Bentuk trigonometri bagi nombor kompleks
Rancang
1. Perwakilan geometri bagi nombor kompleks.
2. Tatatanda trigonometri nombor kompleks.
3. Tindakan ke atas nombor kompleks dalam bentuk trigonometri.
Perwakilan geometri bagi nombor kompleks.
a) Nombor kompleks diwakili oleh titik pada satah mengikut peraturan berikut: a + bi = M ( a ; b ) (Rajah 1).
Gambar 1
b) Nombor kompleks boleh diwakili oleh vektor yang bermula pada titikTENTANG dan penghujungnya pada titik tertentu (Rajah 2).
Rajah 2
Contoh 7. Bina titik yang mewakili nombor kompleks:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Gamb. 3).
Rajah 3
Tatatanda trigonometri nombor kompleks.
Nombor kompleksz = a + bi boleh ditentukan menggunakan vektor jejari dengan koordinat( a ; b ) (Gamb. 4).
Rajah 4
Definisi . Panjang vektor , mewakili nombor kompleksz , dipanggil modulus nombor ini dan dilambangkan ataur .
Untuk sebarang nombor kompleksz modulnyar = | z | ditentukan secara unik oleh formula .
Definisi . Magnitud sudut antara arah positif paksi nyata dan vektor , mewakili nombor kompleks, dipanggil hujah nombor kompleks ini dan dilambangkanA rg z atauφ .
Hujah Nombor Kompleksz = 0 tidak ditentukan. Hujah Nombor Kompleksz≠ 0 – kuantiti berbilang nilai dan ditentukan dalam tempoh2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Di manaarg z – nilai utama hujah yang terkandung dalam selang(-π; π] , itu dia-π < arg z ≤ π (kadangkala nilai kepunyaan selang diambil sebagai nilai utama hujah .
Formula ini apabilar =1 sering dipanggil formula Moivre:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Contoh 11: Kira(1 + i ) 100 .
Mari kita tulis nombor kompleks1 + i dalam bentuk trigonometri.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , dosa φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + saya berdosa )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + saya berdosa ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Mengeluarkan punca kuasa dua nombor kompleks.
Apabila mengambil punca kuasa dua nombor kompleksa + bi kami mempunyai dua kes:
Jikab
>o
, Itu 
;
3.1. Koordinat kutub
Selalunya digunakan dalam kapal terbang sistem koordinat kutub . Ia ditakrifkan jika titik O diberi, dipanggil tiang, dan sinar yang terpancar dari kutub (bagi kami ini adalah paksi Lembu) – paksi kutub. Kedudukan titik M ditetapkan oleh dua nombor: jejari (atau vektor jejari) dan sudut φ antara paksi kutub dan vektor. Sudut φ dipanggil sudut kutub; diukur dalam radian dan dikira lawan jam dari paksi kutub.
Kedudukan titik dalam sistem koordinat kutub diberikan oleh pasangan nombor tertib (r; φ). Di Kutub r = 0, dan φ tidak ditakrifkan. Untuk semua mata lain r > 0, dan φ ditakrifkan sehingga sebutan yang merupakan gandaan 2π. Dalam kes ini, pasangan nombor (r; φ) dan (r 1 ; φ 1) dikaitkan dengan titik yang sama jika .
Untuk sistem koordinat segi empat tepat xOy Koordinat Cartesian bagi suatu titik mudah dinyatakan dari segi koordinat kutubnya seperti berikut:
3.2. Tafsiran geometri bagi nombor kompleks
Mari kita pertimbangkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian pada satah xOy.
Mana-mana nombor kompleks z=(a, b) dikaitkan dengan satu titik pada satah dengan koordinat ( x, y), Di mana koordinat x = a, i.e. bahagian nyata nombor kompleks, dan koordinat y = bi ialah bahagian khayalan.
Satah yang titiknya ialah nombor kompleks ialah satah kompleks.
Dalam rajah, nombor kompleks z = (a, b) sepadan dengan satu titik M(x, y).
Senaman.Lukis nombor kompleks pada satah koordinat:
3.3. Bentuk trigonometri bagi nombor kompleks
Nombor kompleks pada satah mempunyai koordinat titik M(x;y). Di mana:
Menulis nombor kompleks 
- bentuk trigonometri nombor kompleks.
Nombor r dipanggil modul
nombor kompleks z dan ditetapkan. Modulus ialah nombor nyata bukan negatif. Untuk 
.
Modulus adalah sifar jika dan hanya jika z = 0, i.e. a = b = 0.
Nombor φ dipanggil hujah z dan ditetapkan. Hujah z ditakrifkan secara samar-samar, seperti sudut kutub dalam sistem koordinat kutub, iaitu sehingga sebutan yang merupakan gandaan 2π.
Kemudian kita terima: , dengan φ ialah nilai terkecil bagi hujah. Ia adalah jelas bahawa
.
Apabila mengkaji topik dengan lebih mendalam, hujah tambahan φ* diperkenalkan, supaya
Contoh 1. Cari bentuk trigonometri bagi nombor kompleks.
Penyelesaian. 1) pertimbangkan modul: ;
2) mencari φ: 
;
3) bentuk trigonometri: 
Contoh 2. Cari bentuk algebra bagi nombor kompleks 
.
Di sini sudah cukup untuk menggantikan nilai fungsi trigonometri dan mengubah ungkapan:
Contoh 3. Cari modulus dan hujah bagi nombor kompleks;
1) 
;
2); φ – dalam 4 suku:
3.4. Operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk trigonometri
· Penambahan dan penolakan Ia lebih mudah dilakukan dengan nombor kompleks dalam bentuk algebra:
· Pendaraban– menggunakan penjelmaan trigonometri mudah ia boleh ditunjukkan bahawa Apabila mendarab, modul nombor didarab, dan hujah ditambah: ;
2.3. Bentuk trigonometri nombor kompleks
Biarkan vektor dinyatakan pada satah kompleks dengan nombor .
Mari kita nyatakan dengan φ sudut antara Lembu separuh paksi positif dan vektor (sudut φ dianggap positif jika ia diukur mengikut lawan jam, dan sebaliknya negatif).
Mari kita nyatakan panjang vektor dengan r. lepas tu . Kami juga menandakan
Menulis nombor kompleks bukan sifar z dalam bentuk
dipanggil bentuk trigonometri bagi nombor kompleks z. Nombor r dipanggil modulus bagi nombor kompleks z, dan nombor φ dipanggil hujah nombor kompleks ini dan dilambangkan dengan Arg z.
Bentuk trigonometri untuk menulis nombor kompleks - (rumus Euler) - bentuk eksponen untuk menulis nombor kompleks:
Nombor kompleks z mempunyai banyak hujah yang tidak terhingga: jika φ0 ialah sebarang hujah bagi nombor z, maka semua yang lain boleh didapati menggunakan formula
Untuk nombor kompleks, hujah dan bentuk trigonometri tidak ditakrifkan.
Oleh itu, hujah nombor kompleks bukan sifar ialah sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan:
(3)
Nilai φ bagi hujah nombor kompleks z, yang memenuhi ketaksamaan, dipanggil nilai utama dan dilambangkan dengan arg z.
Hujah Arg z dan arg z dikaitkan oleh
, (4)
Formula (5) ialah akibat daripada sistem (3), oleh itu semua hujah bagi nombor kompleks memenuhi kesamaan (5), tetapi tidak semua penyelesaian φ persamaan (5) ialah hujah bagi nombor z.
Nilai utama hujah bagi nombor kompleks bukan sifar ditemui mengikut formula:
Formula untuk mendarab dan membahagi nombor kompleks dalam bentuk trigonometri adalah seperti berikut:
. (7)
Apabila menaikkan nombor kompleks kepada kuasa semula jadi, formula Moivre digunakan:
Apabila mengekstrak punca nombor kompleks, formula digunakan:
, (9)
di mana k=0, 1, 2, …, n-1.
Masalah 54. Kira di mana .
Mari kita kemukakan penyelesaian kepada ungkapan ini dalam bentuk eksponen menulis nombor kompleks: .
Jika, maka.
Kemudian, 
. Oleh itu, maka 
Dan 
, Di mana.
Jawapan: , pada .
Masalah 55. Tulis nombor kompleks dalam bentuk trigonometri:
A); b); V); G); d); e) 
; dan).
Oleh kerana bentuk trigonometri nombor kompleks ialah , maka:
a) Dalam nombor kompleks: .
,
sebab tu 
b) 
, Di mana ,
G) 
, Di mana ,
e) 
.
dan) 
, A 
, Itu .
sebab tu 
Jawapan: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
Masalah 56. Cari bentuk trigonometri bagi nombor kompleks
.
biarkan , 
.
Kemudian, 
, .
Sejak dan 
, , kemudian , dan
Oleh itu, , oleh itu
Jawapan: 
, Di mana.
Masalah 57. Dengan menggunakan bentuk trigonometri nombor kompleks, lakukan tindakan berikut: .
Mari kita bayangkan nombor dan 
dalam bentuk trigonometri.
1) , di mana 
Kemudian
Cari nilai hujah utama:
Mari kita gantikan nilai dan ke dalam ungkapan, kita dapat 
2) , di mana kemudian 
Kemudian 
3) Mari cari hasil bagi
Dengan mengandaikan k=0, 1, 2, kita mendapat tiga nilai berbeza dari punca yang dikehendaki:
Jika , maka 
jika , maka 
jika , maka 
.
Jawapan: :
:
: .
Masalah 58. Biarkan , , , ialah nombor kompleks yang berbeza dan 
. Buktikan itu
nombor 
ialah nombor positif sebenar;
b) kesamarataan memegang:
a) Mari kita wakili nombor kompleks ini dalam bentuk trigonometri:
sebab .
Mari kita berpura-pura itu. Kemudian 
.
Ungkapan terakhir ialah nombor positif, kerana tanda sinus mengandungi nombor dari selang.
sejak nombor itu nyata dan positif. Sesungguhnya, jika a dan b ialah nombor kompleks dan nyata serta lebih besar daripada sifar, maka .
selain itu,
oleh itu, kesaksamaan yang diperlukan terbukti.
Masalah 59. Tulis nombor dalam bentuk algebra 
.
Mari kita wakili nombor dalam bentuk trigonometri dan kemudian cari bentuk algebranya. Kami ada 
. Untuk 
kami mendapat sistem:
Ini menunjukkan persamaan: 
.
Menggunakan formula Moivre: ,
kita mendapatkan
Bentuk trigonometri bagi nombor yang diberi didapati.
Mari kita tulis nombor ini dalam bentuk algebra:
.
Jawapan: 
.
Masalah 60. Cari jumlah , ,
Mari kita pertimbangkan jumlahnya
Menggunakan formula Moivre, kami dapati
Jumlah ini ialah hasil tambah n sebutan bagi suatu janjang geometri dengan penyebutnya 
dan ahli pertama 
.
Menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang sedemikian, kita ada
Mengasingkan bahagian khayalan dalam ungkapan terakhir, kita dapati
Mengasingkan bahagian sebenar, kami juga memperoleh formula berikut: , , .
Masalah 61. Cari jumlahnya:
A) 
; b) .
Menurut formula Newton untuk eksponen, kita ada
Menggunakan formula Moivre kami dapati:
Menyamakan bahagian sebenar dan khayalan bagi ungkapan yang terhasil untuk , kita ada:
Dan 
.
Formula ini boleh ditulis dalam bentuk padat seperti berikut:
,
, di manakah bahagian integer bagi nombor a.
Masalah 62. Cari semua , yang mana .
Kerana ia 
, kemudian, menggunakan formula
, 
Untuk mengekstrak akar, kita dapat 
,
Oleh itu, 
, 
,
, 
.
Titik yang sepadan dengan nombor terletak pada bucu segi empat sama yang ditulis dalam bulatan jejari 2 dengan pusat pada titik (0;0) (Rajah 30).
Jawapan: , ,
, .
Masalah 63. Selesaikan persamaan 
, .
Mengikut syarat ; oleh itu, persamaan ini tidak mempunyai punca, dan oleh itu ia adalah bersamaan dengan persamaan.
Untuk nombor z menjadi punca persamaan ini, nombor itu mestilah punca ke-n bagi nombor 1.
Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa persamaan asal mempunyai punca yang ditentukan daripada kesamaan
, 
Oleh itu, 
,
i.e. 
,
Jawapan: 
.
Masalah 64. Selesaikan persamaan dalam set nombor kompleks.
Oleh kerana nombor itu bukan punca persamaan ini, maka untuk persamaan ini adalah bersamaan dengan persamaan
Iaitu, persamaan.
Semua punca persamaan ini diperoleh daripada formula (lihat masalah 62):
; 
; ; 
; 
.
Masalah 65. Lukiskan pada satah kompleks satu set titik yang memenuhi ketaksamaan: 
. (cara kedua untuk menyelesaikan masalah 45)
biarlah 
.
Nombor kompleks yang mempunyai modul yang sama sepadan dengan titik dalam satah yang terletak pada bulatan berpusat pada asal, oleh itu ketaksamaan 
memenuhi semua titik gelang terbuka yang dibatasi oleh bulatan dengan pusat sepunya pada asalan dan jejari dan (Rajah 31). Biarkan beberapa titik satah kompleks sepadan dengan nombor w0. Nombor 
, mempunyai modul beberapa kali lebih kecil daripada modul w0, dan hujah yang lebih besar daripada hujah w0. Dari sudut pandangan geometri, titik yang sepadan dengan w1 boleh diperoleh dengan menggunakan homotheti dengan pusat pada asalan dan pekali, serta putaran relatif kepada asalan dengan sudut lawan jam. Hasil daripada menggunakan kedua-dua penjelmaan ini pada titik gelang (Rajah 31), yang terakhir akan berubah menjadi gelang yang dibatasi oleh bulatan dengan pusat dan jejari 1 dan 2 yang sama (Rajah 32).
Penukaran 
dilaksanakan menggunakan pemindahan selari kepada vektor. Dengan memindahkan cincin dengan pusat pada titik ke vektor yang ditunjukkan, kami memperoleh cincin dengan saiz yang sama dengan pusat pada titik (Rajah 22).
Kaedah yang dicadangkan, yang menggunakan idea transformasi geometri satah, mungkin kurang mudah untuk diterangkan, tetapi sangat elegan dan berkesan.
Masalah 66. Cari jika 
.
Biar , kemudian dan . Persamaan awal akan mengambil bentuk 
. Daripada keadaan kesamaan dua nombor kompleks kita peroleh , , daripada mana , . Justeru, .
Mari kita tulis nombor z dalam bentuk trigonometri:
, Di mana , . Menurut formula Moivre, kami dapati .
Jawapan: – 64.
Masalah 67. Untuk nombor kompleks, cari semua nombor kompleks seperti , dan 
.
Mari kita wakili nombor dalam bentuk trigonometri:
. Dari sini, . Untuk nombor yang kita dapat , boleh sama dengan atau .
Dalam kes pertama 
, pada yang kedua
.
Jawapan: , 
.
Masalah 68. Cari hasil tambah nombor tersebut yang . Sila nyatakan salah satu daripada nombor ini.
Perhatikan bahawa daripada rumusan masalah itu boleh difahami bahawa jumlah punca persamaan boleh didapati tanpa mengira punca itu sendiri. Sesungguhnya, jumlah punca-punca persamaan 
ialah pekali untuk , diambil dengan tanda bertentangan (teorem Vieta umum), i.e.
Pelajar, dokumentasi sekolah, membuat kesimpulan tentang tahap penguasaan konsep ini. Merumuskan kajian tentang ciri-ciri pemikiran matematik dan proses pembentukan konsep nombor kompleks. Penerangan kaedah. Diagnostik: Peringkat I. Perbualan telah dijalankan dengan seorang guru matematik yang mengajar algebra dan geometri di darjah 10. Perbualan itu berlaku setelah beberapa lama berlalu sejak awal...
Resonans" (!)), yang juga termasuk penilaian tingkah laku sendiri. 4. Penilaian kritikal terhadap pemahaman seseorang tentang situasi (keraguan). 5. Akhir sekali, penggunaan cadangan dari psikologi undang-undang (peguam mengambil kira psikologi aspek tindakan profesional yang dilakukan - kesediaan psikologi profesional). Sekarang mari kita pertimbangkan analisis psikologi fakta undang-undang...
Matematik penggantian trigonometri dan menguji keberkesanan metodologi pengajaran yang dibangunkan. Peringkat kerja: 1. Pembangunan kursus pilihan mengenai topik: "Aplikasi penggantian trigonometri untuk menyelesaikan masalah algebra" dengan pelajar dalam kelas dengan matematik lanjutan. 2. Mengendalikan kursus elektif yang dibangunkan. 3. Menjalankan ujian diagnostik...
Tugas kognitif hanya bertujuan untuk melengkapkan alat bantu mengajar yang sedia ada dan mestilah dalam kombinasi yang sesuai dengan semua cara tradisional dan elemen proses pendidikan. Perbezaan antara masalah pendidikan dalam pengajaran kemanusiaan dan yang tepat, dari masalah matematik, hanya dalam masalah sejarah tidak ada formula, algoritma yang ketat, dan lain-lain, yang merumitkan penyelesaiannya. ...
NOMBOR KOMPLEKS XI
§ 256. Bentuk trigonometri nombor kompleks
Biarkan nombor kompleks a + bi vektor sepadan O.A.> dengan koordinat ( a, b ) (lihat Rajah 332).
Mari kita nyatakan panjang vektor ini dengan r , dan sudut yang dibuatnya dengan paksi X , melalui φ . Mengikut takrif sinus dan kosinus:
a / r =kos φ , b / r = dosa φ .
sebab tu A = r cos φ , b = r dosa φ . Tetapi dalam kes ini nombor kompleks a + bi boleh ditulis sebagai:
a + bi = r cos φ + ir dosa φ = r (cos φ + i dosa φ ).
Seperti yang anda ketahui, kuasa dua panjang mana-mana vektor adalah sama dengan jumlah kuasa dua koordinatnya. sebab tu r 2 = a 2 + b 2, dari mana r = √a 2 + b 2
Jadi, sebarang nombor kompleks a + bi boleh diwakili dalam bentuk :
a + bi = r (cos φ + i dosa φ ), (1)
di mana r = √a 2 + b 2 dan sudut φ ditentukan dari syarat:
Bentuk penulisan nombor kompleks ini dipanggil trigonometri.
Nombor r dalam formula (1) dipanggil modul, dan sudut φ - hujah, nombor kompleks a + bi .
Jika nombor kompleks a + bi tidak sama dengan sifar, maka modulusnya adalah positif; jika a + bi = 0, maka a = b = 0 dan kemudian r = 0.
Modulus mana-mana nombor kompleks ditentukan secara unik.
Jika nombor kompleks a + bi tidak sama dengan sifar, maka hujahnya ditentukan oleh formula (2) pasti tepat kepada sudut yang boleh dibahagikan dengan 2 π . Jika a + bi = 0, maka a = b = 0. Dalam kes ini r = 0. Daripada rumus (1) adalah mudah untuk memahami bahawa sebagai hujah φ dalam kes ini, anda boleh memilih mana-mana sudut: selepas semua, untuk mana-mana φ
0 (kos φ + i dosa φ ) = 0.
Oleh itu hujah nol tidak ditentukan.
Modulus nombor kompleks r kadangkala dilambangkan | z |, dan hujah arg z . Mari kita lihat beberapa contoh mewakili nombor kompleks dalam bentuk trigonometri.
Contoh. 1. 1 + i .
Jom cari modul r dan hujah φ nombor ini.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Oleh itu dosa φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, dari mana φ = π / 4 + 2nπ .
Oleh itu,
1 + i = √ 2 ,
di mana P - sebarang integer. Biasanya, daripada set nilai tak terhingga hujah nombor kompleks, satu dipilih iaitu antara 0 dan 2 π . Dalam kes ini, nilai ini ialah π / 4 . sebab tu
1 + i = √ 2 (kos π / 4 + i dosa π / 4)
Contoh 2. Tulis nombor kompleks dalam bentuk trigonometri √ 3 - i . Kami ada:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, dosa φ = - 1 / 2
Oleh itu, sehingga sudut boleh dibahagikan dengan 2 π , φ = 11 / 6 π ; oleh itu,
√ 3 - i = 2(kos 11 / 6 π + i dosa 11/6 π ).
Contoh 3 Tulis nombor kompleks dalam bentuk trigonometri i.
Nombor kompleks i vektor sepadan O.A.> , berakhir pada titik A paksi di dengan ordinat 1 (Rajah 333). Panjang vektor sedemikian ialah 1, dan sudut yang dibuatnya dengan paksi-x adalah sama dengan π / 2. sebab tu
i =kos π / 2 + i dosa π / 2 .
Contoh 4. Tulis nombor kompleks 3 dalam bentuk trigonometri.
Nombor kompleks 3 sepadan dengan vektor O.A. > X abscissa 3 (Gamb. 334).
Panjang vektor tersebut ialah 3, dan sudut yang dibuatnya dengan paksi-x ialah 0. Oleh itu
3 = 3 (kos 0 + i dosa 0),
Contoh 5. Tulis nombor kompleks -5 dalam bentuk trigonometri.
Nombor kompleks -5 sepadan dengan vektor O.A.> berakhir pada titik paksi X dengan abscissa -5 (Gamb. 335). Panjang vektor sedemikian ialah 5, dan sudut yang terbentuk dengan paksi-x adalah sama dengan π . sebab tu
5 = 5(kos π + i dosa π ).
Senaman
2047. Tulis nombor kompleks ini dalam bentuk trigonometri, tentukan modul dan hujahnya:
1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;
2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;
3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.
2048. Nyatakan pada satah satu set titik yang mewakili nombor kompleks yang moduli r dan hujah φ memenuhi syarat:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Bolehkah nombor serentak menjadi modulus bagi nombor kompleks? r Dan - r ?
2050. Bolehkah hujah nombor kompleks serentak menjadi sudut? φ Dan - φ ?
Kemukakan nombor kompleks ini dalam bentuk trigonometri, mentakrifkan modul dan hujahnya:
2051*. 1 + cos α + i dosa α . 2054*. 2(cos 20° - i dosa 20°).
2052*. dosa φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i dosa 15°).