Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang geometri"
Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 9
Kuasa dan punca Fungsi dan graf
Lelaki, hari ini kita akan berkenalan dengan satu lagi jenis perkembangan.
Topik pelajaran hari ini ialah janjang geometri.
Janjang geometri
Definisi. Urutan berangka di mana setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan hasil darab yang sebelumnya dan beberapa nombor tetap dipanggil janjang geometri.Mari kita takrifkan jujukan kita secara rekursif: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
di mana b dan q ialah nombor tertentu yang diberi. Nombor q dipanggil penyebut janjang itu.
Contoh. 1,2,4,8,16... Janjang geometri di mana sebutan pertama adalah sama dengan satu, dan $q=2$.
Contoh. 8,8,8,8... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan lapan,
dan $q=1$.
Contoh. 3,-3,3,-3,3... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan tiga,
dan $q=-1$.
Janjang geometri mempunyai sifat monotoni.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka turutan semakin bertambah.
Jika $b_(1)>0$, $0 Urutan biasanya dilambangkan dalam bentuk: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Sama seperti dalam janjang aritmetik, jika dalam janjang geometri bilangan unsur adalah terhingga, maka janjang itu dipanggil janjang geometri terhingga.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Ambil perhatian bahawa jika jujukan ialah janjang geometri, maka jujukan segi empat sama juga merupakan janjang geometri. Dalam urutan kedua, sebutan pertama adalah sama dengan $b_(1)^2$, dan penyebutnya adalah sama dengan $q^2$.
Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang geometri
Janjang geometri juga boleh dinyatakan dalam bentuk analisis. Mari lihat bagaimana untuk melakukan ini:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Kami dengan mudah melihat corak: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula kami dipanggil "rumus sebutan ke-n bagi janjang geometri."
Mari kita kembali kepada contoh kita.
Contoh. 1,2,4,8,16... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan satu,
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan enam belas, dan $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Contoh. 8,8,8,8... Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan lapan, dan $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Contoh. 3,-3,3,-3,3... Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan tiga, dan $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Contoh. Diberi janjang geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=3$. Cari $b_(5)$.
b) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Cari n.
c) Diketahui bahawa $q=-2, b_(6)=96$. Cari $b_(1)$.
d) Diketahui bahawa $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Cari q.
Penyelesaian.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, sejak $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Contoh. Perbezaan antara sebutan ketujuh dan kelima janjang geometri ialah 192, hasil tambah sebutan kelima dan keenam janjang itu ialah 192. Cari sebutan kesepuluh janjang ini.
Penyelesaian.
Kami tahu bahawa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kami juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami menerima sistem persamaan:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Menyamakan persamaan kita, kita dapat:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua penyelesaian q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Gantikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tiada penyelesaian.
Kami mendapat bahawa: $b_(1)=4, q=2$.
Mari cari sebutan kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Jumlah janjang geometri terhingga
Marilah kita mempunyai janjang geometri terhingga. Mari, sama seperti untuk janjang aritmetik, hitung jumlah sebutannya.Biarkan janjang geometri terhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Mari kita perkenalkan sebutan untuk jumlah termanya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kes apabila $q=1$. Semua sebutan janjang geometri adalah sama dengan sebutan pertama, maka jelaslah bahawa $S_(n)=n*b_(1)$.
Sekarang mari kita pertimbangkan kes $q≠1$.
Mari kita darabkan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Catatan:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Kami telah memperoleh formula untuk jumlah janjang geometri terhingga.
Contoh.
Cari hasil tambah tujuh sebutan pertama suatu janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah 4 dan penyebutnya ialah 3.
Penyelesaian.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Contoh.
Cari sebutan kelima bagi janjang geometri yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Penyelesaian.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Sifat ciri janjang geometri
Lelaki, janjang geometri diberikan. Mari kita lihat tiga ahli berturut-turut: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Kami tahu itu:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Kemudian:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jika janjang adalah terhingga, maka kesamaan ini berlaku untuk semua istilah kecuali yang pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu apakah bentuk jujukan itu, tetapi diketahui bahawa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Kemudian kita boleh dengan selamat mengatakan bahawa ini adalah janjang geometri.
Urutan nombor ialah janjang geometri hanya apabila kuasa dua setiap ahli adalah sama dengan hasil darab dua ahli janjang yang bersebelahan. Jangan lupa bahawa untuk perkembangan terhingga syarat ini tidak dipenuhi untuk istilah pertama dan terakhir.
Mari lihat identiti ini: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ dipanggil min geometri bagi nombor a dan b.
Modulus mana-mana sebutan janjang geometri adalah sama dengan min geometri bagi dua sebutan yang bersebelahan.
Contoh.
Cari x sehingga $x+2; 2x+2; 3x+3$ ialah tiga sebutan berturut-turut bagi janjang geometri.
Penyelesaian.
Mari gunakan sifat ciri:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Marilah kita menggantikan penyelesaian kita secara berurutan ke dalam ungkapan asal:
Dengan $x=2$, kami mendapat jujukan: 4;6;9 – janjang geometri dengan $q=1.5$.
Untuk $x=-1$, kami mendapat urutan: 1;0;0.
Jawapan: $x=2.$
Masalah untuk diselesaikan secara bebas
1. Cari sebutan pertama kelapan bagi janjang geometri 16;-8;4;-2….2. Cari sebutan kesepuluh bagi janjang geometri 11,22,44….
3. Diketahui bahawa $b_(1)=5, q=3$. Cari $b_(7)$.
4. Diketahui bahawa $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Cari n.
5. Cari hasil tambah 11 sebutan pertama bagi janjang geometri 3;12;48….
6. Cari x sehingga $3x+4; 2x+4; x+5$ ialah tiga sebutan berturut-turut bagi janjang geometri.
Matematik adalah apamanusia mengawal alam dan diri mereka sendiri.
Ahli matematik Soviet, ahli akademik A.N. Kolmogorov
Janjang geometri.
Seiring dengan masalah tentang janjang aritmetik, masalah yang berkaitan dengan konsep janjang geometri juga biasa dalam peperiksaan masuk dalam matematik. Untuk berjaya menyelesaikan masalah tersebut, anda perlu mengetahui sifat janjang geometri dan mempunyai kemahiran yang baik dalam menggunakannya.
Artikel ini ditumpukan kepada pembentangan sifat asas janjang geometri. Contoh penyelesaian masalah biasa juga disediakan di sini., dipinjam daripada tugas peperiksaan masuk dalam matematik.
Mari kita perhatikan sifat asas janjang geometri dan ingat semula formula dan pernyataan yang paling penting, berkaitan dengan konsep ini.
Definisi. Urutan nombor dipanggil janjang geometri jika setiap nombor, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor itu dipanggil penyebut janjang geometri.
Untuk janjang geometriformula adalah sah
, (1)
mana . Formula (1) dipanggil formula bagi istilah umum janjang geometri, dan formula (2) mewakili sifat utama janjang geometri: setiap sebutan janjang itu bertepatan dengan min geometri bagi sebutan jiran dan .
Catatan, bahawa ia adalah tepat kerana sifat ini bahawa janjang yang dimaksudkan dipanggil "geometrik".
Formula (1) dan (2) di atas digeneralisasikan seperti berikut:
, (3)
Untuk mengira jumlah pertama ahli janjang geometriformula terpakai
Jika kita menandakan , maka
mana . Oleh kerana , formula (6) ialah generalisasi formula (5).
Dalam kes apabila dan janjang geometrisemakin berkurangan secara tidak terhingga. Untuk mengira jumlahdaripada semua sebutan janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga, formula digunakan
. (7)
Sebagai contoh , menggunakan formula (7) kita boleh tunjukkan, Apa
mana . Kesamaan ini diperoleh daripada formula (7) di bawah syarat , (kesamaan pertama) dan , (kesamaan kedua).
Teorem. Jika , maka
Bukti. Jika , maka
Teorem telah terbukti.
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah mengenai topik "Kemajuan geometri".
Contoh 1. Diberi: , dan . Cari .
Penyelesaian. Jika kita menggunakan formula (5), maka
Jawapan: .
Contoh 2. Biarkanlah. Cari .
Penyelesaian. Sejak dan , kita menggunakan formula (5), (6) dan mendapatkan sistem persamaan
Jika persamaan kedua sistem (9) dibahagikan dengan yang pertama, kemudian atau . Ia berikutan daripada ini bahawa . Mari kita pertimbangkan dua kes.
1. Jika, maka dari persamaan pertama sistem (9) kita ada.
2. Jika , maka .
Contoh 3. Biar , dan . Cari .
Penyelesaian. Daripada formula (2) ia mengikuti bahawa atau . Sejak , kemudian atau .
Dengan syarat. Walau bagaimanapun, oleh itu. Sejak dan maka di sini kita mempunyai sistem persamaan
Jika persamaan kedua sistem dibahagikan dengan yang pertama, maka atau .
Oleh kerana, persamaan mempunyai punca yang sesuai yang unik. Dalam kes ini, ia mengikuti daripada persamaan pertama sistem.
Dengan mengambil kira formula (7), kami memperoleh.
Jawapan: .
Contoh 4. Diberi: dan . Cari .
Penyelesaian. Sejak itu.
Sejak , kemudian atau
Mengikut formula (2) kita ada . Dalam hal ini, daripada kesamarataan (10) kita memperoleh atau .
Walau bagaimanapun, dengan syarat, oleh itu.
Contoh 5. Adalah diketahui bahawa . Cari .
Penyelesaian. Menurut teorem, kita mempunyai dua kesamaan
Sejak , kemudian atau . Kerana, kemudian.
Jawapan: .
Contoh 6. Diberi: dan . Cari .
Penyelesaian. Dengan mengambil kira formula (5), kami memperoleh
Sejak itu. Sejak , dan , kemudian .
Contoh 7. Biarkanlah. Cari .
Penyelesaian. Mengikut formula (1) kita boleh menulis
Oleh itu, kami mempunyai atau . Adalah diketahui bahawa dan , oleh itu dan .
Jawapan: .
Contoh 8. Cari penyebut bagi janjang geometri menurun tak terhingga jika
Dan .
Penyelesaian. Daripada formula (7) ia berikut Dan . Dari sini dan dari keadaan masalah kita memperoleh sistem persamaan
Jika persamaan pertama sistem itu adalah kuasa dua, dan kemudian bahagikan persamaan yang terhasil dengan persamaan kedua, maka kita dapat
Ataupun .
Jawapan: .
Contoh 9. Cari semua nilai yang mana jujukan , , ialah janjang geometri.
Penyelesaian. Biar , dan . Menurut formula (2), yang mentakrifkan sifat utama janjang geometri, kita boleh menulis atau .
Dari sini kita mendapat persamaan kuadratik, yang akarnya Dan .
Mari kita semak: jika, kemudian , dan ; jika , maka , dan .
Dalam kes pertama kita ada dan , dan dalam yang kedua – dan .
Jawapan: , .
Contoh 10.Selesaikan persamaan
, (11)
di mana dan .
Penyelesaian. Bahagian kiri persamaan (11) ialah hasil tambah janjang geometri menurun tak terhingga, di mana dan , tertakluk kepada: dan .
Daripada formula (7) ia berikut, Apa . Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . Akar yang sesuai persamaan kuadratik ialah
Jawapan: .
Contoh 11. P urutan nombor positifmembentuk janjang aritmetik, A – janjang geometri, apa kaitannya dengan . Cari .
Penyelesaian. Kerana jujukan aritmetik, Itu (sifat utama janjang aritmetik). Kerana ia, kemudian atau . Ini bermakna, bahawa janjang geometri mempunyai bentuk. Mengikut formula (2), kemudian kita tuliskan itu.
Sejak dan , kemudian . Dalam kes ini, ungkapan mengambil borang atau . Dengan syarat, jadi daripada Pers.kami memperoleh penyelesaian unik kepada masalah yang sedang dipertimbangkan, iaitu .
Jawapan: .
Contoh 12. Kira Jumlah
. (12)
Penyelesaian. Darab kedua-dua belah kesamaan (12) dengan 5 dan dapatkan
Jika kita tolak (12) daripada ungkapan yang terhasil, Itu
atau .
Untuk mengira, kami menggantikan nilai ke formula (7) dan dapatkan . Sejak itu.
Jawapan: .
Contoh penyelesaian masalah yang diberikan di sini akan berguna kepada pemohon semasa membuat persediaan untuk peperiksaan kemasukan. Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah penyelesaian masalah, berkaitan dengan janjang geometri, Anda boleh menggunakan tutorial daripada senarai literatur yang disyorkan.
1. Koleksi masalah dalam matematik untuk pemohon ke kolej / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir dan Pendidikan, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: bahagian tambahan kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Kursus lengkap matematik asas dalam masalah dan latihan. Buku 2: Urutan dan Kemajuan Nombor. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Masih ada soalan?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.
Mari kita pertimbangkan siri tertentu.
7 28 112 448 1792...
Jelas sekali bahawa nilai mana-mana unsurnya betul-betul empat kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Ini bermakna siri ini adalah satu perkembangan.
Janjang geometri ialah urutan nombor yang tidak terhingga, ciri utamanya ialah nombor seterusnya diperoleh daripada yang sebelumnya dengan mendarab dengan nombor tertentu. Ini dinyatakan oleh formula berikut.
a z +1 =a z ·q, dengan z ialah nombor elemen yang dipilih.
Sehubungan itu, z ∈ N.
Tempoh di mana janjang geometri dipelajari di sekolah ialah darjah 9. Contoh akan membantu anda memahami konsep:
0.25 0.125 0.0625...
Berdasarkan formula ini, penyebut janjang boleh didapati seperti berikut:
Baik q mahupun b z boleh menjadi sifar. Selain itu, setiap elemen janjang tidak boleh sama dengan sifar.
Oleh itu, untuk mengetahui nombor seterusnya dalam satu siri, anda perlu mendarab yang terakhir dengan q.
Untuk menetapkan janjang ini, anda mesti menentukan elemen dan penyebutnya yang pertama. Selepas ini, adalah mungkin untuk mencari mana-mana istilah berikutnya dan jumlahnya.
Varieti
Bergantung kepada q dan a 1, janjang ini dibahagikan kepada beberapa jenis:
- Jika kedua-dua a 1 dan q adalah lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian ialah janjang geometri yang meningkat dengan setiap elemen berikutnya. Contoh ini dibentangkan di bawah.
Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.
Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti ini:
3 6 12 24 48 ...
- Jika |q| adalah kurang daripada satu, iaitu, pendaraban dengannya bersamaan dengan pembahagian, maka janjang dengan keadaan yang serupa ialah janjang geometri menurun. Contoh ini dibentangkan di bawah.
Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar daripada satu, q kurang.
Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti berikut:
6 2 2/3 ... - mana-mana unsur adalah 3 kali lebih besar daripada unsur yang mengikutinya.
- Tanda berselang seli. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Contoh: a 1 = -3, q = -2 - kedua-dua parameter adalah kurang daripada sifar.
Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti ini:
3, 6, -12, 24,...
Formula
Terdapat banyak formula untuk kegunaan mudah janjang geometri:
- Formula jangka Z. Membolehkan anda mengira elemen di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.
Contoh:q = 3, a 1 = 4. Ia dikehendaki mengira elemen keempat janjang itu.
Penyelesaian:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Jumlah unsur pertama yang kuantitinya sama dengan z. Membolehkan anda mengira jumlah semua elemen urutan sehinggaa zinklusif.
Sejak (1-q) berada dalam penyebut, maka (1 - q)≠ 0, oleh itu q tidak sama dengan 1.
Nota: jika q=1, maka janjang itu akan menjadi satu siri nombor berulang tak terhingga.
Jumlah janjang geometri, contoh:a 1 = 2, q= -2. Kira S5.
Penyelesaian:S 5 = 22 - pengiraan menggunakan formula.
- Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Contoh:a 1 = 2 , q= 0.5. Cari jumlahnya.
Penyelesaian:S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Beberapa sifat:
- Ciri ciri. Jika syarat berikut berfungsi untuk mana-manaz, maka siri nombor yang diberikan ialah janjang geometri:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Juga, kuasa dua sebarang nombor dalam janjang geometri ditemui dengan menambah kuasa dua mana-mana dua nombor lain dalam siri tertentu, jika jaraknya sama dari unsur ini.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Di manat- jarak antara nombor ini.
- elemenberbeza dalam qsekali.
- Logaritma unsur-unsur janjang juga membentuk janjang, tetapi satu aritmetik, iaitu, setiap satu daripadanya lebih besar daripada yang sebelumnya dengan nombor tertentu.
Contoh beberapa masalah klasik
Untuk lebih memahami apa itu janjang geometri, contoh dengan penyelesaian untuk kelas 9 boleh membantu.
- syarat:a 1 = 3, a 3 = 48. Cariq.
Penyelesaian: setiap elemen berikutnya adalah lebih besar daripada elemen sebelumnya dalamq sekali.Adalah perlu untuk menyatakan beberapa unsur dari segi yang lain menggunakan penyebut.
Oleh itu,a 3 = q 2 · a 1
Apabila menggantikanq= 4
- syarat:a 2 = 6, a 3 = 12. Kira S 6.
Penyelesaian:Untuk melakukan ini, cari q, elemen pertama dan gantikannya ke dalam formula.
a 3 = q· a 2 , oleh itu,q= 2
a 2 = q · a 1,sebab tu a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Cari unsur keempat janjang itu.
Penyelesaian: untuk melakukan ini, cukup untuk menyatakan unsur keempat melalui penyebut pertama dan melalui penyebut.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Contoh permohonan:
- Pelanggan bank membuat deposit dalam jumlah 10,000 rubel, di bawah syarat yang setiap tahun pelanggan akan mempunyai 6% daripadanya ditambah kepada jumlah prinsipal. Berapakah jumlah wang yang akan berada dalam akaun selepas 4 tahun?
Penyelesaian: Jumlah awal ialah 10 ribu rubel. Ini bermakna setahun selepas pelaburan akaun akan mempunyai jumlah yang sama dengan 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
Sehubungan itu, jumlah dalam akaun selepas setahun lagi akan dinyatakan seperti berikut:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali ganda. Ini bermakna untuk mencari jumlah dana dalam akaun selepas 4 tahun, sudah cukup untuk mencari elemen keempat perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama bersamaan dengan 10 ribu dan penyebutnya sama dengan 1.06.
S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
Contoh masalah pengiraan jumlah:
Janjang geometri digunakan dalam pelbagai masalah. Contoh untuk mencari jumlah boleh diberikan seperti berikut:
a 1 = 4, q= 2, hitungS 5.
Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya ke dalam formula.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Hitung hasil tambah enam unsur pertama.
Penyelesaian:
Dalam geom. kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah q kali lebih besar daripada yang sebelumnya, iaitu, untuk mengira jumlah yang anda perlukan untuk mengetahui elemena 1 dan penyebutq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Begitu juga, anda perlu mencaria 1 , mengetahuia 2 Danq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
22.09.2018 22:00Janjang geometri, bersama-sama dengan janjang aritmetik, ialah siri nombor penting yang dipelajari dalam kursus algebra sekolah dalam gred 9. Dalam artikel ini kita akan melihat penyebut janjang geometri dan cara nilainya mempengaruhi sifatnya.
Definisi janjang geometri
Pertama, mari kita berikan definisi siri nombor ini. Janjang geometri ialah satu siri nombor rasional yang dibentuk dengan mendarabkan unsur pertamanya secara berurutan dengan nombor tetap yang dipanggil penyebut.
Sebagai contoh, nombor dalam siri 3, 6, 12, 24, ... adalah janjang geometri, kerana jika anda mendarab 3 (elemen pertama) dengan 2, anda mendapat 6. Jika anda mendarab 6 dengan 2, anda mendapat 12, dan seterusnya.
Ahli-ahli jujukan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i ialah integer yang menunjukkan nombor unsur dalam siri itu.
Takrif janjang di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an = bn-1 * a1, dengan b ialah penyebut. Mudah untuk menyemak formula ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapat a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita sekali lagi sampai kepada takrifan siri nombor yang dipersoalkan. Penaakulan yang sama boleh diteruskan untuk nilai besar n.
Penyebut janjang geometri
Nombor b sepenuhnya menentukan watak keseluruhan siri nombor itu. Penyebut b boleh menjadi positif, negatif, atau lebih besar daripada atau kurang daripada satu. Semua pilihan di atas membawa kepada urutan yang berbeza:
- b > 1. Terdapat siri nombor rasional yang semakin meningkat. Contohnya, 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 adalah negatif, maka keseluruhan jujukan akan meningkat hanya dalam nilai mutlak, tetapi berkurangan bergantung pada tanda nombor.
- b = 1. Selalunya kes ini tidak dipanggil janjang, kerana terdapat siri biasa nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.
Formula untuk jumlah
Sebelum beralih kepada pertimbangan masalah khusus menggunakan penyebut jenis janjang yang sedang dipertimbangkan, formula penting untuk jumlah n unsur pertamanya harus diberikan. Formula kelihatan seperti: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri jika anda mempertimbangkan urutan rekursif bagi sebutan janjang. Juga ambil perhatian bahawa dalam formula di atas adalah cukup untuk mengetahui hanya elemen pertama dan penyebut untuk mencari jumlah bilangan sebutan yang sewenang-wenangnya.
Urutan menurun tanpa had
Penjelasan telah diberikan di atas tentang apa itu. Sekarang, mengetahui formula untuk Sn, mari kita gunakannya pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung kepada sifar apabila dinaikkan kepada kuasa besar, iaitu, b∞ => 0 jika -1
Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan sentiasa positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda hasil tambah janjang geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda unsur pertamanya a1.
Sekarang mari kita lihat beberapa masalah di mana kita akan menunjukkan cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh pada nombor tertentu.
Tugasan No. 1. Pengiraan unsur-unsur janjang dan jumlah yang tidak diketahui
Diberi janjang geometri, penyebut janjang itu ialah 2, dan unsur pertamanya ialah 3. Apakah sebutan ke-7 dan ke-10nya akan bersamaan dengan, dan apakah hasil tambah tujuh unsur awalnya?
Keadaan masalahnya agak mudah dan melibatkan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira nombor unsur n, kita menggunakan ungkapan an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita dapat: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk sebutan ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.
Mari kita gunakan formula yang terkenal untuk jumlah dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri. Kami ada: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Masalah No. 2. Menentukan jumlah unsur arbitrari sesuatu janjang
Biarkan -2 sama dengan penyebut janjang geometri bn-1 * 4, dengan n ialah integer. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.
Masalah yang ditimbulkan tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan formula yang diketahui. Ia boleh diselesaikan menggunakan 2 kaedah berbeza. Untuk kesempurnaan pembentangan topik, kami membentangkan kedua-duanya.
Kaedah 1. Ideanya mudah: anda perlu mengira dua jumlah yang sepadan bagi sebutan pertama, dan kemudian tolak yang lain daripada satu. Kami mengira jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita mengira jumlah yang lebih besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahawa dalam ungkapan terakhir hanya 4 istilah telah dijumlahkan, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut syarat masalah. Akhirnya, kita ambil perbezaan: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Kaedah 2. Sebelum menggantikan nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula untuk hasil tambah antara sebutan m dan n bagi siri berkenaan. Kami melakukan perkara yang sama seperti dalam kaedah 1, cuma kami mula-mula bekerja dengan perwakilan simbolik jumlah tersebut. Kami mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda boleh menggantikan nombor yang diketahui ke dalam ungkapan yang terhasil dan mengira keputusan akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Masalah No 3. Apakah penyebutnya?
Biarkan a1 = 2, cari penyebut janjang geometri, dengan syarat jumlah tak terhingganya ialah 3, dan diketahui bahawa ini adalah siri nombor yang semakin berkurangan.
Berdasarkan keadaan masalah, tidak sukar untuk meneka formula yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah janjang menurun secara tidak terhingga. Kami mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebut: b = 1 - a1 / S∞. Ia kekal untuk menggantikan nilai yang diketahui dan mendapatkan nombor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0.333(3). Kita boleh menyemak keputusan ini secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk jujukan jenis ini modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang dapat dilihat, |-1 / 3|
Tugasan No 4. Memulihkan satu siri nombor
Biarkan 2 elemen siri nombor diberikan, sebagai contoh, yang ke-5 bersamaan dengan 30 dan yang ke-10 bersamaan dengan 60. Ia adalah perlu untuk membina semula keseluruhan siri daripada data ini, dengan mengetahui bahawa ia memenuhi sifat janjang geometri.
Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti menulis ungkapan yang sepadan untuk setiap istilah yang diketahui. Kami mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang bahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita dapat: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebut dengan mengambil punca kelima nisbah sebutan yang diketahui daripada pernyataan masalah, b = 1.148698. Kami menggantikan nombor yang terhasil ke dalam salah satu ungkapan untuk unsur yang diketahui, kami dapat: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Oleh itu, kami mendapati penyebut bagi janjang bn, dan janjang geometri bn-1 * 17.2304966 = an, dengan b = 1.148698.
Di manakah janjang geometri digunakan?
Jika tiada aplikasi praktikal siri nombor ini, maka kajiannya akan dikurangkan kepada minat teori semata-mata. Tetapi aplikasi sedemikian wujud.
Di bawah ialah 3 contoh yang paling terkenal:
- Paradoks Zeno, di mana Achilles yang lincah tidak dapat mengejar kura-kura yang perlahan, diselesaikan menggunakan konsep urutan nombor yang berkurangan tanpa had.
- Jika anda meletakkan bijirin gandum pada setiap petak papan catur supaya pada petak pertama anda meletakkan 1 biji, pada petak ke-2 - 2, pada petak ke-3 - 3, dan seterusnya, kemudian untuk mengisi semua petak papan yang anda perlukan 18446744073709551615 bijirin!
- Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk memindahkan cakera dari satu batang ke batang lain, adalah perlu untuk melakukan operasi 2n - 1, iaitu, bilangannya meningkat secara eksponen dengan bilangan n cakera yang digunakan.
Jalan Kievyan, 16 0016 Armenia, Yerevan +374 11 233 255
Janjang geometri ialah jenis urutan nombor baharu yang akan kita kenali. Untuk temu janji yang berjaya, tidak salah untuk sekurang-kurangnya mengetahui dan memahami. Maka tidak akan ada masalah dengan janjang geometri.)
Apakah janjang geometri? Konsep janjang geometri.
Kami memulakan lawatan, seperti biasa, dengan perkara asas. Saya menulis urutan nombor yang belum selesai:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Bolehkah anda melihat corak dan memberitahu nombor yang akan datang seterusnya? Lada itu jernih, maka nombor 100,000, 1,000,000 dan seterusnya akan menyusul. Walaupun tanpa banyak usaha mental, semuanya jelas, bukan?)
OKEY. Contoh yang lain. Saya menulis urutan ini:
1, 2, 4, 8, 16, …
Bolehkah anda memberitahu nombor yang akan datang seterusnya, mengikut nombor 16, dan nama kelapan ahli urutan? Jika anda tahu bahawa ia akan menjadi nombor 128, maka sangat bagus. Jadi, separuh perjuangan adalah dalam pemahaman maksudnya Dan perkara utama janjang geometri telah pun dilakukan. Anda boleh berkembang lebih jauh.)
Dan kini kita beralih lagi dari sensasi kepada matematik yang ketat.
Perkara utama janjang geometri.
Perkara Utama #1
Janjang geometri ialah urutan nombor. Begitu juga perkembangan. Tiada yang mewah. Hanya urutan ini yang disusun berbeza. Oleh itu, secara semula jadi, ia mempunyai nama yang berbeza, ya...
Perkara Utama #2
Dengan perkara utama kedua, soalan akan menjadi lebih rumit. Mari kita kembali sedikit dan ingat sifat utama janjang aritmetik. Ini dia: setiap ahli berbeza dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Adakah mungkin untuk merumuskan sifat utama yang serupa untuk janjang geometri? Fikir sikit... Tengok dengan teliti contoh yang diberikan. Adakah anda menekanya? Ya! Dalam janjang geometri (mana-mana!) Setiap ahlinya berbeza daripada yang sebelumnya bilangan kali yang sama. Sentiasa!
Dalam contoh pertama, nombor ini ialah sepuluh. Mana-mana ahli urutan yang anda ambil, ia lebih besar daripada yang sebelumnya sepuluh kali.
Dalam contoh kedua ia adalah dua: setiap istilah lebih besar daripada yang sebelumnya dua kali.
Perkara utama inilah janjang geometri berbeza daripada janjang aritmetik. Dalam janjang aritmetik, setiap sebutan berikutnya diperolehi dengan menambah nilai yang sama dengan istilah sebelumnya. Dan di sini - pendaraban penggal sebelumnya dengan jumlah yang sama. Itulah perbezaannya.)
Perkara Utama #3
Perkara utama ini adalah sama sepenuhnya dengan perkara untuk janjang aritmetik. Iaitu: Setiap ahli janjang geometri berdiri di tempatnya. Semuanya betul-betul sama seperti dalam janjang aritmetik dan komen, saya fikir, tidak perlu. Ada penggal pertama, ada ratus pertama, dsb. Marilah kita menukar sekurang-kurangnya dua istilah - corak (dan dengannya janjang geometri) akan hilang. Yang akan kekal hanyalah urutan nombor tanpa sebarang logik.
Itu sahaja. Itulah titik keseluruhan janjang geometri.
Terma dan sebutan.
Tetapi sekarang, setelah memahami maksud dan perkara utama janjang geometri, kita boleh beralih kepada teori. Kalau tidak, apa itu teori tanpa memahami maksudnya, bukan?
Bagaimana untuk menandakan janjang geometri?
Bagaimanakah janjang geometri ditulis dalam bentuk umum? Tiada masalah! Setiap penggal janjang juga ditulis sebagai surat. Hanya untuk janjang aritmetik, biasanya huruf digunakan "A", untuk geometri – huruf "b". Nombor ahli, seperti biasa, ditunjukkan indeks di bahagian bawah sebelah kanan. Kami hanya menyenaraikan ahli janjang itu sendiri, dipisahkan dengan koma atau titik bertitik.
seperti ini:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Secara ringkas, perkembangan ini ditulis seperti ini: (b n) .
Atau seperti ini, untuk perkembangan terhingga:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Atau, ringkasnya:
(b n), n=30 .
Itu, sebenarnya, adalah semua sebutan. Semuanya sama, cuma hurufnya berbeza, ya.) Dan sekarang kita beralih terus ke definisi.
Definisi janjang geometri.
Janjang geometri ialah jujukan nombor di mana sebutan pertama adalah bukan sifar, dan setiap sebutan berikutnya adalah sama dengan sebutan sebelumnya yang didarab dengan nombor bukan sifar yang sama.
Itulah keseluruhan definisi. Kebanyakan perkataan dan frasa adalah jelas dan biasa kepada anda. Jika, sudah tentu, anda memahami maksud perkembangan geometri "pada jari anda" dan secara umum. Tetapi terdapat juga beberapa frasa baharu yang saya ingin beri perhatian khusus.
Pertama, perkataan: "ahli pertama yang bukan sifar".
Sekatan pada penggal pertama ini tidak diperkenalkan secara kebetulan. Apa yang anda fikir akan berlaku jika ahli pertama b 1 akan sama dengan sifar? Apakah sebutan kedua akan sama dengan jika setiap sebutan lebih besar daripada sebutan sebelumnya? bilangan kali yang sama? Katakan tiga kali? Mari lihat... Darab sebutan pertama (iaitu 0) dengan 3 dan dapatkan... sifar! Bagaimana dengan ahli ketiga? Juga sifar! Dan sebutan keempat juga sifar! Dan sebagainya…
Kami hanya mendapat beg bagel, urutan sifar:
0, 0, 0, 0, …
Sudah tentu, urutan sedemikian mempunyai hak untuk hidup, tetapi ia tidak mempunyai kepentingan praktikal. Semuanya jelas. Mana-mana ahlinya adalah sifar. Jumlah sebarang bilangan sebutan juga adalah sifar... Apakah perkara menarik yang boleh anda lakukan dengannya? tiada apa-apa…
Kata kunci berikut: "didarab dengan nombor bukan sifar yang sama."
Nombor yang sama ini juga mempunyai nama khasnya sendiri - penyebut janjang geometri. Mari kita mula berkenalan.)
Penyebut janjang geometri.
Segala-galanya adalah semudah memerah pear.
Penyebut janjang geometri ialah nombor bukan sifar (atau kuantiti) yang menunjukkan berapa kalisetiap penggal janjang lebih daripada yang sebelumnya.
Sekali lagi, sama dengan janjang aritmetik, kata kunci yang perlu dicari dalam definisi ini ialah perkataan "lebih". Ini bermakna setiap sebutan janjang geometri diperolehi pendaraban kepada penyebut ini ahli terdahulu.
Biar saya jelaskan.
Untuk mengira, katakan kedua batang, perlu mengambil pertama ahli dan membiak ia kepada penyebut. Untuk pengiraan kesepuluh batang, perlu mengambil kesembilan ahli dan membiak ia kepada penyebut.
Penyebut janjang geometri itu sendiri boleh menjadi apa sahaja. Sesiapa sahaja! Keseluruhan, pecahan, positif, negatif, tidak rasional - semuanya. Kecuali sifar. Inilah yang dikatakan oleh perkataan "bukan sifar" dalam definisi. Mengapa perkataan ini diperlukan di sini - lebih lanjut mengenainya kemudian.
Penyebut janjang geometri paling kerap ditunjukkan oleh surat itu q.
Bagaimana untuk mencarinya q? Tiada masalah! Kita mesti mengambil sebarang istilah kemajuan dan bahagikan dengan istilah sebelumnya. Pembahagian ialah pecahan. Oleh itu namanya - "penyebut kemajuan". Penyebutnya, ia biasanya terletak dalam pecahan, ya...) Walaupun, secara logiknya, nilainya q patut dipanggil persendirian janjang geometri, serupa dengan beza untuk janjang aritmetik. Tetapi kami bersetuju untuk menelefon penyebut. Dan kami juga tidak akan mencipta semula roda itu.)
Mari kita tentukan, sebagai contoh, kuantiti q untuk janjang geometri ini:
2, 6, 18, 54, …
Semuanya adalah asas. Jom ambil mana-mana nombor urutan. Kita ambil apa sahaja yang kita mahu. Kecuali yang pertama. Sebagai contoh, 18. Dan bahagikan dengan nombor sebelumnya. Iaitu, pada pukul 6.
Kita mendapatkan:
q = 18/6 = 3
Itu sahaja. Ini adalah jawapan yang betul. Untuk janjang geometri ini, penyebutnya ialah tiga.
Sekarang mari kita cari penyebutnya q untuk janjang geometri yang lain. Sebagai contoh, yang ini:
1, -2, 4, -8, 16, …
Semuanya sama. Walau apa pun tanda-tanda ahli sendiri, kita tetap ambil mana-mana nombor jujukan (contohnya, 16) dan bahagi dengan nombor sebelumnya(iaitu -8).
Kita mendapatkan:
d = 16/(-8) = -2
Dan itu sahaja.) Kali ini penyebut janjang itu ternyata negatif. Tolak dua. berlaku.)
Sekarang mari kita ambil perkembangan ini:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Dan sekali lagi, tanpa mengira jenis nombor dalam jujukan (sama ada integer, pecahan, malah negatif, malah tidak rasional), kami mengambil sebarang nombor (contohnya, 1/9) dan membahagikan dengan nombor sebelumnya (1/3). Mengikut peraturan untuk bekerja dengan pecahan, sudah tentu.
Kita mendapatkan:
Itu sahaja.) Di sini penyebutnya ternyata pecahan: q = 1/3.
Apakah pendapat anda tentang "kemajuan" ini?
3, 3, 3, 3, 3, …
Jelas di sini q = 1 . Secara rasmi, ini juga merupakan janjang geometri, hanya dengan ahli yang sama.) Tetapi perkembangan sedemikian tidak menarik untuk kajian dan aplikasi praktikal. Sama seperti janjang dengan sifar pepejal. Oleh itu, kami tidak akan menganggap mereka.
Seperti yang anda lihat, penyebut janjang boleh menjadi apa sahaja - integer, pecahan, positif, negatif - apa sahaja! Ia tidak boleh hanya sifar. Tak boleh teka kenapa?
Baiklah, mari kita gunakan beberapa contoh khusus untuk melihat apa yang akan berlaku jika kita ambil sebagai penyebut q sifar.) Marilah kita, sebagai contoh, mempunyai b 1 = 2 , A q = 0 . Apakah yang akan menjadi sebutan kedua?
Kami mengira:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
Bagaimana dengan ahli ketiga?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Jenis dan tingkah laku janjang geometri.
Segala-galanya adalah lebih atau kurang jelas: jika perbezaan kemajuan d adalah positif, maka perkembangannya meningkat. Jika perbezaannya negatif, maka perkembangannya berkurangan. Hanya ada dua pilihan. Tidak ada yang ketiga.)
Tetapi dengan tingkah laku janjang geometri, semuanya akan menjadi lebih menarik dan pelbagai!)
Tidak kira bagaimana istilah itu berkelakuan di sini: mereka meningkat, dan berkurangan, dan menghampiri sifar selama-lamanya, dan juga menukar tanda, secara bergantian melemparkan diri mereka ke dalam "tambah" dan kemudian ke "tolak"! Dan dalam semua kepelbagaian ini anda perlu dapat memahami dengan baik, ya...
Mari kita fikirkan?) Mari kita mulakan dengan kes yang paling mudah.
Penyebutnya adalah positif ( q >0)
Dengan penyebut positif, pertama, istilah janjang geometri boleh masuk ditambah infiniti(iaitu meningkat tanpa had) dan boleh masuk ke tolak infiniti(iaitu, berkurangan tanpa had). Kami sudah terbiasa dengan tingkah laku perkembangan ini.
Sebagai contoh:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Semuanya mudah di sini. Setiap sebutan janjang diperolehi lebih daripada sebelumnya. Lebih-lebih lagi, setiap istilah ternyata pendaraban ahli terdahulu pada positif nombor +2 (iaitu. q = 2 ). Tingkah laku perkembangan sedemikian adalah jelas: semua ahli perkembangan berkembang tanpa had, pergi ke angkasa. Ditambah infiniti...
Dan sekarang inilah perkembangannya:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Di sini juga, setiap istilah janjang diperolehi pendaraban ahli terdahulu pada positif nombor +2. Tetapi tingkah laku janjang sedemikian adalah sebaliknya: setiap istilah janjang itu diperolehi kurang daripada sebelumnya, dan semua istilahnya berkurangan tanpa had, akan menjadi tolak infiniti.
Sekarang mari kita fikirkan: apakah persamaan kedua-dua perkembangan ini? Betul, penyebut! sana sini q = +2 . Nombor positif. dua. Dan di sini tingkah laku Kedua-dua perkembangan ini pada asasnya berbeza! Tak boleh teka kenapa? Ya! Ini semua tentang ahli pertama! Dia, seperti yang mereka katakan, yang memanggil lagu itu.) Lihat sendiri.
Dalam kes pertama, penggal pertama perkembangan positif(+1) dan, oleh itu, semua sebutan berikutnya diperoleh dengan mendarab dengan positif penyebut q = +2 , juga akan positif.
Tetapi dalam kes kedua, penggal pertama negatif(-1). Oleh itu, semua sebutan seterusnya bagi janjang, diperoleh dengan mendarab dengan positif q = +2 , juga akan diperolehi negatif. Kerana "tolak" kepada "tambah" sentiasa memberikan "tolak", ya.)
Seperti yang anda lihat, tidak seperti janjang aritmetik, janjang geometri boleh berkelakuan berbeza sepenuhnya bukan sahaja bergantung daripada penyebutq, tetapi juga bergantung daripada ahli pertama, Ya.)
Ingat: kelakuan janjang geometri secara unik ditentukan oleh sebutan pertamanya b 1 dan penyebutq .
Dan sekarang kita mula menganalisis kes yang kurang biasa, tetapi lebih menarik!
Mari kita ambil, sebagai contoh, urutan ini:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Urutan ini juga merupakan janjang geometri! Setiap penggal perkembangan ini juga ternyata pendaraban ahli sebelumnya, dengan nombor yang sama. Ia hanya nombor - pecahan: q = +1/2 . Ataupun +0,5 . Lebih-lebih lagi (penting!) nombornya kurang daripada satu:q = 1/2<1.
Mengapakah janjang geometri ini menarik? Ke manakah hala tuju ahlinya? Mari lihat:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Apakah perkara menarik yang boleh anda perhatikan di sini? Pertama sekali, penurunan dari segi perkembangan itu dapat dilihat dengan serta-merta: setiap ahlinya kurang yang sebelumnya betul-betul 2 kali. Atau, mengikut takrifan janjang geometri, setiap sebutan lebih sebelumnya 1/2 kali, kerana penyebut janjang q = 1/2 . Dan apabila didarab dengan nombor positif kurang daripada satu, hasilnya biasanya berkurangan, ya...
Apa lebih boleh dilihat dalam tingkah laku perkembangan ini? Adakah ahlinya semakin berkurangan? tidak terhad, akan tolak infiniti? Tidak! Mereka hilang dengan cara yang istimewa. Pada mulanya mereka berkurangan dengan cepat, dan kemudian semakin perlahan. Dan sementara kekal sepanjang masa positif. Walaupun sangat-sangat kecil. Dan apa yang mereka sendiri perjuangkan? Tidakkah anda meneka? Ya! Mereka berusaha ke arah sifar!) Lebih-lebih lagi, perhatikan, ahli kemajuan kami adalah dari sifar tidak pernah sampai! Sahaja menghampirinya dengan sangat dekat. Ianya sangat penting.)
Situasi yang sama akan berlaku dalam perkembangan berikut:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Di sini b 1 = -1 , A q = 1/2 . Segala-galanya adalah sama, hanya sekarang istilah akan menghampiri sifar dari sisi lain, dari bawah. Kekal sepanjang masa negatif.)
Janjang geometri sedemikian, yang syaratnya mendekati sifar tanpa had(tidak kira dari sisi positif atau negatif), dalam matematik mempunyai nama khas - janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Perkembangan ini sangat menarik dan luar biasa sehinggakan ia akan dibincangkan pelajaran berasingan .)
Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan positif penyebutnya adalah besar dan lebih kecil. Kami tidak menganggap unit itu sendiri sebagai penyebut atas sebab yang dinyatakan di atas (ingat contoh dengan urutan kembar tiga...)
Mari kita ringkaskan:
positifDan lebih daripada satu (q>1), maka syarat janjang:
a) meningkat tanpa had (jikab 1 >0);
b) berkurangan tanpa had (jikab 1 <0).
Jika penyebut janjang geometri positif Dan kurang daripada satu (0< q<1), то члены прогрессии:
a) hampir tak terhingga kepada sifar atas(Jikab 1 >0);
b) menghampiri tak terhingga menghampiri sifar dari bawah(Jikab 1 <0).
Ia kini kekal untuk mempertimbangkan kes itu penyebut negatif.
Penyebut adalah negatif ( q <0)
Kami tidak akan pergi jauh untuk contoh. Kenapa, betul-betul, nenek kusut?!) Biarkan, sebagai contoh, penggal pertama janjang itu b 1 = 1 , dan mari kita ambil penyebutnya q = -2.
Kami mendapat urutan berikut:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
Dan seterusnya.) Setiap sebutan janjang diperolehi pendaraban ahli terdahulu pada nombor negatif-2. Dalam kes ini, semua ahli yang berdiri di tempat ganjil (pertama, ketiga, kelima, dll.) akan menjadi positif, dan di tempat genap (kedua, keempat, dsb.) – negatif. Tanda-tanda itu silih berganti. Tambah-tolak-tambah-tolak... Janjang geometri ini dipanggil - tanda meningkat berselang seli.
Ke manakah hala tuju ahlinya? Tetapi tiada di mana-mana.) Ya, dalam nilai mutlak (iaitu modulo) ahli perkembangan kami meningkat tanpa had (oleh itu namanya "meningkat"). Tetapi pada masa yang sama, setiap ahli perkembangan secara bergilir-gilir melemparkan anda ke dalam panas, kemudian ke dalam kesejukan. Sama ada "tambah" atau "tolak". Kemajuan kita goyah... Lagipun skop turun naik berkembang pesat dengan setiap langkah, ya.) Oleh itu, aspirasi ahli-ahli kemajuan entah ke mana. secara khusus Di sini Tidak. Sama ada tambah infiniti, atau tolak infiniti, mahupun sifar - tiada di mana-mana.
Sekarang mari kita pertimbangkan beberapa penyebut pecahan antara sifar dan tolak satu.
Contohnya, biarlah b 1 = 1 , A q = -1/2.
Kemudian kita mendapat perkembangan:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Dan sekali lagi kita mempunyai tanda-tanda yang silih berganti! Tetapi, tidak seperti contoh sebelumnya, di sini sudah ada kecenderungan yang jelas untuk istilah mendekati sifar.) Hanya kali ini istilah kami menghampiri sifar bukan sahaja dari atas atau bawah, tetapi sekali lagi teragak-agak. Bergantian mengambil nilai positif dan negatif. Tetapi pada masa yang sama mereka modul semakin hampir dan lebih dekat dengan sifar yang dihargai.)
Janjang geometri ini dipanggil tanda menurun tak terhingga, berselang-seli.
Mengapa dua contoh ini menarik? Dan hakikat bahawa dalam kedua-dua kes berlaku silih berganti tanda! Silap mata ini adalah tipikal hanya untuk janjang dengan penyebut negatif, ya.) Oleh itu, jika dalam beberapa tugas anda melihat janjang geometri dengan sebutan berselang-seli, anda pasti sudah tahu bahawa penyebutnya adalah 100% negatif dan anda tidak akan membuat kesilapan dalam tanda.)
Dengan cara ini, dalam kes penyebut negatif, tanda istilah pertama tidak sama sekali mempengaruhi tingkah laku perkembangan itu sendiri. Tidak kira tanda penggal pertama janjang, dalam apa jua keadaan tanda terma akan dipatuhi. Satu-satunya soalan ialah, di tempat apa(genap atau ganjil) akan ada ahli dengan tanda-tanda tertentu.
Ingat:
Jika penyebut janjang geometri negatif , maka tanda-tanda syarat kemajuan adalah sentiasa alternatif.
Pada masa yang sama, ahli sendiri:
a) meningkat tanpa hadmodulo, Jikaq<-1;
b) menghampiri sifar tak terhingga jika -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Itu sahaja. Semua kes biasa telah dianalisis.)
Dalam proses menganalisis pelbagai contoh janjang geometri, saya secara berkala menggunakan perkataan: "cenderung kepada sifar", "cenderung tambah infiniti", "cenderung tolak infiniti"... Tidak mengapa.) Kiasan ini (dan contoh khusus) hanyalah pengenalan awal kepada tingkah laku pelbagai urutan nombor. Menggunakan contoh janjang geometri.
Mengapa kita perlu mengetahui tingkah laku perkembangan? Apakah perbezaannya di mana dia pergi? Ke arah sifar, kepada tambah infiniti, kepada tolak infiniti... Apakah kesannya kepada kita?
Masalahnya ialah sudah berada di universiti, dalam kursus matematik yang lebih tinggi, anda akan memerlukan keupayaan untuk bekerja dengan pelbagai jenis urutan berangka (dengan mana-mana, bukan hanya janjang!) dan keupayaan untuk membayangkan dengan tepat bagaimana urutan ini atau itu berkelakuan - sama ada ia meningkat sama ada ia berkurangan tanpa had, sama ada ia cenderung kepada nombor tertentu (dan tidak semestinya kepada sifar), atau bahkan tidak cenderung kepada apa-apa sama sekali... Seluruh bahagian dikhaskan untuk topik ini dalam kursus matematik analisis - teori had. Dan sedikit lebih khusus - konsepnya had urutan nombor. Topik yang sangat menarik! Masuk akal untuk pergi ke kolej dan memikirkannya.)
Beberapa contoh daripada bahagian ini (urutan mempunyai had) dan khususnya, janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga Mereka mula membiasakan diri di sekolah. Kami membiasakannya.)
Selain itu, keupayaan untuk mengkaji dengan baik tingkah laku jujukan akan memberi manfaat besar kepada anda pada masa hadapan dan akan sangat berguna dalam penyelidikan fungsi. Yang paling pelbagai. Tetapi keupayaan untuk bekerja dengan cekap dengan fungsi (mengira derivatif, mengkajinya sepenuhnya, membina grafnya) sudah secara mendadak meningkatkan tahap matematik anda! Adakah anda mempunyai sebarang keraguan? Tidak perlu. Juga ingat kata-kata saya.)
Mari kita lihat perkembangan geometri dalam kehidupan?
Dalam kehidupan di sekeliling kita, kita sering menghadapi perkembangan geometri. Walaupun tanpa disedari.)
Sebagai contoh, pelbagai mikroorganisma yang mengelilingi kita di mana-mana dalam kuantiti yang banyak dan yang tidak dapat kita lihat tanpa mikroskop membiak dengan tepat dalam janjang geometri.
Katakan satu bakteria membiak dengan membahagi dua, memberikan anak kepada 2 bakteria. Sebaliknya, setiap daripada mereka, apabila mendarab, juga membahagi dua, memberikan keturunan biasa 4 bakteria. Generasi seterusnya akan menghasilkan 8 bakteria, kemudian 16 bakteria, 32, 64 dan seterusnya. Dengan setiap generasi berikutnya, bilangan bakteria berganda. Contoh biasa janjang geometri.)
Selain itu, sesetengah serangga – kutu daun dan lalat – membiak secara eksponen. Dan kadang-kadang arnab juga, dengan cara itu.)
Satu lagi contoh janjang geometri, lebih dekat dengan kehidupan seharian, adalah apa yang dipanggil faedah kompaun. Fenomena menarik ini sering dijumpai dalam deposit bank dan dipanggil permodalan faedah. Apa ini?
Anda sendiri masih, sudah tentu, muda. Anda belajar di sekolah, anda tidak pergi ke bank. Tetapi ibu bapa anda sudah dewasa dan berdikari. Mereka pergi bekerja, mendapatkan wang untuk makanan harian mereka, dan memasukkan sebahagian daripada wang itu ke dalam bank, membuat simpanan.)
Katakan ayah anda ingin menyimpan sejumlah wang untuk percutian keluarga di Turki dan meletakkan 50,000 rubel di bank pada kadar 10% setahun untuk tempoh tiga tahun dengan permodalan faedah tahunan. Selain itu, sepanjang tempoh ini tiada apa yang boleh dilakukan dengan deposit. Anda tidak boleh mengisi semula deposit atau mengeluarkan wang dari akaun. Berapakah keuntungan yang akan dia perolehi selepas tiga tahun ini?
Baiklah, pertama sekali, kita perlu memikirkan apa itu 10% setahun. Maksudnya begitu dalam setahun Bank akan menambah 10% kepada jumlah deposit awal. Dari apa? Sudah tentu, dari jumlah deposit awal.
Kami mengira saiz akaun selepas setahun. Jika jumlah deposit awal ialah 50,000 rubel (iaitu 100%), maka selepas setahun akan ada berapa banyak faedah pada akaun? Betul, 110%! Dari 50,000 rubel.
Jadi kami mengira 110% daripada 50,000 rubel:
50000·1.1 = 55000 rubel.
Saya harap anda faham bahawa mencari 110% daripada nilai bermakna mendarabkan nilai itu dengan nombor 1.1? Jika anda tidak faham mengapa ini berlaku, ingat gred kelima dan keenam. Iaitu – hubungan antara peratusan dan pecahan dan bahagian.)
Oleh itu, kenaikan untuk tahun pertama akan menjadi 5,000 rubel.
Berapa banyak wang akan berada dalam akaun dalam masa dua tahun? 60,000 rubel? Malangnya (atau lebih tepatnya, mujurlah), semuanya tidak begitu mudah. Keseluruhan helah permodalan faedah ialah dengan setiap akruan faedah baharu, kepentingan yang sama ini akan dipertimbangkan sudah daripada jumlah baru! Daripada orang yang sudah ada pada akaun Pada masa ini. Dan faedah yang terakru untuk tempoh sebelumnya ditambah kepada jumlah deposit asal dan, dengan itu, ia mengambil bahagian dalam pengiraan faedah baru! Iaitu, mereka menjadi sebahagian penuh daripada keseluruhan akaun. Atau umum modal. Oleh itu nama - permodalan faedah.
Ia dalam bidang ekonomi. Dan dalam matematik peratusan sedemikian dipanggil faedah kompaun. Ataupun peratusan faedah.) Helah mereka ialah apabila mengira secara berurutan, peratusan dikira setiap kali daripada nilai baharu. Dan bukan dari asal...
Oleh itu, untuk mengira jumlah melalui dua tahun, kita perlu mengira 110% daripada jumlah yang akan berada dalam akaun dalam setahun. Iaitu, sudah dari 55,000 rubel.
Kami mengira 110% daripada 55,000 rubel:
55000·1.1 = 60500 rubel.
Ini bermakna peratusan peningkatan untuk tahun kedua akan menjadi 5,500 rubel, dan selama dua tahun - 10,500 rubel.
Sekarang anda sudah boleh meneka bahawa selepas tiga tahun jumlah dalam akaun akan menjadi 110% daripada 60,500 rubel. Itu sekali lagi 110% daripada yang sebelumnya (tahun lepas) jumlah.
Di sini kita fikir:
60500·1.1 = 66550 rubel.
Sekarang kami menyusun jumlah kewangan kami mengikut tahun mengikut urutan:
50000;
55000 = 50000 1.1;
60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;
66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1
Jadi macam mana? Mengapa bukan janjang geometri? Ahli pertama b 1 = 50000 , dan penyebut q = 1,1 . Setiap istilah adalah 1.1 kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Semuanya mengikut definisi yang ketat.)
Dan berapa banyak bonus faedah tambahan yang akan "terkumpul" oleh ayah anda sementara 50,000 rubelnya telah disimpan dalam akaun banknya selama tiga tahun?
Kami mengira:
66550 – 50000 = 16550 rubel
Tidak banyak, sudah tentu. Tetapi ini jika jumlah deposit awal adalah kecil. Bagaimana jika ada lagi? Katakan, bukan 50, tetapi 200 ribu rubel? Kemudian peningkatan dalam tempoh tiga tahun ialah 66,200 rubel (jika anda membuat pengiraan). Yang sudah sangat bagus.) Bagaimana jika sumbangan lebih besar? itu sahaja...
Kesimpulan: semakin tinggi deposit permulaan, semakin menguntungkan permodalan faedah. Itulah sebabnya deposit dengan permodalan faedah disediakan oleh bank untuk tempoh yang lama. Katakan selama lima tahun.
Juga, semua jenis penyakit buruk seperti influenza, campak dan penyakit yang lebih dahsyat (SARS yang sama pada awal 2000-an atau wabak pada Zaman Pertengahan) suka merebak dengan pesat. Oleh itu skala wabak, ya...) Dan semua disebabkan oleh fakta bahawa janjang geometri dengan keseluruhan penyebut positif (q>1) – sesuatu yang berkembang dengan sangat cepat! Ingat pembiakan bakteria: daripada satu bakteria dua diperolehi, daripada dua - empat, dari empat - lapan, dan seterusnya... Ia sama dengan penyebaran sebarang jangkitan.)
Masalah paling mudah mengenai janjang geometri.
Mari kita mulakan, seperti biasa, dengan masalah mudah. Semata-mata untuk memahami maksudnya.
1. Diketahui bahawa sebutan kedua janjang geometri ialah 6, dan penyebutnya ialah -0.5. Cari sebutan pertama, ketiga dan keempat.
Jadi kita diberi tidak berkesudahan janjang geometri, tetapi diketahui penggal kedua perkembangan ini:
b 2 = 6
Selain itu, kita juga tahu penyebut janjang:
q = -0.5
Dan anda perlu mencari pertama, ketiga Dan keempat ahli perkembangan ini.
Jadi kita bertindak. Kami menulis urutan mengikut keadaan masalah. Secara langsung dalam bentuk umum, di mana sebutan kedua ialah enam:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Sekarang mari kita mula mencari. Kami mulakan, seperti biasa, dengan yang paling mudah. Anda boleh mengira, sebagai contoh, istilah ketiga b 3? Boleh! Anda dan saya sudah tahu (secara langsung dalam erti kata janjang geometri) bahawa istilah ketiga (b 3) lebih daripada yang kedua (b 2 ) V "q" sekali!
Jadi kami menulis:
b 3 =b 2 · q
Kami menggantikan enam ke dalam ungkapan ini dan bukannya b 2 dan -0.5 sebaliknya q dan kita mengira. Dan kami juga tidak mengabaikan tolak, sudah tentu...
b 3 = 6·(-0.5) = -3
macam ni. Penggal ketiga ternyata negatif. Tidak hairanlah: penyebut kami q– negatif. Dan mendarabkan tambah dengan tolak, sudah tentu, akan menjadi tolak.)
Sekarang kita mengira penggal keempat janjang seterusnya:
b 4 =b 3 · q
b 4 = -3·(-0.5) = 1.5
Penggal keempat sekali lagi dengan tambah. Penggal kelima sekali lagi akan menjadi tolak, yang keenam akan ditambah, dan seterusnya. Tanda-tandanya silih berganti!
Jadi, sebutan ketiga dan keempat dijumpai. Hasilnya ialah urutan berikut:
b 1 ; 6; -3; 1.5; ...
Sekarang yang tinggal hanyalah mencari penggal pertama b 1 mengikut detik yang terkenal. Untuk melakukan ini, kami melangkah ke arah lain, ke kiri. Ini bermakna dalam kes ini kita tidak perlu mendarab sebutan kedua janjang dengan penyebut, tetapi bahagikan.
Kami membahagikan dan mendapat:
Itu sahaja.) Jawapan kepada masalah adalah seperti ini:
-12; 6; -3; 1,5; …
Seperti yang anda lihat, prinsip penyelesaian adalah sama seperti dalam . Kami tahu mana-mana ahli dan penyebut janjang geometri - kita boleh mencari mana-mana ahli lain daripadanya. Kita akan cari yang kita mahu.) Satu-satunya perbezaan ialah penambahan/penolakan digantikan dengan pendaraban/pembahagian.
Ingat: jika kita mengetahui sekurang-kurangnya satu ahli dan penyebut janjang geometri, maka kita sentiasa boleh mencari mana-mana ahli janjang ini.
Masalah berikut, mengikut tradisi, adalah dari versi sebenar OGE:
2.
...; 150; X; 6; 1.2; ...
Jadi macam mana? Kali ini tiada penggal pertama, tiada penyebut q, hanya urutan nombor diberikan... Sesuatu yang sudah biasa, bukan? Ya! Masalah yang sama telah pun diselesaikan dalam janjang aritmetik!
Jadi kami tidak takut. Semuanya sama. Mari kita pusingkan kepala kita dan ingat makna asas janjang geometri. Kami melihat dengan teliti pada urutan kami dan mengetahui parameter janjang geometri bagi tiga yang utama (sebutan pertama, penyebut, nombor sebutan) tersembunyi di dalamnya.
Nombor ahli? Tiada nombor keahlian, ya... Tetapi ada empat berturut-turut nombor. Saya tidak nampak apa-apa guna menjelaskan maksud perkataan ini pada peringkat ini.) Adakah terdapat dua nombor jiran yang diketahui? makan! Ini adalah 6 dan 1.2. Jadi kita boleh cari penyebut janjang. Jadi kita ambil nombor 1.2 dan bahagikan kepada nombor sebelumnya. Kepada enam.
Kita mendapatkan:
Kita mendapatkan:
x= 150·0.2 = 30
Jawapan: x = 30 .
Seperti yang anda lihat, semuanya agak mudah. Kesukaran utama hanya dalam pengiraan. Ia amat sukar dalam kes penyebut negatif dan pecahan. Jadi mereka yang mempunyai masalah, ulang aritmetik! Bagaimana untuk bekerja dengan pecahan, bagaimana untuk bekerja dengan nombor negatif, dan sebagainya... Jika tidak, anda akan melambatkan tanpa belas kasihan di sini.
Sekarang mari kita ubah suai masalah itu sedikit. Kini ia akan menjadi menarik! Mari kita keluarkan nombor terakhir 1.2 daripadanya. Sekarang mari kita selesaikan masalah ini:
3. Beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang geometri ditulis:
...; 150; X; 6; ...
Cari sebutan janjang yang ditunjukkan oleh huruf x.
Semuanya sama, hanya dua bersebelahan terkenal Kami kini tidak mempunyai ahli kemajuan. Ini adalah masalah utama. Kerana magnitud q melalui dua istilah berjiran kita boleh tentukan dengan mudah kita tidak boleh. Adakah kita mempunyai peluang untuk menghadapi tugas itu? Sudah tentu!
Mari kita tulis istilah yang tidak diketahui " x"secara langsung dalam pengertian janjang geometri! Secara umum.
Ya Ya! Betul dengan penyebut yang tidak diketahui!
Di satu pihak, untuk X kita boleh menulis nisbah berikut:
x= 150·q
Sebaliknya, kami mempunyai hak untuk menerangkan X yang sama ini seterusnya ahli, melalui enam! Bahagi enam dengan penyebut.
seperti ini:
x = 6/ q
Jelas sekali, kini kita boleh menyamakan kedua-dua nisbah ini. Sejak kita meluahkan sama magnitud (x), tetapi dua cara yang berbeza.
Kami mendapat persamaan:
Mendarabkan segala-galanya dengan q, memudahkan dan memendekkan, kita mendapat persamaan:
q2 = 1/25
Kami menyelesaikan dan mendapatkan:
q = ±1/5 = ±0.2
Aduh! Penyebutnya menjadi dua kali ganda! +0.2 dan -0.2. Dan yang mana satu patut anda pilih? Jalan mati?
Tenang! Ya, masalahnya sebenarnya ada dua penyelesaian! Tidak ada yang salah dengan itu. Ia berlaku.) Anda tidak terkejut apabila, sebagai contoh, anda mendapat dua punca apabila menyelesaikan masalah biasa? Ia adalah cerita yang sama di sini.)
Untuk q = +0.2 kita akan dapat:
X = 150 0.2 = 30
Dan untuk q = -0,2 akan:
X = 150·(-0.2) = -30
Kami mendapat jawapan berganda: x = 30; x = -30.
Apakah maksud fakta menarik ini? Dan apa yang wujud dua perkembangan, memenuhi syarat masalah!
Seperti yang ini:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Kedua-duanya sesuai.) Pada pendapat anda, mengapakah jawapan kami berpecah? Hanya kerana penyingkiran ahli tertentu perkembangan (1,2), datang selepas enam. Dan dengan hanya mengetahui sebutan (n-1) dan seterusnya (n+1) bagi janjang geometri, kita tidak lagi boleh mengatakan apa-apa dengan jelas tentang sebutan ke-n yang berdiri di antara mereka. Terdapat dua pilihan - dengan tambah dan dengan tolak.
Tetapi tiada masalah. Sebagai peraturan, dalam tugas perkembangan geometri terdapat maklumat tambahan yang memberikan jawapan yang tidak jelas. Mari sebut perkataan: "perkembangan berselang-seli" atau "kemajuan dengan penyebut positif" dan seterusnya... Kata-kata inilah yang sepatutnya menjadi petunjuk tentang tanda, tambah atau tolak, yang harus dipilih semasa menyediakan jawapan akhir. Jika tiada maklumat sedemikian, maka ya, tugas itu akan ada dua penyelesaian.)
Sekarang kita tentukan sendiri.
4. Tentukan sama ada nombor 20 adalah ahli janjang geometri:
4 ; 6; 9; …
5. Tanda janjang geometri berselang-seli diberikan:
…; 5; x ; 45; …
Cari istilah janjang yang ditunjukkan oleh huruf itu x .
6. Cari sebutan positif keempat bagi janjang geometri:
625; -250; 100; …
7. Sebutan kedua janjang geometri adalah bersamaan dengan -360, dan sebutan kelimanya bersamaan dengan 23.04. Cari sebutan pertama janjang ini.
Jawapan (dalam gangguan): -15; 900; Tidak; 2.56.
Tahniah jika semuanya berjaya!
Sesuatu yang tidak sesuai? Di suatu tempat terdapat jawapan berganda? Baca syarat tugasan dengan teliti!
Masalah terakhir tidak berjaya? Tidak ada yang rumit di sana.) Kami bekerja secara langsung mengikut maksud janjang geometri. Nah, anda boleh melukis gambar. Ia membantu.)
Seperti yang anda lihat, semuanya adalah asas. Jika perkembangannya pendek. Bagaimana jika ia panjang? Atau adakah bilangan ahli yang diperlukan sangat ramai? Saya ingin, dengan analogi dengan janjang aritmetik, entah bagaimana mendapatkan formula yang mudah yang memudahkan untuk mencari mana-mana sebutan bagi sebarang janjang geometri dengan nombornya. Tanpa mendarab berkali-kali q. Dan ada formula sedemikian!) Butiran ada dalam pelajaran seterusnya.