Cari kamiran tak tentu yang ditunjukkan. Kamiran untuk boneka: cara menyelesaikan, peraturan pengiraan, penjelasan

Menyelesaikan kamiran adalah tugas yang mudah, tetapi hanya untuk beberapa orang terpilih. Artikel ini adalah untuk mereka yang ingin belajar memahami kamiran, tetapi tidak tahu apa-apa atau hampir tiada apa-apa tentangnya. Integral... Mengapa ia diperlukan? Bagaimana untuk mengiranya? Apakah kamiran pasti dan kamiran tak tentu? Jika satu-satunya kegunaan yang anda ketahui untuk kamiran ialah menggunakan cangkuk mengait berbentuk seperti ikon kamiran untuk mendapatkan sesuatu yang berguna daripada tempat yang sukar dijangkau, maka dialu-alukan! Ketahui cara menyelesaikan kamiran dan mengapa anda tidak boleh melakukannya tanpanya.

Kami mengkaji konsep "integral"

Integrasi dikenali di Mesir Purba. Sudah tentu, bukan dalam bentuk modennya, tetapi masih. Sejak itu, ahli matematik telah menulis banyak buku mengenai topik ini. Terutama membezakan diri mereka Newton Dan Leibniz , tetapi intipati sesuatu tidak berubah. Bagaimana untuk memahami kamiran dari awal? Tidak boleh! Untuk memahami topik ini, anda masih memerlukan pengetahuan asas tentang asas analisis matematik. Maklumat asas inilah yang anda akan dapati di blog kami.

Kamiran tak tentu

Mari kita mempunyai beberapa fungsi f(x) .

Fungsi kamiran tak tentu f(x) fungsi ini dipanggil F(x) , yang derivatifnya sama dengan fungsi f(x) .

Dalam erti kata lain, kamiran ialah terbitan terbalik atau antiterbitan. Dengan cara ini, baca tentang bagaimana dalam artikel kami.

Antiderivatif wujud untuk semua fungsi berterusan. Juga, tanda malar sering ditambah kepada antiderivatif, kerana derivatif fungsi yang berbeza dengan malar bertepatan. Proses mencari kamiran dipanggil kamiran.

Contoh mudah:

Agar tidak sentiasa mengira antiderivatif fungsi asas, adalah mudah untuk meletakkannya dalam jadual dan menggunakan nilai siap pakai:

Kamiran pasti

Apabila berurusan dengan konsep kamiran, kita berurusan dengan kuantiti tak terhingga. Kamiran akan membantu mengira luas rajah, jisim badan tidak seragam, jarak yang dilalui semasa pergerakan tidak sekata, dan banyak lagi. Perlu diingat bahawa kamiran ialah hasil tambah bilangan sebutan tak terhingga yang sangat kecil.

Sebagai contoh, bayangkan graf bagi beberapa fungsi. Bagaimana untuk mencari luas angka yang dibatasi oleh graf fungsi?

Menggunakan integral! Mari kita bahagikan trapezium lengkung, dihadkan oleh paksi koordinat dan graf fungsi, kepada segmen yang sangat kecil. Dengan cara ini angka itu akan dibahagikan kepada lajur nipis. Jumlah kawasan lajur akan menjadi luas trapezoid. Tetapi ingat bahawa pengiraan sedemikian akan memberikan hasil anggaran. Walau bagaimanapun, lebih kecil dan lebih sempit segmen, lebih tepat pengiraan. Jika kita mengurangkannya sehingga ke tahap yang panjangnya cenderung kepada sifar, maka jumlah kawasan segmen akan cenderung kepada luas angka itu. Ini adalah integral pasti, yang ditulis seperti ini:

Titik a dan b dipanggil had pengamiran.

Bari Alibasov dan kumpulan "Integral"

By the way! Untuk pembaca kami kini terdapat diskaun 10% pada

Peraturan untuk mengira kamiran untuk dummies

Sifat kamiran tak tentu

Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tak tentu? Di sini kita akan melihat sifat-sifat kamiran tak tentu, yang akan berguna dalam menyelesaikan contoh.

Terbitan kamiran adalah sama dengan kamiran:

Pemalar boleh dikeluarkan dari bawah tanda kamiran:

Kamiran hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah kamiran. Ini juga benar untuk perbezaan:

Sifat kamiran pasti

Kelinearan:

Tanda kamiran berubah jika had penyepaduan ditukar:

Pada mana-mana mata a, b Dan Dengan:

Kami telah mengetahui bahawa kamiran pasti ialah had jumlah. Tetapi bagaimana untuk mendapatkan nilai tertentu apabila menyelesaikan contoh? Untuk ini terdapat formula Newton-Leibniz:

Contoh penyelesaian kamiran

Di bawah ini kita akan mempertimbangkan beberapa contoh mencari kamiran tak tentu. Kami menjemput anda untuk mengetahui selok-belok penyelesaian itu sendiri, dan jika ada yang tidak jelas, tanya soalan dalam ulasan.

Untuk mengukuhkan bahan, tonton video tentang cara kamiran diselesaikan dalam amalan. Jangan putus asa jika kamiran tidak diberikan segera. Tanya dan mereka akan memberitahu anda semua yang mereka tahu tentang pengiraan kamiran. Dengan bantuan kami, sebarang kamiran rangkap tiga atau melengkung di atas permukaan tertutup akan berada dalam kuasa anda.

Proses penyelesaian kamiran dalam sains yang dipanggil matematik dipanggil kamiran. Menggunakan penyepaduan, anda boleh menemui beberapa kuantiti fizikal: luas, isipadu, jisim badan dan banyak lagi.

Kamiran boleh menjadi tak tentu atau pasti. Mari kita pertimbangkan bentuk kamiran pasti dan cuba memahami makna fizikalnya. Ia diwakili dalam bentuk ini: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Ciri tersendiri menulis kamiran pasti daripada kamiran tak tentu ialah terdapat had kamiran a dan b. Sekarang kita akan mengetahui mengapa mereka diperlukan, dan maksud kamiran pasti. Dalam erti kata geometri, kamiran sedemikian adalah sama dengan luas rajah yang dibatasi oleh lengkung f(x), garis a dan b, dan paksi Lembu.

Daripada Rajah 1 adalah jelas bahawa kamiran pasti ialah kawasan yang sama yang dilorekkan dengan warna kelabu. Mari kita semak ini dengan contoh mudah. Mari cari luas rajah dalam imej di bawah menggunakan penyepaduan, dan kemudian mengiranya dengan cara biasa untuk mendarab panjang dengan lebar.

Daripada Rajah 2 adalah jelas bahawa $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sekarang kita menggantikannya ke dalam takrif kamiran, kita mendapat bahawa $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Mari kita lakukan semakan dengan cara biasa. Dalam kes kami, panjang = 3, lebar rajah = 1. $$ S = \text(panjang) \cdot \text(lebar) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Seperti yang anda boleh lihat, semuanya sesuai dengan sempurna.

Persoalannya timbul: bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tak tentu dan apakah maksudnya? Menyelesaikan kamiran tersebut ialah mencari fungsi antiterbitan. Proses ini adalah bertentangan dengan mencari derivatif. Untuk mencari antiterbitan, anda boleh menggunakan bantuan kami dalam menyelesaikan masalah dalam matematik, atau anda perlu menghafal secara bebas sifat kamiran dan jadual penyepaduan fungsi asas termudah. Mencari ia kelihatan seperti ini $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(di mana) F(x) $ ialah antiterbitan bagi $ f(x), C = const $.

Untuk menyelesaikan kamiran, anda perlu menyepadukan fungsi $ f(x) $ ke atas pembolehubah. Jika fungsi adalah jadual, maka jawapan ditulis dalam bentuk yang sesuai. Jika tidak, maka proses itu turun untuk mendapatkan fungsi jadual daripada fungsi $ f(x) $ melalui transformasi matematik yang rumit. Terdapat pelbagai kaedah dan sifat untuk ini, yang akan kami pertimbangkan lebih lanjut.

Jadi, sekarang mari kita buat algoritma untuk menyelesaikan kamiran untuk dummies?

Algoritma untuk mengira kamiran

Mari kita ketahui kamiran pasti atau tidak.
Jika tidak ditakrifkan, maka anda perlu mencari fungsi antiterbitan $ F(x) $ bagi integrand $ f(x) $ menggunakan penjelmaan matematik yang membawa kepada bentuk jadual bagi fungsi $ f(x) $.
Jika ditakrifkan, maka anda perlu melakukan langkah 2 dan kemudian menggantikan had $ a $ dan $ b $ ke dalam fungsi antiterbitan $ F(x) $. Anda akan mengetahui formula untuk melakukan ini dalam artikel "Formula Newton-Leibniz".

Contoh penyelesaian

Jadi, anda telah mempelajari cara menyelesaikan kamiran untuk dummies, contoh kamiran penyelesaian telah disusun. Kami mempelajari makna fizikal dan geometrinya. Kaedah penyelesaian akan diterangkan dalam artikel lain.

Mencari kamiran tak tentu (satu set antiderivatif atau "antiderivatif") bermakna membina semula fungsi daripada terbitan yang diketahui bagi fungsi ini. Set antiderivatif yang dipulihkan F(x) + DENGAN untuk fungsi f(x) mengambil kira pemalar pengamiran C. Berdasarkan kelajuan pergerakan titik material (derivatif), hukum gerakan titik ini (antiderivatif) boleh dipulihkan; mengikut pecutan pergerakan titik - kelajuannya dan hukum gerakan. Seperti yang anda lihat, integrasi adalah bidang yang luas untuk aktiviti fizik Sherlock Holmeses. Dan dalam ekonomi, banyak konsep diwakili melalui fungsi dan derivatifnya, dan oleh itu, sebagai contoh, adalah mungkin untuk memulihkan jumlah produk yang dihasilkan pada masa yang sama menggunakan produktiviti buruh pada masa tertentu (derivatif).

Mencari kamiran tak tentu memerlukan bilangan formula pengamiran asas yang agak kecil. Tetapi proses mencarinya adalah lebih sukar daripada hanya menggunakan formula ini. Semua kerumitan tidak berkaitan dengan penyepaduan, tetapi untuk membawa ungkapan boleh disepadukan kepada bentuk yang memungkinkan untuk mencari kamiran tak tentu menggunakan formula asas yang disebutkan di atas. Ini bermakna untuk mula mempraktikkan penyepaduan, anda perlu mengaktifkan kemahiran transformasi ekspresi yang anda perolehi di sekolah menengah.

Kami akan belajar mencari kamiran menggunakan sifat dan jadual kamiran tak tentu daripada pelajaran tentang konsep asas topik ini (dibuka dalam tetingkap baharu).

Terdapat beberapa kaedah untuk mencari kamiran, yang mana kaedah penggantian berubah-ubah Dan integrasi mengikut kaedah bahagian- set lelaki wajib untuk semua orang yang telah berjaya lulus matematik yang lebih tinggi. Walau bagaimanapun, adalah lebih berguna dan menyeronokkan untuk mula menguasai penyepaduan menggunakan kaedah pengembangan, berdasarkan dua teorem berikut mengenai sifat kamiran tak tentu, yang kami ulangi di sini untuk kemudahan.

Teorem 3. Faktor pemalar dalam kamiran dan boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran tak tentu, i.e.

Teorem 4. Kamiran tak tentu bagi hasil tambah algebra bagi nombor terhingga fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi kamiran tak tentu bagi fungsi ini, i.e.

(2)

Di samping itu, peraturan berikut mungkin berguna dalam penyepaduan: jika ungkapan kamiran dan mengandungi faktor malar, maka ungkapan antiterbitan didarabkan dengan songsangan faktor malar, iaitu

(3)

Memandangkan ini adalah pengajaran pengenalan untuk menyelesaikan masalah penyepaduan, adalah penting untuk ambil perhatian dua perkara yang sama ada pada permulaan atau sedikit kemudian mungkin mengejutkan anda. Kejutan adalah disebabkan oleh fakta bahawa penyepaduan ialah operasi songsang pembezaan dan kamiran tak tentu boleh dipanggil "antiterbitan".

Perkara pertama yang anda tidak perlu terkejut apabila menyepadukan. Dalam jadual kamiran terdapat formula yang tidak mempunyai analog di antara formula jadual terbitan . Ini adalah formula berikut:

Walau bagaimanapun, anda boleh memastikan bahawa derivatif ungkapan di sebelah kanan formula ini bertepatan dengan kamiran yang sepadan.

Perkara kedua yang tidak boleh mengejutkan apabila menyepadukan. Walaupun terbitan mana-mana fungsi asas juga merupakan fungsi asas, kamiran tak tentu bagi beberapa fungsi asas bukan lagi fungsi asas . Contoh kamiran tersebut mungkin seperti berikut:

Untuk membangunkan teknik kamiran, kemahiran berikut akan berguna: mengurangkan pecahan, membahagi polinomial dalam pengangka pecahan dengan monomial dalam penyebut (untuk mendapatkan hasil tambah kamiran tak tentu), menukar punca kepada kuasa, mendarab monomial dengan polinomial, menaikkan kepada kuasa. Kemahiran ini diperlukan untuk transformasi kamiran, yang sepatutnya menghasilkan jumlah kamiran yang terdapat dalam jadual kamiran.

Mencari kamiran tak tentu bersama-sama

Contoh 1. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Kita lihat dalam penyebut bagi kamiran dan polinomial di mana x adalah kuasa dua. Ini adalah tanda yang hampir pasti bahawa anda boleh menggunakan kamiran jadual 21 (dengan arctangent sebagai hasilnya). Kami mengeluarkan faktor-dua daripada penyebut (terdapat sifat kamiran sedemikian - faktor pemalar boleh dikeluarkan di luar tanda kamiran; ia disebut di atas sebagai Teorem 3). Hasil daripada semua ini:

Sekarang penyebutnya ialah jumlah kuasa dua, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan kamiran jadual yang disebutkan. Akhirnya kita mendapat jawapan:

Contoh 2. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Kami sekali lagi menggunakan Teorem 3 - sifat kamiran, yang berdasarkannya faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran:

Kami menggunakan formula 7 daripada jadual kamiran (pembolehubah kepada kuasa) kepada fungsi kamiran dan:

Kami mengurangkan pecahan yang terhasil dan kami mempunyai jawapan akhir:

Contoh 3. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Menggunakan Teorem 4 dan kemudian Teorem 3 pada sifat, kita dapati kamiran ini sebagai hasil tambah tiga kamiran:

Ketiga-tiga kamiran yang diperoleh adalah jadual. Kami menggunakan formula (7) daripada jadual kamiran untuk n = 1/2, n= 2 dan n= 1/5, dan kemudian

menggabungkan ketiga-tiga pemalar arbitrari yang diperkenalkan semasa mencari tiga kamiran. Oleh itu, dalam situasi yang sama, hanya satu pemalar penyepaduan arbitrari perlu diperkenalkan.

Contoh 4. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Apabila penyebut integrand mengandungi monomial, kita boleh membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan. Kamiran asal bertukar menjadi hasil tambah dua kamiran:

Untuk menggunakan integral jadual, kami mengubah akar menjadi kuasa dan inilah jawapan akhir:

Kami terus mencari kamiran tak tentu bersama-sama

Contoh 7. Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian. Jika kita menukar kamiran dan dengan mengkuadratkan binomial dan membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan, maka kamiran asal menjadi hasil tambah tiga kamiran.

Permohonan

Kamiran dalam talian di tapak untuk pelajar dan pelajar sekolah untuk menyatukan bahan yang telah mereka bincangkan. Dan melatih kemahiran praktikal anda. Penyelesaian kamiran lengkap dalam talian untuk anda dalam beberapa saat akan membantu anda menentukan semua peringkat proses Setiap kali anda mula menyelesaikan kamiran dalam talian, anda perlu mengenal pasti jenisnya tanpa ini, anda tidak boleh menggunakan satu kaedah, melainkan anda menganggap kamiran satu jadual. Tidak setiap kamiran jadual boleh dilihat dengan jelas daripada contoh yang diberikan kadangkala anda perlu mengubah fungsi asal untuk mencari antiderivatif. Dalam praktiknya, penyelesaian kamiran datang kepada mentafsir masalah mencari asal, iaitu antiterbitan daripada keluarga fungsi tak terhingga, tetapi jika had penyepaduan diberikan, maka menurut formula Newton-Leibniz hanya terdapat satu fungsi tunggal. dibiarkan untuk menggunakan pengiraan. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Kamiran fungsi dalam talian ialah jumlah sebarang nombor yang dimaksudkan untuk penyepaduan mereka. Oleh itu, secara tidak rasmi, kamiran pasti dalam talian ialah luas antara graf fungsi dan paksi-x dalam had pengamiran. Contoh penyelesaian masalah dengan kamiran. Mari kita menilai kamiran kompleks ke atas satu pembolehubah dan mengaitkan jawapannya dengan penyelesaian masalah selanjutnya. Adalah mungkin, seperti yang mereka katakan, untuk mencari secara langsung kamiran bagi integrand. Mana-mana kamiran menentukan dengan ketepatan tinggi kawasan rajah yang dibatasi oleh garisan. Ini adalah salah satu makna geometrinya. Kaedah ini memudahkan pelajar. Beberapa langkah, sebenarnya, tidak akan memberi banyak kesan kepada analisis vektor. Kamiran bagi fungsi dalam talian ialah konsep asas kalkulus kamiran Menyelesaikan kamiran tak tentu. Menurut teorem utama analisis, integrasi ialah operasi songsang pembezaan, yang membantu menyelesaikan persamaan pembezaan. Terdapat beberapa takrifan berbeza bagi operasi penyepaduan, berbeza dalam butiran teknikal. Walau bagaimanapun, mereka semua serasi, iaitu, mana-mana dua kaedah penyepaduan, jika ia boleh digunakan pada fungsi tertentu, akan memberikan hasil yang sama. Yang paling mudah ialah kamiran Riemann - kamiran pasti atau kamiran tak tentu. Secara tidak formal, kamiran fungsi satu pembolehubah boleh diperkenalkan sebagai luas di bawah graf (angka yang disertakan di antara graf fungsi dan paksi-x). Sebarang submasalah sedemikian boleh mewajarkan bahawa pengiraan kamiran akan sangat diperlukan pada permulaan pendekatan penting. Jangan lupa ini! Cuba untuk mencari kawasan ini, kita boleh mempertimbangkan angka yang terdiri daripada bilangan segi empat tepat menegak tertentu, asas yang bersama-sama membentuk segmen penyepaduan dan diperoleh dengan membahagikan segmen ke dalam bilangan segmen kecil yang sesuai. Menyelesaikan kamiran dalam talian.. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Menyelesaikan kamiran dalam talian: kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Kalkulator menyelesaikan kamiran dengan penerangan terperinci tentang tindakan dan secara percuma! Kamiran tak tentu dalam talian untuk fungsi ialah set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu. Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan pada selang waktu, maka terdapat fungsi antiterbitan (atau keluarga antiterbitan) untuknya. Integral hanya mentakrifkan ungkapan, syarat yang ditetapkan oleh anda apabila berlakunya keperluan sedemikian. Adalah lebih baik untuk mendekati perkara ini dengan teliti dan merasai kepuasan dalaman daripada kerja yang dilakukan. Tetapi pengiraan kamiran menggunakan kaedah yang berbeza daripada kaedah klasik kadangkala membawa kepada keputusan yang tidak dijangka dan seseorang tidak perlu terkejut dengan ini. Saya gembira bahawa fakta ini akan mempunyai resonans positif terhadap apa yang berlaku. Senarai kamiran pasti dan kamiran tak tentu kamiran dengan penyelesaian langkah demi langkah terperinci yang lengkap. Semua kamiran dengan penyelesaian terperinci dalam talian. Kamiran tak tentu. Mencari kamiran tak tentu dalam talian adalah masalah yang sangat biasa dalam matematik yang lebih tinggi dan bidang teknikal sains yang lain. Kaedah asas integrasi. Takrif kamiran, kamiran pasti dan tak tentu, jadual kamiran, formula Newton-Leibniz. Sekali lagi, anda boleh mencari kamiran anda menggunakan jadual ungkapan kamiran, tetapi ini masih perlu dicapai, kerana tidak semuanya semudah yang kelihatan pada pandangan pertama. Fikirkan tentang bangunan yang telah siap sebelum kesilapan ditemui. Kamiran pasti dan kaedah pengiraannya. Kamiran pasti dalam talian dengan had atas berubah-ubah. Menyelesaikan kamiran dalam talian. Mana-mana contoh yang akan membantu mengira kamiran menggunakan formula jadual akan menjadi panduan berguna untuk bertindak untuk pelajar dari mana-mana peringkat latihan. Langkah paling penting ke arah jawapan yang betul.. Kamiran dalam talian. Kamiran tak tentu yang mengandungi fungsi eksponen dan logaritma. Menyelesaikan kamiran dalam talian - anda akan menerima penyelesaian terperinci untuk pelbagai jenis kamiran: tidak tentu, pasti, tidak wajar. Kalkulator Kamiran Pasti mengira kamiran pasti dalam talian bagi suatu fungsi dalam selang waktu menggunakan penyepaduan berangka. Kamiran bagi suatu fungsi ialah analog daripada hasil tambah suatu jujukan. Secara tidak formal, kamiran pasti ialah luas sebahagian daripada graf fungsi. Menyelesaikan kamiran dalam talian.. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Selalunya, kamiran sedemikian menentukan berapa berat badan daripada objek dengan ketumpatan yang sama berbanding dengannya, dan tidak kira apa bentuknya, kerana permukaannya tidak menyerap air. Menyelesaikan kamiran dalam talian.. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Setiap pelajar junior tahu cara mencari kamiran dalam talian. Berdasarkan kurikulum sekolah, bahagian matematik ini juga dipelajari, tetapi tidak secara terperinci, tetapi hanya asas-asas topik yang kompleks dan penting itu. Dalam kebanyakan kes, pelajar mula mempelajari kamiran dengan teori yang meluas, yang juga didahului oleh topik penting, seperti terbitan dan laluan ke had - ia juga had. Menyelesaikan kamiran secara beransur-ansur bermula dengan contoh paling asas bagi fungsi mudah, dan berakhir dengan penggunaan banyak pendekatan dan peraturan yang dicadangkan pada abad lalu dan lebih awal lagi. Kalkulus kamiran adalah untuk tujuan pendidikan di lyceum dan sekolah, iaitu di institusi pendidikan menengah. Laman web kami akan sentiasa membantu anda dan menyelesaikan kamiran dalam talian akan menjadi perkara biasa untuk anda, dan yang paling penting, tugas yang boleh difahami. Berdasarkan sumber ini, anda boleh mencapai kesempurnaan dengan mudah dalam bahagian matematik ini. Dengan memahami peraturan yang anda pelajari langkah demi langkah, contohnya, penyepaduan mengikut bahagian atau penggunaan kaedah Chebyshev, anda boleh menyelesaikan sebarang ujian dengan mudah untuk bilangan mata maksimum. Jadi bagaimana kita masih boleh mengira kamiran, menggunakan jadual kamiran yang terkenal, tetapi dengan cara penyelesaiannya betul, betul dan dengan jawapan yang paling tepat? Bagaimana untuk mempelajari ini dan adakah mungkin untuk pelajar baru biasa melakukannya dalam masa yang sesingkat mungkin? Mari jawab soalan ini secara afirmatif - anda boleh! Pada masa yang sama, anda bukan sahaja dapat menyelesaikan sebarang contoh, tetapi juga mencapai tahap jurutera yang berkelayakan tinggi. Rahsianya lebih mudah berbanding sebelum ini - anda perlu berusaha maksimum dan menumpukan masa yang diperlukan untuk persediaan diri. Malangnya, belum ada sesiapa yang mencipta cara lain! Tetapi tidak semuanya mendung seperti yang kelihatan pada pandangan pertama. Jika anda menghubungi tapak perkhidmatan kami dengan soalan ini, kami akan menjadikan hidup anda lebih mudah, kerana tapak kami boleh mengira kamiran dalam talian secara terperinci, pada kelajuan yang sangat tinggi dan dengan jawapan yang sangat tepat. Pada terasnya, kamiran tidak menentukan bagaimana nisbah hujah mempengaruhi kestabilan sistem secara keseluruhan. Kalaulah semuanya seimbang. Walaupun anda akan mempelajari asas topik matematik ini, perkhidmatan boleh mencari kamiran mana-mana kamiran dan jika kamiran ini boleh diselesaikan dalam fungsi asas. Jika tidak, untuk kamiran yang tidak diambil dalam fungsi asas, dalam praktiknya ia tidak perlu mencari jawapan dalam analitik atau, dengan kata lain, dalam bentuk eksplisit. Semua pengiraan kamiran turun untuk menentukan fungsi antiterbitan bagi kamiran tertentu. Untuk melakukan ini, mula-mula hitung kamiran tak tentu mengikut semua undang-undang matematik dalam talian. kemudian, jika perlu, gantikan nilai atas dan bawah kamiran. Jika tidak perlu untuk menentukan atau mengira nilai berangka kamiran tak tentu, maka pemalar ditambah kepada fungsi antiterbitan yang terhasil, dengan itu mentakrifkan keluarga fungsi antiterbitan. Integrasi mempunyai tempat yang istimewa dalam sains dan dalam mana-mana bidang kejuruteraan secara umum, termasuk mekanik kontinum ia menerangkan keseluruhan sistem mekanikal, pergerakannya, dan banyak lagi. Dalam banyak kes, kamiran terkumpul menentukan hukum pergerakan titik material. Ia adalah alat yang sangat penting dalam kajian sains gunaan. Berdasarkan ini, seseorang tidak boleh tidak menyebut pengiraan berskala besar untuk menentukan undang-undang kewujudan dan kelakuan sistem mekanikal. Kalkulator dalam talian untuk menyelesaikan kamiran di tapak web ialah alat yang berkuasa untuk jurutera profesional. Kami pasti menjamin ini kepada anda, tetapi kami akan dapat mengira integral anda hanya selepas anda memasukkan ungkapan yang betul ke dalam domain integrand. Jangan takut untuk membuat kesilapan, semuanya boleh diperbetulkan dalam perkara ini! Biasanya, penyelesaian kamiran datang kepada menggunakan fungsi jadual daripada buku teks atau ensiklopedia terkenal. Seperti mana-mana kamiran tak tentu yang lain, ia akan dikira menggunakan formula piawai tanpa sebarang kritikan besar. Pelajar tahun satu dengan mudah dan semulajadi memahami bahan yang telah mereka pelajari di tempat, dan bagi mereka mencari integral kadangkala mengambil masa tidak lebih daripada dua minit. Dan jika seorang pelajar telah mempelajari jadual kamiran, maka dia secara amnya boleh menentukan jawapan dalam kepalanya. Mengembangkan fungsi oleh pembolehubah berbanding permukaan pada mulanya bermakna arah vektor yang betul pada beberapa titik absis. Tingkah laku garis permukaan yang tidak dapat diramalkan mengambil kamiran yang pasti sebagai asas dalam sumber tindak balas fungsi matematik. Tepi kiri bola tidak menyentuh silinder di mana bulatan tertulis, jika anda melihat potongan dalam satah. Jumlah kawasan kecil yang dibahagikan kepada ratusan fungsi berterusan sekeping adalah kamiran dalam talian bagi fungsi tertentu. Makna mekanikal kamiran terletak pada banyak masalah yang digunakan, seperti menentukan isipadu jasad dan mengira jisim jasad. Kamiran rangkap tiga dan berganda terlibat dalam pengiraan ini. Kami menegaskan bahawa penyelesaian kamiran dalam talian dijalankan hanya di bawah pengawasan guru yang berpengalaman dan melalui pelbagai pemeriksaan Kami sering ditanya tentang prestasi pelajar yang tidak menghadiri kuliah, melangkau mereka tanpa sebab, dan bagaimana mereka berjaya mencari. integral itu sendiri. Kami menjawab bahawa pelajar adalah orang yang bebas dan cukup mampu untuk belajar secara luaran, membuat persediaan untuk ujian atau peperiksaan dalam keselesaan rumah mereka sendiri. Dalam masa beberapa saat, perkhidmatan kami akan membantu sesiapa sahaja mengira kamiran mana-mana fungsi tertentu ke atas pembolehubah. Keputusan yang diperolehi hendaklah disemak dengan mengambil derivatif fungsi antiterbitan. Dalam kes ini, pemalar daripada penyelesaian kamiran menjadi sifar. Peraturan ini jelas terpakai kepada semua orang. Oleh kerana operasi berbilang arah adalah wajar, kamiran tak tentu selalunya dikurangkan kepada membahagikan domain kepada bahagian-bahagian kecil. Walau bagaimanapun, sesetengah pelajar dan pelajar sekolah mengabaikan keperluan ini. Seperti biasa, kamiran dalam talian boleh diselesaikan secara terperinci oleh tapak web perkhidmatan kami dan tiada sekatan pada bilangan permintaan, semuanya percuma dan tersedia untuk semua orang. Tidak banyak tapak yang memberikan jawapan langkah demi langkah dalam beberapa saat, dan yang paling penting dengan ketepatan yang tinggi dan dalam bentuk yang mudah. Dalam contoh terakhir, pada halaman kelima kerja rumah, terdapat satu yang menunjukkan keperluan untuk mengira kamiran langkah demi langkah. Tetapi kita tidak boleh lupa tentang bagaimana mungkin untuk mencari integral menggunakan perkhidmatan sedia, diuji masa dan diuji pada beribu-ribu contoh yang diselesaikan dalam talian. Bagaimana kamiran sedemikian menentukan gerakan sistem ditunjukkan dengan jelas dan jelas kepada kita oleh sifat gerakan bendalir likat, yang diterangkan oleh sistem persamaan ini.

kalkulus kamiran.

Fungsi antiderivatif.

Definisi: Fungsi F(x) dipanggil fungsi antiderivatif fungsi f(x) pada segmen jika kesamaan adalah benar pada mana-mana titik segmen ini:

Perlu diingatkan bahawa terdapat banyak antiderivatif yang tidak terhingga untuk fungsi yang sama. Mereka akan berbeza antara satu sama lain dengan beberapa nombor tetap.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Kamiran tak tentu.

Definisi: Kamiran tak tentu functionf(x) ialah satu set fungsi antiterbitan yang ditakrifkan oleh hubungan:

tuliskan:

Syarat kewujudan kamiran tak tentu pada segmen tertentu ialah kesinambungan fungsi pada segmen ini.

sifat:

Contoh:

Mencari nilai kamiran tak tentu dikaitkan terutamanya dengan mencari antiterbitan fungsi. Untuk beberapa fungsi ini adalah tugas yang agak sukar. Di bawah ini kita akan mempertimbangkan kaedah untuk mencari kamiran tak tentu untuk kelas utama fungsi - rasional, tidak rasional, trigonometri, eksponen, dll.

Untuk kemudahan, nilai kamiran tak tentu bagi kebanyakan fungsi asas dikumpulkan dalam jadual kamiran khas, yang kadangkala agak besar. Ia termasuk pelbagai kombinasi fungsi yang biasa digunakan. Tetapi kebanyakan formula yang dibentangkan dalam jadual ini adalah akibat antara satu sama lain, jadi di bawah kami membentangkan jadual kamiran asas, dengan bantuannya anda boleh mendapatkan nilai kamiran tak tentu pelbagai fungsi.

kamiran	Maknanya	kamiran	Maknanya

	lnsinx+ C



	ln

Kaedah integrasi.

Mari kita pertimbangkan tiga kaedah utama penyepaduan.

Penyepaduan langsung.

Kaedah penyepaduan langsung adalah berdasarkan andaian kemungkinan nilai fungsi antiterbitan dengan pengesahan lanjut nilai ini melalui pembezaan. Secara umum, kami perhatikan bahawa pembezaan ialah alat yang berkuasa untuk menyemak hasil penyepaduan.

Mari kita lihat aplikasi kaedah ini menggunakan contoh:

Kita perlu mencari nilai kamiran . Berdasarkan formula pembezaan yang terkenal
kita boleh membuat kesimpulan bahawa kamiran yang dicari adalah sama dengan
, dengan C ialah beberapa nombor tetap. Namun, sebaliknya
. Oleh itu, akhirnya kita boleh membuat kesimpulan:

Ambil perhatian bahawa, berbeza dengan pembezaan, di mana teknik dan kaedah yang jelas digunakan untuk mencari derivatif, peraturan untuk mencari derivatif, dan akhirnya definisi derivatif, kaedah sedemikian tidak tersedia untuk penyepaduan. Jika, apabila mencari derivatif, kita menggunakan, boleh dikatakan, kaedah membina, yang, berdasarkan peraturan tertentu, membawa kepada hasilnya, maka apabila mencari antiderivatif kita perlu bergantung terutamanya pada pengetahuan jadual derivatif dan antiderivatif.

Bagi kaedah penyepaduan langsung, ia hanya terpakai untuk beberapa kelas fungsi yang sangat terhad. Terdapat sangat sedikit fungsi yang boleh anda cari dengan segera antiderivatif. Oleh itu, dalam kebanyakan kes, kaedah yang diterangkan di bawah digunakan.

Kaedah penggantian (menggantikan pembolehubah).

Teorem: Jika anda perlu mencari integral
, tetapi sukar untuk mencari antiderivatif, kemudian menggunakan penggantian x =  (t) dan dx =  (t) dt ternyata:

Bukti : Mari kita bezakan kesamaan yang dicadangkan:

Menurut harta No. 2 kamiran tak tentu yang dibincangkan di atas:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

yang, dengan mengambil kira tatatanda yang diperkenalkan, adalah andaian awal. Teorem telah terbukti.

Contoh. Cari kamiran tak tentu
.

Jom buat pengganti t = sinx, dt = cosxdt.

Contoh.

Penggantian
Kami mendapat:

Di bawah ini kita akan mempertimbangkan contoh lain menggunakan kaedah penggantian untuk pelbagai jenis fungsi.

Integrasi mengikut bahagian.

Kaedah ini adalah berdasarkan formula yang terkenal untuk terbitan produk:

(uv)=uv+vu

di mana uиv ialah beberapa fungsi x.

Dalam bentuk pembezaan: d(uv) =udv+vdu

Mengintegrasikan, kami mendapat:
, dan mengikut sifat kamiran tak tentu di atas:

atau
;

Kami telah memperoleh formula untuk penyepaduan mengikut bahagian, yang membolehkan kami mencari kamiran banyak fungsi asas.

Contoh.

Seperti yang anda lihat, aplikasi konsisten formula penyepaduan mengikut bahagian membolehkan anda secara beransur-ansur memudahkan fungsi dan membawa kamiran kepada satu jadual.

Contoh.

Dapat dilihat bahawa hasil daripada aplikasi integrasi yang berulang mengikut bahagian, fungsi tidak dapat dipermudahkan kepada bentuk jadual. Walau bagaimanapun, kamiran terakhir yang diperolehi tidak berbeza dengan yang asal. Oleh itu, kami memindahkannya ke sebelah kiri kesamaan.

Oleh itu, kamiran ditemui tanpa menggunakan jadual kamiran sama sekali.

Sebelum kita mempertimbangkan secara terperinci kaedah untuk menyepadukan pelbagai kelas fungsi, kami memberikan beberapa lagi contoh mencari kamiran tak tentu dengan mengurangkannya kepada satu jadual.

Contoh.

Penyepaduan pecahan asas.

Definisi: peringkat rendah Empat jenis pecahan berikut dipanggil:

saya.
III.

II.
IV.

m,n – nombor asli (m2,n2) dan b 2 – 4ac<0.

Dua jenis kamiran pertama bagi pecahan asas boleh dibawa ke jadual dengan menggantikan t=ax+b.

Mari kita pertimbangkan kaedah menyepadukan pecahan asas jenis III.

Kamiran pecahan jenis III boleh diwakili sebagai:

Di sini, dalam bentuk umum, pengurangan kamiran pecahan jenis III kepada dua kamiran jadual ditunjukkan.

Mari kita lihat aplikasi formula di atas menggunakan contoh.

Contoh.

Secara amnya, jika trinomial ax 2 + bx + c mempunyai ungkapan b 2 – 4ac>0, maka pecahan itu, mengikut takrifannya, bukanlah asas, walau bagaimanapun, ia boleh disepadukan mengikut cara yang ditunjukkan di atas.

Contoh.

Sekarang mari kita pertimbangkan kaedah untuk menyepadukan pecahan mudah jenis IV.

Pertama, mari kita pertimbangkan kes khas dengan M = 0, N = 1.

Kemudian kamiran bentuk
boleh diwakili dalam bentuk dengan memilih petak lengkap dalam penyebut
. Mari buat transformasi berikut:

Kami akan mengambil kamiran kedua yang termasuk dalam kesamarataan ini mengikut bahagian.

Mari kita nyatakan:

Untuk kamiran asal kami memperoleh:

Formula yang terhasil dipanggil berulang. Jika anda menggunakannya n-1 kali, anda mendapat kamiran jadual
.

Sekarang mari kita kembali kepada kamiran pecahan asas jenis IV dalam kes umum.

Dalam kesamaan yang terhasil, kamiran pertama menggunakan penggantian t = u 2 + s dikurangkan kepada jadual , dan formula ulangan yang dibincangkan di atas digunakan pada kamiran kedua.

Walaupun kerumitan yang ketara untuk mengintegrasikan pecahan asas jenis IV, dalam praktiknya ia agak mudah digunakan untuk pecahan dengan darjah kecil n, dan kesejagatan dan keluasan pendekatan memungkinkan pelaksanaan kaedah ini yang sangat mudah pada komputer.

Contoh:

Integrasi fungsi rasional.

Menggabungkan pecahan rasional.

Untuk mengintegrasikan pecahan rasional, adalah perlu untuk menguraikannya kepada pecahan asas.

Teorem: Jika
- pecahan rasional wajar, penyebut P(x) daripadanya diwakili sebagai hasil darab faktor linear dan kuadratik (perhatikan bahawa sebarang polinomial dengan pekali nyata boleh diwakili dalam bentuk ini: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), maka pecahan ini boleh diuraikan menjadi pecahan asas mengikut skema berikut:

di mana A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i ialah beberapa kuantiti tetap.

Apabila menyepadukan pecahan rasional, mereka menggunakan pecahan asal kepada pecahan asas. Untuk mencari kuantiti A i , B i , M i , N i , R i , S i , apa yang dipanggil kaedah pekali tidak pasti, yang intipatinya ialah agar dua polinomial menjadi sama, adalah perlu dan mencukupi bahawa pekali pada kuasa yang sama bagi x adalah sama.

Mari kita pertimbangkan penggunaan kaedah ini menggunakan contoh khusus.

Contoh.

Mengurangkan kepada penyebut biasa dan menyamakan pengangka yang sepadan, kita mendapat:

Contoh.

Kerana Jika pecahan itu tidak betul, anda mesti memilih keseluruhan bahagiannya dahulu:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Mari kita memfaktorkan penyebut pecahan yang terhasil. Ia boleh dilihat bahawa pada x = 3 penyebut pecahan bertukar kepada sifar. Kemudian:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Oleh itu 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Kemudian:

Untuk mengelakkan tanda kurungan terbuka, mengumpulkan dan menyelesaikan sistem persamaan (yang dalam beberapa kes mungkin menjadi agak besar) apabila mencari pekali yang tidak pasti, apa yang dipanggil kaedah nilai sewenang-wenangnya. Intipati kaedah ini ialah beberapa (mengikut bilangan pekali yang tidak ditentukan) nilai arbitrari x digantikan ke dalam ungkapan di atas. Untuk memudahkan pengiraan, adalah kebiasaan untuk mengambil sebagai titik nilai sewenang-wenang di mana penyebut pecahan adalah sama dengan sifar, i.e. dalam kes kami – 3, -2, 1/3. Kami mendapat:

Akhirnya kita dapat:

Contoh.

Mari cari pekali yang tidak ditentukan:

Kemudian nilai kamiran yang diberikan:

Integrasi beberapa trigonometri

fungsi.

Boleh terdapat bilangan kamiran yang tidak terhingga daripada fungsi trigonometri. Kebanyakan kamiran ini tidak boleh dikira secara analitik sama sekali, jadi kami akan mempertimbangkan beberapa jenis fungsi terpenting yang sentiasa boleh disepadukan.

Kamiran bentuk
.

Di sini R ialah penetapan beberapa fungsi rasional pembolehubah sinx dan cosx.

Kamiran jenis ini dikira menggunakan penggantian
. Penggantian ini membolehkan anda menukar fungsi trigonometri kepada fungsi rasional.

Kemudian

Oleh itu:

Transformasi yang diterangkan di atas dipanggil penggantian trigonometri sejagat.

Contoh.

Kelebihan penggantian yang tidak diragukan ini ialah dengan bantuannya anda sentiasa boleh mengubah fungsi trigonometri menjadi satu rasional dan mengira kamiran yang sepadan. Kelemahannya termasuk hakikat bahawa transformasi boleh menghasilkan fungsi rasional yang agak kompleks, yang penyepaduan akan mengambil banyak masa dan usaha.

Walau bagaimanapun, jika mustahil untuk menggunakan penggantian pembolehubah yang lebih rasional, kaedah ini adalah satu-satunya kaedah yang berkesan.

Contoh.

Kamiran bentuk
Jika

fungsiRcosx.

Walaupun terdapat kemungkinan untuk mengira kamiran sedemikian menggunakan penggantian trigonometri universal, adalah lebih rasional untuk menggunakan penggantian t = sinx.

Fungsi
boleh mengandungi cosx hanya dalam kuasa genap, dan oleh itu boleh ditukar menjadi fungsi rasional berkenaan dengan sinx.

Contoh.

Secara umumnya, untuk menggunakan kaedah ini, hanya keganjilan fungsi relatif kepada kosinus yang diperlukan, dan tahap sinus yang termasuk dalam fungsi itu boleh menjadi sebarang, kedua-dua integer dan pecahan.

Kamiran bentuk
Jika

fungsiRadalah ganjil berbandingsinx.

Dengan analogi dengan kes yang dipertimbangkan di atas, penggantian dibuat t = cosx.

Contoh.

Kamiran bentuk

fungsiRmalah secara relatifnyasinxDancosx.

Untuk mengubah fungsi R menjadi fungsi rasional, gunakan penggantian

t = tgx.

Contoh.

Kamiran hasil darab sinus dan kosinus

pelbagai hujah.

Bergantung pada jenis kerja, satu daripada tiga formula akan digunakan:

Contoh.

Kadangkala apabila menyepadukan fungsi trigonometri adalah mudah untuk menggunakan formula trigonometri yang terkenal untuk mengurangkan susunan fungsi.

Contoh.

Kadangkala beberapa teknik bukan standard digunakan.

Contoh.

Penyepaduan beberapa fungsi tidak rasional.

Tidak setiap fungsi tidak rasional boleh mempunyai kamiran yang dinyatakan oleh fungsi asas. Untuk mencari kamiran fungsi tak rasional, anda harus menggunakan penggantian yang membolehkan anda mengubah fungsi itu menjadi fungsi rasional, kamirannya boleh didapati, seperti yang selalu diketahui.

Mari kita lihat beberapa teknik untuk mengintegrasikan pelbagai jenis fungsi tidak rasional.

Kamiran bentuk
di manan- nombor asli.

Menggunakan penggantian
fungsi itu dirasionalkan.

Contoh.

Jika fungsi tidak rasional termasuk punca pelbagai darjah, maka sebagai pembolehubah baharu adalah rasional untuk mengambil punca darjah sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi darjah akar yang termasuk dalam ungkapan.

Mari kita gambarkan ini dengan contoh.

Contoh.

Integrasi pembezaan binomial.

Definisi: Pembezaan binomial dipanggil ungkapan

x m (a + bx n ) hlm dx

di mana m, n, Dan hlm– nombor rasional.

Seperti yang dibuktikan oleh ahli akademik P.L. (1821-1894), kamiran pembezaan binomial boleh dinyatakan dalam sebutan fungsi asas hanya dalam tiga kes berikut:

Jika r ialah integer, maka kamiran dirasionalkan menggunakan penggantian

, dengan  ialah penyebut sepunya m Dan n.