Kita telah melihat bahawa derivatif mempunyai banyak kegunaan: derivatif ialah kelajuan pergerakan (atau, lebih umum, kelajuan sebarang proses); terbitan ialah cerun tangen kepada graf fungsi; menggunakan derivatif, anda boleh memeriksa fungsi untuk monotonicity dan extrema; derivatif membantu menyelesaikan masalah pengoptimuman.
Tetapi dalam kehidupan sebenar Masalah songsang juga perlu diselesaikan: contohnya, bersama-sama dengan masalah mencari kelajuan mengikut hukum gerakan yang diketahui, terdapat juga masalah memulihkan hukum gerakan mengikut kelajuan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu daripada masalah ini.
Contoh 1. Bergerak dalam garis lurus titik material, kelajuan pergerakannya pada masa t diberikan oleh formula u = tg. Cari hukum gerakan.
Penyelesaian. Biarkan s = s(t) ialah hukum gerakan yang dikehendaki. Adalah diketahui bahawa s"(t) = u"(t). Ini bermakna bahawa untuk menyelesaikan masalah anda perlu memilih fungsi s = s(t), yang terbitannya sama dengan tg. Tidak sukar untuk meneka itu
Marilah kita segera ambil perhatian bahawa contoh itu diselesaikan dengan betul, tetapi tidak lengkap. Kami mendapati bahawa, sebenarnya, masalah itu mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga: sebarang fungsi bentuk 
pemalar arbitrari boleh berfungsi sebagai undang-undang gerakan, kerana
Untuk menjadikan tugasan lebih spesifik, kami perlu membetulkan situasi awal: nyatakan koordinat titik bergerak pada satu ketika dalam masa, contohnya, pada t=0. Jika, katakan, s(0) = s 0, maka daripada kesamaan kita memperoleh s(0) = 0 + C, iaitu S 0 = C. Sekarang hukum gerakan ditakrifkan secara unik:
Dalam matematik, operasi timbal balik diberikan nama yang berbeza, tampil dengan tatatanda khas: contohnya, kuasa dua (x 2) dan mengekstrak punca kuasa dua sinus(sinх) dan arcsine(arcsin x), dsb. Proses mencari derivatif berkenaan dengan fungsi yang diberikan dipanggil pembezaan, dan operasi songsang, i.e. proses mencari fungsi daripada derivatif tertentu - integrasi.
Istilah "derivatif" itu sendiri boleh dibenarkan "dalam istilah harian": fungsi y - f(x) "menghasilkan kewujudan" ciri baharu y"= f"(x) Fungsi y = f(x) bertindak sebagai "ibu bapa", tetapi ahli matematik, secara semula jadi, tidak memanggilnya sebagai "ibu bapa" atau "pengeluar", mereka mengatakan bahawa ia adalah, berhubung dengan fungsi y"=f"(x), imej primer, atau ringkasnya, antiterbitan.
Definisi 1. Fungsi y = F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X tertentu jika untuk semua x daripada X kesamaan F"(x)=f(x) dipegang.
Dalam amalan, selang X biasanya tidak dinyatakan, tetapi tersirat (sebagai domain semula jadi bagi definisi fungsi).
Berikut adalah beberapa contoh:
1) Fungsi y = x 2 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 2x, kerana untuk semua x kesamaan (x 2)" = 2x adalah benar.
2) fungsi y - x 3 ialah antiterbitan untuk fungsi y-3x 2, kerana untuk semua x kesamaan (x 3)" = 3x 2 adalah benar.
3) Fungsi y-sinх adalah antiterbitan untuk fungsi y = cosx, kerana untuk semua x kesamaan (sinx)" = cosx adalah benar.
4) Fungsi adalah antiterbitan untuk fungsi pada selang kerana untuk semua x > 0 kesamaan adalah benar
Secara umum, mengetahui formula untuk mencari derivatif, tidak sukar untuk menyusun jadual formula untuk mencari antiderivatif.
Kami harap anda memahami cara jadual ini disusun: derivatif fungsi, yang ditulis dalam lajur kedua, adalah sama dengan fungsi yang ditulis dalam baris yang sepadan pada lajur pertama (semak ia, jangan malas, ia sangat berguna). Sebagai contoh, untuk fungsi y = x 5 antiterbitan, seperti yang anda akan tetapkan, ialah fungsi (lihat baris keempat jadual).
Nota: 1. Di bawah ini kita akan membuktikan teorem bahawa jika y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x), maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga dan kesemuanya mempunyai bentuk y = F(x ) + C. Oleh itu, adalah lebih tepat untuk menambah istilah C di mana-mana dalam lajur kedua jadual, dengan C ialah nombor nyata arbitrari.
2. Demi ringkasnya, kadangkala bukannya frasa "fungsi y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x)," mereka mengatakan F(x) ialah antiterbitan bagi f(x) .”
2. Peraturan untuk mencari antiderivatif
Apabila mencari antiderivatif, serta apabila mencari derivatif, bukan sahaja formula digunakan (ia disenaraikan dalam jadual pada ms 196), tetapi juga beberapa peraturan. Ia berkaitan secara langsung dengan peraturan yang sepadan untuk mengira derivatif.
Kita tahu bahawa terbitan jumlah adalah sama dengan jumlah terbitannya. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 1. Antiterbitan sesuatu jumlah adalah sama dengan jumlah antiterbitan.
Kami menarik perhatian anda kepada "ringan" rumusan ini. Malah, seseorang harus merumuskan teorem: jika fungsi y = f(x) dan y = g(x) mempunyai antiterbitan pada selang X, masing-masing y-F(x) dan y-G(x), maka jumlah fungsi y = f(x)+g(x) mempunyai antiterbitan pada selang X, dan antiterbitan ini ialah fungsi y = F(x)+G(x). Tetapi biasanya, apabila merumuskan peraturan (dan bukan teorem), mereka meninggalkan sahaja kata kunci- ini menjadikannya lebih mudah untuk menggunakan peraturan dalam amalan
Contoh 2. Cari antiterbitan bagi fungsi y = 2x + cos x.
Penyelesaian. Antiterbitan untuk 2x ialah x"; antiterbitan untuk cox ialah sin x. Ini bermakna antiterbitan untuk fungsi y = 2x + cos x akan menjadi fungsi y = x 2 + sin x (dan secara amnya sebarang fungsi bentuk Y = x 1 + sinx + C) .
Kami tahu itu faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda antiderivatif.
Contoh 3.
Penyelesaian. a) Antiterbitan untuk sin x ialah -soz x; Ini bermakna bagi fungsi y = 5 sin x fungsi antiterbitan ialah fungsi y = -5 cos x.
b) Antiterbitan bagi cos x ialah sin x; Ini bermakna antiterbitan fungsi ialah fungsi
c) Antiterbitan bagi x 3 ialah antiterbitan bagi x ialah antiterbitan bagi fungsi y = 1 ialah fungsi y = x. Menggunakan peraturan pertama dan kedua untuk mencari antiterbitan, kita dapati bahawa antiterbitan untuk fungsi y = 12x 3 + 8x-1 ialah fungsi
Komen. Seperti yang diketahui, derivatif produk tidak sama dengan hasil derivatif (peraturan untuk membezakan produk adalah lebih kompleks) dan terbitan hasil bahagi tidak sama dengan hasil bahagi. Oleh itu, tiada peraturan untuk mencari antiterbitan produk atau antiterbitan bagi hasil bagi dua fungsi. Berhati-hati!
Mari kita dapatkan peraturan lain untuk mencari antiderivatif. Kita tahu bahawa terbitan bagi fungsi y = f(kx+m) dikira dengan formula
Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 3. Jika y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x), maka antiterbitan bagi fungsi y=f(kx+m) ialah fungsi
Sesungguhnya,
Ini bermakna ia adalah antiterbitan untuk fungsi y = f(kx+m).
Maksud peraturan ketiga adalah seperti berikut. Jika anda tahu bahawa antiterbitan bagi fungsi y = f(x) ialah fungsi y = F(x), dan anda perlu mencari antiterbitan bagi fungsi y = f(kx+m), kemudian teruskan seperti ini: ambil fungsi yang sama F, tetapi bukannya hujah x, gantikan ungkapan kx+m; sebagai tambahan, jangan lupa untuk menulis "faktor pembetulan" sebelum tanda fungsi
Contoh 4. Cari antiderivatif untuk fungsi tertentu:
Penyelesaian, a) Antiterbitan untuk sin x ialah -soz x; Ini bermakna bahawa untuk fungsi y = sin2x antiterbitan akan menjadi fungsi
b) Antiterbitan bagi cos x ialah sin x; Ini bermakna antiterbitan fungsi ialah fungsi
c) Antiterbitan untuk x 7, oleh itu, untuk fungsi y = (4-5x) 7 antiterbitan akan menjadi fungsi
3. Kamiran tak tentu
Kami telah menyatakan di atas bahawa masalah mencari antiterbitan untuk fungsi tertentu y = f(x) mempunyai lebih daripada satu penyelesaian. Mari kita bincangkan isu ini dengan lebih terperinci.
Bukti. 1. Biarkan y = F(x) menjadi antiterbitan bagi fungsi y = f(x) pada selang X. Ini bermakna bagi semua x daripada X kesamaan x"(x) = f(x) dipegang. Mari kita cari terbitan sebarang fungsi bagi bentuk y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Jadi, (F(x)+C) = f(x). Ini bermakna y = F(x) + C ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x).
Oleh itu, kita telah membuktikan bahawa jika fungsi y = f(x) mempunyai antiterbitan y=F(x), maka fungsi (f = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga, contohnya, sebarang fungsi dalam bentuk y = F(x) +C ialah antiterbitan.
2. Mari kita buktikan sekarang jenis yang ditentukan berfungsi, keseluruhan set antiderivatif telah habis.
Biarkan y=F 1 (x) dan y=F(x) ialah dua antiderivatif untuk fungsi Y = f(x) pada selang X. Ini bermakna bagi semua x dari selang X hubungan berikut dipegang: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Mari kita pertimbangkan fungsi y = F 1 (x) -.F(x) dan cari terbitannya: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Adalah diketahui bahawa jika terbitan fungsi pada selang X adalah sama dengan sifar, maka fungsi itu adalah malar pada selang X (lihat Teorem 3 daripada § 35). Ini bermakna F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.
Teorem telah terbukti.
Contoh 5. Hukum perubahan kelajuan dengan masa diberikan: v = -5sin2t. Cari hukum gerakan s = s(t), jika diketahui bahawa pada masa t=0 koordinat titik adalah sama dengan nombor 1.5 (iaitu s(t) = 1.5).
Penyelesaian. Memandangkan kelajuan ialah terbitan koordinat sebagai fungsi masa, pertama sekali kita perlu mencari antiterbitan kelajuan, i.e. antiterbitan untuk fungsi v = -5sin2t. Salah satu antiderivatif tersebut ialah fungsi , dan set semua antiderivatif mempunyai bentuk:
Untuk mencari makna khusus pemalar C, mari kita gunakan keadaan awal, mengikut mana, s(0) = 1.5. Menggantikan nilai t=0, S = 1.5 ke dalam formula (1), kita dapat:
Menggantikan nilai C yang ditemui ke dalam formula (1), kita memperoleh hukum gerakan yang menarik minat kita:
Definisi 2. Jika fungsi y = f(x) mempunyai antiterbitan y = F(x) pada selang X, maka set semua antiterbitan, i.e. set fungsi bentuk y = F(x) + C dipanggil kamiran tak tentu bagi fungsi y = f(x) dan dilambangkan dengan:
(baca: " kamiran tak tentu ef daripada x de x").
Dalam perenggan seterusnya kita akan mengetahui apa itu maksud tersembunyi sebutan yang ditunjukkan.
Berdasarkan jadual antiterbitan yang terdapat dalam bahagian ini, kami akan menyusun jadual kamiran tak tentu utama:
Berdasarkan tiga peraturan di atas untuk mencari antiderivatif, kita boleh merumuskan peraturan penyepaduan yang sepadan.
Peraturan 1. Kamiran bagi hasil tambah fungsi sama dengan jumlah kamiran fungsi ini:
Peraturan 2. Faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran:
Peraturan 3. Jika
Contoh 6. Cari kamiran tak tentu:
Penyelesaian, a) Dengan menggunakan peraturan penyepaduan pertama dan kedua, kami memperoleh:
Sekarang mari kita gunakan formula penyepaduan ke-3 dan ke-4:
Hasilnya kami mendapat:
b) Menggunakan peraturan pengamiran ketiga dan formula 8, kita memperoleh:
c) Untuk lokasi segera Untuk kamiran tertentu, kita tidak mempunyai formula yang sepadan mahupun peraturan yang sepadan. Dalam kes sedemikian, pra-dilaksanakan transformasi identiti ungkapan yang terkandung di bawah tanda kamiran.
Jom ambil kesempatan formula trigonometri Pengurangan darjah:
Kemudian kita dapati secara berurutan:
A.G. Algebra Mordkovich gred ke-10
Perancangan tematik kalendar dalam matematik, video dalam matematik dalam talian, Matematik di sekolah
Sasaran:
- Pembentukan konsep antiderivatif.
- Persediaan untuk persepsi kamiran.
- Pembentukan kemahiran pengkomputeran.
- Memupuk rasa kecantikan (keupayaan untuk melihat keindahan dalam luar biasa).
Analisis matematik ialah satu set cabang matematik yang dikhaskan untuk mengkaji fungsi dan generalisasinya dengan kaedah kalkulus pembezaan dan kamiran.
Sehingga kini kita telah mengkaji satu cabang analisis matematik yang dipanggil kalkulus pembezaan, intipatinya ialah kajian fungsi dalam "kecil".
Itu. kajian fungsi dalam kejiranan yang cukup kecil bagi setiap titik definisi. Salah satu operasi pembezaan - mencari terbitan (pembezaan) dan aplikasi untuk kajian fungsi.
Tidak kurang pentingnya masalah songsang. Jika tingkah laku fungsi di sekitar setiap titik definisinya diketahui, maka bagaimanakah seseorang boleh membina semula fungsi secara keseluruhan, i.e. sepanjang keseluruhan skop definisinya. Masalah ini adalah subjek kajian yang dipanggil kalkulus kamiran.
Integrasi ialah tindakan songsang bagi pembezaan. Atau memulihkan fungsi f(x) daripada terbitan f`(x) yang diberikan. perkataan Latin“Integro” bermaksud pemulihan.
Contoh No 1.
Biarkan (x)`=3x 2.
Mari cari f(x).
Penyelesaian:
Berdasarkan peraturan pembezaan, tidak sukar untuk meneka bahawa f(x) = x 3, kerana (x 3)` = 3x 2
Walau bagaimanapun, anda boleh perasan dengan mudah bahawa f(x) tidak ditemui secara unik.
Sebagai f(x) kita boleh ambil
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, dsb.
Kerana terbitan setiap daripadanya adalah sama dengan 3x 2. (Terbitan pemalar ialah 0). Semua fungsi ini berbeza antara satu sama lain dengan istilah tetap. sebab tu keputusan bersama masalah boleh ditulis dalam bentuk f(x)= x 3 +C, di mana C ialah sebarang nombor nyata tetap.
Mana-mana fungsi yang ditemui f(x) dipanggil PRIMODIUM untuk fungsi F`(x)= 3x 2
Definisi.
Fungsi F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi f(x) pada selang J tertentu jika untuk semua x daripada selang ini F`(x)= f(x). Jadi fungsi F(x)=x 3 ialah antiterbitan untuk f(x)=3x 2 pada (- ∞ ; ∞).
Oleh kerana untuk semua x ~R kesamaan adalah benar: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Seperti yang telah kita perhatikan, fungsi ini Ia ada set tak terhingga antiderivatif (lihat contoh No. 1).
Contoh No. 2.
Fungsi F(x)=x ialah antiterbitan untuk semua f(x)= 1/x pada selang (0; +), kerana untuk semua x dari selang ini, kesaksamaan berlaku.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x
Contoh No. 3.
Fungsi F(x)=tg3x ialah antiterbitan untuk f(x)=3/cos3x pada selang (-n/ 2;
P/ 2),
kerana F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x
Contoh No. 4.
Fungsi F(x)=3sin4x+1/x-2 ialah antiterbitan untuk f(x)=12cos4x-1/x 2 pada selang (0;∞)
kerana F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4kos4x-1/x 2
Kuliah 2.
Topik: Antiderivatif. Sifat utama fungsi antiderivatif.
Apabila mengkaji antiderivatif, kami akan bergantung pada pernyataan berikut. Tanda kemalaran suatu fungsi: Jika pada selang J terbitan Ψ(x) bagi fungsi itu adalah sama dengan 0, maka pada selang ini fungsi Ψ(x) adalah malar.
Pernyataan ini boleh ditunjukkan secara geometri.
Diketahui bahawa Ψ`(x)=tgα, γde α ialah sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi Ψ(x) pada titik dengan absis x 0. Jika Ψ`(υ)=0 pada mana-mana titik dalam selang J, maka tanα=0 δuntuk sebarang tangen kepada graf fungsi Ψ(x). Ini bermakna tangen kepada graf fungsi pada mana-mana titik adalah selari dengan paksi absis. Oleh itu pada selang waktu tertentu graf bagi fungsi Ψ(x) bertepatan dengan ruas garis lurus y=C.
Jadi, fungsi f(x)=c adalah malar pada selang J jika f`(x)=0 pada selang ini.
Sesungguhnya, untuk x 1 dan x 2 arbitrari dari selang J, menggunakan teorem pada nilai min fungsi, kita boleh menulis:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), kerana f`(c)=0, kemudian f(x 2)= f(x 1)
Teorem: (Sifat utama fungsi antiterbitan)
Jika F(x) ialah salah satu antiterbitan untuk fungsi f(x) pada selang J, maka set semua antiterbitan bagi fungsi ini mempunyai bentuk: F(x)+C, dengan C ialah sebarang nombor nyata.
Bukti:
Biarkan F`(x) = f (x), kemudian (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), untuk x Є J.
Katakan wujud Φ(x) - satu lagi antiterbitan untuk f (x) pada selang J, i.e. Φ`(x) = f (x),
maka (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, untuk x Є J.
Ini bermakna Φ(x) - F(x) adalah malar pada selang J.
Oleh itu, Φ(x) - F(x) = C.
Dari mana Φ(x)= F(x)+C.
Ini bermakna jika F(x) ialah antiterbitan untuk fungsi f (x) pada selang J, maka set semua antiterbitan bagi fungsi ini mempunyai bentuk: F(x)+C, dengan C ialah sebarang nombor nyata.
Akibatnya, mana-mana dua antiderivatif bagi fungsi tertentu berbeza antara satu sama lain dengan sebutan tetap.
Contoh: Cari set antiterbitan bagi fungsi f (x) = cos x. Lukiskan graf bagi tiga yang pertama.
Penyelesaian: Sin x ialah salah satu antiterbitan untuk fungsi f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – set semua antiderivatif.
F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Dosa x
F 3 (x) = Sin x+1
Ilustrasi geometri: Graf mana-mana antiterbitan F(x)+C boleh didapati daripada graf antiterbitan F(x) menggunakan pemindahan selari r (0;c).
Contoh: Untuk fungsi f (x) = 2x, cari antiterbitan yang grafnya melalui t.M (1;4)
Penyelesaian: F(x)=x 2 +C – set semua antiderivatif, F(1)=4 - mengikut keadaan masalah.
Oleh itu, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3
Definisi antiderivatif.
Antiterbitan bagi fungsi f(x) pada selang (a; b) ialah fungsi F(x) supaya kesamaan berlaku untuk sebarang x daripada selang yang diberikan.
Jika kita mengambil kira fakta bahawa terbitan pemalar C adalah sama dengan sifar, maka kesamaan adalah benar 
. Oleh itu, fungsi f(x) mempunyai set antiterbitan F(x)+C, untuk pemalar arbitrari C, dan antiterbitan ini berbeza antara satu sama lain dengan nilai pemalar arbitrari.
Takrif kamiran tak tentu.
Keseluruhan set antiterbitan bagi fungsi f(x) dipanggil kamiran tak tentu bagi fungsi ini dan dilambangkan 
.
Ungkapan itu dipanggil integrand, dan f(x) – integrand fungsi. Kamirandan mewakili pembezaan fungsi f(x) .
Tindakan mencari fungsi yang tidak diketahui berdasarkan pembezaannya dipanggil tidak pasti pengamiran, kerana hasil pengamiran bukan satu fungsi F(x), tetapi satu set antiterbitannya F(x)+C.
Berdasarkan sifat terbitan, seseorang boleh merumus dan membuktikan sifat kamiran tak tentu(sifat antiterbitan).
Persamaan pertengahan bagi sifat pertama dan kedua kamiran tak tentu diberikan untuk penjelasan.
Untuk membuktikan sifat ketiga dan keempat, cukup untuk mencari terbitan sisi kanan kesamaan: 
Derivatif ini adalah sama dengan integrand, yang merupakan bukti disebabkan oleh sifat pertama. Ia juga digunakan dalam peralihan terakhir.
Oleh itu, masalah integrasi adalah songsang daripada masalah pembezaan, dan terdapat hubungan yang sangat rapat antara masalah ini:
- harta pertama membolehkan seseorang menyemak integrasi. Untuk menyemak ketepatan integrasi yang dilakukan, sudah cukup untuk mengira derivatif hasil yang diperolehi. Jika fungsi yang diperoleh hasil daripada pembezaan ternyata sama dengan integrand, ini bermakna integrasi telah dijalankan dengan betul;
- sifat kedua kamiran tak tentu membolehkan seseorang mencari antiterbitannya daripada pembezaan fungsi yang diketahui. Berdasarkan harta ini pengiraan langsung kamiran tak tentu.
Mari kita lihat contoh.
Contoh.
Cari antiterbitan bagi fungsi yang nilainya sama dengan satu pada x = 1.
Penyelesaian.
Kami tahu dari kalkulus pembezaan, Apa 
(lihat sahaja jadual terbitan asas fungsi asas). Oleh itu, 
. Dengan harta kedua 
. Iaitu, kita mempunyai banyak antiderivatif. Untuk x = 1 kita mendapat nilai . Mengikut syarat, nilai ini mestilah sama dengan satu, oleh itu, C = 1. Antiderivatif yang dikehendaki akan mengambil bentuk .
Contoh.
Cari kamiran tak tentu 
dan semak keputusan dengan pembezaan.
Penyelesaian.
Mengikut formula sinus sudut berganda daripada trigonometri 
, Itulah sebabnya 
Sebelum ini, mengikut fungsi yang diberikan, dipandu oleh pelbagai formula dan peraturan, didapati terbitannya. Derivatif mempunyai banyak kegunaan: ia adalah kelajuan pergerakan (atau, lebih umum, kelajuan sebarang proses); pekali sudut tangen kepada graf fungsi; menggunakan derivatif, anda boleh memeriksa fungsi untuk monotonicity dan extrema; ia membantu menyelesaikan masalah pengoptimuman.
Tetapi seiring dengan masalah mencari kelajuan mengikut hukum gerakan yang diketahui, terdapat juga masalah songsang - masalah memulihkan hukum gerakan mengikut kelajuan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu daripada masalah ini.
Contoh 1. Titik bahan bergerak dalam garis lurus, kelajuannya pada masa t diberikan oleh formula v=gt. Cari hukum gerakan.
Penyelesaian. Biarkan s = s(t) ialah hukum gerakan yang dikehendaki. Diketahui bahawa s"(t) = v(t). Ini bermakna untuk menyelesaikan masalah anda perlu memilih fungsi s = s(t), terbitan yang sama dengan gt. Tidak sukar untuk meneka bahawa \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \kiri(\frac(gt^2)(2) \kanan)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Jawapan: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Marilah kita segera ambil perhatian bahawa contoh itu diselesaikan dengan betul, tetapi tidak lengkap. Kami mendapat \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Sebenarnya, masalah itu mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga: sebarang fungsi dalam bentuk \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), di mana C ialah pemalar arbitrari, boleh berfungsi sebagai hukum bagi gerakan, sejak \(\kiri (\frac(gt^2)(2) +C \kanan)" = gt \)
Untuk menjadikan masalah lebih spesifik, kami perlu membetulkan situasi awal: nyatakan koordinat titik bergerak pada satu-satu masa, contohnya pada t = 0. Jika, katakan, s(0) = s 0, maka dari kesamaan s(t) = (gt 2)/2 + C kita dapat: s(0) = 0 + C, iaitu C = s 0. Kini hukum gerakan ditakrifkan secara unik: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Dalam matematik, operasi songsang bersama diberi nama yang berbeza, tatatanda khas dicipta, contohnya: kuasa dua (x 2) dan punca kuasa dua (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) dan arcsin (arcsin x) dan lain-lain. Proses mencari terbitan bagi fungsi tertentu dipanggil pembezaan, dan operasi songsang, iaitu proses mencari fungsi daripada terbitan tertentu, ialah integrasi.
Istilah "derivatif" itu sendiri boleh dibenarkan "dalam istilah harian": fungsi y = f(x) "melahirkan" fungsi baharu y" = f"(x). Fungsi y = f(x) bertindak sebagai "induk", tetapi ahli matematik, secara semula jadi, tidak memanggilnya sebagai "ibu bapa" atau "pengeluar"; mereka mengatakan bahawa ia adalah, berhubung dengan fungsi y" = f"( x), imej utama atau primitif.
Definisi. Fungsi y = F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X jika kesamaan F"(x) = f(x) berlaku untuk \(x \dalam X\)
Dalam amalan, selang X biasanya tidak dinyatakan, tetapi tersirat (sebagai domain semula jadi bagi definisi fungsi).
Mari beri contoh.
1) Fungsi y = x 2 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 2x, kerana bagi mana-mana x kesamaan (x 2)" = 2x adalah benar
2) Fungsi y = x 3 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 3x 2, kerana bagi mana-mana x kesamaan (x 3)" = 3x 2 adalah benar
3) Fungsi y = sin(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = cos(x), kerana bagi mana-mana x kesamaan (sin(x))" = cos(x) adalah benar
Apabila mencari antiderivatif, serta derivatif, bukan sahaja formula digunakan, tetapi juga beberapa peraturan. Ia berkaitan secara langsung dengan peraturan yang sepadan untuk mengira derivatif.
Kita tahu bahawa terbitan jumlah adalah sama dengan jumlah terbitannya. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 1. Antiterbitan sesuatu jumlah adalah sama dengan jumlah antiterbitan.
Kita tahu bahawa faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 2. Jika F(x) ialah antiterbitan untuk f(x), maka kF(x) ialah antiterbitan untuk kf(x).
Teorem 1. Jika y = F(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x), maka antiterbitan bagi fungsi y = f(kx + m) ialah fungsi \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorem 2. Jika y = F(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X, maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga, dan kesemuanya mempunyai bentuk y = F(x) + C.
Kaedah integrasi
Kaedah penggantian boleh ubah (kaedah penggantian)
Kaedah penyepaduan melalui penggantian melibatkan memperkenalkan yang baru pembolehubah integrasi(iaitu, penggantian). Dalam kes ini, kamiran yang diberikan dikurangkan kepada kamiran baru, yang jadual atau boleh dikurangkan kepadanya. Kaedah biasa tiada pemilihan pengganti. Keupayaan untuk menentukan penggantian dengan betul diperoleh melalui latihan.
Biarkan perlu untuk mengira kamiran \(\textstyle \int F(x)dx \). Mari kita buat penggantian \(x= \varphi(t) \) dengan \(\varphi(t) \) ialah fungsi yang mempunyai terbitan berterusan.
Kemudian \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dan berdasarkan sifat invarian formula kamiran untuk kamiran tak tentu, kami memperoleh formula kamiran melalui penggantian:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Penyepaduan ungkapan bentuk \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Jika m ganjil, m > 0, maka lebih mudah untuk membuat penggantian sin x = t.
Jika n ganjil, n > 0, maka lebih mudah untuk membuat penggantian cos x = t.
Jika n dan m genap, maka lebih mudah untuk membuat penggantian tg x = t.
Integrasi mengikut bahagian
Integrasi mengikut bahagian - aplikasi formula berikut untuk penyepaduan:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
atau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Jadual kamiran tak tentu (antiterbitan) bagi beberapa fungsi
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Salah satu operasi pembezaan ialah mencari derivatif (pembezaan) dan mengaplikasikannya dalam kajian fungsi.
Masalah songsang juga tidak kurang pentingnya. Jika tingkah laku fungsi di sekitar setiap titik definisinya diketahui, maka bagaimanakah seseorang boleh membina semula fungsi secara keseluruhan, i.e. sepanjang keseluruhan skop definisinya. Masalah ini adalah subjek kajian yang dipanggil kalkulus kamiran.
Integrasi ialah tindakan songsang bagi pembezaan. Atau memulihkan fungsi f(x) daripada terbitan f`(x) yang diberikan. Perkataan Latin "integro" bermaksud pemulihan.
Contoh No 1.
Biarkan (f(x))’ = 3x 2. Mari cari f(x).
Penyelesaian:
Berdasarkan peraturan pembezaan, tidak sukar untuk meneka bahawa f(x) = x 3, kerana
(x 3)’ = 3x 2 Walau bagaimanapun, ia boleh dilihat dengan mudah bahawa f(x) tidak ditemui secara unik. Sebagai f(x), anda boleh mengambil f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, dsb.
Kerana terbitan setiap satunya ialah 3x 2. (Terbitan pemalar ialah 0). Semua fungsi ini berbeza antara satu sama lain dengan istilah tetap. Oleh itu, penyelesaian umum kepada masalah boleh ditulis sebagai f(x) = x 3 + C, di mana C ialah sebarang nombor nyata tetap.
Mana-mana fungsi yang ditemui f(x) dipanggil antiderivatif untuk fungsi F`(x)= 3x 2
Definisi.
Fungsi F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi f(x) pada selang J tertentu jika untuk semua x daripada selang ini F`(x)= f(x). Jadi fungsi F(x)=x 3 ialah antiterbitan untuk f(x)=3x 2 pada (- ∞ ; ∞). Oleh kerana untuk semua x ~R kesamaan adalah benar: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Seperti yang telah kita perhatikan, fungsi ini mempunyai bilangan antiderivatif yang tidak terhingga.
Contoh No. 2.
Fungsi ini adalah antiterbitan untuk semua pada selang (0; +∞), kerana untuk semua h dari selang ini, kesaksamaan kekal.
Tugas integrasi adalah untuk mencari semua antiderivatifnya untuk fungsi tertentu. Apabila menyelesaikan masalah ini peranan penting pernyataan berikut memainkan:
Tanda kestabilan fungsi. Jika F"(x) = 0 pada beberapa selang I, maka fungsi F adalah malar pada selang ini.
Bukti.
Mari kita betulkan beberapa x 0 daripada selang I. Kemudian untuk sebarang nombor x daripada selang sedemikian, berdasarkan formula Lagrange, kita boleh menunjukkan nombor c yang terkandung di antara x dan x 0 supaya
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).
Mengikut keadaan, F’ (c) = 0, kerana c ∈1, oleh itu,
F(x) - F(x 0) = 0.
Jadi, untuk semua x dari selang I
iaitu, fungsi F menyimpan nilai tetap.
Semua fungsi antiterbitan f boleh ditulis menggunakan satu formula, yang dipanggil bentuk umum antiderivatif untuk fungsi itu f. Teorem berikut adalah benar ( sifat utama antiderivatif):
Teorem. Sebarang antiterbitan untuk fungsi f pada selang I boleh ditulis dalam bentuk
F(x) + C, (1) dengan F (x) ialah salah satu antiderivatif untuk fungsi f (x) pada selang I, dan C ialah pemalar arbitrari.
Mari kita terangkan pernyataan ini, di mana dua sifat antiderivatif dirumuskan secara ringkas:
- Walau apa pun nombor yang kita letakkan dalam ungkapan (1) dan bukannya C, kita memperoleh antiterbitan untuk f pada selang I;
- tidak kira apa antiterbitan Ф untuk f pada selang I diambil, adalah mungkin untuk memilih nombor C supaya untuk semua x daripada selang I kesamaan
Bukti.
- Mengikut keadaan, fungsi F ialah antiterbitan untuk f pada selang I. Oleh itu, F"(x)= f (x) untuk sebarang x∈1, oleh itu (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), iaitu F(x) + C ialah antiterbitan bagi fungsi f.
- Biarkan Ф (x) menjadi salah satu antiderivatif untuk fungsi f pada selang I yang sama, iaitu Ф "(x) = f (х) untuk semua x∈I.
Kemudian (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.
Dari sini ia mengikuti c. kuasa tanda ketekalan fungsi, bahawa perbezaan Ф(х) - F(х) ialah fungsi yang mengambil beberapa nilai malar C pada selang I.
Oleh itu, untuk semua x dari selang I kesamaan Ф(x) - F(x)=С adalah benar, iaitu apa yang perlu dibuktikan. Sifat utama antiderivatif boleh diberikan makna geometri: graf mana-mana dua antiderivatif untuk fungsi f diperoleh daripada satu sama lain pemindahan selari sepanjang paksi Oy
Soalan untuk nota
Fungsi F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi f(x). Cari F(1) jika f(x)=9x2 - 6x + 1 dan F(-1) = 2.
Cari semua antiderivatif untuk fungsi itu
Untuk fungsi (x) = cos2 * sin2x, cari antiterbitan bagi F(x) jika F(0) = 0.
Untuk suatu fungsi, cari antiterbitan yang grafnya melalui titik itu