ohm Untuk melakukan ini, kami mula-mula memperkenalkan konsep segmen.
Definisi 1
Kami akan memanggil segmen sebagai sebahagian daripada garisan yang dibatasi oleh titik di kedua-dua belah.
Definisi 2
Hujung segmen ialah titik yang mengehadkannya.
Untuk memperkenalkan definisi vektor, kami memanggil salah satu hujung segmen sebagai permulaannya.
Definisi 3
Kami akan memanggil vektor (segmen terarah) segmen di mana ia ditunjukkan titik sempadan mana yang merupakan permulaan dan yang mana penghujungnya.
Notasi: \overline(AB) ialah vektor AB yang bermula di titik A dan berakhir di titik B.
Jika tidak, dalam satu huruf kecil: \overline(a) (Gamb. 1).
Definisi 4
Kami akan memanggil vektor sifar sebarang titik kepunyaan satah.
Simbol: \overline(0) .
Marilah kita memperkenalkan secara langsung takrif vektor kolinear.
Kami juga akan memperkenalkan definisi produk skalar, yang kami perlukan kemudian.
Definisi 6
Hasil darab skalar bagi dua vektor yang diberi ialah skalar (atau nombor) yang sama dengan hasil darab panjang dua vektor ini dengan kosinus sudut antara vektor ini.
Secara matematik ia mungkin kelihatan seperti ini:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Produk titik juga boleh didapati menggunakan koordinat vektor seperti berikut
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Tanda perpendicularity melalui proportionality
Teorem 1
Untuk vektor bukan sifar berserenjang antara satu sama lain, adalah perlu dan mencukupi bahawa hasil darab skalar vektor ini sama dengan sifar.
Bukti.
Keperluan: Marilah kita diberi vektor \overline(α) dan \overline(β) yang mempunyai koordinat (α_1,α_2,α_3) dan (β_1,β_2,β_3), masing-masing, dan ia berserenjang antara satu sama lain. Kemudian kita perlu membuktikan persamaan berikut
Oleh kerana vektor \overline(α) dan \overline(β) adalah berserenjang, sudut di antara mereka ialah 90^0. Mari cari hasil kali skalar bagi vektor-vektor ini menggunakan formula dari Definisi 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Kecukupan: Biarkan persamaan itu benar \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Mari kita buktikan bahawa vektor \overline(α) dan \overline(β) akan berserenjang antara satu sama lain.
Mengikut takrifan 6, kesaksamaan akan menjadi benar
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Oleh itu, vektor \overline(α) dan \overline(β) akan berserenjang antara satu sama lain.
Teorem telah terbukti.
Contoh 1
Buktikan bahawa vektor dengan koordinat (1,-5,2) dan (2,1,3/2) adalah berserenjang.
Bukti.
Mari cari produk skalar untuk vektor ini menggunakan formula yang diberikan di atas
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Ini bermakna, mengikut Teorem 1, vektor ini berserenjang.
Mencari vektor serenjang kepada dua vektor yang diberi menggunakan hasil silang
Mari kita mula-mula memperkenalkan konsep produk vektor.
Definisi 7
Hasil darab vektor dua vektor akan menjadi vektor yang akan berserenjang dengan kedua-dua vektor yang diberikan, dan panjangnya akan sama dengan hasil darab panjang vektor ini dengan sinus sudut antara vektor ini, dan juga vektor ini dengan dua yang awal mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat Cartes.
Jawatan: \overline(α)x\overline(β)x.
Untuk mencari produk vektor, kami akan menggunakan formula
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Oleh kerana vektor hasil silang dua vektor adalah berserenjang dengan kedua-dua vektor ini, ia akan menjadi vektor. Iaitu, untuk mencari vektor berserenjang dengan dua vektor, anda hanya perlu mencari produk vektornya.
Contoh 2
Cari vektor berserenjang dengan vektor dengan koordinat \overline(α)=(1,2,3) dan \overline(β)=(-1,0,3)
Mari kita cari hasil vektor vektor ini.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\garis atas(i)-(3+3)\garisan(j)+(0+2)\garisan(k)=6\garisan(i)-6\garisan(j)+2\garisan(k) =(6,6,2) x
Artikel ini mendedahkan maksud keserenjang dua vektor pada satah dalam ruang tiga dimensi dan mencari koordinat vektor berserenjang dengan satu atau sepasang keseluruhan vektor. Topik ini boleh digunakan untuk masalah yang melibatkan persamaan garis dan satah.
Kami akan mempertimbangkan syarat yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor, menyelesaikan kaedah mencari vektor yang berserenjang dengan yang diberikan, dan menyentuh situasi mencari vektor yang berserenjang dengan dua vektor.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Keadaan yang diperlukan dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor
Mari kita gunakan peraturan tentang vektor serenjang pada satah dan dalam ruang tiga dimensi.
Definisi 1
Dengan syarat sudut antara dua vektor bukan sifar adalah sama dengan 90 ° (π 2 radian) dipanggil berserenjang.
Apakah maksud ini, dan dalam situasi apakah perlu mengetahui tentang keserenjangannya?
Mewujudkan perpendicularity adalah mungkin melalui lukisan. Apabila memplot vektor pada satah dari titik tertentu, anda boleh mengukur sudut di antara mereka secara geometri. Walaupun jika keserenjangan vektor ditetapkan, ia tidak akan tepat sepenuhnya. Selalunya, tugasan ini tidak membenarkan anda melakukan ini menggunakan protraktor, jadi kaedah ini hanya terpakai apabila tiada apa-apa lagi yang diketahui tentang vektor.
Kebanyakan kes membuktikan keserenjangan dua vektor bukan sifar pada satah atau di angkasa dilakukan menggunakan syarat yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor.
Teorem 1
Hasil darab skalar bagi dua vektor bukan sifar a → dan b → sama dengan sifar untuk memenuhi kesamaan a → , b → = 0 adalah mencukupi untuk keserenjangannya.
Bukti 1
Biarkan vektor yang diberi a → dan b → berserenjang, maka kita akan membuktikan kesamaan a ⇀ , b → = 0 .
Daripada definisi hasil darab titik bagi vektor kita tahu bahawa ia sama hasil darab panjang vektor yang diberi dan kosinus sudut di antaranya. Dengan keadaan, a → dan b → adalah berserenjang, yang bermaksud, berdasarkan definisi, sudut di antara mereka ialah 90 °. Kemudian kita mempunyai → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Bahagian kedua bukti
Dengan syarat a ⇀, b → = 0, buktikan keserenjang a → dan b →.
Malah, buktinya adalah bertentangan dengan yang sebelumnya. Adalah diketahui bahawa a → dan b → adalah bukan sifar, yang bermaksud bahawa daripada kesamaan a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ kita dapati kosinus. Kemudian kita dapat cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Oleh kerana kosinus adalah sifar, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut a →, b → ^ bagi vektor a → dan b → adalah sama dengan 90 °. Mengikut definisi, ini adalah harta yang perlu dan mencukupi.
Keadaan keserenjang pada satah koordinat
Bab hasil kali skalar dalam koordinat menunjukkan ketaksamaan (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , sah untuk vektor dengan koordinat a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y), pada satah dan (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y untuk vektor a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) dalam ruang. Keadaan yang perlu dan mencukupi untuk keserenjang dua vektor dalam satah koordinat ialah a x · b x + a y · b y = 0, untuk ruang tiga dimensi a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Mari kita praktikkan dan lihat contoh.
Contoh 1
Periksa sifat serenjang dua vektor a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mencari produk skalar. Jika mengikut keadaan ia sama dengan sifar, maka ia adalah serenjang.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Syarat dipenuhi, yang bermaksud bahawa vektor yang diberikan adalah berserenjang dengan satah.
Jawapan: ya, vektor yang diberi a → dan b → adalah berserenjang.
Contoh 2
Vektor koordinat i → , j → , k → diberikan. Periksa sama ada vektor i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → boleh berserenjang.
Penyelesaian
Untuk mengingati bagaimana koordinat vektor ditentukan, anda perlu membaca artikel tentang koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat. Oleh itu, kita dapati bahawa vektor yang diberi i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → mempunyai koordinat yang sepadan (1, - 1, 0) dan (1, 2, 2). Kami menggantikan nilai berangka dan dapatkan: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Ungkapan tidak sama dengan sifar, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, yang bermaksud bahawa vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → tidak berserenjang, kerana syaratnya tidak dipenuhi.
Jawapan: tidak, vektor i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → tidak berserenjang.
Contoh 3
Diberi vektor a → = (1, 0, - 2) dan b → = (λ, 5, 1). Cari nilai λ di mana vektor ini berserenjang.
Penyelesaian
Kami menggunakan keadaan tegak lurus dua vektor dalam ruang dalam bentuk segi empat sama, maka kami dapat
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Jawapan: vektor adalah berserenjang pada nilai λ = 2.
Terdapat kes apabila persoalan perpendicularity adalah mustahil walaupun dalam keadaan yang perlu dan mencukupi. Memandangkan data yang diketahui pada tiga sisi segitiga pada dua vektor, adalah mungkin untuk mencari sudut antara vektor dan semaknya.
Contoh 4
Diberi segitiga A B C dengan sisi A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Periksa vektor A B → dan A C → untuk keserenjangan.
Penyelesaian
Jika vektor A B → dan A C → adalah berserenjang, segitiga A B C dianggap segi empat tepat. Kemudian kita menggunakan teorem Pythagoras, di mana B C ialah hipotenus bagi segi tiga. Kesamaan B C 2 = A B 2 + A C 2 mestilah benar. Ia berikutan bahawa 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Ini bermakna A B dan A C ialah kaki bagi segi tiga A B C, oleh itu, A B → dan A C → adalah berserenjang.
Adalah penting untuk mempelajari cara mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan yang diberikan. Ini boleh dilakukan di atas satah dan di angkasa, dengan syarat vektornya berserenjang.
Mencari vektor yang berserenjang dengan yang diberikan dalam satah.
Vektor bukan sifar a → boleh mempunyai bilangan vektor serenjang yang tidak terhingga pada satah. Mari kita gambarkan ini pada garis koordinat.
Diberi vektor bukan sifar a → terletak pada garis lurus a. Kemudian b diberi →, terletak pada mana-mana garis berserenjang dengan garis a, menjadi berserenjang dengan →. Jika vektor i → berserenjang dengan vektor j → atau mana-mana vektor λ · j → dengan λ sama dengan sebarang nombor nyata selain sifar, maka cari koordinat bagi vektor b → berserenjang dengan a → = (a x , a y ) dikurangkan kepada set penyelesaian tak terhingga. Tetapi adalah perlu untuk mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan a → = (a x , a y) . Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menuliskan keadaan keserenjangan vektor dalam bentuk berikut: a x · b x + a y · b y = 0. Kami mempunyai b x dan b y, yang merupakan koordinat yang dikehendaki bagi vektor serenjang. Apabila a x ≠ 0, nilai b y ialah bukan sifar, dan b x boleh dikira daripada ketaksamaan a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Untuk a x = 0 dan a y ≠ 0, kami tetapkan b x sebarang nilai selain sifar, dan cari b y daripada ungkapan b y = - a x · b x a y .
Contoh 5
Diberi vektor dengan koordinat a → = (- 2 , 2) . Cari vektor yang berserenjang dengan ini.
Penyelesaian
Mari kita nyatakan vektor yang dikehendaki sebagai b → (b x , b y) . Koordinatnya boleh didapati daripada keadaan bahawa vektor a → dan b → adalah berserenjang. Kemudian kita dapat: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Mari berikan b y = 1 dan gantikan: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Oleh itu, daripada formula kita mendapat b x = - 2 - 2 = 1 2. Ini bermakna vektor b → = (1 2 , 1) ialah vektor berserenjang dengan a → .
Jawapan: b → = (1 2 , 1) .
Jika soalan dibangkitkan tentang ruang tiga dimensi, masalah itu diselesaikan mengikut prinsip yang sama. Untuk vektor yang diberi a → = (a x , a y , a z) terdapat bilangan vektor serenjang yang tidak terhingga. Akan membetulkannya pada satah koordinat tiga dimensi. Diberi → berbaring di atas garisan a. Satah berserenjang dengan lurus a dilambangkan dengan α. Dalam kes ini, sebarang vektor bukan sifar b → dari satah α adalah berserenjang dengan →.
Ia adalah perlu untuk mencari koordinat b → berserenjang dengan vektor bukan sifar a → = (a x , a y , a z) .
Biarkan b → diberikan dengan koordinat b x , b y dan b z . Untuk mencari mereka, adalah perlu untuk menggunakan takrifan keadaan serenjang dua vektor. Kesamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 mesti dipenuhi. Daripada keadaan a → bukan sifar, yang bermaksud bahawa salah satu koordinat mempunyai nilai yang tidak sama dengan sifar. Mari kita andaikan bahawa a x ≠ 0, (a y ≠ 0 atau a z ≠ 0). Oleh itu, kita mempunyai hak untuk membahagikan keseluruhan ketaksamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 dengan koordinat ini, kita memperoleh ungkapan b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Kami menetapkan sebarang nilai kepada koordinat b y dan b x, hitung nilai b x berdasarkan formula, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vektor serenjang yang dikehendaki akan mempunyai nilai a → = (a x, a y, a z).
Mari kita lihat bukti menggunakan contoh.
Contoh 6
Diberi vektor dengan koordinat a → = (1, 2, 3) . Cari vektor yang berserenjang dengan yang diberi.
Penyelesaian
Mari kita nyatakan vektor yang dikehendaki dengan b → = (b x , b y , b z) . Berdasarkan syarat bahawa vektor adalah berserenjang, hasil kali skalar mestilah sama dengan sifar.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Jika nilai b y = 1, b z = 1, maka b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Ia berikutan bahawa koordinat bagi vektor b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → ialah salah satu vektor yang berserenjang dengan yang diberikan.
Jawapan: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Mencari koordinat bagi vektor yang berserenjang dengan dua vektor yang diberi
Kita perlu mencari koordinat vektor dalam ruang tiga dimensi. Ia berserenjang dengan vektor bukan kolinear a → (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Dengan syarat bahawa vektor a → dan b → adalah kolinear, ia akan mencukupi untuk mencari vektor berserenjang dengan a → atau b → dalam masalah.
Apabila menyelesaikan, konsep produk vektor bagi vektor digunakan.
Produk vektor bagi vektor a → dan b → ialah vektor yang berserenjang serentak dengan kedua-dua a → dan b →. Untuk menyelesaikan masalah ini, produk vektor a → × b → digunakan. Untuk ruang tiga dimensi ia mempunyai bentuk a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Mari kita lihat produk vektor dengan lebih terperinci menggunakan contoh masalah.
Contoh 7
Vektor b → = (0, 2, 3) dan a → = (2, 1, 0) diberikan. Cari koordinat mana-mana vektor yang berserenjang dengan data secara serentak.
Penyelesaian
Untuk menyelesaikannya, anda perlu mencari produk vektor bagi vektor. (Sila rujuk perenggan mengira penentu sesuatu matriks untuk mencari vektor). Kita mendapatkan:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Jawapan: (3 , - 6 , 4) - koordinat bagi vektor yang berserenjang serentak dengan a → dan b → yang diberi.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Dalam bahagian soalan, cari vektor berserenjang dengan dua vektor yang diberikan oleh pengarang Anna Afanasyeva jawapan terbaik ialah: Vektor berserenjang dengan dua vektor tidak selari didapati sebagai hasil vektor xb mereka, untuk mencarinya anda perlu menyusun penentu, baris pertama yang akan terdiri daripada vektor unit I, j, k, kedua daripada koordinat vektor a, yang ketiga daripada koordinat vektor b . Penentu dianggap sebagai pengembangan di sepanjang baris pertama, dalam kes anda, anda mendapat akhv=20i-10k, atau ahv=(20,0,-10).
Jawapan daripada 22 jawapan[guru]
hello! Berikut ialah pilihan topik dengan jawapan kepada soalan anda: cari vektor berserenjang dengan dua vektor yang diberikan
Jawapan daripada menghulurkan[orang baru]
Vektor berserenjang dengan dua vektor tidak selari didapati sebagai hasil vektor xb mereka, untuk mencarinya anda perlu menyusun penentu, baris pertama yang akan terdiri daripada vektor unit I, j, k, kedua - daripada koordinat bagi vektor a, yang ketiga - daripada koordinat vektor b. Penentu dianggap sebagai pengembangan di sepanjang baris pertama, dalam kes anda, anda mendapat akhv=20i-10k, atau ahv=(20,0,-10).
Jawapan daripada HAYKA[guru]
Secara kasar selesaikan seperti ini; Tetapi pertama, baca semuanya sendiri!! !
Kira hasil skalar bagi vektor d dan r jika d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modulus vektor a ialah 4, modulus vektor b ialah 6. Sudut antara vektor a dan b ialah 60 darjah, vektor c berserenjang dengan vektor a dan b.
Titik E dan F terletak masing-masing pada sisi AD dan BC segiempat selari ABCD, dengan AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Ungkapkan vektor EF dalam sebutan vektor m = vektor AB dan vektor n = vektor AD. b) Bolehkah vektor kesamaan EF = x didarab dengan CD vektor memegang sebarang nilai x? .
Arahan
Jika vektor asal digambarkan dalam lukisan dalam sistem koordinat dua dimensi segi empat tepat dan satu serenjang perlu dibina di sana, teruskan daripada takrifan keserenjangan vektor pada satah. Ia menyatakan bahawa sudut antara sepasang segmen terarah sedemikian mestilah sama dengan 90°. Bilangan tak terhingga bagi vektor tersebut boleh dibina. Oleh itu, lukiskan serenjang dengan vektor asal di mana-mana tempat yang mudah pada satah, letakkan segmen di atasnya sama dengan panjang sepasang mata tertib yang diberikan dan tetapkan salah satu hujungnya sebagai permulaan vektor serenjang. Lakukan ini menggunakan protraktor dan pembaris.
Jika vektor asal diberikan oleh koordinat dua dimensi ā = (X₁;Y₁), andaikan hasil darab skalar bagi sepasang vektor serenjang mestilah sama dengan sifar. Ini bermakna anda perlu memilih untuk vektor yang dikehendaki ō = (X₂,Y₂) koordinat sedemikian sehingga kesamaan (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 akan dipegang. Ini boleh dilakukan seperti ini: pilih mana-mana nilai bukan sifar untuk koordinat X₂, dan hitung koordinat Y₂ menggunakan formula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (15;5) akan ada vektor ō, dengan abscissa sama dengan satu dan ordinat sama dengan -(15*1)/5 = -3, i.e. ō = (1;-3).
Untuk sistem koordinat tiga dimensi dan mana-mana ortogonal yang lain, syarat yang diperlukan dan mencukupi yang sama untuk keserenjangan vektor adalah benar - hasil darab skalarnya mestilah sama dengan sifar. Oleh itu, jika segmen terarah awal diberikan oleh koordinat ā = (X₁,Y₁,Z₁), pilih pasangan tertib titik ō = (X₂,Y₂,Z₂) berserenjang dengannya koordinat sedemikian yang memenuhi syarat (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cara paling mudah ialah memberikan nilai tunggal kepada X₂ dan Y₂, dan mengira Z₂ daripada kesamaan dipermudahkan Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (3,5,4) ini akan mengambil bentuk berikut: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Kemudian ambil absis dan ordinat bagi vektor serenjang sebagai satu, dan dalam kes ini ia akan sama dengan -(3+5)/4 = -2.
Sumber:
- cari vektor jika ia berserenjang
Mereka dipanggil serenjang vektor, sudut antaranya ialah 90º. Vektor serenjang dibina menggunakan alat lukisan. Jika koordinatnya diketahui, maka keserenjangan vektor boleh disemak atau didapati menggunakan kaedah analisis.
Anda perlu
- - protraktor;
- - kompas;
- - pembaris.
Arahan
Bina vektor berserenjang dengan yang diberi. Untuk melakukan ini, pada titik yang merupakan permulaan vektor, pulihkan serenjang dengannya. Ini boleh dilakukan menggunakan protraktor, menetapkan sudut 90º. Jika anda tidak mempunyai protraktor, gunakan kompas untuk melakukannya.
Tetapkannya ke titik permulaan vektor. Lukis bulatan dengan jejari sewenang-wenangnya. Kemudian bina dua dengan pusat pada titik di mana bulatan pertama bersilang dengan garis di mana vektor terletak. Jejari bulatan ini mestilah sama antara satu sama lain dan lebih besar daripada bulatan pertama yang dibina. Di titik persilangan bulatan, bina satu garis lurus yang akan berserenjang dengan vektor asal pada asalnya, dan lukiskan di atasnya vektor yang berserenjang dengan yang ini.
Vektor unit ialah: , di mana 
– modul vektor.
Jawapan: 
.
Catatan. Koordinat vektor unit mestilah tidak lebih daripada satu.
6.3. Cari kosinus panjang dan arah bagi suatu vektor 
. Bandingkan dengan jawapan dalam perenggan sebelumnya. Buat kesimpulan.
Panjang vektor ialah modulusnya:
Dan kita boleh mencari kosinus arah menggunakan formula untuk salah satu cara untuk menentukan vektor:
Daripada ini kita melihat bahawa kosinus arah ialah koordinat bagi vektor unit.
Jawapan: 
,
,
,
.
6.4. Cari 
.
Ia adalah perlu untuk melakukan tindakan mendarab vektor dengan nombor, menambah dan modulus.
Kami mendarabkan koordinat vektor dengan sebutan nombor dengan sebutan.
Kami menambah koordinat bagi istilah vektor mengikut sebutan.
Mencari modulus vektor.
Jawapan: 
6.5. Tentukan koordinat vektor 
, kolinear kepada vektor 
, mengetahui bahawa 
dan ia diarahkan ke arah yang bertentangan dengan vektor 
.
vektor 
kolinear kepada vektor 
, yang bermaksud vektor unitnya adalah sama dengan vektor unit 
hanya dengan tanda tolak, kerana diarahkan ke arah yang bertentangan.
Vektor unit mempunyai panjang sama dengan 1, yang bermaksud bahawa jika anda mendarabkannya dengan 5, maka panjangnya akan sama dengan lima.
Kita dapati 
Jawapan: 
6.6. Kira Produk Dot 
Dan 
. Adakah vektor serenjang? 
Dan 
,
Dan 
antara mereka sendiri?
Mari kita lakukan hasil darab skalar bagi vektor.
Jika vektor adalah serenjang, hasil darab skalarnya ialah sifar.
Kami melihat bahawa dalam kes kami vektor 
Dan 
berserenjang.
Jawapan: 
,
, vektor tidak berserenjang.
Catatan. Makna geometri hasil skalar tidak banyak digunakan dalam amalan, tetapi ia masih wujud. Hasil daripada tindakan sedemikian boleh digambarkan dan dikira secara geometri.
6.7. Cari kerja yang dilakukan oleh titik bahan yang dikenakan daya 
, apabila memindahkannya dari titik B ke titik C.
Makna fizikal produk skalar ialah kerja. Vektor daya ada di sini 
, vektor sesaran ialah 
. Dan hasil daripada vektor ini akan menjadi kerja yang diperlukan.
Mencari pekerjaan
6.8. Cari sudut pedalaman pada satu bucu A dan sudut bucu luaran C segi tiga ABC .
Daripada takrif produk skalar vektor, kami memperoleh formula untuk mencari sudut: .
DALAM 
Kami akan mencari sudut pedalaman sebagai sudut antara vektor yang terpancar dari satu titik.
Untuk mencari sudut luaran, anda perlu menggabungkan vektor supaya ia keluar dari satu titik. Gambar menerangkan ini.
Perlu diperhatikan bahawa 
, hanya mempunyai koordinat awal yang berbeza.
Mencari vektor dan sudut yang diperlukan
Jawapan: sudut dalaman pada bucu A = 
, sudut luar pada bucu B = 
.
6.9. Cari unjuran bagi vektor: dan
Mari kita ingat vektor vektor: 
,
,
.
Unjuran juga didapati daripada hasil skalar
-unjuran b pada a.
Vektor yang diperoleh sebelum ini
,
,
Mencari unjuran
Mencari unjuran kedua
Jawapan: 
,
Catatan. Tanda tolak apabila mencari unjuran bermakna unjuran tidak turun ke vektor itu sendiri, tetapi dalam arah yang bertentangan, ke garisan di mana vektor ini terletak.
6.10. Kira 
.
Mari kita lakukan hasil darab vektor bagi vektor
Jom cari modul
Kami mencari sinus sudut antara vektor daripada takrif produk vektor bagi vektor
Jawapan: 
,
,
.
6.11. Cari luas segi tiga ABC dan panjang ketinggian menurun dari titik C.
Makna geometri modulus produk vektor ialah ia adalah luas segi empat selari yang dibentuk oleh vektor-vektor ini. Dan luas segi tiga adalah sama dengan separuh luas segi empat selari.
Luas segi tiga juga boleh didapati sebagai hasil darab ketinggian dan tapak dibahagikan dengan dua, dari mana formula untuk mencari ketinggian boleh diperolehi.
Oleh itu, kita dapati ketinggian
Jawapan: 
,
.
6.12. Cari vektor unit berserenjang dengan vektor 
Dan 
.
Hasil darab titik ialah vektor yang berserenjang dengan dua yang asal. Dan vektor unit ialah vektor dibahagikan dengan panjangnya.
Sebelum ini, kami mendapati:
,
Jawapan: 
.
6.13. Tentukan kosinus magnitud dan arah momen daya 
, digunakan pada A relatif kepada titik C.
Makna fizikal produk vektor ialah momen daya. Mari beri ilustrasi untuk tugasan ini.
Mencari momen kekuatan
Jawapan: 
.
6.14. Adakah vektor berbohong 
,
Dan 
dalam pesawat yang sama? Bolehkah vektor ini membentuk asas ruang? kenapa? Jika boleh, kembangkan vektor ke dalam asas ini 
.
Untuk memeriksa sama ada vektor terletak pada satah yang sama, adalah perlu untuk melakukan hasil campuran vektor ini.
Hasil campuran tidak sama dengan sifar, oleh itu, vektor tidak terletak pada satah yang sama (bukan coplanar) dan boleh membentuk asas. Jom reput 
atas dasar ini.
Mari kita kembangkan mengikut asas dengan menyelesaikan persamaan
Jawapan: Vektor 
,
Dan 
jangan berbaring dalam satah yang sama. 
.
6.15. Cari 
. Berapakah isipadu piramid dengan bucu A, B, C, D dan ketinggiannya diturunkan dari titik A ke tapak BCD.
G 
Maksud geometri hasil campuran ialah isipadu selari yang dibentuk oleh vektor-vektor ini.
Isipadu piramid adalah enam kali lebih kecil daripada isipadu parallelepiped.
Isipadu piramid juga boleh didapati seperti ini:
Kami mendapat formula untuk mencari ketinggian
Mencari ketinggian
Jawapan: isipadu = 2.5, tinggi = 
.
6.16. Kira 
Dan 
.
– Kami menjemput anda untuk memikirkan tugas ini sendiri.
- Mari kita laksanakan kerja.
Sebelum ini diterima
Jawapan: 
.
6.17. Kira
Mari lakukan langkah-langkah dalam bahagian
3)
Mari kita rumuskan nilai yang diperolehi
Jawapan: 
.
6.18. Cari vektor 
, mengetahui bahawa ia berserenjang dengan vektor 
Dan 
, dan unjurannya pada vektor 
sama dengan 5.
Mari bahagikan tugasan ini kepada dua subtugas
1) Cari vektor yang berserenjang dengan vektor 
Dan 
panjang sewenang-wenangnya.
Kami mendapat vektor serenjang sebagai hasil daripada produk vektor
Sebelum ini, kami mendapati:
Vektor yang diperlukan hanya berbeza dari segi panjang daripada yang diterima
2) Jom cari 
melalui persamaan
6.19. Cari vektor 
, memenuhi syarat 
,
,
.
Mari kita pertimbangkan syarat-syarat ini dengan lebih terperinci.
Ini adalah sistem persamaan linear. Mari kita karang dan selesaikan sistem ini.
Jawapan: 
6.20. Tentukan koordinat bagi suatu vektor 
, coplanar dengan vektor 
Dan 
, dan berserenjang dengan vektor 
.
Dalam tugasan ini terdapat dua syarat: koplanaritas vektor dan keserenjangan, mari kita penuhi syarat pertama, dan kemudian syarat kedua.
1) Jika vektor adalah koplanar, maka hasil campurannya adalah sama dengan sifar.
Dari sini kita memperoleh beberapa pergantungan koordinat vektor
Mari cari vektor 
.
2) Jika vektor adalah serenjang, maka hasil darab skalarnya ialah sifar
Kami telah memperoleh pergantungan kedua koordinat vektor yang dikehendaki
Untuk sebarang nilai 
vektor akan memenuhi syarat. Mari kita ganti 
.
Jawapan: 
.
Geometri analitik