Dalam video ini kita akan menganalisis satu set keseluruhan persamaan linear yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.
Pertama, mari kita tentukan: apakah persamaan linear dan yang manakah dipanggil paling mudah?
Persamaan linear ialah persamaan yang hanya terdapat satu pembolehubah, dan hanya pada darjah pertama.
Persamaan termudah bermaksud pembinaan:
Semua persamaan linear lain dikurangkan kepada yang paling mudah menggunakan algoritma:
- Kembangkan kurungan, jika ada;
- Pindahkan istilah yang mengandungi pembolehubah ke satu sisi tanda sama, dan istilah tanpa pembolehubah ke yang lain;
- Berikan istilah serupa di kiri dan kanan tanda sama;
- Bahagikan persamaan yang terhasil dengan pekali pembolehubah $x$.
Sudah tentu, algoritma ini tidak selalu membantu. Hakikatnya kadang-kadang selepas semua komplot ini pekali pembolehubah $x$ ternyata sama dengan sifar. Dalam kes ini, dua pilihan adalah mungkin:
- Persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Sebagai contoh, apabila sesuatu seperti $0\cdot x=8$ ternyata, i.e. di sebelah kiri ialah sifar, dan di sebelah kanan ialah nombor selain daripada sifar. Dalam video di bawah kita akan melihat beberapa sebab mengapa keadaan ini mungkin.
- Penyelesaiannya ialah semua nombor. Satu-satunya kes apabila ini mungkin adalah apabila persamaan telah dikurangkan kepada pembinaan $0\cdot x=0$. Agak logik bahawa tidak kira apa pun $x$ yang kita gantikan, ia tetap akan menjadi "sifar sama dengan sifar", i.e. kesamaan berangka yang betul.
Sekarang mari kita lihat bagaimana semua ini berfungsi menggunakan contoh kehidupan sebenar.
Contoh penyelesaian persamaan
Hari ini kita berurusan dengan persamaan linear, dan hanya yang paling mudah. Secara umum, persamaan linear bermaksud sebarang kesamaan yang mengandungi tepat satu pembolehubah, dan ia hanya pergi ke tahap pertama.
Pembinaan sedemikian diselesaikan dengan cara yang lebih kurang sama:
- Pertama sekali, anda perlu mengembangkan kurungan, jika ada (seperti dalam contoh terakhir kami);
- Kemudian bawa yang serupa
- Akhir sekali, asingkan pembolehubah, i.e. alihkan semua yang berkaitan dengan pembolehubah—istilah yang terkandung di dalamnya—ke satu sisi, dan alihkan semua yang tertinggal tanpanya ke sisi yang lain.
Kemudian, sebagai peraturan, anda perlu memberikan yang serupa pada setiap sisi kesamaan yang terhasil, dan selepas itu semua yang tinggal ialah membahagikan dengan pekali "x", dan kami akan mendapat jawapan akhir.
Secara teori, ini kelihatan bagus dan mudah, tetapi dalam praktiknya, pelajar sekolah menengah yang berpengalaman pun boleh membuat kesilapan yang menyinggung perasaan dalam persamaan linear yang agak mudah. Biasanya, ralat dibuat sama ada semasa membuka kurungan atau semasa mengira "tambah" dan "tolak".
Di samping itu, ia berlaku bahawa persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, atau penyelesaiannya ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sebarang nombor. Kita akan melihat kehalusan ini dalam pelajaran hari ini. Tetapi kami akan mulakan, seperti yang anda sudah faham, dengan tugas yang paling mudah.
Skema untuk menyelesaikan persamaan linear mudah
Pertama sekali, izinkan saya menulis keseluruhan skema untuk menyelesaikan persamaan linear termudah:
- Kembangkan kurungan, jika ada.
- Kami mengasingkan pembolehubah, i.e. Kami mengalihkan semua yang mengandungi "X" ke satu sisi, dan semuanya tanpa "X" ke sisi yang lain.
- Kami membentangkan istilah yang serupa.
- Kami membahagikan semuanya dengan pekali "x".
Sudah tentu, skim ini tidak selalu berfungsi; terdapat kehalusan dan helah tertentu di dalamnya, dan sekarang kita akan mengenalinya.
Menyelesaikan contoh sebenar persamaan linear mudah
Tugasan No 1
Langkah pertama memerlukan kita membuka kurungan. Tetapi mereka tiada dalam contoh ini, jadi kami melangkau langkah ini. Dalam langkah kedua kita perlu mengasingkan pembolehubah. Sila ambil perhatian: kami hanya bercakap tentang istilah individu. Mari kita tuliskannya:
Kami membentangkan istilah yang sama di kiri dan kanan, tetapi ini telah dilakukan di sini. Oleh itu, kita beralih ke langkah keempat: bahagikan dengan pekali:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Jadi kami mendapat jawapannya.
Tugasan No. 2
Kita boleh melihat tanda kurung dalam masalah ini, jadi mari kita kembangkan:
Kedua-dua di sebelah kiri dan di sebelah kanan kita melihat lebih kurang reka bentuk yang sama, tetapi mari kita bertindak mengikut algoritma, i.e. memisahkan pembolehubah:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Pada akar apakah ini berfungsi? Jawapan: untuk mana-mana. Oleh itu, kita boleh menulis bahawa $x$ ialah sebarang nombor.
Tugasan No. 3
Persamaan linear ketiga adalah lebih menarik:
\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]
Terdapat beberapa kurungan di sini, tetapi ia tidak didarab dengan apa-apa, ia hanya didahului oleh tanda yang berbeza. Mari pecahkan mereka:
Kami melakukan langkah kedua yang telah kami ketahui:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Mari kita buat matematik:
Kami menjalankan langkah terakhir - bahagikan semuanya dengan pekali "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Perkara yang Perlu Diingati Semasa Menyelesaikan Persamaan Linear
Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu mudah, saya ingin menyatakan perkara berikut:
- Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linear mempunyai penyelesaian - kadangkala tiada punca;
- Walaupun terdapat akar, mungkin ada sifar di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.
Sifar ialah nombor yang sama dengan yang lain; anda tidak sepatutnya mendiskriminasikannya dalam apa jua cara atau menganggap bahawa jika anda mendapat sifar, maka anda melakukan sesuatu yang salah.
Ciri lain adalah berkaitan dengan pembukaan kurungan. Sila ambil perhatian: apabila terdapat "tolak" di hadapannya, kami mengeluarkannya, tetapi dalam kurungan kami menukar tanda itu kepada bertentangan. Dan kemudian kita boleh membukanya menggunakan algoritma standard: kita akan mendapat apa yang kita lihat dalam pengiraan di atas.
Memahami fakta mudah ini akan membantu anda mengelak daripada membuat kesilapan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah, apabila melakukan perkara sebegitu dianggap remeh.
Menyelesaikan persamaan linear kompleks
Mari kita beralih kepada persamaan yang lebih kompleks. Kini pembinaan akan menjadi lebih kompleks dan apabila melakukan pelbagai transformasi fungsi kuadratik akan muncul. Walau bagaimanapun, kita tidak perlu takut tentang ini, kerana jika, mengikut rancangan penulis, kita menyelesaikan persamaan linear, maka semasa proses transformasi semua monomial yang mengandungi fungsi kuadratik pasti akan dibatalkan.
Contoh No 1
Jelas sekali, langkah pertama ialah membuka kurungan. Mari lakukan ini dengan berhati-hati:
Sekarang mari kita lihat privasi:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami akan menulis ini dalam jawapan:
\[\varnothing\]
atau tiada akar.
Contoh No. 2
Kami melakukan tindakan yang sama. Langkah pertama:
Mari kita gerakkan segala-galanya dengan pembolehubah ke kiri, dan tanpanya - ke kanan:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Jelas sekali, persamaan linear ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami akan menulisnya dengan cara ini:
\[\varnothing\],
atau tiada akar.
Nuansa penyelesaian
Kedua-dua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Menggunakan kedua-dua ungkapan ini sebagai contoh, kami sekali lagi yakin bahawa walaupun dalam persamaan linear yang paling mudah, semuanya mungkin tidak begitu mudah: boleh ada sama ada satu, atau tiada, atau banyak punca yang tidak terhingga. Dalam kes kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, yang kedua-duanya tidak mempunyai punca.
Tetapi saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta lain: cara bekerja dengan kurungan dan cara membukanya jika terdapat tanda tolak di hadapannya. Pertimbangkan ungkapan ini:
Sebelum membuka, anda perlu mendarabkan semuanya dengan "X". Sila ambil perhatian: berganda setiap istilah individu. Di dalamnya terdapat dua sebutan - masing-masing, dua sebutan dan didarab.
Dan hanya selepas transformasi yang kelihatan asas, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, anda boleh membuka kurungan dari sudut pandangan fakta bahawa terdapat tanda tolak selepasnya. Ya, ya: hanya sekarang, apabila transformasi selesai, kami ingat bahawa terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, yang bermaksud bahawa segala-galanya di bawah hanya menukar tanda. Pada masa yang sama, kurungan itu sendiri hilang dan, yang paling penting, "tolak" depan juga hilang.
Kami melakukan perkara yang sama dengan persamaan kedua:
Bukan secara kebetulan saya memberi perhatian kepada fakta-fakta kecil yang kelihatan tidak penting ini. Kerana menyelesaikan persamaan sentiasa merupakan urutan transformasi asas, di mana ketidakupayaan untuk melakukan tindakan mudah dengan jelas dan cekap membawa kepada fakta bahawa pelajar sekolah menengah datang kepada saya dan sekali lagi belajar untuk menyelesaikan persamaan mudah tersebut.
Sudah tentu, harinya akan tiba apabila anda akan mengasah kemahiran ini ke tahap automatik. Anda tidak lagi perlu melakukan begitu banyak transformasi setiap kali anda akan menulis semuanya pada satu baris. Tetapi semasa anda baru belajar, anda perlu menulis setiap tindakan secara berasingan.
Menyelesaikan persamaan linear yang lebih kompleks
Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak boleh dipanggil tugas yang paling mudah, tetapi maknanya tetap sama.
Tugasan No 1
\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]
Mari kita darabkan semua unsur dalam bahagian pertama:
Mari lakukan sedikit privasi:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Mari selesaikan langkah terakhir:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Inilah jawapan terakhir kami. Dan, walaupun fakta bahawa dalam proses penyelesaian kami mempunyai pekali dengan fungsi kuadratik, mereka membatalkan satu sama lain, yang menjadikan persamaan linear dan bukan kuadratik.
Tugasan No. 2
\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]
Mari lakukan langkah pertama dengan teliti: darab setiap elemen daripada kurungan pertama dengan setiap elemen daripada kedua. Perlu ada sejumlah empat istilah baharu selepas transformasi:
Sekarang mari kita lakukan pendaraban dengan teliti dalam setiap sebutan:
Mari alihkan istilah dengan "X" ke kiri, dan yang tanpa - ke kanan:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Berikut adalah istilah yang serupa:
Sekali lagi kami telah menerima jawapan muktamad.
Nuansa penyelesaian
Nota yang paling penting mengenai kedua-dua persamaan ini ialah yang berikut: sebaik sahaja kita mula mendarab kurungan yang mengandungi lebih daripada satu sebutan, ini dilakukan mengikut peraturan berikut: kita mengambil sebutan pertama daripada yang pertama dan mendarab dengan setiap unsur daripada yang kedua; kemudian kita mengambil elemen kedua dari yang pertama dan sama darab dengan setiap elemen dari yang kedua. Akibatnya, kita akan mempunyai empat penggal.
Mengenai jumlah algebra
Dengan contoh terakhir ini, saya ingin mengingatkan pelajar apa itu jumlah algebra. Dalam matematik klasik, dengan $1-7$ kami maksudkan pembinaan mudah: tolak tujuh daripada satu. Dalam algebra, kami bermaksud yang berikut dengan ini: kepada nombor "satu" kami menambah nombor lain, iaitu "tolak tujuh". Beginilah cara jumlah algebra berbeza daripada jumlah aritmetik biasa.
Sebaik sahaja, apabila melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan pendaraban, anda mula melihat pembinaan yang serupa dengan yang diterangkan di atas, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah dalam algebra apabila bekerja dengan polinomial dan persamaan.
Akhir sekali, mari kita lihat beberapa lagi contoh yang akan menjadi lebih kompleks daripada yang baru kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita perlu mengembangkan sedikit algoritma standard kita.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan
Untuk menyelesaikan tugasan tersebut, kami perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma kami. Tetapi pertama-tama, izinkan saya mengingatkan anda tentang algoritma kami:
- Buka kurungan.
- Pembolehubah berasingan.
- Bawa yang serupa.
- Bahagikan dengan nisbah.
Malangnya, algoritma yang hebat ini, untuk semua keberkesanannya, ternyata tidak sepenuhnya sesuai apabila kita mempunyai pecahan di hadapan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita mempunyai pecahan di kedua-dua kiri dan kanan dalam kedua-dua persamaan.
Bagaimana untuk bekerja dalam kes ini? Ya, ia sangat mudah! Untuk melakukan ini, anda perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma, yang boleh dilakukan sebelum dan selepas tindakan pertama, iaitu, menyingkirkan pecahan. Jadi algoritmanya adalah seperti berikut:
- Buang pecahan.
- Buka kurungan.
- Pembolehubah berasingan.
- Bawa yang serupa.
- Bahagikan dengan nisbah.
Apakah yang dimaksudkan dengan "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa ini boleh dilakukan selepas dan sebelum langkah standard pertama? Malah, dalam kes kami, semua pecahan adalah berangka dalam penyebutnya, i.e. Di mana-mana penyebutnya hanyalah nombor. Oleh itu, jika kita mendarab kedua-dua belah persamaan dengan nombor ini, kita akan menyingkirkan pecahan.
Contoh No 1
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]
Mari kita hapuskan pecahan dalam persamaan ini:
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Sila ambil perhatian: semuanya didarab dengan "empat" sekali, i.e. hanya kerana anda mempunyai dua kurungan tidak bermakna anda perlu mendarab setiap satu dengan "empat." Mari kita tulis:
\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Sekarang mari kita kembangkan:
Kami mengasingkan pembolehubah:
Kami melakukan pengurangan istilah yang serupa:
\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Kami telah menerima penyelesaian muktamad, mari kita beralih kepada persamaan kedua.
Contoh No. 2
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]
Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Masalah selesai.
Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin beritahu anda hari ini.
Perkara utama
Penemuan utama ialah:
- Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
- Keupayaan untuk membuka kurungan.
- Jangan risau jika anda mempunyai fungsi kuadratik di suatu tempat, kemungkinan besar, ia akan dikurangkan dalam proses transformasi selanjutnya.
- Terdapat tiga jenis punca dalam persamaan linear, walaupun yang paling mudah: satu punca tunggal, keseluruhan garis nombor ialah punca, dan tiada punca sama sekali.
Saya harap pelajaran ini akan membantu anda menguasai topik yang mudah tetapi sangat penting untuk pemahaman lanjut tentang semua matematik. Jika ada yang tidak jelas, pergi ke tapak dan selesaikan contoh yang dibentangkan di sana. Nantikan, banyak lagi perkara menarik menanti anda!
A+(b + c) boleh ditulis tanpa kurungan: a+(b + c)=a + b + c. Operasi ini dipanggil kurungan pembukaan.
Contoh 1. Mari kita buka kurungan dalam ungkapan a + (- b + c).
Penyelesaian. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Jika terdapat tanda "+" di hadapan kurungan, maka anda boleh meninggalkan kurungan dan tanda "+" ini sambil mengekalkan tanda istilah dalam kurungan. Jika istilah pertama dalam kurungan ditulis tanpa tanda, maka ia mesti ditulis dengan tanda "+".
Contoh 2. Mari cari nilai ungkapan -2.87+ (2.87-7.639).
Penyelesaian. Membuka kurungan, kita dapat - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639.
Untuk mencari nilai ungkapan - (- 9 + 5), anda perlu menambah nombor-9 dan 5 dan cari nombor yang bertentangan dengan jumlah yang terhasil: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Nilai yang sama boleh diperoleh dengan cara lain: mula-mula tulis nombor yang bertentangan dengan istilah ini (iaitu tukar tandanya), dan kemudian tambah: 9 + (- 5) = 4. Oleh itu, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Untuk menulis jumlah yang bertentangan dengan jumlah beberapa istilah, anda perlu menukar tanda-tanda istilah ini.
Ini bermakna - (a + b) = - a - b.
Contoh 3. Mari cari nilai ungkapan 16 - (10 -18 + 12).
Penyelesaian. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Untuk membuka kurungan yang didahului dengan tanda "-", anda perlu menggantikan tanda ini dengan "+", menukar tanda semua istilah dalam kurungan kepada sebaliknya, dan kemudian buka kurungan.
Contoh 4. Mari cari nilai ungkapan 9.36-(9.36 - 5.48).
Penyelesaian. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5,48.
Memperluas kurungan dan menggunakan sifat komutatif dan bersekutu tambahan membolehkan anda memudahkan pengiraan.
Contoh 5. Mari cari nilai ungkapan (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Penyelesaian. Mula-mula, mari buka kurungan, dan kemudian cari secara berasingan jumlah semua positif dan secara berasingan jumlah semua nombor negatif dan, akhirnya, tambahkan hasilnya:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Contoh 6. Mari cari nilai ungkapan itu
Penyelesaian. Mula-mula, mari kita bayangkan setiap sebutan sebagai jumlah integer dan bahagian pecahannya, kemudian buka kurungan, kemudian tambahkan integer dan secara berasingan pecahan bahagian dan akhirnya menambah hasilnya:
Bagaimanakah anda membuka kurungan yang didahului dengan tanda "+"? Bagaimanakah anda boleh mencari nilai ungkapan yang bertentangan dengan hasil tambah beberapa nombor? Bagaimana untuk mengembangkan kurungan didahului dengan tanda "-"?
1218. Buka kurungan:
a) 3.4+(2.6+ 8.3); c) m+(n-k);
b) 4.57+(2.6 - 4.57); d) c+(-a + b).
1219. Cari maksud ungkapan:
1220. Buka kurungan:
a) 85+(7.8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4.7 -17)+7.5; e) -a + (m-2.6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Buka kurungan dan cari maksud ungkapan:
1222. Permudahkan ungkapan:
1223. Tulis jumlah dua ungkapan dan ringkaskannya:
a) - 4 - m dan m + 6.4; d) a+b dan p - b
b) 1.1+a dan -26-a; e) - m + n dan -k - n;
c) a + 13 dan -13 + b; e)m - n dan n - m.
1224. Tulis perbezaan dua ungkapan dan ringkaskannya:
1226. Gunakan persamaan untuk menyelesaikan masalah:
a) Terdapat 42 buku di satu rak, dan 34 di rak yang lain Beberapa buku telah dikeluarkan dari rak kedua, dan seberapa banyak buku telah diambil dari rak pertama seperti yang ditinggalkan di rak kedua. Selepas itu, tinggal 12 buku lagi di rak pertama. Berapakah bilangan buku yang dikeluarkan dari rak kedua?
b) Terdapat 42 orang pelajar di darjah satu, 3 orang pelajar di kelas kedua kurang daripada di kelas ketiga. Berapakah bilangan pelajar dalam gred tiga jika terdapat 125 pelajar dalam ketiga-tiga gred ini?
1227. Cari maksud ungkapan:
1228. Kira secara lisan:
1229. Cari nilai terbesar bagi ungkapan itu:
1230. Nyatakan 4 integer berturut-turut jika:
a) yang lebih kecil daripada mereka ialah -12; c) yang lebih kecil daripada mereka ialah n;
b) yang terbesar ialah -18; d) yang lebih besar daripada mereka adalah sama dengan k.
Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan susunan tindakan yang dilakukan dalam ungkapan angka, literal dan pembolehubah. Adalah mudah untuk beralih daripada ungkapan dengan kurungan kepada ungkapan yang sama tanpa kurungan. Teknik ini dipanggil kurungan pembukaan.
Mengembangkan kurungan bermaksud mengalih keluar kurungan daripada ungkapan.
Satu lagi perkara patut diberi perhatian khusus, yang berkenaan dengan keunikan keputusan rakaman semasa membuka kurungan. Kita boleh menulis ungkapan awal dengan kurungan dan hasil yang diperoleh selepas membuka kurungan sebagai kesamaan. Sebagai contoh, selepas mengembangkan kurungan dan bukannya ungkapan
3−(5−7) kita dapat ungkapan 3−5+7. Kita boleh menulis kedua-dua ungkapan ini sebagai kesamaan 3−(5−7)=3−5+7.
Dan satu lagi perkara penting. Dalam matematik, untuk memendekkan notasi, adalah kebiasaan untuk tidak menulis tanda tambah jika ia muncul dahulu dalam ungkapan atau dalam kurungan. Sebagai contoh, jika kita menambah dua nombor positif, sebagai contoh, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis +7+3, tetapi hanya 7+3, walaupun pada hakikatnya tujuh juga merupakan nombor positif. Begitu juga, jika anda melihat, sebagai contoh, ungkapan (5+x) - ketahui bahawa sebelum kurungan terdapat tambah, yang tidak ditulis, dan sebelum lima ada tambah +(+5+x).
Peraturan untuk membuka kurungan semasa penambahan
Apabila membuka kurungan, jika terdapat tambah di hadapan kurungan, maka tambah ini ditinggalkan bersama dengan kurungan.
Contoh. Buka kurungan dalam ungkapan 2 + (7 + 3) Terdapat tambah di hadapan kurungan, yang bermaksud kita tidak menukar tanda di hadapan nombor dalam kurungan.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Peraturan untuk membuka kurungan semasa menolak
Jika terdapat tolak sebelum kurungan, maka tolak ini ditinggalkan bersama kurungan, tetapi istilah yang ada dalam kurungan menukar tandanya kepada sebaliknya. Ketiadaan tanda sebelum sebutan pertama dalam kurungan membayangkan tanda +.
Contoh. Kembangkan kurungan dalam ungkapan 2 − (7 + 3)
Terdapat tolak sebelum kurungan, yang bermaksud anda perlu menukar tanda di hadapan nombor dalam kurungan. Dalam kurungan tiada tanda sebelum nombor 7, ini bermakna tujuh adalah positif, dikira ada tanda + di hadapannya.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Apabila membuka kurungan, kami mengeluarkan dari contoh tolak yang berada di hadapan kurungan, dan kurungan itu sendiri 2 − (+ 7 + 3), dan menukar tanda yang ada dalam kurungan kepada yang bertentangan.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Mengembangkan tanda kurung apabila mendarab
Jika terdapat tanda darab di hadapan kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan didarab dengan faktor di hadapan kurungan. Dalam kes ini, mendarabkan tolak dengan tolak memberikan tambah, dan mendarab tolak dengan tambah, seperti mendarab tambah dengan tolak, memberikan tolak.
Oleh itu, kurungan dalam produk dikembangkan mengikut sifat taburan pendaraban.
Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Apabila anda mendarab kurungan dengan kurungan, setiap sebutan dalam kurungan pertama didarab dengan setiap sebutan dalam kurungan kedua.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Malah, tidak perlu mengingati semua peraturan, cukup untuk mengingati satu sahaja, ini: c(a−b)=ca−cb. kenapa? Kerana jika anda menggantikan satu daripada c, anda mendapat peraturan (a−b)=a−b. Dan jika kita menggantikan tolak satu, kita mendapat peraturan −(a−b)=−a+b. Nah, jika anda menggantikan kurungan lain dan bukannya c, anda boleh mendapatkan peraturan terakhir.
Membuka kurungan semasa membahagi
Jika terdapat tanda pembahagian selepas kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan dibahagikan dengan pembahagi selepas kurungan, dan begitu juga sebaliknya.
Contoh. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3
Cara mengembangkan kurungan bersarang
Jika ungkapan mengandungi kurungan bersarang, ia dikembangkan mengikut tertib, bermula dengan yang luar atau dalam.
Dalam kes ini, adalah penting apabila membuka salah satu kurungan, jangan sentuh kurungan yang tinggal, hanya menulis semula ia seperti sedia ada.
Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
"Kurungan pembukaan" - Buku teks Matematik, gred 6 (Vilenkin)
Penerangan Ringkas:
Dalam bahagian ini anda akan belajar cara mengembangkan kurungan dalam contoh. Untuk apa itu? Segala-galanya adalah untuk perkara yang sama seperti sebelumnya - untuk memudahkan dan memudahkan anda mengira, untuk membuat lebih sedikit kesilapan, dan idealnya (impian guru matematik anda) untuk menyelesaikan segala-galanya tanpa kesilapan.
Anda sudah tahu bahawa kurungan diletakkan dalam tatatanda matematik jika dua tanda matematik muncul berturut-turut, jika kita ingin menunjukkan gabungan nombor, pengumpulan semula mereka. Mengembangkan kurungan bermakna menyingkirkan aksara yang tidak perlu. Contohnya: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Adakah anda masih ingat sifat taburan pendaraban berbanding penambahan? Malah, dalam contoh itu kami juga menyingkirkan kurungan untuk memudahkan pengiraan. Sifat pendaraban yang dinamakan juga boleh digunakan untuk empat, tiga, lima atau lebih sebutan. Contohnya: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Adakah anda perasan bahawa apabila anda membuka kurungan, nombor di dalamnya tidak berubah tanda jika nombor di hadapan kurungan adalah positif? Lagipun, lima belas adalah nombor positif. Dan jika anda menyelesaikan contoh ini: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Kami mempunyai nombor negatif tolak lima belas di hadapan kurungan, apabila kami membuka kurungan semua nombor mula menukar tandanya kepada yang lain - sebaliknya - dari tambah kepada tolak.
Berdasarkan contoh di atas, dua peraturan asas untuk membuka kurungan boleh dinyatakan:
1. Jika anda mempunyai nombor positif di hadapan kurungan, maka selepas membuka kurungan semua tanda nombor dalam kurungan tidak berubah, tetapi tetap sama seperti sebelumnya.
2. Jika anda mempunyai nombor negatif di hadapan kurungan, maka selepas membuka kurungan tanda tolak tidak lagi ditulis, dan tanda-tanda semua nombor mutlak dalam kurungan tiba-tiba berubah menjadi sebaliknya.
Contohnya: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Mari kita rumitkan contoh kita sedikit: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Anda perasan bahawa apabila membuka kurungan kedua, kami mendarab dengan 2, tetapi tanda-tandanya tetap sama seperti sebelumnya. Berikut ialah contoh: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, dalam contoh ini nombor dua adalah negatif, ia sebelum kurungan berdiri dengan tanda tolak, jadi apabila membukanya, kami menukar tanda nombor kepada yang bertentangan (sembilan adalah dengan tambah, menjadi tolak, lapan dengan tolak, menjadi tambah).
Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih laju daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa yang diperlukan Achilles untuk berlari jarak ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan diteruskan secara infinitum, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu cara atau yang lain. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan hingga ke hari ini; komuniti saintifik masih belum dapat mencapai pendapat umum mengenai intipati paradoks ... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baru terlibat dalam kajian isu tersebut ; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima umum untuk masalah itu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa yang terkandung dalam penipuan itu.
Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada kuantiti kepada . Peralihan ini membayangkan aplikasi dan bukannya yang kekal. Setakat yang saya faham, radas matematik untuk menggunakan unit ukuran boleh ubah sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Menggunakan logik biasa kita membawa kita ke dalam perangkap. Kami, disebabkan oleh inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada nilai timbal balik. Dari sudut fizikal, ini kelihatan seperti masa semakin perlahan sehingga ia berhenti sepenuhnya pada saat Achilles mengejar penyu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh berlari lebih cepat daripada kura-kura.
Jika kita membalikkan logik biasa kita, semuanya akan menjadi tempatnya. Achilles berlari pada kelajuan tetap. Setiap segmen seterusnya dari laluannya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan mengejar penyu dengan cepat tanpa had."
Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? Kekal dalam unit masa yang tetap dan jangan beralih kepada unit timbal balik. Dalam bahasa Zeno ia kelihatan seperti ini:
Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.
Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ini bukan penyelesaian lengkap untuk masalah itu. Kenyataan Einstein tentang ketaktahan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan Kura-kura". Kita masih perlu mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.
Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:
Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.
Dalam aporia ini, paradoks logik diatasi dengan sangat mudah - sudah cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang berada di tempat yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah gerakan. Satu lagi perkara perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan sama ada kereta sedang bergerak, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza, tetapi anda tidak boleh menentukan jarak darinya. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang berbeza di angkasa pada satu masa, tetapi daripada mereka anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan (sudah tentu, anda masih memerlukan data tambahan untuk pengiraan, trigonometri akan membantu anda ). Apa yang saya ingin menarik perhatian khusus ialah dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah perkara yang berbeza yang tidak boleh dikelirukan, kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penyelidikan.
Rabu, 4 Julai 2018
Perbezaan antara set dan multiset diterangkan dengan baik di Wikipedia. Jom tengok.
Seperti yang anda lihat, "tidak boleh ada dua elemen yang sama dalam set," tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset." Makhluk yang munasabah tidak akan memahami logik yang tidak masuk akal itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, yang tidak mempunyai kecerdasan daripada perkataan "sepenuhnya". Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, memberitakan kepada kita idea-idea mereka yang tidak masuk akal.
Suatu ketika dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa menguji jambatan. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.
Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah," atau lebih tepat, "matematik mengkaji konsep abstrak," terdapat satu tali pusat yang menghubungkannya dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Marilah kita mengaplikasikan teori set matematik kepada ahli matematik itu sendiri.
Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, memberikan gaji. Jadi seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira jumlah keseluruhan kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberikan ahli matematik "set gaji matematik"nya. Mari kita jelaskan kepada ahli matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.
Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "Ini boleh digunakan untuk orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Kemudian mereka akan mula meyakinkan kita bahawa bil daripada denominasi yang sama mempunyai nombor bil yang berbeza, yang bermaksud ia tidak boleh dianggap sebagai elemen yang sama. Baiklah, mari kita mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan mula panik mengingati fizik: syiling yang berbeza mempunyai jumlah kotoran yang berbeza, struktur kristal dan susunan atom adalah unik untuk setiap syiling...
Dan sekarang saya mempunyai soalan yang paling menarik: di manakah garisan di mana unsur-unsur multiset bertukar menjadi elemen set dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak wujud - semuanya ditentukan oleh bomoh, sains tidak hampir dengan berbohong di sini.
Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan keluasan padang yang sama. Kawasan medan adalah sama - yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita lihat nama stadium yang sama ini, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset. Mana yang betul? Dan di sini ahli matematik-bomoh-tajam mengeluarkan ace of trumps dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.
Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan tunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."
Ahad, 18 Mac 2018
Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi itulah sebabnya mereka adalah bomoh, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.
Adakah anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah digit nombor." Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang boleh digunakan untuk mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor adalah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis nombor, dan dalam bahasa matematik tugasnya berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya dengan mudah.
Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, marilah kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.
1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor tersebut kepada simbol nombor grafik. Ini bukan operasi matematik.
2. Kami memotong satu gambar yang terhasil kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor individu. Memotong gambar bukan operasi matematik.
3. Tukar simbol grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.
4. Tambah nombor yang terhasil. Sekarang itu matematik.
Jumlah digit nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" yang diajar oleh bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.
Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor. Jadi, dalam sistem nombor yang berbeza jumlah digit nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. Dengan nombor yang besar 12345, saya tidak mahu menipu kepala saya, mari kita pertimbangkan nombor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; Jom tengok hasilnya.
Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza jumlah digit nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia sama seperti jika anda menentukan luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter, anda akan mendapat hasil yang sama sekali berbeza.
Sifar kelihatan sama dalam semua sistem nombor dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta itu. Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah sesuatu yang bukan nombor ditetapkan dalam matematik? Apa, bagi ahli matematik tiada apa yang wujud kecuali nombor? Saya boleh membenarkan ini untuk bomoh, tetapi tidak untuk saintis. Realiti bukan hanya tentang angka.
Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran untuk nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza dengan kuantiti yang sama membawa kepada keputusan yang berbeza selepas membandingkannya, maka ini tiada kaitan dengan matematik.
Apakah matematik sebenar? Ini adalah apabila keputusan operasi matematik tidak bergantung pada saiz nombor, unit ukuran yang digunakan dan siapa yang melakukan tindakan ini.
Oh! Bukankah ini tandas wanita?
- Wanita muda! Ini adalah makmal untuk mengkaji kesucian jiwa yang tidak sempurna semasa mereka naik ke syurga! Halo di atas dan anak panah ke atas. Tandas apa lagi?
Perempuan... Lingkaran di atas dan anak panah ke bawah adalah lelaki.
Jika karya seni reka bentuk seperti itu berkelip di depan mata anda beberapa kali sehari,
Maka tidak hairanlah anda tiba-tiba menjumpai ikon pelik di dalam kereta anda:
Secara peribadi, saya berusaha untuk melihat tolak empat darjah pada orang yang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda tolak, nombor empat, sebutan darjah). Dan saya tidak fikir gadis ini bodoh yang tidak tahu fizik. Dia hanya mempunyai stereotaip yang kuat untuk melihat imej grafik. Dan ahli matematik mengajar kita ini sepanjang masa. Berikut adalah contoh.
1A bukan "tolak empat darjah" atau "satu a". Ini ialah "lelaki buang air besar" atau nombor "dua puluh enam" dalam tatatanda heksadesimal. Mereka yang sentiasa bekerja dalam sistem nombor ini secara automatik menganggap nombor dan huruf sebagai satu simbol grafik.