Jumlah janjang geometri tak terhingga di. Sentiasa berada dalam mood

Tahap pertama

Janjang geometri. Panduan komprehensif dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satu daripadanya boleh diberikan nombor unik.

Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.

Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-n bagi jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Jenis janjang yang paling biasa ialah aritmetik dan geometri. Dalam topik ini kita akan bercakap tentang jenis kedua - janjang geometri.

Mengapakah janjang geometri diperlukan dan sejarahnya?

Malah pada zaman purba, sami ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa (lebih dikenali sebagai Fibonacci) menangani keperluan praktikal perdagangan. Rahib itu dihadapkan dengan tugas untuk menentukan berapakah bilangan pemberat terkecil yang boleh digunakan untuk menimbang sesuatu produk? Dalam karyanya, Fibonacci membuktikan bahawa sistem pemberat sebegini adalah optimum: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang terpaksa berurusan dengan janjang geometri, yang mungkin anda pernah dengar dan mempunyai sekurang-kurangnya pemahaman umum. Setelah anda memahami sepenuhnya topik tersebut, fikirkan mengapa sistem sedemikian adalah optimum?

Pada masa ini, dalam amalan kehidupan, perkembangan geometri menunjukkan dirinya apabila melabur wang di bank, apabila jumlah faedah diakru pada jumlah terkumpul dalam akaun untuk tempoh sebelumnya. Dalam erti kata lain, jika anda meletakkan wang pada deposit masa di bank simpanan, maka selepas setahun deposit akan meningkat dengan jumlah asal, i.e. jumlah baru akan sama dengan sumbangan didarab dengan. Pada tahun yang lain, jumlah ini akan meningkat sebanyak, i.e. jumlah yang diperoleh pada masa itu akan didarab semula dan seterusnya. Keadaan yang sama diterangkan dalam masalah mengira apa yang dipanggil faedah kompaun- peratusan diambil setiap kali daripada jumlah yang ada dalam akaun, dengan mengambil kira faedah sebelumnya. Kita akan bercakap tentang tugas-tugas ini sedikit kemudian.

Terdapat banyak lagi kes mudah di mana janjang geometri digunakan. Sebagai contoh, penyebaran influenza: seseorang menjangkiti orang lain, mereka pula menjangkiti orang lain, dan dengan itu gelombang kedua jangkitan adalah seseorang, dan mereka pula menjangkiti orang lain... dan seterusnya.. .

By the way, piramid kewangan, MMM yang sama, adalah pengiraan yang mudah dan kering berdasarkan sifat janjang geometri. Menarik? Mari kita fikirkan.

Janjang geometri.

Katakan kita mempunyai urutan nombor:

Anda akan segera menjawab bahawa ini adalah mudah dan nama jujukan sedemikian ialah janjang aritmetik dengan perbezaan sebutannya. Bagaimana pula ini:

Jika anda menolak yang sebelumnya daripada nombor seterusnya, anda akan melihat bahawa setiap kali anda mendapat perbezaan baharu (dan seterusnya), tetapi urutan itu pasti wujud dan mudah untuk diperhatikan - setiap nombor berikutnya adalah kali lebih besar daripada yang sebelumnya!

Urutan nombor jenis ini dipanggil janjang geometri dan ditetapkan.

Janjang geometri () ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

Sekatan bahawa sebutan pertama ( ) tidak sama dan tidak rawak. Mari kita anggap bahawa mereka tidak ada, dan sebutan pertama masih sama, dan q adalah sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata:

Setuju bahawa ini bukan lagi kemajuan.

Seperti yang anda faham, kami akan mendapat keputusan yang sama jika terdapat sebarang nombor selain sifar, a. Dalam kes ini, tidak akan ada janjang, kerana keseluruhan siri nombor sama ada semua sifar, atau satu nombor, dan semua yang lain akan menjadi sifar.

Sekarang mari kita bercakap dengan lebih terperinci tentang penyebut janjang geometri, iaitu, o.

Mari kita ulangi: - ini adalah nombor berapa kalikah setiap sebutan berikutnya berubah? janjang geometri.

Apa yang anda fikir ia boleh jadi? Betul, positif dan negatif, tetapi bukan sifar (kami bercakap tentang ini lebih tinggi sedikit).

Mari kita anggap bahawa kita adalah positif. Biar dalam kes kita, a. Apakah nilai sebutan kedua dan? Anda boleh menjawabnya dengan mudah:

betul tu. Sehubungan itu, jika, maka semua terma perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka adalah positif.

Bagaimana jika ia negatif? Contohnya, a. Apakah nilai sebutan kedua dan?

Ini adalah cerita yang sama sekali berbeza

Cuba kira terma janjang ini. Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada. Oleh itu, jika, maka tanda-tanda istilah janjang geometri itu silih berganti. Iaitu, jika anda melihat janjang dengan tanda berselang-seli untuk ahlinya, maka penyebutnya adalah negatif. Pengetahuan ini boleh membantu anda menguji diri anda semasa menyelesaikan masalah mengenai topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: cuba tentukan jujukan nombor yang mana merupakan janjang geometri dan yang mana janjang aritmetik:

faham? Mari bandingkan jawapan kami:

Janjang geometri - 3, 6.
Janjang aritmetik - 2, 4.
Ia bukan aritmetik mahupun janjang geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke janjang terakhir kita dan cuba mencari ahlinya, sama seperti dalam aritmetik. Seperti yang anda mungkin telah meneka, terdapat dua cara untuk mencarinya.

Kami mendarabkan setiap sebutan dengan berturut-turut.

Jadi, sebutan ke bagi janjang geometri yang diterangkan adalah sama dengan.

Seperti yang telah anda duga, kini anda sendiri akan memperoleh formula yang akan membantu anda mencari mana-mana ahli janjang geometri. Atau adakah anda telah membangunkannya sendiri, menerangkan cara mencari ahli ke-1 langkah demi langkah? Jika ya, maka semak ketepatan alasan anda.

Mari kita gambarkan ini dengan contoh mencari istilah ke-janjang ini:

Dalam kata lain:

Cari sendiri nilai sebutan bagi janjang geometri yang diberikan.

Terjadi? Mari bandingkan jawapan kami:

Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kita didarab secara berurutan dengan setiap sebutan sebelumnya bagi janjang geometri.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini - mari letakkannya dalam bentuk umum dan dapatkan:

Formula terbitan adalah benar untuk semua nilai - baik positif dan negatif. Semak ini sendiri dengan mengira terma janjang geometri dengan syarat berikut: , a.

Adakah anda mengira? Mari bandingkan hasilnya:

Setuju bahawa adalah mungkin untuk mencari istilah janjang dengan cara yang sama seperti istilah, walau bagaimanapun, terdapat kemungkinan pengiraan yang salah. Dan jika kita telah menemui istilah ke-janjang geometri, maka apa yang lebih mudah daripada menggunakan bahagian "dipotong" formula.

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

Baru-baru ini, kita bercakap tentang hakikat bahawa ia boleh sama ada lebih besar atau kurang daripada sifar, namun, terdapat nilai khas yang mana janjang geometri dipanggil semakin berkurangan.

Mengapa anda fikir nama ini diberikan?
Mula-mula, mari kita tuliskan beberapa janjang geometri yang terdiri daripada sebutan.
Katakan, kemudian:

Kami melihat bahawa setiap sebutan berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya dengan faktor, tetapi adakah terdapat sebarang nombor? Anda akan segera menjawab - "tidak". Itulah sebabnya ia berkurangan tidak terhingga - ia berkurangan dan berkurangan, tetapi tidak pernah menjadi sifar.

Untuk memahami dengan jelas bagaimana ini kelihatan secara visual, mari cuba lukis graf perkembangan kami. Jadi, untuk kes kami, formula mengambil bentuk berikut:

Pada graf kami terbiasa merencanakan pergantungan, oleh itu:

Intipati ungkapan tidak berubah: dalam entri pertama kami menunjukkan pergantungan nilai ahli janjang geometri pada nombor ordinalnya, dan dalam entri kedua kami hanya mengambil nilai ahli janjang geometri sebagai , dan menetapkan nombor ordinal bukan sebagai, tetapi sebagai. Apa yang perlu dilakukan ialah membina graf.
Mari lihat apa yang anda dapat. Inilah graf yang saya hasilkan:

Adakah kamu nampak? Fungsi berkurangan, cenderung kepada sifar, tetapi tidak pernah melepasinya, jadi ia berkurangan secara tidak terhingga. Mari kita tandai titik kita pada graf, dan pada masa yang sama maksud dan koordinat:

Cuba gambarkan secara skematik graf janjang geometri jika sebutan pertamanya juga sama. Analisis apakah perbezaan dengan graf kami yang terdahulu?

Adakah anda berjaya? Inilah graf yang saya hasilkan:

Memandangkan anda telah memahami sepenuhnya asas topik janjang geometri: anda tahu apa itu, anda tahu cara mencari istilahnya, dan anda juga tahu apa itu janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga, mari kita beralih kepada sifat utamanya.

Sifat janjang geometri.

Adakah anda masih ingat sifat sebutan bagi janjang aritmetik? Ya, ya, bagaimana untuk mencari nilai nombor janjang tertentu apabila terdapat nilai sebelumnya dan seterusnya bagi syarat janjang ini. Adakah awak ingat? ini:

Sekarang kita berhadapan dengan soalan yang sama untuk istilah janjang geometri. Untuk mendapatkan formula sedemikian, mari kita mula melukis dan membuat penaakulan. Anda akan lihat, ia sangat mudah, dan jika anda terlupa, anda boleh mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil satu lagi janjang geometri yang mudah, di mana kita tahu dan. Bagaimana untuk mencari? Dengan janjang aritmetik ia adalah mudah dan ringkas, tetapi bagaimana pula di sini? Malah, tidak ada yang rumit dalam geometri sama ada - anda hanya perlu menulis setiap nilai yang diberikan kepada kami mengikut formula.

Anda mungkin bertanya, apa yang perlu kita lakukan mengenainya sekarang? Ya, sangat mudah. Mula-mula, mari kita gambarkan formula ini dalam gambar dan cuba lakukan pelbagai manipulasi dengannya untuk mencapai nilai.

Mari kita abstrak dari nombor yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui formula. Kita perlu mencari nilai yang diserlahkan dalam oren, mengetahui istilah yang bersebelahan dengannya. Mari kita cuba melakukan pelbagai tindakan dengan mereka, akibatnya kita boleh dapatkan.

Penambahan.
Mari cuba tambah dua ungkapan dan kita dapat:

Daripada ungkapan ini, seperti yang anda lihat, kami tidak boleh menyatakannya dengan cara apa pun, oleh itu, kami akan mencuba pilihan lain - penolakan.

Penolakan.

Seperti yang anda lihat, kita tidak boleh menyatakan ini sama ada, oleh itu, mari kita cuba untuk mendarabkan ungkapan ini dengan satu sama lain.

Pendaraban.

Sekarang lihat dengan teliti apa yang kita ada dengan mendarabkan istilah janjang geometri yang diberikan kepada kita berbanding dengan apa yang perlu dijumpai:

Cuba teka apa yang saya cakapkan? Betul, untuk mencari kita perlu mengambil punca kuasa dua nombor janjang geometri bersebelahan dengan yang dikehendaki didarab dengan satu sama lain:

Di sini anda pergi. Anda sendiri memperoleh sifat janjang geometri. Cuba tulis formula ini dalam bentuk umum. Terjadi?

Lupa syarat untuk? Fikirkan mengapa ia penting, contohnya, cuba kira sendiri. Apa yang akan berlaku dalam kes ini? Betul, mengarut sepenuhnya kerana formulanya kelihatan seperti ini:

Oleh itu, jangan lupa had ini.

Sekarang mari kita kira apa yang sama

Jawapan yang betul - ! Jika anda tidak melupakan nilai kedua yang mungkin semasa pengiraan, maka anda hebat dan boleh terus ke latihan, dan jika anda terlupa, baca apa yang dibincangkan di bawah dan perhatikan mengapa kedua-dua akar perlu ditulis dalam jawapan.

Mari kita lukis kedua-dua janjang geometri kita - satu dengan nilai dan satu lagi dengan nilai dan semak sama ada kedua-duanya mempunyai hak untuk wujud:

Untuk menyemak sama ada janjang geometri sedemikian wujud atau tidak, adalah perlu untuk melihat sama ada semua istilah yang diberikan adalah sama? Kira q untuk kes pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita perlu menulis dua jawapan? Kerana tanda istilah yang anda cari bergantung kepada sama ada positif atau negatif! Dan kerana kita tidak tahu apa itu, kita perlu menulis kedua-dua jawapan dengan tambah dan tolak.

Sekarang anda telah menguasai perkara utama dan memperoleh formula untuk sifat janjang geometri, cari, mengetahui dan

Bandingkan jawapan anda dengan jawapan yang betul:

Apa pendapat anda, bagaimana jika kita diberi bukan nilai-nilai terma janjang geometri yang bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki, tetapi sama jarak daripadanya. Sebagai contoh, kita perlu mencari, dan diberi dan. Bolehkah kita menggunakan formula yang kita perolehi dalam kes ini? Cuba untuk mengesahkan atau menafikan kemungkinan ini dengan cara yang sama, menerangkan kandungan setiap nilai, seperti yang anda lakukan semasa anda asalnya memperoleh formula, di.
Apa yang kamu dapat?

Sekarang lihat dengan teliti sekali lagi.
dan sepadan:

Dari sini kita boleh menyimpulkan bahawa formula berfungsi bukan sahaja dengan jiran dengan sebutan janjang geometri yang dikehendaki, tetapi juga dengan sama jarak dari apa yang ahli cari.

Oleh itu, formula awal kami mengambil bentuk:

Iaitu, jika dalam kes pertama kita berkata demikian, sekarang kita mengatakan bahawa ia boleh sama dengan mana-mana nombor asli yang lebih kecil. Perkara utama ialah ia adalah sama untuk kedua-dua nombor yang diberikan.

Berlatih dengan contoh khusus, hanya berhati-hati!

, . Cari.
, . Cari.
, . Cari.

Memutuskan? Saya harap anda sangat prihatin dan perasan sedikit tangkapan.

Mari bandingkan hasilnya.

Dalam dua kes pertama, kami menggunakan formula di atas dengan tenang dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kes ketiga, apabila kita teliti nombor siri nombor yang diberikan kepada kita, kita faham bahawa ia tidak sama jarak dengan nombor yang kita cari: ia adalah nombor sebelumnya, tetapi dialih keluar pada kedudukan, jadi ia adalah tidak boleh menggunakan formula.

Bagaimana untuk menyelesaikannya? Ia sebenarnya tidak sesukar yang disangka! Mari kita tuliskan apa yang terkandung dalam setiap nombor yang diberikan kepada kita dan nombor yang kita cari.

Jadi kita ada dan. Mari lihat apa yang boleh kita lakukan dengan mereka? Saya cadangkan bahagikan dengan. Kita mendapatkan:

Kami menggantikan data kami ke dalam formula:

Langkah seterusnya yang boleh kita temui ialah - untuk ini kita perlu mengambil punca kubus nombor yang terhasil.

Sekarang mari kita lihat semula apa yang kita ada. Kami memilikinya, tetapi kami perlu mencarinya, dan ia, seterusnya, adalah sama dengan:

Kami menemui semua data yang diperlukan untuk pengiraan. Gantikan ke dalam formula:

Jawapan kami: .

Cuba selesaikan masalah serupa yang lain sendiri:
Diberi: ,
Cari:

Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada - .

Seperti yang anda lihat, pada asasnya anda perlukan ingat hanya satu formula- . Anda boleh mengeluarkan semua selebihnya sendiri tanpa sebarang kesulitan pada bila-bila masa. Untuk melakukan ini, hanya tulis janjang geometri yang paling mudah pada sekeping kertas dan tuliskan jumlah yang sama dengan setiap nombornya, mengikut formula yang diterangkan di atas.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri.

Sekarang mari kita lihat formula yang membolehkan kita mengira dengan cepat jumlah sebutan bagi janjang geometri dalam selang tertentu:

Untuk mendapatkan formula bagi jumlah sebutan bagi janjang geometri terhingga, kita darabkan semua bahagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:

Lihat dengan teliti: apakah persamaan dua formula terakhir? Betul, ahli biasa, contohnya, dan sebagainya, kecuali ahli pertama dan terakhir. Mari cuba tolak 1 daripada persamaan ke-2. Apa yang kamu dapat?

Sekarang nyatakan istilah janjang geometri melalui formula dan gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam formula terakhir kami:

Kumpulan ungkapan. Anda sepatutnya mendapat:

Apa yang perlu dilakukan ialah menyatakan:

Sehubungan itu, dalam kes ini.

Bagaimana jika? Apakah formula yang berfungsi kemudian? Bayangkan satu janjang geometri di. Apa yang dia suka? Satu siri nombor yang sama adalah betul, jadi formula akan kelihatan seperti ini:

Terdapat banyak legenda tentang janjang aritmetik dan geometri. Salah satunya ialah legenda Set, pencipta catur.

Ramai orang tahu bahawa permainan catur dicipta di India. Apabila raja Hindu bertemu dengannya, baginda gembira dengan kecerdasannya dan pelbagai jawatan yang mungkin dalam dirinya. Setelah mengetahui bahawa ia dicipta oleh salah seorang rakyatnya, raja memutuskan untuk memberinya ganjaran secara peribadi. Dia memanggil pencipta kepada dirinya sendiri dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling mahir sekalipun.

Seta meminta masa untuk berfikir, dan apabila keesokan harinya Seta menghadap raja, dia mengejutkan raja dengan kesopanan yang belum pernah terjadi sebelumnya dari permintaannya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, sebutir gandum untuk yang kedua, sebutir gandum untuk ketiga, seperempat, dsb.

Raja marah dan menghalau Set, mengatakan bahawa permintaan hamba itu tidak layak untuk kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahawa hamba akan menerima bijirinnya untuk semua petak papan.

Dan sekarang persoalannya: menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri, hitung berapa banyak butir yang perlu diterima oleh Seth?

Mari kita mulakan alasan. Oleh kerana, mengikut syarat, Seth meminta sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dan lain-lain, maka kita melihat bahawa masalahnya adalah mengenai janjang geometri. Apakah persamaan dalam kes ini?
Betul.

Jumlah segi empat sama papan catur. Masing-masing, . Kami mempunyai semua data, yang tinggal hanyalah memasukkannya ke dalam formula dan mengira.

Untuk membayangkan sekurang-kurangnya lebih kurang "skala" nombor tertentu, kami mengubah menggunakan sifat darjah:

Sudah tentu, jika anda mahu, anda boleh mengambil kalkulator dan mengira nombor yang anda habiskan, dan jika tidak, anda perlu mengambil kata-kata saya untuk itu: nilai akhir ungkapan itu.
Itu dia:

quintillion quadrillion trilion billion million thousand.

Fuh) Jika anda ingin membayangkan betapa besarnya bilangan ini, maka anggarkan berapa besar kandang yang diperlukan untuk menampung keseluruhan jumlah bijirin.
Jika bangsal itu m tinggi dan m lebar, panjangnya perlu memanjang sejauh km, i.e. dua kali lebih jauh dari Bumi ke Matahari.

Sekiranya raja itu kuat dalam matematik, dia boleh menjemput saintis itu sendiri untuk mengira bijirin, kerana untuk mengira sejuta biji, dia memerlukan sekurang-kurangnya satu hari pengiraan tanpa jemu, dan memandangkan perlu untuk mengira kuintilon, bijirin. perlu dikira sepanjang hayatnya.

Sekarang mari kita selesaikan masalah mudah yang melibatkan jumlah sebutan bagi janjang geometri.
Seorang pelajar kelas 5A Vasya jatuh sakit akibat selesema, tetapi terus pergi ke sekolah. Setiap hari Vasya menjangkiti dua orang, yang seterusnya menjangkiti dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang dalam kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan sakit dengan selesema?

Jadi, istilah pertama janjang geometri ialah Vasya, iaitu seseorang. Penggal ke-3 janjang geometri ialah dua orang yang dijangkitinya pada hari pertama ketibaannya. Jumlah keseluruhan sebutan janjang adalah sama dengan bilangan pelajar 5A. Sehubungan itu, kita bercakap tentang perkembangan di mana:

Mari kita gantikan data kita ke dalam formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri:

Seluruh kelas akan jatuh sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya formula dan nombor? Cuba gambarkan sendiri "jangkitan" pelajar. Terjadi? Lihat bagaimana ia kelihatan untuk saya:

Kira sendiri berapa hari yang diperlukan untuk pelajar jatuh sakit dengan selesema jika setiap orang menjangkiti seseorang, dan hanya ada seorang di dalam kelas.

Apakah nilai yang anda dapat? Ternyata semua orang mula sakit selepas sehari.

Seperti yang anda lihat, tugas sedemikian dan lukisan untuknya menyerupai piramid, di mana setiap yang berikutnya "membawa" orang baru. Walau bagaimanapun, lambat laun tiba masanya apabila yang terakhir tidak dapat menarik sesiapa pun. Dalam kes kita, jika kita membayangkan bahawa kelas itu terpencil, orang dari menutup rantai (). Oleh itu, jika seseorang terlibat dalam piramid kewangan di mana wang diberikan jika anda membawa dua peserta lain, maka orang itu (atau secara amnya) tidak akan membawa sesiapa, dengan itu, akan kehilangan semua yang mereka laburkan dalam penipuan kewangan ini.

Semua yang dinyatakan di atas merujuk kepada janjang geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang anda ingat, kami mempunyai jenis khas - janjang geometri yang berkurangan tanpa had. Bagaimana untuk mengira jumlah ahlinya? Dan mengapa jenis perkembangan ini mempunyai ciri-ciri tertentu? Mari kita fikirkan bersama.

Jadi, mula-mula, mari kita lihat semula lukisan janjang geometri yang semakin berkurangan dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat formula untuk jumlah janjang geometri, yang diperoleh sedikit lebih awal:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, graf menunjukkan bahawa ia cenderung kepada sifar. Iaitu, pada, akan menjadi hampir sama, masing-masing, apabila mengira ungkapan yang kita akan dapat hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahawa apabila mengira jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga, kurungan ini boleh diabaikan, kerana ia akan sama.

- formula ialah hasil tambah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga.

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika keadaan menyatakan secara eksplisit bahawa kita perlu mencari jumlah tak terhingga bilangan ahli.

Jika nombor tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan formula untuk jumlah n sebutan, walaupun jika atau.

Sekarang mari kita berlatih.

Cari hasil tambah sebutan pertama janjang geometri dengan dan.
Cari hasil tambah sebutan bagi janjang geometri menyusut tak terhingga dengan dan.

Saya harap anda sangat berhati-hati. Mari bandingkan jawapan kami:

Kini anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri, dan sudah tiba masanya untuk beralih dari teori kepada amalan. Masalah janjang geometri yang paling biasa dihadapi pada peperiksaan ialah masalah mengira faedah kompaun. Inilah yang akan kita bincangkan.

Masalah pengiraan faedah kompaun.

Anda mungkin pernah mendengar apa yang dipanggil formula faedah kompaun. Adakah anda faham maksudnya? Jika tidak, mari kita fikirkan, kerana sebaik sahaja anda memahami proses itu sendiri, anda akan segera memahami apa kaitan janjang geometri dengannya.

Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahawa terdapat syarat yang berbeza untuk deposit: ini termasuk terma, perkhidmatan tambahan, dan faedah dengan dua cara berbeza untuk mengiranya - mudah dan kompleks.

DENGAN minat mudah semuanya lebih kurang jelas: faedah terakru sekali pada akhir tempoh deposit. Iaitu, jika kita mengatakan bahawa kita mendepositkan 100 rubel selama setahun, maka mereka akan dikreditkan hanya pada akhir tahun. Oleh itu, pada akhir deposit kami akan menerima rubel.

Faedah kompaun- ini adalah pilihan di mana ia berlaku permodalan faedah, iaitu penambahan mereka kepada amaun deposit dan pengiraan pendapatan seterusnya bukan dari permulaan, tetapi daripada jumlah deposit terkumpul. Huruf besar tidak berlaku secara berterusan, tetapi dengan beberapa kekerapan. Sebagai peraturan, tempoh tersebut adalah sama dan paling kerap bank menggunakan sebulan, suku atau tahun.

Katakan kita mendepositkan rubel yang sama setiap tahun, tetapi dengan permodalan bulanan deposit. Apa yang kita buat?

Adakah anda memahami segala-galanya di sini? Jika tidak, mari kita fikirkan langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Menjelang akhir bulan, kami sepatutnya mempunyai jumlah dalam akaun kami yang terdiri daripada rubel kami ditambah faedah ke atasnya, iaitu:

Setuju?

Kita boleh mengeluarkannya daripada kurungan dan kemudian kita mendapat:

Setuju, formula ini sudah lebih serupa dengan apa yang kami tulis pada mulanya. Apa yang tinggal ialah memikirkan peratusan

Dalam penyataan masalah kita diberitahu tentang kadar tahunan. Seperti yang anda ketahui, kami tidak mendarab dengan - kami menukar peratusan kepada pecahan perpuluhan, iaitu:

Betul ke? Sekarang anda mungkin bertanya, dari mana datangnya nombor itu? Sangat ringkas!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN faedah yang terakru BULANAN. Seperti yang anda ketahui, dalam satu tahun bulan, sewajarnya, bank akan mengenakan kami sebahagian daripada faedah tahunan setiap bulan:

menyedarinya? Sekarang cuba tulis bagaimana bahagian formula ini akan kelihatan jika saya katakan bahawa faedah dikira setiap hari.
Adakah anda berjaya? Mari bandingkan hasilnya:

Bagus! Mari kembali kepada tugas kami: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke akaun kami pada bulan kedua, dengan mengambil kira faedah terakru pada jumlah deposit terkumpul.
Inilah yang saya dapat:

Atau, dengan kata lain:

Saya fikir anda telah pun melihat corak dan melihat janjang geometri dalam semua ini. Tuliskan jumlah ahlinya, atau, dengan kata lain, jumlah wang yang akan kami terima pada akhir bulan.
Adakah? Jom semak!

Seperti yang anda lihat, jika anda meletakkan wang di bank selama setahun pada kadar faedah yang mudah, anda akan menerima rubel, dan jika pada kadar faedah kompaun, anda akan menerima rubel. Faedahnya kecil, tetapi ini hanya berlaku pada tahun ke-, tetapi untuk tempoh yang lebih lama, permodalan adalah lebih menguntungkan:

Mari kita lihat satu lagi jenis masalah yang melibatkan faedah kompaun. Selepas apa yang anda fikirkan, ia akan menjadi asas untuk anda. Jadi, tugas:

Syarikat Zvezda mula melabur dalam industri pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak 2001, ia telah menerima keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. Berapakah keuntungan yang akan diterima oleh syarikat Zvezda pada penghujung tahun 2003 jika keuntungan tidak dikeluarkan daripada edaran?

Modal syarikat Zvezda pada tahun 2000.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2001.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2002.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita boleh menulis secara ringkas:

Untuk kes kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Sila ambil perhatian bahawa dalam masalah ini kami tidak mempunyai pembahagian sama ada oleh atau oleh, kerana peratusan diberikan SECARA TAHUNAN dan ia dikira SECARA TAHUNAN. Iaitu, apabila membaca masalah mengenai faedah kompaun, perhatikan berapa peratusan yang diberikan dan dalam tempoh berapa ia dikira, dan hanya kemudian teruskan ke pengiraan.
Sekarang anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri.

Latihan.

Cari sebutan janjang geometri jika diketahui bahawa, dan
Cari hasil tambah sebutan pertama janjang geometri itu jika diketahui bahawa, dan
Syarikat MDM Capital mula melabur dalam industri pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak 2004, ia telah menerima keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. Syarikat MSK Cash Flows mula melabur dalam industri pada tahun 2005 dalam jumlah $10,000, mula membuat keuntungan pada tahun 2006 dalam jumlah. Berapakah jumlah modal sesebuah syarikat lebih besar daripada yang lain pada penghujung tahun 2007, jika keuntungan tidak dikeluarkan daripada edaran?

Jawapan:

Oleh kerana penyataan masalah tidak mengatakan bahawa janjang itu tidak terhingga dan ia diperlukan untuk mencari jumlah bilangan tertentu bagi istilahnya, pengiraan dijalankan mengikut formula:
Syarikat Modal MDM:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- meningkat sebanyak 100%, iaitu 2 kali ganda.
Masing-masing:
rubel
Syarikat MSK Aliran Tunai:
2005, 2006, 2007.
- meningkat dengan, iaitu, mengikut masa.
Masing-masing:
rubel
rubel

Mari kita ringkaskan.

1) Janjang geometri ( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

2) Persamaan sebutan bagi janjang geometri ialah .

3) boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan.

jika, maka semua istilah janjang berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka adalah positif;
jika, maka semua terma janjang berikutnya tanda ganti;
apabila - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

4), pada - sifat janjang geometri (istilah bersebelahan)

atau
, pada (istilah sama jarak)

Apabila anda menemuinya, jangan lupa itu mesti ada dua jawapan.

Sebagai contoh,

5) Jumlah sebutan bagi janjang geometri dikira dengan formula:
atau

Jika janjang menurun secara tidak terhingga, maka:
atau

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika syarat menyatakan secara eksplisit bahawa kita perlu mencari jumlah bilangan sebutan tak terhingga.

6) Masalah mengenai faedah kompaun juga dikira menggunakan formula sebutan ke- janjang geometri, dengan syarat dana belum dikeluarkan daripada edaran:

KEMAJUAN GEOMETRI. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Janjang geometri( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri.

Penyebut janjang geometri boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan.

Jika, maka semua terma perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - ia adalah positif;
jika, maka semua ahli perkembangan berikutnya tanda ganti;
apabila - janjang dipanggil menurun secara tidak terhingga.

Persamaan sebutan janjang geometri - .

Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri dikira dengan formula:
atau

Janjang geometri ialah jujukan berangka, sebutan pertamanya bukan sifar, dan setiap sebutan berikutnya adalah sama dengan sebutan sebelumnya yang didarab dengan nombor bukan sifar yang sama.

Konsep janjang geometri

Janjang geometri ditandakan b1,b2,b3, …, bn, ….

Nisbah mana-mana sebutan ralat geometri kepada sebutan sebelumnya adalah sama dengan nombor yang sama, iaitu, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ini mengikuti terus daripada takrifan janjang aritmetik. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri. Biasanya penyebut janjang geometri dilambangkan dengan huruf q.

Jumlah janjang geometri tak terhingga untuk |q|<1

Salah satu cara untuk menentukan janjang geometri ialah dengan menentukan sebutan pertamanya b1 dan penyebut ralat geometri q. Contohnya, b1=4, q=-2. Kedua-dua keadaan ini mentakrifkan janjang geometri 4, -8, 16, -32, ….

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka janjang itu ialah jujukan monoton. Contohnya, jujukan, 2, 4,8,16,32, ... ialah jujukan meningkat secara monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut dalam ralat geometri ialah q=1, maka semua sebutan janjang geometri akan sama antara satu sama lain. Dalam kes sedemikian, perkembangan itu dikatakan sebagai urutan yang tetap.

Agar urutan nombor (bn) menjadi janjang geometri, adalah perlu setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, menjadi min geometri bagi ahli jiran. Iaitu, perlu memenuhi persamaan berikut
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sebarang n>0, dengan n tergolong dalam set nombor asli N.

Sekarang mari letakkan (Xn) - janjang geometri. Penyebut bagi janjang geometri q, dan |q|∞).
Jika kita sekarang menyatakan dengan S jumlah janjang geometri tak terhingga, maka formula berikut akan digunakan:
S=x1/(1-q).

Mari lihat contoh mudah:

Cari hasil tambah janjang geometri tak terhingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Untuk mencari S, kita menggunakan formula untuk jumlah janjang aritmetik tak terhingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Matematik adalah apamanusia mengawal alam dan diri mereka sendiri.

Ahli matematik Soviet, ahli akademik A.N. Kolmogorov

Janjang geometri.

Seiring dengan masalah tentang janjang aritmetik, masalah yang berkaitan dengan konsep janjang geometri juga biasa dalam peperiksaan masuk dalam matematik. Untuk berjaya menyelesaikan masalah tersebut, anda perlu mengetahui sifat janjang geometri dan mempunyai kemahiran yang baik dalam menggunakannya.

Artikel ini ditumpukan kepada pembentangan sifat asas janjang geometri. Contoh penyelesaian masalah biasa juga disediakan di sini., dipinjam daripada tugas peperiksaan masuk dalam matematik.

Mari kita perhatikan sifat asas janjang geometri dan ingat semula formula dan pernyataan yang paling penting, dikaitkan dengan konsep ini.

Definisi. Urutan nombor dipanggil janjang geometri jika setiap nombor, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor itu dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk janjang geometriformula adalah sah

, (1)

mana . Formula (1) dipanggil formula bagi istilah umum janjang geometri, dan formula (2) mewakili sifat utama janjang geometri: setiap sebutan janjang itu bertepatan dengan min geometri bagi sebutan jiran dan .

Catatan, bahawa ia adalah tepat kerana sifat ini bahawa janjang yang dimaksudkan dipanggil "geometrik".

Formula (1) dan (2) di atas digeneralisasikan seperti berikut:

, (3)

Untuk mengira jumlah pertama ahli janjang geometriformula terpakai

Jika kita menandakan , maka

mana . Oleh kerana , formula (6) ialah generalisasi formula (5).

Dalam kes apabila dan janjang geometrisemakin berkurangan secara tidak terhingga. Untuk mengira jumlahdaripada semua sebutan janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga, formula digunakan

. (7)

Sebagai contoh , menggunakan formula (7) kita boleh tunjukkan, Apa

mana . Kesamaan ini diperoleh daripada formula (7) di bawah syarat , (kesamaan pertama) dan , (kesamaan kedua).

Teorem. Jika , maka

Bukti. Jika , maka

Teorem telah terbukti.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah mengenai topik "Kemajuan geometri".

Contoh 1. Diberi: , dan . Cari .

Penyelesaian. Jika kita menggunakan formula (5), maka

Jawapan: .

Contoh 2. Biarkanlah. Cari .

Penyelesaian. Sejak dan , kita menggunakan formula (5), (6) dan mendapatkan sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem (9) dibahagikan dengan yang pertama, kemudian atau . Ia berikutan daripada ini bahawa . Mari kita pertimbangkan dua kes.

1. Jika, maka dari persamaan pertama sistem (9) kita ada.

2. Jika , maka .

Contoh 3. Biar , dan . Cari .

Penyelesaian. Daripada formula (2) ia mengikuti bahawa atau . Sejak , kemudian atau .

Dengan syarat. Walau bagaimanapun, oleh itu. Sejak dan maka di sini kita mempunyai sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem dibahagikan dengan yang pertama, maka atau .

Oleh kerana, persamaan mempunyai punca yang sesuai yang unik. Dalam kes ini, ia mengikuti daripada persamaan pertama sistem.

Dengan mengambil kira formula (7), kami memperoleh.

Jawapan: .

Contoh 4. Diberi: dan . Cari .

Penyelesaian. Sejak itu.

Sejak , kemudian atau

Mengikut formula (2) kita ada . Dalam hal ini, daripada kesamarataan (10) kita memperoleh atau .

Walau bagaimanapun, dengan syarat, oleh itu.

Contoh 5. Adalah diketahui bahawa . Cari .

Penyelesaian. Menurut teorem, kita mempunyai dua kesamaan

Sejak , kemudian atau . Kerana, kemudian.

Jawapan: .

Contoh 6. Diberi: dan . Cari .

Penyelesaian. Dengan mengambil kira formula (5), kami memperoleh

Sejak itu. Sejak , dan , kemudian .

Contoh 7. Biarkanlah. Cari .

Penyelesaian. Mengikut formula (1) kita boleh menulis

Oleh itu, kami mempunyai atau . Adalah diketahui bahawa dan , oleh itu dan .

Jawapan: .

Contoh 8. Cari penyebut bagi janjang geometri menurun tak terhingga jika

Dan .

Penyelesaian. Daripada formula (7) ia berikut Dan . Dari sini dan dari keadaan masalah kita memperoleh sistem persamaan

Jika persamaan pertama sistem itu adalah kuasa dua, dan kemudian bahagikan persamaan yang terhasil dengan persamaan kedua, maka kita dapat

Ataupun .

Jawapan: .

Contoh 9. Cari semua nilai yang mana jujukan , , ialah janjang geometri.

Penyelesaian. Biar , dan . Menurut formula (2), yang mentakrifkan sifat utama janjang geometri, kita boleh menulis atau .

Dari sini kita mendapat persamaan kuadratik, yang akarnya Dan .

Mari kita semak: jika, kemudian , dan ;

jika , maka , dan . Dalam kes pertama kita ada

dan , dan dalam yang kedua – dan .

Jawapan: , .Contoh 10.

, (11)

Selesaikan persamaan

di mana dan .

Daripada formula (7) ia berikut, Apa Penyelesaian. Bahagian kiri persamaan (11) ialah hasil tambah janjang geometri menurun tak terhingga, di mana dan , tertakluk kepada: dan .. Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . Akar yang sesuai

Jawapan: .

persamaan kuadratik ialah Contoh 11. Purutan nombor positif membentuk janjang aritmetik , A– janjang geometri

Penyelesaian., apa kaitannya dengan . Cari . Kerana jujukan aritmetik , Itu(sifat utama janjang aritmetik). Kerana ia , kemudian atau . Ini bermakna,bahawa janjang geometri mempunyai bentuk. Mengikut formula (2)

, kemudian kita tuliskan itu. Sejak dan , kemudian. Dalam kes ini, ungkapan mengambil borang atau . Dengan syarat,jadi daripada Pers. kami memperoleh penyelesaian unik kepada masalah yang sedang dipertimbangkan

Jawapan: .

, iaitu . Contoh 12.

. (12)

Penyelesaian. Kira Jumlah

Darab kedua-dua belah kesamaan (12) dengan 5 dan dapatkan jujukan aritmetik

Jika kita tolak (12) daripada ungkapan yang terhasil

atau .

Jawapan: .

Untuk mengira, kami menggantikan nilai ke formula (7) dan dapatkan . Sejak itu., Contoh penyelesaian masalah yang diberikan di sini akan berguna kepada pemohon semasa membuat persediaan untuk peperiksaan kemasukan. Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah penyelesaian masalah, berkaitan dengan janjang geometri

Anda boleh menggunakan tutorial daripada senarai literatur yang disyorkan.

1. Koleksi masalah dalam matematik untuk pemohon ke kolej / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir dan Pendidikan, 2013. – 608 p. 2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: bahagian tambahan kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS

, 2014. – 216 p. 3. Medynsky M.M. Kursus lengkap matematik asas dalam masalah dan latihan. Buku 2: Urutan dan Kemajuan Nombor. – M.: Editus

, 2015. – 208 p.

Masih ada soalan?

Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang geometri"
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 9
Kuasa dan punca Fungsi dan graf

Lelaki, hari ini kita akan berkenalan dengan satu lagi jenis perkembangan.
Topik pelajaran hari ini ialah janjang geometri.

Janjang geometri

Definisi. Urutan berangka di mana setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan hasil darab yang sebelumnya dan beberapa nombor tetap dipanggil janjang geometri.
Mari kita takrifkan jujukan kita secara rekursif: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
di mana b dan q ialah nombor tertentu yang diberi. Nombor q dipanggil penyebut janjang itu.

Contoh. 1,2,4,8,16... Janjang geometri di mana sebutan pertama adalah sama dengan satu, dan $q=2$.

Contoh. 8,8,8,8... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan lapan,
dan $q=1$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan tiga,
dan $q=-1$.

Janjang geometri mempunyai sifat monotoni.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka turutan semakin bertambah.
Jika $b_(1)>0$, $0 Urutan biasanya dilambangkan dalam bentuk: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Sama seperti dalam janjang aritmetik, jika dalam janjang geometri bilangan unsur adalah terhingga, maka janjang itu dipanggil janjang geometri terhingga.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Ambil perhatian bahawa jika jujukan ialah janjang geometri, maka jujukan segi empat sama juga merupakan janjang geometri. Dalam urutan kedua, sebutan pertama adalah sama dengan $b_(1)^2$, dan penyebutnya adalah sama dengan $q^2$.

Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang geometri

Janjang geometri juga boleh dinyatakan dalam bentuk analisis. Mari lihat bagaimana untuk melakukan ini:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Kami dengan mudah melihat corak: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula kami dipanggil "rumus sebutan ke-n bagi janjang geometri."

Mari kita kembali kepada contoh kita.

Contoh. 1,2,4,8,16... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan satu,
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan enam belas, dan $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Contoh. 8,8,8,8... Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan lapan, dan $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan tiga, dan $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Contoh. Diberi janjang geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=3$. Cari $b_(5)$.
b) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Cari n.
c) Diketahui bahawa $q=-2, b_(6)=96$. Cari $b_(1)$.
d) Diketahui bahawa $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Cari q.

Penyelesaian.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, sejak $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Contoh. Perbezaan antara sebutan ketujuh dan kelima janjang geometri ialah 192, hasil tambah sebutan kelima dan keenam janjang itu ialah 192. Cari sebutan kesepuluh janjang ini.

Penyelesaian.
Kami tahu bahawa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kami juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami menerima sistem persamaan:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Menyamakan persamaan kita, kita dapat:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua penyelesaian q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Gantikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tiada penyelesaian.
Kami mendapat bahawa: $b_(1)=4, q=2$.
Mari cari sebutan kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Jumlah janjang geometri terhingga

Marilah kita mempunyai janjang geometri terhingga. Mari, sama seperti untuk janjang aritmetik, hitung jumlah sebutannya.

Biarkan janjang geometri terhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Mari kita perkenalkan sebutan untuk jumlah termanya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kes apabila $q=1$. Semua sebutan janjang geometri adalah sama dengan sebutan pertama, maka jelaslah bahawa $S_(n)=n*b_(1)$.
Sekarang mari kita pertimbangkan kes $q≠1$.
Mari kita darabkan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Catatan:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Kami telah memperoleh formula untuk jumlah janjang geometri terhingga.

Contoh.
Cari hasil tambah tujuh sebutan pertama suatu janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah 4 dan penyebutnya ialah 3.

Penyelesaian.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Contoh.
Cari sebutan kelima bagi janjang geometri yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Penyelesaian.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Sifat ciri janjang geometri

Lelaki, janjang geometri diberikan. Mari kita lihat tiga ahli berturut-turut: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Kami tahu itu:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Kemudian:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jika janjang adalah terhingga, maka kesamaan ini berlaku untuk semua istilah kecuali yang pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu apakah bentuk jujukan itu, tetapi diketahui bahawa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Kemudian kita boleh dengan selamat mengatakan bahawa ini adalah janjang geometri.

Urutan nombor ialah janjang geometri hanya apabila kuasa dua setiap ahli adalah sama dengan hasil darab dua ahli janjang yang bersebelahan. Jangan lupa bahawa untuk perkembangan terhingga syarat ini tidak dipenuhi untuk istilah pertama dan terakhir.

Mari lihat identiti ini: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ dipanggil min geometri bagi nombor a dan b.

Modulus mana-mana sebutan janjang geometri adalah sama dengan min geometri dua sebutan bersebelahannya.

Contoh.
Cari x sehingga $x+2; 2x+2; 3x+3$ ialah tiga sebutan berturut-turut bagi janjang geometri.

Penyelesaian.
Mari gunakan sifat ciri:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Marilah kita menggantikan penyelesaian kita secara berurutan ke dalam ungkapan asal:
Dengan $x=2$, kami mendapat jujukan: 4;6;9 – janjang geometri dengan $q=1.5$.
Untuk $x=-1$, kami mendapat urutan: 1;0;0.
Jawapan: $x=2.$

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

1. Cari sebutan pertama kelapan bagi janjang geometri 16;-8;4;-2….
2. Cari sebutan kesepuluh bagi janjang geometri 11,22,44….
3. Diketahui bahawa $b_(1)=5, q=3$. Cari $b_(7)$.
4. Diketahui bahawa $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Cari n.
5. Cari hasil tambah 11 sebutan pertama bagi janjang geometri 3;12;48….
6. Cari x sehingga $3x+4; 2x+4; x+5$ ialah tiga sebutan berturut-turut bagi janjang geometri.

Beberapa masalah dalam fizik dan matematik boleh diselesaikan menggunakan sifat siri nombor. Dua jujukan nombor termudah yang diajar di sekolah ialah algebra dan geometri. Dalam artikel ini, kita akan melihat dengan lebih dekat persoalan tentang cara mencari jumlah janjang geometri menurun tak terhingga.

Kemajuan geometri

Perkataan ini bermaksud satu siri nombor nyata yang unsur-unsurnya a i memenuhi ungkapan:

Di sini i ialah nombor unsur dalam siri, r ialah nombor tetap yang dipanggil penyebut.

Takrifan ini menunjukkan bahawa, mengetahui mana-mana ahli janjang dan penyebutnya, anda boleh memulihkan keseluruhan siri nombor. Sebagai contoh, jika elemen ke-10 diketahui, maka membahagikannya dengan r akan mendapat elemen ke-9, kemudian membahagikannya semula akan mendapat ke-8 dan seterusnya. Argumen mudah ini membolehkan kami menulis ungkapan yang sah untuk siri nombor yang sedang dipertimbangkan:

Contoh janjang dengan penyebut 2 ialah siri berikut:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Jika penyebutnya sama dengan -2, maka siri yang sama sekali berbeza diperoleh:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Janjang geometri jauh lebih cepat daripada janjang algebra, iaitu sebutannya meningkat dengan cepat dan menurun dengan cepat.

Jumlah i sebutan janjang

Untuk menyelesaikan masalah praktikal, selalunya perlu untuk mengira jumlah beberapa elemen urutan berangka yang sedang dipertimbangkan. Untuk kes ini formula berikut adalah sah:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Ia boleh dilihat bahawa untuk mengira jumlah sebutan i, anda hanya perlu mengetahui dua nombor: a 1 dan r, yang logik, kerana ia secara unik menentukan keseluruhan jujukan.

Turutan menurun dan jumlah istilahnya

Sekarang mari kita lihat kes khas. Kami akan menganggap bahawa modulus penyebut r tidak melebihi satu, iaitu -1

Janjang geometri yang menurun adalah menarik untuk dipertimbangkan kerana jumlah tak terhingga sebutannya cenderung kepada nombor nyata terhingga.

Mari dapatkan formula untuk jumlah ini. Ini mudah dilakukan jika anda menulis ungkapan untuk S i yang diberikan dalam perenggan sebelumnya. Kami ada:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Mari kita pertimbangkan kes apabila i->∞. Oleh kerana modulus penyebut kurang daripada 1, menaikkannya kepada kuasa tak terhingga akan memberikan sifar. Ini boleh disemak menggunakan contoh r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Hasilnya, jumlah sebutan bagi janjang geometri menurun tak terhingga akan berbentuk:

Formula ini sering digunakan dalam amalan, sebagai contoh, untuk mengira kawasan angka. Ia juga digunakan untuk menyelesaikan paradoks Zeno of Elea dengan kura-kura dan Achilles.

Adalah jelas bahawa mengambil kira jumlah janjang peningkatan geometri tak terhingga (r>1) akan membawa kepada keputusan S ∞ = +∞.

Tugas mencari penggal pertama sesuatu janjang

Mari kita tunjukkan cara menggunakan formula di atas menggunakan contoh penyelesaian masalah. Adalah diketahui bahawa jumlah janjang geometri tak terhingga ialah 11. Selain itu, sebutan ke-7nya adalah 6 kali kurang daripada sebutan ketiga. Apakah elemen pertama untuk siri nombor ini?

Mula-mula, mari kita tulis dua ungkapan untuk menentukan unsur ke-7 dan ke-3. Kita mendapatkan:

Membahagikan ungkapan pertama dengan yang kedua dan menyatakan penyebut, kita mempunyai:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Oleh kerana nisbah sebutan ketujuh dan ketiga diberikan dalam pernyataan masalah, anda boleh menggantikannya dan mencari r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

Kami mengira r hingga lima tempat perpuluhan. Oleh kerana nilai yang terhasil adalah kurang daripada satu, janjangnya semakin berkurangan, yang mewajarkan penggunaan formula untuk jumlah tak terhingganya. Mari kita tulis ungkapan untuk sebutan pertama melalui jumlah S ∞:

Kami menggantikan nilai yang diketahui ke dalam formula ini dan dapatkan jawapannya:

a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166.

Paradoks terkenal Zeno dengan Achilles yang cepat dan kura-kura yang perlahan

Zeno of Elea ialah seorang ahli falsafah Yunani terkenal yang hidup pada abad ke-5 SM. e. Sebilangan apogees atau paradoksnya telah mencapai hari ini, di mana masalah yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil dalam matematik dirumuskan.

Salah satu paradoks Zeno yang terkenal ialah persaingan antara Achilles dan kura-kura. Zeno percaya jika Achilles memberi kelebihan kepada kura-kura dalam jarak jauh, dia tidak akan dapat mengejarnya. Sebagai contoh, biarkan Achilles berlari 10 kali lebih cepat daripada haiwan yang merangkak, yang, sebagai contoh, berada 100 meter di hadapannya. Apabila pahlawan itu berlari sejauh 100 meter, penyu itu merangkak sejauh 10 meter. Setelah berlari 10 meter lagi, Achilles melihat penyu itu merangkak lagi 1 meter. Anda boleh berhujah dengan cara ini ad infinitum, jarak antara pesaing memang akan berkurangan, tetapi penyu akan sentiasa berada di hadapan.

Membawa Zeno kepada kesimpulan bahawa pergerakan tidak wujud, dan semua pergerakan objek di sekeliling adalah ilusi. Sudah tentu, ahli falsafah Yunani kuno itu salah.

Penyelesaian kepada paradoks terletak pada fakta bahawa jumlah tak terhingga bagi segmen yang sentiasa berkurangan cenderung kepada nombor terhingga. Dalam kes di atas, untuk jarak yang Achilles lari, kita dapat:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Menggunakan formula untuk jumlah janjang geometri tak terhingga, kita memperoleh:

S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 meter

Keputusan ini menunjukkan bahawa Achilles akan mengejar kura-kura apabila ia merangkak hanya 11.111 meter.

Orang Yunani purba tidak tahu bagaimana untuk bekerja dengan kuantiti yang tidak terhingga dalam matematik. Walau bagaimanapun, paradoks ini boleh diselesaikan jika kita memberi perhatian bukan kepada bilangan jurang yang tidak terhingga yang mesti diatasi oleh Achilles, tetapi kepada bilangan langkah yang terhingga yang diperlukan oleh pelari untuk mencapai matlamatnya.