dikira dalam fikiran mesti dikira dalam fikiran. Yang boleh cepat dikurangkan mesti cepat dikurangkan.

Contoh 4. Permudahkan sesuatu ungkapan

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada

Contoh 5. Permudahkan sesuatu ungkapan

Mari kita darabkan nombor secara berasingan dan huruf secara berasingan:

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada mn.

Contoh 6. Permudahkan sesuatu ungkapan

Mari tulis ungkapan ini dengan lebih terperinci untuk melihat dengan jelas di mana nombor dan di mana hurufnya:

Sekarang mari kita darabkan nombor secara berasingan dan huruf secara berasingan. Untuk memudahkan pengiraan, pecahan perpuluhan −6.4 dan nombor bercampur boleh ditukar kepada pecahan biasa:

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada

Penyelesaian untuk contoh ini boleh ditulis dengan lebih pendek. Ia akan kelihatan seperti ini:

Contoh 7. Permudahkan sesuatu ungkapan

Mari kita darab nombor secara berasingan dan huruf secara berasingan. Untuk memudahkan pengiraan, nombor bercampur dan perpuluhan 0.1 dan 0.6 boleh ditukar kepada pecahan biasa:

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada abcd. Jika anda melangkau butiran, maka keputusan ini boleh ditulis lebih pendek:

Perhatikan bagaimana pecahan telah dikurangkan. Faktor baru yang diperoleh hasil daripada pengurangan faktor sebelumnya juga dibenarkan untuk dikurangkan.

Sekarang mari kita bercakap tentang apa yang tidak boleh dilakukan. Apabila memudahkan ungkapan, dilarang sama sekali untuk mendarab nombor dan huruf jika ungkapan itu adalah jumlah dan bukan hasil darab.

Sebagai contoh, jika anda ingin memudahkan ungkapan 5a+4b, maka anda tidak boleh menulisnya seperti ini:

Ini adalah sama seperti jika kita diminta untuk menambah dua nombor dan kita mendarabnya daripada menambahnya.

Apabila menggantikan sebarang nilai pembolehubah a Dan b ungkapan 5a +4b bertukar menjadi ungkapan berangka biasa. Mari kita andaikan bahawa pembolehubah a Dan b mempunyai makna berikut:

a = 2, b = 3

Kemudian nilai ungkapan akan sama dengan 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Pertama, pendaraban dilakukan, dan kemudian hasilnya ditambah. Dan jika kita cuba untuk memudahkan ungkapan ini dengan mendarab nombor dan huruf, kita akan mendapat yang berikut:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Ternyata makna ungkapan yang sama sekali berbeza. Dalam kes pertama ia berfungsi 22 , dalam kes kedua 120 . Ini bermakna bahawa memudahkan ungkapan 5a+4b telah dilakukan secara tidak betul.

Selepas memudahkan ungkapan, nilainya tidak boleh berubah dengan nilai pembolehubah yang sama. Jika, apabila menggantikan mana-mana nilai pembolehubah ke dalam ungkapan asal, satu nilai diperoleh, maka selepas memudahkan ungkapan, nilai yang sama harus diperolehi seperti sebelum pemudahan.

Dengan ekspresi 5a+4b tiada apa yang boleh anda lakukan. Ia tidak memudahkannya.

Jika ungkapan mengandungi istilah yang serupa, maka ia boleh ditambah jika matlamat kami adalah untuk memudahkan ungkapan tersebut.

Contoh 8. Permudahkan sesuatu ungkapan 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

atau lebih pendek: 0.3a − 0.4a + a = 0.9a

Jadi ungkapan 0.3a−0.4a+a dipermudahkan kepada 0.9a

Contoh 9. Permudahkan sesuatu ungkapan −7.5a − 2.5b + 4a

Untuk memudahkan ungkapan ini, kita boleh menambah istilah yang serupa:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

atau lebih pendek −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

Penggal (−2.5b) kekal tidak berubah kerana tiada apa-apa untuk meletakkannya.

Contoh 10. Permudahkan sesuatu ungkapan

Untuk memudahkan ungkapan ini, kita boleh menambah istilah yang serupa:

Pekali adalah untuk memudahkan pengiraan.

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada

Contoh 11. Permudahkan sesuatu ungkapan

Untuk memudahkan ungkapan ini, kita boleh menambah istilah yang serupa:

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada .

DALAM dalam contoh ini Adalah lebih sesuai untuk menambah pekali pertama dan terakhir dahulu. Dalam kes ini kami akan mempunyai penyelesaian yang singkat. Ia akan kelihatan seperti ini:

Contoh 12. Permudahkan sesuatu ungkapan

Untuk memudahkan ungkapan ini, kita boleh menambah istilah yang serupa:

Jadi ungkapan dipermudahkan kepada .

Istilah itu kekal tidak berubah, kerana tiada apa-apa untuk menambahnya.

Penyelesaian ini boleh ditulis lebih pendek. Ia akan kelihatan seperti ini:

Penyelesaian pendek melangkau langkah menggantikan penolakan dengan penambahan dan memperincikan cara pecahan dikurangkan kepada penyebut biasa.

Perbezaan lain ialah dalam penyelesaian terperinci jawapannya kelihatan seperti , tetapi ringkasnya sebagai . Malah, mereka adalah ungkapan yang sama. Perbezaannya ialah dalam kes pertama, penolakan digantikan dengan penambahan, sejak pada mulanya apabila kita menulis penyelesaian dalam secara terperinci, kami menggantikan penolakan dengan penambahan di mana mungkin, dan penggantian ini dikekalkan untuk jawapannya.

Identiti. Ungkapan yang sama

Sebaik sahaja kita telah memudahkan sebarang ungkapan, ia menjadi lebih mudah dan lebih pendek. Untuk memeriksa sama ada ungkapan yang dipermudahkan adalah betul, cukup untuk menggantikan mana-mana nilai pembolehubah terlebih dahulu ke dalam ungkapan sebelumnya yang perlu dipermudahkan, dan kemudian ke dalam ungkapan baharu yang dipermudahkan. Jika nilai dalam kedua-dua ungkapan adalah sama, maka ungkapan yang dipermudahkan adalah benar.

Mari kita pertimbangkan contoh paling mudah. Biarkan ia perlu untuk memudahkan ungkapan 2a×7b. Untuk memudahkan ungkapan ini, anda boleh mendarab nombor dan huruf secara berasingan:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Mari kita semak sama ada kita telah memudahkan ungkapan dengan betul. Untuk melakukan ini, mari kita gantikan mana-mana nilai pembolehubah a Dan b pertama ke dalam ungkapan pertama yang perlu dipermudahkan, dan kemudian ke dalam ungkapan kedua, yang dipermudahkan.

Biarkan nilai pembolehubah a , b akan menjadi seperti berikut:

a = 4, b = 5

Mari kita gantikannya ke dalam ungkapan pertama 2a×7b

Sekarang mari kita gantikan nilai pembolehubah yang sama ke dalam ungkapan yang terhasil daripada pemudahan 2a×7b, iaitu dalam ungkapan 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Kita lihat apabila a=4 Dan b=5 nilai ungkapan pertama 2a×7b dan maksud ungkapan kedua 14ab sama rata

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Perkara yang sama akan berlaku untuk mana-mana nilai lain. Sebagai contoh, biarkan a=1 Dan b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Oleh itu, untuk sebarang nilai pembolehubah ungkapan 2a×7b Dan 14ab adalah sama dengan nilai yang sama. Ungkapan sedemikian dipanggil sama sama.

Kami membuat kesimpulan bahawa antara ungkapan 2a×7b Dan 14ab anda boleh meletakkan tanda sama kerana ia adalah sama dengan nilai yang sama.

2a × 7b = 14ab

Kesamaan ialah sebarang ungkapan yang dihubungkan dengan tanda sama (=).

Dan kesamarataan bentuk 2a×7b = 14ab dipanggil identiti.

Identiti ialah kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah.

Contoh identiti lain:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ya, hukum matematik yang kami pelajari adalah identiti.

setia kesamaan berangka juga merupakan identiti. Contohnya:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Memutuskan tugas yang sukar Untuk memudahkan pengiraan, ungkapan kompleks digantikan dengan ungkapan yang lebih mudah yang sama dengan yang sebelumnya. Penggantian ini dipanggil transformasi ungkapan yang sama atau hanya mengubah ekspresi.

Sebagai contoh, kami memudahkan ungkapan 2a×7b, dan mendapat ungkapan yang lebih mudah 14ab. Penyederhanaan ini boleh dipanggil transformasi identiti.

Anda selalunya boleh mencari tugas yang mengatakan "buktikan bahawa kesaksamaan adalah identiti" dan kemudian kesamarataan yang perlu dibuktikan diberikan. Biasanya kesamaan ini terdiri daripada dua bahagian: bahagian kiri dan kanan kesamaan. Tugas kami adalah untuk melakukan transformasi identiti dengan salah satu bahagian kesamarataan dan mendapatkan bahagian yang lain. Atau lakukan transformasi yang sama dengan kedua-dua belah kesamaan dan pastikan kedua-dua belah kesamaan mengandungi ungkapan yang sama.

Sebagai contoh, mari kita buktikan bahawa kesaksamaan 0.5a × 5b = 2.5ab adalah identiti.

Mari kita permudahkan bahagian kiri persamaan ini. Untuk melakukan ini, darabkan nombor dan huruf secara berasingan:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

Hasil daripada transformasi identiti yang kecil, sebelah kiri kesamarataan menjadi sama dengan sebelah kanan kesaksamaan. Jadi kita telah membuktikan bahawa kesaksamaan 0.5a × 5b = 2.5ab adalah identiti.

Daripada penjelmaan yang sama kami belajar untuk menambah, menolak, mendarab dan membahagi nombor, mengurangkan pecahan, menambah istilah serupa, dan juga memudahkan beberapa ungkapan.

Tetapi ini bukan semua transformasi yang sama yang wujud dalam matematik. Transformasi identiti banyak lagi. Kita akan melihat ini lebih daripada sekali pada masa hadapan.

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Adakah anda menyukai pelajaran itu?
Sertai kami kumpulan baru VKontakte dan mula menerima pemberitahuan tentang pelajaran baharu

Bahagian 5 UNGKAPAN DAN PERSAMAAN

Dalam bahagian ini anda akan belajar:

ü o ungkapan dan pemudahannya;

ü apakah sifat persamaan;

ü cara menyelesaikan persamaan berdasarkan sifat kesamaan;

ü apakah jenis masalah yang diselesaikan menggunakan persamaan; apakah garis serenjang dan cara membinanya;

ü garisan apa yang dipanggil selari dan cara membinanya;

ü apakah itu satah koordinat?

ü bagaimana untuk menentukan koordinat titik pada satah;

ü apakah itu graf hubungan antara kuantiti dan cara membinanya;

ü cara mengaplikasikan bahan yang dipelajari dalam amalan

§ 30. UNGKAPAN DAN PERMUDAHANNYA

Anda sudah tahu apa itu ungkapan huruf dan tahu cara memudahkannya menggunakan hukum tambah dan darab. Sebagai contoh, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . Dalam ungkapan yang terhasil, nombor -8 dipanggil pekali ungkapan.

Adakah ungkapan CD pekali? Jadi. Ia sama dengan 1 kerana cd - 1 ∙ cd .

Ingat bahawa menukar ungkapan dengan kurungan kepada ungkapan tanpa kurungan dipanggil mengembangkan kurungan. Contohnya: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Tindakan terbalik dalam contoh ini ialah mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan.

Istilah yang mengandungi faktor huruf yang sama dipanggil istilah yang serupa. Dengan mengambil faktor sepunya daripada kurungan, istilah serupa dibangkitkan:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Peraturan untuk membuka kurungan

1. Jika terdapat tanda "+" di hadapan kurungan, maka apabila membuka kurungan, tanda-tanda istilah dalam kurungan dipelihara;

2. Jika terdapat tanda “-” di hadapan kurungan, maka apabila kurungan dibuka, tanda-tanda istilah dalam kurungan bertukar kepada sebaliknya.

Tugasan 1. Permudahkan ungkapan:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Penyelesaian. 1. Sebelum kurungan terdapat tanda "+", jadi apabila membuka kurungan tanda-tanda semua istilah dipelihara:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Sebelum kurungan terdapat tanda "-", jadi apabila membuka kurungan: tanda-tanda semua istilah diterbalikkan:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

Untuk membuka kurungan gunakan harta pengagihan pendaraban: a( b + c ) = ab + ac. Jika a > 0, maka tanda-tanda istilah b dan dengan jangan berubah. Jika a< 0, то знаки слагаемых b dan berubah kepada sebaliknya.

Tugasan 2. Permudahkan ungkapan:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

Penyelesaian. 1. Faktor 2 di hadapan kurungan adalah positif, oleh itu, apabila membuka kurungan, kami mengekalkan tanda-tanda semua istilah: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Faktor -5 di hadapan kurungan adalah negatif, jadi apabila membuka kurungan, kami menukar tanda semua istilah kepada sebaliknya:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Ketahui lebih lanjut

1. Perkataan “sum” berasal daripada bahasa Latin summa , yang bermaksud "jumlah", "jumlah keseluruhan".

2. Perkataan “tambah” berasal daripada bahasa Latin tambah lagi yang bermaksud "lebih" dan perkataan "tolak" adalah daripada bahasa Latin tolak Apakah maksud "kurang"? Tanda “+” dan “-” digunakan untuk menunjukkan operasi tambah dan tolak. Tanda-tanda ini diperkenalkan oleh saintis Czech J. Widman pada tahun 1489 dalam buku "Akaun yang cepat dan menyenangkan untuk semua pedagang"(Gamb. 138).

nasi. 138

INGAT YANG PENTING

1. Apakah istilah yang dipanggil serupa? Bagaimanakah istilah sedemikian dibina?

2. Bagaimanakah anda membuka kurungan yang didahului dengan tanda “+”?

3. Bagaimanakah anda membuka kurungan yang didahului dengan tanda “-”?

4. Bagaimanakah anda membuka kurungan yang didahului oleh faktor positif?

5. Bagaimanakah anda membuka kurungan yang didahului oleh faktor negatif?

1374". Namakan pekali ungkapan:

1)12 a; 3) -5.6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Namakan istilah yang berbeza hanya mengikut pekali:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.

Apakah istilah ini dipanggil?

1376". Adakah ada istilah yang serupa dalam ungkapan:

1)11a+10a; 3)6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Adakah perlu menukar tanda-tanda istilah dalam kurungan, membuka kurungan dalam ungkapan:

1)4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Permudahkan ungkapan dan gariskan pekali:

1379°. Permudahkan ungkapan dan gariskan pekali:

1380°. Gabungkan istilah yang serupa:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 h ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Gabungkan istilah yang serupa:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

1)1.2 a +1.2 b; 3) -3 n - 1.8 m; 5)-5 p + 2.5 k -0.5 t ;

2) 0.5 s + 5 d; 4) 1.2 n - 1.8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

1) 6a-12 b; 3) -1.8 n -3.6 m;

2) -0.2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0.9 k + 2.7 t.

1384°. Buka kurungan dan gabungkan istilah yang serupa;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Buka kurungan dan gabungkan istilah yang serupa:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Buka kurungan dan cari maksud ungkapan:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Buka kurungan dan cari maksud ungkapan:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Kembangkan kurungan:

1)0.5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2.4 p);

2)-s ∙ (2.7-1.2 d ); 5)3 ∙ (-1.5 r + k - 0.2 t);

3) 1.6 ∙ (2 n + m); 6) (4.2 p - 3.5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Kembangkan kurungan:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0.5 y );

2) -2 ∙ (1.2 n - m); 4)6- (-р + 0.3 k - 1.2 t).

1390. Permudahkan ungkapan:

1391. Permudahkan ungkapan:

1392. Gabungkan istilah yang serupa:

1393. Gabungkan istilah serupa:

1394. Permudahkan ungkapan:

1)2.8 - (0.5 a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12.8 m + 24.8 n) ∙ (-0.5)-(3.5 m -4.05 m) ∙ 2.

1395. Permudahkan ungkapan:

1396. Cari maksud ungkapan;

1) 4-(0.2 a-3)-(5.8 a-16), jika a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jika = -0.8;

m = 0.25, n = 5.7.

1397. Cari maksud ungkapan:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jika x = -0.25;

1398*. Cari ralat dalam penyelesaian:

1)5- (a-2.4)-7 ∙ (-a+ 1.2) = 5a - 12-7a + 8.4 = -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 a) = -9.2 a + 46 + 4.26 - 14.7 a = -5.5 a + 8.26.

1399*. Buka kurungan dan mudahkan ungkapan:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Susun kurungan untuk mendapatkan kesamaan yang betul:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Buktikan bahawa untuk sebarang nombor a dan b jika a > b , maka kesaksamaan memegang:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Adakah persamaan ini betul jika: a) a< b ; b) a = 6?

1402*. Buktikan bahawa untuk mana-mana nombor asli dan min aritmetik bagi nombor sebelumnya dan nombor berikutnya adalah sama dengan nombor a.

AMALKANNYA

1403. Untuk menyediakan pencuci mulut buah-buahan untuk tiga orang yang anda perlukan: 2 epal, 1 oren, 2 pisang dan 1 kiwi. Bagaimana untuk membuat ungkapan surat untuk menentukan jumlah buah yang diperlukan untuk menyediakan pencuci mulut untuk tetamu? Bantu Marin mengira bilangan buah-buahan yang perlu dibelinya jika: 1) 5 rakan datang melawatnya; 2) 8 orang kawan.

1404. Buat ungkapan surat untuk menentukan masa yang diperlukan untuk menyiapkan kerja rumah matematik anda jika:

1) satu minit dibelanjakan untuk menyelesaikan masalah; 2) penyederhanaan ungkapan adalah 2 kali lebih besar daripada untuk menyelesaikan masalah. Berapa lama masa yang diambil untuk disiapkan kerja rumah Vasilko, jika dia menghabiskan 15 minit menyelesaikan masalah?

1405. Makan tengah hari di kafetaria sekolah terdiri daripada salad, borscht, gulungan kubis dan kompot. Kos salad ialah 20%, borscht - 30%, gulungan kubis - 45%, kompot - 5% daripada jumlah kos keseluruhan makan tengah hari. Tulis ungkapan untuk mencari kos makan tengah hari di kantin sekolah. Berapakah kos makan tengah hari jika harga salad ialah 2 UAH?

SEMAKAN MASALAH

1406. Selesaikan persamaan:

1407. Tanya menghabiskan ais krimsemua wang yang ada, dan untuk gula-gula -selebihnya. Berapakah baki wang Tanya?

jika gula-gula berharga 12 UAH?

Nota 1

Fungsi Boolean boleh ditulis menggunakan ungkapan Boolean dan kemudiannya boleh dialihkan ke litar logik. Ia adalah perlu untuk memudahkan ungkapan logik untuk mendapatkan litar logik yang paling mudah (dan oleh itu lebih murah). Pada asasnya, fungsi logik, ungkapan logik dan litar logik-itu tiga bahasa yang berbeza, menceritakan tentang satu entiti.

Untuk memudahkan ungkapan logik guna hukum logik algebra.

Sesetengah penjelmaan adalah serupa dengan penjelmaan formula dalam algebra klasik (mengambil faktor sepunya daripada kurungan, menggunakan komutatif dan undang-undang gabungan dsb.), dan transformasi lain adalah berdasarkan sifat yang tidak dimiliki oleh operasi algebra klasik (penggunaan hukum pengagihan untuk kata hubung, undang-undang penyerapan, pelekatan, peraturan de Morgan, dsb.).

Undang-undang algebra logik dirumus untuk asas operasi logik- “TIDAK” – penyongsangan (penafian), “DAN” – kata hubung (pendaraban logik) dan “ATAU” – disjungsi (tambahan logik).

Undang-undang penafian berganda bermaksud bahawa operasi "TIDAK" boleh diterbalikkan: jika anda menggunakannya dua kali, maka pada akhirnya nilai logik tidak akan berubah.

Undang-undang tengah yang dikecualikan menyatakan bahawa sebarang ungkapan logik adalah sama ada benar atau salah ("tiada ketiga"). Oleh itu, jika $A=1$, maka $\bar(A)=0$ (dan sebaliknya), yang bermaksud bahawa konjungsi kuantiti ini sentiasa bersamaan dengan sifar, dan pemecahan sentiasa sama dengan satu.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Mari mudahkan formula ini:

Rajah 3.

Ia berikutan bahawa $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Jawapan: Pelajar $B$, $C$ dan $D$ bermain catur, tetapi pelajar $A$ tidak bermain.

Apabila memudahkan ungkapan logik, anda boleh melakukan urutan tindakan berikut:

1. Gantikan semua operasi "bukan asas" (kesetaraan, implikasi, eksklusif ATAU, dll.) dengan ungkapannya melalui operasi asas penyongsangan, konjungsi dan disjungsi.
2. Kembangkan penyongsangan ungkapan yang kompleks mengikut peraturan De Morgan sedemikian rupa sehingga operasi penafian kekal hanya untuk pembolehubah individu.
3. Kemudian mudahkan ungkapan menggunakan kurungan pembukaan, mengalih keluar faktor biasa di luar kurungan dan undang-undang algebra logik yang lain.

Contoh 2

Di sini, peraturan De Morgan, undang-undang pengagihan, undang-undang tengah yang dikecualikan, undang-undang komutatif, undang-undang pengulangan, sekali lagi undang-undang komutatif dan undang-undang penyerapan digunakan berturut-turut.