Rajah, terhad mengikut jadual fungsi bukan negatif berterusan $f(x)$ pada ruas $$ dan garis lurus $y=0, \ x=a$ dan $x=b$ dipanggil trapezoid lengkung.
Kawasan sepadan trapezoid melengkung dikira dengan formula:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Kami akan membahagikan masalah secara bersyarat untuk mencari luas trapezium melengkung kepada jenis $4$. Mari lihat setiap jenis dengan lebih terperinci.
Jenis I: trapezoid melengkung dinyatakan secara eksplisit. Kemudian segera gunakan formula (*).
Sebagai contoh, cari luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=4-(x-2)^(2)$ dan garisan $y=0, \ x=1$ dan $x =3$.
Mari kita lukis trapezoid melengkung ini.
Menggunakan formula (*), kita dapati luas trapezium lengkung ini.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\kiri(4-(x-2)^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\kanan|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\kiri((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\kanan)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\kiri((1)^(3)-(-1)^(3)\kanan) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).
Jenis II: trapezoid melengkung dinyatakan secara tersirat. Dalam kes ini, garis lurus $x=a, \ x=b$ biasanya tidak dinyatakan atau dinyatakan sebahagiannya. Dalam kes ini, anda perlu mencari titik persilangan bagi fungsi $y=f(x)$ dan $y=0$. Mata ini akan menjadi mata $a$ dan $b$.
Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$.
Mari cari titik persimpangan. Untuk melakukan ini, kami menyamakan bahagian kanan fungsi.
Oleh itu, $a=-1$ dan $b=1$. Mari kita lukis trapezoid melengkung ini.
Mari cari luas trapezium melengkung ini.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\kiri(1^(3)-(-1)^(3)\kanan)=2 – \frac(1)(3) \kiri(1+1\kanan) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).
Jenis III: luas rajah yang dihadkan oleh persilangan dua fungsi bukan negatif berterusan. Angka ini tidak akan menjadi trapezoid melengkung, yang bermaksud anda tidak boleh mengira luasnya menggunakan formula (*). Bagaimana untuk menjadi? Ternyata luas rajah ini boleh didapati sebagai perbezaan antara kawasan trapezium lengkung yang dibatasi oleh fungsi atas dan $y=0$ ($S_(uf)$), dan fungsi bawah dan $y =0$ ($S_(lf)$), di mana peranan $x=a, \ x=b$ dimainkan oleh $x$ koordinat titik persilangan fungsi ini, i.e.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Perkara yang paling penting apabila mengira kawasan tersebut adalah untuk tidak "terlepas" dengan pilihan fungsi atas dan bawah.
Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh fungsi $y=x^(2)$ dan $y=x+6$.
Mari cari titik persilangan graf ini:
Menurut teorem Vieta,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Iaitu, $a=-2,\b=3$. Mari lukis angka:
Oleh itu, fungsi atas ialah $y=x+6$, dan fungsi bawah ialah $y=x^(2)$. Seterusnya, kita dapati $S_(uf)$ dan $S_(lf)$ menggunakan formula (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kiri.\frac(x^(2))(2)\kanan|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unit$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unit$^(2)$).
Mari kita gantikan apa yang kita temui ke dalam (**) dan dapatkan:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unit$^(2)$).
Jenis IV: luas angka, fungsi terhad(s) yang tidak memenuhi syarat bukan negatif. Untuk mencari luas rajah sedemikian, anda perlu simetri tentang paksi $Ox$ ( Dalam kata lain, letakkan "tolak" di hadapan fungsi) paparkan kawasan dan, menggunakan kaedah yang digariskan dalam jenis I - III, cari kawasan kawasan yang dipaparkan. Kawasan ini akan menjadi kawasan yang diperlukan. Pertama, anda mungkin perlu mencari titik persilangan graf fungsi.
Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=x^(2)-1$ dan $y=0$.
Mari cari titik persilangan graf fungsi:
mereka. $a=-1$, dan $b=1$. Mari kita lukis kawasan.
Mari kita paparkan kawasan secara simetri:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Hasilnya ialah trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$. Ini adalah masalah untuk mencari trapezoid melengkung jenis kedua. Kami telah pun menyelesaikannya. Jawapannya ialah: $S= 1\frac(1)(3)$ (unit $^(2)$). Ini bermakna bahawa luas trapezoid curvilinear yang diperlukan adalah sama dengan:
$S=1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).
Ia diperlukan untuk mengira luas trapezoid melengkung yang dibatasi oleh garis lurus, 
,
dan lengkung 
.
Mari bahagikan segmen 
dotmina 
segmen asas, panjang 
segmen ke 
. Mari kita kembalikan serenjang dari titik pembahagian segmen ke persilangan dengan lengkung 
, biarkan 
. Hasilnya kita dapat 
trapezoid asas, jumlah kawasannya jelas sama dengan jumlah trapezoid melengkung tertentu.
Mari kita tentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi pada setiap selang asas pada selang pertama ini; 
, pada yang kedua 
dan sebagainya. Mari kita mengira jumlahnya
Jumlah pertama mewakili luas semua yang diterangkan, yang kedua ialah luas semua segi empat tepat yang tertulis dalam trapezoid melengkung.
Adalah jelas bahawa jumlah pertama memberikan nilai anggaran luas trapezoid "dengan lebihan", yang kedua - "dengan kekurangan". Jumlah pertama dipanggil jumlah Darboux atas, yang kedua – sewajarnya, jumlah Darboux yang lebih rendah. Oleh itu, luas trapezium melengkung ialah 
memenuhi ketidaksamaan 
. Mari kita ketahui bagaimana jumlah Darboux berkelakuan apabila bilangan titik pembahagian segmen bertambah 
. Biarkan bilangan titik partition bertambah satu, dan ia berada di tengah-tengah selang 
. Sekarang nombornya seperti
segi empat tepat bertulis dan berbatas bertambah satu. Mari kita pertimbangkan bagaimana jumlah Darboux yang lebih rendah berubah. Daripada segi empat sama 
segi empat tepat bertulis ke, sama dengan 
kita mendapat hasil tambah luas dua segi empat tepat 
, sejak panjang 
tidak boleh kurang 
nilai terkecil bagi fungsi di 
. Di sebelah sana, 
, kerana ia 
tidak boleh lebih 
nilai terbesar bagi fungsi pada selang 
. Jadi, menambah mata baharu untuk memisahkan segmen meningkatkan nilai jumlah Darboux yang lebih rendah dan mengurangkan jumlah Darboux atas. Dalam kes ini, jumlah Darboux yang lebih rendah, dengan sebarang peningkatan dalam bilangan titik partition, tidak boleh melebihi nilai mana-mana jumlah atas, kerana jumlah kawasan segi empat tepat yang diterangkan sentiasa lebih daripada jumlahnya kawasan segi empat tepat yang ditulis dalam trapezium melengkung.
Oleh itu, urutan jumlah Darboux yang lebih rendah meningkat dengan bilangan titik pembahagian segmen dan dibatasi dari atas mengikut teorem yang terkenal, ia mempunyai had. Had ini ialah luas trapezium melengkung yang diberikan.
Begitu juga, urutan jumlah Darboux atas berkurangan dengan peningkatan bilangan titik sekatan selang dan dihadkan dari bawah oleh mana-mana jumlah Darboux yang lebih rendah, yang bermaksud bahawa ia juga mempunyai had, dan ia juga sama dengan luas trapezoid melengkung.
Oleh itu, untuk mengira luas trapezoid melengkung, sudah cukup untuk 
sekatan selang, tentukan sama ada jumlah Darboux bawah atau atas, dan kemudian hitung 
, atau 
.
Walau bagaimanapun, penyelesaian sedemikian kepada masalah itu mengandaikan apa-apa, sewenang-wenangnya nombor besar sekatan 
, mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi pada setiap selang asas, yang merupakan tugas yang sangat memerlukan tenaga kerja.
Penyelesaian yang lebih mudah diperoleh menggunakan jumlah kamiran Riemann, iaitu
di mana 
beberapa titik setiap selang asas, iaitu 
. Akibatnya, jumlah kamiran Riemann ialah hasil tambah luas semua segi empat tepat yang mungkin, dan 
. Seperti yang ditunjukkan di atas, had jumlah atas dan bawah Darboux adalah sama dan sama dengan luas trapezoid melengkung. Menggunakan salah satu sifat had fungsi (peraturan dua polis), kami memperolehnya untuk mana-mana pembahagian segmen 
dan memilih mata 
Luas trapezoid melengkung boleh dikira menggunakan formula 
.
Belakang ke hadapan
Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat kerja ini, sila muat turun versi penuh.
Kata kunci: integral, trapezoid melengkung, luas angka yang dibatasi oleh teratai
peralatan: papan penanda, komputer, projektor multimedia
Jenis pelajaran: pelajaran-kuliah
Objektif Pelajaran:
- pendidikan: membentuk budaya kerja mental, mewujudkan situasi kejayaan untuk setiap pelajar, mewujudkan motivasi positif untuk pembelajaran; membangunkan keupayaan untuk bercakap dan mendengar orang lain.
- membangun: pembentukan pemikiran bebas murid dalam mengaplikasikan pengetahuan dalam situasi yang berbeza, keupayaan untuk menganalisis dan membuat kesimpulan, perkembangan logik, pembangunan keupayaan untuk mengemukakan soalan dengan betul dan mencari jawapan kepada mereka. Meningkatkan pembentukan kemahiran pengiraan dan pengiraan, membangunkan pemikiran pelajar semasa menyelesaikan tugasan yang dicadangkan, membangunkan budaya algoritma.
- pendidikan: merumuskan konsep tentang trapezium melengkung, kamiran, menguasai kemahiran mengira luas angka rata
Kaedah Pengajaran: penerangan dan ilustrasi.
Semasa kelas
Dalam kelas sebelumnya kita belajar mengira luas angka yang sempadannya adalah garis poligon. Dalam matematik, terdapat kaedah yang membolehkan anda mengira kawasan angka yang dibatasi oleh lengkung. Angka sedemikian dipanggil trapezoid curvilinear, dan kawasannya dikira menggunakan antiderivatif.
Trapezoid lengkung ( slaid 1)
Trapezoid melengkung ialah rajah yang dibatasi oleh graf fungsi, ( sh.m.), lurus x = a Dan x = b dan paksi-x
Pelbagai jenis trapezium melengkung ( slaid 2)
Kami sedang mempertimbangkan jenis lain trapezoid lengkung dan notis: salah satu garisan merosot menjadi titik, peranan fungsi mengehad dimainkan oleh garis
Luas trapezoid melengkung (slaid 3)
Mari kita betulkan hujung kiri selang A, dan yang betul X kita akan menukar, iaitu, kita menggerakkan dinding kanan trapezoid curvilinear dan mendapatkan angka yang berubah. Luas trapezium lengkung berubah yang dibatasi oleh graf fungsi ialah antiterbitan F untuk fungsi f
Dan pada segmen [ a; b] luas trapezium melengkung yang dibentuk oleh fungsi f, adalah sama dengan kenaikan antiterbitan fungsi ini:
Latihan 1:
Cari luas trapezium melengkung yang dibatasi oleh graf fungsi: f(x) = x 2 dan lurus y = 0, x = 1, x = 2.
Penyelesaian: ( mengikut slaid algoritma 3)
Mari kita lukis graf bagi fungsi dan garisan
Mari cari salah satunya fungsi antiderivatif f(x) = x 2 :
Ujian kendiri slaid
kamiran
Pertimbangkan trapezium melengkung yang ditakrifkan oleh fungsi f pada segmen [ a; b]. Mari pecahkan segmen ini kepada beberapa bahagian. Luas keseluruhan trapezoid akan dibahagikan kepada jumlah kawasan trapezoid melengkung yang lebih kecil. ( slaid 5). Setiap trapezoid tersebut boleh dianggap sebagai segi empat tepat. Jumlah kawasan segi empat tepat ini memberikan gambaran anggaran keseluruhan kawasan trapezoid melengkung. Semakin kecil kita membahagikan segmen [ a; b], lebih tepat kita mengira luas.
Marilah kita menulis hujah-hujah ini dalam bentuk formula.
Bahagikan segmen [ a; b] kepada n bahagian mengikut titik x 0 =a, x1,…,xn = b. Panjang k- ke menandakan dengan xk = xk – xk-1. Mari kita buat jumlah
Secara geometri, jumlah ini mewakili luas rajah yang berlorek dalam rajah ( sh.m.)
Jumlah bentuk dipanggil jumlah kamiran untuk fungsi f. (sh.m.)
Jumlah kamiran memberikan nilai anggaran kawasan. Nilai sebenar diperoleh dengan melepasi had. Mari kita bayangkan bahawa kita sedang memperhalusi partition segmen [ a; b] supaya panjang semua segmen kecil cenderung kepada sifar. Kemudian luas rajah yang digubah akan menghampiri luas trapezoid melengkung. Kita boleh mengatakan bahawa luas trapezoid melengkung adalah sama dengan had jumlah kamiran, Sc.t. (sh.m.) atau integral, iaitu,
Definisi:
Kamiran bagi suatu fungsi f(x) daripada a sebelum ini b dipanggil had jumlah kamiran
= (sh.m.)
Formula Newton-Leibniz.
Kami ingat bahawa had jumlah kamiran adalah sama dengan luas trapezoid melengkung, yang bermaksud kita boleh menulis:
Sc.t. = (sh.m.)
Sebaliknya, luas trapezoid melengkung dikira dengan formula
S k.t. (sh.m.)
Membandingkan formula ini, kami mendapat:
= (sh.m.)Kesamaan ini dipanggil formula Newton-Leibniz.
Untuk memudahkan pengiraan, formula ditulis sebagai:
= = (sh.m.)Tugasan: (sh.m.)
1. Kira kamiran menggunakan formula Newton-Leibniz: ( semak pada slaid 5)
2. Susun kamiran mengikut lukisan ( semak pada slaid 6)
3. Cari luas rajah, terhad oleh garisan: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slaid 7)
Mencari luas rajah satah ( slaid 8)
Bagaimana untuk mencari luas angka yang bukan trapezoid melengkung?
Biarkan dua fungsi diberikan, graf yang anda lihat pada slaid . (sh.m.) Cari luas rajah berlorek . (sh.m.). Adakah rajah yang dimaksudkan ialah trapezium melengkung? Bagaimanakah anda boleh mencari luasnya menggunakan sifat ketambahan luas? Pertimbangkan dua trapezium melengkung dan tolak luas yang satu lagi daripada luas salah satu daripadanya ( sh.m.)
Mari buat algoritma untuk mencari kawasan menggunakan animasi pada slaid:
- Fungsi graf
- Unjurkan titik persilangan graf pada paksi-x
- Lorekkan rajah yang diperoleh apabila graf bersilang
- Cari trapezoid melengkung yang persilangan atau kesatuannya ialah rajah yang diberi.
- Kira luas setiap satu daripadanya
- Cari beza atau hasil tambah luas
Tugas lisan: Bagaimana untuk mendapatkan kawasan angka berlorek (beritahu menggunakan animasi, slaid 8 dan 9)
Kerja rumah: Kerja melalui nota, No. 353 (a), No. 364 (a).
Bibliografi
- Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 9-11 petang (shift) sekolah / ed. G.D. Glaser. - M: Pencerahan, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 10-11 sekolah menengah / Bashmakov M.I. - M: Pencerahan, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematik: buku teks untuk permulaan institusi. dan hari Rabu prof. pendidikan / M.I. Bashmakov. - M: Akademi, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 10-11. institusi pendidikan / A.N. - M: Pendidikan, 2010.
- Ostrovsky S.L. Bagaimana untuk membuat pembentangan untuk pelajaran?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 September 2010.
Contoh1 . Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3, dan x = 2
Mari bina rajah (lihat rajah) Kita bina garis lurus x + 2y – 4 = 0 menggunakan dua titik A(4;0) dan B(0;2). Menyatakan y melalui x, kita dapat y = -0.5x + 2. Menggunakan formula (1), di mana f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, kita dapati
S = = [-0.25=11.25 persegi. unit
Contoh 2. Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 dan y = 0.
Penyelesaian. Mari bina rajah.
Mari bina garis lurus x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Mari bina garis lurus x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Mari kita cari titik persilangan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Untuk mengira kawasan yang diperlukan, kami membahagikan segitiga AMC kepada dua segitiga AMN dan NMC, kerana apabila x berubah dari A ke N, kawasan itu dihadkan oleh garis lurus, dan apabila x berubah dari N ke C - dengan garis lurus
Untuk segitiga AMN kita ada: ; y = 0.5x + 2, iaitu f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
Untuk NMC segi tiga kita ada: y = - x + 5, iaitu f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Dengan mengira luas setiap segi tiga dan menambah hasilnya, kami dapati:
persegi unit
persegi unit
9 + 4, 5 = 13.5 persegi. unit Semak: = 0.5AC = 0.5 persegi. unit
Contoh 3. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
DALAM dalam kes ini anda perlu mengira luas trapezoid melengkung, dibatasi oleh parabola y = x 2 , garis lurus x = 2 dan x = 3 dan paksi Ox (lihat rajah) Dengan menggunakan formula (1) kita dapati luas trapezium lengkung
= = 6 persegi unit
Contoh 4. Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = - x 2 + 4 dan y = 0
Mari bina rajah. Kawasan yang diperlukan adalah tertutup di antara parabola y = - x 2 + 4 dan paksi Lembu.
Mari kita cari titik persilangan parabola dengan paksi Lembu. Dengan mengandaikan y = 0, kita dapati x = Oleh kerana rajah ini simetri tentang paksi Oy, kita mengira luas rajah yang terletak di sebelah kanan paksi Oy, dan menggandakan hasil yang diperoleh: = +4x]sq. unit 2 = 2 persegi unit
Contoh 5. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Di sini anda perlu mengira luas trapezoid melengkung yang dibatasi oleh cawangan atas parabola 2 = x, paksi Ox dan garis lurus x = 1 и x = 4 (lihat rajah)
Mengikut formula (1), di mana f(x) = a = 1 dan b = 4, kita mempunyai = (= unit persegi.
Contoh 6 . Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Kawasan yang diperlukan dihadkan oleh separuh gelombang sinusoid dan paksi Lembu (lihat rajah).
Kami ada - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. unit
Contoh 7. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = - 6x, y = 0 dan x = 4.
Angka itu terletak di bawah paksi Lembu (lihat rajah).
Oleh itu, kita mencari luasnya menggunakan formula (3)
= =
Contoh 8. Kirakan luas rajah yang dibatasi oleh garisan: y = dan x = 2. Bina lengkung y = daripada titik (lihat rajah). Oleh itu, kita mencari luas rajah menggunakan formula (4)
Contoh 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Di sini anda perlu mengira luas, dibatasi oleh bulatan X 2 + y 2 = r 2 , iaitu luas bulatan jejari r dengan pusat di tempat asal. Mari cari bahagian keempat kawasan ini dengan mengambil had penyepaduan daripada 0
sebelum; kami ada: 1 = = [
Oleh itu, 1 =
Contoh 10. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y= x 2 dan y = 2x
Angka ini dihadkan oleh parabola y=x 2 dan garis lurus y = 2x (lihat rajah) Untuk menentukan titik persilangan garis yang diberikan, kita menyelesaikan sistem persamaan: x 2 – 2x = 0 x = 0 dan x = 2
Menggunakan formula (5) untuk mencari luas, kita perolehi
= }