Menyelesaikan sistem ketaksamaan linear dengan pecahan. Sistem ketidaksamaan - maklumat asas

lihat juga Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear secara grafik, bentuk kanonik masalah pengaturcaraan linear

Sistem kekangan untuk masalah sedemikian terdiri daripada ketaksamaan dalam dua pembolehubah:
dan fungsi objektif mempunyai bentuk F = C 1 x + C 2 y yang perlu dimaksimumkan.

Mari jawab soalan: apakah pasangan nombor ( x; y) adakah penyelesaian kepada sistem ketaksamaan, iaitu, memenuhi setiap ketaksamaan secara serentak? Dengan kata lain, apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem secara grafik?
Mula-mula anda perlu memahami apakah penyelesaian kepada satu ketaksamaan linear dengan dua yang tidak diketahui.
Menyelesaikan ketaksamaan linear dengan dua tidak diketahui bermakna menentukan semua pasangan nilai yang tidak diketahui yang mana ketaksamaan itu dipegang.
Contohnya, ketidaksamaan 3 x – 5y≥ 42 pasangan memuaskan ( x , y): (100, 2); (3, –10), dsb. Tugasnya ialah mencari semua pasangan tersebut.
Mari kita pertimbangkan dua ketidaksamaan: kapak + oleh≤ c, kapak + oleh≥ c. Lurus kapak + oleh = c membahagikan satah kepada dua setengah satah supaya koordinat titik salah satu daripadanya memenuhi ketaksamaan kapak + oleh >c, dan ketidaksamaan yang lain kapak + +oleh <c.
Sesungguhnya, marilah kita mengambil satu titik dengan koordinat x = x 0 ; kemudian satu titik terletak pada garisan dan mempunyai absis x 0, mempunyai ordinat

Biar untuk kepastian a< 0, b>0, c>0. Semua mata dengan abscissa x 0 berbaring di atas P(contohnya, dot M), mempunyai y M>y 0 , dan semua titik di bawah titik P, dengan absis x 0 , mempunyai y N<y 0 . Sejak x 0 ialah titik arbitrari, maka akan sentiasa ada titik pada satu sisi garisan yang mana kapak+ oleh > c, membentuk separuh satah, dan di sisi lain - mata yang mana kapak + oleh< c.

Rajah 1

Tanda ketaksamaan dalam separuh satah bergantung pada nombor a, b , c.
Ini membayangkan kaedah berikut untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan linear secara grafik dalam dua pembolehubah. Untuk menyelesaikan sistem yang anda perlukan:

Untuk setiap ketaksamaan, tulis persamaan yang sepadan dengan ketaksamaan ini.
Bina garis lurus yang merupakan graf bagi fungsi yang ditentukan oleh persamaan.
Bagi setiap baris, tentukan separuh satah, yang diberikan oleh ketaksamaan. Untuk melakukan ini, ambil titik sewenang-wenangnya yang tidak terletak pada garis dan gantikan koordinatnya ke dalam ketaksamaan. jika ketaksamaan adalah benar, maka satah separuh yang mengandungi titik yang dipilih adalah penyelesaian kepada ketaksamaan asal. Jika ketaksamaan adalah palsu, maka satah separuh pada sisi lain garis ialah set penyelesaian kepada ketaksamaan ini.
Untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan, adalah perlu untuk mencari luas persilangan semua separuh satah yang merupakan penyelesaian kepada setiap ketaksamaan sistem.

Kawasan ini mungkin menjadi kosong, maka sistem ketidaksamaan tidak mempunyai penyelesaian dan tidak konsisten. Jika tidak, sistem itu dikatakan konsisten.
Mungkin terdapat nombor terhingga atau bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kawasan itu boleh menjadi poligon tertutup atau tidak terhad.

Mari kita lihat tiga contoh yang relevan.

Contoh 1. Selesaikan sistem secara grafik:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

pertimbangkan persamaan x+y–1=0 dan –2x–2y+5=0 sepadan dengan ketaksamaan;
Mari kita bina garis lurus yang diberikan oleh persamaan ini.

Rajah 2

Mari kita takrifkan separuh satah yang ditakrifkan oleh ketaksamaan. Mari kita ambil titik sewenang-wenangnya, mari (0; 0). Mari kita pertimbangkan x+ y– 1 0, gantikan titik (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Ini bermakna dalam separuh satah di mana titik (0; 0) terletak, x + y – 1 ≤ 0, iaitu. satah separuh yang terletak di bawah garis adalah penyelesaian kepada ketaksamaan pertama. Menggantikan titik ini (0; 0) kepada yang kedua, kita dapat: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. dalam setengah satah di mana titik (0; 0) terletak, –2 x – 2y+ 5≥ 0, dan kami ditanya di mana –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, oleh itu, dalam separuh satah yang lain - dalam satu di atas garis lurus.
Mari kita cari persilangan dua satah separuh ini. Garisan adalah selari, jadi satah tidak bersilang di mana-mana, yang bermaksud bahawa sistem ketaksamaan ini tidak mempunyai penyelesaian dan tidak konsisten.

Contoh 2. Cari penyelesaian secara grafik kepada sistem ketaksamaan:

Rajah 3
1. Mari tuliskan persamaan yang sepadan dengan ketaksamaan dan bina garis lurus.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Setelah memilih titik (0; 0), kami menentukan tanda-tanda ketaksamaan dalam separuh satah:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, i.e. x + 2y– 2 ≤ 0 dalam separuh satah di bawah garis lurus;
0 – 0 – 1 ≤ 0, iaitu. y –x– 1 ≤ 0 dalam separuh satah di bawah garis lurus;
0 + 2 =2 ≥ 0, i.e. y+ 2 ≥ 0 dalam satah separuh di atas garis lurus.
3. Persilangan ketiga-tiga satah separuh ini akan menjadi kawasan yang berbentuk segi tiga. Tidak sukar untuk mencari bucu rantau sebagai titik persilangan garis yang sepadan

Oleh itu, A(–3; –2), DALAM(0; 1), DENGAN(6; –2).

Mari kita pertimbangkan contoh lain di mana domain penyelesaian sistem yang terhasil tidak terhad.

penyelesaian ketidaksamaan dalam mod dalam talian penyelesaian hampir semua ketidaksamaan yang diberikan dalam talian. Matematik ketidaksamaan dalam talian untuk menyelesaikan matematik. Cari cepat penyelesaian ketidaksamaan dalam mod dalam talian. Laman web www.site membolehkan anda mencari penyelesaian hampir semua yang diberikan algebra, trigonometri atau ketidaksamaan transendental dalam talian. Apabila mempelajari hampir mana-mana cabang matematik pada peringkat yang berbeza, anda perlu membuat keputusan ketidaksamaan dalam talian. Untuk mendapatkan jawapan dengan segera, dan yang paling penting jawapan yang tepat, anda memerlukan sumber yang membolehkan anda melakukan ini. Terima kasih kepada laman web www.site menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian akan mengambil masa beberapa minit. Kelebihan utama www.site apabila menyelesaikan matematik ketidaksamaan dalam talian- ini adalah kelajuan dan ketepatan respons yang diberikan. Laman web ini mampu menyelesaikan sebarang ketaksamaan algebra dalam talian, ketaksamaan trigonometri dalam talian, ketidaksamaan transendental dalam talian, dan juga ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui dalam mod dalam talian. Ketaksamaan berfungsi sebagai alat matematik yang berkuasa penyelesaian masalah praktikal. Dengan bantuan ketaksamaan matematik adalah mungkin untuk menyatakan fakta dan hubungan yang mungkin kelihatan mengelirukan dan kompleks pada pandangan pertama. Kuantiti tidak diketahui ketidaksamaan boleh didapati dengan merumuskan masalah dalam matematik bahasa dalam bentuk ketidaksamaan Dan memutuskan menerima tugas dalam mod dalam talian di laman web www.site. mana-mana ketaksamaan algebra, ketaksamaan trigonometri atau ketidaksamaan mengandungi transendental ciri yang anda boleh dengan mudah memutuskan dalam talian dan dapatkan jawapan yang tepat. Apabila belajar sains semula jadi, anda pasti menghadapi keperluan penyelesaian kepada ketidaksamaan. Dalam kes ini, jawapan mestilah tepat dan mesti diperolehi dengan segera dalam mod dalam talian. Oleh itu untuk menyelesaikan ketaksamaan matematik dalam talian kami mengesyorkan tapak www.site, yang akan menjadi kalkulator yang sangat diperlukan untuk anda menyelesaikan ketaksamaan algebra dalam talian, ketaksamaan trigonometri dalam talian, dan juga ketidaksamaan transendental dalam talian atau ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui. Untuk masalah praktikal mencari penyelesaian dalam talian kepada pelbagai ketaksamaan matematik sumber www.. Penyelesaian ketidaksamaan dalam talian sendiri, adalah berguna untuk menyemak jawapan yang diterima menggunakan penyelesaian ketidaksamaan dalam talian di laman web www.site. Anda perlu menulis ketidaksamaan dengan betul dan segera dapatkan penyelesaian dalam talian, selepas itu semua yang tinggal ialah membandingkan jawapan dengan penyelesaian anda kepada ketaksamaan. Menyemak jawapan akan mengambil masa tidak lebih daripada satu minit, sudah memadai menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian dan bandingkan jawapan. Ini akan membantu anda mengelakkan kesilapan dalam keputusan dan betulkan jawapan dalam masa bila menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian jadilah ia algebra, trigonometri, transendental atau ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui.

Ketaksamaan dan sistem ketaksamaan adalah salah satu topik yang diliputi dalam algebra di sekolah menengah. Dari segi tahap kesukaran, ia bukanlah yang paling sukar, kerana ia mempunyai peraturan mudah (lebih lanjut mengenainya sedikit kemudian). Sebagai peraturan, pelajar sekolah belajar menyelesaikan sistem ketidaksamaan dengan mudah. Ini juga disebabkan oleh fakta bahawa guru hanya "melatih" pelajar mereka mengenai topik ini. Dan mereka tidak boleh tidak melakukan ini, kerana ia dikaji pada masa hadapan menggunakan kuantiti matematik lain, dan juga diuji pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan Peperiksaan Negeri Bersepadu. Dalam buku teks sekolah, topik ketidaksamaan dan sistem ketidaksamaan dibincangkan dengan sangat terperinci, jadi jika anda akan mempelajarinya, sebaiknya gunakannya. Artikel ini hanya meringkaskan bahan yang lebih besar dan mungkin terdapat beberapa peninggalan.

Konsep sistem ketaksamaan

Jika kita beralih kepada bahasa saintifik, kita boleh menentukan konsep "sistem ketaksamaan". Ini adalah model matematik yang mewakili beberapa ketaksamaan. Model ini, sudah tentu, memerlukan penyelesaian, dan ini akan menjadi jawapan umum untuk semua ketaksamaan sistem yang dicadangkan dalam tugas (biasanya ia ditulis seperti ini, sebagai contoh: "Selesaikan sistem ketaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6... "). Walau bagaimanapun, sebelum beralih kepada jenis dan kaedah penyelesaian, anda perlu memahami sesuatu yang lain.

Sistem ketaksamaan dan sistem persamaan

Apabila mempelajari topik baru, salah faham sering timbul. Di satu pihak, semuanya jelas dan anda ingin mula menyelesaikan tugas secepat mungkin, tetapi sebaliknya, beberapa aspek kekal dalam "bayangan" dan tidak difahami sepenuhnya. Selain itu, beberapa elemen pengetahuan yang telah diperoleh mungkin berkait dengan yang baharu. Akibat daripada "tindihan" ini, ralat sering berlaku.

Oleh itu, sebelum kita mula menganalisis topik kita, kita harus ingat perbezaan antara persamaan dan ketaksamaan dan sistemnya. Untuk melakukan ini, kita perlu sekali lagi menerangkan apa yang diwakili oleh konsep matematik ini. Persamaan sentiasa persamaan, dan ia sentiasa sama dengan sesuatu (dalam matematik perkataan ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketaksamaan ialah model di mana satu nilai sama ada lebih besar atau kurang daripada yang lain, atau mengandungi pernyataan bahawa mereka tidak sama. Oleh itu, dalam kes pertama, adalah sesuai untuk bercakap tentang kesamaan, dan dalam yang kedua, tidak kira betapa jelasnya ia mungkin terdengar dari nama itu sendiri, tentang ketidaksamaan data awal. Sistem persamaan dan ketaksamaan secara praktikalnya tidak berbeza antara satu sama lain dan kaedah untuk menyelesaikannya adalah sama. Satu-satunya perbezaan ialah dalam kes pertama kesamaan digunakan, dan dalam ketaksamaan kedua digunakan.

Jenis-jenis ketidaksamaan

Terdapat dua jenis ketaksamaan: berangka dan dengan pembolehubah yang tidak diketahui. Jenis pertama mewakili kuantiti yang disediakan (nombor) yang tidak sama antara satu sama lain, contohnya, 8 > 10. Yang kedua ialah ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah yang tidak diketahui (ditandakan dengan huruf abjad Latin, selalunya X). Pembolehubah ini perlu dicari. Bergantung pada bilangannya, model matematik membezakan antara ketaksamaan dengan satu (ia membentuk sistem ketaksamaan dengan satu pembolehubah) atau beberapa pembolehubah (mereka membentuk sistem ketaksamaan dengan beberapa pembolehubah).

Dua jenis terakhir, mengikut tahap pembinaannya dan tahap kerumitan penyelesaian, dibahagikan kepada mudah dan kompleks. Yang mudah juga dipanggil ketaksamaan linear. Mereka pula dibahagikan kepada ketat dan tidak ketat. Yang tegas secara khusus "mengatakan" bahawa satu kuantiti mestilah sama ada kurang atau lebih, jadi ini adalah ketidaksamaan tulen. Beberapa contoh boleh diberikan: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dsb. Yang tidak ketat juga termasuk kesaksamaan. Iaitu, satu nilai boleh lebih besar daripada atau sama dengan nilai lain (tanda “≥”) atau kurang daripada atau sama dengan nilai lain (tanda “≤”). Walaupun dalam ketaksamaan linear, pembolehubah tidak berada pada akar, kuasa dua, atau boleh dibahagikan dengan apa-apa, itulah sebabnya ia dipanggil "mudah." Yang kompleks melibatkan pembolehubah tidak diketahui yang memerlukan lebih banyak matematik untuk dicari. Mereka sering terletak dalam segi empat sama, kubus atau di bawah punca, mereka boleh menjadi modular, logaritma, pecahan, dll. Tetapi kerana tugas kita ialah keperluan untuk memahami penyelesaian sistem ketaksamaan, kita akan bercakap tentang sistem ketaksamaan linear . Walau bagaimanapun, sebelum itu, beberapa perkataan harus dikatakan tentang sifat mereka.

Sifat ketaksamaan

Sifat-sifat ketaksamaan termasuk yang berikut:

Tanda ketaksamaan diterbalikkan jika operasi digunakan untuk menukar susunan sisi (contohnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 2 ≥ t 1).
Kedua-dua belah ketaksamaan membenarkan anda menambah nombor yang sama pada dirinya sendiri (contohnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 1 + nombor ≤ t 2 + nombor).
Dua atau lebih ketaksamaan dengan tanda dalam arah yang sama membenarkan sisi kiri dan kanannya ditambah (contohnya, jika t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, maka t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab atau dibahagikan dengan nombor positif yang sama (contohnya, jika t 1 ≤ t 2 dan nombor ≤ 0, maka nombor · t 1 ≥ nombor · t 2).
Dua atau lebih ketaksamaan yang mempunyai sebutan positif dan tanda dalam arah yang sama membenarkan diri mereka didarab antara satu sama lain (contohnya, jika t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 kemudian t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
Kedua-dua bahagian ketidaksamaan membenarkan diri mereka didarab atau dibahagikan dengan nombor negatif yang sama, tetapi dalam kes ini tanda ketidaksamaan berubah (contohnya, jika t 1 ≤ t 2 dan nombor ≤ 0, maka nombor · t 1 ≥ nombor · t 2).
Semua ketaksamaan mempunyai sifat transitif (contohnya, jika t 1 ≤ t 2 dan t 2 ≤ t 3, maka t 1 ≤ t 3).

Sekarang, selepas mengkaji prinsip asas teori yang berkaitan dengan ketidaksamaan, kita boleh meneruskan secara langsung kepada pertimbangan peraturan untuk menyelesaikan sistem mereka.

Menyelesaikan sistem ketaksamaan. Maklumat am. Penyelesaian

Seperti yang dinyatakan di atas, penyelesaiannya ialah nilai pembolehubah yang sesuai untuk semua ketaksamaan sistem yang diberikan. Menyelesaikan sistem ketaksamaan ialah pelaksanaan operasi matematik yang akhirnya membawa kepada penyelesaian kepada keseluruhan sistem atau membuktikan bahawa ia tidak mempunyai penyelesaian. Dalam kes ini, pembolehubah dikatakan tergolong dalam set berangka kosong (ditulis seperti berikut: huruf yang menunjukkan pembolehubah∈ (tanda “kepunyaan”) ø (tanda “set kosong”), contohnya, x ∈ ø (baca: “Pembolehubah “x” tergolong dalam set kosong”). Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan: kaedah grafik, algebra, penggantian. Perlu diingat bahawa mereka merujuk kepada model matematik yang mempunyai beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Dalam kes di mana hanya terdapat satu, kaedah selang adalah sesuai.

Kaedah grafik

Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan beberapa kuantiti yang tidak diketahui (daripada dua dan ke atas). Terima kasih kepada kaedah ini, sistem ketaksamaan linear boleh diselesaikan dengan mudah dan cepat, jadi ia adalah kaedah yang paling biasa. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa memplot graf mengurangkan jumlah penulisan operasi matematik. Ia menjadi sangat menyenangkan untuk berehat sedikit dari pena, mengambil pensel dengan pembaris dan mulakan tindakan selanjutnya dengan bantuan mereka apabila banyak kerja telah dilakukan dan anda mahukan sedikit kelainan. Walau bagaimanapun, sesetengah orang tidak menyukai kaedah ini kerana mereka terpaksa melepaskan diri daripada tugas dan menukar aktiviti mental mereka kepada melukis. Walau bagaimanapun, ini adalah kaedah yang sangat berkesan.

Untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan menggunakan kaedah grafik, adalah perlu untuk memindahkan semua terma setiap ketaksamaan ke sebelah kirinya. Tanda-tanda akan diterbalikkan, sifar hendaklah ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap ketaksamaan perlu ditulis secara berasingan. Akibatnya, fungsi akan diperoleh daripada ketaksamaan. Selepas ini, anda boleh mengeluarkan pensel dan pembaris: kini anda perlu melukis graf bagi setiap fungsi yang diperolehi. Seluruh set nombor yang akan berada dalam selang persilangan mereka akan menjadi penyelesaian kepada sistem ketaksamaan.

Cara algebra

Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan dua pembolehubah yang tidak diketahui. Juga, ketidaksamaan mesti mempunyai tanda ketaksamaan yang sama (iaitu, ia mesti mengandungi sama ada hanya tanda "lebih besar daripada", atau hanya tanda "kurang daripada", dll.) Walaupun terdapat batasannya, kaedah ini juga lebih kompleks. Ia digunakan dalam dua peringkat.

Yang pertama melibatkan tindakan untuk menyingkirkan salah satu pembolehubah yang tidak diketahui. Mula-mula anda perlu memilihnya, kemudian semak kehadiran nombor di hadapan pembolehubah ini. Jika mereka tidak ada di sana (maka pembolehubah akan kelihatan seperti satu huruf), maka kita tidak mengubah apa-apa, jika ada (jenis pembolehubah akan menjadi, sebagai contoh, 5y atau 12y), maka perlu membuat pastikan bahawa dalam setiap ketaksamaan nombor di hadapan pembolehubah yang dipilih adalah sama. Untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan setiap sebutan ketaksamaan dengan faktor sepunya, contohnya, jika 3y ditulis dalam ketaksamaan pertama, dan 5y dalam kedua, maka anda perlu mendarabkan semua sebutan ketaksamaan pertama dengan 5 , dan yang kedua dengan 3. Anda mendapat 15y dan 15y, masing-masing.

Tahap kedua penyelesaian. Ia adalah perlu untuk memindahkan bahagian kiri setiap ketaksamaan ke bahagian kanannya, menukar tanda setiap istilah ke sebaliknya, dan tulis sifar di sebelah kanan. Kemudian datang bahagian yang menyeronokkan: menyingkirkan pembolehubah yang dipilih (atau dikenali sebagai "pengurangan") sambil menambah ketaksamaan. Ini mengakibatkan ketidaksamaan dengan satu pembolehubah yang perlu diselesaikan. Selepas ini, anda harus melakukan perkara yang sama, hanya dengan pembolehubah lain yang tidak diketahui. Keputusan yang diperolehi akan menjadi penyelesaian sistem.

Kaedah penggantian

Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan jika boleh memperkenalkan pembolehubah baharu. Lazimnya, kaedah ini digunakan apabila pembolehubah yang tidak diketahui dalam satu sebutan ketaksamaan dinaikkan kepada kuasa keempat, dan dalam istilah lain ia kuasa dua. Oleh itu, kaedah ini bertujuan untuk mengurangkan tahap ketidaksamaan dalam sistem. Ketaksamaan sampel x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 diselesaikan dengan cara ini. Pembolehubah baru diperkenalkan, contohnya t. Mereka menulis: "Biar t = x 2," kemudian model itu ditulis semula dalam bentuk baharu. Dalam kes kami, kami mendapat t 2 - t - 1 ≤0. Ketaksamaan ini perlu diselesaikan menggunakan kaedah selang (lebih lanjut mengenainya sedikit kemudian), kemudian kembali kepada pembolehubah X, kemudian lakukan perkara yang sama dengan ketaksamaan yang lain. Jawapan yang diterima akan menjadi penyelesaian sistem.

Kaedah selang waktu

Ini adalah cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem ketidaksamaan, dan pada masa yang sama ia adalah universal dan meluas. Ia digunakan di sekolah menengah dan juga di sekolah tinggi. Intipatinya terletak pada fakta bahawa pelajar mencari selang ketaksamaan pada garis nombor, yang dilukis dalam buku nota (ini bukan graf, tetapi hanya garis biasa dengan nombor). Di mana selang ketaksamaan bersilang, penyelesaian kepada sistem ditemui. Untuk menggunakan kaedah selang, anda perlu mengikuti langkah berikut:

Semua istilah bagi setiap ketaksamaan dipindahkan ke sebelah kiri dengan tanda berubah kepada sebaliknya (sifar ditulis di sebelah kanan).
Ketaksamaan ditulis secara berasingan, dan penyelesaian bagi setiap daripadanya ditentukan.
Persilangan ketaksamaan pada garis nombor ditemui. Semua nombor yang terletak di persimpangan ini akan menjadi penyelesaian.

Kaedah manakah yang harus saya gunakan?

Jelas sekali yang kelihatan paling mudah dan paling mudah, tetapi terdapat kes apabila tugas memerlukan kaedah tertentu. Selalunya mereka mengatakan bahawa anda perlu menyelesaikan sama ada menggunakan graf atau kaedah selang. Kaedah algebra dan penggantian digunakan sangat jarang atau tidak sama sekali, kerana ia agak rumit dan mengelirukan, dan selain itu, ia lebih digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada ketaksamaan, jadi anda harus menggunakan graf dan selang waktu. Mereka membawa kejelasan, yang tidak boleh tidak menyumbang kepada pelaksanaan operasi matematik yang cekap dan pantas.

Jika sesuatu tidak berjaya

Semasa mempelajari topik tertentu dalam algebra, secara semula jadi, masalah mungkin timbul dengan pemahamannya. Dan ini adalah perkara biasa, kerana otak kita direka sedemikian rupa sehingga ia tidak dapat memahami bahan yang kompleks dalam satu masa. Selalunya anda perlu membaca semula perenggan, mendapatkan bantuan daripada guru, atau berlatih menyelesaikan tugasan standard. Dalam kes kami, mereka kelihatan, sebagai contoh, seperti ini: "Selesaikan sistem ketaksamaan 3 x + 1 ≥ 0 dan 2 x - 1 > 3." Oleh itu, keinginan peribadi, bantuan daripada orang luar dan amalan membantu dalam memahami sebarang topik yang kompleks.

Penyelesai?

Buku penyelesaian juga sangat sesuai, bukan untuk menyalin kerja rumah, tetapi untuk membantu diri sendiri. Di dalamnya anda boleh menemui sistem ketidaksamaan dengan penyelesaian, lihat mereka (sebagai templat), cuba fahami dengan tepat bagaimana pengarang penyelesaian mengatasi tugas itu, dan kemudian cuba lakukan perkara yang sama sendiri.

Kesimpulan

Algebra adalah salah satu mata pelajaran yang paling sukar di sekolah. Nah, apa yang boleh anda lakukan? Matematik selalu seperti ini: bagi sesetengah orang ia mudah, tetapi bagi orang lain ia sukar. Tetapi dalam apa jua keadaan, harus diingat bahawa program pendidikan am disusun sedemikian rupa sehingga mana-mana pelajar dapat mengatasinya. Di samping itu, seseorang mesti mengingati bilangan pembantu yang besar. Sebahagian daripada mereka telah disebutkan di atas.

Menyelesaikan ketaksamaan. Terdapat pelbagai jenis ketidaksamaan dan memerlukan pendekatan yang berbeza untuk menyelesaikannya. Jika anda tidak mahu menghabiskan masa dan usaha untuk menyelesaikan ketidaksamaan atau menyelesaikan sendiri ketidaksamaan dan ingin menyemak sama ada anda mendapat jawapan yang betul, maka kami mencadangkan anda menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian dan menggunakan perkhidmatan Math24.su kami untuk ini. Ia menyelesaikan kedua-dua ketaksamaan linear dan kuadratik, termasuk ketaksamaan tidak rasional dan pecahan. Pastikan anda memasukkan kedua-dua belah ketidaksamaan dalam medan yang sesuai dan pilih tanda ketidaksamaan di antara mereka, kemudian klik butang "Penyelesaian". Untuk menunjukkan cara perkhidmatan melaksanakan penyelesaian ketaksamaan, anda boleh melihat pelbagai jenis contoh dan penyelesaiannya (dipilih di sebelah kanan butang "Selesaikan"). Perkhidmatan ini menyediakan kedua-dua selang penyelesaian dan nilai integer. Pengguna yang datang ke Math24.su buat kali pertama mengagumi kelajuan tinggi perkhidmatan, kerana anda boleh menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian dalam masa beberapa saat, dan anda boleh menggunakan perkhidmatan ini secara percuma tanpa had bilangan kali. Kerja perkhidmatan adalah automatik; pengiraan dilakukan oleh program, bukan seseorang. Anda tidak perlu memasang sebarang perisian pada komputer anda, mendaftar, memasukkan data peribadi atau e-mel. Taip dan kesilapan dalam pengiraan juga dikecualikan; hasil yang diperoleh boleh dipercayai 100%. Kelebihan menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian. Terima kasih kepada kelajuan tinggi dan kemudahan penggunaannya, perkhidmatan Math24.su telah menjadi pembantu yang boleh dipercayai untuk ramai pelajar sekolah dan pelajar. Ketidaksamaan sering ditemui dalam kurikulum sekolah dan kursus institut dalam matematik yang lebih tinggi, dan mereka yang menggunakan perkhidmatan dalam talian kami menerima kelebihan besar berbanding yang lain. Math24.su tersedia sepanjang masa, tidak memerlukan pendaftaran atau bayaran untuk digunakan, dan juga berbilang bahasa. Perkhidmatan dalam talian tidak boleh diabaikan oleh mereka yang mencari penyelesaian kepada ketidaksamaan sendiri. Lagipun, Math24.su ialah peluang terbaik untuk menyemak ketepatan pengiraan anda, mencari di mana kesilapan itu dilakukan dan melihat bagaimana pelbagai jenis ketidaksamaan diselesaikan. Satu lagi sebab mengapa ia akan menjadi lebih cekap untuk menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian adalah apabila menyelesaikan ketidaksamaan bukanlah tugas utama, tetapi hanya sebahagian daripadanya. Dalam kes ini, tidak ada gunanya menghabiskan banyak masa dan usaha untuk pengiraan, dan lebih baik mempercayakannya kepada perkhidmatan dalam talian, sementara anda menumpukan pada menyelesaikan masalah utama. Seperti yang anda lihat, perkhidmatan dalam talian untuk menyelesaikan ketidaksamaan akan berguna untuk mereka yang secara bebas menyelesaikan masalah matematik jenis ini, dan bagi mereka yang tidak mahu membuang masa dan usaha untuk pengiraan yang panjang, tetapi perlu mendapatkan jawapan dengan cepat. Oleh itu, apabila anda menghadapi ketaksamaan, jangan lupa untuk menggunakan perkhidmatan kami untuk menyelesaikan sebarang ketaksamaan dalam talian: linear, kuadratik, tidak rasional, trigonometri, logaritma. Apakah ketidaksamaan dan bagaimana ia ditetapkan. Ketaksamaan adalah bahagian belakang kesamaan dan sebagai konsep dikaitkan dengan perbandingan dua objek. Bergantung pada ciri-ciri objek yang dibandingkan, kita katakan lebih tinggi, lebih rendah, lebih pendek, lebih panjang, lebih tebal, lebih nipis, dll. Dalam matematik, makna ketidaksamaan tidak hilang, tetapi di sini kita bercakap tentang ketidaksamaan objek matematik: nombor, ungkapan, nilai kuantiti, angka, dll. Ia adalah kebiasaan untuk menggunakan beberapa tanda ketidaksamaan: , ≤, ≥. Ungkapan matematik dengan tanda sedemikian dipanggil ketaksamaan. Tanda > (lebih besar daripada) diletakkan di antara objek yang lebih besar dan lebih kecil. Ketaksamaan yang tidak ketat menggambarkan keadaan apabila satu ungkapan "tidak lebih" ("tidak kurang") daripada yang lain. “Tidak lebih” bermaksud kurang atau sama, dan “tidak kurang” bermaksud lebih atau sama.

Sistem ketidaksamaan Adalah menjadi kebiasaan untuk memanggil mana-mana set dua atau lebih ketaksamaan yang mengandungi kuantiti yang tidak diketahui.

Rumusan ini digambarkan dengan jelas, sebagai contoh, oleh yang berikut sistem ketidaksamaan:

Selesaikan sistem ketaksamaan - bermaksud untuk mencari semua nilai pembolehubah yang tidak diketahui di mana setiap ketidaksamaan sistem direalisasikan, atau untuk mewajarkan bahawa itu tidak wujud .

Ini bermakna bagi setiap individu ketidaksamaan sistem hitung pembolehubah yang tidak diketahui. Seterusnya, daripada nilai yang terhasil, pilih hanya nilai yang benar untuk kedua-dua ketaksamaan pertama dan kedua. Oleh itu, apabila menggantikan nilai yang dipilih, kedua-dua ketaksamaan sistem menjadi betul.

Mari kita lihat penyelesaian kepada beberapa ketidaksamaan:

Mari letakkan sepasang garis nombor satu di bawah yang lain; letakkan nilai di atas x, yang mana ketidaksamaan pertama tentang ( x> 1) menjadi benar, dan di bahagian bawah - nilai X, yang merupakan penyelesaian kepada ketaksamaan kedua ( X> 4).

Dengan membandingkan data pada garis nombor, ambil perhatian bahawa penyelesaian untuk kedua-duanya ketidaksamaan kehendak X> 4. Jawab, X> 4.

Contoh 2.

Mengira yang pertama ketidaksamaan kita dapat -3 X< -6, или x> 2, saat - X> -8, atau X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, di mana yang pertama direalisasikan sistem ketidaksamaan, dan ke garis nombor yang lebih rendah, semua nilai tersebut X, di mana ketidaksamaan kedua sistem direalisasikan.

Membandingkan data, kami mendapati bahawa kedua-duanya ketidaksamaan akan dilaksanakan untuk semua nilai X, diletakkan dari 2 hingga 8. Set nilai X menandakan ketaksamaan berganda 2 < X< 8.

Contoh 3. Kami akan mencari