Teorem hasil tambah sudut pedalaman bagi segitiga
Jumlah sudut segi tiga sama dengan 180°.
Bukti:
- Dan segi tiga ABC.
- Melalui bucu B kita melukis garis lurus DK selari dengan tapak AC.
- \sudut CBK= \sudut C sebagai dalaman bersilang terletak dengan selari DK dan AC, dan sekan BC.
- \sudut DBA = \sudut Sebuah dalaman yang bersilang dengan DK \selari AC dan sekan AB. Sudut DBK diterbalikkan dan sama dengan
- \sudut DBK = \sudut DBA + \sudut B + \sudut CBK
- Oleh kerana sudut terbentang adalah sama dengan 180 ^\circ , dan \angle CBK = \angle C dan \angle DBA = \angle A , kita dapat 180 ^\circ = \sudut A + \sudut B + \sudut C.
Teorem terbukti
Akibat daripada teorem pada hasil tambah sudut segitiga:
- Jumlah sudut tajam segi tiga tepat sama dengan 90°.
- Dalam segi tiga tegak sama kaki, setiap sudut akut adalah sama dengan 45°.
- Dalam segi tiga sama sisi, setiap sudut adalah sama 60°.
- Dalam mana-mana segi tiga, sama ada semua sudut adalah akut, atau dua sudut adalah akut, dan yang ketiga adalah tumpul atau kanan.
- Sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalaman, tidak bersebelahan dengannya.
Teorem Sudut Luaran Segitiga
Sudut luar segitiga adalah sama dengan hasil tambah dua baki sudut segitiga yang tidak bersebelahan dengan sudut luar ini
Bukti:
- Diberi segitiga ABC, di mana BCD adalah sudut luar.
- \sudut BAC + \sudut ABC +\sudut BCA = 180^0
- Dari kesamaan sudut \sudut BCD + \sudut BCA = 180^0
- Kami dapat \sudut BCD = \sudut BAC+\sudut ABC.
. (Slaid 1)
Jenis pelajaran: pengajaran mempelajari bahan baharu.
Objektif pelajaran:
- Pendidikan:
- pertimbangkan teorem hasil tambah sudut segitiga,
- menunjukkan aplikasi teorem dalam menyelesaikan masalah.
- Pendidikan:
- memupuk sikap positif pelajar terhadap pengetahuan,
- Menanamkan keyakinan diri pelajar melalui pelajaran.
- Perkembangan:
- pembangunan pemikiran analitikal,
- pembangunan "kemahiran untuk belajar": menggunakan pengetahuan, kemahiran dan kebolehan dalam proses pendidikan,
- pembangunan pemikiran logik, keupayaan untuk merumuskan pemikiran anda dengan jelas.
peralatan: papan putih interaktif, pembentangan, kad.
KEMAJUAN PELAJARAN
saya. Detik organisasi
– Hari ini dalam kelas kita akan mengingati takrifan segi tiga tegak, sama kaki dan segi tiga sama. Mari kita ulangi sifat-sifat sudut segi tiga. Menggunakan sifat sudut satu sisi dan dalaman silang silang, kami akan membuktikan teorem tentang hasil tambah sudut segitiga dan mempelajari cara mengaplikasikannya semasa menyelesaikan masalah.
II. Secara lisan(Slaid 2)
1) Cari segi empat tepat, sama kaki, segi tiga sama sisi dalam gambar.
2) Takrifkan segi tiga ini.
3) Rumuskan sifat sudut sama sisi dan sudut sama segi tiga sama kaki.
4) Dalam gambar KE II NH. (slaid 3)
– Tentukan secan untuk baris ini
– Cari sudut sebelah dalam, sudut dalam yang terletak bersilang, namakan sifatnya
III. Penjelasan bahan baru
Teorem. Jumlah sudut bagi segitiga ialah 180°
Menurut rumusan teorem, lelaki itu membina lukisan, menulis syarat dan kesimpulan. Dengan menjawab soalan, mereka secara bebas membuktikan teorem.
 |
Diberi: Buktikan: |
Bukti:
1. Melalui bucu B segi tiga kita melukis garis lurus BD II AC.
2. Tentukan secan untuk garis selari.
3. Apakah yang boleh dikatakan tentang sudut CBD dan ACB? (buat nota)
4. Apakah yang kita tahu tentang sudut CAB dan ABD? (buat nota)
5. Gantikan sudut CBD dengan sudut ACB
6. Buat kesimpulan.
IV. Habiskan ayat.(Slaid 4)
1. Jumlah sudut bagi segitiga ialah...
2. Dalam segitiga, salah satu sudut adalah sama, satu lagi, sudut ketiga segitiga adalah sama dengan...
3. Jumlah sudut lancip bagi segi tiga tegak ialah...
4. Sudut segi tiga sama kaki adalah sama...
5. Sudut segi tiga sama sisi sama...
6. Jika sudut antara sisi sisi segi tiga sama kaki ialah 1000, maka sudut pada tapak adalah sama...
V. Sedikit sejarah.(Slaid 5-7)
| Bukti teorem hasil tambah sudut segitiga “Jumlah dalam sudut segi tiga sama dengan dua sudut tepat" dikaitkan dengan Pythagoras (580-500 SM) |
|
| Saintis Yunani Purba Proclus (410-485 AD), |
Teorem ini juga dirumuskan dalam buku teks oleh L.S Atanasyan. , dan dalam buku teks oleh Pogorelov A.V. . Bukti teorem ini dalam buku teks ini tidak berbeza dengan ketara, dan oleh itu kami membentangkan buktinya, sebagai contoh, dari buku teks oleh A.V.
Teorem: Jumlah sudut segitiga ialah 180°
Bukti. Biarkan ABC - segi tiga yang diberi. Mari kita lukis garisan melalui bucu B selari dengan garis AC. Mari kita tandakan titik D di atasnya supaya titik A dan D terletak di sepanjang sisi yang berbeza daripada garisan terus BC (Rajah 6).
Sudut DBC dan ACB adalah sama dengan sudut silang silang dalaman, dibentuk oleh BC sekan dengan garis lurus selari AC dan BD. Oleh itu, jumlah sudut segitiga pada bucu B dan C adalah sama dengan sudut ABD. Dan hasil tambah ketiga-tiga sudut segitiga adalah sama dengan hasil tambah sudut ABD dan BAC. Oleh kerana ini adalah sudut pedalaman satu sisi untuk AC dan BD dan sekan AB yang selari, jumlahnya ialah 180°. Teorem telah terbukti.
Idea bukti ini adalah untuk melaksanakan garis selari dan penetapan kesamaan sudut yang dikehendaki. Mari kita bina semula idea pembinaan tambahan sedemikian dengan membuktikan teorem ini menggunakan konsep eksperimen pemikiran. Bukti teorem menggunakan eksperimen pemikiran. Jadi, subjek eksperimen pemikiran kami ialah sudut segitiga. Marilah kita letakkan dia secara mental dalam keadaan di mana hakikatnya boleh didedahkan dengan pasti (peringkat 1).
Keadaan sedemikian akan menjadi susunan sudut segi tiga di mana ketiga-tiga bucunya akan digabungkan pada satu titik. Gabungan sedemikian mungkin jika kita membenarkan kemungkinan "menggerakkan" sudut dengan menggerakkan sisi segitiga tanpa mengubah sudut kecenderungan (Rajah 1). Pergerakan sedemikian pada dasarnya adalah transformasi mental yang berikutnya (peringkat 2).
Dengan menetapkan sudut dan sisi segitiga (Rajah 2), sudut yang diperolehi dengan "bergerak," kita secara mental membentuk persekitaran, sistem sambungan di mana kita meletakkan subjek pemikiran kita (peringkat 3).
Garis AB, "bergerak" di sepanjang garis BC dan tanpa mengubah sudut kecondongan kepadanya, memindahkan sudut 1 ke sudut 5, dan "bergerak" di sepanjang garis AC, memindahkan sudut 2 ke sudut 4. Oleh kerana dengan garis "pergerakan" sedemikian AB tidak mengubah sudut kecondongan kepada garis AC dan BC, maka kesimpulannya adalah jelas: sinar a dan a1 adalah selari dengan AB dan berubah menjadi satu sama lain, dan sinar b dan b1 ialah kesinambungan sisi BC dan AC, masing-masing. Oleh kerana sudut 3 dan sudut antara sinar b dan b1 adalah menegak, ia adalah sama. Jumlah sudut ini adalah sama dengan sudut putaran aa1 - yang bermaksud 180°.
KESIMPULAN
DALAM kerja diploma menjalankan bukti "dibina" beberapa sekolah teorem geometri, menggunakan struktur eksperimen pemikiran, yang mengesahkan hipotesis yang dirumuskan.
Bukti yang dikemukakan adalah berdasarkan idealisasi visual dan deria seperti: "mampatan", "regangan", "gelongsor", yang memungkinkan untuk mengubah yang asal. objek geometri dan menyerlahkan ciri-ciri pentingnya, yang tipikal untuk eksperimen pemikiran. Pada masa yang sama eksperimen pemikiran bertindak sebagai "alat kreatif" tertentu yang menyumbang kepada kemunculan pengetahuan geometri (contohnya, tentang garis tengah trapezoid atau mengenai sudut segitiga). Idealisasi sedemikian memungkinkan untuk memahami keseluruhan idea pembuktian, idea untuk melaksanakan "pembinaan tambahan", yang membolehkan kita bercakap tentang kemungkinan pemahaman yang lebih sedar oleh pelajar sekolah tentang proses pembuktian deduktif formal teorem geometri.
Percubaan pemikiran adalah salah satu daripada kaedah asas mendapatkan dan menemui teorem geometri. Ia adalah perlu untuk membangunkan metodologi untuk memindahkan kaedah kepada pelajar. Kekal soalan terbuka tentang umur pelajar yang boleh diterima untuk "menerima" kaedah, tentang " kesan sampingan» bukti yang dikemukakan dengan cara ini.
Soalan-soalan ini memerlukan kajian tambahan. Tetapi dalam apa jua keadaan, satu perkara yang pasti: percubaan pemikiran berkembang di kalangan pelajar sekolah pemikiran teori, adalah asasnya dan, oleh itu, keupayaan untuk eksperimen mental perlu dibangunkan.
Maklumat awal
Pertama, mari kita lihat secara langsung konsep segi tiga.
Definisi 1
Kami akan memanggilnya segitiga angka geometri, yang terdiri daripada tiga titik yang disambungkan oleh segmen (Rajah 1).
Definisi 2
Dalam rangka Takrif 1, kita akan memanggil titik-titik bucu segitiga.
Definisi 3
Dalam rangka Takrif 1, segmen akan dipanggil sisi segi tiga.
Jelas sekali, mana-mana segi tiga akan mempunyai 3 bucu, serta tiga sisi.
Teorem jumlah sudut dalam segitiga
Mari kita perkenalkan dan buktikan salah satu teorem utama yang berkaitan dengan segi tiga, iaitu teorem hasil tambah sudut dalam segitiga.
Teorem 1
Jumlah sudut dalam mana-mana segi tiga arbitrari ialah $180^\circ$.
Bukti.
Pertimbangkan segi tiga $EGF$. Mari kita buktikan bahawa jumlah sudut dalam segi tiga ini adalah sama dengan $180^\circ$. Mari kita buat pembinaan tambahan: lukis garis lurus $XY||EG$ (Gamb. 2)
Oleh kerana garisan $XY$ dan $EG$ adalah selari, maka $∠E=∠XFE$ terletak secara bersilang pada bahagian $FE$, dan $∠G=∠YFG$ terletak secara bersilang pada bahagian $FG$
Sudut $XFY$ akan diterbalikkan dan oleh itu bersamaan dengan $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Oleh itu
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Teorem telah terbukti.
Teorem Sudut Luaran Segitiga
Satu lagi teorem mengenai jumlah sudut bagi segitiga boleh dianggap sebagai teorem pada sudut luar. Pertama, mari kita perkenalkan konsep ini.
Definisi 4
Kami akan memanggil sudut luar segitiga sebagai sudut yang akan bersebelahan dengan mana-mana sudut segi tiga (Rajah 3).
Sekarang mari kita pertimbangkan teorem secara langsung.
Teorem 2
Sudut luar segitiga adalah sama dengan hasil tambah dua sudut segitiga yang tidak bersebelahan dengannya.
Bukti.
Mari kita pertimbangkan segi tiga sewenang-wenangnya$EFG$. Biarkan ia mempunyai sudut luar segi tiga $FGQ$ (Gamb. 3).
Dengan Teorem 1, kita akan mempunyai $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, oleh itu,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Oleh kerana sudut $FGQ$ adalah luaran, ia bersebelahan dengan sudut $∠G$, maka
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Teorem telah terbukti.
Contoh tugasan
Contoh 1
Cari semua sudut segitiga jika ia adalah sama sisi.
Oleh kerana semua sisi segitiga sama sisi adalah sama, kita akan mempunyai bahawa semua sudut di dalamnya juga sama antara satu sama lain. Mari kita nyatakan mereka ukuran darjah melalui $α$.
Kemudian, dengan Teorem 1 kita dapat
$α+α+α=180^\circ$
Jawapan: semua sudut sama dengan $60^\circ$.
Contoh 2
Cari semua sudut segitiga sama kaki jika salah satu sudutnya adalah sama dengan $100^\circ$.
Mari kita perkenalkan tatatanda berikut untuk sudut dalam segi tiga sama kaki:
Memandangkan kita tidak diberikan dalam keadaan dengan tepat sudut mana $100^\circ$ bersamaan, maka dua kes adalah mungkin:
Sudut bersamaan $100^\circ$ ialah sudut pada tapak segi tiga.
Dengan menggunakan teorem pada sudut di dasar segi tiga sama kaki, kita perolehi
$∠2=∠3=100^\circ$
Tetapi hanya jumlah mereka akan lebih besar daripada $180^\circ$, yang bercanggah dengan syarat Teorem 1. Ini bermakna kes ini tidak berlaku.
Sudut yang sama dengan $100^\circ$ ialah sudut antara sisi yang sama, iaitu