Apabila mengkaji sifat persamaan kuadratik sekatan telah ditetapkan - untuk diskriminasi kurang daripada sifar, tiada penyelesaian. Ia segera dinyatakan bahawa kita bercakap tentang tentang set nombor nyata. Fikiran ingin tahu seorang ahli matematik akan tertarik dengan rahsia apa yang terkandung dalam klausa tentang nilai sebenar?

Dari masa ke masa, ahli matematik memperkenalkan konsep nombor kompleks, di mana satu diambil sebagai makna bersyarat punca darjah kedua tolak satu.

Rujukan sejarah

Teori matematik berkembang secara berurutan, daripada mudah kepada kompleks. Mari kita fikirkan bagaimana konsep yang dipanggil "nombor kompleks" timbul dan mengapa ia diperlukan.

Sejak dahulu lagi, asas matematik adalah mengira biasa. Para penyelidik hanya mengetahui set nilai semula jadi. Penambahan dan penolakan adalah mudah. Apabila hubungan ekonomi menjadi lebih kompleks, bukannya menambah nilai yang sama mula menggunakan pendaraban. Operasi songsang kepada pendaraban muncul - bahagi.

Konsep nombor asli mengehadkan penggunaan operasi aritmetik. Adalah mustahil untuk menyelesaikan semua masalah pembahagian pada satu set nilai integer. memimpin dahulu kepada konsep nilai rasional, dan kemudian ke nilai yang tidak rasional. Jika untuk rasional adalah mungkin untuk menunjukkan lokasi tepat titik pada garis, maka untuk tidak rasional adalah mustahil untuk menunjukkan titik sedemikian. Anda hanya boleh menunjukkan lebih kurang selang lokasi. Menggabungkan rasional dan nombor tidak rasional membentuk set sebenar, yang boleh diwakili sebagai garis tertentu dengan skala tertentu. Setiap langkah di sepanjang garis adalah nombor asli, dan di antara mereka adalah nilai rasional dan tidak rasional.

Satu era telah bermula matematik teori. Perkembangan astronomi, mekanik, dan fizik memerlukan penyelesaian yang semakin meningkat persamaan kompleks. Dalam bentuk umum, punca-punca persamaan kuadratik ditemui. Apabila menyelesaikan lebih kompleks polinomial padu saintis berhadapan dengan percanggahan. Konsep akar kubus daripada negatif ia masuk akal, tetapi untuk segi empat ia mengakibatkan ketidakpastian. Dalam kes ini, persamaan kuadratik adalah sahaja kes istimewa padu.

Pada tahun 1545, G. Cardano Itali mencadangkan untuk memperkenalkan konsep nombor khayalan.

Nombor ini menjadi punca kedua tolak satu. Istilah nombor kompleks akhirnya dibentuk hanya tiga ratus tahun kemudian, dalam kerja-kerja ahli matematik terkenal Gauss. Beliau mencadangkan untuk meluaskan secara rasmi semua hukum algebra kepada nombor khayalan. Garisan sebenar telah berkembang menjadi satah. Dunia telah menjadi lebih besar.

Konsep asas

Mari kita ingat beberapa fungsi yang mempunyai sekatan pada set sebenar:

• y = arcsin(x), ditakrifkan dalam julat nilai antara perpaduan negatif dan positif.
• y = ln(x), masuk akal untuk hujah positif.
• Punca kuasa dua y = √x, dikira hanya untuk x ≥ 0.

Dengan menandakan i = √(-1), kami memperkenalkan konsep sedemikian sebagai nombor khayalan, ini akan membolehkan kami mengalih keluar semua sekatan daripada domain takrifan fungsi di atas. Ungkapan seperti y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) mengambil makna dalam ruang tertentu nombor kompleks.

Bentuk algebra boleh ditulis sebagai z = x + i×y pada set nilai sebenar x dan y, dan i 2 = -1.

Konsep baharu ini menghapuskan semua sekatan ke atas penggunaan mana-mana fungsi algebra dan penampilannya menyerupai graf garis lurus dalam koordinat nilai sebenar dan khayalan.

satah kompleks

Bentuk geometri nombor kompleks memungkinkan untuk menggambarkan banyak sifat mereka. Di sepanjang paksi Re(z) kita menandakan nilai sebenar x, sepanjang Im(z) - nilai khayalan y, maka titik z pada satah akan memaparkan nilai kompleks yang diperlukan.

Definisi:

• Re(z) - paksi sebenar.
• Im(z) - bermaksud paksi khayalan.
• z ialah titik bersyarat bagi nombor kompleks.
• Nilai berangka panjang vektor dari titik sifar hingga z dipanggil modulus.
• Paksi sebenar dan khayalan membahagikan satah kepada empat bahagian. Pada nilai positif koordinat - suku I. Apabila hujah paksi sebenar kurang daripada 0, dan paksi khayalan lebih besar daripada 0 - suku kedua. Apabila koordinat negatif - suku III. Suku terakhir, IV mengandungi banyak nilai nyata positif dan nilai khayalan negatif.

Oleh itu, pada satah dengan koordinat x dan y, anda sentiasa boleh menggambarkan titik nombor kompleks secara visual. Simbol i diperkenalkan untuk memisahkan bahagian sebenar daripada bahagian khayalan.

Hartanah

1. Dengan nilai sifar hujah khayalan, kita hanya memperoleh nombor (z = x), yang terletak pada paksi nyata dan tergolong dalam set sebenar.
2. Kes khas, apabila nilai hujah sebenar menjadi sifar, ungkapan z = i×y sepadan dengan lokasi titik pada paksi khayalan.
3. Bentuk umum z = x + i×y adalah untuk nilai bukan sifar bagi argumen. Menunjukkan lokasi titik yang mencirikan nombor kompleks dalam salah satu suku.

Tatatanda trigonometri

Mari kita ingat sistem koordinat kutub dan definisi dosa dan cos. Jelas sekali, menggunakan fungsi ini anda boleh menerangkan lokasi mana-mana titik pada pesawat. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengetahui panjang sinar kutub dan sudut kecenderungan ke paksi sebenar.

Definisi. Notasi bentuk ∣z ∣, didarab dengan hasil tambah trigonometri fungsi cos(ϴ) dan bahagian khayalan i ×sin(ϴ), dipanggil nombor kompleks trigonometri. Di sini kita menggunakan sudut notasi kecenderungan kepada paksi sebenar

ϴ = arg(z), dan r = ∣z∣, panjang rasuk.

Daripada definisi dan sifat fungsi trigonometri, ia mengikuti sangat formula penting Moivre:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Menggunakan formula ini, adalah mudah untuk menyelesaikan banyak sistem persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri. Lebih-lebih lagi apabila masalah eksponensial timbul.

Modul dan fasa

Untuk melengkapkan penerangan set kompleks kami akan menawarkan dua definisi penting.

Mengetahui teorem Pythagoras, adalah mudah untuk mengira panjang sinar masuk sistem kutub koordinat

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), tatatanda sedemikian dalam ruang kompleks dipanggil "modulus" dan mencirikan jarak dari 0 ke titik pada satah.

Sudut kecondongan sinar kompleks kepada garis sebenar ϴ biasanya dipanggil fasa.

Daripada definisi tersebut jelaslah bahawa bahagian nyata dan khayalan diterangkan menggunakan fungsi kitaran. Iaitu:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Sebaliknya, fasa mempunyai hubungan dengan nilai algebra melalui formula:

ϴ = arctan(x / y) + µ, pembetulan µ diperkenalkan untuk mengambil kira periodicity fungsi geometri.

Formula Euler

Ahli matematik sering menggunakan bentuk eksponen. Nombor satah kompleks ditulis sebagai ungkapan

z = r × e i × ϴ, yang mengikuti daripada formula Euler.

Saya menerima entri ini penggunaan yang meluas untuk pengiraan praktikal kuantiti fizik. Bentuk perwakilan dalam bentuk nombor kompleks eksponen amat sesuai untuk pengiraan kejuruteraan, di mana terdapat keperluan untuk mengira litar dengan arus sinusoidal dan perlu mengetahui nilai kamiran fungsi dengan tempoh tertentu. Pengiraan itu sendiri berfungsi sebagai alat dalam reka bentuk pelbagai mesin dan mekanisme.

Mentakrifkan Operasi

Seperti yang telah dinyatakan, semua hukum algebra bekerja dengan fungsi asas matematik digunakan untuk nombor kompleks.

Operasi jumlah

Apabila menambah nilai kompleks, bahagian sebenar dan khayalan mereka juga ditambah.

z = z 1 + z 2, dengan z 1 dan z 2 ialah nombor kompleks Pandangan umum. Mengubah ungkapan, selepas membuka kurungan dan memudahkan tatatanda, kita dapat hujah sebenar x=(x 1 + x 2), hujah khayalan y = (y 1 + y 2).

Pada graf ia kelihatan seperti penambahan dua vektor, mengikut peraturan selari yang terkenal.

Operasi tolak

Ia dianggap sebagai kes penambahan khas, apabila satu nombor positif, yang lain negatif, iaitu, terletak di suku cermin. Notasi algebra kelihatan seperti perbezaan antara bahagian nyata dan khayalan.

z = z 1 - z 2 , atau, dengan mengambil kira nilai hujah, serupa dengan operasi penambahan, kami memperoleh nilai sebenar x = (x 1 - x 2) dan nilai khayalan y = (y 1 - y 2).

Pendaraban dalam satah kompleks

Menggunakan peraturan untuk bekerja dengan polinomial, kami akan memperoleh formula untuk menyelesaikan nombor kompleks.

Mengikuti peraturan algebra am z=z 1 ×z 2, kami menghuraikan setiap hujah dan mengemukakan hujah yang serupa. Bahagian nyata dan khayalan boleh ditulis seperti berikut:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Ia kelihatan lebih cantik jika kita menggunakan nombor kompleks eksponen.

Ungkapan kelihatan seperti ini: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Bahagian

Apabila mempertimbangkan operasi bahagi sebagai songsang bagi operasi pendaraban, dalam tatatanda eksponen kita memperoleh ungkapan mudah. Membahagikan nilai z 1 dengan z 2 adalah hasil pembahagian modul mereka dan perbezaan fasa. Secara formal, apabila menggunakan bentuk eksponen nombor kompleks, ia kelihatan seperti ini:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Dalam bentuk tatatanda algebra, operasi pembahagian nombor dalam satah kompleks ditulis sedikit lebih rumit:

Dengan menghuraikan hujah dan menjalankan transformasi polinomial, adalah mudah untuk mendapatkan nilai x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , masing-masing y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , walau bagaimanapun , dalam rangka ruang yang diterangkan ungkapan ini masuk akal, jika z 2 ≠ 0.

Mengeluarkan akar

Semua di atas boleh digunakan untuk mentakrifkan fungsi algebra yang lebih kompleks - menaikkan kepada sebarang kuasa dan songsangnya - mengekstrak punca.

Mengambil kesempatan konsep umum meningkatkan kepada kuasa n, kita mendapat definisi:

z n = (r × e i ϴ) n .

Menggunakan sifat umum, kami menulis semula dalam bentuk:

z n = r n × e i ϴ n .

Dapat formula mudah menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.

Daripada definisi ijazah kita memperolehi akibat yang sangat penting. Kuasa genap unit khayalan sentiasa bersamaan dengan 1. Mana-mana kuasa ganjil unit khayalan sentiasa bersamaan dengan -1.

Sekarang mari belajar fungsi songsang- pengekstrakan akar.

Untuk kesederhanaan tatatanda, kita ambil n = 2. Punca kuasa dua w bagi nilai kompleks z pada satah kompleks C biasanya dianggap sebagai ungkapan z = ±, sah untuk sebarang hujah sebenar yang lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Untuk w ≤ 0 tiada penyelesaian.

Mari kita lihat persamaan kuadratik termudah z 2 = 1. Dengan menggunakan formula untuk nombor kompleks, kita menulis semula r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Daripada rekod adalah jelas bahawa r 2 = 1 dan ϴ = 0, oleh itu, kita ada keputusan sahaja, sama dengan 1. Tetapi ini bercanggah dengan konsep bahawa z = -1, juga konsisten dengan takrif punca kuasa dua.

Mari kita fikirkan apa yang kita tidak ambil kira. Jika kita ingat tatatanda trigonometri, kemudian kami memulihkan kenyataan - bila perubahan berkala fasa ϴ nombor kompleks tidak berubah. Mari kita nyatakan nilai tempoh dengan simbol p, maka yang berikut adalah benar: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), dari mana 2ϴ = 0 + p, atau ϴ = p / 2. Oleh itu, e i 0 = 1 dan e i p /2 = -1 . Kami menerima penyelesaian kedua, yang sepadan dengan persefahaman bersama punca kuasa dua.

Jadi, untuk mencari punca arbitrari bagi nombor kompleks, kami akan mengikut prosedur.

• Mari kita tulis bentuk eksponen w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k ialah integer arbitrari.
• Kita juga boleh mewakili nombor yang diperlukan dalam bentuk Euler z = r × e i ϴ .
• Jom ambil kesempatan definisi umum fungsi pengekstrakan akar r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• daripada sifat am kesamaan modul dan hujah, kita tulis r n = ∣w∣ dan nϴ = arg (w) + p×k.
• Tatatanda akhir bagi punca nombor kompleks diterangkan dengan formula z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Komen. Nilai ∣w∣, mengikut definisi, ialah nombor nyata positif, yang bermaksud bahawa punca sebarang kuasa masuk akal.

Padang dan jodoh

Kesimpulannya, kami memberikan dua definisi penting yang mempunyai sedikit kepentingan untuk penyelesaiannya masalah yang diterapkan dengan nombor kompleks, tetapi penting untuk perkembangan selanjutnya teori matematik.

Ungkapan untuk penambahan dan pendaraban dikatakan membentuk medan jika ia memenuhi aksiom untuk mana-mana unsur satah kompleks z:

1. Menukar tempat istilah kompleks tidak mengubah jumlah kompleks.
2. Kenyataan itu benar - dalam ungkapan kompleks sebarang hasil tambah dua nombor boleh digantikan dengan nilainya.
3. Terdapat nilai neutral 0 yang mana z + 0 = 0 + z = z adalah benar.
4. Untuk mana-mana z terdapat bertentangan - z, penambahan yang memberikan sifar.
5. Apabila menukar tempat faktor kompleks, produk kompleks tidak berubah.
6. Pendaraban mana-mana dua nombor boleh digantikan dengan nilainya.
7. Terdapat nilai neutral 1, mendarab dengan yang tidak mengubah nombor kompleks.
8. Untuk setiap z ≠ 0, terdapat nilai songsang z -1, mendarab dengan yang menghasilkan 1.
9. Mendarab hasil tambah dua nombor dengan satu pertiga adalah bersamaan dengan operasi mendarab setiap nombor dengan nombor ini dan menambah hasilnya.
10. 0 ≠ 1.

Nombor z 1 = x + i×y dan z 2 = x - i×y dipanggil konjugat.

Teorem. Untuk berpasangan, pernyataan berikut adalah benar:

• Konjugat suatu hasil tambah adalah sama dengan jumlah unsur konjugasi.
• Konjugat hasil darab adalah sama dengan hasil darab konjugat.
• sama dengan nombor itu sendiri.

Dalam algebra am, sifat sedemikian biasanya dipanggil automorfisme medan.

Contoh

Mengikuti peraturan dan formula yang diberikan untuk nombor kompleks, anda boleh mengendalikannya dengan mudah.

Mari lihat contoh paling mudah.

Tugasan 1. Dengan menggunakan persamaan 3y +5 x i= 15 - 7i, tentukan x dan y.

Penyelesaian. Mari kita ingat takrif kesamaan kompleks, maka 3y = 15, 5x = -7. Oleh itu x = -7 / 5, y = 5.

Tugasan 2. Hitung nilai 2 + i 28 dan 1 + i 135.

Penyelesaian. Jelas sekali 28 - nombor genap, daripada akibat takrifan nombor kompleks kepada kuasa yang kita ada i 28 = 1, yang bermaksud ungkapan itu ialah 2 + i 28 = 3. Nilai kedua, i 135 = -1, kemudian 1 + i 135 = 0 .

Tugasan 3. Hitung hasil darab nilai 2 + 5i dan 4 + 3i.

Penyelesaian. Daripada sifat umum pendaraban nombor kompleks kita perolehi (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nilai baharu ialah -7 + 26i.

Tugasan 4. Hitung punca-punca persamaan z 3 = -i.

Penyelesaian. Mungkin terdapat beberapa pilihan untuk mencari nombor kompleks. Mari kita pertimbangkan salah satu yang mungkin. Mengikut takrifan, ∣ - i∣ = 1, fasa untuk -i ialah -p / 4. Persamaan asal boleh ditulis semula sebagai r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, dari mana z = e - p / 12 + pk /3 , untuk sebarang integer k.

Set penyelesaian mempunyai bentuk (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Mengapakah nombor kompleks diperlukan?

Sejarah mengetahui banyak contoh apabila saintis, bekerja pada teori, tidak memikirkan tentang aplikasi praktikal keputusan mereka. Matematik adalah, pertama sekali, permainan minda, pematuhan ketat kepada hubungan sebab-akibat. Hampir semua pembinaan matematik dikurangkan kepada menyelesaikan kamiran dan persamaan pembezaan, dan mereka pula, dengan beberapa anggaran, diselesaikan dengan mencari punca polinomial. Di sini kita mula-mula menemui paradoks nombor khayalan.

Ahli sains semula jadi, membuat keputusan sepenuhnya masalah praktikal, menggunakan penyelesaian persamaan yang berbeza, mendedahkan paradoks matematik. Tafsiran paradoks ini membawa kepada penemuan yang sangat mengejutkan. Sifat berganda gelombang elektromagnet satu contoh sebegitu. Nombor kompleks memainkan peranan penting dalam memahami sifat mereka.

Ini pula didapati kegunaan praktikal dalam optik, elektronik radio, tenaga dan banyak bidang teknologi lain. Contoh lain, lebih sukar untuk difahami fenomena fizikal. Antimateri telah diramalkan di hujung pena. Dan hanya beberapa tahun kemudian percubaan untuk mensintesis secara fizikal ia bermula.

Seseorang tidak sepatutnya berfikir bahawa situasi sedemikian hanya wujud dalam fizik. Tidak kurang juga penemuan menarik berlaku dalam alam semula jadi, semasa sintesis makromolekul, semasa kajian kecerdasan buatan. Dan semua ini terima kasih kepada pengembangan kesedaran kita, beralih daripada penambahan dan penolakan mudah kuantiti semula jadi.

DALAM matematik moden nombor kompleks adalah salah satu konsep yang paling asas, mencari aplikasi dalam " sains tulen", dan dalam kawasan yang digunakan. Adalah jelas bahawa ini tidak selalu berlaku. Pada zaman dahulu, walaupun nombor negatif biasa kelihatan sebagai inovasi yang pelik dan meragukan, keperluan untuk melanjutkan operasi punca kuasa dua kepada mereka sama sekali tidak jelas. Walau bagaimanapun, dalam pertengahan abad ke-16 ahli matematik abad Raphael Bombelli memperkenalkan kompleks (dalam dalam kes ini lebih tepat lagi, khayalan) nombor dalam edaran. Sebenarnya, saya bercadang untuk melihat apakah intipati kesukaran yang akhirnya membawa orang Itali yang dihormati itu ke tahap yang melampau.

Terdapat salah tanggapan umum bahawa nombor kompleks diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Sebenarnya, ini adalah salah sama sekali: tugas mencari punca persamaan kuadratik sama sekali tidak mendorong pengenalan nombor kompleks. Itu sempurna.

Jom tengok sendiri. Mana-mana persamaan kuadratik boleh diwakili sebagai:
.
Secara geometri, ini bermakna kita ingin mencari titik persilangan garis tertentu dan parabola
Saya juga membuat gambar di sini untuk ilustrasi.

Seperti yang kita semua tahu dengan baik dari sekolah, punca-punca persamaan kuadratik (dalam tatatanda di atas) didapati dengan formula berikut:

Terdapat 3 pilihan yang mungkin:
1. Ungkapan radikal adalah positif.
2. Ungkapan radikal adalah sama dengan sifar.
3. Ungkapan radikal adalah negatif.

Dalam kes pertama terdapat 2 pelbagai akar, dalam yang kedua terdapat dua yang bertepatan, dalam yang ketiga persamaan "tidak diselesaikan". Semua kes ini mempunyai tafsiran geometri yang sangat jelas:
1. Garis lurus memotong parabola (garis biru dalam rajah).
2. Garis lurus menyentuh parabola.
3. Garis lurus tidak mempunyai hubungan dengan parabola perkara biasa(garisan ungu dalam gambar).

Keadaannya mudah, logik, dan konsisten. Tiada sebab sama sekali untuk cuba mengambil punca kuasa dua nombor negatif. Tiada sesiapa pun mencuba.

Keadaan berubah dengan ketara apabila pemikiran matematik yang ingin tahu mencapai persamaan padu. Sedikit kurang jelas, menggunakan beberapa penggantian mudah , sebarang persamaan padu boleh dikurangkan kepada bentuk: . Dari sudut pandangan geometri, keadaannya serupa dengan yang sebelumnya: kami sedang mencari titik persilangan garis lurus dan parabola padu.
Tengok gambar:

Perbezaan ketara daripada kes persamaan kuadratik ialah tidak kira apa garis yang kita ambil, ia akan sentiasa bersilang dengan parabola. Iaitu, daripada pertimbangan geometri semata-mata, persamaan padu sentiasa mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.
Anda boleh mencarinya menggunakan formula Cardano:

di mana
.
Sedikit besar, tetapi setakat ini semuanya kelihatan teratur. Atau tidak?

Secara umum, formula Cardano ialah contoh yang bersinar"Prinsip Arnold" dalam tindakan. Dan apa yang menjadi cirinya ialah Cardano tidak pernah mengaku sebagai pengarang formula tersebut.

Marilah kita kembali, bagaimanapun, kepada domba kita. Formula itu luar biasa, tanpa keterlaluan, pencapaian besar matematik pada awal hingga pertengahan abad ke-16. Tetapi dia mempunyai satu nuansa.
Mari ambil contoh klasik, yang juga dipertimbangkan oleh Bombelli:
.
tiba-tiba,
,
dan sepadan,
.
Kami dah sampai. Sayang sekali untuk formulanya, tetapi formulanya bagus. Jalan mati. Walaupun pada hakikatnya persamaan itu pasti mempunyai penyelesaian.

Idea Rafael Bombelli adalah seperti berikut: mari kita berpura-pura menjadi hos dan berpura-pura bahawa punca negatif ialah sejenis nombor. Kami, tentu saja, tahu bahawa tidak ada nombor sedemikian, tetapi bagaimanapun, mari kita bayangkan bahawa ia wujud dan bagaimana nombor biasa, boleh ditambah dengan orang lain, didarab, dinaikkan kepada kuasa, dsb.

Menggunakan pendekatan yang sama, Bombelli mendapati, khususnya, itu
,
Dan
.
Mari semak:
.
Sila ambil perhatian bahawa dalam pengiraan tiada andaian dibuat tentang sifat punca kuasa dua nombor negatif, kecuali andaian yang dinyatakan di atas bahawa ia berkelakuan seperti nombor "biasa".

Secara keseluruhan kita dapat . Jawapan yang agak betul, yang boleh disahkan dengan mudah melalui penggantian langsung. Ia adalah satu kejayaan sebenar. Terobosan ke dalam pesawat yang kompleks.

Walau bagaimanapun, pengiraan sedemikian kelihatan seperti sejenis sihir, satu helah matematik. Sikap terhadap mereka sebagai sejenis muslihat berterusan di kalangan ahli matematik untuk masa yang sangat lama. Sebenarnya, nama "nombor khayalan", yang dicipta oleh Rene Descartes untuk akar nombor negatif, mencerminkan sepenuhnya sikap ahli matematik pada masa itu terhadap hiburan sedemikian.

Walau bagaimanapun, seiring dengan berlalunya masa, "helah" digunakan dengan kejayaan yang berterusan, kuasa "nombor khayalan" di mata komuniti matematik berkembang, dihalang, bagaimanapun, oleh kesulitan penggunaannya. Hanya resit oleh Leonhard Euler (omong-omong, dialah yang memperkenalkan sebutan yang kini biasa digunakan untuk unit khayalan) formula terkenal

membuka jalan bagi nombor kompleks kepada pelbagai bidang matematik dan aplikasinya. Tetapi itu cerita yang sama sekali berbeza.

Nombor kompleks

khayalan Dan nombor kompleks. Abscissa dan ordinat

nombor kompleks. Konjugasi nombor kompleks.

Operasi dengan nombor kompleks. Geometrik

perwakilan nombor kompleks. satah kompleks.

Modulus dan hujah bagi nombor kompleks. trigonometri

bentuk nombor kompleks. Operasi dengan kompleks

nombor dalam bentuk trigonometri. Formula Moivre.

Maklumat awal O khayalan Dan nombor kompleks diberikan dalam bahagian “Nombor khayalan dan kompleks”. Keperluan untuk nombor jenis baru ini timbul apabila menyelesaikan persamaan kuadratik untuk kes ituD< 0 (здесь D– diskriminasi bagi persamaan kuadratik). Untuk masa yang lama nombor ini tidak dijumpai aplikasi fizikal, itulah sebabnya mereka dipanggil nombor "khayal". Walau bagaimanapun, kini ia digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang fizik

dan teknologi: kejuruteraan elektrik, hidro dan aerodinamik, teori keanjalan, dsb.

Nombor kompleks ditulis dalam bentuk:a+bi. Di sini a Dan b – nombor nyata , A i – unit khayalan, i.e. e. i 2 = –1. Nombor a dipanggil abscissa, a b – selarasnombor kompleksa + bi .Dua nombor kompleksa+bi Dan a–bi dipanggil konjugasi nombor kompleks.

Perjanjian utama:

1. Nombor sebenarAboleh juga ditulis dalam bentuknombor kompleks:a+ 0 i atau a – 0 i. Sebagai contoh, merekodkan 5 + 0i dan 5 – 0 ibermakna nombor yang sama 5 .

2. Nombor kompleks 0 + bidipanggil khayalan semata-mata nombor. Rekodbibermakna sama dengan 0 + bi.

3. Dua nombor kompleksa+bi Danc + didianggap sama jikaa = c Dan b = d. DALAM sebaliknya nombor kompleks tidak sama.

Penambahan. Jumlah nombor kompleksa+bi Dan c + didipanggil nombor kompleks (a+c ) + (b+d ) i.Oleh itu, apabila menambah nombor kompleks, absis dan ordinatnya ditambah secara berasingan.

Takrifan ini sepadan dengan peraturan untuk operasi dengan polinomial biasa.

Penolakan. Perbezaan dua nombor kompleksa+bi(berkurang) dan c + di(subtrahend) dipanggil nombor kompleks (a–c ) + (b–d ) i.

Oleh itu, Apabila menolak dua nombor kompleks, absis dan ordinat mereka ditolak secara berasingan.

Pendaraban. Hasil darab nombor kompleksa+bi Dan c + di dipanggil nombor kompleks:

(ac–bd ) + (iklan+bc ) i.Takrifan ini mengikuti dua keperluan:

1) nombor a+bi Dan c + dimesti didarab seperti algebra binomial,

2) nombor imempunyai sifat utama:i 2 = – 1.

CONTOH ( a+ bi )(a–bi) = a 2 + b 2 . Oleh itu, kerja

dua nombor kompleks konjugat adalah sama dengan nyata

nombor positif.

Pembahagian. Bahagikan nombor kompleksa+bi (boleh dibahagikan) dengan yang lainc + di(pembahagi) - bermaksud mencari nombor ketigae + f i(sembang), yang apabila didarab dengan pembahagic + di, menghasilkan dividena + bi .

Jika pembahagi tidak sama dengan sifar, perpecahan sentiasa mungkin.

CONTOH Cari (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Penyelesaian. Mari kita tulis semula nisbah ini sebagai pecahan:

Mendarabkan pengangka dan penyebutnya dengan 2 + 3i

DAN Setelah melakukan semua transformasi, kami mendapat:

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks. Nombor nyata diwakili oleh titik pada garis nombor:

Inilah maksudnya Abermakna nombor –3, titikB– nombor 2, dan O- sifar. Sebaliknya, nombor kompleks diwakili oleh titik pada satah koordinat. Untuk tujuan ini, kami memilih koordinat segi empat tepat (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua-dua paksi. Kemudian nombor kompleksa+bi akan diwakili oleh titik P dengan absis a dan ordinat b (lihat gambar). Sistem koordinat ini dipanggil satah kompleks .

Modul nombor kompleks ialah panjang vektorOP, mewakili nombor kompleks pada koordinat ( menyeluruh) kapal terbang. Modulus nombor kompleksa+bi dilambangkan | a+bi| atau surat r

Halaman Baharu 1

Nombor kompleks untuk boneka Pelajaran 1. Apakah mereka dan dengan apa mereka dimakan. Unit khayalan.

Untuk memahami apa itu nombor kompleks, mari kita ingat tentang nombor biasa dan lihat secara menyeluruh. Dan jadi, perkara yang paling mudah ialah semula jadi nombor. Mereka dipanggil semula jadi kerana melalui mereka sesuatu boleh dinyatakan "dalam bentuk", iaitu, sesuatu boleh dikira. Berikut adalah dua biji epal. Mereka boleh dikira. Terdapat lima kotak coklat. Kita boleh mengira mereka. Dalam kata lain, integer- ini adalah nombor yang boleh kita kira item tertentu. Anda tahu betul bahawa nombor ini boleh ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan. Semuanya jelas dengan penambahan dan pendaraban. Ada dua biji epal, mereka tambah tiga, jadi lima. Kami mengambil tiga kotak coklat, 10 keping setiap satu, bermakna sejumlah tiga puluh gula-gula. Sekarang mari kita beralih kepada keseluruhan nombor. Jika nombor asli menunjukkan bilangan objek tertentu, maka abstraksi dimasukkan ke dalam set integer. ini sifar Dan negatif nombor. Mengapakah abstraksi ini? Sifar ialah ketiadaan sesuatu. Tetapi bolehkah kita menyentuh, merasakan apa yang tidak ada? Kita boleh menyentuh dua epal, ini dia. Kita juga boleh memakannya. Apakah maksud epal sifar? Bolehkah kita menyentuh, merasakan sifar ini? Tidak, kita tak boleh. Jadi ini abstraksi. Anda perlu menunjukkan ketiadaan sesuatu. Jadi kami menetapkan sifar sebagai nombor. Tetapi mengapa menandakan ini entah bagaimana? Bayangkan kita mempunyai dua biji epal. Kami makan dua. Berapa banyak yang kita tinggal? Betul, tidak sama sekali. Kami akan menulis operasi ini (kami makan dua epal) sebagai penolakan 2-2. Dan apa yang kita berakhir dengan? Bagaimanakah kita harus melabelkan hasilnya? Hanya dengan memperkenalkan abstraksi baru (sifar), yang akan menunjukkan bahawa hasil daripada penolakan (makan) ternyata kita tidak mempunyai satu epal lagi. Tetapi kita boleh menolak bukan 2, tetapi 3 daripada dua Nampaknya operasi ini tidak bermakna. Jika kita hanya mempunyai dua epal, bagaimana kita boleh makan tiga?

Mari kita lihat contoh lain. Kami pergi ke kedai untuk membeli bir. Kami mempunyai 100 rubel dengan kami. Bir berharga 60 rubel setiap botol. Kami ingin membeli dua botol, tetapi kami tidak mempunyai wang yang cukup. Kami memerlukan 120 rubel. Dan kemudian kita berjumpa dengan kawan lama kita dan meminjam dua puluh daripadanya. Kami membeli bir. Soalan. Berapa banyak wang yang kita ada? Akal mencadangkan bahawa tidak sama sekali. Tetapi dari sudut pandangan matematik ini adalah tidak masuk akal. kenapa? Kerana untuk mendapatkan sifar sebagai hasilnya, anda perlu menolak 100 daripada 100. Dan kita lakukan 100-120. Di sini kita harus mendapatkan sesuatu yang berbeza. Apa yang kita dapat? Dan hakikat bahawa kita masih berhutang 20 rubel kepada rakan kita. Kali seterusnya kami mempunyai 140 rubel dengan kami, kami akan datang ke kedai untuk membeli bir, bertemu rakan, membayar hutang kami dengannya dan dapat membeli dua botol bir lagi. Hasilnya, kita mendapat 140-120-20=0. Nota -20. Ini adalah satu lagi abstraksi - nombor negatif . Maksudnya, hutang kita kepada kawan adalah nombor dengan tanda tolak, kerana apabila kita membayar balik hutang, kita menolak jumlah ini. Saya akan mengatakan lebih banyak, ini adalah abstraksi yang lebih hebat daripada sifar. Sifar bermaksud sesuatu yang tidak wujud. Dan nombor negatif adalah seperti sesuatu yang akan diambil dari kita pada masa hadapan.

Oleh itu, menggunakan contoh, saya menunjukkan bagaimana abstraksi dilahirkan dalam matematik. Dan itu, nampaknya, walaupun semua abstraksi yang tidak masuk akal (seperti menghilangkan lebih daripada yang sebelumnya), mereka mendapati aplikasi dalam kehidupan sebenar. Dalam kes membahagi integer, abstraksi lain timbul - nombor pecahan. Saya tidak akan membincangkannya secara terperinci, dan jelas bahawa ia diperlukan dalam kes apabila kita mempunyai integer yang tidak boleh dibahagikan dengan integer. Sebagai contoh, kita mempunyai empat epal, tetapi kita perlu membahagikannya kepada tiga orang. Jelas di sini bahawa kita membahagikan epal yang tinggal kepada tiga bahagian dan mendapatkan pecahan.

Sekarang mari kita pergi ke nombor kompleks itu sendiri dengan lancar. Tetapi pertama, ingat bahawa apabila anda mendarab dua nombor negatif, anda mendapat nombor positif. Ada yang bertanya - kenapa jadi begini? Mari kita fahami dahulu mendarab nombor negatif dengan nombor positif. Katakan kita darab -20 dengan 2. Iaitu, kita perlu menambah -20+-20. Hasilnya ialah -40, kerana menambah nombor negatif ialah penolakan. Mengapa penolakan - lihat di atas, nombor negatif adalah hutang apabila kita mengambilnya, sesuatu diambil daripada kita. Terdapat satu lagi makna sehari-hari. Apa yang berlaku jika hutang meningkat? Sebagai contoh, dalam kes apabila kita diberi pinjaman dengan faedah? Akibatnya, nombor yang sama dengan tanda tolak kekal, nombor yang menjadi lebih besar selepas tolak. Apakah yang dimaksudkan dengan mendarab dengan nombor negatif? Apakah maksud 3*-2? Ini bermakna nombor tiga mesti diambil tolak dua kali. Iaitu, letakkan tolak sebelum hasil pendaraban. Dengan cara ini, ini sama dengan -3*2, kerana penyusunan semula faktor tidak mengubah produk. Sekarang perhatikan. Darab -3 dengan -2. Kami mengambil nombor -3 tolak dua kali. Jika kita mengambil nombor -3 dua kali, maka hasilnya akan menjadi -6, anda faham itu. Bagaimana jika kita mengambil tolak dua kali? Tetapi apakah maksud mengambil masa tolak? Jika anda mengambil nombor positif tolak kali, maka hasilnya akan negatif, tandanya berubah. Jika kita mengambil nombor negatif tolak kali, maka tandanya berubah dan ia menjadi positif.

Mengapa kita bercakap tentang mendarab tolak dengan tolak? Dan untuk mempertimbangkan abstraksi lain, kali ini ia berkaitan secara langsung dengan nombor kompleks. ini unit khayalan. Unit khayalan adalah sama dengan punca kuasa dua tolak 1:

Biar saya ingatkan anda apa itu punca kuasa dua. Ini ialah operasi songsang bagi kuasa dua. Dan kuasa dua adalah mendarab nombor dengan sendiri. Jadi punca kuasa dua bagi 4 ialah 2 kerana 2*2=4. Punca kuasa dua bagi 9 ialah 3, kerana 3*3=9. Punca kuasa dua bagi satu juga menjadi satu, dan punca kuasa dua sifar ialah sifar. Tetapi bagaimana kita mengambil punca kuasa dua tolak satu? Apakah nombor yang mesti didarab dengan sendiri untuk mendapatkan -1? Tetapi tidak ada nombor sedemikian! Jika kita darab -1 dengan sendirinya, kita akan mendapat 1. Jika kita darab 1 dengan 1, kita akan mendapat 1. Dan kita tidak akan mendapat tolak -1 dengan cara ini. Tetapi, bagaimanapun, kita mungkin menghadapi situasi di mana terdapat nombor negatif di bawah akar. Apa nak buat? Anda boleh, tentu saja, mengatakan bahawa tiada penyelesaian. Ia seperti membahagi dengan sifar. Sehingga suatu ketika, kita semua percaya bahawa mustahil untuk membahagi dengan sifar. Tetapi kemudian kami belajar tentang abstraksi seperti infiniti, dan ternyata pembahagian dengan sifar masih boleh dilakukan. Selain itu, abstraksi seperti pembahagian dengan sifar, atau ketidakpastian yang diperoleh dengan membahagikan sifar dengan sifar atau infiniti dengan infiniti, serta operasi lain yang serupa, digunakan secara meluas dalam matematik yang lebih tinggi (), dan matematik yang lebih tinggi- ini adalah asas ramai sains tepat, yang bergerak maju kemajuan teknikal Jadi mungkin dalam unit khayalan terdapat beberapa jenis maksud rahsia? makan. Dan anda akan memahaminya dengan membaca pelajaran lanjut saya tentang nombor kompleks. Sementara itu, saya akan bercakap tentang beberapa kawasan di mana nombor kompleks (nombor yang mengandungi unit khayalan) digunakan.

Jadi, berikut ialah senarai kawasan di mana nombor kompleks digunakan:

Kejuruteraan Elektrik. Pengiraan litar arus ulang alik. Penggunaan nombor kompleks dalam kes ini sangat memudahkan pengiraan tanpa nombor tersebut, persamaan pembezaan dan kamiran perlu digunakan.

Mekanik kuantum.Pendek kata - dalam mekanik kuantum terdapat perkara seperti fungsi gelombang, yang itu sendiri bernilai kompleks dan kuasa duanya (sudah nombor nyata) adalah sama dengan ketumpatan kebarangkalian untuk mencari zarah pada titik tertentu. Lihat juga siri pelajaran

Pemprosesan isyarat digital. Teori pemprosesan digital isyarat termasuk konsep seperti z-transform, yang sangat memudahkan pelbagai pengiraan yang berkaitan dengan pengiraan ciri pelbagai isyarat, seperti ciri frekuensi dan amplitud, dsb.

Penerangan tentang proses aliran satah cecair.

Aliran cecair di sekeliling profil.

Pergerakan gelombang cecair.

Dan ini jauh dari senarai lengkap tempat nombor kompleks digunakan. Ini melengkapkan perkenalan pertama dengan nombor kompleks, sehingga kita bertemu lagi.

Nombor kompleks atau khayalan pertama kali muncul dalam karya terkenal Cardano, The Great Art, atau peraturan algebra» 1545. Pada pendapat penulis, nombor ini tidak sesuai digunakan. Bagaimanapun, dakwaan ini kemudiannya disangkal. Khususnya, Bombelli pada tahun 1572, apabila membuat keputusan persamaan padu mewajarkan penggunaan nombor khayalan. Dia menyusun peraturan asas untuk operasi dengan nombor kompleks.

Tapi masih untuk masa yang lama V dunia matematik tiada idea umum tentang intipati nombor kompleks.

Simbol untuk nombor khayalan mula-mula dicadangkan ahli matematik yang cemerlang Euler. Simbolisme yang dicadangkan kelihatan seperti dengan cara berikut: i = sqr -1, di mana i ialah khayalan, yang bermaksud rekaan. Merit Euler juga termasuk idea ketertutupan algebra bidang nombor kompleks.

Jadi, keperluan untuk nombor jenis baru timbul apabila menyelesaikan persamaan kuadratik untuk kes D< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

Perwakilan grafik nombor kompleks mempunyai bentuk: a + bi, dengan a dan b ialah nombor nyata, dan i ialah unit khayalan, i.e. i 2 = -1. Nombor a dipanggil absis, dan b ialah ordinat bagi nombor kompleks a + bi. Dua nombor kompleks a + bi dan a - bi dipanggil nombor kompleks konjugasi.

Terdapat beberapa peraturan yang berkaitan dengan nombor kompleks:

• pertama, nombor sebenar dan boleh ditulis dalam bentuk nombor kompleks: a+ 0 i atau a - 0 i. Sebagai contoh, 5 + 0 i dan 5 - 0 i bermaksud nombor yang sama 5.
• Kedua, nombor kompleks 0+ bi dipanggil nombor khayalan semata-mata. Notasi bi bermaksud sama dengan 0+ bi .
• Ketiga, dua nombor kompleks a + bi dan c + di dianggap sama jika a = c dan b = d. Jika tidak, nombor kompleks tidak sama.

Operasi asas pada nombor kompleks termasuk:

Dalam perwakilan geometri, nombor kompleks, tidak seperti nombor nyata, yang diwakili pada garis nombor demi titik, ditandakan dengan titik pada satah koordinat. Untuk ini kami mengambil koordinat segi empat tepat (Cartesian) dengan skala yang sama pada paksi. Dalam kes ini, nombor kompleks a + bi akan diwakili oleh titik P dengan absis a dan ordinat b. Sistem koordinat ini dipanggil satah kompleks.

Modul nombor kompleks ialah panjang OP vektor yang mewakili nombor kompleks satah kompleks. Modulus nombor kompleks a + bi ditulis sebagai |a + bi| atau huruf r dan bersamaan dengan: r = |a + ib| = persegi a 2 + b 2 .

Nombor kompleks konjugat mempunyai modulus yang sama.