Penyelesaian. A= . Mari cari r(A). Kerana matriks Dan mempunyai pesanan 3x4, kemudian perintah tertinggi bawah umur adalah sama dengan 3. Selain itu, semua bawah umur urutan ketiga adalah sama dengan sifar (semak sendiri). Bermakna, r(A)< 3. Возьмем главный bawah umur asas = -5-4 = -9 ≠ 0. Oleh itu r(A) =2.

Mari kita pertimbangkan matriks DENGAN = .

Ketiga kecil pesanan ≠ 0. Jadi r(C) = 3.

Sejak r(A) ≠ r(C) , maka sistem itu tidak konsisten.

Contoh 2. Tentukan keserasian sistem persamaan

Selesaikan sistem ini jika ternyata konsisten.

Penyelesaian.

A = , C = . Adalah jelas bahawa r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Oleh kerana detC = 0, maka r(C)< 4. Mari kita pertimbangkan bawah umur ketiga pesanan, terletak di sebelah kiri bucu atas matriks A dan C: = -23 ≠ 0. Jadi r(A) = r(C) = 3.

Nombor tidak diketahui dalam sistem n=3. Ini bermakna sistem telah keputusan sahaja. Dalam kes ini, persamaan keempat mewakili jumlah tiga yang pertama dan boleh diabaikan.

Mengikut formula Cramer kita dapat x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Kaedah matriks. Kaedah Gaussian

sistem n persamaan linear Dengan n yang tidak diketahui boleh diselesaikan kaedah matriks mengikut formula X = A -1 B (pada Δ ≠ 0), yang diperoleh daripada (2) dengan mendarab kedua-dua bahagian dengan A -1.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan

kaedah matriks (dalam bahagian 2.2 sistem ini telah diselesaikan menggunakan formula Cramer)

Penyelesaian. Δ = 10 ≠ 0 A = - matriks tidak merosot.

= (semak ini sendiri dengan membuat pengiraan yang diperlukan).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Jawab: .

Dari sudut praktikal kaedah dan formula matriks Kramer dikaitkan dengan sejumlah besar pengiraan, jadi keutamaan diberikan Kaedah Gaussian, yang terdiri daripada penghapusan berurutan yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, sistem persamaan dikurangkan kepada sistem yang setara dengan matriks lanjutan segi tiga (semua elemen di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar). Tindakan ini dipanggil pergerakan ke hadapan. Daripada sistem segi tiga yang terhasil, pembolehubah didapati menggunakan penggantian berturut-turut (terbalik).

Contoh 2. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss

(Di atas, sistem ini telah diselesaikan menggunakan formula Cramer dan kaedah matriks).

Penyelesaian.

Pergerakan langsung. Mari kita tulis matriks lanjutan dan gunakan transformasi asas mari bawa ke pandangan segi tiga:

~ ~ ~ ~ .

Kita mendapatkan sistem

terbalik. Daripada persamaan terakhir kita dapati X 3 = -6 dan gantikan nilai ini ke dalam persamaan kedua:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Jawab: .

2.5. Penyelesaian umum sistem persamaan linear

Biarkan sistem persamaan linear diberikan = b i(i=). Biarkan r(A) = r(C) = r, i.e. sistem adalah kolaboratif. Mana-mana terkecil r selain daripada sifar ialah bawah umur asas. Tanpa kehilangan keluasan, kita akan menganggap bahawa asas minor terletak dalam r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) baris pertama dan lajur matriks A. Membuang m-r lepas persamaan sistem, kami menulis sistem yang dipendekkan:

yang setara dengan yang asal. Mari kita namakan yang tidak diketahui x 1 ,….x r asas, dan x r +1 ,…, x r bebas dan pindahkan istilah yang mengandungi tidak diketahui bebas ke sebelah kanan persamaan sistem terpotong. Kami memperoleh sistem berkenaan dengan asas yang tidak diketahui:

yang bagi setiap set nilai yang tidak diketahui percuma x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r hanya mempunyai satu penyelesaian x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), ditemui oleh pemerintahan Cramer.

Penyelesaian Sepadan dipendekkan, dan oleh itu sistem asal mempunyai bentuk:

X(C 1 ,…, C n-r) = - penyelesaian umum sistem.

Jika dalam penyelesaian umum kami memberikan beberapa yang tidak diketahui percuma nilai angka, barulah kita dapat penyelesaiannya sistem linear, dipanggil peribadi.

Contoh. Wujudkan keserasian dan cari penyelesaian umum sistem

Penyelesaian. A = , C = .

Jadi Bagaimana r(A)= r(C) = 2 (lihat ini sendiri), maka sistem asal adalah konsisten dan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga (sejak r< 4).

Kami terus berurusan dengan sistem persamaan linear. Setakat ini kami telah mempertimbangkan sistem yang mempunyai penyelesaian yang unik. Sistem sedemikian boleh diselesaikan dalam apa jua cara: dengan kaedah penggantian(“sekolah”), mengikut formula Cramer, kaedah matriks, Kaedah Gaussian. Walau bagaimanapun, dalam amalan, dua lagi kes tersebar luas:

1) sistem tidak konsisten (tiada penyelesaian);

2) sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Untuk sistem ini, kaedah penyelesaian yang paling universal digunakan - Kaedah Gaussian. Malah, kaedah "sekolah" juga akan membawa kepada jawapan, tetapi dalam matematik yang lebih tinggi adalah kebiasaan untuk menggunakan kaedah Gaussian penghapusan berurutan tidak diketahui. Mereka yang tidak biasa dengan algoritma kaedah Gaussian, sila kaji pelajaran terlebih dahulu Kaedah Gaussian

Transformasi matriks asas itu sendiri adalah sama, perbezaannya adalah pada penghujung penyelesaian. Pertama, mari kita lihat beberapa contoh apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten).

Contoh 1

Apa yang menarik perhatian anda tentang sistem ini? Bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan pembolehubah. Terdapat teorem yang menyatakan: “Jika bilangan persamaan dalam sistem kuantiti kurang pembolehubah, maka sistem itu sama ada tidak konsisten atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga." Dan yang tinggal hanyalah untuk mengetahui.

Permulaan penyelesaian adalah benar-benar biasa - kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, mengurangkannya kepada pandangan melangkah:

(1). Pada langkah kiri atas kita perlu mendapatkan (+1) atau (–1). Tiada nombor sedemikian dalam lajur pertama, jadi menyusun semula baris tidak akan memberikan apa-apa. Unit ini perlu mengatur sendiri, dan ini boleh dilakukan dalam beberapa cara. Inilah yang kami lakukan. Pada baris pertama kita tambahkan baris ketiga, didarab dengan (–1).

(2). Sekarang kita mendapat dua sifar dalam lajur pertama. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama, didarab dengan 3. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama, didarab dengan 5.

(3). Selepas transformasi telah selesai, sentiasa dinasihatkan untuk melihat sama ada mungkin untuk memudahkan rentetan yang terhasil? boleh. Kami membahagikan baris kedua dengan 2, pada masa yang sama mendapatkan yang dikehendaki (–1) pada langkah kedua. Bahagikan baris ketiga dengan (–3).

(4). Tambah baris kedua ke baris ketiga. Mungkin semua orang perasan garis buruk yang terhasil daripada transformasi asas:

. Jelas bahawa ini tidak boleh begitu.

Sesungguhnya, mari kita tulis semula matriks yang terhasil

kembali kepada sistem persamaan linear:

Jika hasil daripada transformasi asas rentetan bentuk diperolehi , Di manaλ ialah nombor selain sifar, maka sistem tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian).

Bagaimana untuk menulis pengakhiran tugas? Anda perlu menulis frasa:

“Hasil daripada transformasi asas, rentetan bentuk diperolehi, di mana λ ≠ 0 " Jawapan: "Sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten)."

Sila ambil perhatian bahawa dalam kes ini tidak ada pembalikan algoritma Gaussian, tiada penyelesaian dan tiada apa-apa untuk dicari.

Contoh 2

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Kami mengingatkan anda sekali lagi bahawa penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian kami yang tidak dinyatakan oleh kaedah Gaussian algoritma yang tidak jelas, susunan tindakan dan tindakan itu sendiri mesti diteka dalam setiap kes secara bebas.

Yang lagi satu ciri teknikal penyelesaian: transformasi asas boleh dihentikan Sekaligus, sebaik sahaja baris seperti , di mana λ ≠ 0 . Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: andaikan selepas transformasi pertama matriks diperoleh

.

Matriks ini belum lagi dikurangkan kepada bentuk eselon, tetapi tidak ada keperluan untuk transformasi asas selanjutnya, kerana garis bentuk telah muncul, di mana λ ≠ 0 . Jawapan harus diberikan segera bahawa sistem tidak serasi.

Apabila sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian, ini hampir menjadi hadiah kepada pelajar, kerana fakta bahawa penyelesaian pendek diperoleh, kadang-kadang secara literal dalam 2-3 langkah. Tetapi segala-galanya di dunia ini seimbang, dan masalah di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga adalah lebih lama.

Contoh 3:

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Terdapat 4 persamaan dan 4 tidak diketahui, jadi sistem boleh sama ada mempunyai penyelesaian tunggal, atau tidak mempunyai penyelesaian, atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Walau apa pun, kaedah Gaussian akan membawa kita kepada jawapannya. Ini adalah serba boleh.

Permulaan lagi standard. Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Itu sahaja, dan anda takut.

(1). Sila ambil perhatian bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagi dengan 2, jadi 2 adalah baik pada langkah kiri atas. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama didarab dengan (–4). Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama didarab dengan (–2). Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama didarab dengan (–1).

Perhatian! Ramai yang mungkin tergoda dengan baris keempat tolak Barisan pertama. Ini boleh dilakukan, tetapi ia tidak perlu; pengalaman menunjukkan bahawa kebarangkalian ralat dalam pengiraan meningkat beberapa kali. Kami hanya menambah: ke baris keempat kami menambah baris pertama, didarab dengan (–1) - betul-betul!

(2). Tiga baris terakhir adalah berkadar, dua daripadanya boleh dipadamkan. Di sini sekali lagi kita perlu tunjukkan peningkatan perhatian, tetapi adakah garisan benar-benar berkadar? Untuk berada di bahagian yang selamat, adalah idea yang baik untuk mendarab baris kedua dengan (–1), dan membahagikan baris keempat dengan 2, menghasilkan tiga garisan yang sama. Dan hanya selepas itu keluarkan dua daripadanya. Hasil daripada transformasi asas, matriks lanjutan sistem dikurangkan kepada bentuk berperingkat:

Apabila menulis tugasan dalam buku nota, adalah dinasihatkan untuk membuat nota yang sama dalam pensel untuk kejelasan.

Mari kita tulis semula sistem persamaan yang sepadan:

Tiada bau penyelesaian tunggal "biasa" untuk sistem di sini. Garis teruk di mana λ ≠ 0, juga tidak. Ini bermakna bahawa ini adalah kes ketiga yang tinggal - sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Satu set penyelesaian tak terhingga kepada sistem ditulis secara ringkas dalam bentuk yang dipanggil penyelesaian umum sistem.

Kami mencari penyelesaian umum sistem menggunakan songsangan kaedah Gaussian. Untuk sistem persamaan dengan nombor tak terhingga konsep baru muncul: "pembolehubah asas" Dan "pembolehubah bebas". Mula-mula mari kita tentukan pembolehubah yang kita ada asas, dan pembolehubah yang mana - percuma. Tidak perlu menjelaskan istilah secara terperinci algebra linear, cuma ingat ada yang sebegitu pembolehubah asas Dan pembolehubah bebas.

Pembolehubah asas sentiasa "duduk" dengan ketat pada langkah matriks. DALAM dalam contoh ini pembolehubah asas ialah x 1 dan x 3 .

Pembolehubah bebas adalah segala-galanya yang tinggal pembolehubah yang tidak menerima langkah. Dalam kes kami terdapat dua daripadanya: x 2 dan x 4 – pembolehubah bebas.

Sekarang anda perlukan Semuapembolehubah asas ekspres hanya melaluipembolehubah bebas. Pembalikan algoritma Gaussian secara tradisinya berfungsi dari bawah ke atas. Daripada persamaan kedua sistem kita menyatakan pembolehubah asas x 3:

Sekarang lihat persamaan pertama: . Mula-mula kita menggantikan ungkapan yang ditemui ke dalamnya:

Ia kekal untuk menyatakan pembolehubah asas x 1 melalui pembolehubah bebas x 2 dan x 4:

Akhirnya kami mendapat apa yang kami perlukan - Semua pembolehubah asas ( x 1 dan x 3) dinyatakan hanya melalui pembolehubah bebas ( x 2 dan x 4):

Sebenarnya, penyelesaian umum sudah sedia:

.

Bagaimana untuk menulis penyelesaian am dengan betul? Pertama sekali, pembolehubah bebas ditulis ke dalam penyelesaian umum "dengan sendirinya" dan dengan ketat di tempatnya. DALAM dalam kes ini pembolehubah bebas x 2 dan x 4 hendaklah ditulis pada kedudukan kedua dan keempat:

.

Ungkapan yang terhasil untuk pembolehubah asas dan jelas perlu ditulis dalam kedudukan pertama dan ketiga:

Daripada penyelesaian umum sistem seseorang boleh menemui banyak yang tidak terhingga penyelesaian peribadi. Ia sangat mudah. Pembolehubah bebas x 2 dan x 4 dipanggil begitu kerana ia boleh diberikan sebarang nilai akhir. Nilai yang paling popular ialah nilai sifar, kerana ini adalah penyelesaian separa yang paling mudah diperoleh.

Menggantikan ( x 2 = 0; x 4 = 0) ke dalam penyelesaian umum, kita memperoleh salah satu daripada penyelesaian tertentu:

, atau merupakan penyelesaian tertentu yang sepadan dengan pembolehubah bebas dengan nilai ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Satu lagi pasangan manis adalah satu, mari kita gantikan ( x 2 = 1 dan x 4 = 1) ke dalam penyelesaian umum:

, iaitu (-1; 1; 1; 1) – satu lagi penyelesaian tertentu.

Adalah mudah untuk melihat bahawa sistem persamaan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga kerana kita boleh memberikan pembolehubah bebas mana-mana makna.

setiap satu penyelesaian tertentu mesti memuaskan kepada setiap persamaan sistem. Ini adalah asas untuk semakan "cepat" tentang ketepatan penyelesaian. Ambil, sebagai contoh, penyelesaian tertentu (-1; 1; 1; 1) dan gantikannya sebelah kiri setiap persamaan sistem asal:

Semuanya mesti bersatu. Dan dengan mana-mana penyelesaian tertentu yang anda terima, semuanya juga harus bersetuju.

Tegasnya, menyemak penyelesaian tertentu kadangkala menipu, i.e. beberapa penyelesaian tertentu mungkin memenuhi setiap persamaan sistem, tetapi penyelesaian umum itu sendiri sebenarnya didapati tidak betul. Oleh itu, pertama sekali, pengesahan penyelesaian umum adalah lebih teliti dan boleh dipercayai.

Bagaimana untuk menyemak penyelesaian umum yang terhasil ?

Ini tidak sukar, tetapi ia memerlukan banyak transformasi. Kita perlu mengambil ekspresi asas pembolehubah, dalam kes ini dan , dan gantikannya ke sebelah kiri setiap persamaan sistem.

Di sebelah kiri persamaan pertama sistem:

Bahagian kanan persamaan pertama awal sistem diperolehi.

Di sebelah kiri persamaan kedua sistem:

Bahagian kanan persamaan kedua awal sistem diperolehi.

Dan selanjutnya - ke bahagian kiri ketiga dan persamaan keempat sistem. Semakan ini mengambil masa yang lebih lama, tetapi menjamin 100% ketepatan penyelesaian keseluruhan. Di samping itu, beberapa tugas memerlukan menyemak penyelesaian umum.

Contoh 4:

Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian. Cari penyelesaian umum dan dua penyelesaian khusus. Semak penyelesaian umum.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Di sini, dengan cara ini, sekali lagi bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, yang bermaksud dengan serta-merta jelas bahawa sistem itu akan sama ada tidak konsisten atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Contoh 5:

Menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, cari dua penyelesaian tertentu dan semak penyelesaian umum

Penyelesaian: Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

(1). Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama didarab dengan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama didarab dengan 3.

(2). Pada baris ketiga kita tambahkan baris kedua, didarab dengan (–5). Pada baris keempat kita tambahkan baris kedua, didarab dengan (–7).

(3). Baris ketiga dan keempat adalah sama, kami memadamkan salah satu daripadanya. Inilah keindahannya:

Pembolehubah asas duduk di atas tangga, oleh itu - pembolehubah asas.

Terdapat hanya satu pembolehubah bebas yang tidak mendapat langkah di sini: .

(4). Pergerakan terbalik. Mari kita nyatakan pembolehubah asas melalui pembolehubah bebas:

Daripada persamaan ketiga:

Mari kita pertimbangkan persamaan kedua dan gantikan ungkapan yang ditemui ke dalamnya:

, , ,

Mari kita pertimbangkan persamaan pertama dan gantikan ungkapan yang ditemui dan ke dalamnya:

Oleh itu, penyelesaian umum dengan satu pembolehubah bebas x 4:

Sekali lagi, bagaimana keadaannya? Pembolehubah bebas x 4 duduk bersendirian di tempat keempat yang sah. Ungkapan yang terhasil untuk pembolehubah asas , , juga ada.

Marilah kita segera menyemak penyelesaian umum.

Kami menggantikan pembolehubah asas , , ke sebelah kiri setiap persamaan sistem:

Sisi kanan persamaan yang sepadan diperolehi, dengan itu penyelesaian am yang betul ditemui.

Sekarang dari penyelesaian umum yang ditemui kami memperoleh dua penyelesaian tertentu. Semua pembolehubah dinyatakan di sini melalui satu pembolehubah bebas x 4 . Tidak perlu memerah otak.

biarlah x 4 = 0 kemudian – penyelesaian khusus pertama.

biarlah x 4 = 1 kemudian – satu lagi penyelesaian peribadi.

Jawapan: Keputusan bersama: . Penyelesaian peribadi:

Dan .

Contoh 6:

Cari penyelesaian umum bagi sistem persamaan linear.

Kami telah menyemak penyelesaian umum, jawapannya boleh dipercayai. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian kami. Perkara utama ialah keputusan umum bertepatan. Ramai orang mungkin perasan momen yang tidak menyenangkan dalam penyelesaian: selalunya, apabila membalikkan kaedah Gauss, kami terpaksa bermain-main dengan pecahan biasa. Dalam amalan, ini sememangnya kes di mana tiada pecahan adalah lebih jarang berlaku. Bersedia dari segi mental dan, yang paling penting, dari segi teknikal.

Marilah kita memikirkan ciri-ciri penyelesaian yang tidak terdapat dalam contoh yang diselesaikan. Penyelesaian umum sistem kadangkala termasuk pemalar (atau pemalar).

Sebagai contoh, penyelesaian umum: . Di sini salah satu pembolehubah asas adalah sama dengan nombor tetap: . Tidak ada yang eksotik tentang ini, ia berlaku. Jelas sekali, dalam kes ini, sebarang penyelesaian tertentu akan mengandungi lima dalam kedudukan pertama.

Jarang, tetapi terdapat sistem di mana bilangan persamaan lebih kuantiti pembolehubah. Walau bagaimanapun, kaedah Gaussian berfungsi dalam keadaan yang paling teruk. Anda harus mengurangkan matriks lanjutan sistem dengan tenang kepada bentuk berperingkat menggunakan algoritma standard. Sistem sedemikian mungkin tidak konsisten, mungkin mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, dan, anehnya, mungkin mempunyai penyelesaian tunggal.

Mari kita ulangi nasihat kami - untuk berasa selesa apabila menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian, anda harus pandai menyelesaikan sekurang-kurangnya sedozen sistem.

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2:

Penyelesaian:Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat.

Transformasi asas dilakukan:

(1) Baris pertama dan ketiga telah ditukar.

(2) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan (–6). Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan (–7).

(3) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan (–1).

Hasil daripada transformasi asas, rentetan bentuk diperolehi, Di mana λ ≠ 0 .Ini bermakna sistem tidak konsisten.Jawapan: tiada penyelesaian.

Contoh 4:

Penyelesaian:Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Penukaran dilakukan:

(1). Baris pertama, didarab dengan 2, telah ditambahkan ke baris kedua.

Tiada unit untuk langkah kedua , dan transformasi (2) bertujuan untuk mendapatkannya.

(2). Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –3.

(3). Baris kedua dan ketiga telah ditukar (kami mengalihkan hasil -1 ke langkah kedua)

(4). Baris ketiga ditambahkan pada baris kedua, didarab dengan 3.

(5). Dua baris pertama mempunyai tandanya berubah (didarab dengan -1), baris ketiga dibahagikan dengan 14.

terbalik:

(1). Di sini adalah pembolehubah asas (yang terdapat pada langkah-langkah), dan – pembolehubah bebas (yang tidak mendapat langkah).

(2). Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas:

Daripada persamaan ketiga: .

(3). Pertimbangkan persamaan kedua:, penyelesaian peribadi:

Jawapan: Keputusan bersama:

Nombor kompleks

Dalam bahagian ini kami akan memperkenalkan konsep nombor kompleks, pertimbangkan algebra, trigonometri Dan bentuk eksponen nombor kompleks. Kami juga akan belajar cara melaksanakan operasi dengan nombor kompleks: penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, eksponen dan pengekstrakan akar.

Menguasai nombor kompleks tidak perlu apa-apa pengetahuan khusus daripada kursus matematik yang lebih tinggi, dan bahan itu boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah. Cukuplah sekadar mampu beraksi operasi algebra dengan nombor "biasa", dan ingat trigonometri.

Mula-mula, mari kita ingat Nombor "biasa". Dalam matematik mereka dipanggil ramai nombor nyata dan ditetapkan oleh surat itu R, atau R (menebal). Semua nombor nyata terletak pada garis nombor biasa:

Kumpulan nombor nyata sangat beraneka ragam - di sini terdapat nombor bulat, pecahan dan nombor tidak rasional. Dalam kes ini, setiap titik pada paksi nombor semestinya sepadan dengan beberapa nombor nyata.

Seperti yang jelas daripada Teorem Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kes boleh berlaku:

Kes pertama: sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik

(sistem adalah konsisten dan pasti)

Kes kedua: sistem persamaan linear mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

(sistem adalah konsisten dan tidak pasti)

** ,

mereka. pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah berkadar.

Kes ketiga: sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistem m persamaan linear dengan n dipanggil pembolehubah bukan sendi, jika dia tidak mempunyai penyelesaian tunggal, dan sendi, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem persamaan serentak yang hanya mempunyai satu penyelesaian dipanggil pasti, dan lebih daripada satu – tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer

Biar sistem diberikan

.

Berdasarkan teorem Cramer

………….
,

di mana
-

penentu sistem. Kami memperoleh penentu yang tinggal dengan menggantikan lajur dengan pekali pembolehubah yang sepadan (tidak diketahui) dengan istilah bebas:

Contoh 2.

.

Oleh itu, sistem itu pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu

Menggunakan formula Cramer kami dapati:

Jadi, (1; 0; -1) ialah satu-satunya penyelesaian kepada sistem.

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian, kaedah yang menentukan Kramer.

Jika dalam sistem persamaan linear tidak ada pembolehubah dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam penentu unsur-unsur yang sepadan adalah sama dengan sifar! Ini adalah contoh seterusnya.

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

.

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Lihat dengan teliti pada sistem persamaan dan pada penentu sistem dan ulangi jawapan kepada soalan di mana satu atau lebih elemen penentu adalah sama dengan sifar. Jadi penentunya bukan sama dengan sifar, oleh itu, sistem adalah pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Menggunakan formula Cramer kami dapati:

Jadi, penyelesaian kepada sistem ialah (2; -1; 1).

6. Sistem am linear persamaan algebra. Kaedah Gauss.

Seperti yang kita ingat, peraturan Cramer dan kaedah matriks tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Kaedah Gauss – alat yang paling berkuasa dan serba boleh untuk mencari penyelesaian kepada mana-mana sistem persamaan linear, yang dalam setiap kes akan membawa kita kepada jawapan! Algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes. Jika kaedah Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang penentu, maka untuk menggunakan kaedah Gauss anda hanya memerlukan pengetahuan operasi aritmetik, yang menjadikannya boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah kelas rendah.

Pertama, mari kita sistematikkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh:

1) Mempunyai penyelesaian yang unik.
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi bukan sendi).

Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan universal untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Dan kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel itu ditumpukan kepada situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes.

Mari kita kembali ke sistem yang paling mudah dari kelas Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?
dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.

Langkah pertama ialah menulis matriks sistem lanjutan:
. Saya fikir semua orang boleh melihat dengan prinsip apakah pekali ditulis. Bar menegak di dalam matriks tidak membawa apa-apa makna matematik– ini hanyalah coretan untuk memudahkan reka bentuk.

Rujukan:Saya cadangkan anda ingat syarat algebra linear. Matriks Sistem ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem Lanjutan– ini ialah matriks sistem yang sama ditambah lajur istilah bebas, dalam kes ini: . Untuk ringkasnya, mana-mana matriks boleh dipanggil matriks.

Selepas matriks sistem lanjutan ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas.

Transformasi asas berikut wujud:

1) rentetan matriks boleh disusun semula di beberapa tempat. Sebagai contoh, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, anda boleh menyusun semula baris pertama dan kedua tanpa rasa sakit:

2) Jika matriks mempunyai (atau telah muncul) berkadar (seperti kes istimewa– identical) baris, kemudian ia mengikuti padam Semua baris ini adalah daripada matriks kecuali satu. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah berkadar, jadi cukup untuk meninggalkan hanya satu daripadanya: .

3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam. Saya tidak akan melukis, sudah tentu, garis sifar ialah garisan di mana semua sifar.

4) Baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor bukan sifar. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Di sini adalah dinasihatkan untuk membahagikan baris pertama dengan –3, dan darab baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna kerana ia memudahkan transformasi selanjutnya matriks.

5) Transformasi ini menyebabkan paling sukar, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit sama ada. Untuk satu baris matriks anda boleh tambah satu lagi rentetan didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar. Pertimbangkan matriks kami contoh praktikal: . Mula-mula saya akan menerangkan transformasi dengan terperinci. Darab baris pertama dengan –2: , Dan ke baris kedua kita tambah baris pertama didarab dengan –2: . Sekarang baris pertama boleh dibahagikan "kembali" dengan –2: . Seperti yang anda lihat, baris yang DITAMBAH LI – tidak berubah. Sentiasa baris KEPADA YANG DITAMBAH berubah UT.

Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak menulisnya secara terperinci, tetapi menulisnya secara ringkas:

Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan –2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, dengan proses pengiraan mental berjalan seperti ini:

"Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama: »

“Lajur pertama. Di bahagian bawah saya perlu mendapat sifar. Oleh itu, saya mendarabkan yang di bahagian atas dengan –2: , dan menambah yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

“Sekarang ruangan kedua. Di bahagian atas, saya darab -1 dengan -2: . Saya menambah yang pertama pada baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

“Dan lajur ketiga. Di bahagian atas saya darab -5 dengan -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

Sila fikirkan dengan teliti tentang contoh ini dan fahami algoritma berurutan pengiraan, jika anda memahami ini, maka kaedah Gaussian boleh dikatakan "di dalam poket anda." Tetapi, sudah tentu, kami masih akan mengusahakan transformasi ini.

Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tak boleh pakai, jika anda ditawarkan tugasan di mana matriks diberikan "sendiri". Contohnya, dengan "klasik" operasi dengan matriks Dalam apa jua keadaan, anda tidak boleh menyusun semula apa-apa di dalam matriks!

Mari kembali ke sistem kami. Ia boleh dipecahkan.

Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah:

(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Dan sekali lagi: mengapa kita darab baris pertama dengan –2? Untuk mendapatkan sifar di bahagian bawah, yang bermaksud menyingkirkan satu pembolehubah dalam baris kedua.

(2) Bahagikan baris kedua dengan 3.

Tujuan transformasi asas – kurangkan matriks kepada bentuk berperingkat: . Dalam reka bentuk tugas, mereka hanya menandakan "tangga" dengan pensil mudah, dan juga melingkari nombor yang terletak pada "langkah". Istilah "pandangan berperingkat" itu sendiri tidak sepenuhnya teori, dalam saintifik dan sastera pendidikan ia sering dipanggil pandangan trapezoid atau pandangan segi tiga.

Hasil daripada transformasi asas, kami memperoleh bersamaan sistem persamaan asal:

Kini sistem perlu "dilepaskan" masuk arah terbalik– dari bawah ke atas, proses ini dipanggil songsang kaedah Gaussian.

Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah ada hasil selesai: .

Mari kita pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan ke dalamnya nilai yang diketahui"Y":

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa apabila kaedah Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss:

Mari kita tulis matriks lanjutan sistem:

Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kami perolehi semasa penyelesaian:

Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana hendak bermula?

Pertama, lihat nombor kiri atas:

Hampir selalu ada di sini unit. Secara umumnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) akan berjaya, tetapi entah bagaimana secara tradisinya berlaku bahawa nombor itu biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik.

Unit di penjuru kiri sebelah atas disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini:

Kami mendapat sifar menggunakan transformasi "sukar". Mula-mula kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apakah yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sifar pada kedudukan pertama? Perlu ke baris kedua tambah baris pertama didarab dengan –2. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melaksanakan (sekali lagi secara mental atau pada draf) tambahan, ke baris kedua kita tambah baris pertama, sudah didarab dengan –2:

Kami menulis hasilnya dalam baris kedua:

Kami berurusan dengan baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan sifar dalam kedudukan pertama, anda perlukan ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambah baris pertama didarab dengan –3:

Kami menulis hasilnya dalam baris ketiga:

Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah:

Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "memasukkan" keputusan konsisten dan selalunya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan perlahan-lahan menghembus diri - SECARA KONSISTEN dan SECARA PERHATIAN:


Dan saya telah membincangkan proses mental pengiraan sendiri di atas.

Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan; kita membahagikan baris kedua dengan –5 (kerana semua nombor di sana boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki). Pada masa yang sama, kami membahagikan baris ketiga dengan –2, kerana apa kurang bilangan, lebih mudah penyelesaiannya:

hidup peringkat akhir transformasi asas yang anda perlukan untuk mendapatkan satu lagi sifar di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua didarab dengan –2:


Cuba fikirkan sendiri tindakan ini - darab baris kedua secara mental dengan –2 dan lakukan penambahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3.

Hasil daripada transformasi asas, sistem persamaan linear yang setara telah diperolehi:

Sejuk.

Kini kebalikan kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas.

Dalam persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil sedia:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "zet" sudah diketahui, oleh itu:

Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Igrek" dan "zet" diketahui, ia hanya soal perkara kecil:

Jawab:

Seperti yang telah berulang kali dinyatakan, untuk mana-mana sistem persamaan adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini mudah dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran.

Perlu diingatkan bahawa anda kemajuan keputusan mungkin tidak bertepatan dengan proses keputusan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama!

Contoh 3

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Kami melihat di kiri atas "langkah". Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini:
(1) Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.

Sekarang di bahagian atas sebelah kiri terdapat "tolak satu", yang sesuai dengan kita. Sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan gerak isyarat tambahan: darab baris pertama dengan –1 (tukar tandanya).

(2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah pada baris kedua.

(3) Baris pertama didarab dengan –1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga telah diubah dan ia dipindahkan ke tempat kedua, supaya pada "langkah" kedua kami mempunyai unit yang diperlukan.

(4) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 2.

(5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

Tanda buruk yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (lebih jarang, kesilapan menaip) ialah garis bawah yang "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti , di bawah, dan, sewajarnya, , maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa ralat telah dibuat semasa transformasi asas.

Kami mengecas sebaliknya, dalam reka bentuk contoh mereka sering tidak menulis semula sistem itu sendiri, tetapi persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan." Lejang terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas. Ya, inilah hadiahnya:

Jawab: .

Contoh 4

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, ia adalah lebih rumit. Tidak mengapa jika ada yang keliru. Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya.

Pada bahagian terakhir kita akan melihat beberapa ciri algoritma Gaussian.
Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan sistem, contohnya:

Bagaimana untuk menulis matriks sistem lanjutan dengan betul? Saya sudah bercakap tentang perkara ini di dalam kelas. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks lanjutan sistem, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang:

By the way, itu cantik contoh mudah, memandangkan sudah ada satu sifar dalam lajur pertama dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan.

Ciri kedua ialah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami meletakkan sama ada -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nombor lain di sana? Dalam beberapa kes mereka boleh. Pertimbangkan sistem: .

Di sini di sebelah kiri atas "langkah" kita mempunyai dua. Tetapi kita perhatikan hakikat bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki - dan yang lain ialah dua dan enam. Dan dua di kiri atas akan sesuai dengan kita! Dalam langkah pertama, anda perlu melakukan transformasi berikut: tambah baris pertama didarab dengan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Dengan cara ini kita akan mendapat sifar yang diperlukan dalam lajur pertama.

Atau contoh konvensional lain: . Di sini tiga pada "langkah" kedua juga sesuai dengan kita, kerana 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan sifar) boleh dibahagikan dengan 3 tanpa baki. Adalah perlu untuk menjalankan transformasi berikut: tambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan -4, akibatnya sifar yang kita perlukan akan diperolehi.

Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Anda dengan yakin boleh belajar menyelesaikan sistem menggunakan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) secara literal pada kali pertama - mereka mempunyai algoritma yang sangat ketat. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gaussian, anda perlu menguasainya dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan dan kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis tentang ini.

Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap.... Oleh itu, untuk semua orang yang ingin lebih contoh yang kompleks untuk penyelesaian bebas:

Contoh 5

Selesaikan dengan kaedah Gaussian sistem empat persamaan linear dengan empat yang tidak diketahui.

Tugas sedemikian tidak begitu jarang dalam amalan. Saya fikir walaupun teko yang telah mengkaji halaman ini dengan teliti akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara intuitif. Pada asasnya, semuanya adalah sama - hanya terdapat lebih banyak tindakan.

Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dibincangkan dalam pelajaran Sistem yang tidak serasi dan sistem dengan keputusan umum . Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gaussian yang dipertimbangkan.

Semoga anda berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat.


Transformasi asas dilakukan:
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan -1. Perhatian! Di sini anda mungkin tergoda untuk menolak yang pertama dari baris ketiga, saya sangat mengesyorkan untuk tidak menolaknya - risiko ralat meningkat dengan ketara. Lipat sahaja!
(2) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. Nota, bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah.
(3) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 5.
(4) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.

terbalik:

Jawab: .

Contoh 4: Penyelesaian: Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Penukaran dilakukan:
(1) Baris kedua telah ditambahkan pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah".
(2) Baris pertama didarab dengan 7 telah ditambah pada baris kedua.

Dengan "langkah" kedua semuanya menjadi lebih teruk, "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki

(3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1.
(4) Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –3.
Item yang diperlukan pada langkah kedua telah diterima. .
(5) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 6.

Sebagai sebahagian daripada pelajaran Kaedah Gaussian Dan Sistem/sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama kami pertimbangkan sistem heterogen persamaan linear, Di mana ahli percuma(yang selalunya di sebelah kanan) sekurang-kurangnya satu daripada persamaan adalah berbeza daripada sifar.
Dan sekarang, selepas memanaskan badan dengan baik pangkat matriks, kami akan terus menggilap teknik tersebut transformasi asas pada sistem homogen persamaan linear.
Berdasarkan perenggan pertama, bahan itu mungkin kelihatan membosankan dan biasa-biasa saja, tetapi tanggapan ini mengelirukan. Di samping pembangunan selanjutnya teknik akan ada banyak maklumat baru, jadi sila cuba untuk tidak mengabaikan contoh dalam artikel ini.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

I. Penyataan masalah.

II. Keserasian sistem homogen dan heterogen.

III. Sistem T persamaan dengan T tidak diketahui. Peraturan Cramer.

IV. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Kaedah V. Gauss.

I. Penyataan masalah.

Sistem persamaan bentuk

dipanggil sistem m persamaan linear dengan n tidak diketahui
. Pekali persamaan sistem ini ditulis dalam bentuk matriks

yang dipanggil matriks sistem (1).

Nombor di sebelah kanan persamaan terbentuk ruangan ahli percuma {B}:

.

Jika lajur ( B}={0 ), maka sistem persamaan dipanggil homogen. DALAM sebaliknya, Bila ( B}≠{0 ) - sistem heterogen.

Sistem persamaan linear (1) boleh ditulis dalam bentuk matriks

[A]{x}={B}. (2)

Di sini - lajur yang tidak diketahui.

Menyelesaikan sistem persamaan (1) bermakna mencari set n nombor
supaya apabila menggantikan ke dalam sistem (1) dan bukannya yang tidak diketahui
setiap persamaan sistem bertukar menjadi identiti. Nombor
dipanggil penyelesaian sistem persamaan.

Sistem persamaan linear boleh mempunyai satu penyelesaian

,

boleh mempunyai banyak penyelesaian

atau tidak mempunyai penyelesaian sama sekali

.

Sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian dipanggil tidak serasi. Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi. Sistem persamaan dipanggil pasti, jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak pasti, jika ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

II. Keserasian sistem homogen dan heterogen.

Keadaan keserasian untuk sistem persamaan linear (1) dirumuskan dalam Teorem Kronecker-Capelli: sistem persamaan linear mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian jika dan hanya jika pangkat matriks sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan:
.

Matriks sistem lanjutan ialah matriks yang diperoleh daripada matriks sistem dengan menambahkan lajur sebutan bebas padanya di sebelah kanan:

.

Jika Rg AA* , maka sistem persamaan adalah tidak konsisten.

Sistem persamaan linear homogen, mengikut teorem Kronecker-Capelli, sentiasa konsisten. Mari kita pertimbangkan kes sistem homogen di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, iaitu t=p. Jika penentu matriks sistem sedemikian tidak sama dengan sifar, i.e.
, sistem homogen mempunyai penyelesaian yang unik, iaitu remeh (sifar). Sistem homogen mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga jika di antara persamaan sistem terdapat yang bersandar secara linear, i.e.
.

Contoh. Pertimbangkan sistem homogen bagi tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:

dan meneliti persoalan bilangan penyelesaiannya. Setiap persamaan boleh dianggap sebagai persamaan satah yang melalui asal koordinat ( D=0 ). Sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik apabila ketiga-tiga satah bersilang pada satu titik. Selain itu, vektor biasa mereka adalah bukan koplanar, dan, oleh itu, syaratnya dipenuhi

.

Penyelesaian sistem dalam kes ini x=0, y=0, z=0 .

Jika sekurang-kurangnya dua daripada tiga satah, sebagai contoh, yang pertama dan kedua, adalah selari, i.e. , maka penentu matriks sistem adalah sama dengan sifar, dan sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Selain itu, penyelesaiannya akan menjadi koordinat x, y, z semua titik terletak pada satu garisan

Jika ketiga-tiga satah bertepatan, maka sistem persamaan akan dikurangkan kepada satu persamaan

,

dan penyelesaiannya ialah koordinat semua titik yang terletak dalam satah ini.

Apabila mengkaji sistem persamaan linear yang tidak homogen, persoalan keserasian diselesaikan menggunakan teorem Kronecker-Capelli. Jika bilangan persamaan dalam sistem sedemikian adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, maka sistem mempunyai penyelesaian unik jika penentunya tidak sama dengan sifar. Jika tidak, sistem itu sama ada tidak konsisten atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Contoh. Mari kita kaji sistem tak homogen bagi dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui

.

Persamaan sistem boleh dianggap sebagai persamaan dua garis pada satah. Sistem ini tidak konsisten apabila garisan selari, i.e.
,
. Dalam kes ini, pangkat matriks sistem ialah 1:

Rg A=1 , kerana
,

dan pangkat matriks lanjutan
adalah sama dengan dua, kerana untuknya minor urutan kedua yang mengandungi lajur ketiga boleh dipilih sebagai minor asas.

Dalam kes yang sedang dipertimbangkan Rg AA * .

Jika garisan bertepatan, i.e. , maka sistem persamaan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga: koordinat titik pada garis lurus
. Dalam kes ini, Rg A= Rg A * =1.

Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik apabila garisan tidak selari, i.e.
. Penyelesaian kepada sistem ini ialah koordinat titik persilangan garis

III. SistemT persamaan denganT tidak diketahui. Peraturan Cramer.

Mari kita pertimbangkan kes paling mudah apabila bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, i.e. m= n. Jika penentu matriks sistem adalah bukan sifar, penyelesaian kepada sistem boleh didapati menggunakan peraturan Cramer:

(3)

Di sini
- penentu matriks sistem,

ialah penentu bagi matriks yang diperoleh daripada [ A] penggantian i lajur ke lajur ahli percuma:

.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer.

Penyelesaian :

1) cari penentu sistem

2) cari penentu bantu

3) cari penyelesaian kepada sistem menggunakan peraturan Cramer:

Hasil penyelesaian boleh disemak dengan menggantikan ke dalam sistem persamaan

Identiti yang betul diperolehi.

IV. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Mari kita tulis sistem persamaan linear dalam bentuk matriks (2)

[A]{x}={B}

dan darab sisi kanan dan kiri hubungan (2) di sebelah kiri dengan matriks [ A -1 ], songsangan matriks sistem:

[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)

Mengikut takrifan matriks songsang, hasil darab [ A -1 ][A]=[E], dan mengikut sifat matriks identiti [ E]{x}={x). Kemudian daripada hubungan (2") kita perolehi

{x}=[A -1 ]{B}. (4)

Perhubungan (4) mendasari kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: adalah perlu untuk mencari songsang matriks kepada matriks sistem dan mendarabkan vektor lajur bahagian kanan sistem dengannya di sebelah kiri.

Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan yang dipertimbangkan dalam contoh sebelumnya menggunakan kaedah matriks.

Matriks Sistem
det penentunya A==183 .

Lajur sebelah kanan
.

Untuk mencari matriks [ A -1 ], cari matriks yang dilampirkan pada [ A]:

atau

Formula untuk mengira matriks songsang termasuk
, Kemudian

Sekarang kita boleh mencari penyelesaian kepada sistem

Kemudian kita akhirnya mendapat .

Kaedah V. Gauss.

Dengan sejumlah besar tidak diketahui, menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer atau kaedah matriks melibatkan pengiraan penentu tertib tinggi atau menyongsangkan matriks besar. Prosedur ini sangat intensif buruh walaupun untuk komputer moden. Oleh itu, untuk menyelesaikan sistem sejumlah besar persamaan, kaedah Gaussian sering digunakan.

Kaedah Gaussian terdiri daripada menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan melalui transformasi asas bagi matriks lanjutan sistem. Transformasi matriks asas termasuk pilih atur baris, penambahan baris, pendaraban baris dengan nombor selain daripada sifar. Hasil daripada transformasi, adalah mungkin untuk mengurangkan matriks sistem kepada segi tiga atas, pada pepenjuru utama yang terdapat satu, dan di bawah pepenjuru utama terdapat sifar. Ini adalah pendekatan langsung kaedah Gaussian. Kebalikan kaedah terdiri dalam menentukan secara langsung yang tidak diketahui, bermula dengan yang terakhir.

Mari kita jelaskan kaedah Gauss menggunakan contoh penyelesaian sistem persamaan

Pada langkah pertama lejang ke hadapan, ia dipastikan bahawa pekali
sistem yang diubah menjadi sama 1 , dan pekali
Dan
bertukar kepada sifar. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan pertama dengan 1/10 , darabkan persamaan kedua dengan 10 dan tambahkannya kepada yang pertama, darabkan persamaan ketiga dengan -10/2 dan tambahkannya pada yang pertama. Selepas transformasi ini kita dapat

Pada langkah kedua, kami memastikan bahawa selepas transformasi pekali
menjadi sama 1 , dan pekali
. Untuk melakukan ini, bahagikan persamaan kedua dengan 42 , dan darab persamaan ketiga dengan -42/27 dan tambahkannya dengan yang kedua. Kami memperoleh sistem persamaan

Pada langkah ketiga kita harus mendapatkan pekali
. Untuk melakukan ini, bahagikan persamaan ketiga dengan (37 - 84/27) ; kita mendapatkan

Di sinilah perkembangan langsung kaedah Gauss berakhir, kerana matriks sistem dikurangkan kepada segi tiga atas:

Menjalankan langkah terbalik, kita dapati yang tidak diketahui

Jika masalah mempunyai kurang daripada tiga pembolehubah, ia bukan masalah; jika lebih daripada lapan, ia tidak dapat diselesaikan. Enon.

Masalah dengan parameter ditemui dalam semua versi Peperiksaan Negeri Bersepadu, kerana menyelesaikannya dengan jelas mendedahkan betapa mendalam dan tidak formal pengetahuan graduan. Kesukaran yang dihadapi oleh pelajar apabila menyelesaikan tugasan tersebut bukan sahaja disebabkan oleh kerumitan relatif mereka, tetapi juga oleh fakta bahawa perhatian yang tidak mencukupi diberikan kepada mereka dalam buku teks. Dalam versi KIM dalam matematik, terdapat dua jenis tugasan dengan parameter. Yang pertama: "untuk setiap nilai parameter, selesaikan persamaan, ketaksamaan atau sistem." Yang kedua: "cari semua nilai parameter, yang mana setiap satu penyelesaian kepada ketidaksamaan, persamaan atau sistem memenuhi syarat yang diberikan." Sehubungan itu, jawapan dalam masalah kedua-dua jenis ini berbeza pada dasarnya. Dalam kes pertama, jawapan menyenaraikan semua kemungkinan nilai parameter dan untuk setiap nilai ini penyelesaian kepada persamaan ditulis. Yang kedua menyenaraikan semua nilai parameter di mana syarat masalah dipenuhi. Menulis jawapan adalah peringkat penting penyelesaian; adalah sangat penting untuk tidak melupakan semua peringkat penyelesaian dalam jawapan. Pelajar perlu memberi perhatian kepada perkara ini.
Lampiran kepada pelajaran mengandungi bahan tambahan mengenai topik "Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan parameter", yang akan membantu dalam menyediakan pelajar untuk pensijilan akhir.

Objektif pelajaran:

• sistematisasi pengetahuan pelajar;
• membangunkan keupayaan untuk menggunakan perwakilan grafik semasa menyelesaikan sistem persamaan;
• membangunkan keupayaan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mengandungi parameter;
• pelaksanaan kawalan operasi dan kawalan kendiri pelajar;
• pembangunan penyelidikan dan aktiviti kognitif murid sekolah, keupayaan untuk menilai keputusan yang diperolehi.

Pelajaran mengambil masa dua jam.

Semasa kelas

1. mengatur masa

Berkomunikasi topik, matlamat dan objektif pelajaran.

1. Mengemaskini pengetahuan asas pelajar

Menyemak kerja rumah. Sebagai kerja rumah, pelajar diminta untuk menyelesaikan setiap tiga sistem persamaan linear

a) b) V)

secara grafik dan analitikal; buat kesimpulan tentang bilangan penyelesaian yang diperolehi bagi setiap kes

Kesimpulan yang dibuat oleh pelajar didengar dan dianalisis. Hasil kerja di bawah bimbingan guru diringkaskan dalam buku nota.

Secara umum, sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui boleh diwakili sebagai: .

Menyelesaikan sistem persamaan yang diberikan secara grafik bermakna mencari koordinat titik persilangan graf bagi persamaan ini atau membuktikan bahawa tiada. Graf setiap persamaan sistem ini pada satah ialah garis lurus tertentu.

Terdapat tiga kemungkinan kes susunan bersama dua garis lurus pada satah:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Untuk setiap kes adalah berguna untuk membuat lukisan.

1. Mempelajari bahan baharu

Hari ini dalam pelajaran kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mengandungi parameter. Kami akan memanggil parameter pembolehubah bebas, yang nilainya dalam masalah dianggap sebagai nombor nyata tetap atau arbitrari yang diberikan, atau nombor kepunyaan set yang telah ditetapkan. Menyelesaikan sistem persamaan dengan parameter bermakna mewujudkan korespondensi yang membolehkan sebarang nilai parameter mencari set penyelesaian yang sepadan dengan sistem.

Penyelesaian kepada masalah dengan parameter bergantung pada soalan yang dikemukakan di dalamnya. Jika anda hanya perlu menyelesaikan sistem persamaan untuk nilai parameter yang berbeza atau mengkajinya, maka anda perlu memberikan jawapan yang munasabah untuk sebarang nilai parameter atau untuk nilai parameter kepunyaan set yang dinyatakan sebelum ini dalam masalah. Sekiranya perlu untuk mencari nilai parameter yang memenuhi syarat tertentu, maka kajian lengkap tidak diperlukan, dan penyelesaian sistem adalah terhad untuk mencari nilai parameter khusus ini.

Contoh 1. Untuk setiap nilai parameter, kami menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian.

1. Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik jika

Dalam kes ini kita ada

1. Jika a = 0, maka sistem mengambil bentuk

Sistem ini tidak konsisten, i.e. tidak mempunyai penyelesaian.

1. Jika kemudian sistem ditulis dalam bentuk

Jelas sekali, dalam kes ini sistem mempunyai banyak penyelesaian dalam bentuk x = t; di mana t ialah sebarang nombor nyata.

Jawapan:

Contoh 2.

• mempunyai penyelesaian yang unik;
• mempunyai banyak penyelesaian;
• tiada penyelesaian?

Penyelesaian.

Jawapan:

Contoh 3. Mari kita cari jumlah parameter a dan b yang mana sistem itu

mempunyai penyelesaian yang tidak terkira banyaknya.

Penyelesaian. Sistem ini mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga jika

Iaitu, jika a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Jawapan: 48.

1. Mengukuhkan apa yang telah dipelajari semasa menyelesaikan masalah

1. No. 15.24(a) . Untuk setiap nilai parameter, selesaikan sistem persamaan

1. No. 15.25(a) Bagi setiap nilai parameter, selesaikan sistem persamaan

1. Pada nilai parameter a apakah sistem persamaan

a) tidak mempunyai penyelesaian; b) mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Jawapan: untuk a = 2 tiada penyelesaian, untuk a = -2 terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

1. Kerja amali dalam kumpulan

Kelas dibahagikan kepada kumpulan 4-5 orang. Setiap kumpulan termasuk pelajar dengan tahap persediaan matematik yang berbeza. Setiap kumpulan menerima kad tugasan. Anda boleh menjemput semua kumpulan untuk menyelesaikan satu sistem persamaan, dan memformalkan penyelesaiannya. Kumpulan yang pertama menyelesaikan tugasan dengan betul membentangkan penyelesaiannya; selebihnya serahkan penyelesaian kepada guru.

Kad. Menyelesaikan sistem persamaan linear

untuk semua nilai parameter a.

Jawapan: bila sistem mempunyai penyelesaian yang unik ; apabila tiada penyelesaian; untuk a = -1 terdapat banyak penyelesaian dalam bentuk, (t; 1- t) dengan t R

Jika kelas itu kuat, kumpulan mungkin ditawarkan sistem persamaan yang berbeza, senarainya ada di Lampiran1. Kemudian setiap kumpulan membentangkan penyelesaian mereka kepada kelas.

Laporan kumpulan yang pertama menyelesaikan tugasan dengan betul

Peserta menyuarakan dan menerangkan penyelesaian mereka dan menjawab soalan yang dikemukakan oleh wakil kumpulan lain.

1. Kerja bebas

Pilihan 1

Pilihan 2

1. Ringkasan pelajaran

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan parameter boleh dibandingkan dengan kajian yang melibatkan tiga keadaan asas. Guru mengajak murid untuk membuat rumusan.

Apabila membuat keputusan, ingat:

1. Agar sistem mempunyai penyelesaian yang unik, adalah perlu bahawa garis-garis yang sepadan dengan persamaan sistem itu bersilang, i.e. syarat mesti dipenuhi;
2. untuk tidak mempunyai penyelesaian, garisan mestilah selari, i.e. syarat itu dipenuhi
3. dan, akhirnya, untuk sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, garisan mesti bertepatan, i.e. syarat itu dipenuhi.

Guru menilai hasil kerja kelas secara keseluruhan dan memberikan markah untuk pelajaran kepada pelajar individu. Selepas menyemak kerja bebas mereka, setiap pelajar akan menerima gred untuk pelajaran.

1. Kerja rumah

Pada nilai parameter b apakah sistem persamaan

• mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga;
• tiada penyelesaian?

Graf bagi fungsi y = 4x + b dan y = kx + 6 adalah simetri tentang ordinat.

• Cari b dan k,
• cari koordinat titik persilangan graf ini.

Selesaikan sistem persamaan untuk semua nilai m dan n.

Selesaikan sistem persamaan linear untuk semua nilai parameter a (sebarang nilai pilihan anda).

kesusasteraan

1. Algebra dan permulaan analisis matematik: buku teks. untuk darjah 11 pendidikan umum institusi: asas dan profil. peringkat / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: Pendidikan, 2008.
2. Matematik: Gred ke-9: Persediaan untuk pensijilan akhir negeri / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. Kami sedang membuat persediaan untuk ke universiti. Matematik. Bahagian 2. Buku teks untuk persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, penyertaan dalam ujian berpusat dan lulus ujian masuk ke Universiti Teknikal Negeri Kuban / Kuban. negeri teknologi. Universiti; Institut moden teknologi. dan ekon.; Disusun oleh: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palshchikova. – Krasnodar, 2006.
4. Pengumpulan masalah dalam matematik untuk kursus persediaan TUSUR: Buku Teks / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. negeri Universiti Sistem Kawalan dan Radioelektronik, 1998.
5. Matematik: kursus persediaan peperiksaan intensif / O. Yu. – M.: Rolf, Iris-press, 1998.