Pecahan- satu bentuk mewakili nombor dalam matematik. Bar pecahan menandakan operasi bahagi. Penbilang pecahan dipanggil dividen, dan penyebut- pembahagi. Sebagai contoh, dalam pecahan pengangkanya ialah 5 dan penyebutnya ialah 7.
Betul Pecahan dipanggil di mana modulus pengangka lebih besar daripada modulus penyebut. Jika suatu pecahan adalah wajar, maka modulus nilainya sentiasa kurang daripada 1. Semua pecahan lain adalah salah.
Pecahan itu dipanggil bercampur-campur, jika ia ditulis sebagai integer dan pecahan. Ini adalah sama dengan jumlah nombor ini dan pecahan:
Sifat utama pecahan
Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab dengan nombor yang sama, maka nilai pecahan tidak akan berubah, iaitu, sebagai contoh,
Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya
Untuk membawa dua pecahan kepada penyebut sepunya, anda perlu:
- Darabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut kedua
- Darabkan pengangka pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
- Gantikan penyebut kedua-dua pecahan dengan hasil darabnya
Operasi dengan pecahan
Penambahan. Untuk menambah dua pecahan yang anda perlukan
- Tambahkan pengangka baru kedua-dua pecahan dan biarkan penyebutnya tidak berubah
Contoh:
Penolakan. Untuk menolak satu pecahan daripada yang lain, anda perlukan
- Kurangkan pecahan kepada penyebut biasa
- Kurangkan pengangka kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Contoh:
Pendaraban. Untuk mendarab satu pecahan dengan pecahan lain, darabkan pengangka dan penyebutnya:
Bahagian. Untuk membahagikan satu pecahan dengan yang lain, darabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan kalikan penyebut pecahan pertama dengan pengangka kedua:
Pecahan ialah nombor biasa dan juga boleh ditambah dan ditolak. Tetapi kerana mereka mempunyai penyebut, mereka memerlukan peraturan yang lebih kompleks daripada untuk integer.
Mari kita pertimbangkan kes termudah, apabila terdapat dua pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian:
Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menolak pengangka kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan sekali lagi biarkan penyebutnya tidak berubah.
Dalam setiap ungkapan, penyebut pecahan adalah sama. Dengan definisi menambah dan menolak pecahan kita dapat:
Seperti yang anda lihat, ia tidak rumit: kami hanya menambah atau menolak pengangka dan itu sahaja.
Tetapi walaupun dalam tindakan mudah itu, orang berjaya melakukan kesilapan. Apa yang paling sering dilupakan ialah penyebutnya tidak berubah. Sebagai contoh, apabila menambahnya, mereka juga mula menambah, dan ini pada asasnya salah.
Menghilangkan tabiat buruk menambah penyebut agak mudah. Cuba perkara yang sama semasa menolak. Akibatnya, penyebut akan menjadi sifar, dan pecahan akan (tiba-tiba!) kehilangan maknanya.
Oleh itu, ingat sekali dan untuk semua: apabila menambah dan menolak, penyebut tidak berubah!
Ramai orang juga membuat kesilapan apabila menambah beberapa pecahan negatif. Terdapat kekeliruan dengan tanda-tanda: di mana untuk meletakkan tolak dan di mana untuk meletakkan tambah.
Masalah ini juga sangat mudah untuk diselesaikan. Cukup untuk diingat bahawa tolak sebelum tanda pecahan sentiasa boleh dipindahkan ke pengangka - dan sebaliknya. Dan sudah tentu, jangan lupa dua peraturan mudah:
- Tambah dengan tolak memberikan tolak;
- Dua negatif membuat afirmatif.
Mari kita lihat semua ini dengan contoh khusus:
Tugasan. Cari maksud ungkapan:
Dalam kes pertama semuanya mudah, tetapi pada yang kedua kami memperkenalkan tolak ke dalam pengangka pecahan:
Apa yang perlu dilakukan jika penyebutnya berbeza
Anda tidak boleh menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza secara langsung. Sekurang-kurangnya, kaedah ini tidak saya ketahui. Walau bagaimanapun, pecahan asal sentiasa boleh ditulis semula supaya penyebutnya menjadi sama.
Terdapat banyak cara untuk menukar pecahan. Tiga daripadanya dibincangkan dalam pelajaran "Mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa", jadi kita tidak akan membincangkannya di sini. Mari lihat beberapa contoh:
Tugasan. Cari maksud ungkapan:
Dalam kes pertama, kami mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa menggunakan kaedah "silang-silang". Pada yang kedua kita akan mencari NOC. Ambil perhatian bahawa 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Faktor terakhir dalam pengembangan ini adalah sama, dan yang pertama adalah relatif utama. Oleh itu, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Apa yang perlu dilakukan jika pecahan mempunyai bahagian integer
Saya boleh menggembirakan anda: penyebut yang berbeza dalam pecahan bukanlah kejahatan terbesar. Lebih banyak ralat berlaku apabila keseluruhan bahagian diserlahkan dalam pecahan tambahan.
Sudah tentu, terdapat algoritma penambahan dan penolakan sendiri untuk pecahan tersebut, tetapi ia agak rumit dan memerlukan kajian yang panjang. Lebih baik gunakan rajah mudah di bawah:
- Tukarkan semua pecahan yang mengandungi bahagian integer kepada pecahan tak wajar. Kami memperoleh sebutan biasa (walaupun dengan penyebut yang berbeza), yang dikira mengikut peraturan yang dibincangkan di atas;
- Sebenarnya, hitung jumlah atau perbezaan pecahan yang terhasil. Akibatnya, kita secara praktikal akan mencari jawapannya;
- Jika ini sahaja yang diperlukan dalam masalah, kami melakukan transformasi songsang, i.e. Kami menyingkirkan pecahan tidak wajar dengan menyerlahkan keseluruhan bahagian.
Peraturan untuk beralih kepada pecahan tak wajar dan menyerlahkan keseluruhan bahagian diterangkan secara terperinci dalam pelajaran "Apakah itu pecahan berangka". Jika anda tidak ingat, pastikan anda mengulanginya. Contoh:
Tugasan. Cari maksud ungkapan:
Semuanya mudah di sini. Penyebut di dalam setiap ungkapan adalah sama, jadi yang tinggal hanyalah menukar semua pecahan kepada pecahan tak wajar dan mengira. Kami ada:
Untuk memudahkan pengiraan, saya telah melangkau beberapa langkah yang jelas dalam contoh terakhir.
Nota kecil pada dua contoh terakhir, di mana pecahan dengan bahagian integer diserlahkan ditolak. Tolak sebelum pecahan kedua bermakna keseluruhan pecahan ditolak, dan bukan keseluruhan bahagiannya sahaja.
Baca semula ayat ini sekali lagi, lihat contoh - dan fikirkannya. Di sinilah pemula membuat sejumlah besar kesilapan. Mereka suka memberikan masalah sedemikian pada ujian. Anda juga akan menemui mereka beberapa kali dalam ujian untuk pelajaran ini, yang akan diterbitkan tidak lama lagi.
Ringkasan: skim pengiraan am
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan algoritma umum yang akan membantu anda mencari jumlah atau perbezaan dua atau lebih pecahan:
- Jika satu atau lebih pecahan mempunyai bahagian integer, tukarkan pecahan ini kepada pecahan tak wajar;
- Bawa semua pecahan kepada penyebut biasa dalam apa jua cara yang sesuai untuk anda (melainkan, sudah tentu, penulis masalah melakukan ini);
- Tambah atau tolak nombor yang terhasil mengikut peraturan menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama;
- Jika boleh, pendekkan hasilnya. Jika pecahan tidak betul, pilih keseluruhan bahagian.
Ingat bahawa adalah lebih baik untuk menyerlahkan keseluruhan bahagian pada akhir masalah, sejurus sebelum menulis jawapan.
Hampir setiap pelajar darjah lima agak terkejut selepas perkenalan pertama mereka dengan pecahan biasa. Anda bukan sahaja perlu memahami intipati pecahan, tetapi anda juga perlu melakukan operasi aritmetik dengannya. Selepas ini, murid-murid kecil akan menyoal secara sistematik guru mereka untuk mengetahui bila pecahan ini akan berakhir.
Untuk mengelakkan situasi sedemikian, cukup sekadar menerangkan topik sukar ini kepada kanak-kanak semudah mungkin, dan sebaik-baiknya dengan cara yang suka bermain.
Intipati pecahan
Sebelum mempelajari apa itu pecahan, kanak-kanak mesti membiasakan diri dengan konsep tersebut kongsi . Kaedah bersekutu paling sesuai di sini.
Bayangkan keseluruhan kek yang dibahagikan kepada beberapa bahagian yang sama, katakan empat. Kemudian setiap keping kek boleh dipanggil bahagian. Jika anda mengambil satu daripada empat keping kek, ia akan menjadi satu perempat.
Saham adalah berbeza, kerana keseluruhannya boleh dibahagikan kepada bilangan bahagian yang sama sekali berbeza. Lebih banyak saham secara umum, lebih kecil ia, dan sebaliknya.
Supaya saham boleh ditetapkan, mereka menghasilkan konsep matematik seperti pecahan sepunya. Pecahan itu akan membolehkan kami menulis seberapa banyak saham yang diperlukan.
Komponen pecahan ialah pengangka dan penyebut, yang dipisahkan dengan garis pecahan atau garis miring. Ramai kanak-kanak tidak memahami maksud mereka, dan oleh itu intipati pecahan tidak jelas kepada mereka. Garis pecahan menunjukkan pembahagian, tidak ada yang rumit di sini.
Penyebut biasanya ditulis di bawah, di bawah garis pecahan atau di sebelah kanan garis hadapan. Ia menunjukkan bilangan bahagian keseluruhan. Pengangka, ia ditulis di atas garis pecahan atau di sebelah kiri garisan hadapan, menentukan bilangan bahagian yang diambil Contohnya, pecahan 4/7. Dalam kes ini, 7 ialah penyebut, menunjukkan bahawa terdapat hanya 7 bahagian, dan pengangka 4 menunjukkan bahawa empat daripada tujuh bahagian telah diambil.
Saham utama dan penulisannya dalam pecahan:
Selain pecahan biasa, terdapat juga pecahan perpuluhan.
Operasi dengan pecahan gred 5
Dalam gred lima mereka belajar melakukan semua operasi aritmetik dengan pecahan.
Semua operasi dengan pecahan dilakukan mengikut peraturan, dan anda tidak sepatutnya berharap bahawa tanpa mempelajari peraturan semuanya akan berjalan dengan sendirinya. Oleh itu, anda tidak seharusnya mengabaikan bahagian lisan kerja rumah matematik anda.
Kami telah pun memahami bahawa tatatanda perpuluhan dan pecahan biasa adalah berbeza, oleh itu operasi aritmetik akan dilakukan secara berbeza. Tindakan dengan pecahan biasa bergantung pada nombor yang terdapat dalam penyebut, dan dalam perpuluhan - selepas titik perpuluhan di sebelah kanan.
Bagi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama, algoritma untuk menambah dan menolak adalah sangat mudah. Kami melakukan tindakan hanya dengan pengangka.
Untuk pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda perlu mencari Penyebut Sepunya Terkecil (LCD). Ini ialah nombor yang boleh dibahagi oleh semua penyebut tanpa baki, dan akan menjadi nombor terkecil daripada nombor tersebut jika terdapat beberapa daripadanya.
Untuk menambah atau menolak pecahan perpuluhan, anda perlu menulisnya dalam lajur, dengan koma di bawah koma, dan menyamakan bilangan tempat perpuluhan jika perlu.
Untuk mendarab pecahan biasa, hanya cari hasil darab pengangka dan penyebut. Peraturan yang sangat mudah.
Pembahagian dilakukan mengikut algoritma berikut:
- Tulis dividen tidak berubah
- Tukarkan pembahagian kepada pendaraban
- Terbalikkan pembahagi (tulis pecahan salingan kepada pembahagi)
- Lakukan pendaraban
Penambahan pecahan, penjelasan
Mari kita lihat dengan lebih dekat cara menambah pecahan dan perpuluhan.
Seperti yang anda lihat dalam imej di atas, pecahan satu pertiga dan dua pertiga mempunyai penyebut sepunya tiga. Ini bermakna anda hanya perlu menambah pengangka satu dan dua, dan biarkan penyebut tidak berubah. Hasilnya ialah jumlah tiga pertiga. Jawapan ini, apabila pengangka dan penyebut pecahan adalah sama, boleh ditulis sebagai 1, kerana 3:3 = 1.
Anda perlu mencari hasil tambah pecahan dua pertiga dan dua persembilan. Dalam kes ini, penyebut adalah berbeza, 3 dan 9. Untuk melakukan penambahan, anda perlu mencari yang biasa. Ada cara yang sangat mudah. Kami memilih penyebut terbesar, ialah 9. Kami menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Oleh kerana 9:3 = 3 tanpa baki, oleh itu 9 sesuai sebagai penyebut biasa.
Langkah seterusnya ialah mencari faktor tambahan bagi setiap pengangka. Untuk melakukan ini, kita membahagikan penyebut sepunya 9 dengan penyebut setiap pecahan secara bergilir-gilir, nombor yang terhasil akan menjadi tambahan. majmuk Untuk pecahan pertama: 9:3 = 3, tambahkan 3 pada pengangka bagi pecahan pertama Untuk pecahan kedua: 9:9 = 1, anda tidak perlu menambah satu, kerana apabila didarab dengannya anda mendapat yang sama. nombor.
Sekarang kita darabkan pengangka dengan faktor tambahannya dan menambah hasilnya. Jumlah yang terhasil ialah pecahan daripada lapan persembilan.
Menambah perpuluhan mengikut peraturan yang sama seperti menambah nombor asli. Dalam lajur, digit ditulis di bawah digit. Satu-satunya perbezaan ialah dalam pecahan perpuluhan anda perlu meletakkan koma yang betul dalam keputusan. Untuk melakukan ini, pecahan ditulis dengan koma di bawah koma, dan secara keseluruhan anda hanya perlu memindahkan koma ke bawah.
Mari kita cari hasil tambah pecahan 38, 251 dan 1, 56. Untuk menjadikannya lebih mudah untuk melakukan tindakan, kita menyamakan bilangan tempat perpuluhan di sebelah kanan dengan menambah 0.
Tambah pecahan tanpa memberi perhatian kepada koma. Dan dalam jumlah yang terhasil, kita hanya menurunkan koma ke bawah. Jawapan: 39, 811.
Menolak pecahan, penjelasan
Untuk mencari perbezaan antara pecahan dua pertiga dan satu pertiga, anda perlu mengira perbezaan pengangka 2-1 = 1, dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Jawapannya memberikan perbezaan satu pertiga.
Mari kita cari perbezaan antara pecahan lima per enam dan tujuh persepuluh. Mencari penyebut biasa. Kami menggunakan kaedah pemilihan, daripada 6 dan 10 yang terbesar ialah 10. Kami semak: 10: 6 tidak boleh dibahagikan tanpa baki. Kami menambah 10 lagi, ternyata 20:6, yang juga tidak boleh dibahagikan tanpa baki. Sekali lagi kita tambah sebanyak 10, kita dapat 30:6 = 5. Penyebut sepunya ialah 30. Selain itu, NOZ boleh didapati menggunakan jadual pendaraban.
Mencari faktor tambahan. 30:6 = 5 - untuk pecahan pertama. 30:10 = 3 - untuk yang kedua. Kami mendarabkan pengangka dan pendaraban tambahannya. Kami mendapat minuend 25/30 dan tolak 21/30. Seterusnya, kita tolak pengangka dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Hasilnya ialah perbezaan 4/30. Pecahan boleh dikurangkan. Bahagikan dengan 2. Jawapannya ialah 2/15.
Membahagi perpuluhan gred 5
Topik ini membincangkan dua pilihan:
Mendarab perpuluhan gred 5
Ingat cara anda mendarab nombor asli, dengan cara yang sama seperti anda mencari hasil darab pecahan perpuluhan. Mula-mula, mari kita fikirkan cara untuk mendarab pecahan perpuluhan dengan nombor asli. Untuk ini:
Apabila mendarab pecahan perpuluhan dengan perpuluhan, kita bertindak dengan cara yang sama.
Pecahan Campuran Gred 5
Pelajar darjah lima suka memanggil pecahan tersebut tidak bercampur, tetapi<<смешные>>Mungkin lebih mudah untuk mengingati cara ini. Pecahan bercampur dipanggil sedemikian kerana ia dibuat dengan menggabungkan nombor asli bulat dan pecahan biasa.
Pecahan campuran terdiri daripada integer dan bahagian pecahan.
Apabila membaca pecahan sedemikian, mula-mula mereka menamakan keseluruhan bahagian, kemudian bahagian pecahan: satu keseluruhan dua pertiga, dua keseluruhan satu perlima, tiga keseluruhan dua perlima, empat pertiga perempat.
Bagaimanakah ia diperolehi, pecahan bercampur ini? Ia agak mudah. Apabila kita menerima pecahan tak wajar dalam jawapan (pecahan yang pengangkanya lebih besar daripada penyebutnya), kita mesti sentiasa menukarkannya kepada pecahan bercampur. Ia cukup untuk membahagikan pengangka dengan penyebut. Tindakan ini dipanggil memilih keseluruhan bahagian:
Menukar pecahan bercampur kembali kepada pecahan tak wajar juga mudah:
Contoh dengan pecahan perpuluhan gred 5 dengan penerangan
Contoh beberapa tindakan menimbulkan banyak persoalan kepada kanak-kanak. Mari kita lihat beberapa contoh sedemikian.
(0.4 8.25 - 2.025) : 0.5 =
Langkah pertama ialah mencari hasil darab nombor 8.25 dan 0.4. Kami melakukan pendaraban mengikut peraturan. Dalam jawapan, kira tiga digit dari kanan ke kiri dan letakkan koma.
Tindakan kedua ada dalam kurungan, inilah perbezaannya. Daripada 3,300 kita tolak 2,025. Kami merekodkan tindakan dalam lajur dengan koma di bawah koma.
Tindakan ketiga ialah pembahagian. Perbezaan yang terhasil dalam langkah kedua dibahagikan dengan 0.5. Koma dialihkan ke satu tempat. Keputusan 2.55.
Jawapan: 2.55.
(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =
Langkah pertama ialah jumlah dalam kurungan Tambahkan ke dalam lajur, ingat bahawa koma berada di bawah koma. Kami mendapat jawapan 1.00.
Tindakan kedua ialah perbezaan dari kurungan kedua. Memandangkan minuend mempunyai tempat perpuluhan yang lebih sedikit daripada subtrahend, kami menambah yang hilang. Hasil penolakan ialah 0.125.
Langkah ketiga ialah membahagikan jumlah dengan perbezaan. Koma dialihkan tiga tempat. Hasilnya ialah pembahagian 1000 dengan 125.
Jawapan: 8.
Contoh dengan pecahan biasa dengan penyebut berbeza gred 5 dengan penjelasan
Yang pertama Dalam contoh ini, kita dapati hasil tambah pecahan 5/8 dan 3/7. Penyebut sepunya ialah nombor 56. Cari faktor tambahan, bahagikan 56:8 = 7 dan 56:7 = 8. Tambahnya pada pecahan pertama dan kedua, masing-masing. Kami mendarabkan pengangka dan faktornya, kami mendapat jumlah pecahan 35/56 dan 24/56. Keputusannya ialah 59/56. Pecahan adalah tidak wajar, kami menukarnya kepada nombor bercampur Contoh yang selebihnya diselesaikan dengan cara yang sama.
Contoh dengan pecahan gred 5 untuk latihan
Untuk kemudahan, tukarkan pecahan bercampur kepada pecahan tak wajar dan laksanakan operasi.
Bagaimana untuk mengajar anak anda menyelesaikan pecahan dengan mudah menggunakan Legos
Dengan bantuan pembina sedemikian, anda bukan sahaja boleh mengembangkan imaginasi kanak-kanak, tetapi juga menerangkan dengan jelas dengan cara yang suka bermain apa itu bahagian dan pecahan.
Gambar di bawah menunjukkan bahawa satu bahagian dengan lapan bulatan adalah keseluruhan. Ini bermakna jika anda mengambil teka-teki dengan empat bulatan, anda mendapat separuh atau 1/2. Gambar jelas menunjukkan cara menyelesaikan contoh dengan Lego, jika anda mengira bulatan pada bahagian.
Anda boleh membina menara daripada beberapa bahagian dan labelkan setiap satu daripadanya, seperti dalam gambar di bawah. Sebagai contoh, mari kita ambil menara tujuh keping. Setiap bahagian set binaan hijau adalah 1/7. Jika anda menambah dua lagi pada satu bahagian tersebut, anda mendapat 3/7. Penjelasan visual bagi contoh 1/7+2/7 = 3/7.
Untuk mendapat A dalam matematik, jangan lupa untuk mempelajari peraturan dan mengamalkannya.
Artikel ini ialah pandangan umum tentang operasi dengan pecahan. Di sini kita akan merumuskan dan mewajarkan peraturan untuk penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian dan pengeksponenan bagi pecahan bentuk am A/B, di mana A dan B ialah beberapa nombor, ungkapan berangka atau ungkapan dengan pembolehubah. Seperti biasa, kami akan menyediakan bahan dengan contoh penjelasan dengan penerangan terperinci tentang penyelesaian.
Navigasi halaman.
Peraturan untuk melaksanakan operasi dengan pecahan berangka am
Mari kita bersetuju bahawa dengan pecahan berangka am yang kita maksudkan adalah pecahan di mana pengangka dan/atau penyebut boleh diwakili bukan sahaja oleh nombor asli, tetapi juga oleh nombor lain atau ungkapan berangka. Untuk kejelasan, berikut ialah beberapa contoh pecahan tersebut: , 
.
Kami tahu peraturan yang mana ia dijalankan. Menggunakan peraturan yang sama, anda boleh melakukan operasi dengan pecahan am:
Rasional untuk peraturan
Untuk mewajarkan kesahihan peraturan untuk melaksanakan operasi dengan pecahan berangka bentuk umum, anda boleh bermula dari perkara berikut:
- Garis miring pada dasarnya adalah tanda pembahagian,
- pembahagian dengan beberapa nombor bukan sifar boleh dianggap sebagai pendaraban dengan songsangan pembahagi (ini segera menerangkan peraturan untuk membahagi pecahan),
- sifat operasi dengan nombor nyata,
- dan pemahaman umumnya,
Mereka membenarkan anda melakukan transformasi berikut yang mewajarkan peraturan penambahan, penolakan pecahan dengan penyebut seperti dan tidak serupa, serta peraturan pendaraban pecahan: 
Contoh
Mari kita berikan contoh menjalankan operasi dengan pecahan am mengikut peraturan yang dipelajari dalam perenggan sebelumnya. Katakan segera bahawa biasanya, selepas melakukan operasi dengan pecahan, pecahan yang terhasil memerlukan pemudahan, dan proses memudahkan pecahan selalunya lebih rumit daripada melakukan tindakan sebelumnya. Kami tidak akan membincangkan secara terperinci mengenai penyederhanaan pecahan (transformasi yang sepadan dibincangkan dalam transformasi artikel pecahan), supaya tidak terganggu daripada topik yang menarik minat kita.
Mari kita mulakan dengan contoh menambah dan menolak pecahan dengan penyebut seperti. Mula-mula, mari tambah pecahan dan . Jelas sekali penyebutnya adalah sama. Mengikut peraturan yang sepadan, kita tuliskan pecahan yang pengangkanya sama dengan jumlah pengangka pecahan asal, dan biarkan penyebutnya sama, kita ada. Penambahan dilakukan, yang tinggal hanyalah untuk memudahkan pecahan yang terhasil: 
. Jadi, 
.
Penyelesaiannya boleh dikendalikan secara berbeza: mula-mula buat peralihan kepada pecahan biasa, dan kemudian lakukan penambahan. Dengan pendekatan ini kita ada 
.
Sekarang mari kita tolak daripada pecahan 
pecahan 
. Penyebut pecahan adalah sama, oleh itu, kita mengikuti peraturan untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama: 
Mari kita beralih kepada contoh menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza. Kesukaran utama di sini ialah membawa pecahan kepada penyebut biasa. Untuk pecahan am, ini adalah topik yang agak luas; kami akan menelitinya secara terperinci dalam artikel berasingan. membawa pecahan kepada penyebut yang sama. Buat masa ini, kami akan mengehadkan diri kami kepada beberapa cadangan umum, kerana pada masa ini kami lebih berminat dengan teknik melaksanakan operasi dengan pecahan.
Secara umum, prosesnya adalah serupa dengan mengurangkan pecahan biasa kepada penyebut biasa. Iaitu, penyebut dibentangkan dalam bentuk produk, kemudian semua faktor dari penyebut pecahan pertama diambil dan faktor yang hilang dari penyebut pecahan kedua ditambah kepadanya.
Apabila penyebut pecahan yang ditambah atau ditolak tidak mempunyai faktor sepunya, maka adalah logik untuk mengambil hasil darabnya sebagai penyebut sepunya. Mari kita beri contoh.
Katakan kita perlu melakukan penambahan pecahan dan 1/2. Di sini, sebagai penyebut biasa, adalah logik untuk mengambil hasil darab penyebut pecahan asal, iaitu, . Dalam kes ini, faktor tambahan untuk pecahan pertama ialah 2. Selepas mendarabkan pengangka dan penyebut dengannya, pecahan akan mengambil bentuk . Dan untuk pecahan kedua, faktor tambahan ialah ungkapan. Dengan bantuannya, pecahan 1/2 dikurangkan kepada bentuk . Yang tinggal hanyalah menambah pecahan yang terhasil dengan penyebut yang sama. Berikut ialah ringkasan keseluruhan penyelesaian: 
Dalam kes pecahan am, kita tidak lagi bercakap tentang penyebut biasa terendah, yang mana pecahan biasa biasanya dikurangkan. Walaupun dalam perkara ini ia masih dinasihatkan untuk berusaha untuk beberapa minimalism. Dengan ini kami ingin mengatakan bahawa anda tidak harus segera mengambil hasil darab penyebut pecahan asal sebagai penyebut biasa. Sebagai contoh, sama sekali tidak perlu mengambil penyebut biasa pecahan dan hasil darab 
. Di sini kita boleh ambil.
Mari kita beralih kepada contoh mendarab pecahan am. Mari kita darab pecahan dan . Peraturan untuk melakukan tindakan ini mengarahkan kita untuk menulis pecahan, yang pengangkanya adalah hasil darab pengangka pecahan asal, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut. Kami ada 
. Di sini, seperti dalam banyak kes lain apabila mendarab pecahan, anda boleh mengurangkan pecahan: 
.
Peraturan untuk membahagi pecahan membolehkan anda bergerak dari pembahagian ke pendaraban dengan pecahan salingan. Di sini anda perlu ingat bahawa untuk mendapatkan songsangan bagi pecahan tertentu, anda perlu menukar pengangka dan penyebut bagi pecahan yang diberi. Berikut ialah contoh peralihan daripada pembahagian pecahan berangka am kepada pendaraban: 
. Apa yang tinggal ialah melakukan pendaraban dan memudahkan pecahan yang terhasil (jika perlu, lihat transformasi ungkapan tidak rasional): 
Menyimpulkan maklumat dalam perenggan ini, ingat bahawa sebarang nombor atau ungkapan berangka boleh diwakili sebagai pecahan dengan penyebut 1, oleh itu, penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian nombor dan pecahan boleh dianggap sebagai melaksanakan operasi yang sepadan dengan pecahan, satu. yang mempunyai satu dalam penyebut . Sebagai contoh, menggantikan dalam ungkapan 
punca tiga dengan pecahan, kita beralih daripada mendarab pecahan dengan nombor kepada mendarab dua pecahan: 
.
Melakukan sesuatu dengan pecahan yang mengandungi pembolehubah
Peraturan dari bahagian pertama artikel ini juga digunakan untuk melaksanakan operasi dengan pecahan yang mengandungi pembolehubah. Mari kita mewajarkan yang pertama daripada mereka - peraturan untuk menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama, selebihnya dibuktikan dengan cara yang sama sekali.
Mari kita buktikan bahawa untuk mana-mana ungkapan A, C dan D (D tidak sama dengan sifar) kesamaan berlaku 
pada julat nilai pembolehubah yang dibenarkan.
Mari kita ambil satu set pembolehubah tertentu daripada ODZ. Biarkan ungkapan A, C dan D mengambil nilai a 0, c 0 dan d 0 untuk nilai pembolehubah ini. Kemudian menggantikan nilai pembolehubah dari set yang dipilih ke dalam ungkapan mengubahnya menjadi jumlah (perbezaan) pecahan berangka dengan penyebut serupa dalam bentuk , yang, mengikut peraturan penambahan (penolakan) pecahan berangka dengan penyebut yang serupa , adalah sama dengan . Tetapi menggantikan nilai pembolehubah dari set yang dipilih ke dalam ungkapan mengubahnya menjadi pecahan yang sama. Ini bermakna bahawa untuk set nilai pembolehubah yang dipilih daripada ODZ, nilai ungkapan dan adalah sama. Adalah jelas bahawa nilai-nilai ungkapan yang ditunjukkan akan sama untuk mana-mana set nilai pembolehubah lain dari ODZ, yang bermaksud bahawa ungkapan dan adalah sama sama, iaitu, kesamaan yang dibuktikan adalah benar .
Contoh penambahan dan penolakan pecahan dengan pembolehubah
Apabila penyebut pecahan yang ditambah atau dikurangkan adalah sama, maka semuanya agak mudah - pengangkanya ditambah atau dikurangkan, tetapi penyebutnya tetap sama. Jelaslah bahawa pecahan yang diperoleh selepas ini dipermudahkan jika perlu dan boleh.
Perhatikan bahawa kadangkala penyebut pecahan berbeza hanya pada pandangan pertama, tetapi sebenarnya ia adalah ungkapan yang sama, contohnya, 
dan , atau dan . Dan kadang-kadang cukup untuk memudahkan pecahan asal supaya penyebutnya yang serupa "muncul".
Contoh.
, b) 
, V) 
.
Penyelesaian.
a) Kita perlu menolak pecahan dengan penyebut yang sama. Mengikut peraturan yang sepadan, kita biarkan penyebutnya sama dan tolak pengangkanya, kita ada 
. Tindakan telah selesai. Tetapi anda juga boleh membuka kurungan dalam pengangka dan mengemukakan istilah yang serupa: 
.
b) Jelas sekali, penyebut bagi pecahan yang ditambah adalah sama. Oleh itu, kita menjumlahkan pengangka dan membiarkan penyebutnya sama: . Penambahan selesai. Tetapi mudah untuk melihat bahawa pecahan yang terhasil boleh dikurangkan. Sesungguhnya, pengangka bagi pecahan yang terhasil boleh diruntuhkan menggunakan formula kuasa dua jumlah sebagai (lgx+2) 2 (lihat formula untuk pendaraban singkatan), oleh itu penjelmaan berikut berlaku: 
.
c) Pecahan dalam jumlah mempunyai penyebut yang berbeza. Tetapi, setelah mengubah salah satu pecahan, anda boleh meneruskan untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Kami akan menunjukkan dua penyelesaian.
Cara pertama. Penyebut pecahan pertama boleh difaktorkan menggunakan rumus perbezaan kuasa dua, dan kemudian kurangkan pecahan ini: 
. Justeru, . Ia masih tidak menyakitkan untuk membebaskan diri anda daripada ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan: 
.
Cara kedua. Mendarab pengangka dan penyebut pecahan kedua dengan (ungkapan ini tidak pergi ke sifar untuk sebarang nilai pembolehubah x daripada ODZ untuk ungkapan asal) membolehkan anda mencapai dua matlamat sekaligus: bebaskan diri anda daripada ketidakrasionalan dan teruskan ke menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Kami ada 
Jawapan:
A) 
, b) 
, V) 
.
Contoh terakhir membawa kita kepada isu mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa. Di sana kami hampir secara tidak sengaja tiba pada penyebut yang sama dengan memudahkan salah satu pecahan tambahan. Tetapi dalam kebanyakan kes, apabila menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda perlu sengaja membawa pecahan kepada penyebut biasa. Untuk melakukan ini, biasanya penyebut pecahan dibentangkan dalam bentuk produk, semua faktor dari penyebut pecahan pertama diambil dan faktor yang hilang dari penyebut pecahan kedua ditambah kepada mereka.
Contoh.
Melakukan operasi dengan pecahan: a) 
, b) , c) 
.
Penyelesaian.
a) Tidak perlu melakukan apa-apa dengan penyebut pecahan. Sebagai penyebut biasa kami mengambil produk 
. Dalam kes ini, faktor tambahan untuk pecahan pertama ialah ungkapan, dan untuk pecahan kedua - nombor 3. Faktor tambahan ini membawa pecahan kepada penyebut biasa, yang kemudiannya membolehkan kita melakukan tindakan yang kita perlukan, kita mempunyai 
b) Dalam contoh ini, penyebut telah diwakili sebagai produk dan tidak memerlukan sebarang transformasi tambahan. Jelas sekali, faktor dalam penyebut berbeza hanya dalam eksponen, oleh itu, sebagai penyebut biasa kita mengambil hasil darab faktor dengan eksponen tertinggi, iaitu, 
. Maka faktor tambahan untuk pecahan pertama ialah x 4, dan untuk yang kedua - ln(x+1) . Sekarang kita sudah bersedia untuk menolak pecahan: 
c) Dan dalam kes ini, pertama kita akan bekerja dengan penyebut pecahan. Formula untuk perbezaan kuasa dua dan kuasa dua jumlah membolehkan kita beralih daripada jumlah asal kepada ungkapan 
. Sekarang jelas bahawa pecahan ini boleh dikurangkan kepada penyebut biasa 
. Dengan pendekatan ini, penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini: 
Jawapan:
A) 
b) 
V) 
Contoh mendarab pecahan dengan pembolehubah
Mendarab pecahan menghasilkan pecahan yang pengangkanya adalah hasil darab pembilang bagi pecahan asal, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebutnya. Di sini, seperti yang anda lihat, segala-galanya adalah biasa dan mudah, dan kami hanya boleh menambah bahawa pecahan yang diperoleh hasil daripada tindakan ini sering menjadi boleh dikurangkan. Dalam kes ini, ia dikurangkan, melainkan, tentu saja, ia perlu dan wajar.
Pengangka, dan yang dibahagikan dengan ialah penyebut.
Untuk menulis pecahan, mula-mula tulis pengangka, kemudian lukis garis mendatar di bawah nombor, dan tulis penyebut di bawah garis. Garis mendatar yang memisahkan pengangka dan penyebut dipanggil garis pecahan. Kadangkala ia digambarkan sebagai "/" atau "∕" serong. Dalam kes ini, pengangka ditulis di sebelah kiri baris, dan penyebut di sebelah kanan. Jadi, sebagai contoh, pecahan "dua pertiga" akan ditulis sebagai 2/3. Untuk kejelasan, pengangka biasanya ditulis di bahagian atas baris, dan penyebut di bahagian bawah, iaitu, bukannya 2/3 anda boleh mencari: ⅔.
Untuk mengira hasil darab pecahan, pertama kalikan pengangka satu pecahan kepada pengangka adalah berbeza. Tulis hasilnya dalam pengangka yang baru pecahan. Selepas ini, darabkan penyebutnya. Masukkan jumlah nilai dalam yang baharu pecahan. Sebagai contoh, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Untuk membahagi satu pecahan dengan pecahan yang lain, pertama kalikan pengangka yang pertama dengan penyebut yang kedua. Lakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua (pembahagi). Atau, sebelum melakukan semua tindakan, mula-mula "terbalikkan" pembahagi, jika ia lebih mudah untuk anda: penyebut harus muncul sebagai ganti pengangka. Kemudian darabkan penyebut dividen dengan penyebut baru pembahagi dan darabkan pengangkanya. Contohnya, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Sumber:
- Masalah pecahan asas
Nombor pecahan membolehkan anda menyatakan nilai tepat sesuatu kuantiti dalam bentuk yang berbeza. Anda boleh melakukan operasi matematik yang sama dengan pecahan seperti yang anda boleh dengan nombor bulat: penolakan, penambahan, pendaraban dan pembahagian. Untuk belajar membuat keputusan pecahan, kita mesti ingat beberapa ciri mereka. Mereka bergantung pada jenis pecahan, kehadiran bahagian integer, penyebut sepunya. Sesetengah operasi aritmetik memerlukan bahagian pecahan hasil dikurangkan selepas pelaksanaan.
Anda perlu
- - kalkulator
Arahan
Perhatikan nombor dengan teliti. Jika di antara pecahan terdapat perpuluhan dan tidak teratur, kadangkala lebih mudah untuk melakukan operasi dengan perpuluhan dahulu, dan kemudian menukarnya kepada bentuk tidak teratur. Boleh awak terjemah pecahan dalam bentuk ini pada mulanya, menulis nilai selepas titik perpuluhan dalam pengangka dan meletakkan 10 dalam penyebut. Jika perlu, kurangkan pecahan dengan membahagikan nombor di atas dan di bawah dengan satu pembahagi. Pecahan di mana keseluruhan bahagian diasingkan mesti ditukar kepada bentuk yang salah dengan mendarabnya dengan penyebut dan menambah pengangka kepada hasilnya. Nilai ini akan menjadi pengangka baharu pecahan. Untuk memilih keseluruhan bahagian daripada bahagian yang pada mulanya tidak betul pecahan, anda perlu membahagikan pengangka dengan penyebut. Tulis keseluruhan hasil daripada pecahan. Dan baki bahagian akan menjadi pengangka baru, penyebut pecahan ia tidak berubah. Untuk pecahan dengan bahagian integer, adalah mungkin untuk melakukan tindakan secara berasingan, pertama untuk integer dan kemudian untuk bahagian pecahan. Sebagai contoh, jumlah 1 2/3 dan 2 ¾ boleh dikira:
- Menukar pecahan kepada bentuk yang salah:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Penjumlahan bahagian integer dan pecahan berasingan bagi sebutan:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Tulis semula mereka menggunakan pemisah ":" dan teruskan dengan pembahagian biasa.
Untuk mendapatkan hasil akhir, kurangkan pecahan yang terhasil dengan membahagikan pengangka dan penyebut dengan satu nombor bulat, yang terbesar mungkin dalam kes ini. Dalam kes ini, mesti ada integer di atas dan di bawah garisan.
Nota
Jangan lakukan aritmetik dengan pecahan yang penyebutnya berbeza. Pilih nombor supaya apabila anda mendarabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengannya, hasilnya ialah penyebut kedua-dua pecahan adalah sama.
Nasihat yang berguna
Apabila menulis nombor pecahan, dividen ditulis di atas garisan. Kuantiti ini ditetapkan sebagai pengangka bagi pecahan. Pembahagi, atau penyebut, pecahan ditulis di bawah garisan. Sebagai contoh, satu setengah kilogram beras sebagai pecahan akan ditulis seperti berikut: 1 ½ kg beras. Jika penyebut pecahan ialah 10, pecahan itu dipanggil perpuluhan. Dalam kes ini, pengangka (dividen) ditulis di sebelah kanan keseluruhan bahagian, dipisahkan dengan koma: 1.5 kg beras. Untuk memudahkan pengiraan, pecahan sedemikian sentiasa boleh ditulis dalam bentuk yang salah: 1 2/10 kg kentang. Untuk memudahkan, anda boleh mengurangkan nilai pengangka dan penyebut dengan membahagikannya dengan satu integer. Dalam contoh ini, anda boleh bahagikan dengan 2. Hasilnya ialah 1 1/5 kg kentang. Pastikan nombor yang anda akan lakukan aritmetik dibentangkan dalam bentuk yang sama.