Definisi 1: matriks dipanggil tunggal jika penentunya adalah sifar.
Definisi 2: matriks dipanggil bukan tunggal jika penentunya tidak sama dengan sifar.
Matriks "A" dipanggil matriks songsang, jika keadaan A*A-1 = A-1 *A = E (unit matriks) dipenuhi.
Matriks segi empat sama boleh terbalik hanya jika ia bukan tunggal.
Skim untuk mengira matriks songsang:
1) Kira penentu matriks "A" jika ∆ A = 0, maka matriks songsang tidak wujud.
2) Cari semua pelengkap algebra bagi matriks "A".
3) Buat matriks penambahan algebra (Aij)
4) Ubah matriks pelengkap algebra (Aij )T
5) Darab matriks terpindah dengan songsangan penentu matriks ini.
6) Lakukan pemeriksaan:
Pada pandangan pertama ia mungkin kelihatan rumit, tetapi sebenarnya semuanya sangat mudah. Semua penyelesaian adalah berdasarkan operasi aritmetik mudah, perkara utama apabila menyelesaikan adalah untuk tidak keliru dengan tanda "-" dan "+" dan tidak kehilangannya.
Sekarang mari kita selesaikan masalah praktikal bersama-sama dengan mengira matriks songsang.
Tugas: cari matriks songsang "A" yang ditunjukkan dalam gambar di bawah:
1. Perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mencari penentu bagi matriks "A":
Penjelasan:
Kami telah memudahkan penentu kami menggunakan fungsi asasnya. Pertama, kami menambah pada baris ke-2 dan ke-3 unsur-unsur baris pertama, didarab dengan satu nombor.
Kedua, kami menukar lajur ke-2 dan ke-3 penentu, dan mengikut sifatnya, kami menukar tanda di hadapannya.
Ketiga, kami mengeluarkan faktor sepunya (-1) baris kedua, dengan itu menukar tanda itu semula, dan ia menjadi positif. Kami juga memudahkan baris 3 dengan cara yang sama seperti pada permulaan contoh.
Kami mempunyai penentu segi tiga yang unsur-unsurnya di bawah pepenjuru adalah sama dengan sifar, dan dengan sifat 7 ia adalah sama dengan hasil darab unsur pepenjuru. Akhirnya kami dapat ∆ A = 26, oleh itu matriks songsang wujud.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Langkah seterusnya ialah menyusun matriks daripada penambahan yang terhasil:
5. Darab matriks ini dengan songsangan penentu, iaitu, dengan 1/26:
6. Sekarang kita hanya perlu menyemak:
Semasa ujian, kami menerima matriks identiti, oleh itu, penyelesaiannya telah dijalankan dengan betul.
2 cara untuk mengira matriks songsang.
1. Transformasi matriks asas
2. Matriks songsang melalui penukar asas.
Transformasi matriks asas termasuk:
1. Mendarab rentetan dengan nombor yang tidak sama dengan sifar.
2. Menambah pada mana-mana baris garis lain didarab dengan nombor.
3. Tukar baris matriks.
4. Menggunakan rantaian transformasi asas, kami memperoleh matriks lain.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Mari kita lihat ini menggunakan contoh praktikal dengan nombor nyata.
Senaman: Cari matriks songsang.
Penyelesaian:
Mari semak:
Sedikit penjelasan mengenai penyelesaian:
Mula-mula, kami menyusun semula baris 1 dan 2 matriks, kemudian darab baris pertama dengan (-1).
Selepas itu, kami mendarabkan baris pertama dengan (-2) dan menambahnya dengan baris kedua matriks. Kemudian kita darabkan baris 2 dengan 1/4.
Peringkat terakhir transformasi ialah mendarabkan baris kedua dengan 2 dan menambahnya dengan yang pertama. Akibatnya, kita mempunyai matriks identiti di sebelah kiri, oleh itu, matriks songsang ialah matriks di sebelah kanan.
Selepas menyemak, kami yakin bahawa keputusan itu betul.
Seperti yang anda lihat, mengira matriks songsang adalah sangat mudah.
Di akhir kuliah ini, saya juga ingin meluangkan sedikit masa tentang sifat-sifat matriks tersebut.
Mencari matriks songsang.
Dalam artikel ini kita akan memahami konsep matriks songsang, sifatnya dan kaedah mencari. Marilah kita memikirkan secara terperinci tentang penyelesaian contoh di mana ia adalah perlu untuk membina matriks songsang untuk yang diberikan.
Navigasi halaman.
Matriks songsang - definisi.
Mencari matriks songsang menggunakan matriks daripada pelengkap algebra.
Sifat matriks songsang.
Mencari matriks songsang menggunakan kaedah Gauss-Jordan.
Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.
Matriks songsang - definisi.
Konsep matriks songsang hanya diperkenalkan untuk matriks segi empat sama yang penentunya adalah bukan sifar, iaitu, untuk matriks kuasa dua bukan tunggal.
Definisi.
Matriksdipanggil songsangan matriks, yang penentunya berbeza daripada sifar jika kesamaan adalah benar 
, Di mana E– matriks pesanan unit n pada n.
Mencari matriks songsang menggunakan matriks daripada pelengkap algebra.
Bagaimana untuk mencari matriks songsang untuk yang diberikan?
Pertama, kita memerlukan konsep matriks terpindah, matriks minor dan pelengkap algebra bagi unsur matriks.
Definisi.
kecilkth pesanan matriks A pesanan m pada n ialah penentu bagi matriks tertib k pada k, yang diperoleh daripada unsur matriks A terletak dalam pilihan k garisan dan k lajur. ( k tidak melebihi bilangan terkecil m atau n).
kecil (n-1) ke tertib, yang terdiri daripada elemen semua baris kecuali i-th, dan semua lajur kecuali jth, matriks segi empat sama A pesanan n pada n mari kita nyatakan sebagai .
Dalam erti kata lain, minor diperoleh daripada matriks segi empat sama A pesanan n pada n dengan memotong elemen i-th garisan dan jth kolum.
Sebagai contoh, mari kita menulis, kecil ke-2 tertib, yang diperoleh daripada matriks 
memilih elemen baris kedua, ketiga dan pertama, lajur ketiga 
. Kami juga akan menunjukkan minor, yang diperoleh daripada matriks 
dengan memotong baris kedua dan lajur ketiga 
. Mari kita gambarkan pembinaan kanak-kanak bawah umur ini: dan .
Definisi.
Pelengkap algebra unsur matriks segi empat sama dipanggil kecil (n-1) ke tertib, yang diperoleh daripada matriks A, memotong unsur-unsurnya i-th garisan dan jth lajur didarab dengan .
Pelengkap algebra bagi suatu unsur dilambangkan sebagai . Oleh itu, 
.
Sebagai contoh, untuk matriks 
pelengkap algebra bagi suatu unsur ialah .
Kedua, kita memerlukan dua sifat penentu, yang kita bincangkan dalam bahagian ini mengira penentu sesuatu matriks:
Berdasarkan sifat penentu ini, definisi operasi mendarab matriks dengan nombor dan konsep matriks songsang adalah benar: 
, di manakah matriks terpindah yang unsurnya ialah pelengkap algebra.
Matriks 
memang songsang bagi matriks A, kerana kesamarataan dipenuhi 
. Jom tunjuk 
Jom mengarang algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan persamaan 
.
Mari kita lihat algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan contoh.
Contoh.
Diberi matriks 
. Cari matriks songsang.
Penyelesaian.
Mari kita hitung penentu matriks A, menguraikannya menjadi elemen lajur ketiga: 
Penentu adalah bukan sifar, jadi matriks A boleh balik.
Mari kita cari matriks penambahan algebra: 
sebab tu 
Mari kita alihkan matriks daripada penambahan algebra: 
Sekarang kita dapati matriks songsang sebagai 
:
Mari kita semak hasilnya: 
Persamaan 
berpuas hati, oleh itu, matriks songsang ditemui dengan betul.
Sifat matriks songsang.
Konsep matriks songsang, kesamaan 
, takrifan operasi pada matriks dan sifat penentu sesuatu matriks memungkinkan untuk mewajarkan perkara berikut sifat matriks songsang:
Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.
Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mencari matriks songsang bagi matriks segi empat sama A pesanan n pada n.
Kaedah ini adalah berdasarkan penyelesaian n sistem persamaan algebra tak homogen linear dengan n tidak diketahui. Pembolehubah yang tidak diketahui dalam sistem persamaan ini ialah unsur-unsur matriks songsang.
Ideanya sangat mudah. Mari kita nyatakan matriks songsang sebagai X, itu dia, 
. Oleh kerana mengikut takrifan matriks songsang, maka 
Menyamakan elemen yang sepadan dengan lajur, kita dapat n sistem persamaan linear 
Kami menyelesaikannya dalam apa jua cara dan membentuk matriks songsang daripada nilai yang ditemui.
Mari kita lihat kaedah ini dengan contoh.
Contoh.
Diberi matriks 
. Cari matriks songsang.
Penyelesaian.
Jom terima 
. Kesamaan memberi kita tiga sistem persamaan algebra tak homogen linear: 
Kami tidak akan menerangkan penyelesaian kepada sistem ini jika perlu, rujuk bahagian menyelesaikan sistem persamaan algebra linear.
Daripada sistem persamaan pertama kita ada, daripada kedua - , daripada ketiga - . Oleh itu, matriks songsang yang diperlukan mempunyai bentuk 
. Kami mengesyorkan menyemaknya untuk memastikan keputusannya betul.
ringkaskan.
Kami melihat konsep matriks songsang, sifatnya, dan tiga kaedah untuk mencarinya.
Contoh penyelesaian menggunakan kaedah matriks songsang
Latihan 1. Selesaikan SLAE menggunakan kaedah matriks songsang. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Permulaan borang
Tamat borang
Penyelesaian. Mari kita tulis matriks dalam bentuk: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Penentu utama Minor untuk (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor untuk (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor untuk (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor untuk (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Penentu minor ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Matriks terpindah Penambahan algebra ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Matriks songsang Hasil vektor X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1
lihat juga penyelesaian SLAE menggunakan kaedah matriks songsang dalam talian. Untuk melakukan ini, masukkan data anda dan terima penyelesaian dengan ulasan terperinci.
Tugasan 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikannya menggunakan matriks songsang. Semak penyelesaian yang terhasil. Penyelesaian:xml:xls
Contoh 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan matriks songsang. Penyelesaian:xml:xls
Contoh. Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Dikehendaki: 1) cari penyelesaiannya menggunakan Formula Cramer; 2) tulis sistem dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan kalkulus matriks. Garis panduan. Selepas menyelesaikan dengan kaedah Cramer, cari butang "Penyelesaian dengan kaedah matriks songsang untuk data sumber". Anda akan menerima penyelesaian yang sesuai. Oleh itu, anda tidak perlu mengisi data lagi. Penyelesaian. Mari kita nyatakan dengan A matriks pekali untuk yang tidak diketahui; X - matriks lajur yang tidak diketahui; B - matriks-lajur ahli percuma:
|
|
Vektor B: B T =(4,-3,-3) Dengan mengambil kira tatatanda ini, sistem persamaan ini mengambil bentuk matriks berikut: A*X = B. Jika matriks A bukan tunggal (penentunya bukan sifar , maka ia mempunyai matriks songsang A -1 Mendarab kedua-dua belah persamaan dengan A -1, kita dapat: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. tatatanda matriks bagi penyelesaian kepada sistem persamaan linear. Untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan, adalah perlu untuk mengira matriks songsang A -1. Sistem akan mempunyai penyelesaian jika penentu matriks A ialah bukan sifar. Mari cari penentu utama. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Jadi, penentu 14 ≠ 0, jadi kita teruskan penyelesaian. Untuk melakukan ini, kita mencari matriks songsang melalui penambahan algebra. Mari kita mempunyai matriks bukan tunggal A:
|
|
Kami mengira pelengkap algebra.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Peperiksaan. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Jawapan: -1,1,2.
Matriks songsang untuk matriks tertentu ialah matriks sedemikian, mendarabkan matriks asal yang memberikan matriks identiti: Syarat wajib dan mencukupi untuk kehadiran matriks songsang ialah penentu matriks asal ialah tidak sama dengan sifar (yang seterusnya menunjukkan bahawa matriks mestilah segi empat sama). Jika penentu matriks adalah sama dengan sifar, maka ia dipanggil tunggal dan matriks sedemikian tidak mempunyai songsang. Dalam matematik yang lebih tinggi, matriks songsang adalah penting dan digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah. Sebagai contoh, pada mencari matriks songsang kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan telah dibina. Tapak perkhidmatan kami membenarkan mengira matriks songsang dalam talian dua kaedah: kaedah Gauss-Jordan dan menggunakan matriks penambahan algebra. Yang pertama melibatkan sejumlah besar penjelmaan asas di dalam matriks, yang kedua melibatkan pengiraan penentu dan penambahan algebra kepada semua elemen. Untuk mengira penentu matriks dalam talian, anda boleh menggunakan perkhidmatan kami yang lain - Pengiraan penentu matriks dalam talian
.Cari matriks songsang untuk tapak tersebut
laman web membolehkan anda mencari matriks songsang dalam talian cepat dan percuma. Di tapak, pengiraan dibuat menggunakan perkhidmatan kami dan hasilnya diberikan dengan penyelesaian terperinci untuk mencari matriks songsang. Pelayan sentiasa memberikan jawapan yang tepat dan betul sahaja. Dalam tugas mengikut definisi matriks songsang dalam talian, adalah perlu bahawa penentu matriks bukan sifar, sebaliknya laman web akan melaporkan kemustahilan mencari matriks songsang kerana fakta bahawa penentu matriks asal adalah sama dengan sifar. Tugas mencari matriks songsang terdapat dalam banyak cabang matematik, sebagai salah satu konsep paling asas algebra dan alat matematik dalam masalah gunaan. Bebas definisi matriks songsang memerlukan usaha yang besar, banyak masa, pengiraan dan berhati-hati untuk mengelakkan kesilapan menaip atau kesilapan kecil dalam pengiraan. Oleh itu perkhidmatan kami mencari matriks songsang dalam talian akan menjadikan tugas anda lebih mudah dan akan menjadi alat yang sangat diperlukan untuk menyelesaikan masalah matematik. Walaupun anda cari matriks songsang sendiri, kami mengesyorkan anda menyemak penyelesaian anda pada pelayan kami. Masukkan matriks asal anda di Pengiraan matriks songsang kami dalam talian dan semak jawapan anda. Sistem kami tidak pernah membuat kesilapan dan mencari matriks songsang dimensi yang diberikan dalam mod dalam talian serta-merta! Di tapak laman web entri aksara dibenarkan dalam elemen matriks, dalam kes ini matriks songsang dalam talian akan dipersembahkan dalam bentuk simbolik umum.
Biasanya, operasi songsang digunakan untuk memudahkan ungkapan algebra kompleks. Contohnya, jika masalah melibatkan operasi bahagi dengan pecahan, anda boleh menggantikannya dengan operasi darab dengan salingan pecahan, iaitu operasi songsang. Selain itu, matriks tidak boleh dibahagikan, jadi anda perlu mendarab dengan matriks songsang. Mengira songsangan matriks 3x3 agak membosankan, tetapi anda perlu melakukannya secara manual. Anda juga boleh mencari timbal balik menggunakan kalkulator grafik yang baik.
Langkah-langkah
Menggunakan matriks bersebelahan
Ubah matriks asal. Transposisi ialah penggantian baris dengan lajur berbanding pepenjuru utama matriks, iaitu, anda perlu menukar elemen (i,j) dan (j,i). Dalam kes ini, unsur-unsur pepenjuru utama (bermula di sudut kiri atas dan berakhir di sudut kanan bawah) tidak berubah.
- Untuk menukar baris kepada lajur, tulis elemen baris pertama dalam lajur pertama, elemen baris kedua dalam lajur kedua dan elemen baris ketiga dalam lajur ketiga. Urutan menukar kedudukan unsur ditunjukkan dalam rajah, di mana unsur-unsur yang sepadan dibulatkan dengan bulatan berwarna.
Cari takrifan setiap matriks 2x2. Setiap elemen mana-mana matriks, termasuk yang ditransposkan, dikaitkan dengan matriks 2x2 yang sepadan. Untuk mencari matriks 2x2 yang sepadan dengan elemen tertentu, potong baris dan lajur di mana elemen yang diberikan terletak, iaitu, anda perlu memotong lima elemen matriks 3x3 asal. Empat elemen akan kekal tidak bersilang, iaitu unsur matriks 2x2 yang sepadan.
- Contohnya, untuk mencari matriks 2x2 bagi elemen yang terletak di persimpangan baris kedua dan lajur pertama, potong lima elemen yang berada di baris kedua dan lajur pertama. Empat elemen yang selebihnya ialah unsur matriks 2x2 yang sepadan.
- Cari penentu bagi setiap matriks 2x2. Untuk melakukan ini, tolak hasil darab unsur pepenjuru sekunder daripada hasil darab unsur pepenjuru utama (lihat rajah).
- Maklumat terperinci tentang matriks 2x2 yang sepadan dengan elemen khusus matriks 3x3 boleh didapati di Internet.
Buat matriks kofaktor. Tulis keputusan yang diperoleh sebelum ini dalam bentuk matriks kofaktor baharu. Untuk melakukan ini, tuliskan penentu yang ditemui bagi setiap matriks 2x2 di mana unsur yang sepadan bagi matriks 3x3 terletak. Sebagai contoh, jika anda sedang mempertimbangkan matriks 2x2 untuk unsur (1,1), tulis penentunya dalam kedudukan (1,1). Kemudian ubah tanda-tanda unsur yang sepadan mengikut skema tertentu, yang ditunjukkan dalam rajah.
- Skim untuk menukar tanda: tanda elemen pertama baris pertama tidak berubah; tanda elemen kedua baris pertama diterbalikkan; tanda elemen ketiga baris pertama tidak berubah, dan seterusnya baris demi baris. Sila ambil perhatian bahawa tanda "+" dan "-" yang ditunjukkan dalam rajah (lihat rajah) tidak menunjukkan bahawa unsur yang sepadan akan menjadi positif atau negatif. Dalam kes ini, tanda "+" menunjukkan bahawa tanda unsur tidak berubah, dan tanda "-" menunjukkan perubahan dalam tanda unsur.
- Maklumat terperinci tentang matriks kofaktor boleh didapati di Internet.
- Dengan cara ini anda akan menemui matriks bersebelahan matriks asal. Ia kadangkala dipanggil matriks konjugat kompleks. Matriks sedemikian ditandakan sebagai adj(M).
Bahagikan setiap elemen matriks bersebelahan dengan penentunya. Penentu matriks M telah dikira pada awalnya untuk memeriksa bahawa matriks songsang wujud. Sekarang bahagikan setiap elemen matriks bersebelahan dengan penentu ini. Tulis keputusan setiap operasi bahagi di mana unsur yang sepadan terletak. Dengan cara ini anda akan menemui songsang matriks kepada yang asal.
- Penentu bagi matriks yang ditunjukkan dalam rajah ialah 1. Oleh itu, di sini matriks bersebelahan ialah matriks songsang (kerana apabila sebarang nombor dibahagikan dengan 1, ia tidak berubah).
- Dalam sesetengah sumber, operasi bahagi digantikan dengan operasi pendaraban dengan 1/det(M). Walau bagaimanapun, keputusan akhir tidak berubah.
Tulis matriks songsang. Tulis unsur-unsur yang terletak pada separuh kanan matriks besar sebagai matriks berasingan, iaitu matriks songsang.
Masukkan matriks asal ke dalam ingatan kalkulator. Untuk melakukan ini, klik butang Matriks, jika tersedia. Untuk kalkulator Texas Instruments, anda mungkin perlu menekan butang ke-2 dan Matrix.
Pilih menu Edit. Lakukan ini menggunakan butang anak panah atau butang fungsi yang sesuai yang terletak di bahagian atas papan kekunci kalkulator (lokasi butang berbeza-beza bergantung pada model kalkulator).
Masukkan tatatanda matriks. Kebanyakan kalkulator grafik boleh berfungsi dengan 3-10 matriks, yang boleh ditetapkan dengan huruf A-J. Biasanya, hanya pilih [A] untuk menetapkan matriks asal. Kemudian tekan butang Enter.
Masukkan saiz matriks. Artikel ini membincangkan tentang matriks 3x3. Tetapi kalkulator grafik boleh berfungsi dengan matriks besar. Masukkan bilangan baris, tekan Enter, kemudian masukkan bilangan lajur dan tekan Enter sekali lagi.
Masukkan setiap elemen matriks. Satu matriks akan dipaparkan pada skrin kalkulator. Jika anda sebelum ini telah memasukkan matriks ke dalam kalkulator, ia akan muncul pada skrin. Kursor akan menyerlahkan elemen pertama matriks. Masukkan nilai untuk elemen pertama dan tekan Enter. Kursor akan bergerak secara automatik ke elemen matriks seterusnya.
Matriks $A^(-1)$ dipanggil songsangan bagi matriks segi empat sama $A$ jika keadaan $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ dipenuhi, dengan $E $ ialah matriks identiti, susunan yang sama dengan susunan matriks $A$.
Matriks bukan tunggal ialah matriks yang penentunya tidak sama dengan sifar. Oleh itu, matriks tunggal ialah matriks yang penentunya sama dengan sifar.
Matriks songsang $A^(-1)$ wujud jika dan hanya jika matriks $A$ bukan tunggal. Jika matriks songsang $A^(-1)$ wujud, maka ia adalah unik.
Terdapat beberapa cara untuk mencari songsangan matriks, dan kita akan melihat dua daripadanya. Halaman ini akan membincangkan kaedah matriks bersebelahan, yang dianggap standard dalam kebanyakan kursus matematik yang lebih tinggi. Kaedah kedua mencari matriks songsang (kaedah penjelmaan asas), yang melibatkan penggunaan kaedah Gauss atau kaedah Gauss-Jordan, dibincangkan dalam bahagian kedua.
Kaedah matriks bersebelahan
Biarkan matriks $A_(n\times n)$ diberikan. Untuk mencari matriks songsang $A^(-1)$, tiga langkah diperlukan:
- Cari penentu bagi matriks $A$ dan pastikan $\Delta A\neq 0$, i.e. bahawa matriks A adalah bukan tunggal.
- Susun algebra pelengkap $A_(ij)$ setiap elemen matriks $A$ dan tulis matriks $A_(n\kali n)^(*)=\kiri(A_(ij) \kanan)$ daripada algebra yang ditemui pelengkap.
- Tulis matriks songsang dengan mengambil kira formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matriks $(A^(*))^T$ sering dipanggil bersebelahan (salingan, bersekutu) kepada matriks $A$.
Jika penyelesaian dilakukan secara manual, maka kaedah pertama adalah baik hanya untuk matriks urutan yang agak kecil: kedua (), ketiga (), keempat (). Untuk mencari songsangan matriks tertib lebih tinggi, kaedah lain digunakan. Sebagai contoh, kaedah Gaussian, yang dibincangkan dalam bahagian kedua.
Contoh No 1
Cari songsangan matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Oleh kerana semua elemen lajur keempat adalah sama dengan sifar, maka $\Delta A=0$ (iaitu matriks $A$ adalah tunggal). Oleh kerana $\Delta A=0$, tiada matriks songsang kepada matriks $A$.
Contoh No. 2
Cari songsangan matriks $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Kami menggunakan kaedah matriks bersebelahan. Mula-mula, mari kita cari penentu bagi matriks yang diberi $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Oleh kerana $\Delta A \neq 0$, maka matriks songsang wujud, oleh itu kami akan meneruskan penyelesaiannya. Mencari pelengkap algebra
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(diselaraskan)
Kami menyusun matriks penambahan algebra: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Kami menukarkan matriks yang terhasil: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matriks yang terhasil sering dipanggil matriks bersebelahan atau bersekutu dengan matriks $A$). Menggunakan formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita ada:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\kanan) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\kanan) $$
Jadi, matriks songsang ditemui: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\kanan) $. Untuk menyemak kebenaran keputusan, sudah cukup untuk menyemak kebenaran salah satu kesamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita semak kesamaan $A^(-1)\cdot A=E$. Untuk mengurangkan penggunaan pecahan, kami akan menggantikan matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, dan dalam bentuk $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\kanan)$:
Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\kanan)$.
Contoh No. 3
Cari matriks songsang untuk matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Mari kita mulakan dengan mengira penentu matriks $A$. Jadi, penentu matriks $A$ ialah:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \kanan| = 18-36+56-12=26. $$
Oleh kerana $\Delta A\neq 0$, maka matriks songsang wujud, oleh itu kami akan meneruskan penyelesaiannya. Kami mencari pelengkap algebra bagi setiap elemen matriks tertentu:
Kami menyusun matriks penambahan algebra dan mengubahnya:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Menggunakan formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita dapat:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\mula(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan) $$
Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan)$. Untuk menyemak kebenaran keputusan, sudah cukup untuk menyemak kebenaran salah satu kesamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita semak kesamaan $A\cdot A^(-1)=E$. Untuk mengurangkan penggunaan pecahan, kami akan menggantikan matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, dan dalam bentuk $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Semakan berjaya, matriks songsang $A^(-1)$ ditemui dengan betul.
Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan)$.
Contoh No. 4
Cari songsangan matriks bagi matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Untuk matriks tertib keempat, mencari matriks songsang menggunakan penambahan algebra agak sukar. Walau bagaimanapun, contoh sedemikian berlaku dalam kertas ujian.
Untuk mencari songsangan matriks, anda perlu mengira penentu matriks $A$ terlebih dahulu. Cara terbaik untuk melakukan ini dalam situasi ini ialah mengembangkan penentu di sepanjang baris (lajur). Kami memilih mana-mana baris atau lajur dan mencari pelengkap algebra bagi setiap elemen baris atau lajur yang dipilih.