Kami belajar tentang ketidaksamaan di sekolah, di mana kami menggunakan ketaksamaan berangka. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat ketaksamaan berangka, dari mana prinsip bekerja dengannya dibina.
Sifat ketaksamaan adalah serupa dengan sifat ketaksamaan berangka. Hartanah, justifikasinya akan dipertimbangkan, dan contoh akan diberikan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ketaksamaan berangka: definisi, contoh
Apabila memperkenalkan konsep ketaksamaan, kita mempunyai definisi mereka dibuat mengikut jenis rekod. Terdapat ungkapan algebra yang mempunyai tanda ≠,< , >, ≤ , ≥ . Mari kita berikan definisi.
Definisi 1
Ketaksamaan berangka dipanggil ketaksamaan di mana kedua-dua belah mempunyai nombor dan ungkapan berangka.
Kami menganggap ketaksamaan berangka di sekolah selepas mengkaji nombor asli. Operasi perbandingan tersebut dikaji langkah demi langkah. Yang awal kelihatan seperti 1< 5 , 5 + 7 >3. Selepas itu peraturan ditambah, dan ketaksamaan menjadi lebih rumit, maka kita memperoleh ketaksamaan bentuk 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .
Sifat ketaksamaan berangka
Untuk bekerja dengan ketaksamaan dengan betul, anda mesti menggunakan sifat ketaksamaan berangka. Mereka datang dari konsep ketidaksamaan. Konsep ini ditakrifkan menggunakan pernyataan, yang ditetapkan sebagai "lebih" atau "kurang."
Definisi 2
- nombor a lebih besar daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor positif;
- nombor a adalah kurang daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor negatif;
- nombor a adalah sama dengan b apabila beza a - b ialah sifar.
Takrifan digunakan apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan hubungan "kurang daripada atau sama dengan," "lebih besar daripada atau sama dengan." Kami dapat itu
Definisi 3
- a lebih besar daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan negatif;
- a adalah kurang daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan positif.
Takrifan akan digunakan untuk membuktikan sifat ketaksamaan berangka.
Sifat asas
Mari kita lihat 3 ketaksamaan utama. Penggunaan tanda< и >ciri ciri berikut:
Definisi 4
- anti-refleksitiviti, yang mengatakan bahawa sebarang nombor a daripada ketaksamaan a< a и a >a dianggap tidak betul. Adalah diketahui bahawa untuk mana-mana a kesamaan a - a = 0 dipegang, oleh itu kita memperoleh bahawa a = a. Jadi a< a и a >a tidak betul. Contohnya, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 adalah salah.
- asimetri. Apabila nombor a dan b adalah sedemikian rupa sehingga a< b , то b >a, dan jika a > b, maka b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Bahagian kedua dibuktikan dengan cara yang sama.
Contoh 1
Sebagai contoh, diberi ketaksamaan 5< 11 имеем, что 11 >5, yang bermaksud ketaksamaan berangkanya − 0, 27 > − 1, 3 akan ditulis semula sebagai − 1, 3< − 0 , 27 .
Sebelum beralih ke harta seterusnya, ambil perhatian bahawa dengan bantuan asimetri anda boleh membaca ketidaksamaan dari kanan ke kiri dan sebaliknya. Dengan cara ini, ketaksamaan berangka boleh diubah suai dan ditukar.
Definisi 5
- transitivity. Apabila nombor a, b, c memenuhi syarat a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b dan b > c , kemudian a > c .
Bukti 1
Kenyataan pertama boleh dibuktikan. Keadaan a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
Bahagian kedua dengan sifat transitiviti dibuktikan dengan cara yang sama.
Contoh 2
Kami menganggap harta yang dianalisis menggunakan contoh ketaksamaan − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dan 1 8 > 1 32 berikutan bahawa 1 2 > 1 32.
Ketaksamaan berangka, yang ditulis menggunakan tanda ketaksamaan lemah, mempunyai sifat kelenturan, kerana a ≤ a dan a ≥ a boleh mempunyai kes kesamaan a = a. Mereka dicirikan oleh asimetri dan transitiviti.
Definisi 6
Ketaksamaan yang mempunyai tanda ≤ dan ≥ dalam tulisannya mempunyai sifat berikut:
- reflekstiviti a ≥ a dan a ≤ a dianggap ketaksamaan benar;
- antisimetri, apabila a ≤ b, maka b ≥ a, dan jika a ≥ b, maka b ≤ a.
- transitiviti, apabila a ≤ b dan b ≤ c, kemudian a ≤ c, dan juga, jika a ≥ b dan b ≥ c, maka a ≥ c.
Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama.
Sifat penting lain bagi ketaksamaan berangka
Untuk menambah sifat asas ketaksamaan, keputusan yang mempunyai kepentingan praktikal digunakan. Prinsip kaedah digunakan untuk menganggarkan nilai ungkapan, di mana prinsip penyelesaian ketaksamaan didasarkan.
Perenggan ini mendedahkan sifat-sifat ketaksamaan untuk satu tanda ketidaksamaan yang ketat. Perkara yang sama dilakukan untuk yang tidak ketat. Mari kita lihat contoh, merumuskan ketaksamaan jika a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- jika a > b, maka a + c > b + c;
- jika a ≤ b, maka a + c ≤ b + c;
- jika a ≥ b, maka a + c ≥ b + c.
Untuk pembentangan yang mudah, kami memberikan pernyataan yang sepadan, yang ditulis dan bukti diberikan, contoh penggunaan ditunjukkan.
Definisi 7
Menambah atau mengira nombor pada kedua-dua belah. Dengan kata lain, apabila a dan b sepadan dengan ketaksamaan a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
Bukti 2
Untuk membuktikan ini, persamaan mesti memenuhi syarat a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.
Contoh 3
Sebagai contoh, jika kita menambah kedua-dua belah ketaksamaan 7 > 3 sebanyak 15, maka kita mendapat 7 + 15 > 3 + 15. Ini bersamaan dengan 22 > 18.
Definisi 8
Apabila kedua-dua belah ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor c yang sama, kita memperoleh ketaksamaan sebenar. Jika anda mengambil nombor negatif, tanda akan bertukar kepada sebaliknya. Jika tidak, ia kelihatan seperti ini: untuk a dan b ketaksamaan berlaku apabila a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.
Bukti 3
Apabila terdapat kes c > 0, adalah perlu untuk membina perbezaan antara sisi kiri dan kanan ketaksamaan. Kemudian kita dapati bahawa a · c − b · c = (a − b) · c . Daripada syarat a< b , то a − b < 0 , а c >0, maka hasil darab (a − b) c akan menjadi negatif. Ia berikutan bahawa a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
Apabila membuktikan, pembahagian dengan integer boleh digantikan dengan pendaraban dengan songsangan yang diberi, iaitu, 1 c. Mari kita lihat contoh sifat pada nombor tertentu.
Contoh 4
Kedua-dua belah ketaksamaan 4 dibenarkan< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
Sekarang mari kita rumuskan dua keputusan berikut, yang digunakan dalam menyelesaikan ketaksamaan:
- Akibat 1. Apabila menukar tanda bahagian ketaksamaan berangka, tanda ketaksamaan itu sendiri berubah kepada sebaliknya, sebagai< b , как − a >− b . Ini mengikut peraturan mendarab kedua-dua belah dengan - 1. Ia terpakai untuk peralihan. Contohnya, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
- Akibat 2. Apabila menggantikan bahagian ketaksamaan berangka dengan nombor bertentangan, tandanya juga berubah, dan ketaksamaan itu kekal benar. Oleh itu kita mempunyai bahawa a dan b ialah nombor positif, a< b , 1 a >1 b .
Apabila membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 kita ada 1 5 itu< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b mungkin salah.
Contoh 5
Contohnya, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ialah persamaan yang salah.
Semua mata disatukan oleh fakta bahawa tindakan pada bahagian ketidaksamaan memberikan ketidaksamaan yang betul pada output. Mari kita pertimbangkan sifat yang pada mulanya terdapat beberapa ketaksamaan berangka, dan hasilnya diperoleh dengan menambah atau mendarab bahagiannya.
Definisi 9
Apabila nombor a, b, c, d adalah sah untuk ketaksamaan a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Bukti 4
Mari kita buktikan bahawa (a + c) − (b + d) ialah nombor negatif, maka kita mendapat bahawa a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
Harta ini digunakan untuk penambahan penggal demi penggal bagi tiga, empat atau lebih ketaksamaan berangka. Nombor a 1 , a 2 , … , a n dan b 1 , b 2 , … , b n memenuhi ketaksamaan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Contoh 6
Sebagai contoh, diberi tiga ketaksamaan berangka dengan tanda yang sama − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
Definisi 10
Pendaraban sebutan kedua-dua belah menghasilkan nombor positif. Apabila a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
Bukti 5
Untuk membuktikan ini, kita memerlukan kedua-dua belah ketidaksamaan a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
Sifat ini dianggap sah untuk bilangan nombor yang mana kedua-dua belah ketaksamaan mesti didarab. Kemudian a 1 , a 2 , … , a n Dan b 1, b 2, …, b n ialah nombor positif, di mana a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .
Ambil perhatian bahawa apabila menulis ketaksamaan terdapat nombor bukan positif, maka pendaraban sebutan demi sebutannya membawa kepada ketaksamaan yang salah.
Contoh 7
Contohnya, ketidaksamaan 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
Akibat: Penggandaan sebutan bagi ketaksamaan a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
Sifat ketaksamaan berangka
Mari kita pertimbangkan sifat ketaksamaan berangka berikut.
- a< a , a >a - ketidaksamaan yang salah,
a ≤ a, a ≥ a ialah ketaksamaan benar. - Sekiranya< b , то b >a - antisimetri.
- Sekiranya< b и b < c то a < c - транзитивность.
- Sekiranya< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- Sekiranya< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
Sekiranya< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.
Akibat 1: sekiranya< b , то - a >-b.
Akibat 2: jika a dan b ialah nombor positif dan a< b , то 1 a >1 b .
- Jika 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- Jika a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ialah nombor positif dan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
Akibat 1: Jika a< b , a Dan b ialah nombor positif, kemudian a n< b n .
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Ketaksamaan berangka dan sifatnya
Pembentangan memperincikan kandungan topik KETIDAKSAMAAN NUMERIK dan SIFAT-SIFAT KETIDAKSAMAAN ANGKA, dan menyediakan contoh membuktikan ketaksamaan berangka. (Algebra gred 8, pengarang Makarychev Yu.N.)
Lihat kandungan dokumen
“Ketaksamaan berangka dan sifatnya”
Ketaksamaan berangka
dan harta benda mereka
guru matematik di institusi pendidikan perbandaran "sekolah menengah Upshinskaya"
Daerah Orsha di Republik Mari El
(Kepada buku teks oleh Yu.A Makarychev Algebra 8
Ketaksamaan berangka
Hasil perbandingan dua nombor atau lebih ditulis dalam bentuk ketaksamaan menggunakan tanda , , =
Kami membandingkan nombor menggunakan pelbagai peraturan (kaedah). Ia adalah mudah untuk mempunyai umum kaedah perbandingan yang merangkumi semua kes.
Definisi:
Nombor A adalah lebih besar daripada b jika perbezaan ( a – b) ialah nombor positif.
Nombor A adalah kurang daripada b jika perbezaan ( a – b) ialah nombor negatif.
Nombor A sama dengan nombor b jika perbezaannya ( a – b) – sama dengan sifar
Cara umum untuk membandingkan nombor
Contoh 1.
Penggunaan kaedah umum untuk membandingkan nombor untuk membuktikan ketaksamaan
Contoh 2. Buktikan bahawa min aritmetik bagi dua nombor positif adalah tidak kurang daripada min geometri nombor ini.
Jika kedua-dua belah ketaksamaan benar didarab atau dibahagikan dengan nombor positif yang sama, anda mendapat ketaksamaan sebenar.
Jika kedua-dua belah ketaksamaan benar didarab atau dibahagikan dengan nombor negatif yang sama dan tanda ketaksamaan diterbalikkan, anda mendapat ketaksamaan sebenar.
P = 3a
Darab dengan 3 kedua-dua belah setiap ketaksamaan
54.2 ∙ 3 a ∙ 3
162,6
Mengaplikasikan Sifat Ketaksamaan Berangka
Jenis-jenis ketidaksamaan utama dibentangkan, termasuk ketidaksamaan Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Sifat ketidaksamaan dan tindakan ke atasnya dipertimbangkan. Kaedah asas untuk menyelesaikan ketaksamaan diberikan.
Formula untuk ketidaksamaan asas
Formula untuk ketidaksamaan sejagat
Ketaksamaan sejagat berpuas hati untuk sebarang nilai kuantiti yang termasuk di dalamnya. Jenis utama ketidaksamaan sejagat disenaraikan di bawah.
1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |
3)
Kesaksamaan berlaku hanya apabila a 1 = a 2 = ... = a n.
4)
Ketaksamaan Cauchy-Bunyakovsky
Kesaksamaan berlaku jika dan hanya jika α a k = β b k untuk semua k = 1, 2, ..., n dan beberapa α, β, |α| + |β| > 0 .
5)
ketidaksamaan Minkowski, untuk p ≥ 1
Formula ketidaksamaan yang memuaskan
Ketaksamaan yang boleh dipuaskan dipenuhi untuk nilai tertentu kuantiti yang termasuk di dalamnya.
1)
Ketaksamaan Bernoulli:
.
Secara umumnya:
,
di mana , nombor tanda yang sama dan lebih besar daripada -1
:
.
Lemma Bernoulli:
.
Lihat "Bukti ketidaksamaan dan lemma Bernoulli".
2)
untuk a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .
3)
Ketaksamaan Chebyshev
di 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Ketaksamaan umum Chebyshev
di 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
dan k semula jadi
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Sifat ketaksamaan
Sifat ketaksamaan ialah satu set peraturan yang dipenuhi apabila mengubahnya. Di bawah adalah sifat-sifat ketaksamaan. Difahamkan bahawa ketaksamaan asal dipenuhi untuk nilai x i (i = 1, 2, 3, 4) kepunyaan beberapa selang yang telah ditetapkan.
1) Apabila susunan sisi berubah, tanda ketidaksamaan berubah kepada sebaliknya.
Jika x 1< x 2
,
то x 2 >x 1 .
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 2 ≥ x 1.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 2 ≤ x 1.
Jika x 1 > x 2 maka x 2< x 1
.
2) Satu kesamaan adalah bersamaan dengan dua ketaksamaan tidak ketat tanda yang berbeza.
Jika x 1 = x 2, maka x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2, maka x 1 = x 2.
3) Harta transitivity
Jika x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2 ≤ x 3, maka x 1 ≤ x 3.
4) Nombor yang sama boleh ditambah (ditolak) kepada kedua-dua belah ketaksamaan.
Jika x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jika x 1 > x 2, maka x 1 + A > x 2 + A.
5) Jika terdapat dua atau lebih ketaksamaan dengan tanda arah yang sama, maka sisi kiri dan kanannya boleh ditambah.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, maka x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Ungkapan yang serupa digunakan pada tanda ≥, >.
Jika ketaksamaan asal mengandungi tanda-tanda ketaksamaan tidak ketat dan sekurang-kurangnya satu ketaksamaan ketat (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka penambahan tersebut menghasilkan ketaksamaan yang ketat.
6) Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab (dibahagi) dengan nombor positif.
Jika x 1< x 2
и A >0, kemudian A x 1< A · x 2
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≤ A x 2.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≥ A x 2.
Jika x 1 > x 2 dan A > 0, maka A · x 1 > A · x 2.
7) Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab (dibahagi) dengan nombor negatif. Dalam kes ini, tanda ketidaksamaan akan berubah kepada sebaliknya.
Jika x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >A x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Jika x 1 > x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Jika terdapat dua atau lebih ketaksamaan dengan sebutan positif, dengan tanda arah yang sama, maka sisi kiri dan kanannya boleh didarabkan antara satu sama lain.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kemudian x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kemudian x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kemudian x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 maka x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Ungkapan yang serupa digunakan pada tanda ≥, >.
Jika ketaksamaan asal mengandungi tanda ketaksamaan tidak ketat dan sekurang-kurangnya satu ketaksamaan ketat (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka pendaraban menghasilkan ketaksamaan yang ketat.
9) Biarkan f(x) menjadi fungsi meningkat secara monoton. Iaitu, untuk sebarang x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Kemudian fungsi ini boleh digunakan pada kedua-dua belah ketidaksamaan, yang tidak akan mengubah tanda ketidaksamaan.
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2, maka f(x 1) > f(x 2).
10) Biarkan f(x) menjadi fungsi menurun secara monoton, Iaitu, untuk sebarang x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) >f(x 2) .
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2 maka f(x 1)< f(x 2)
.
Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan
Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang
Kaedah selang boleh digunakan jika ketaksamaan termasuk satu pembolehubah, yang kita nyatakan sebagai x, dan ia mempunyai bentuk:
f(x) > 0
dengan f(x) ialah fungsi selanjar dengan bilangan titik ketakselanjaran terhingga. Tanda ketidaksamaan boleh berupa apa saja: >, ≥,<, ≤
.
Kaedah selang adalah seperti berikut.
1) Cari domain takrifan bagi fungsi f(x) dan tandakannya dengan selang pada paksi nombor.
2) Cari titik ketakselanjaran bagi fungsi f(x). Sebagai contoh, jika ini adalah pecahan, maka kita dapati titik di mana penyebutnya menjadi sifar. Kami menandakan titik ini pada paksi nombor.
3) Selesaikan persamaan
f(x) = 0 .
Kami menandakan punca-punca persamaan ini pada paksi nombor.
4) Akibatnya, paksi nombor akan dibahagikan kepada selang (segmen) mengikut mata. Dalam setiap selang yang termasuk dalam domain definisi, kami memilih mana-mana titik dan pada ketika ini kami mengira nilai fungsi. Jika nilai ini lebih besar daripada sifar, maka kami meletakkan tanda "+" di atas segmen (selang). Jika nilai ini kurang daripada sifar, maka kami meletakkan tanda "-" di atas segmen (selang).
5) Jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x) > 0, kemudian pilih selang dengan tanda “+”. Penyelesaian kepada ketidaksamaan adalah dengan menggabungkan selang ini, yang tidak termasuk sempadannya.
Jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x) ≥ 0, maka pada penyelesaian kita tambahkan titik di mana f(x) = 0. Iaitu, beberapa selang mungkin mempunyai sempadan tertutup (sempadan kepunyaan selang). bahagian yang lain mungkin mempunyai sempadan terbuka (sempadan itu bukan milik selang).
Begitu juga, jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Jika ketaksamaan mempunyai bentuk: f(x) ≤ 0, maka pada penyelesaian kita tambahkan titik di mana f(x) = 0.
Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan sifatnya
Kaedah ini boleh digunakan untuk ketidaksamaan sebarang kerumitan. Ia terdiri daripada menggunakan sifat (yang dibentangkan di atas) untuk mengurangkan ketaksamaan kepada bentuk yang lebih mudah dan mendapatkan penyelesaian. Ada kemungkinan bahawa ini akan mengakibatkan bukan hanya satu, tetapi sistem ketidaksamaan. Ini adalah kaedah universal. Ia terpakai kepada sebarang ketidaksamaan.
Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.
Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Sifat asas ketaksamaan berangka dan kaedah untuk menyelesaikannya."
Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 8
Kombinatorik dan teori kebarangkalian Persamaan dan ketaksamaan
Pengenalan kepada Ketaksamaan Berangka
Kawan-kawan, kita telah pun mengalami ketidaksamaan, sebagai contoh, apabila kita mula membiasakan diri dengan konsep punca kuasa dua. Secara intuitif, kita boleh menggunakan ketaksamaan untuk menganggar nombor yang mana lebih besar atau kurang. Untuk penerangan matematik, sudah cukup untuk menambah simbol khas yang akan bermakna sama ada lebih atau kurang.Menulis ungkapan $a>b$ dalam bahasa matematik bermakna nombor $a$ lebih besar daripada nombor $b$. Sebaliknya, ini bermakna $a-b$ ialah nombor positif. Seperti hampir semua objek matematik, ketaksamaan mempunyai sifat tertentu. Kami akan mengkaji sifat-sifat ini dalam pelajaran ini. Harta 1. Bukti. Sifat ini boleh ditunjukkan dengan lebih jelas menggunakan garis nombor. Jika $a>b$, maka nombor $a$ pada garis nombor akan terletak di sebelah kanan $b$. Oleh itu, jika $b>c$, maka nombor $b$ akan terletak di sebelah kanan nombor $c$. Harta 2. Harta 3. Harta benda 4. Bukti. Harta 5. Bukti. Definisi. Kemudian sifat 5 boleh diutarakan semula. Apabila mendarab ketaksamaan makna yang sama, yang sisi kiri dan kanannya positif, ketaksamaan makna yang sama diperoleh. Harta 6. Harta 7. Bukti. Kita tahu bahawa $a-b$ ialah nombor positif, dan hasil darab dua nombor positif juga ialah nombor positif, i.e. $ab>0$. Harta 8. Bukti. Harta 9. Ketaksamaan Cauchy (min aritmetik lebih besar daripada atau sama dengan min geometri). Bukti. Penyelesaian. B) Mari kita gunakan harta 3. Darab dengan nombor negatif, yang bermaksud tanda ketaksamaan berubah. D) Darab semua bahagian ketaksamaan $3.1 D) Semua bahagian ketaksamaan adalah positif, menduakannya, kita memperoleh ketaksamaan makna yang sama. E) Tahap ketidaksamaan adalah ganjil, maka anda boleh menaikkannya dengan selamat kepada kuasa dan tidak menukar tanda. G) Mari gunakan harta 7. Contoh 2. Penyelesaian. Set semua nombor nyata boleh diwakili sebagai gabungan tiga set: set nombor positif, set nombor negatif dan set yang terdiri daripada satu nombor - nombor sifar. Untuk menunjukkan bahawa nombor A positif, gunakan rakaman a > 0, untuk menunjukkan nombor negatif gunakan tatatanda lain a< 0
. Jumlah dan hasil darab nombor positif juga adalah nombor positif. Jika nombor A negatif, kemudian nombor -A positif (dan sebaliknya). Untuk sebarang nombor positif a terdapat nombor rasional positif r, Apa r< а
. Fakta-fakta ini mendasari teori ketidaksamaan. Mengikut definisi, ketaksamaan a > b (atau, apakah yang sama, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, iaitu jika nombor a - b adalah positif. Pertimbangkan, khususnya, ketidaksamaan A< 0
. Apakah maksud ketidaksamaan ini? Mengikut definisi di atas, ia bermaksud bahawa 0 - a > 0, iaitu -a > 0 atau, dengan kata lain, apakah nombornya -A secara positif. Tetapi ini berlaku jika dan hanya jika bilangannya A negatif. Jadi ketidaksamaan A< 0
bermakna bahawa nombor tetapi negatif. Notasi juga sering digunakan ab(atau, apa yang sama, ba). (a b) [(a > b) V (a = b)] Contoh 1. Adakah ketaksamaan 5 0, 0 0 benar? Ketaksamaan 5 0 ialah pernyataan kompleks yang terdiri daripada dua pernyataan mudah yang disambungkan oleh penghubung logik “atau” (disjungsi). Sama ada 5 > 0 atau 5 = 0. Pernyataan pertama 5 > 0 adalah benar, pernyataan kedua 5 = 0 adalah palsu. Dengan takrifan percanggahan, pernyataan yang kompleks itu adalah benar. Entri 00 dibincangkan sama. Ketaksamaan bentuk a > b, a< b
kita akan memanggil mereka ketat, dan ketidaksamaan bentuk ab,ab- tidak ketat. Ketaksamaan a > b Dan c > d(atau A< b
Dan Dengan< d
) akan dipanggil ketaksamaan makna yang sama, dan ketaksamaan a > b Dan c< d
- ketidaksamaan makna yang bertentangan. Perhatikan bahawa kedua-dua istilah ini (ketaksamaan makna yang sama dan bertentangan) hanya merujuk kepada bentuk penulisan ketaksamaan, dan bukan kepada fakta yang dinyatakan oleh ketidaksamaan ini. Jadi, berhubung dengan ketidaksamaan A< b
ketidaksamaan Dengan< d
ialah ketaksamaan makna yang sama, dan dalam tatatanda d>c(bermaksud perkara yang sama) - ketidaksamaan makna yang bertentangan. Bersama-sama dengan ketaksamaan bentuk a>b, ab apa yang dipanggil ketaksamaan berganda digunakan, iaitu, ketaksamaan bentuk A< с < b
, ac< b
, a< cb
, A< с < b
(1) A< с
Dan Dengan< b.
Ketaksamaan mempunyai maksud yang sama acb, ac< b, а < сb.
Ketaksamaan berganda (1) boleh ditulis seperti berikut: (a< c < b) [(a < c) & (c < b)] dan ketaksamaan berganda a ≤ c ≤ b boleh ditulis dalam bentuk berikut: (a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Sekarang mari kita teruskan ke pembentangan sifat asas dan peraturan tindakan mengenai ketidaksamaan, setelah bersetuju bahawa dalam artikel ini surat a, b, c bermaksud nombor nyata, dan n bermaksud nombor asli. 1) Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitiviti). Bukti. Sejak dengan syarat a > b Dan b > c, kemudian nombor a - b Dan b - c adalah positif, dan oleh itu bilangannya a - c = (a - b) + (b - c), sebagai jumlah nombor positif, juga positif. Ini bermakna, mengikut definisi, bahawa a > c. 2) Jika a > b, maka bagi mana-mana c ketaksamaan a + c > b + c berlaku. Bukti. Kerana a > b, kemudian nombor a - b secara positif. Oleh itu, bilangan (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b juga positif, i.e. 3) Jika a + b > c, maka a > b - c, iaitu, sebarang istilah boleh dipindahkan dari satu bahagian ketaksamaan ke bahagian lain dengan menukar tanda istilah ini kepada sebaliknya. Bukti berikut dari harta 2) ia adalah mencukupi untuk kedua-dua belah ketidaksamaan a + b > c Tambah nombor - b. 4) Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d, iaitu apabila menambah dua ketaksamaan makna yang sama, ketaksamaan makna yang sama diperoleh. Bukti. Berdasarkan definisi ketidaksamaan, adalah memadai untuk menunjukkan bahawa perbezaan itu Akibat. Daripada peraturan 2) dan 4) Peraturan berikut untuk menolak ketaksamaan berikut: jika a > b, c > d, Itu a - d > b - c(untuk bukti, ia cukup untuk menggunakan kedua-dua belah ketidaksamaan a + c > b + d Tambah nombor - c - d). 5) Jika a > b, maka untuk c > 0 kita mempunyai ac > bc, dan untuk c< 0 имеем ас < bc.
Dalam erti kata lain, apabila mendarab kedua-dua belah ketaksamaan, bukan nombor positif, tanda ketaksamaan dipelihara (iaitu, ketaksamaan makna yang sama diperoleh), tetapi apabila didarab dengan nombor negatif, tanda ketaksamaan berubah kepada sebaliknya (iaitu, ketidaksamaan makna yang bertentangan diperolehi. Bukti. Jika a > b, Itu a - b ialah nombor positif. Oleh itu, tanda perbezaan ac-bc = teksi) sepadan dengan tanda nombor Dengan: Jika Dengan ialah nombor positif, maka perbezaannya ac - bc adalah positif dan oleh itu ac > bс, dan jika Dengan< 0
, maka perbezaan ini adalah negatif dan oleh itu bc - ac positif, iaitu bc > ac. 6) Jika a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd, iaitu jika semua sebutan dua ketaksamaan makna yang sama adalah positif, maka apabila mendarabkan ketaksamaan ini sebutan dengan sebutan, ketaksamaan makna yang sama diperoleh. Bukti. Kami ada ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Kerana c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, kemudian ac - bd > 0, iaitu ac > bd. Komen. Dari dalilnya jelas bahawa syarat d > 0 dalam perumusan harta 6) adalah tidak penting: untuk kesahihan harta ini adalah memadai bahawa syarat-syarat dipenuhi a > b > 0, c > d, c > 0. Jika (jika ketaksamaan dipenuhi a > b, c > d) nombor a, b, c tidak semua akan positif, maka ketidaksamaan ac > bd mungkin tidak dipenuhi. Sebagai contoh, apabila A = 2, b =1, c= -2, d= -3 kita ada a > b, c > d, tetapi ketidaksamaan ac > bd(iaitu -4 > -3) gagal. Oleh itu, keperluan bahawa nombor a, b, c positif dalam rumusan sifat 6) adalah penting. 7) Jika a ≥ b > 0 dan c > d > 0, maka (pembahagian ketaksamaan). Bukti. Kami ada Komen. Mari kita perhatikan satu kes khas penting bagi peraturan 7), diperoleh dengan a = b = 1: jika c > d > 0, maka. Oleh itu, jika istilah ketaksamaan adalah positif, maka apabila beralih kepada timbal balik kita memperoleh ketaksamaan makna yang bertentangan. Kami menjemput pembaca untuk menyemak bahawa peraturan ini juga berlaku dalam 7) Jika ab > 0 dan c > d > 0, maka (pembahagian ketaksamaan). Bukti. Itu. Kami telah membuktikan di atas beberapa sifat ketaksamaan yang ditulis menggunakan tanda >
(lebih banyak). Walau bagaimanapun, semua sifat ini boleh dirumus menggunakan tanda <
(kurang), sejak ketidaksamaan b< а
bermaksud, mengikut definisi, sama dengan ketidaksamaan a > b. Di samping itu, seperti yang mudah untuk disahkan, sifat yang dibuktikan di atas juga berlaku untuk ketidaksamaan yang tidak ketat. Sebagai contoh, harta 1) untuk ketidaksamaan tidak ketat akan mempunyai bentuk berikut: jika ab dan bc, Itu ac. Sudah tentu, perkara di atas tidak mengehadkan sifat umum ketidaksamaan. Terdapat juga keseluruhan siri ketaksamaan umum yang berkaitan dengan pertimbangan fungsi kuasa, eksponen, logaritma dan trigonometri. Pendekatan umum untuk menulis ketidaksamaan jenis ini adalah seperti berikut. Jika beberapa fungsi y = f(x) meningkat secara monoton pada segmen [a, b], maka untuk x 1 > x 2 (di mana x 1 dan x 2 tergolong dalam segmen ini) kita mempunyai f (x 1) > f(x 2). Begitu juga, jika fungsi y = f(x) menurun secara monoton pada selang waktu [a, b], jadi bila x 1 > x 2 (di mana x 1 Dan X 2 tergolong dalam segmen ini) kami ada f(x 1)< f(x 2
). Sudah tentu, apa yang telah dikatakan tidak berbeza dengan definisi monotonicity, tetapi teknik ini sangat mudah untuk menghafal dan menulis ketidaksamaan. Jadi, sebagai contoh, untuk sebarang nombor asli n fungsi y = xn meningkat secara monoton di sepanjang sinar }
Menulis ungkapan $a
Jika $a>b$ dan $b>c$, maka $a>c$.
Jelas sekali, $10>5$, dan $5>2$, dan sudah tentu $10>2$. Tetapi matematik menyukai bukti yang ketat untuk kes yang paling umum.
Jika $a>b$, maka $a-b$ ialah nombor positif. Jika $b>c$, maka $b-c$ ialah nombor positif. Mari tambah dua nombor positif yang terhasil.
$a-b+b-c=a-c$.
Jumlah dua nombor positif ialah nombor positif, tetapi kemudian $a-c$ juga ialah nombor positif. Dari mana ia mengikuti bahawa $a>c$. Harta tersebut telah terbukti.
Seperti yang dapat dilihat daripada rajah, titik $a$ dalam kes kami terletak di sebelah kanan titik $c$, yang bermaksud bahawa $a>c$.
Jika $a>b$, maka $a+c>b+c$.
Dalam erti kata lain, jika nombor $a$ lebih besar daripada nombor $b$, maka tidak kira berapa nombor yang kita tambah (positif atau negatif) pada nombor ini, tanda ketaksamaan juga akan dikekalkan. Harta ini sangat mudah untuk dibuktikan. Anda perlu melakukan penolakan. Pembolehubah yang telah ditambah akan hilang dan ketaksamaan asal adalah betul.
a) Jika kedua-dua belah ketaksamaan didarab dengan nombor positif, maka tanda ketaksamaan dikekalkan.
Jika $a>b$ dan $c>0$, maka $ac>bc$.
b) Jika kedua-dua belah ketaksamaan didarab dengan nombor negatif, maka tanda ketaksamaan hendaklah diterbalikkan.
Jika $a>b$ dan $c Jika $a
Apabila membahagi, anda harus meneruskan dengan cara yang sama (bahagi dengan nombor positif - tanda tetap sama, bahagikan dengan nombor negatif - tanda berubah).
Jika $a>b$ dan $c>d$, maka $a+c>b+d$.
Daripada keadaan: $a-b$ ialah nombor positif dan $c-d$ ialah nombor positif.
Maka jumlah $(a-b)+(c-d)$ juga ialah nombor positif.
Mari kita tukar beberapa istilah $(a+c)-(b+d)$.
Menukar tempat syarat tidak mengubah jumlahnya.
Ini bermakna $(a+c)-(b+d)$ ialah nombor positif dan $a+c>b+d$.
Harta tersebut telah terbukti.
Jika $a, b ,c, d$ ialah nombor positif dan $a>b$, $c>d$, maka $ac>bd$.
Oleh kerana $a>b$ dan $c>0$, maka, menggunakan sifat 3, kita mempunyai $ac>bc$.
Oleh kerana $c>d$ dan $b>0$, maka, menggunakan sifat 3, kita mempunyai $cb>bd$.
Jadi, $ac>bc$ dan $bc >bd$.
Kemudian, menggunakan sifat 1, kita memperoleh $ac>bd$. Q.E.D.
Ketaksamaan dalam bentuk $a>b$ dan $c>d$ ($a
Jika $a>b$ ($a>0$, $b>0$), maka $a^n>b^n$, dengan $n$ ialah sebarang nombor asli.
Jika kedua-dua belah ketaksamaan adalah nombor positif dan ia dinaikkan kepada kuasa semula jadi yang sama, maka ketaksamaan dengan makna yang sama akan diperolehi.
Nota: jika $n$ ialah nombor ganjil, maka untuk nombor $a$ dan $b$ sebarang tanda, Harta 6 berpuas hati.
Jika $a>b$ ($a>0$, $b>0$), maka $\frac(1)(a)
Untuk membuktikan sifat ini, adalah perlu untuk menolak $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ untuk mendapatkan nombor negatif.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
Maka $\frac(-(a-b))(ab)$ ialah nombor negatif. Harta tersebut telah terbukti.
Jika $a>0$, maka ketaksamaan kekal: $a+\frac(1)(a)≥2$.
Mari kita pertimbangkan perbezaannya.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ ialah nombor bukan negatif.
Harta tersebut telah terbukti.
Jika $a$ dan $b$ ialah nombor bukan negatif, maka ketaksamaan kekal: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
Mari kita pertimbangkan perbezaannya:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b ))^2)(2)$ ialah nombor bukan negatif.
Harta tersebut telah terbukti.Contoh penyelesaian ketaksamaan
Contoh 1.
Adalah diketahui bahawa $-1.5
b) $-2b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^2$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
a) Mari kita gunakan harta 3. Darab dengan nombor positif, yang bermaksud tanda ketaksamaan tidak berubah.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
c) Menambah ketaksamaan makna yang sama, kita memperoleh ketaksamaan makna yang sama.
$-1.5+3.1
Sekarang mari kita lakukan operasi tambah.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Bandingkan nombor:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ dan $2+\sqrt(8)$.
b) $π+\sqrt(8)$ dan $4+\sqrt(10)$.
a) Mari kita kuasa duakan setiap nombor.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Mari kita hitung beza antara segi empat sama segi empat sama ini.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Jelas sekali, kami mendapat nombor positif, yang bermaksud:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Oleh kerana kedua-dua nombor adalah positif, maka:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.Masalah untuk diselesaikan secara bebas
1. Adalah diketahui bahawa $-2.2
a) $4a$.
b) $-3b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^4$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
2. Bandingkan nombor:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ dan $3+\sqrt(7)$.
b) $π+\sqrt(5)$ dan $2+\sqrt(3)$.
Rekod ab, mengikut takrifan, bermaksud sama ada a > b, atau a = b. Jika kita pertimbangkan rekod ab sebagai pernyataan tidak tentu, maka dalam notasi logik matematik kita boleh menulis
acb. Mengikut definisi, rekod
bermakna kedua-dua ketaksamaan berlaku:
a + c > b + c.
(a + c) - (b + c) positif. Perbezaan ini boleh ditulis seperti berikut:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Oleh kerana mengikut keadaan nombor a - b Dan c - d adalah positif, maka (a + c) - (b + d) terdapat juga nombor positif.
Pengangka bagi pecahan di sebelah kanan adalah positif (lihat sifat 5), 6)), penyebutnya juga positif. Oleh itu,. Ini membuktikan harta 7).