Y ialah 2 punca kubus bagi x. Integral bagi fungsi kuasa

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Fungsi kuasa. Akar padu. Sifat akar padu"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 9
Kompleks pendidikan 1C: "Masalah algebra dengan parameter, gred 9–11" Persekitaran perisian "1C: Pembina Matematik 6.0"

Definisi fungsi kuasa - punca kubus

Kawan-kawan, kita sambung belajar fungsi kuasa. Hari ini kita akan bercakap tentang fungsi "Akar kubik x".
Apakah punca kubus?
Nombor y dipanggil punca kubus bagi x (akar darjah ketiga) jika kesamaan $y^3=x$ dipegang.
Ditandakan sebagai $\sqrt(x)$, dengan x ialah nombor radikal, 3 ialah eksponen.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=$27.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Seperti yang kita dapat lihat, punca kubus juga boleh diekstrak daripada nombor negatif. Ternyata akar kita wujud untuk semua nombor.
Punca ketiga bagi nombor negatif ialah nombor negatif. Apabila dinaikkan kepada kuasa ganjil, tanda itu dipelihara; kuasa ketiga adalah ganjil.

Mari kita semak kesamaan: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Biarkan $\sqrt((-x))=a$ dan $\sqrt(x)=b$. Mari kita tingkatkan kedua-dua ungkapan kepada kuasa ketiga. $–x=a^3$ dan $x=b^3$. Kemudian $a^3=-b^3$ atau $a=-b$. Menggunakan notasi untuk akar kita memperoleh identiti yang diingini.

Sifat akar kubus

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Mari kita buktikan harta kedua. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Kami mendapati bahawa nombor $\sqrt(\frac(a)(b))$ kiub adalah bersamaan dengan $\frac(a)(b)$ dan kemudian bersamaan dengan $\sqrt(\frac(a)(b))$ , yang dan perlu dibuktikan.

Kawan-kawan, mari kita bina graf fungsi kita.
1) Set domain nombor nyata.
2) Fungsinya ganjil, kerana $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Seterusnya, pertimbangkan fungsi kami untuk $x≥0$, kemudian paparkan graf berbanding dengan asal.
3) Fungsi meningkat apabila $x≥0$. Untuk fungsi kami, nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar, yang bermaksud peningkatan.
4) Fungsi tidak terhad dari atas. Malah, daripada mana-mana nombor besar kita boleh mengira punca ketiga, dan kita boleh naik ke infiniti, mencari segala-galanya nilai yang besar hujah.
5) Untuk $x≥0$ nilai terkecil ialah 0. Sifat ini jelas.
Mari bina graf fungsi dengan titik pada x≥0.

Mari bina graf fungsi kami ke atas keseluruhan domain definisi. Ingat bahawa fungsi kita adalah ganjil.

Sifat fungsi:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsi ganjil.
3) Meningkat sebanyak (-∞;+∞).
4) Tidak terhad.
5) Tiada nilai minimum atau maksimum.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Cembung ke bawah sebanyak (-∞;0), cembung ke atas sebanyak (0;+∞).

Contoh fungsi kuasa penyelesaian

Contoh
1. Selesaikan persamaan $\sqrt(x)=x$.
Penyelesaian. Mari bina dua graf pada satu satah koordinat$y=\sqrt(x)$ dan $y=x$.

Seperti yang anda lihat, graf kami bersilang pada tiga titik.
Jawapan: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Bina graf bagi fungsi tersebut. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Penyelesaian. Graf kami diperoleh daripada graf fungsi $y=\sqrt(x)$, pemindahan selari dua unit ke kanan dan tiga unit ke bawah.

3. Graf fungsi dan bacanya. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Penyelesaian. Mari kita bina dua graf fungsi pada satah koordinat yang sama, dengan mengambil kira keadaan kita. Untuk $x≥-1$ kita membina graf punca padu, untuk $x≤-1$ kita membina graf bagi fungsi linear.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsinya bukan genap atau ganjil.
3) Menurun sebanyak (-∞;-1), meningkat sebanyak (-1;+∞).
4) Tidak terhad dari atas, terhad dari bawah.
5) Nilai terhebat Tidak. Nilai terendah sama dengan tolak satu.
6) Fungsi berterusan pada keseluruhan garis nombor.
7) E(y)= (-1;+∞).

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

1. Selesaikan persamaan $\sqrt(x)=2-x$.
2. Bina graf bagi fungsi $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Plot graf fungsi dan bacanya. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Matlamat asas:

1) untuk membentuk idea tentang kebolehlaksanaan kajian umum tentang kebergantungan kuantiti nyata menggunakan contoh kuantiti, dihubungkan dengan hubungan y=

2) untuk membangunkan keupayaan untuk membina graf y= dan sifatnya;

3) mengulang dan menyatukan teknik pengiraan lisan dan bertulis, kuasa dua, mengekstrak punca kuasa dua.

peralatan, bahan tunjuk cara: Edaran.

1. Algoritma:

2. Contoh untuk menyelesaikan tugasan dalam kumpulan:

3. Sampel untuk ujian kendiri kerja bebas:

4. Kad untuk peringkat refleksi:

1) Saya faham cara membuat graf fungsi y=.

2) Saya boleh menyenaraikan sifatnya menggunakan graf.

3) Saya tidak melakukan kesilapan dalam kerja bebas.

4) Saya membuat kesilapan dalam kerja bebas saya (senarai kesilapan ini dan nyatakan sebabnya).

Semasa kelas

1. Penentuan nasib sendiri untuk aktiviti pendidikan

Tujuan pentas:

1) memasukkan pelajar dalam aktiviti pendidikan;

2) tentukan kandungan pelajaran: kami terus bekerja dengan nombor nyata.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 1:

– Apakah yang kita pelajari dalam pelajaran lepas? (Kami mengkaji set nombor nyata, operasi dengan mereka, membina algoritma untuk menerangkan sifat fungsi, fungsi berulang yang dipelajari dalam gred ke-7).

– Hari ini kita akan terus bekerja dengan set nombor nyata, fungsi.

2. Mengemaskini pengetahuan dan merekod kesukaran dalam aktiviti

Tujuan pentas:

1) kemas kini kandungan pendidikan yang diperlukan dan mencukupi untuk persepsi bahan baharu: fungsi, pembolehubah tidak bersandar, pembolehubah bersandar, graf

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) kemas kini operasi mental yang diperlukan dan mencukupi untuk persepsi bahan baharu: perbandingan, analisis, generalisasi;

3) merekodkan semua konsep dan algoritma yang berulang dalam bentuk rajah dan simbol;

4) merekodkan kesukaran individu dalam aktiviti, menunjukkan pada tahap ketara secara peribadi ketidakcukupan pengetahuan sedia ada.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 2:

1. Mari kita ingat bagaimana anda boleh menetapkan kebergantungan antara kuantiti? (Menggunakan teks, formula, jadual, graf)

2. Apakah fungsi yang dipanggil? (Hubungan antara dua kuantiti, di mana setiap nilai satu pembolehubah sepadan dengan nilai tunggal pembolehubah lain y = f(x)).

Apakah nama x? (Pembolehubah bebas - hujah)

Apakah nama y? (Pembolehubah bersandar).

3. Dalam darjah 7 adakah kita belajar fungsi? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,).

Tugas individu:

Apakah graf bagi fungsi y = kx + m, y =x 2, y =?

3. Mengenal pasti punca kesukaran dan menetapkan matlamat untuk aktiviti

Tujuan pentas:

1) mengatur interaksi komunikatif, di mana harta yang tersendiri tugas yang menyebabkan kesukaran dalam aktiviti pembelajaran;

2) bersetuju dengan tujuan dan tajuk pelajaran.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 3:

-Apa yang istimewa tentang tugasan ini? (Pergantungan diberikan oleh formula y = yang belum kita temui.)

– Apakah tujuan pelajaran? (Berkenalan dengan fungsi y =, sifat dan grafnya. Gunakan fungsi dalam jadual untuk menentukan jenis pergantungan, bina formula dan graf.)

– Bolehkah anda merumuskan tajuk pelajaran? (Fungsi y=, sifat dan grafnya).

– Tulis topik dalam buku nota anda.

4. Pembinaan projek untuk keluar daripada kesukaran

Tujuan pentas:

1) mengatur interaksi komunikatif untuk membina kaedah tindakan baharu yang menghapuskan punca kesukaran yang dikenal pasti;

2) betulkan cara baru tindakan dalam bentuk simbolik, lisan dan menggunakan standard.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 4:

Kerja pada peringkat ini boleh diatur dalam kumpulan, meminta kumpulan membina graf y =, kemudian menganalisis keputusan. Kumpulan juga boleh diminta untuk menerangkan sifat-sifat fungsi tertentu menggunakan algoritma.

5. Pengukuhan utama dalam pertuturan luaran

Tujuan pentas: untuk merekodkan kandungan pendidikan yang dipelajari dalam ucapan luaran.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 5:

Bina graf y= - dan huraikan sifatnya.

Sifat y= - .

1.Domain definisi fungsi.

2. Julat nilai fungsi.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0 jika x = 0.

y<0, если х(0;+)

4. Meningkatkan, mengurangkan fungsi.

Fungsi berkurangan sebagai x.

Mari bina graf y=.

Mari pilih bahagiannya pada segmen. Perhatikan bahawa kita ada = 1 untuk x = 1, dan y maks. =3 pada x = 9.

Jawapan: atas nama kami. = 1, y maks. =3

6. Kerja bebas dengan ujian kendiri mengikut standard

Tujuan peringkat: untuk menguji keupayaan anda untuk menggunakan kandungan pendidikan baharu dalam keadaan standard berdasarkan membandingkan penyelesaian anda dengan standard untuk ujian kendiri.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 6:

Pelajar menyelesaikan tugasan secara bebas, menjalankan ujian kendiri terhadap standard, menganalisis dan membetulkan kesilapan.

Mari bina graf y=.

Menggunakan graf, cari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen.

7. Kemasukan dalam sistem pengetahuan dan pengulangan

Tujuan peringkat: untuk melatih kemahiran menggunakan kandungan baharu bersama-sama dengan yang dipelajari sebelumnya: 2) mengulang kandungan pendidikan yang akan diperlukan dalam pelajaran seterusnya.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 7:

Selesaikan persamaan secara grafik: = x – 6.

Seorang pelajar berada di papan hitam, selebihnya dalam buku nota.

8. Refleksi aktiviti

Tujuan pentas:

1) merekodkan kandungan baharu yang dipelajari dalam pelajaran;

2) menilai aktiviti anda sendiri dalam pelajaran;

3) mengucapkan terima kasih kepada rakan sekelas yang membantu mendapatkan hasil pelajaran;

4) merekodkan kesukaran yang tidak dapat diselesaikan sebagai hala tuju untuk aktiviti pendidikan masa hadapan;

5) bincang dan catatkan kerja rumah anda.

Organisasi proses pendidikan pada peringkat 8:

- Kawan-kawan, apakah matlamat kita hari ini? (Kaji fungsi y=, sifat dan grafnya).

– Apakah pengetahuan yang membantu kami mencapai matlamat kami? (Keupayaan untuk mencari corak, kebolehan membaca graf.)

– Analisis aktiviti anda di dalam kelas. (Kad dengan refleksi)

Kerja rumah

perenggan 13 (sebelum contoh 2) № 13.3, 13.4

Selesaikan persamaan secara grafik:

Bina graf bagi fungsi tersebut dan huraikan sifatnya.

Yang sama dengan $a.$ Dalam erti kata lain, ini adalah penyelesaian kepada persamaan $x^3\; =\; a$(biasanya penyelesaian sebenar yang dimaksudkan).

Akar sebenar

Bentuk tunjuk cara

Punca nombor kompleks boleh ditakrifkan seperti berikut:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

Jika anda bayangkan $x$ Bagaimana

$x\; =\; r\backslash exp(i\backslash theta)$

maka formula untuk nombor padu ialah:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

Ini secara geometri bermakna bahawa dalam koordinat kutub kita mengambil punca kubus jejari dan membahagikan sudut kutub dengan tiga untuk menentukan punca kubus. Jadi kalau $x$ kompleks, maka $\backslash sqrt(-8)$ akan bermakna tidak $-2$, Akan jadi $1\; +\; i\backslash sqrt(3).$

Pada ketumpatan jirim yang berterusan, dimensi dua jasad yang serupa adalah berkaitan antara satu sama lain sebagai punca kubus jisimnya. Jadi, jika sebiji tembikai beratnya dua kali lebih banyak daripada yang lain, maka diameternya (serta lilitannya) hanya lebih sedikit daripada satu perempat (26%) lebih besar daripada yang pertama; dan pada mata nampak perbezaan berat tidak begitu ketara. Oleh itu, jika tiada sisik (jualan dengan mata), biasanya lebih menguntungkan untuk membeli buah yang lebih besar.

Kaedah pengiraan

Kolum

Sebelum memulakan, anda perlu membahagikan nombor kepada tiga kali ganda (bahagian integer - dari kanan ke kiri, bahagian pecahan - dari kiri ke kanan). Apabila anda mencapai titik perpuluhan, anda mesti menambah titik perpuluhan pada penghujung keputusan.

Algoritmanya adalah seperti berikut:

1. Cari nombor yang kubusnya lebih kecil daripada kumpulan digit pertama, tetapi apabila ia bertambah sebanyak 1 ia menjadi lebih besar. Tulis nombor yang anda temui di sebelah kanan nombor yang diberikan. Tulis nombor 3 di bawahnya.
2. Tulis kubus nombor yang terdapat di bawah kumpulan nombor pertama dan tolak. Tulis keputusan selepas penolakan di bawah subtrahend. Seterusnya, catatkan kumpulan nombor seterusnya.
3. Seterusnya, kami menggantikan jawapan perantaraan yang ditemui dengan surat $a$. Kira menggunakan formula $$ nombor sedemikian $x$ bahawa keputusannya adalah kurang daripada nombor yang lebih rendah, tetapi apabila dinaikkan sebanyak 1 ia menjadi lebih besar. Tulis apa yang anda temui $x$ di sebelah kanan jawapan. Jika ketepatan yang diperlukan dicapai, hentikan pengiraan.
4. Tuliskan hasil pengiraan di bawah nombor bawah menggunakan formula $300\backslash kali\; a^2\backslash kali\; x+30\backslash kali\; a\backslash kali\; x^2+x^3$ dan lakukan penolakan. Pergi ke langkah 3.

lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Akar padu"

kesusasteraan

• Korn G., Korn T. 1.3-3. Perwakilan jumlah, hasil dan hasil bagi. Kuasa dan akar // Buku panduan matematik. - edisi ke-4. - M.: Nauka, 1978. - P. 32-33.

Petikan yang mencirikan punca kubus

Menjelang jam sembilan pagi, apabila tentera sudah bergerak melalui Moscow, tiada orang lain yang datang untuk meminta arahan kiraan. Setiap orang yang boleh pergi berbuat demikian atas kerelaan mereka sendiri; mereka yang kekal memutuskan dengan diri mereka sendiri apa yang mereka perlu lakukan.
Kiraan mengarahkan kuda-kuda itu dibawa masuk untuk pergi ke Sokolniki, dan, mengerutkan kening, kuning dan senyap, dengan tangan terlipat, dia duduk di pejabatnya.
Dalam masa yang tenang, bukan ribut, nampaknya setiap pentadbir hanya melalui usahanya sahaja seluruh penduduk di bawah kawalannya bergerak, dan dalam kesedaran tentang keperluannya ini, setiap pentadbir merasakan ganjaran utama atas kerja dan usahanya. Jelaslah bahawa selagi laut bersejarah itu tenang, penguasa-pentadbir, dengan perahunya yang rapuh menyandarkan tiangnya terhadap kapal rakyat dan dirinya sendiri yang bergerak, pasti baginya bahawa melalui usahanya kapal yang dia tumpangi adalah. bergerak. Tetapi sebaik sahaja ribut timbul, laut menjadi bergolak dan kapal itu sendiri bergerak, maka khayalan adalah mustahil. Kapal itu bergerak dengan kelajuan yang sangat besar, bebas, tiang tidak sampai ke kapal yang bergerak, dan penguasa tiba-tiba pergi dari kedudukan pemerintah, sumber kekuatan, menjadi orang yang tidak penting, tidak berguna dan lemah.
Rastopchin merasakan ini, dan ia menjengkelkan dia. Ketua polis, yang dihalang oleh orang ramai, bersama-sama dengan ajudan, yang datang untuk melaporkan bahawa kuda-kuda itu sudah bersedia, memasuki pengiraan. Kedua-duanya pucat, dan ketua polis, melaporkan pelaksanaan tugasnya, berkata bahawa di halaman kiraan terdapat ramai orang yang ingin melihatnya.
Rastopchin, tanpa menjawab sepatah kata pun, berdiri dan cepat-cepat masuk ke ruang tamunya yang mewah dan terang, berjalan ke pintu balkoni, meraih pemegangnya, meninggalkannya dan bergerak ke tingkap, dari mana seluruh orang ramai dapat dilihat dengan lebih jelas. Seorang lelaki tinggi berdiri di barisan hadapan dan dengan muka tegas, melambai tangannya, berkata sesuatu. Tukang besi berdarah berdiri di sebelahnya dengan pandangan muram. Dengungan suara kedengaran melalui tingkap yang tertutup.
- Adakah kru bersedia? - kata Rastopchin, menjauhi tingkap.
"Bersedia, Yang Berhormat," kata ajudan itu.
Rastopchin sekali lagi menghampiri pintu balkoni.
- Apa yang mereka mahu? – dia bertanya kepada ketua polis.
- Yang Berhormat, mereka mengatakan bahawa mereka akan menentang Perancis atas arahan anda, mereka menjerit sesuatu tentang pengkhianatan. Tetapi orang ramai yang ganas, Yang Berhormat. Saya pergi dengan paksa. Yang Berhormat, saya berani mencadangkan...
"Jika awak tolong, pergi, saya tahu apa yang perlu dilakukan tanpa awak," Rostopchin menjerit dengan marah. Dia berdiri di pintu balkoni, memandang ke arah orang ramai. “Inilah yang mereka lakukan terhadap Rusia! Inilah yang mereka lakukan kepada saya!” - fikir Rostopchin, merasakan kemarahan yang tidak terkawal meningkat dalam jiwanya terhadap seseorang yang boleh dikaitkan dengan punca segala yang berlaku. Seperti yang sering berlaku dengan orang yang panas baran, kemarahan sudah menguasai dirinya, tetapi dia mencari subjek lain untuk itu. "La voila la populace, la lie du peuple," fikirnya sambil memandang ke arah orang ramai, "la plebe qu"ils ont soulevee par leur sottise. Il leur faut une victime, ["Ini dia, manusia, sampah ini penduduk, orang ramai, yang mereka bangkitkan dengan kebodohan mereka! Mereka memerlukan mangsa."] - terlintas di fikirannya, memandang lelaki tinggi lampai itu melambaikan tangannya. Dan atas sebab yang sama terlintas di fikirannya bahawa dia sendiri memerlukan mangsa ini , objek ini untuk kemarahannya.
- Adakah kru bersedia? - dia bertanya pada masa yang lain.
- Sedia, Yang Berhormat. Apa yang anda pesan tentang Vereshchagin? "Dia menunggu di beranda," jawab ajudan itu.
- A! - Rostopchin menjerit, seolah-olah terkena ingatan yang tidak dijangka.
Dan, dengan pantas membuka pintu, dia melangkah keluar ke balkoni dengan langkah tegas. Perbualan tiba-tiba terhenti, topi dan topi ditanggalkan, dan semua mata tertuju kepada kiraan yang keluar.
- Apa khabar semua! - kiraan berkata dengan cepat dan lantang. - Terima kasih kerana datang. Saya akan keluar kepada anda sekarang, tetapi pertama sekali kita perlu berurusan dengan penjahat itu. Kita perlu menghukum penjahat yang membunuh Moscow. Tunggu saya! “Dan kiraan secepat itu kembali ke biliknya, menghempas pintu dengan kuat.
Gumam keseronokan menerpa orang ramai. “Itu bermakna dia akan mengawal semua penjahat! Dan awak cakap bahasa Perancis... dia akan berikan awak sepanjang jarak!" - orang berkata, seolah-olah mencela antara satu sama lain kerana kekurangan iman mereka.

Sifat asas fungsi kuasa diberikan, termasuk formula dan sifat akar. Derivatif, kamiran, pengembangan siri kuasa, dan perwakilan nombor kompleks bagi fungsi kuasa dibentangkan.

Definisi

Definisi
Fungsi kuasa dengan eksponen p ialah fungsi f (x) = xp, nilai yang pada titik x adalah sama dengan nilai fungsi eksponen dengan asas x pada titik p.
Selain itu, f (0) = 0 p = 0 untuk p > 0 .

Untuk nilai semula jadi eksponen, fungsi kuasa ialah hasil darab n nombor bersamaan dengan x:
.
Ia ditakrifkan untuk semua yang sah.

Untuk nilai rasional positif eksponen, fungsi kuasa ialah hasil darab n punca darjah m nombor x:
.
Untuk m ganjil, ia ditakrifkan untuk semua x nyata. Untuk m genap, fungsi kuasa ditakrifkan untuk fungsi bukan negatif.

Untuk negatif , fungsi kuasa ditentukan oleh formula:
.
Oleh itu, ia tidak ditakrifkan pada titik itu.

Untuk nilai tidak rasional eksponen p, fungsi kuasa ditentukan oleh formula:
,
di mana a ialah nombor positif arbitrari tidak sama dengan satu: .
Bila , ia ditakrifkan untuk .
Apabila , fungsi kuasa ditakrifkan untuk .

Kesinambungan. Fungsi kuasa adalah berterusan dalam domain definisinya.

Sifat dan formula fungsi kuasa untuk x ≥ 0

Di sini kita akan mempertimbangkan sifat fungsi kuasa untuk nilai bukan negatif hujah x. Seperti yang dinyatakan di atas, untuk nilai tertentu eksponen p, fungsi kuasa juga ditakrifkan untuk nilai negatif x. Dalam kes ini, sifatnya boleh didapati daripada sifat , menggunakan genap atau ganjil. Kes-kes ini dibincangkan dan digambarkan secara terperinci pada halaman "".

Fungsi kuasa, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat berikut:
(1.1) ditakrifkan dan berterusan pada set
pada ,
pada ;
(1.2) mempunyai banyak makna
pada ,
pada ;
(1.3) meningkat dengan tegas dengan ,
menurun dengan tegas sebagai ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Bukti sifat diberikan pada halaman "Fungsi kuasa (bukti kesinambungan dan sifat)"

Akar - definisi, formula, sifat

Definisi
Punca nombor x darjah n ialah nombor yang apabila dinaikkan kepada kuasa n memberikan x:
.
Di sini n = 2, 3, 4, ... - nombor asli lebih daripada satu.

Anda juga boleh mengatakan bahawa punca nombor x darjah n ialah punca (iaitu penyelesaian) persamaan
.
Perhatikan bahawa fungsi tersebut adalah songsang bagi fungsi tersebut.

Punca kuasa dua bagi x ialah punca darjah 2: .

Punca kubus bagi x ialah punca darjah 3: .

Malah ijazah

Untuk kuasa genap n = 2 m, punca ditakrifkan untuk x ≥ 0 . Formula yang sering digunakan adalah sah untuk x positif dan negatif:
.
Untuk punca kuasa dua:
.

Urutan di mana operasi dijalankan adalah penting di sini - iaitu, pertama kuasa dua dilakukan, menghasilkan nombor bukan negatif, dan kemudian punca diambil daripadanya (punca kuasa dua boleh diambil daripada nombor bukan negatif ). Jika kita menukar susunan: , maka untuk negatif x puncanya akan tidak ditentukan, dan dengannya keseluruhan ungkapan akan tidak ditentukan.

Ijazah ganjil

Untuk kuasa ganjil, punca ditakrifkan untuk semua x:
;
.

Sifat dan formula akar

Punca x ialah fungsi kuasa:
.
Apabila x ≥ 0 formula berikut digunakan:
;
;
, ;
.

Formula ini juga boleh digunakan untuk nilai negatif pembolehubah. Anda hanya perlu memastikan bahawa ekspresi radikal kuasa genap tidak negatif.

Nilai peribadi

Punca 0 ialah 0: .
Akar 1 bersamaan dengan 1: .
Punca kuasa dua bagi 0 ialah 0: .
Punca kuasa dua bagi 1 ialah 1: .

Contoh. Akar akar

Mari kita lihat contoh punca kuasa dua punca:
.
Mari kita ubah punca kuasa dua dalam menggunakan formula di atas:
.
Sekarang mari kita ubah akar asal:
.
Jadi,
.

y = x p untuk nilai berbeza bagi eksponen p.

Berikut ialah graf fungsi untuk nilai bukan negatif argumen x. Graf fungsi kuasa yang ditakrifkan untuk nilai negatif x diberikan pada halaman "Fungsi kuasa, sifat dan grafnya"

Fungsi songsang

Songsangan bagi fungsi kuasa dengan eksponen p ialah fungsi kuasa dengan eksponen 1/p.

Jika, maka.

Terbitan fungsi kuasa

Terbitan urutan ke-n:
;

Rumus terbitan > > >

Integral bagi fungsi kuasa

P ≠ - 1 ;
.

Pengembangan siri kuasa

Pada - 1 < x < 1 penguraian berikut berlaku:

Ungkapan menggunakan nombor kompleks

Pertimbangkan fungsi pembolehubah kompleks z:
f (z) = z t.
Mari kita nyatakan pembolehubah kompleks z dalam sebutan modulus r dan hujah φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kami mewakili nombor kompleks t dalam bentuk bahagian nyata dan khayalan:
t = p + i q .
Kami ada:

Seterusnya, kami mengambil kira bahawa hujah φ tidak ditakrifkan secara unik:
,

Mari kita pertimbangkan kes apabila q = 0 , iaitu eksponen ialah nombor nyata, t = p. Kemudian
.

Jika p ialah integer, maka kp ialah integer. Kemudian, disebabkan oleh keberkalaan fungsi trigonometri:
.
Iaitu, fungsi eksponen dengan eksponen integer, untuk z tertentu, hanya mempunyai satu nilai dan oleh itu tidak jelas.

Jika p tidak rasional, maka hasil kp bagi sebarang k tidak menghasilkan integer. Memandangkan k melalui siri nilai tak terhingga k = 0, 1, 2, 3, ..., maka fungsi z p mempunyai banyak nilai yang tidak terhingga. Setiap kali hujah z dinaikkan 2π(satu pusingan), kita beralih ke cawangan baru fungsi.

Jika p adalah rasional, maka ia boleh diwakili sebagai:
, Di mana m, n- integer yang tidak mengandungi pembahagi sepunya. Kemudian
.
Nilai n pertama, dengan k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, berikan n nilai kp yang berbeza:
.
Walau bagaimanapun, nilai seterusnya memberikan nilai yang berbeza daripada yang sebelumnya dengan integer. Contohnya, apabila k = k 0+n kami ada:
.
Fungsi trigonometri yang hujahnya berbeza dengan gandaan 2π, mempunyai nilai yang sama. Oleh itu, dengan peningkatan selanjutnya dalam k, kita memperoleh nilai z p yang sama seperti untuk k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Oleh itu, fungsi eksponen dengan eksponen rasional adalah berbilang nilai dan mempunyai n nilai (cawangan). Setiap kali hujah z ditambah 2π(satu pusingan), kita beralih ke cawangan baru fungsi. Selepas revolusi sebegitu, kami kembali ke cawangan pertama dari mana kira detik bermula.

Khususnya, punca darjah n mempunyai nilai n. Sebagai contoh, pertimbangkan punca ke-n bagi nombor positif nyata z = x. Dalam kes ini φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Jadi, untuk punca kuasa dua, n = 2 ,
.
Untuk k genap, (- 1 ) k = 1. Untuk k ganjil, (- 1 ) k = - 1.
Iaitu, punca kuasa dua mempunyai dua makna: + dan -.

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.

Kawan-kawan, kami terus mengkaji fungsi kuasa. Topik pelajaran hari ini ialah fungsi - punca padu bagi x. Apakah akar kubus? Nombor y dipanggil punca kubus bagi x (akar darjah ketiga) jika kesamaan itu dipenuhi.Ditetapkan oleh:, dengan x ialah nombor radikal, 3 ialah eksponen.

Seperti yang kita dapat lihat, punca kubus juga boleh diekstrak daripada nombor negatif. Ternyata akar kita wujud untuk semua nombor. Punca ketiga nombor negatif adalah sama dengan nombor negatif. Apabila dinaikkan kepada kuasa ganjil, tanda itu dipelihara; kuasa ketiga adalah ganjil. Mari kita semak kesaksamaan: Mari. Mari kita tingkatkan kedua-dua ungkapan kepada kuasa ketiga. Kemudian atau Dalam tatatanda akar kita memperoleh identiti yang dikehendaki.

Kawan-kawan, mari kita bina graf fungsi kita. 1) Domain definisi ialah set nombor nyata. 2) Fungsinya adalah ganjil, kerana Seterusnya kita akan mempertimbangkan fungsi kita pada x 0, maka kita akan memaparkan graf berbanding dengan asal. 3) Fungsi meningkat sebagai x 0. Untuk fungsi kami, nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar, yang bermaksud peningkatan. 4) Fungsi tidak terhad dari atas. Malah, daripada nombor yang besar secara sewenang-wenangnya kita boleh mengira punca ketiga, dan kita boleh bergerak ke atas selama-lamanya, mencari nilai hujah yang lebih besar. 5) Apabila x 0 nilai terkecil ialah 0. Sifat ini jelas.

Mari bina graf fungsi kami ke atas keseluruhan domain definisi. Ingat bahawa fungsi kita adalah ganjil. Sifat fungsi: 1) D(y)=(-;+) 2) Fungsi ganjil. 3) Meningkat sebanyak (-;+) 4) Tidak terhad. 5) Tiada nilai minimum atau maksimum. 6) Fungsi berterusan pada keseluruhan garis nombor. 7) E(y)= (-;+). 8) Cembung ke bawah sebanyak (-;0), cembung ke atas sebanyak (0;+).

Contoh. Lukiskan graf fungsi dan bacanya. Penyelesaian. Mari kita bina dua graf fungsi pada satah koordinat yang sama, dengan mengambil kira keadaan kita. Untuk x-1 kita membina graf punca padu, dan untuk x-1 kita membina graf fungsi linear. 1) D(y)=(-;+) 2) Fungsi ini bukan genap dan bukan ganjil. 3) Menurun sebanyak (-;-1), meningkat sebanyak (-1;+) 4) Tidak terhad dari atas, terhad dari bawah. 5) Tiada nilai terbesar. Nilai terkecil ialah tolak satu. 6) Fungsi berterusan pada keseluruhan garis nombor. 7) E(y)= (-1;+)