Artikel ini membincangkan algoritma penyelesaian tugas biasa untuk mencari titik maksimum dan minimum, nilai terbesar dan terkecil fungsi. Contoh penyelesaian masalah disediakan. Dibentangkan pilihan latihan, sepadan dengan tugasan No 12. Contoh diambil daripada bank terbuka FIPI.
Muat turun:
Pratonton:
VC. Kuznetsova,
guru matematik di Institusi Pendidikan Belanjawan Negeri "Sekolah No. 329", Moscow,
Calon Sains Pedagogi
Bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersatu
Panduan Pelajar
Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang masalah di mana fungsi dipertimbangkan dan syaratnya mengandungi soalan yang berkaitan dengan kajian mereka.
Ini adalah keseluruhan kumpulan masalah yang termasuk dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Biasanya persoalannya ialah tentang mencari titik maksimum (minimum) atau menentukan nilai terbesar (terkecil) bagi sesuatu fungsi pada selang tertentu.
Dipertimbangkan:
Kuasa dan fungsi tidak rasional.
Fungsi rasional.
Penyelidikan karya dan kerja persendirian.
Fungsi logaritma.
Fungsi trigonometri.
Untuk berjaya menyelesaikan masalah ini, anda perlu mengetahui teori had, konsep terbitan, sifat terbitan untuk mengkaji graf fungsi dan makna geometrinya. Sifat terbitan adalah perlu untuk mengkaji kelakuan sesuatu fungsi apabila ia bertambah dan berkurang.
Apa lagi yang perlu anda ketahui untuk menyelesaikan masalah mengenai kajian fungsi: jadual derivatif dan peraturan pembezaan. ini pengetahuan asas, mengenai topik terbitan. Derivatif fungsi asas anda perlu tahu dengan sempurna.
Sifat terbitan
1. Terbitan pada selang peningkatan mempunyai tanda positif (apabila menggantikan nilai dari selang ke dalam terbitan, nombor positif diperoleh).
Ini bermakna jika derivatif pada titik tertentu dari selang tertentu mempunyai nilai positif, maka graf fungsi bertambah sepanjang selang ini.
2. Pada selang berkurangan, terbitan mempunyai tanda negatif(apabila menggantikan nilai daripada selang ke dalam ungkapan terbitan, nombor negatif diperolehi).
Ini bermakna jika derivatif pada titik tertentu dari selang tertentu mempunyai makna negatif, maka graf fungsi berkurangan pada selang ini.
Masalah mencari mata maksimum dan minimum
Algoritma untuk mencari titik maksimum (minimum) fungsi:
1. Cari terbitan bagi fungsi itu f'(x).
2. Cari sifar terbitan (dengan menyamakan terbitan kepada sifar f’(x)=0 dan selesaikan persamaan yang terhasil). Kami juga mencari titik di mana terbitan tidak wujud (khususnya, ini digunakan untuk fungsi rasional pecahan).
3. Kami menandakan nilai yang diperoleh pada garis nombor dan menentukan tanda terbitan pada selang ini dengan menggantikan nilai dari selang ke dalam ungkapan terbitan.
Kesimpulannya akan menjadi salah satu daripada dua:
1. Titik maksimum ialah titik di mana derivatif menukar nilai daripada positif kepada negatif.
2. Titik minimum ialah titik di mana derivatif menukar nilainya daripada negatif kepada positif.
Masalah untuk mencari nilai terbesar atau terkecil
berfungsi pada selang waktu.
Dalam jenis masalah lain, anda perlu mencari yang terbesar atau nilai terkecil berfungsi pada selang waktu tertentu.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar (terkecil) fungsi:
1. Tentukan sama ada terdapat mata maksimum (minimum). Untuk melakukan ini, kami mencari derivatif f’(x) , kemudian selesaikan f’(x)=0 .
2. Kami menentukan sama ada mata yang diperoleh tergolong dalam selang yang diberikan dan mencatatkan mata yang berada dalam hadnya.
3. Gantikan sempadan ke dalam fungsi asal (bukan ke dalam derivatif, tetapi ke dalam yang diberikan dalam keadaan) selang yang diberikan dan mata (maksimum-minimum) terletak dalam selang waktu.
4. Kira nilai fungsi.
5. Kami memilih nilai terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh, bergantung pada soalan yang dikemukakan dalam masalah dan kemudian tulis jawapannya.
Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah yang melibatkan kajian fungsi.
Contoh 1.
Cari mata maksimum dan minimum fungsi
Penyelesaian:
Mari kita cari sifar terbitan:
Mari kita tentukan tanda-tanda terbitan fungsi dan gambarkan dalam rajah
tingkah laku fungsi:
+ _ +
Y -4 4
Maks min
Titik maksimum yang diperlukan ialah x= -4, titik minimum yang dikehendaki ialah x=4.
Jawapan: −4; 4.
Contoh 2.
Cari nilai terkecil berfungsi pada selang waktu.
Penyelesaian.
Mari cari derivatif fungsi yang diberikan:
Mari kita cari sifar terbitan:
_ +
Y 0 3 4
Pada titik x=3 fungsi yang diberikan mempunyai minimum, iaitu nilai terkecilnya pada segmen yang diberikan. Mari cari nilai terkecil ini:
Jawapan: −54.
Contoh 3.
Cari nilai tertinggi berfungsi pada selang waktu.
Penyelesaian.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
Mari kita cari sifar terbitan:
Mari tentukan tanda-tanda terbitan fungsi dan gambarkan kelakuan fungsi dalam rajah:
_ +
Y -2 -1 0
Pada titik x= -1, fungsi yang diberikan mempunyai maksimum, iaitu nilai terbesarnya pada segmen tertentu. Mari cari nilai terbesar ini:
Jawapan: 6.
Kami menjemput anda untuk menyelesaikan pilihan latihan untuk mencari mata maksimum dan minimum, nilai kuasa terbesar dan terkecil dan fungsi tidak rasional. Tugasan tersebut sepadan dengan tugasan No. 12 dan diambil dari bank terbuka FIPI.
Latihan mengenai topik
"Kajian kuasa dan fungsi tidak rasional"
Tugasan No. 12
Pilihan 1.
3. pada segmen
pada segmen
Pilihan 2.
1. .
2. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut.
3. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut pada segmen.
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut pada segmen.
Pilihan 3.
1. Cari titik maksimum bagi fungsi tersebut.
2. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut.
3. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut
pada segmen.
4,. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
pada segmen.
Pilihan 4.
1. Cari titik maksimum bagi fungsi tersebut
2. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut
3. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut
pada segmen
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
pada segmen
Pilihan 5.
1. Cari titik maksimum bagi fungsi tersebut.
2. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut
3. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut
pada segmen
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
pada segmen
Pilihan 6.
1. Cari titik maksimum bagi fungsi tersebut
2. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut
3. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut pada segmen
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut pada segmen
Pilihan 7.
1. Cari titik maksimum bagi fungsi tersebut
2. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut
3. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut
Pada segmen
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
Pada segmen
Pilihan 8.
1. Cari titik maksimum bagi fungsi tersebut
2. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut
pada segmen
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
Pada segmen
Pilihan 9.
3. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut pada segmen
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut pada segmen
Pilihan 10.
pada segmen
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
Pada segmen
Pilihan 11.
1. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut
2. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut
pada segmen
3. Cari titik minimum bagi fungsi tersebut
4. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
Pada segmen
Pilihan 12.
pada segmen
4. Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut
pada segmen
Pilihan 13.
1. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
Pada segmen
2. Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
pada segmen
Penyelidikan fungsi. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang masalah di mana fungsi dipertimbangkan dan syaratnya mengandungi soalan yang berkaitan dengan kajian mereka. Mari kita pertimbangkan perkara teori utama yang perlu diketahui dan difahami untuk menyelesaikannya.
Ini adalah keseluruhan kumpulan masalah yang termasuk dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Biasanya persoalannya ialah tentang mencari titik maksimum (minimum) atau menentukan nilai terbesar (terkecil) bagi sesuatu fungsi pada selang tertentu.Dipertimbangkan:
— Kuasa dan fungsi tidak rasional.
- Fungsi rasional.
- Kajian kerja dan kerja persendirian.
- Fungsi logaritma.
- Fungsi trigonometri.
Jika anda memahami teori had, konsep terbitan, sifat terbitan untuk mengkaji graf fungsi dan , maka masalah tersebut tidak akan menyebabkan anda mengalami sebarang kesukaran dan anda akan menyelesaikannya dengan mudah.
Maklumat di bawah adalah perkara teori, pemahaman yang akan membolehkan anda memahami cara menyelesaikannya tugasan yang serupa. Saya akan cuba membentangkannya sedemikian rupa sehingga mereka yang terlepas topik ini atau kurang mempelajarinya dapat menyelesaikan masalah tersebut tanpa banyak kesukaran.
Dalam masalah kumpulan ini, seperti yang telah disebutkan, ia diperlukan untuk mencari sama ada titik minimum (maksimum) fungsi, atau nilai terbesar (terkecil) fungsi pada selang.
Mata minimum dan maksimum.Sifat derivatif.
Pertimbangkan graf fungsi:
Titik A ialah titik maksimum pada selang dari O ke A fungsi meningkat, dan pada selang dari A ke B ia berkurangan.
Titik B ialah titik minimum; pada selang dari A ke B fungsi berkurangan, pada selang dari B ke C ia meningkat.
Pada titik ini (A dan B), derivatif menjadi sifar (sama dengan sifar).
Tangen pada titik ini adalah selari dengan paksi lembu.
Saya akan menambah bahawa titik di mana fungsi mengubah tingkah lakunya daripada meningkat kepada menurun (dan sebaliknya, daripada menurun kepada meningkat) dipanggil extrema.
Perkara penting:
1. Derivatif pada selang yang semakin meningkat mempunyai tanda positif (nApabila anda menggantikan nilai daripada selang ke dalam terbitannya, anda mendapat nombor positif).
Ini bermakna jika terbitan pada titik tertentu dari selang tertentu mempunyai nilai positif, maka graf fungsi pada selang ini meningkat.
2. Pada selang yang berkurangan, terbitan mempunyai tanda negatif (apabila menggantikan nilai daripada selang ke dalam ungkapan terbitan, nombor negatif diperoleh).
Ini bermakna jika derivatif pada titik tertentu dari selang tertentu mempunyai nilai negatif, maka graf fungsi berkurangan pada selang ini.
Ini perlu difahami dengan jelas!!!
Oleh itu, dengan mengira derivatif dan menyamakannya dengan sifar, anda boleh mencari titik yang membahagikan garis nombor kepada selang.Pada setiap selang ini, anda boleh menentukan tanda derivatif dan kemudian membuat kesimpulan tentang peningkatan atau penurunannya.
*Sebutan khusus hendaklah dibuat tentang titik di mana terbitan tidak wujud. Sebagai contoh, kita boleh mendapatkan derivatif yang penyebutnya hilang pada x tertentu. Adalah jelas bahawa untuk x tersebut derivatif tidak wujud. Jadi, titik ini mesti juga diambil kira semasa menentukan selang kenaikan (penurunan).
Fungsi pada titik di mana terbitan adalah sama dengan sifar tidak selalu mengubah tandanya. Akan ada artikel berasingan mengenai perkara ini. Tidak akan ada tugas sedemikian pada Peperiksaan Negeri Bersatu itu sendiri.
Sifat di atas adalah perlu untuk mengkaji kelakuan sesuatu fungsi untuk meningkat dan menurun.
Apa lagi yang perlu anda ketahui untuk menyelesaikan masalah yang dinyatakan: jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Tiada cara tanpa ini. Ini adalah pengetahuan asas mengenai topik derivatif. Anda seharusnya mengetahui terbitan fungsi asas dengan sempurna.
Mengira terbitan bagi fungsi kompleksf(g(x)), bayangkan fungsinyag(x) ini adalah pembolehubah dan kemudian hitung terbitanf’(g(x)) Oleh formula jadual sebagai terbitan biasa pembolehubah. Kemudian darabkan hasil dengan terbitan fungsi tersebutg(x) .
Tonton tutorial video Maxim Semenikhin tentang fungsi kompleks:
Masalah mencari mata maksimum dan minimum
Algoritma untuk mencari titik maksimum (minimum) fungsi:
1. Cari terbitan bagi fungsi itu f’(x).
2. Cari sifar terbitan (dengan menyamakan terbitan kepada sifar f’(x)=0 dan selesaikan persamaan yang terhasil). Kami juga mencari titik di mana derivatif tidak wujud(khususnya ini terpakai kepada fungsi rasional pecahan).
3. Kami menandakan nilai yang diperoleh pada garis nombor dan menentukan tanda terbitan pada selang ini dengan menggantikan nilai dari selang ke dalam ungkapan terbitan.
Kesimpulannya akan menjadi salah satu daripada dua:
1. Titik maksimum ialah titikdi mana derivatif mengubah nilai daripada positif kepada negatif.
2. Titik minimum ialah titikdi mana derivatif mengubah nilainya daripada negatif kepada positif.
Masalah untuk mencari nilai terbesar atau terkecil
berfungsi pada selang waktu.
Dalam jenis masalah lain, anda perlu mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi pada selang waktu tertentu.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar (terkecil) fungsi:
1. Tentukan sama ada terdapat mata maksimum (minimum). Untuk melakukan ini, kami mencari derivatif f’(x) , maka kita selesaikan f’(x)=0 (titik 1 dan 2 daripada algoritma sebelumnya).
2. Kami menentukan sama ada mata yang diperoleh tergolong dalam selang yang diberikan dan mencatatkan mata yang berada dalam hadnya.
3. Kami menggantikan ke dalam fungsi asal (bukan ke dalam derivatif, tetapi ke dalam yang diberikan dalam keadaan) sempadan selang yang diberikan dan titik (maksimum-minimum) yang terletak dalam selang (item 2).
4. Kira nilai fungsi.
5. Kami memilih nilai terbesar (terkecil) daripada yang diperoleh, bergantung pada soalan yang dikemukakan dalam masalah dan kemudian tulis jawapannya.
Soalan: mengapa perlu mencari titik maksimum (minimum) dalam masalah mencari nilai terbesar (terkecil) fungsi?
Cara terbaik untuk menggambarkan ini adalah dengan melihat perwakilan skematik graf bagi fungsi yang ditentukan:
Dalam kes 1 dan 2, sudah cukup untuk menggantikan sempadan selang untuk menentukan nilai terbesar atau terkecil fungsi. Dalam kes 3 dan 4, adalah perlu untuk mencari sifar fungsi (mata maksimum-minimum). Jika kita menggantikan sempadan selang (tanpa mencari sifar fungsi), kita akan mendapat jawapan yang salah, ini boleh dilihat daripada graf.
Dan keseluruhannya ialah, memandangkan fungsi tertentu, kita tidak dapat melihat rupa graf pada selang (sama ada ia mempunyai maksimum atau minimum dalam selang). Oleh itu, pastikan anda mencari sifar fungsi!!!
Jika persamaan f'(x)=0 tidak akan mempunyai penyelesaian, ini bermakna tiada titik maksimum-minimum (Rajah 1,2), dan untuk mencari masalah yang dipersoalkan dalam fungsi ini Kami menggantikan hanya sempadan selang.
Satu lagi perkara penting. Ingat bahawa jawapan mestilah integer atau nombor terhingga perpuluhan. Apabila anda mengira nilai terbesar dan terkecil fungsi, anda akan mendapat ungkapan e dan pi, serta ungkapan akar. Ingat bahawa anda tidak perlu mengiranya sepenuhnya, dan jelas bahawa hasil ungkapan tersebut tidak akan menjadi jawapannya. Jika anda ingin mengira nilai sedemikian, maka lakukannya (nombor: e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14).
Saya menulis banyak, mungkin saya keliru? Oleh contoh khusus anda akan melihat bahawa segala-galanya adalah mudah.
Seterusnya saya ingin memberitahu anda rahsia kecil. Hakikatnya ialah banyak masalah boleh diselesaikan tanpa pengetahuan tentang sifat terbitan dan juga tanpa peraturan pembezaan. Saya pasti akan memberitahu anda tentang nuansa ini dan menunjukkan kepada anda bagaimana ia dilakukan? jangan lepaskan!
Tetapi mengapa saya membentangkan teori itu sama sekali dan juga mengatakan bahawa perlu mengetahuinya. Betul - anda perlu tahu. Jika anda memahaminya, maka tiada masalah dalam topik ini akan membingungkan anda.
"Helah" yang anda pelajari akan membantu anda semasa menyelesaikan (beberapa) masalah prototaip tertentu. KEPADASudah tentu, mudah untuk menggunakan teknik ini sebagai alat tambahan. Masalah boleh diselesaikan 2-3 kali lebih cepat dan menjimatkan masa untuk menyelesaikan bahagian C.
Semua yang terbaik!
Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.
P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.
Bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersatu
"Syaitan tidak seram seperti yang dilukis" - ada pepatah. Peperiksaan akan datang tidak lama lagi. Bujang peperiksaan negeri- ini hanyalah peperiksaan dan merumuskan keputusan persekolahan. Bukan yang paling mudah. Tugas anda adalah satu perkara - untuk memanfaatkan sepenuhnya usaha anda dalam masa yang tinggal sebelum ujian ini dan cuba membuat persediaan yang lebih baik. Cuba selesaikan sebaik mungkin lebih banyak tugas- ini akan membolehkan anda merasakan kedua-dua pengetahuan anda dan masa yang diperlukan untuk menyelesaikan tugasan. Memandangkan peperiksaan diperuntukkan masa tertentu- ini juga penting untuk anda - untuk mengawal masa anda dengan jelas untuk menyelesaikan sebanyak mungkin.
Bagi pelajar yang teruk, buaya terbang dan peperiksaan menggigit! Jangan buat buaya ketawa dan berada di atas!
MANUAL PENDIDIKAN DAN METODOLOGI ELEKTRONIK: “Kami sedang membuat persediaan untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersepadu. MASALAH BERMINAT.” (Gilmieva G.G.)
Persembahan untuk pelajaran. Kandungan: bahagian teori menyelesaikan masalah dengan peratusan, kaedah untuk menyelesaikan masalah. Terdapat butang "penyelesaian terbuka", "penyelesaian tutup" untuk menyemak ketepatan penyelesaian kepada masalah tersebut. Tambahan: tugasan untuk kerja bebas. Kandungan disusun sedemikian rupa sehingga anda boleh melompat ke mana-mana blok tugas. Dibuat dalam bentuk yang mudah untuk guru dan pelajar mengawal tontonan. Cara yang amat baik mempersembahkan bahan pada papan pintar dan pada sebarang jenis skrin
Kaedah untuk menyelesaikan masalah pada pertumbuhan peratusan yang mudah dan kompleks. (pengarang: Gilmieva G.G., Amanullina Z.A.)
Abstrak: “Pelajar sering mengalami kesukaran menyelesaikan masalah dengan peratusan. Salah satu sebabnya ialah buku teks matematik yang biasa digunakan cenderung memberi tugasan standard atas minat. Masalah perkataan, termasuk masalah yang melibatkan peratusan, terdapat dalam ujian Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, kedua-duanya dalam gred 9 dan 11. Artikel itu menggariskan metodologi untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan pertumbuhan faedah yang mudah dan kompleks (yang dipanggil "masalah perbankan"). kerja ini boleh digunakan oleh guru untuk membangunkan kursus elektif khusus untuk masalah perkataan dengan peratusan, dan juga berguna kepada pelajar institusi pendidikan Untuk belajar sendiri untuk ujian akhir." (Muat turun fail Word)
Beberapa cara untuk menyelesaikan satu masalah geometri. (pengarang: Gilmieva G.G., Khusnutdinova L.G.)
Abstrak: Artikel membincangkan tiga cara untuk menyelesaikan masalah stereometrik C2 daripada Ujian Peperiksaan Negeri Bersatu, termasuk kaedah koordinat. (Muat turun fail Word)
Artikel “Belajar untuk lulus Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersepadu” . (pengarang Gilmieva G.G.) Tugas seorang guru matematik adalah untuk menyediakan pelajar sekolah secara psikologi dan berkaedah untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu sedemikian rupa sehingga dia secara bebas berjaya menjaringkan jumlah mata maksimum yang mungkin untuknya. Artikel itu menyediakan cadangan. Muat turun fail DOS.
Artikel. “Kami sedang membuat persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Menggunakan domain fungsi dan set nilai fungsi untuk menyelesaikan persamaan."(pengarang Gilmieva G.G.)
Artikel ini membentangkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan dalam bentuk f(x)=g(x), berdasarkan penggunaan domain takrifan fungsi. Satu lagi sifat fungsi - keterbatasan - boleh membantu mencari punca persamaan (atau ketaksamaan), atau menyangkal kenyataan tentang kewujudannya. Artikel menunjukkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan berdasarkan sifat ini. Ia sering dipanggil kaedah "mini-max" atau "kaedah utama". Penyelesaian contoh diberikan.
mood! Inilah pembantu utama! Lelaki - bunyinya! A Lelaki pandai- ini kedengaran lebih sejuk! Mulakan!
Saya membawa kepada perhatian anda bahan (prototaip masalah) untuk persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (masalah dibentangkan dengan jawapan).
1. Teks ringkas untukdachi 1/Membundar ke bawah (6 contoh), Membundarkan ke atas (13 contoh), Pelbagai tugas(12 contoh)/ Muat turun fail Word
2. Masalah perkataan mudah 2/Membundar dengan lebihan (6 contoh), Membundarkan dengan kekurangan (1 contoh), Peratusan, membulatkan (31 contoh), Pelbagai tugas (12 contoh)/ Muat turun fail Word
3. Graf dan gambar rajah/Penentuan kuantiti daripada graf (22 contoh), Penentuan kuantiti daripada rajah (18 contoh), Pengiraan kuantiti daripada graf atau rajah (5 contoh)/ Muat turun fail Word
4. Memilih pilihan terbaik/Pilihan va-ri-an-ta daripada dua kemungkinan (5 contoh), Pilihan va-ri-an-ta daripada tiga kemungkinan (24 contoh), Pilihan va-ri-an-ta daripada empat kemungkinan (5 contoh )/ Muat turun fail Word
5. Pengiraan panjang dan luas/Segitiga (58 contoh), Segi empat tepat (33 contoh), Jajaran selari (12 contoh), Rhombus (10 contoh), Trapezoid (26 contoh), Segiempat sewenang-wenangnya(28 contoh), Poligon (3 contoh), Masalah pada kekisi segi empat sama (15 contoh), Bulatan dan elemennya (24 contoh), Bulatan tersurat dan dihadkan (13 contoh), Vektor (24 contoh ), satah koordinat(59 contoh)/ Muat turun fail Word
6. Teori kebarangkalian/Takrifan klasik kebarangkalian (39 contoh), Teorem tentang kebarangkalian kejadian (29 contoh)/ Muat turun fail Word
7. Persamaan termudah/Persamaan linear, kuadratik, padu (9 contoh), Persamaan rasional(8 contoh), Persamaan tidak rasional(9 contoh), Persamaan eksponen(10 contoh), Persamaan logaritma(14 contoh), Persamaan trigonometri(3 contoh)/ Muat turun fail Word
8. Planimetri Masalah berkaitan sudut /Segitiga kanan: pengiraan sudut (55 contoh), Segitiga tegak: pengiraan sudut sudut luar(29 contoh), Segitiga kanan: pengiraan unsur (75 contoh), Segitiga sama kaki: pengiraan sudut (38 contoh), (Segitiga sama kaki: pengiraan unsur (49 contoh), Segitiga am (15 contoh), segi empat selari (17 contoh), Segi empat tepat (10 contoh), Trapezoid (26 contoh), Sudut tengah dan bersurat (21 contoh), Tangen, kord, sekan (9 contoh), Bulatan tertera dalam segi tiga (10 contoh), Bulatan, tertulis dalam segi empat (9 contoh), Bulatan tertera dalam poligon (3 contoh), Bulatan diterangkan di sekeliling segi tiga (12 contoh), Bulatan diterangkan di sekeliling segi empat ( 15 contoh), Bulatan diterangkan di sekeliling poligon (3 contoh)/ Muat turun fail Word
9. Derivatif dan antiderivatif /Makna fizikal terbitan (5 contoh), Makna geometri terbitan, tangen (16 contoh), Aplikasi terbitan untuk kajian fungsi (22 contoh), Antiderivatif (4 contoh)/ Muat turun fail Word
10. Stereometri 1/Kubus (11 contoh), Parallelepiped segiempat tepat(8 contoh), Prisma (39 contoh), Piramid (34 contoh), Unsur polihedron komposit (16 contoh), Luas permukaan polihedron komposit (16 contoh), Isipadu polihedron komposit (13 contoh), Gabungan badan (18 contoh), Silinder (15 contoh), Kon (17 contoh), Sfera (6 contoh)/ Muat turun fail Word
11. Pengiraan dan transformasi/Penukaran nombor ungkapan rasional(6 contoh), Transformasi ungkapan algebra dan pecahan (23 contoh), Transformasi nombor ungkapan yang tidak rasional(10 contoh), Transformasi ungkapan tidak rasional abjad (12 contoh), Transformasi ungkapan angka ungkapan demonstratif(17 contoh), Penukaran ungkapan eksponen abjad (30 contoh), Penukaran ungkapan angka ungkapan logaritma(29 contoh), Mengubah ungkapan logaritma literal (3 contoh), Mengira nilai ungkapan trigonometri(20 contoh), Penukaran ungkapan trigonometri berangka (27 contoh), Penukaran ungkapan trigonometri abjad (2 contoh)/ Muat turun fail Word
12. Masalah dengan kandungan yang digunakan/Persamaan dan ketaksamaan linear (2 contoh), Persamaan dan ketaksamaan kuadratik dan kuasa (17 contoh), Persamaan dan ketaksamaan rasional (14 contoh), Persamaan dan ketaksamaan tidak rasional (9 contoh), Persamaan eksponen dan ketaksamaan (4 contoh), Persamaan logaritma dan ketaksamaan (4 contoh), persamaan dan ketaksamaan trigonometri (16 contoh), Pelbagai masalah (5 contoh) ./ Muat turun fail Word
13. Stereometri 2/Stereometri 2 (1 contoh), Paip selari segi empat tepat (20 contoh), Prisma (20 contoh), Piramid (22 contoh), Silinder (9 contoh), Kon (21 contoh), Sfera (9 contoh)/ Muat turun fail Word
14. Masalah perkataan/Masalah mengenai peratusan, aloi dan campuran (17 contoh), Masalah pergerakan dalam garis lurus (29 contoh), Masalah pergerakan dalam bulatan (5 contoh), Masalah pergerakan di atas air (13 contoh), Masalah untuk kerja sendi (24 contoh), Masalah mengenai kemajuan (9 contoh)/ Muat turun fail Word
15. Nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi/Kajian kuasa dan fungsi ir-ra-ci-o-nal (51 contoh), Kajian fungsi ra-tsi-o-nal (10 contoh), Kajian pro-iz-ve-de- tions dan butir-butir (28 contoh), Kajian fungsi substantif dan logik (18 contoh), Kajian fungsi tri-go-no-met-ri-che-sky (29 contoh), Kajian fungsi tanpa bantuan derivatif (12 contoh)/ Muat Turun Word fail
Sumber: http://reshuege.ru (jika anda mahu, di laman web ini anda boleh menguji pengetahuan anda dan mengambil ujian untuk lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik).
Ini bukan bunga lagi! Mereka yang bekerja sentiasa mempunyai hasil tuaian yang banyak! Untuk mengaktifkan otak anda, pastikan anda makan gula-gula dalam bentuk buah-buahan dan beri. Dan lazat, dan sihat, dan "bersantai"!
Di bawah adalah prototaip tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu - TANPA JAWAPAN (dari tapak reshuege.rf). Tugasan dalam format dokumen, setiap tugasan mengandungi satu contoh. Bagi mereka yang ingin menggilap penyelesaian, pergi ke laman web resuege.rf. Terdapat banyak pilihan di luar sana. Borang ujian lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, yang akan membolehkan anda mencuba untuk berlatih untuk lulus peperiksaan. Nasihat saya adalah untuk membuat keputusan untuk mencari jurang anda dan mempunyai masa untuk belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah yang sukar untuk anda. Dan jika anda buntu dalam membuat keputusan, hubungi saya di tapak web ini dan bersama-sama kita akan melihat penyelesaian. Perkara utama dalam berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu- ini adalah sikap yang serius terhadapnya. Ini bermakna lebih baik bekerja sedikit sekarang supaya anda boleh berjemur di pantai nanti - selepas berjaya lulus peperiksaan! Semoga berjaya!
P rototip tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu (sumber: reshuege.rf, laman web Dmitry Gushchin)
Menentukan nilai daripada graf atau rajah
Planimetri. Pengiraan panjang dan luas
Memilih pilihan daripada 2 atau 3 yang mungkin
Planimetri. masalah dengan sudut