Dalam pelajaran ini, kita akan mengingati semua kaedah pemfaktoran polinomial yang telah dipelajari sebelumnya dan mempertimbangkan contoh aplikasinya, di samping itu, kita akan mengkaji kaedah baru - kaedah mengasingkan persegi lengkap dan belajar cara menggunakannya dalam menyelesaikan pelbagai masalah. .
Subjek:Pemfaktoran polinomial
Pelajaran:Pemfaktoran polinomial. Kaedah untuk memilih petak lengkap. Gabungan kaedah
Mari kita ingat kaedah asas pemfaktoran polinomial yang telah dikaji sebelum ini:
Kaedah meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, iaitu faktor yang hadir dalam semua sebutan polinomial. Mari lihat contoh:
Ingat bahawa monomial ialah hasil darab kuasa dan nombor. Dalam contoh kami, kedua-dua istilah mempunyai beberapa unsur yang sama dan sama.
Jadi, mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
;
Biar kami ingatkan anda bahawa dengan mendarabkan faktor yang dikeluarkan dengan kurungan, anda boleh menyemak ketepatan faktor yang dikeluarkan.
Kaedah pengelompokan. Ia tidak selalu mungkin untuk mengekstrak faktor sepunya dalam polinomial. Dalam kes ini, anda perlu membahagikan ahlinya kepada kumpulan sedemikian rupa sehingga dalam setiap kumpulan anda boleh mengambil faktor yang sama dan cuba memecahkannya supaya selepas mengambil faktor dalam kumpulan, faktor yang sama muncul dalam keseluruhan ungkapan, dan anda boleh meneruskan penguraian. Mari lihat contoh:
Mari kumpulkan penggal pertama dengan yang keempat, yang kedua dengan yang kelima, dan yang ketiga dengan yang keenam:
Mari kita ambil faktor biasa dalam kumpulan:
Ungkapan itu kini mempunyai faktor yang sama. Mari keluarkan:
Aplikasi rumus pendaraban yang disingkatkan. Mari lihat contoh:
;
Mari tulis ungkapan secara terperinci:
Jelas sekali, kita mempunyai formula untuk perbezaan kuasa dua, kerana ia adalah hasil tambah kuasa dua dua ungkapan dan hasil darab duanya ditolak daripadanya. Mari kita gunakan formula:
Hari ini kita akan mempelajari kaedah lain - kaedah memilih persegi lengkap. Ia berdasarkan formula kuasa dua jumlah dan kuasa dua perbezaan. Mari kita ingatkan mereka:
Formula untuk kuasa dua jumlah (perbezaan);
Keistimewaan formula ini ialah ia mengandungi petak dua ungkapan dan hasil gandaannya. Mari lihat contoh:
Mari kita tulis ungkapan:
Jadi, ungkapan pertama ialah , dan yang kedua ialah .
Untuk mencipta formula bagi kuasa dua jumlah atau perbezaan, dua kali hasil darab ungkapan tidak mencukupi. Ia perlu ditambah dan ditolak:
Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah itu:
Mari kita ubah ungkapan yang terhasil:
Mari kita gunakan formula untuk perbezaan kuasa dua, ingat bahawa perbezaan kuasa dua dua ungkapan ialah hasil darab dan hasil tambah perbezaannya:
Jadi, kaedah ini terdiri, pertama sekali, dalam mengenal pasti ungkapan a dan b yang kuasa dua, iaitu, menentukan ungkapan kuasa dua dalam contoh ini. Selepas ini, anda perlu menyemak kehadiran produk berganda dan jika ia tidak ada, kemudian tambah dan tolak, ini tidak akan mengubah maksud contoh, tetapi polinomial boleh difaktorkan menggunakan formula untuk kuasa dua jumlah atau perbezaan dan perbezaan kuasa dua, jika boleh.
Mari kita beralih kepada penyelesaian contoh.
Contoh 1 - pemfaktoran:
Mari cari ungkapan yang kuasa dua:
Mari kita tuliskan apakah produk berganda mereka:
Mari tambah dan tolak dua kali ganda hasil darab:
Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah dan berikan yang serupa:
Mari kita tulis menggunakan formula perbezaan kuasa dua:
Contoh 2 - selesaikan persamaan:
;
Di sebelah kiri persamaan ialah trinomial. Anda perlu memasukkannya ke dalam faktor. Kami menggunakan formula perbezaan kuasa dua:
Kami mempunyai kuasa dua ungkapan pertama dan hasil gandaan, kuasa dua ungkapan kedua tiada, mari tambah dan tolaknya:
Mari kita lipat segi empat sama lengkap dan berikan istilah yang serupa:
Mari gunakan formula perbezaan kuasa dua:
Jadi kita mempunyai persamaan 
Kita tahu bahawa produk adalah sama dengan sifar hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Mari kita buat persamaan berikut berdasarkan ini:
Mari kita selesaikan persamaan pertama:
Mari kita selesaikan persamaan kedua:
Jawapan: atau
;
Kami meneruskan sama dengan contoh sebelumnya - pilih kuasa dua perbezaan.
Formula pendaraban yang disingkatkan ialah alat yang sangat mudah untuk operasi dengan polinomial. Biasanya, ini membolehkan anda mengurangkan pembinaan polinomial kompleks kepada ungkapan kecil yang diwakili oleh binomial. Atau, dalam susunan yang berbeza, binomial padat mudah diperoleh daripada hasil darab dua polinomial.
Tindakan sedemikian adalah perlu apabila menyelesaikan persamaan remeh dan ketaksamaan, serta untuk pelbagai masalah pembuktian.
Dalam pelajaran video sebelumnya kita melihat formula untuk perbezaan segi empat sama dan perbezaan kubus. Mari cuba dapatkan formula tertib yang lebih tinggi - mari cari apakah perbezaan ungkapan kepada kuasa keempat adalah sama dengan:
Ungkapan ini agak mudah untuk diubah dengan menggantikan x 4 dan y 4 ungkapan kuadratik yang serupa (x 2) 2 dan (y 2) 2:
x 4 - y 4 = (x 2) 2 - (y 2) 2
Akibatnya, kita mendapat perbezaan segi empat sama, yang boleh diwakili menggunakan FSU asas sebagai:
(x 2) 2 - (y 2) 2 = (x 2 + y 2)(x 2 - y 2)
Sebaliknya, kurungan kedua bagi ungkapan yang terhasil mengandungi perbezaan segi empat sama, yang boleh ditukar dengan mudah:
(x 2 + y 2)(x 2 - y 2) = (x 2 + y 2)((x + y)(x - y))
Ia berikutan bahawa:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y)
Mari kita tinggalkan bahagian sepunya asas (x - y), dan gandakan baki dua ungkapan dalam kurungan:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y) = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
Mengapa perlu memilih (x - y) akan ditunjukkan kemudian. Jadi, kami telah menemui formula lain untuk perbezaan ungkapan kuasa. Kesamaan ini agak sukar untuk dinyatakan - walau bagaimanapun, perlu difahami bahawa ia secara logiknya sesuai dengan beberapa formula yang serupa untuk menentukan perbezaan antara segi empat sama dan kubus. Mari bandingkan formula ini antara satu sama lain untuk mencari corak umum:
x 2 - y 2 = (x - y)(x + y)
x 3 - y 3 = (x - y)(x 2 + 2xy + y 2)
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
Video dengan jelas menunjukkan bahawa perbezaan dalam pembolehubah kepada darjah yang berbeza-beza mempunyai beberapa corak. Semua ungkapan di sebelah kanan kesamaan terdiri daripada hasil dua polinomial, dan salah satu daripadanya sentiasa mempunyai bentuk x - y (perbezaan asal ungkapan). Yang kedua dibentuk oleh polinomial kompleks tertentu, bilangan monomial yang meningkat dengan darjah.
Untuk memperoleh formula umum yang akan membantu mengubah perbezaan pembolehubah dengan sebarang darjah kepada produk polinomial, adalah penting untuk memahami arah aliran umum dalam kesamaan susunan awal. Ambil perhatian bahawa polinomial kedua dalam produk kami ialah hasil tambah hasil berpasangan bagi dua ungkapan. Selain itu, darjah pembolehubah berada dalam hubungan songsang. Untuk menjadikannya lebih mudah untuk memahami corak ini, mari kita tulis semula kesamaan untuk perbezaan ungkapan darjah keempat dengan cara ini:
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 y 0 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 0 y 3)
Sebarang nombor kepada kuasa sifar semestinya sama dengan satu. Oleh itu, anda boleh menambah pembinaan dengan tahap sifar dengan selamat kepada mana-mana pembolehubah sebenar. Kami juga ingat bahawa mana-mana pembolehubah mempunyai darjah - jika ia tidak dinyatakan, ia adalah sama dengan satu. Peraturan untuk mengendalikan darjah ini memungkinkan untuk membentangkan kesaksamaan dalam bentuk yang lebih mudah difahami.
Sila ambil perhatian bahawa bilangan sebutan dalam polinomial kurungan kedua adalah sama dengan darjah utama (yang mana pembolehubah dalam perbezaan mempunyai). Menurut siri polinomial, darjah satu ungkapan berkurangan secara algebra, dan darjah kedua meningkat. Dalam kes ini, titik ekstrem untuk darjah ialah 0 dan darjah tertinggi bagi perbezaan awal ungkapan.
Dengan menggunakan pertimbangan ini, kami memperoleh formula untuk mencari perbezaan ungkapan darjah kelima:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4)
Sebagai permulaan, kita tulis faktor pertama (x - y) tanpa perubahan. Polinomial kedua akan mewakili jumlah lima unsur (ke tahap tertinggi). Unsur-unsur pula dibentuk oleh hasil darab pembolehubah dengan perubahan kuasa algebra, songsang dan saling berkaitan. Dalam polinomial:
x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4
x menurunkan darjah daripada 4 kepada 0, y meningkat daripada 0 kepada 4. Untuk ujian kendiri, adalah berguna untuk mengetahui bahawa jumlah darjah mana-mana monomial, dalam kes ini, akan sama dengan darjah tertinggi yang sama - 5 .
Apa yang tinggal ialah menulis formula dengan betul, menyingkirkan sifar darjah:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4)
Secara umum, untuk mana-mana darjah n kesamaan adalah benar:
(x) n - (y) n = (x - y)((x) n + (x) n-1 y…+x(y) n - 1 + y n)
Formula sejagat untuk mencari jumlah dua ungkapan dengan perbezaan ke-n diperoleh melalui penjelmaan bentuk:
x n + y n = x n - (-y n)
Menggunakan formula untuk perbezaan ungkapan yang diperoleh di atas, kami memperoleh kesamaan:
x n + y n = x n - (-y n) = (x + y)((x) n-1 - (x) n-2 y…- x(y) n - 2 + y n-1)
Disebabkan oleh fakta bahawa kuasa dua mana-mana ungkapan menghapuskan negatifnya, adalah mustahil dengan cara yang boleh diakses untuk mewakili jumlah kuasa dua (atau mana-mana kuasa genap) pembolehubah sebagai hasil darab dua polinomial.
Memfaktorkan polinomial. Bahagian 1
Pemfaktoran ialah teknik universal yang membantu menyelesaikan persamaan kompleks dan ketaksamaan. Pemikiran pertama yang perlu diingat semasa menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan di mana terdapat sifar di sebelah kanan ialah cuba memfaktorkan sebelah kiri.
Mari kita senaraikan yang utama cara untuk memfaktorkan polinomial:
- meletakkan faktor sepunya daripada kurungan
- menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan
- menggunakan formula untuk memfaktorkan trinomial kuadratik
- kaedah kumpulan
- membahagi polinomial dengan binomial
- kaedah pekali tidak pasti
Dalam artikel ini kita akan membincangkan secara terperinci mengenai tiga kaedah pertama; kita akan mempertimbangkan yang lain dalam artikel berikutnya.
1. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan.
Untuk mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, anda mesti mencarinya terlebih dahulu. Faktor pengganda biasa sama dengan pembahagi sepunya terbesar bagi semua pekali.
Bahagian surat faktor sepunya adalah sama dengan hasil kali ungkapan yang disertakan dalam setiap sebutan dengan eksponen terkecil.
Skim untuk menetapkan pengganda sepunya kelihatan seperti ini:
Perhatian!
Bilangan sebutan dalam kurungan adalah sama dengan bilangan sebutan dalam ungkapan asal. Jika salah satu istilah bertepatan dengan faktor sepunya, maka apabila membahagikannya dengan faktor sepunya, kita mendapat satu.
Contoh 1.
Faktorkan polinomial:
Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan. Untuk melakukan ini, kami akan mencarinya terlebih dahulu.
1. Cari pembahagi sepunya terbesar bagi semua pekali polinomial, i.e. nombor 20, 35 dan 15. Ia bersamaan dengan 5.
2. Kami menetapkan bahawa pembolehubah terkandung dalam semua sebutan, dan eksponennya yang terkecil adalah sama dengan 2. Pembolehubah terkandung dalam semua sebutan, dan eksponennya yang terkecil ialah 3.
Pembolehubah terkandung hanya dalam istilah kedua, jadi ia bukan sebahagian daripada faktor sepunya.
Jadi jumlah faktor ialah
3. Kami mengeluarkan pengganda daripada kurungan menggunakan rajah yang diberikan di atas:
Contoh 2. Selesaikan persamaan:
Penyelesaian. Mari kita memfaktorkan bahagian kiri persamaan. Mari kita keluarkan faktor daripada kurungan:
Jadi kita mendapat persamaan 
Mari kita samakan setiap faktor dengan sifar:
Kami mendapat - punca persamaan pertama.
Akar:
Jawapan: -1, 2, 4
2. Pemfaktoran menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan.
Jika bilangan sebutan dalam polinomial yang akan kita faktorkan adalah kurang daripada atau sama dengan tiga, maka kita cuba menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan.
1. Jika polinomial ialahperbezaan dua istilah, kemudian kami cuba memohon formula perbezaan kuasa dua:
atau perbezaan formula kubus:
Berikut adalah surat-suratnya dan menandakan nombor atau ungkapan algebra.
2. Jika polinomial ialah hasil tambah dua sebutan, maka mungkin ia boleh difaktorkan menggunakan jumlah formula kubus:
3. Jika polinomial terdiri daripada tiga istilah, maka kita cuba gunakan formula jumlah kuasa dua:
atau formula perbezaan kuasa dua:
Atau kita cuba memfaktorkan formula untuk memfaktorkan trinomial kuadratik:
Di sini dan ialah punca-punca persamaan kuadratik 
Contoh 3.Faktorkan ungkapan:
Penyelesaian. Kami mempunyai di hadapan kami jumlah dua istilah. Mari cuba gunakan formula untuk jumlah kubus. Untuk melakukan ini, anda perlu mewakili setiap istilah terlebih dahulu sebagai kubus bagi beberapa ungkapan, dan kemudian gunakan formula untuk jumlah kubus:
Contoh 4. Faktorkan ungkapan: 
Keputusan. Di sini kita mempunyai perbezaan kuasa dua dua ungkapan. Ungkapan pertama: , ungkapan kedua:
Mari gunakan formula untuk perbezaan kuasa dua:
Mari buka kurungan dan tambah istilah yang serupa, kita dapat:
Mari kita lihat contoh khusus tentang cara memfaktorkan polinomial.
Kami akan mengembangkan polinomial mengikut .
Polinomial faktor:
Mari kita semak sama ada terdapat faktor yang sama. ya, ia sama dengan 7cd. Mari kita keluarkan daripada kurungan:
Ungkapan dalam kurungan terdiri daripada dua istilah. Tidak ada lagi faktor sepunya, ungkapan itu bukan formula untuk jumlah kubus, yang bermaksud penguraian selesai.
Mari kita semak sama ada terdapat faktor yang sama. Tidak. Polinomial terdiri daripada tiga sebutan, jadi kami semak untuk melihat sama ada terdapat formula untuk segi empat sama lengkap. Dua sebutan ialah segi empat sama bagi ungkapan: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², sebutan ketiga adalah sama dengan hasil darab ungkapan ini: 2∙5x∙3y=30xy. Ini bermakna polinomial ini ialah segi empat sama sempurna. Oleh kerana hasil gandaan mempunyai tanda tolak, ia adalah:
Kami menyemak sama ada adalah mungkin untuk mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan. Terdapat faktor sepunya, ia adalah sama dengan a. Mari kita keluarkan daripada kurungan:
Terdapat dua istilah dalam kurungan. Kami menyemak sama ada terdapat formula untuk perbezaan segi empat sama atau perbezaan kubus. a² ialah kuasa dua a, 1=1². Ini bermakna ungkapan dalam kurungan boleh ditulis menggunakan formula perbezaan kuasa dua:
Terdapat faktor sepunya, ia bersamaan dengan 5. Mari kita keluarkan daripada kurungan:
dalam kurungan terdapat tiga sebutan. Kami menyemak sama ada ungkapan itu ialah segi empat sama sempurna. Dua sebutan ialah segi empat sama: 16=4² dan a² - kuasa dua a, sebutan ketiga adalah sama dengan hasil darab 4 dan a: 2∙4∙a=8a. Oleh itu, ia adalah segi empat sama sempurna. Oleh kerana semua istilah mempunyai tanda "+", ungkapan dalam kurungan ialah kuasa dua sempurna bagi hasil tambah:
Kami mengambil pengganda -2x keseluruhan daripada kurungan:
Dalam kurungan ialah hasil tambah dua sebutan. Kami menyemak sama ada ungkapan ini ialah jumlah kiub. 64=4³, x³- kubus x. Ini bermakna binomial boleh dikembangkan menggunakan formula:
Terdapat pengganda biasa. Tetapi, kerana polinomial terdiri daripada 4 sebutan, kita akan mula-mula, dan kemudian, keluarkan faktor sepunya daripada kurungan. Mari kumpulkan penggal pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga:
Dari kurungan pertama kita ambil faktor sepunya 4a, dari yang kedua - 8b:
Belum ada pengganda biasa. Untuk mendapatkannya, kami mengeluarkan "-" dari kurungan kedua, dan setiap tanda dalam kurungan berubah kepada sebaliknya:
Sekarang mari kita ambil faktor sepunya (1-3a) daripada kurungan:
Dalam kurungan kedua terdapat faktor sepunya 4 (ini adalah faktor yang sama yang kami tidak keluarkan daripada kurungan pada permulaan contoh):
Oleh kerana polinomial terdiri daripada empat sebutan, kami melakukan pengelompokan. Mari kumpulkan penggal pertama dengan yang kedua, yang ketiga dengan yang keempat:
Dalam kurungan pertama tiada faktor sepunya, tetapi terdapat formula untuk perbezaan segi empat sama, dalam kurungan kedua faktor sepunya ialah -5:
Pengganda sepunya telah muncul (4m-3n). Mari kita keluarkan daripada persamaan.
Polinomial ialah ungkapan yang terdiri daripada hasil tambah monomial. Yang terakhir ialah hasil darab pemalar (nombor) dan punca (atau punca) ungkapan kepada kuasa k. Dalam kes ini, kita bercakap tentang polinomial darjah k. Peluasan polinomial melibatkan transformasi ungkapan di mana istilah digantikan oleh faktor. Mari kita pertimbangkan cara utama untuk melaksanakan transformasi seperti ini.
Kaedah mengembangkan polinomial dengan mengasingkan faktor sepunya
Kaedah ini adalah berdasarkan undang-undang undang-undang pengedaran. Jadi, mn + mk = m * (n + k).
- Contoh: kembangkan 7y 2 + 2uy dan 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Walau bagaimanapun, faktor yang semestinya ada dalam setiap polinomial mungkin tidak selalu dijumpai, jadi kaedah ini tidak universal.
Kaedah pengembangan polinomial berdasarkan formula pendaraban yang disingkatkan
Formula pendaraban yang disingkatkan adalah sah untuk polinomial dalam mana-mana darjah. Secara umum, ungkapan transformasi kelihatan seperti ini:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), dengan k ialah wakil bagi nombor asli.
Formula yang paling kerap digunakan dalam amalan adalah untuk polinomial tertib kedua dan ketiga:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Contoh: kembangkan 25p 2 – 144b 2 dan 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Kaedah pengembangan polinomial - mengelompokkan istilah ungkapan
Kaedah ini dalam beberapa cara mempunyai persamaan dengan teknik untuk mendapatkan faktor sepunya, tetapi mempunyai beberapa perbezaan. Khususnya, sebelum mengasingkan faktor sepunya, monomial harus dikumpulkan. Pengelompokan adalah berdasarkan peraturan undang-undang gabungan dan komutatif.
Semua monomial yang dibentangkan dalam ungkapan dibahagikan kepada kumpulan, di mana setiap satu nilai sepunya diberikan supaya faktor kedua adalah sama dalam semua kumpulan. Secara umum, kaedah penguraian ini boleh diwakili sebagai ungkapan:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Contoh: tersebar 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Kaedah pengembangan polinomial - membentuk segi empat tepat
Kaedah ini adalah salah satu yang paling berkesan dalam mengurai polinomial. Pada peringkat awal, adalah perlu untuk menentukan monomial yang boleh "diruntuhkan" ke dalam kuasa dua perbezaan atau jumlah. Untuk melakukan ini, gunakan salah satu hubungan:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,
- Contoh: kembangkan ungkapan u 4 + 4u 2 – 1.
Antara monomialnya, mari kita pilih istilah yang membentuk segi empat sama lengkap: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Lengkapkan penjelmaan menggunakan peraturan pendaraban yang disingkatkan: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Itu. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
