Menyelesaikan persamaan rasional contoh penyelesaian. Persamaan rasional yang paling mudah

$\bullet$ Persamaan rasional ialah persamaan yang diwakili dalam bentuk \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] dengan $P(x), \Q(x)\ ) - polinomial (jumlah "X" dalam pelbagai kuasa, didarab dengan pelbagai nombor).
Ungkapan di sebelah kiri persamaan dipanggil ungkapan rasional.
EA (julat nilai yang boleh diterima) bagi persamaan rasional ialah semua nilai \(x$ di mana penyebutnya TIDAK lenyap, iaitu, $Q(x)\ne 0$ .
$\bullet$ Contohnya, persamaan \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] adalah persamaan rasional.
Yang pertama Persamaan ODZ– ini semua $x$ supaya $x\ne 3$ (tulis $x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)$); dalam persamaan kedua – ini semua adalah $x$ supaya $x\ne -1; x\ne 1$ (tulis $x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$); dan dalam persamaan ketiga tiada sekatan pada ODZ, iaitu, ODZ adalah semua $x$ (mereka menulis $x\in\mathbb(R)$). $\bullet$ Teorem:
1) Hasil darab dua faktor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika salah satu daripadanya sama dengan sifar, dan yang lain tidak kehilangan makna, oleh itu, persamaan $f(x)\cdot g(x)=0$ adalah bersamaan dengan sistem \[\begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \right.\\ \ teks(persamaan ODZ) \tamat(kes)\] 2) Pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar, oleh itu, persamaan $\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) adalah bersamaan dengan sistem persamaan \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet$ Mari lihat beberapa contoh.

1) Selesaikan persamaan $x+1=\dfrac 2x$ . Jom cari ODZ persamaan yang diberikan ialah $x\ne 0$ (memandangkan $x$ berada dalam penyebut).
Ini bermakna ODZ boleh ditulis seperti berikut: .
Mari kita pindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian dan bawakannya ke penyebut yang sama: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( kes) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Penyelesaian kepada persamaan pertama sistem ialah $x=-2, x=1$ . Kami melihat bahawa kedua-dua akar adalah bukan sifar. Oleh itu, jawapannya ialah: $x\in \(-2;1$\) .

2) Selesaikan persamaan $\kiri(\dfrac4x - 2\kanan)\cdot (x^2-x)=0$. Mari cari ODZ bagi persamaan ini. Kami melihat bahawa satu-satunya nilai $x$ yang bahagian kirinya tidak masuk akal ialah $x=0$ . Jadi, ODZ boleh ditulis seperti ini: $x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.
Oleh itu, persamaan ini bersamaan dengan sistem:

\[\begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \tamat(diselaraskan) \tamat(berkumpul) \kanan.\\ x\ne 0 \end(huruf) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul)\mula(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(berkumpul) \kanan.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(berkumpul) \mulakan(diselaraskan) &x=2\\ &x=1 \tamat(diselaraskan) \tamat(berkumpul) \kanan.\] Sesungguhnya, walaupun fakta bahawa $x=0$ ialah punca faktor kedua, jika anda menggantikan $x=0$ ke dalam persamaan asal, maka ia tidak akan masuk akal, kerana ungkapan $\dfrac 40$ tidak ditakrifkan.
Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan ini ialah $x\in \(1;2$\) .

3) Selesaikan persamaan \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Dalam persamaan kita $4x^2-1\ne 0$ , dari mana $(2x-1)(2x+1)\ne 0$ , iaitu, $x\ne -\frac12; \frac12 $ .
Mari kita alihkan semua istilah ke sebelah kiri dan bawanya kepada penyebut biasa:

$\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Anak panah kiri \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Anak panah kiri$

$\Anak panah kiri \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(berkumpul) \begin( sejajar) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(berkumpul) \kanan.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Anak panah kiri \quad x=-3$

Jawapan: $x\in \(-3$\) .

Komen. Jika jawapan terdiri daripada set nombor terhingga, maka ia boleh ditulis dipisahkan dengan koma bernoktah dalam kurungan kerinting, seperti yang ditunjukkan dalam contoh sebelumnya.

Masalah yang memerlukan penyelesaian persamaan rasional dihadapi setiap tahun dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, jadi apabila bersiap sedia untuk lulus ujian pensijilan, graduan semestinya mengulang teori mengenai topik ini sendiri. Graduan mengambil kedua-dua asas dan tahap profil peperiksaan. Setelah menguasai teori dan menanganinya latihan amali mengenai topik "Persamaan Rasional", pelajar akan dapat menyelesaikan masalah dengan apa-apa bilangan tindakan dan bergantung pada menerima markah kompetitif berdasarkan keputusan lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Bagaimana untuk menyediakan peperiksaan menggunakan portal pendidikan Shkolkovo?

Kadangkala anda boleh mencari sumber yang membentangkan sepenuhnya teori asas untuk penyelesaian masalah matematik ternyata agak sukar. Buku teks mungkin tidak ada di tangan. Dan cari formula yang diperlukan kadangkala ia boleh menjadi agak sukar walaupun di Internet.

Portal pendidikan Shkolkovo akan membebaskan anda daripada keperluan untuk mencari bahan yang diperlukan dan akan membantu anda bersedia dengan baik untuk lulus ujian pensijilan.

Semua teori yang diperlukan mengenai topik "Persamaan Rasional" pakar kami menyediakan dan membentangkan secara maksimum borang yang boleh diakses. Selepas mengkaji maklumat yang disampaikan, pelajar akan dapat mengisi kekosongan pengetahuan.

Untuk persiapan yang berjaya Kepada Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk graduan ia adalah perlu bukan sahaja untuk membangkitkan asas bahan teori mengenai topik "Persamaan Rasional", tetapi untuk berlatih menyelesaikan tugasan pada contoh khusus. Banyak pilihan tugas dibentangkan dalam bahagian "Katalog".

Untuk setiap latihan di tapak, pakar kami telah menulis algoritma penyelesaian dan menunjukkan jawapan yang betul. Pelajar boleh berlatih menyelesaikan masalah darjah yang berbeza-beza kesukaran bergantung kepada tahap penyediaan. Senarai tugas dalam bahagian yang sepadan sentiasa ditambah dan dikemas kini.

Kaji bahan teori dan asah kemahiran menyelesaikan masalah mengenai topik "Persamaan Rasional", sama seperti yang termasuk dalam Ujian Peperiksaan Negeri Bersatu, boleh dilakukan secara online. Jika perlu, mana-mana tugasan yang dibentangkan boleh ditambah ke bahagian "Kegemaran". Diulang lagi teori asas mengenai topik "Persamaan Rasional", seorang pelajar sekolah menengah akan dapat kembali kepada masalah pada masa hadapan untuk membincangkan kemajuan penyelesaiannya dengan guru dalam pelajaran algebra.

Pembentangan dan pelajaran mengenai topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh penyelesaian persamaan rasional"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 8
Manual untuk buku teks oleh Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks oleh Mordkovich A.G.

Pengenalan kepada Persamaan Tidak Rasional

Kawan-kawan, kami belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Tetapi matematik tidak terhad kepada mereka sahaja. Hari ini kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan rasional. Konsep persamaan rasional sangat serupa dengan konsepnya nombor rasional. Hanya sebagai tambahan kepada nombor, kini kami telah memperkenalkan beberapa pembolehubah $x$. Dan dengan itu kita mendapat ungkapan di mana operasi tambah, tolak, darab, bahagi dan naikkan kepada kuasa integer hadir.

Biarkan $r(x)$ menjadi ungkapan rasional . Ungkapan sedemikian boleh menjadi polinomial mudah dalam pembolehubah $x$ atau nisbah polinomial (operasi bahagi diperkenalkan, seperti untuk nombor rasional).
Persamaan $r(x)=0$ dipanggil persamaan rasional.
Mana-mana persamaan bentuk $p(x)=q(x)$, di mana $p(x)$ dan $q(x)$ ialah ungkapan rasional, juga akan persamaan rasional.

Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan rasional.

Contoh 1.
Selesaikan persamaan: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Penyelesaian.
Mari kita alihkan semua ungkapan ke sebelah kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika bahagian kiri persamaan diwakili nombor biasa, maka kita akan membawa dua pecahan kepada penyebut yang sama.
Mari kita lakukan dengan cara ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)* x )=\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) ) *x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kami mendapat persamaan: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangka pecahan adalah sifar dan penyebutnya bukan sifar. Kemudian kita secara berasingan menyamakan pengangka kepada sifar dan mencari punca pengangka.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita semak penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada nombor ini sama dengan sifar. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar yang diperoleh dalam pengangka dan penyebut tidak bertepatan. Jadi kita tulis kedua-dua punca pengangka dalam jawapan.
Jawapan: $x=1$ atau $x=-3$.

Jika tiba-tiba salah satu akar pengangka bertepatan dengan akar penyebut, maka ia harus dikecualikan. Akar sedemikian dipanggil luar!

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua ungkapan yang terkandung dalam persamaan kepada sebelah kiri daripada tanda sama.
2. Tukarkan bahagian persamaan ini kepada pecahan algebra: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Samakan pengangka yang terhasil kepada sifar, iaitu selesaikan persamaan $p(x)=0$.
4. Samakan penyebut kepada sifar dan selesaikan persamaan yang terhasil. Jika akar penyebut bertepatan dengan akar pengangka, maka ia harus dikecualikan daripada jawapan.

Contoh 2.
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Penyelesaian.
Mari kita selesaikan mengikut mata algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pengangka dengan sifar: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebut dengan sifar:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu punca $x=1$ bertepatan dengan punca pembilang, maka kita tidak menulisnya dalam jawapan.
Jawapan: $x=-1$.

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan kaedah perubahan pembolehubah. Mari kita tunjukkan ini.

Contoh 3.
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.

Penyelesaian.
Mari perkenalkan pengganti: $t=x^2$.
Kemudian persamaan kami akan mengambil bentuk:
$t^2+12t-64=0$ - persamaan kuadratik biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Mari kita perkenalkan penggantian terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Punca-punca persamaan pertama ialah sepasang nombor $x=±2$. Perkara kedua ialah ia tidak mempunyai akar.
Jawapan: $x=±2$.

Contoh 4.
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Penyelesaian.
Mari perkenalkan pembolehubah baharu: $t=x^2+x+1$.
Kemudian persamaan akan mengambil bentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Seterusnya kita akan meneruskan mengikut algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - akarnya tidak bertepatan.
Mari perkenalkan penggantian terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari kita selesaikan setiap persamaan secara berasingan:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah nombor $x=-2$ dan $x=1$.
Jawapan: $x=-2$ dan $x=1$.

Contoh 5.
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Penyelesaian.
Mari perkenalkan penggantian: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kami mendapat persamaan: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari perkenalkan penggantian terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan membuat keputusan secara berasingan.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Mari kita selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Punca bagi persamaan ini ialah nombor $x=1$.
Jawapan: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

Selesaikan persamaan:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Kami telah pun mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadratik. Sekarang mari kita lanjutkan kaedah yang dikaji kepada persamaan rasional.

Apakah ungkapan rasional? Kami telah pun menemui konsep ini. Ungkapan rasional ialah ungkapan yang terdiri daripada nombor, pembolehubah, kuasanya dan simbol operasi matematik.

Sehubungan itu, persamaan rasional ialah persamaan dalam bentuk: , di mana - ungkapan rasional.

Sebelum ini, kami hanya mempertimbangkan persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan linear. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan kuadratik.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Suatu pecahan adalah sama dengan 0 jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.

Kami mendapat sistem berikut:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik. Sebelum menyelesaikannya, mari kita bahagikan semua pekalinya dengan 3. Kita dapat:

Kami mendapat dua punca: ; .

Oleh kerana 2 tidak pernah sama dengan 0, dua syarat mesti dipenuhi: . Oleh kerana tiada punca bagi persamaan yang diperolehi di atas bertepatan dengan nilai tidak sah pembolehubah yang diperoleh dengan menyelesaikan ketaksamaan kedua, kedua-duanya adalah penyelesaian kepada persamaan ini.

Jawapan:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Gerakkan semua sebutan ke sebelah kiri supaya bahagian kanan berakhir dengan 0.

2. Ubah dan mudahkan bahagian kiri, bawa semua pecahan kepada penyebut sepunya.

3. Samakan pecahan yang terhasil kepada 0 menggunakan algoritma berikut: .

4. Tuliskan punca-punca yang diperolehi dalam persamaan pertama dan penuhi ketaksamaan kedua dalam jawapan.

Mari kita lihat contoh lain.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian

Pada mulanya, kami mengalihkan semua istilah ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan Kami mendapat:

Sekarang mari kita bawa bahagian kiri persamaan kepada penyebut biasa:

Persamaan ini bersamaan dengan sistem:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik.

Pekali persamaan ini: . Kami mengira diskriminasi:

Kami mendapat dua punca: ; .

Sekarang mari kita selesaikan ketaksamaan kedua: hasil darab faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tiada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat mesti dipenuhi: . Kami mendapati bahawa daripada dua punca persamaan pertama, hanya satu yang sesuai - 3.

Jawapan:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingati apa itu ungkapan rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional, yang mengurangkan kepada persamaan kuadratik.

Dalam pelajaran seterusnya kita akan melihat persamaan rasional sebagai model situasi sebenar, dan juga melihat masalah pergerakan.

Bibliografi

Bashmakov M.I. Algebra, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain Algebra, 8. 5th ed. - M.: Pendidikan, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, darjah 8. Tutorial untuk institusi pendidikan. - M.: Pendidikan, 2006.

Perayaan idea pedagogi "Pelajaran awam" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Kerja rumah

Smirnova Anastasia Yurievna

Jenis pelajaran: pengajaran mempelajari bahan baharu.

Bentuk organisasi aktiviti pendidikan : hadapan, individu.

Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan jenis persamaan baru - persamaan rasional pecahan, untuk memberi idea tentang algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Objektif pelajaran.

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar;
mengajar menyelesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma.

Perkembangan:

mewujudkan keadaan untuk membangunkan kemahiran dalam menggunakan pengetahuan yang diperoleh;
menggalakkan pembangunan minat kognitif pelajar kepada mata pelajaran;
membangunkan keupayaan pelajar untuk menganalisis, membandingkan dan membuat kesimpulan;
pembangunan kemahiran saling mengawal dan mengawal diri, perhatian, ingatan, lisan dan menulis, kemerdekaan.

Mendidik:

memupuk minat kognitif dalam subjek;
memupuk kebebasan dalam membuat keputusan tugas pendidikan;
memupuk kemahuan dan ketabahan untuk mencapai hasil akhir.

peralatan: buku teks, papan hitam, krayon.

Buku teks "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Moscow "Pencerahan". 2010

hidup topik ini lima jam diperuntukkan. Ini adalah pelajaran pertama. Perkara utama ialah mengkaji algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dan mengamalkan algoritma ini dalam latihan.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

Apa khabar semua! Hari ini saya ingin memulakan pelajaran kita dengan kuatrain:
Untuk memudahkan hidup semua orang,
Apa yang akan diputuskan, apa yang mungkin,
Senyum, semoga berjaya kepada semua orang,
Supaya tiada masalah,
Kami tersenyum sesama sendiri dan mencipta mood yang baik dan mula bekerja.

Terdapat persamaan yang ditulis di papan tulis, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan di mana bahagian kiri dan kanan adalah ungkapan rasional pecahan dipanggil persamaan rasional pecahan. Pada pendapat anda, apakah yang akan kita pelajari dalam kelas hari ini? Merumus tajuk pelajaran. Jadi, kami membuka buku nota kami dan menulis topik pelajaran "Menyelesaikan persamaan rasional pecahan."

2. Mengemas kini pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang perlu kita pelajari topik baru. Sila jawab soalan berikut:

Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)
Apakah nama persamaan nombor 1? ( Linear.) Penyelesaian persamaan linear. (Gerakkan semua yang tidak diketahui ke sebelah kiri persamaan, semua nombor ke kanan. memimpin istilah yang serupa. Cari faktor yang tidak diketahui).
Apakah nama persamaan nombor 3? ( Segi empat.) Penyelesaian persamaan kuadratik. (H tentang formula)
Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua nisbah.) Sifat utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu betul, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)
Apakah sifat yang digunakan semasa menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika anda memindahkan sebutan dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.)
Bilakah pecahan sama dengan sifar? ( Suatu pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar..)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 10.

yang mana persamaan rasional pecahan Bolehkah anda cuba menyelesaikan menggunakan sifat asas perkadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Jawab: 3;4.

Kita akan melihat penyelesaian persamaan seperti persamaan No. 7 dalam pelajaran berikut.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Sehingga kini, pelajar masih belum menemui konsep akar luar, sememangnya amat sukar untuk mereka memahami mengapa ini berlaku. Sekiranya tiada seorang pun di dalam kelas dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengemukakan soalan-soalan yang memimpin.

Bagaimanakah persamaan No. 2 dan 4 berbeza daripada persamaan No. 5 dan 6? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 terdapat nombor dalam penyebut, No. 5-6 - ungkapan dengan pembolehubah.)
Apakah punca persamaan? ( Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi persamaan sebenar .)
Bagaimana untuk mengetahui sama ada nombor adalah punca persamaan? ( Buat semakan.)

Apabila menguji, sesetengah pelajar menyedari bahawa mereka perlu membahagi dengan sifar. Mereka membuat kesimpulan bahawa nombor 0 dan 5 bukanlah punca persamaan ini. Persoalannya timbul: adakah terdapat cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang membolehkan kita menghapuskan kesilapan ini? Ya, kaedah ini adalah berdasarkan syarat bahawa pecahan adalah sama dengan sifar.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak merumus algoritma itu sendiri.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Gerakkan semuanya ke sebelah kiri.
Kurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.
Buat sistem: pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar.
Selesaikan persamaan.
Periksa ketidaksamaan untuk mengecualikan akar luar.
Tulis jawapannya.

4. Pemahaman awal bahan baru.

Kerja dalam pasangan. Pelajar memilih cara menyelesaikan persamaan itu sendiri bergantung kepada jenis persamaan. Tugasan dari buku teks "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); No. 601(a,e). Guru memantau penyiapan tugasan, menjawab sebarang soalan yang timbul dan memberi bantuan kepada pelajar berprestasi rendah. Ujian kendiri: jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 - akar luar. Jawapan: 3.

c) 2 - akar luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

5. Menetapkan kerja rumah.

Baca perenggan 25 daripada buku teks, analisis contoh 1-3.
Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Selesaikan dalam buku nota No. 600 (d, d); No. 601(g,h).

6. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan ini cara yang berbeza. Tidak kira bagaimana anda menyelesaikan persamaan rasional pecahan, apakah yang perlu anda ingat? Apakah "kelicikan" persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.

"Menyelesaikan persamaan rasional pecahan"

Objektif pelajaran:

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; pertimbangkan pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar; mengajar menyelesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma; menyemak tahap penguasaan topik dengan menjalankan ujian.

Perkembangan:

operasi mental

pemikiran kritikal

Mendidik:

memupuk minat kognitif dalam subjek; memupuk kemerdekaan dalam menyelesaikan masalah pendidikan; memupuk kemahuan dan ketabahan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penerangan tentang bahan baharu.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

Apa khabar semua! Terdapat persamaan yang tertulis di papan tulis, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Yang mana tidak dan mengapa?

2. Mengemas kini pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang kita perlukan untuk mengkaji topik baru. Sila jawab soalan berikut:

1. Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)

2. Apakah nama persamaan No. 1? ( Linear.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Gerakkan semua yang tidak diketahui ke sebelah kiri persamaan, semua nombor ke kanan. Berikan istilah yang serupa. Cari faktor yang tidak diketahui).

3. Apakah nama persamaan No. 3? ( Segi empat.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. ( Pemilihan persegi penuh, dengan formula, menggunakan teorem Vieta dan akibatnya.)

4. Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua nisbah.) Sifat utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu betul, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)

5. Apakah sifat yang digunakan semasa menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika anda memindahkan sebutan dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.)

6. Bilakah pecahan sama dengan sifar? ( Suatu pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar..)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 10.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan menggunakan sifat asas kadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Jawab: 3;4.

Sekarang cuba selesaikan persamaan nombor 7 menggunakan salah satu kaedah berikut.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Jawab: 0;5;-2.			Jawab: 5;-2.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Dalam persamaan No. 2 dan 4 terdapat nombor dalam penyebut, No. 5-7 adalah ungkapan dengan pembolehubah

Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi benar

Buat semakan

Apabila menguji, sesetengah pelajar menyedari bahawa mereka perlu membahagi dengan sifar. Mereka membuat kesimpulan bahawa nombor 0 dan 5 bukanlah punca persamaan ini. Persoalannya timbul: adakah terdapat cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang membolehkan kita menghapuskan ralat ini? Ya, kaedah ini adalah berdasarkan syarat bahawa pecahan adalah sama dengan sifar.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, yang bermaksud 5 ialah punca luar.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Jawab: -2.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak merumus algoritma itu sendiri.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Gerakkan semuanya ke sebelah kiri.

2. Kurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.

3. Buat sistem: pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar.

4. Selesaikan persamaan.

5. Semak ketaksamaan untuk mengecualikan akar luar.

6. Tulis jawapan.

Perbincangan: bagaimana untuk memformalkan penyelesaian jika sifat asas perkadaran digunakan dan kedua-dua belah persamaan didarabkan dengan penyebut biasa. (Tambah pada penyelesaian: kecualikan daripada akarnya yang membuat penyebut biasa hilang).

4. Pemahaman awal bahan baru.

Kerja dalam pasangan. Pelajar memilih cara menyelesaikan persamaan itu sendiri bergantung kepada jenis persamaan. Tugasan daripada buku teks "Algebra 8", 2007: Bil. 000 (b, c, i); No. 000(a, d, g). Guru memantau penyiapan tugasan, menjawab sebarang soalan yang timbul dan memberi bantuan kepada pelajar berprestasi rendah. Ujian kendiri: jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 – akar luar. Jawapan: 3.

c) 2 – akar luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

g) Jawapan: 1;1.5.

5. Menetapkan kerja rumah.

2. Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

3. Selesaikan dalam buku nota No. 000 (a, d, e); No. 000(g, h).

4. Cuba selesaikan No. 000(a) (pilihan).

6. Menyelesaikan tugas kawalan tentang topik yang dipelajari.

Kerja dilakukan di atas kepingan kertas.

Contoh tugasan:

A) Antara persamaan yang manakah adalah rasional pecahan?

B) Pecahan adalah sama dengan sifar apabila pengangkanya ____________________ dan penyebutnya ialah _______________________.

S) Adakah nombor -3 punca persamaan nombor 6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria penilaian untuk tugasan:

“5” diberikan jika pelajar menyelesaikan lebih daripada 90% tugasan dengan betul. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” diberikan kepada pelajar yang telah menyelesaikan kurang daripada 50% tugasan. Penarafan 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 adalah pilihan.

7. Refleksi.

Pada helaian kerja bebas, letakkan:

1 – jika pelajaran itu menarik dan boleh difahami oleh anda; 2 - menarik, tetapi tidak jelas; 3 - tidak menarik, tetapi boleh difahami; 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar menyelesaikan persamaan ini dalam pelbagai cara, menguji pengetahuan kita dengan bantuan latihan kerja bebas. Anda akan mempelajari hasil kerja bebas anda dalam pelajaran seterusnya, dan di rumah anda akan berpeluang untuk menyatukan pengetahuan anda.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang manakah, pada pendapat anda, lebih mudah, lebih mudah diakses dan lebih rasional? Tanpa mengira kaedah untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, apakah yang perlu anda ingat? Apakah "kelicikan" persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.