Berapakah luas mana-mana segiempat. Formula untuk mengira luas segiempat sewenang-wenangnya

Jika anda melukis beberapa segmen secara berurutan pada satah supaya setiap segmen seterusnya bermula di tempat yang sebelumnya berakhir, anda akan mendapat garis putus. Segmen ini dipanggil pautan, dan persimpangan mereka dipanggil bucu. Apabila penghujung segmen terakhir bersilang dengan titik permulaan yang pertama, anda akan mendapat garis putus tertutup yang membahagikan pesawat kepada dua bahagian. Satu daripadanya adalah terhad, dan yang kedua adalah tidak terhingga.

Mudah talian tertutup bersama-sama bahagian satah yang terkandung di dalamnya (yang terhingga) dipanggil poligon. Segmen adalah sisi, dan sudut yang terbentuk adalah bucu. Bilangan sisi mana-mana poligon adalah sama dengan bilangan bucunya. Rajah yang mempunyai tiga sisi dipanggil segitiga, dan empat dipanggil segiempat. Poligon dicirikan secara berangka oleh nilai seperti luas, yang menunjukkan saiz rajah. Bagaimana untuk mencari luas segi empat? Ini diajar oleh cabang matematik - geometri.

Untuk mencari luas segi empat, anda perlu mengetahui jenisnya - cembung atau tidak cembung? keseluruhannya terletak agak lurus (dan ia semestinya mengandungi beberapa sisinya) pada satu sisi. Di samping itu, terdapat jenis segiempat seperti segi empat selari dengan pasangan sama dan selari. sisi bertentangan(varietinya: segi empat tepat dengan sudut tepat, rombus dengan sisi yang sama, segi empat sama dengan semua sudut tegak dan empat sisi yang sama), trapezoid dengan dua sisi bertentangan selari, dan deltoid dengan dua pasang sisi bersebelahan yang sama.

Luas mana-mana poligon didapati menggunakan kaedah umum, yang terdiri daripada membahagikannya kepada segi tiga dan mengira luas bagi setiap satu segi tiga sewenang-wenangnya dan tambah hasilnya. mana-mana segi empat cembung dibahagikan kepada dua segi tiga, segitiga bukan cembung dibahagikan kepada dua atau tiga dalam kes ini ia boleh menjadi hasil tambah dan perbezaan keputusan. Luas mana-mana segi tiga dikira sebagai separuh hasil darab tapak (a) dan tinggi (ħ) yang dilukis ke tapak. Formula yang digunakan dalam kes ini untuk pengiraan ditulis sebagai: S = ½. a. ħ.

Bagaimana untuk mencari luas segi empat, seperti segi empat selari? Anda perlu mengetahui panjang tapak (a), panjang sisi (ƀ) dan mencari sinus sudut α yang dibentuk oleh tapak dan sisi (sinα), formula untuk pengiraan akan kelihatan seperti: S = a. ƀ. sinα. Oleh kerana sinus sudut α ialah hasil darab tapak segi empat selari dan ketinggiannya (ħ = ƀ) - garis berserenjang dengan tapak, luasnya dikira dengan mendarab tapaknya dengan ketinggian: S = a. ħ. Formula ini juga sesuai untuk mengira luas rombus dan segi empat tepat. Sejak segi empat tepat sebelahƀ bertepatan dengan ketinggian ħ, maka luasnya dikira menggunakan formula S = a. ƀ. kerana a = ƀ, akan sama dengan segi empat sama sisinya: S = a. a = a². dikira sebagai separuh hasil tambah sisinya didarab dengan ketinggian (ia dilukis berserenjang dengan tapak trapezoid): S = ½. (a + ƀ) . ħ.

Bagaimana untuk mencari luas segi empat jika panjang sisinya tidak diketahui, tetapi pepenjurunya (e) dan (f), serta sinus sudut α, diketahui? Dalam kes ini, kawasan dikira sebagai separuh hasil pepenjurunya (garisan yang menghubungkan bucu poligon) didarab dengan sinus sudut α. Formula boleh ditulis seperti berikut: S = ½. (e. f). sinα. Khususnya, dalam kes ini ia akan sama dengan separuh hasil pepenjuru (garisan yang menghubungkan sudut bertentangan rombus): S = ½. (e. f).

Bagaimana untuk mencari luas segiempat yang bukan segi empat selari atau trapezoid; ia biasanya dipanggil segiempat sewenang-wenangnya. Luas rajah sedemikian dinyatakan melalui separuh perimeternya (P ialah hasil tambah dua sisi dengan bucu sepunya), sisi a, ƀ, c, d dan hasil tambah dua sudut bertentangan(α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].

Jika a φ = 180°, maka untuk mengira luasnya gunakan formula Brahmagupta (ahli astronomi dan matematik India yang hidup pada abad ke-6-7 Masihi): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d)]. Jika segi empat diterangkan oleh bulatan, maka (a + c = ƀ + d), dan luasnya dikira: S = √[ a. ƀ. c. d] . dosa ½ (α + β). Jika segi empat serentak dikelilingi oleh satu bulatan dan ditulis dalam bulatan lain, maka untuk mengira penggunaan luas formula berikut: S = √.

Segi empat angka geometri - ciri berangka rajah geometri yang menunjukkan saiz rajah ini (sebahagian daripada permukaan yang dihadkan oleh kontur tertutup rajah ini). Saiz kawasan dinyatakan dengan bilangan yang terkandung di dalamnya unit persegi.

Rumus luas segi tiga

Formula untuk luas segi tiga dengan sisi dan ketinggian
Luas segi tiga sama dengan separuh hasil darab panjang sisi segi tiga dan panjang ketinggian yang dilukis ke sisi ini
Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan
Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan bertulis
Luas segi tiga adalah sama dengan hasil darab separuh perimeter segi tiga dan jejari bulatan tersurat.

Formula luas segi empat sama

Formula untuk luas segi empat sama dengan panjang sisi
Kawasan persegi sama dengan segi empat sama panjang sisinya.
Formula untuk luas segi empat sama sepanjang pepenjuru
Kawasan persegi sama dengan separuh persegi panjang pepenjurunya.
S= 1 2
2

Formula luas segi empat tepat

Luas segi empat tepat

Rumus luas segi empat selari

Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan panjang sisi dan ketinggian
Luas segi empat selari
Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan dua sisi dan sudut di antara mereka
Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab panjang sisinya dengan sinus sudut di antaranya.
a b dosa α

Formula untuk kawasan rombus

Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang sisi dan tinggi
Kawasan belah ketupat adalah sama dengan hasil darab panjang sisinya dan panjang ketinggian yang diturunkan ke sisi ini.
Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang sisi dan sudut
Kawasan belah ketupat adalah sama dengan hasil darab segi empat sama panjang sisinya dan sinus sudut antara sisi rombus.
Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang pepenjurunya
Kawasan belah ketupat sama dengan separuh hasil darab panjang pepenjurunya.

Rumus luas trapezoid

Formula bangau untuk trapezoid
Di mana S ialah luas trapezoid,
- panjang tapak trapezoid,
- panjang sisi trapezoid,

Tahap pertama

Luas segi tiga dan segiempat. Contoh penyelesaian masalah (2019)

Penentuan kawasan

Apakah kawasan? Soalan pelik- bukan? Dalam kehidupan biasa, kita sudah biasa dengan hakikat bahawa semua jenis angka rata(seperti permukaan meja, kerusi, lantai pangsapuri kami, dll.) terdapat bukan sahaja panjang dan lebar, tetapi juga beberapa ciri lain, yang kami, tanpa teragak-agak, memanggil kawasan. Sekarang mari kita fikirkan: apakah kawasan itu?

Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah. Asasnya ialah fakta bahawa:

Dengan kata lain, kami menganggap luas segi empat sama dengan sisi satu meter sebagai satu "meter luas."

Lihat dengan teliti pada gambar dan pastikan ia benar-benar dilukis di sana - "meter persegi"! Dan ingat sebutan itu.

Sekarang inilah soalan rumit: apakah itu? Luas segi empat sama dengan sisi? Tetapi tidak!

Lihat: segi empat sama dengan sisi.

Dan untuk mendapatkan meter persegi (iaitu,), kita mesti melukis, sebagai contoh, seperti ini:

Bagaimana untuk mendapatkan, katakan, ? Nah, contohnya seperti ini:

Dan secara umum, jika kita mengambil segi empat tepat yang sisinya sama dengan meter dan meter, maka dalam segi empat tepat ini:

Sesuai betul-betul meter persegi. Lihat dengan teliti: kami mempunyai "lapisan", setiap satunya adalah betul-betul meter persegi.

Ini bermakna sejumlah meter persegi muat dalam segi empat tepat bersaiz x. Nombor ini, berapa meter persegi muat dalam segi empat tepat, adalah nombornya segi empat sama.

Bagaimana jika angka itu bukan segi empat tepat sama sekali, tetapi sejenis abracadabra?

Saya akan mengejutkan anda - terdapat abracadabra yang dahsyat yang sangat mustahil untuk menentukan berapa banyak meter persegi yang ada. Malah lebih kurang! Malangnya, adalah mustahil untuk melukis angka sedemikian.

Tetapi mereka wujud! Mereka kelihatan seperti, sebagai contoh, "sisir" dengan gigi yang sangat halus.

Oleh itu, untuk angka biasa, anda boleh secara intuitif (iaitu, untuk diri anda sendiri) menganggap bahawa luas angka ialah bilangan unit persegi (meter, sentimeter, dll.) yang "sesuai" dalam angka ini kawasan definisi yang ketat dan "sebenar", lihat peringkat teori berikut.

Dan bayangkan, ahli matematik telah belajar untuk menyatakan kawasan untuk banyak angka melalui beberapa elemen linear (yang boleh diukur dengan pembaris) bagi angka tersebut. Ungkapan ini dipanggil "rumus kawasan". Terdapat banyak formula ini - ahli matematik telah mencuba untuk masa yang lama. Cuba ingat formula yang paling mudah dan paling asas dahulu, dan kemudian yang lebih kompleks.

Formula kawasan

Segi empat

segi empat tepat

Segitiga kanan

Segitiga (percuma)

Terdapat beberapa formula luas untuk segitiga.

Formula asas

Formula asas kedua

Formula ketiga

Formula manakah yang patut anda pilih untuk masalah anda? Yang utama ialah formula 1 dan 2. Formula ketiga mesti digunakan jika semuanya diberikan kepada anda: tiga sisi dan jejari bulatan yang tertulis. Tetapi itu tidak berlaku, bukan? sebab tu kita guna formula 3, sebaliknya, untuk mencari jejari bulatan bersurat. Kemudian anda perlu mencari kawasan menggunakan salah satu formula 1, 2 atau 4, dan kemudian jejari: .

Nah, formula 4 membolehkan anda mencari luas di kedua-dua belah menggunakan aritmetik yang panjang. Dan jangan membuat kesilapan dalam aritmetik apabila anda menggunakan formula Heron!

Segiempat sewenang-wenangnya

Untuk segi empat sewenang-wenangnya tidak ada lagi, tetapi untuk segi empat "baik" terdapat formula lain.

segi empat selari

Formula asas

Formula kedua

Ketupat

Rombus mempunyai pepenjuru yang berserenjang, jadi asas baginya ia menjadi formula:

Formula kedua

A formula tambahan menjadi

Trapezoid

Formula asas

Formula kedua

"Soalan rumit tentang kawasan"

Selain masalah yang hanya meminta anda mencari kawasan itu, terdapat juga pelbagai soalan. Nah, sebagai contoh:

Mari jawab soalan ini dalam dua cara. Kaedah pertama adalah formal: kami menggunakan formula untuk luas segi empat sama. Jadi, ia adalah, yang bermaksud kawasan itu telah meningkat beberapa kali!

Dalam kes segi empat sama, terdapat cara kedua untuk "menyentuh" dan yakin secara langsung tentang nombor ini.

Mari lukis:

Sekiranya anda tidak mempunyai segi empat sama, maka yang tinggal hanyalah menggantikan nilai baru ke dalam formula - dan jangan terkejut jika nombor tiba-tiba menjadi agak besar.

KAWASAN SEGITIGA DAN KUADAGON. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Segitiga kanan

segi empat ialah rajah yang terdiri daripada empat bucu, tiga daripadanya tidak terletak pada garis yang sama, dan segmen yang menghubungkannya.

Terdapat banyak segi empat. Ini termasuk segi empat selari, segi empat sama, rombus dan trapezium. Cari boleh didapati dengan sisi, mudah dikira dengan pepenjuru. Dalam segi empat sewenang-wenangnya, anda juga boleh menggunakan semua elemen untuk memperoleh formula untuk luas segi empat. Pertama, mari kita lihat formula untuk luas segi empat dari segi pepenjurunya. Untuk menggunakannya, anda memerlukan panjang pepenjuru dan saiz sudut akut di antara mereka. Mengetahui data yang diperlukan, anda boleh menjalankan contoh pengiraan luas segi empat menggunakan formula berikut:

Separuh hasil darab pepenjuru dan sinus sudut akut di antara mereka ialah luas segi empat. Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas segi empat menggunakan pepenjuru.

Biarkan segi empat dengan dua pepenjuru d1 =5 cm;d2 =4cm diberi. Sudut tajam antara mereka adalah sama dengan α = 30°. Formula untuk luas segi empat dari segi pepenjurunya mudah digunakan untuk keadaan yang diketahui. Mari kita gantikan data:

Menggunakan contoh pengiraan luas segi empat menggunakan pepenjuru, kami faham bahawa formulanya sangat serupa dengan pengiraan.

Luas segi empat di sepanjang sisi

Apabila panjang sisi rajah diketahui, anda boleh menggunakan formula untuk luas segi empat di sepanjang sisi. Untuk menggunakan pengiraan ini, anda perlu mencari separuh perimeter angka itu. Kita ingat bahawa perimeter ialah jumlah panjang semua sisi. Semiperimeter ialah setengah perimeter. Dalam segi empat tepat kami dengan sisi a, b, c, d, formula separuh perimeter akan kelihatan seperti ini:
Mengetahui sisi, kami memperoleh formula. Luas segiempat ialah punca hasil darab perbezaan antara separuh perimeter dan panjang setiap sisi:

Mari kita lihat contoh pengiraan luas segi empat menggunakan sisinya. Diberi segiempat arbitrari dengan sisi a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm Pertama, mari kita cari separuh perimeter:

gunakan nilai yang ditemui untuk mengira kawasan:

Luas segiempat diberikan oleh koordinat

Formula untuk luas segi empat dengan koordinat digunakan untuk mengira luas angka yang terletak dalam sistem koordinat. Dalam kes ini, pertama anda perlu mengira panjang sisi yang diperlukan. Bergantung pada jenis segiempat, formula itu sendiri mungkin berubah. Mari kita lihat contoh pengiraan luas segi empat menggunakan segi empat sama yang terletak dalam sistem koordinat XY.

Diberi sebuah segi empat sama ABCD yang terletak dalam sistem koordinat XY. Cari luas rajah jika koordinat bucu ialah A (2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Kita tahu bahawa semua sisi rajah adalah sama, dan formula untuk luas segi empat sama dijumpai dengan formula:
Mari cari salah satu sisi, sebagai contoh, AB:
Mari kita gantikan nilai ke dalam formula:
Kita tahu bahawa semua pihak adalah sama. Kami menggantikan nilai ke dalam formula untuk mengira kawasan:

Kalkulator dalam talian ini membantu mengira, menentukan dan mengira keluasan tanah mod atas talian. Program yang dibentangkan boleh mencadangkan cara mengira kawasan dengan betul plot tanah bentuk tidak teratur.

Penting! Kawasan yang penting harus muat kira-kira ke dalam bulatan. Jika tidak, pengiraan tidak akan tepat sepenuhnya.

Kami menunjukkan semua data dalam meter

A B, D A, C D, B C— Saiz setiap sisi plot.

Mengikut data yang dimasukkan, program kami melakukan pengiraan dalam talian dan menentukan keluasan tanah meter persegi, perseratus, ekar dan hektar.

Kaedah untuk menentukan saiz plot secara manual

Untuk mengira kawasan plot dengan betul, anda tidak perlu menggunakan alat yang kompleks. Kami mengambil pasak kayu atau batang logam dan pasangkannya di sudut tapak kami. Seterusnya, dengan menggunakan pita pengukur, tentukan lebar dan panjang plot. Sebagai peraturan, sudah cukup untuk mengukur satu lebar dan satu panjang, untuk kawasan segi empat tepat atau sama sisi. Sebagai contoh, kami mempunyai data berikut: lebar – 20 meter dan panjang – 40 meter.

Seterusnya kita teruskan untuk mengira luas plot. Pada bentuk yang betul plot, boleh digunakan formula geometri menentukan luas (S) segi empat tepat. Mengikut formula ini, anda perlu mendarabkan lebar (20) dengan panjang (40), iaitu hasil darab panjang kedua-dua belah. Dalam kes kami S=800 m².

Selepas kita menentukan kawasan kita, kita boleh menentukan bilangan ekar setiap sebidang tanah. Menurut data yang diterima umum, seratus meter persegi ialah 100 m². Seterusnya, menggunakan aritmetik mudah, kami membahagikan parameter S kami dengan 100. Hasil selesai dan akan sama dengan saiz plot dalam ekar. Sebagai contoh kami, keputusan ini ialah 8. Oleh itu, kami mendapati bahawa keluasan plot adalah lapan ekar.

Dalam kes di mana keluasan tanah sangat besar, adalah lebih baik untuk menjalankan semua ukuran dalam unit lain - dalam hektar. Mengikut unit ukuran yang diterima umum - 1 Ha = 100 ekar. Sebagai contoh, jika plot tanah kita, mengikut ukuran yang diperoleh, adalah 10,000 m², maka dalam kes ini keluasannya adalah sama dengan 1 hektar atau 100 ekar.

Jika plot anda berbentuk tidak teratur, maka bilangan ekar secara langsung bergantung kepada kawasan tersebut. Itulah sebabnya menggunakan kalkulator dalam talian Anda akan dapat mengira dengan betul parameter S plot, dan kemudian membahagikan hasilnya dengan 100. Oleh itu, anda akan menerima pengiraan dalam ekar. Kaedah ini memungkinkan untuk mengukur plot bentuk kompleks, yang sangat mudah.

Jumlah maklumat

Pengiraan keluasan plot tanah adalah berdasarkan pengiraan klasik, yang dilakukan mengikut formula geodetik yang diterima umum.

Terdapat beberapa kaedah yang tersedia untuk mengira keluasan tanah - mekanikal (dikira mengikut pelan menggunakan palet pengukur), grafik (ditentukan oleh projek) dan analitikal (menggunakan formula kawasan berdasarkan garis sempadan yang diukur).

Setakat ini yang paling banyak dengan cara yang tepat wajar dipertimbangkan - analitikal. menggunakan kaedah ini, ralat dalam pengiraan, sebagai peraturan, muncul disebabkan oleh ralat dalam rupa bumi garisan yang diukur. Kaedah ini Ia juga agak kompleks jika sempadannya melengkung atau bilangan sudut pada plot lebih daripada sepuluh.

Kaedah grafik adalah lebih mudah untuk dikira. Ia paling sesuai digunakan apabila sempadan tapak dibentangkan dalam bentuk garis putus-putus, dengan sebilangan kecil lilitan.

Dan kaedah yang paling mudah diakses dan paling mudah, dan yang paling popular, tetapi pada masa yang sama yang paling banyak ralat besar- kaedah mekanikal. Dengan menggunakan kaedah ini, anda boleh dengan mudah dan cepat mengira kawasan tanah bentuk mudah atau kompleks.

Antara kelemahan serius mekanikal atau kaedah grafik, serlahkan perkara berikut, sebagai tambahan kepada ralat semasa mengukur tapak, semasa pengiraan ralat disebabkan ubah bentuk kertas atau ralat dalam merangka pelan ditambah.