Matematik. Mekanik teori

Cari kamiran tak tentu(set antiderivatif atau "antiderivatif") bermaksud membina semula fungsi daripada terbitan yang diketahui bagi fungsi ini. Set antiderivatif yang dipulihkan F(x) + DENGAN untuk fungsi f(x) mengambil kira pemalar pengamiran C. Dengan kelajuan pergerakan titik material(derivatif) hukum gerakan titik ini (antiderivatif) boleh dipulihkan; mengikut pecutan pergerakan titik - kelajuannya dan hukum gerakan. Seperti yang anda lihat, integrasi adalah bidang yang luas untuk aktiviti fizik Sherlock Holmeses. Dan dalam ekonomi, banyak konsep diwakili melalui fungsi dan derivatifnya, dan oleh itu, sebagai contoh, adalah mungkin untuk memulihkan jumlah produk yang dihasilkan pada masa yang sama menggunakan produktiviti buruh pada masa tertentu (derivatif).

Mencari kamiran tak tentu memerlukan bilangan formula pengamiran asas yang agak kecil. Tetapi proses mencarinya adalah lebih sukar daripada hanya menggunakan formula ini. Semua kerumitan tidak berkaitan dengan penyepaduan, tetapi untuk membawa ungkapan boleh disepadukan kepada bentuk yang memungkinkan untuk mencari kamiran tak tentu menggunakan formula asas yang disebutkan di atas. Ini bermakna untuk memulakan amalan penyepaduan, anda perlu mengaktifkan perkara yang telah anda terima sekolah Menengah kemahiran transformasi ekspresi.

Kami akan belajar mencari kamiran menggunakan sifat dan jadual kamiran tak tentu daripada pelajaran tentang konsep asas topik ini (dibuka dalam tetingkap baharu).

Terdapat beberapa kaedah untuk mencari kamiran, yang mana kaedah penggantian berubah-ubah Dan integrasi mengikut kaedah bahagian- set lelaki wajib untuk semua orang yang telah berjaya lulus matematik yang lebih tinggi. Walau bagaimanapun, adalah lebih berguna dan menyeronokkan untuk mula menguasai penyepaduan menggunakan kaedah pengembangan, berdasarkan dua teorem berikut mengenai sifat kamiran tak tentu, yang kami ulangi di sini untuk kemudahan.

Teorem 3.Pengganda berterusan dalam kamiran dan boleh diambil sebagai tanda kamiran tak tentu, i.e.

Teorem 4. Kamiran tak tentu bagi jumlah algebra nombor terhingga fungsi adalah sama jumlah algebra kamiran tak tentu bagi fungsi ini, i.e.

(2)

Di samping itu, peraturan berikut mungkin berguna dalam penyepaduan: jika ungkapan kamiran dan mengandungi faktor malar, maka ungkapan antiterbitan didarabkan dengan songsangan faktor malar, iaitu

(3)

Memandangkan pelajaran ini adalah pengenalan kepada penyelesaian masalah integrasi, adalah penting untuk mengambil perhatian dua perkara yang sama ada sudah peringkat awal, atau sedikit kemudian mereka mungkin mengejutkan anda. Kejutan adalah disebabkan oleh fakta bahawa penyepaduan ialah operasi songsang pembezaan dan kamiran tak tentu boleh dipanggil "antiterbitan".

Perkara pertama yang anda tidak perlu terkejut apabila menyepadukan. Dalam jadual kamiran terdapat formula yang tidak mempunyai analog di antara formula jadual terbitan . Ini adalah formula berikut:

Walau bagaimanapun, anda boleh memastikan bahawa derivatif ungkapan di sebelah kanan formula ini bertepatan dengan kamiran yang sepadan.

Perkara kedua yang tidak boleh mengejutkan apabila menyepadukan. Walaupun terbitan mana-mana fungsi asas juga merupakan fungsi asas, kamiran tak tentu bagi beberapa fungsi asas tidak lagi fungsi asas . Contoh kamiran tersebut mungkin seperti berikut:

Untuk membangunkan teknik kamiran, kemahiran berikut akan berguna: mengurangkan pecahan, membahagi polinomial dalam pengangka pecahan dengan monomial dalam penyebut (untuk mendapatkan hasil tambah kamiran tak tentu), menukar punca kepada kuasa, mendarab monomial dengan polinomial, menaikkan kepada kuasa. Kemahiran ini diperlukan untuk transformasi kamiran, yang sepatutnya menghasilkan jumlah kamiran yang terdapat dalam jadual kamiran.

Mencari kamiran tak tentu bersama-sama

Contoh 1. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Kita lihat dalam penyebut bagi kamiran dan polinomial di mana x adalah kuasa dua. Ini adalah tanda yang hampir pasti bahawa anda boleh menggunakan kamiran jadual 21 (dengan arctangent sebagai hasilnya). Kami mengeluarkan faktor-dua daripada penyebut (terdapat sifat kamiran sedemikian - faktor pemalar boleh dikeluarkan di luar tanda kamiran; ia disebut di atas sebagai Teorem 3). Hasil daripada semua ini:

Sekarang penyebutnya ialah jumlah kuasa dua, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan kamiran jadual yang disebutkan. Akhirnya kita mendapat jawapan:

Contoh 2. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Kami sekali lagi menggunakan Teorem 3 - sifat kamiran, yang berdasarkannya faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran:

Kami menggunakan formula 7 daripada jadual kamiran (pembolehubah kepada kuasa) kepada fungsi kamiran dan:

Kami mengurangkan pecahan yang terhasil dan kami mempunyai jawapan akhir:

Contoh 3. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Menggunakan Teorem 4 dan kemudian Teorem 3 pada sifat, kita dapati kamiran ini sebagai hasil tambah tiga kamiran:

Ketiga-tiga kamiran yang diperoleh adalah jadual. Kami menggunakan formula (7) daripada jadual kamiran untuk n = 1/2, n= 2 dan n= 1/5, dan kemudian

menggabungkan ketiga-tiga pemalar arbitrari yang diperkenalkan apabila mencari tiga kamiran. Oleh itu, dalam situasi yang sama, hanya satu pemalar penyepaduan arbitrari perlu diperkenalkan.

Contoh 4. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Apabila penyebut integrand mengandungi monomial, kita boleh membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan. Kamiran asal bertukar menjadi hasil tambah dua kamiran:

Untuk menggunakan integral jadual, kami mengubah akar menjadi kuasa dan inilah jawapan akhir:

Kami terus mencari kamiran tak tentu bersama-sama

Contoh 7. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Jika kita menukar kamiran dan dengan mengkuadratkan binomial dan membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan, maka kamiran asal menjadi hasil tambah tiga kamiran.

Adakah mungkin untuk memasukkan fungsi tak linear di bawah tanda pembezaan? Ya, jika integrand ialah hasil darab dua faktor: satu faktor ialah fungsi kompleks bagi beberapa fungsi tak linear, dan faktor lain ialah terbitan bagi fungsi tak linear ini. Mari kita lihat apa yang telah dikatakan dengan contoh.

Cari kamiran tak tentu.

Contoh 1. ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Apakah yang diwakili oleh integrand ini? Kerja fungsi kuasa daripada (x 2 + x + 2) dan pengganda (2x + 1), yang sama dengan terbitan asas kuasa: (x 2 + x + 2)" = 2x + 1.

Ini membolehkan kami meletakkan (2x + 1) di bawah tanda pembezaan:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Formula 1). )

Peperiksaan. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 6 (x 2 + x + 2) 5 (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Contoh 2.∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6+C

Dan bagaimanakah contoh ini berbeza daripada contoh 1? tiada apa-apa! Kuasa kelima yang sama dengan tapak (x 3 – x 2 + 3x + 1) didarab dengan trinomial (3x 2 – 2x + 3), iaitu terbitan asas kuasa: (x 3 – x 2 + 3x + 1)" = 3x 2 – 2x + 3. Kami membawa asas darjah ini di bawah tanda pembezaan, dari mana nilai integrand tidak berubah, dan kemudian menggunakan formula yang sama 1 (). Kamiran)

Contoh 3.

Di sini terbitan (2x 3 – 3x) akan memberikan (6x 2 – 3), dan dengan kami

terdapat (12x 2 – 6), iaitu ungkapan dalam 2 kali lebih besar, yang bermaksud kita meletakkan (2x 3 – 3x) di bawah tanda pembezaan, dan meletakkan faktor di hadapan kamiran 2 . Jom amalkan formula 2) ( lembaran ).

Inilah yang berlaku:

Mari kita semak, dengan mengambil kira bahawa:

Contoh. Cari kamiran tak tentu.

1. ∫(6x+5) 3 dx. Bagaimana kita akan membuat keputusan? Melihat pada helaian dan kami menaakul sesuatu seperti ini: integrand mewakili ijazah, dan kami mempunyai formula untuk kamiran darjah (formula 1) ), tetapi di dalamnya asas ijazah u dan pembolehubah integrasi juga u.

Dan kami mempunyai pembolehubah integrasi X, dan asas darjah (6x+5). Mari kita buat perubahan kepada pembolehubah penyepaduan: bukannya dx kita tulis d (6x+5). Apa yang berubah? Oleh kerana apa yang datang selepas tanda pembezaan d adalah, secara lalai, dibezakan,

maka d (6x+5)=6dx, i.e. apabila menggantikan pembolehubah x dengan pembolehubah (6x+5), fungsi kamiran dan meningkat 6 kali ganda, jadi kami meletakkan faktor 1/6 di hadapan tanda kamiran. Hujah-hujah ini boleh ditulis seperti ini:

Jadi, kami menyelesaikan contoh ini dengan memperkenalkan pembolehubah baharu (pembolehubah x digantikan dengan pembolehubah 6x+5). Di manakah anda menulis pembolehubah baharu (6x+5)? Di bawah tanda pembezaan. sebab itu, kaedah ini memperkenalkan pembolehubah baru sering dipanggil kaedah ( atau cara ) menjumlahkan(pembolehubah baharu ) di bawah tanda pembezaan.

Dalam contoh kedua, kami mula-mula menerima ijazah dengan penunjuk negatif, dan kemudian letakkannya di bawah tanda pembezaan (7x-2) dan gunakan formula kamiran darjah 1) (Sepadu ).

Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh 3.

Kamiran didahului oleh pekali 1/5. kenapa? Oleh kerana d (5x-2) = 5dx, maka, dengan menggantikan fungsi u = 5x-2 di bawah tanda pembezaan, kami menambah kamiran sebanyak 5 kali, oleh itu, supaya nilai ungkapan yang diberikan tidak berubah - adalah perlu untuk membahagikan dengan 5, i.e. darab dengan 1/5. Seterusnya, formula digunakan 2) (Kamiran) .

Semua formula integral yang paling mudah akan kelihatan seperti:

∫f (x) dx=F (x)+C, dan kesaksamaan mesti dipenuhi:

(F (x)+C)"=f (x).

Rumus penyepaduan boleh diperolehi dengan menyongsangkan formula pembezaan yang sepadan.

sungguh,

Eksponen n mungkin pecahan. Selalunya anda perlu mencari kamiran tak tentu bagi fungsi y=√x. Mari kita hitung kamiran bagi fungsi f (x)=√x menggunakan formula 1) .

Mari kita tulis contoh ini sebagai formula 2) .

Oleh kerana (x+C)"=1, maka ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Menggantikan 1/x² dengan x -2, kami mengira kamiran 1/x².

Bolehkah anda mendapatkan jawapan ini dengan menghubungi formula terkenal pembezaan:

Marilah kita menulis penaakulan kita dalam bentuk formula 4).

Mendarab kedua-dua belah kesamaan yang terhasil dengan 2, kita memperoleh formula 5).

Mari kita cari kamiran yang utama fungsi trigonometri, mengetahui derivatifnya: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Kami memperoleh formula penyepaduan 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

Selepas mengkaji demonstratif dan fungsi logaritma, mari tambah beberapa lagi formula.

Sifat asas tidak kamiran pasti.

saya. Terbitan kamiran tak tentu adalah sama dengan kamiran .

(∫f (x) dx)"=f (x).

II. Pembezaan kamiran tak tentu adalah sama dengan kamiran.

d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. Kamiran tak tentu bagi pembezaan (terbitan) bagi sesetengah fungsi sama dengan jumlah fungsi ini dan pemalar arbitrari C.

∫dF (x)=F (x)+C atau ∫F"(x) dx=F (x)+C.

Sila ambil perhatian: dalam I, II dan III sifat tanda-tanda pembezaan dan kamiran (integral dan pembezaan) "makan" satu sama lain!

IV. Faktor pemalar bagi kamiran dan boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran.

∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx, di mana k - tetap, tidak sama dengan sifar.

V. Kamiran bagi hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi kamiran fungsi ini.

∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Jika F (x) ialah antiterbitan bagi f (x), dan k Dan b ialah nilai malar, dan k≠0, maka (1/k)·F (kx+b) ialah antiterbitan untuk f (kx+b). Sesungguhnya, mengikut peraturan untuk mengira derivatif fungsi kompleks kami ada:

Anda boleh menulis:

Untuk setiap operasi matematik terdapat kesan sebaliknya. Untuk tindakan pembezaan (mencari derivatif fungsi) terdapat juga tindakan terbalik- integrasi. Melalui penyepaduan, fungsi ditemui (dibina semula) daripada terbitan atau pembezaan yang diberikan. Fungsi yang ditemui dipanggil antiderivatif.

Definisi. Fungsi yang boleh dibezakan F(x) dipanggil antiterbitan fungsi f(x) pada selang waktu tertentu, jika untuk semua X dari selang ini persamaan berikut dipegang: F′(x)=f (x).

Contoh. Cari antiderivatif untuk fungsi: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Oleh kerana (x²)′=2x, maka, mengikut takrifan, fungsi F (x)=x² akan menjadi antiterbitan bagi fungsi f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Jika kita menyatakan f (x)=3cos3x dan F (x)=sin3x, maka, mengikut takrif antiterbitan, kita mempunyai: F′(x)=f (x), dan, oleh itu, F (x)=sin3x ialah antiterbitan untuk f ( x)=3cos3x.

Perhatikan bahawa (sin3x +5 )′= 3cos3x, dan (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... V Pandangan umum boleh ditulis: (sin3x +C)′= 3cos3x, Di mana DENGAN- beberapa nilai tetap. Contoh-contoh ini menunjukkan kekaburan tindakan penyepaduan, berbeza dengan tindakan pembezaan, apabila mana-mana fungsi boleh dibezakan mempunyai derivatif tunggal.

Definisi. Jika fungsi F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi f(x) pada selang waktu tertentu, maka set semua antiderivatif fungsi ini mempunyai bentuk:

F(x)+C, dengan C ialah sebarang nombor nyata.

Set semua antiterbitan F (x) + C bagi fungsi f (x) pada selang yang dipertimbangkan dipanggil kamiran tak tentu dan dilambangkan dengan simbol ∫ (tanda kamiran). Menulis: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ungkapan ∫f(x)dx baca: "ef kamiran daripada x ke de x."

f(x)dx- integrasi dan ekspresi,

f(x)- integrasi dan fungsi,

X ialah pembolehubah integrasi.

F(x)- antiterbitan fungsi f(x),

DENGAN- beberapa nilai tetap.

Sekarang contoh yang dipertimbangkan boleh ditulis seperti berikut:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Apakah maksud tanda d?

d— tanda pembezaan - mempunyai dua tujuan: pertama, tanda ini memisahkan integrand daripada pembolehubah integrasi; kedua, semua yang datang selepas tanda ini dibezakan secara lalai dan didarab dengan integrand.

Contoh. Cari kamiran: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Selepas ikon pembezaan d kos XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Bandingkan dengan contoh 1).

Jom buat pemeriksaan. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Selepas ikon pembezaan d kos R. Ini bermakna pembolehubah integrasi R, dan pengganda X harus dianggap beberapa nilai tetap.

∫ 2хрдр=р²х+С. Bandingkan dengan contoh 1) Dan 3).

Jom buat pemeriksaan. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Muka surat 1 daripada 1 1

kalkulus kamiran.

Fungsi antiderivatif.

Definisi: Fungsi F(x) dipanggil fungsi antiderivatif fungsi f(x) pada segmen jika kesamaan adalah benar pada mana-mana titik segmen ini:

Perlu diingatkan bahawa boleh terdapat bilangan antiterbitan yang tidak terhingga untuk fungsi yang sama. Mereka akan berbeza antara satu sama lain dengan beberapa nombor tetap.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Kamiran tak tentu.

Definisi: Kamiran tak tentu functionf(x) ialah satu set fungsi antiterbitan yang ditakrifkan oleh hubungan:

Menulis:

Syarat kewujudan kamiran tak tentu pada segmen tertentu ialah kesinambungan fungsi pada segmen ini.

sifat:

Contoh:

Mencari nilai kamiran tak tentu dikaitkan terutamanya dengan mencari antiterbitan fungsi. Untuk beberapa fungsi ini adalah tugas yang agak sukar. Di bawah ini kita akan mempertimbangkan kaedah untuk mencari kamiran tak tentu untuk kelas utama fungsi - rasional, tidak rasional, trigonometri, eksponen, dll.

Untuk kemudahan, nilai kamiran tak tentu bagi kebanyakan fungsi asas dikumpulkan dalam jadual kamiran khas, yang kadangkala agak besar. Ia termasuk pelbagai gabungan fungsi yang biasa digunakan. Tetapi kebanyakan formula yang dibentangkan dalam jadual ini adalah akibat antara satu sama lain, jadi di bawah kami membentangkan jadual kamiran asas, dengan bantuannya anda boleh mendapatkan nilai kamiran tak tentu pelbagai fungsi.

kamiran	Maknanya	kamiran	Maknanya

	lnsinx+ C



	ln

Kaedah integrasi.

Mari kita pertimbangkan tiga kaedah utama penyepaduan.

Penyepaduan langsung.

Kaedah penyepaduan langsung adalah berdasarkan andaian bahawa makna yang mungkin fungsi antiterbitan dengan pengesahan lanjut nilai ini melalui pembezaan. Secara umum, kami perhatikan bahawa pembezaan ialah alat yang berkuasa untuk menyemak hasil penyepaduan.

Mari kita lihat aplikasi kaedah ini menggunakan contoh:

Kita perlu mencari nilai kamiran . Berdasarkan formula pembezaan yang terkenal
kita boleh membuat kesimpulan bahawa kamiran yang dicari adalah sama dengan
, dengan C ialah beberapa nombor tetap. Namun, sebaliknya
. Oleh itu, akhirnya kita boleh membuat kesimpulan:

Ambil perhatian bahawa, berbeza dengan pembezaan, di mana teknik dan kaedah yang jelas digunakan untuk mencari derivatif, peraturan untuk mencari derivatif, dan akhirnya definisi derivatif, kaedah sedemikian tidak tersedia untuk penyepaduan. Jika, apabila mencari derivatif, kita menggunakan, boleh dikatakan, kaedah membina, yang, berdasarkan peraturan tertentu, membawa kepada hasilnya, maka apabila mencari antiderivatif kita perlu bergantung terutamanya pada pengetahuan jadual derivatif dan antiderivatif.

Bagi kaedah penyepaduan langsung, ia hanya terpakai untuk beberapa kelas fungsi yang sangat terhad. Terdapat sangat sedikit fungsi yang mana anda boleh segera mencari antiderivatif. Oleh itu, dalam kebanyakan kes, kaedah yang diterangkan di bawah digunakan.

Kaedah penggantian (menggantikan pembolehubah).

Teorem: Jika anda perlu mencari integral
, tetapi sukar untuk mencari antiderivatif, kemudian menggunakan penggantian x =  (t) dan dx =  (t) dt ternyata:

Bukti : Mari kita bezakan kesamaan yang dicadangkan:

Menurut harta No. 2 kamiran tak tentu yang dibincangkan di atas:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

yang, dengan mengambil kira tatatanda yang diperkenalkan, adalah andaian awal. Teorem telah terbukti.

Contoh. Cari kamiran tak tentu
.

Jom buat pengganti t = sinx, dt = cosxdt.

Contoh.

Penggantian
Kita mendapatkan:

Di bawah ini kita akan mempertimbangkan contoh lain menggunakan kaedah penggantian untuk pelbagai jenis fungsi.

Integrasi mengikut bahagian.

Kaedah ini adalah berdasarkan formula yang terkenal untuk terbitan produk:

(uv)=uv+vu

di mana uиv ialah beberapa fungsi x.

Dalam bentuk pembezaan: d(uv) =udv+vdu

Mengintegrasikan, kami mendapat:
, dan mengikut sifat di atas kamiran tak tentu:

atau
;

Kami telah memperoleh formula untuk penyepaduan mengikut bahagian, yang membolehkan kami mencari kamiran banyak fungsi asas.

Contoh.

Seperti yang anda lihat, aplikasi konsisten formula penyepaduan mengikut bahagian membolehkan anda secara beransur-ansur memudahkan fungsi dan membawa kamiran kepada satu jadual.

Contoh.

Dapat dilihat bahawa hasil daripada aplikasi integrasi yang berulang mengikut bahagian, fungsi tidak dapat dipermudahkan kepada bentuk jadual. Walau bagaimanapun, kamiran terakhir yang diperolehi tidak berbeza dengan yang asal. Oleh itu, kami memindahkannya ke sebelah kiri kesamaan.

Oleh itu, kamiran ditemui tanpa menggunakan jadual kamiran sama sekali.

Sebelum mempertimbangkan secara terperinci kaedah penyepaduan pelbagai kelas fungsi, kami memberikan beberapa lagi contoh mencari kamiran tak tentu dengan mengurangkannya kepada jadual.

Contoh.

Penyepaduan pecahan asas.

Definisi: peringkat rendah Empat jenis pecahan berikut dipanggil:

saya.
III.

II.
IV.

m,n– integer(m2,n2) dan b 2 – 4ac<0.

Dua jenis kamiran pertama bagi pecahan asas boleh dibawa ke jadual dengan menggantikan t=ax+b.

Mari kita pertimbangkan kaedah menyepadukan pecahan asas jenis III.

Kamiran pecahan jenis III boleh diwakili sebagai:

Di sini, dalam bentuk umum, pengurangan kamiran pecahan jenis III kepada dua kamiran jadual ditunjukkan.

Mari kita lihat aplikasi formula di atas menggunakan contoh.

Contoh.

Secara amnya, jika trinomial ax 2 +bx+c mempunyai ungkapan b 2 – 4ac>0, maka pecahan itu, mengikut takrifan, bukanlah asas, walau bagaimanapun, ia boleh disepadukan mengikut cara yang dinyatakan di atas.

Contoh.

Sekarang mari kita pertimbangkan kaedah untuk menyepadukan pecahan mudah jenis IV.

Pertama, mari kita pertimbangkan kes khas dengan M = 0, N = 1.

Kemudian kamiran bentuk
boleh diwakili dengan mengasingkan penyebut bagi segi empat sama lengkap dalam bentuk
. Mari buat transformasi berikut:

Kami akan mengambil kamiran kedua yang termasuk dalam kesamarataan ini mengikut bahagian.

Mari kita nyatakan:

Untuk kamiran asal kami memperoleh:

Formula yang terhasil dipanggil berulang. Jika anda menggunakannya n-1 kali, anda mendapat kamiran jadual
.

Sekarang mari kita kembali kepada kamiran pecahan asas jenis IV dalam kes umum.

Dalam kesamaan yang terhasil, kamiran pertama menggunakan penggantian t = u 2 + s dikurangkan kepada jadual , dan formula ulangan yang dibincangkan di atas digunakan pada kamiran kedua.

Walaupun kerumitan yang jelas untuk mengintegrasikan pecahan asas jenis IV, dalam praktiknya ia agak mudah digunakan untuk pecahan dengan darjah kecil n, dan kesejagatan dan keluasan pendekatan memungkinkan pelaksanaan kaedah ini yang sangat mudah pada komputer.

Contoh:

Integrasi fungsi rasional.

Menggabungkan pecahan rasional.

Untuk mengintegrasikan pecahan rasional, adalah perlu untuk menguraikannya kepada pecahan asas.

Teorem: Jika
- pecahan rasional wajar, penyebut P(x) daripadanya diwakili sebagai hasil darab faktor linear dan kuadratik (perhatikan bahawa sebarang polinomial dengan pekali nyata boleh diwakili dalam bentuk ini: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), maka pecahan ini boleh diuraikan menjadi pecahan asas mengikut skema berikut:

di mana A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i ialah beberapa kuantiti tetap.

Apabila menyepadukan pecahan rasional, mereka menggunakan pecahan asal kepada pecahan asas. Untuk mencari kuantiti A i , B i , M i , N i , R i , S i , apa yang dipanggil kaedah pekali tidak pasti, yang intipatinya ialah agar dua polinomial menjadi sama, adalah perlu dan mencukupi bahawa pekali pada kuasa yang sama bagi x adalah sama.

Mari kita lihat aplikasi kaedah ini menggunakan contoh khusus.

Contoh.

Mengurangkan kepada penyebut biasa dan menyamakan pengangka yang sepadan, kita mendapat:

Contoh.

Kerana Jika pecahan itu tidak betul, anda mesti memilih keseluruhan bahagiannya dahulu:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Mari kita memfaktorkan penyebut pecahan yang terhasil. Ia boleh dilihat bahawa pada x = 3 penyebut pecahan bertukar kepada sifar. Kemudian:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Oleh itu 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Kemudian:

Untuk mengelak membuka kurungan, mengumpulkan dan menyelesaikan sistem persamaan (yang dalam beberapa kes mungkin agak besar) apabila mencari pekali yang tidak pasti, apa yang dipanggil kaedah nilai sewenang-wenangnya . Intipati kaedah ini ialah beberapa (mengikut bilangan pekali yang tidak ditentukan) nilai arbitrari x digantikan ke dalam ungkapan di atas. Untuk memudahkan pengiraan, adalah kebiasaan untuk mengambil sebagai titik nilai sewenang-wenang di mana penyebut pecahan adalah sama dengan sifar, i.e. dalam kes kami – 3, -2, 1/3. Kita mendapatkan:

Akhirnya kita dapat:

Contoh.

Mari cari pekali yang tidak ditentukan:

Kemudian nilai kamiran yang diberikan:

Integrasi beberapa trigonometri

fungsi.

Boleh terdapat bilangan kamiran yang tidak terhingga daripada fungsi trigonometri. Kebanyakan kamiran ini tidak boleh dikira secara analitik sama sekali, jadi mari kita pertimbangkan beberapa jenis utama fungsi yang sentiasa boleh disepadukan.

Kamiran bentuk
.

Di sini R ialah penetapan beberapa fungsi rasional pembolehubah sinx dan cosx.

Kamiran jenis ini dikira menggunakan penggantian
. Penggantian ini membolehkan anda menukar fungsi trigonometri kepada fungsi rasional.

Kemudian

Oleh itu:

Transformasi yang diterangkan di atas dipanggil penggantian trigonometri sejagat.

Contoh.

Kelebihan penggantian ini yang tidak diragukan ialah dengan bantuannya anda sentiasa boleh mengubah fungsi trigonometri menjadi satu rasional dan mengira kamiran yang sepadan. Kelemahan termasuk hakikat bahawa transformasi boleh menghasilkan fungsi rasional yang agak kompleks, yang penyepaduan akan mengambil banyak masa dan usaha.

Walau bagaimanapun, jika mustahil untuk menggunakan penggantian pembolehubah yang lebih rasional, kaedah ini adalah satu-satunya kaedah yang berkesan.

Contoh.

Kamiran bentuk
Jika

fungsiRcosx.

Walaupun terdapat kemungkinan untuk mengira kamiran sedemikian menggunakan penggantian trigonometri universal, adalah lebih rasional untuk menggunakan penggantian t = sinx.

Fungsi
boleh mengandungi cosx hanya dalam kuasa genap, dan oleh itu boleh ditukar menjadi fungsi rasional berkenaan dengan sinx.

Contoh.

Secara umumnya, untuk menggunakan kaedah ini, hanya keganjilan fungsi relatif kepada kosinus yang diperlukan, dan tahap sinus yang termasuk dalam fungsi itu boleh menjadi sebarang, kedua-dua integer dan pecahan.

Kamiran bentuk
Jika

fungsiRadalah ganjil berbandingsinx.

Dengan analogi dengan kes yang dipertimbangkan di atas, penggantian dibuat t = cosx.

Contoh.

Kamiran bentuk

fungsiRmalah secara relatifnyasinxDancosx.

Untuk mengubah fungsi R menjadi fungsi rasional, gunakan penggantian

t = tgx.

Contoh.

Kamiran hasil darab sinus dan kosinus

pelbagai hujah.

Bergantung pada jenis kerja, satu daripada tiga formula akan digunakan:

Contoh.

Kadangkala apabila menyepadukan fungsi trigonometri adalah mudah untuk menggunakan formula trigonometri yang terkenal untuk mengurangkan susunan fungsi.

Contoh.

Kadangkala beberapa teknik bukan standard digunakan.

Contoh.

Penyepaduan beberapa fungsi tidak rasional.

Bukan semua orang fungsi tidak rasional mungkin mempunyai kamiran yang dinyatakan oleh fungsi asas. Untuk mencari kamiran fungsi tak rasional, anda harus menggunakan penggantian yang akan membolehkan anda mengubah fungsi itu menjadi fungsi rasional, kamirannya sentiasa boleh ditemui, seperti yang selalu diketahui.

Mari kita lihat beberapa teknik untuk mengintegrasikan pelbagai jenis fungsi tidak rasional.

Kamiran bentuk
di manan- nombor asli.

Menggunakan penggantian
fungsi itu dirasionalkan.

Contoh.

Jika komposisi fungsi tidak rasional termasuk punca pelbagai darjah, maka sebagai pembolehubah baharu adalah rasional untuk mengambil punca darjah sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi darjah akar yang termasuk dalam ungkapan.

Mari kita gambarkan ini dengan contoh.

Contoh.

Integrasi pembezaan binomial.

Definisi: Pembezaan binomial disebut ungkapan

x m (a + bx n ) hlm dx

di mana m, n, Dan hlm– nombor rasional.

Seperti yang dibuktikan oleh ahli akademik P.L. (1821-1894), kamiran pembezaan binomial boleh dinyatakan dalam sebutan fungsi asas hanya dalam tiga kes berikut:

Jika R ialah integer, maka kamiran dirasionalkan menggunakan penggantian

, dengan  ialah penyebut sepunya m Dan n.

Fungsi F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi f(x) pada selang (a; b) jika f(x) untuk semua x (a; b) kesamaan F (x) = f(x). 2

Teorem 1. Jika F(x) ialah antiterbitan untuk f(x) pada (a; b), maka F(x) + C, dengan C ialah nombor, juga merupakan antiterbitan untuk f(x) pada (a; b). Bukti: (F + C) = F + C = f + 0 = f 3

Mari kita buktikan dua teorem tambahan: Jika fungsi g(x) adalah tetap pada (a; b), maka g (x) = 0. Jika g (x) = 0 untuk semua x (a; b), maka g( x) = C pada (a; b). 4

Teorem 2. Jika F(x) ialah antiterbitan bagi f(x) pada selang (a; b), dan G(x) ialah satu lagi antiterbitan bagi f(x) pada (a; b), maka G = F + C, dengan C ialah nombor. 5

Set semua antiterbitan bagi fungsi f(x) pada selang (a; b) dipanggil kamiran tak tentu dan dilambangkan dengan kamiran f(x)dx. dx Pengiraan kamiran tak tentu bagi fungsi yang diberikan dipanggil integrasi 6

Jika fungsi f(x) adalah selanjar, dan fungsi (t) mempunyai derivatif selanjar (t), maka formulanya ialah: f((t)) (t) dt = f(x) dx, dengan x = ( t). 8

Biarkan u(x) dan v(x) menjadi fungsi boleh beza pada beberapa selang. Kemudian (uv) = u v + v u Ini membayangkan (uv) dx = (u v + v u)dx = = u v dx + v u dx atau uv dx = uv – u v dx. 10

Ini membayangkan formula yang dipanggil formula penyepaduan mengikut bahagian: penyepaduan oleh bahagian u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) 11

Kamiran pasti bagi suatu fungsi sepanjang selang ialah had yang mana jumlah kamiran cenderung semasa proses ini, jika had itu wujud: 13

Nombor a dipanggil had bawah pengamiran, dan nombor b dipanggil had atas pengamiran Dalam Rajah 2 trapezoid melengkung diserlahkan dengan teduhan. Luas S trapezoid ini ditentukan oleh formula 14

Biarkan fungsi f(t) ditakrifkan dan berterusan pada beberapa selang yang mengandungi titik a. Kemudian setiap nombor x daripada selang ini boleh diberikan nombor, dengan itu mentakrifkan fungsi I(x) pada selang, yang dipanggil kamiran pasti dengan had atas pembolehubah 17

Terbitan kamiran pasti berkenaan dengan had atas pada titik x adalah sama dengan nilai kamiran dan pada titik x. 18

Biarkan fungsi y = f(x) ditakrifkan dan berterusan pada selang separuh tak terhingga)