Mengikuti dari definisinya. Dan jadi logaritma nombor itu b berdasarkan A ditakrifkan sebagai eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan a untuk mendapatkan nombor b(logaritma hanya wujud untuk nombor positif).
Daripada rumusan ini berikutan bahawa pengiraan x=log a b, adalah bersamaan dengan menyelesaikan persamaan a x =b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 kerana 8 = 2 3 . Perumusan logaritma memungkinkan untuk mewajarkan bahawa jika b=a c, kemudian logaritma nombor itu b berdasarkan a sama Dengan. Jelas juga bahawa topik logaritma berkait rapat dengan topik kuasa sesuatu nombor.
Dengan logaritma, seperti mana-mana nombor, anda boleh lakukan operasi tambah, tolak dan berubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi disebabkan fakta bahawa logaritma bukan nombor biasa sepenuhnya, peraturan khas mereka sendiri terpakai di sini, yang dipanggil sifat utama.
Menambah dan menolak logaritma.
Mari kita ambil dua logaritma dengan atas alasan yang sama: log a x Dan log a y. Kemudian adalah mungkin untuk melakukan operasi tambah dan tolak:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
daripada teorem hasil bagi logaritma satu lagi sifat logaritma boleh diperolehi. Umum mengetahui bahawa log a 1= 0, oleh itu
log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.
Ini bermakna terdapat persamaan:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritma dua nombor salingan atas sebab yang sama akan berbeza antara satu sama lain semata-mata oleh tanda. Jadi:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Fokus artikel ini ialah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, tunjukkan jawatan yang diterima, kami akan memberikan contoh logaritma, dan bercakap tentang logaritma asli dan perpuluhan. Selepas ini kita akan mempertimbangkan identiti logaritma asas.
Navigasi halaman.
Definisi logaritma
Konsep logaritma timbul apabila menyelesaikan masalah dalam dalam erti kata tertentu songsang, apabila anda perlu mencari eksponen bagi nilai yang diketahui ijazah dan asas yang diketahui.
Tetapi cukup mukaddimah, sudah tiba masanya untuk menjawab soalan "apa itu logaritma"? Mari kita berikan definisi yang sepadan.
Definisi.
Logaritma b kepada asas a, di mana a>0, a≠1 dan b>0 ialah eksponen yang anda perlukan untuk menaikkan nombor a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.
Pada peringkat ini, kami perhatikan bahawa perkataan "logaritma" yang dituturkan harus segera menimbulkan dua soalan susulan: "nombor apa" dan "atas asas apa." Dalam erti kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya logaritma nombor kepada beberapa asas.
Jom masuk segera tatatanda logaritma: logaritma nombor b hingga asas a biasanya dilambangkan sebagai log a b. Logaritma nombor b kepada asas e dan logaritma kepada asas 10 mempunyai sebutan khas mereka sendiri lnb dan logb, iaitu, mereka menulis bukan log e b, tetapi lnb, dan bukan log 10 b, tetapi lgb.
Kini kami boleh berikan: .
Dan rekod 
tidak masuk akal, kerana pada yang pertama terdapat nombor negatif di bawah tanda logaritma, pada yang kedua terdapat nombor negatif di pangkalan, dan pada yang ketiga terdapat nombor negatif di bawah tanda logaritma dan unit dalam pangkalan.
Sekarang mari kita bercakap tentang peraturan untuk membaca logaritma. Log a b dibaca sebagai "logaritma b kepada asas a". Sebagai contoh, log 2 3 ialah logaritma tiga kepada asas 2, dan ialah logaritma dua titik dua pertiga kepada asas 2 Punca kuasa dua daripada lima. Logaritma kepada asas e dipanggil logaritma semula jadi, dan notasi lnb berbunyi "logaritma semula jadi b". Sebagai contoh, ln7 ialah logaritma asli bagi tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma asli bagi pi. Logaritma asas 10 juga mempunyai nama khas - logaritma perpuluhan, dan lgb dibaca sebagai "logaritma perpuluhan b". Sebagai contoh, lg1 ialah logaritma perpuluhan bagi satu, dan lg2.75 ialah logaritma perpuluhan bagi dua koma tujuh lima perseratus.
Perlu diingat secara berasingan pada syarat a>0, a≠1 dan b>0, di mana takrif logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana datangnya sekatan ini. Kesamaan bentuk yang dipanggil , yang secara langsung mengikuti daripada takrifan logaritma yang diberikan di atas, akan membantu kita melakukan ini.
Mari kita mulakan dengan a≠1. Oleh kerana satu kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan satu, kesamaan hanya boleh benar apabila b=1, tetapi log 1 1 boleh menjadi sebarang nombor sebenar. Untuk mengelakkan kekaburan ini, a≠1 diandaikan.
Marilah kita mewajarkan kesesuaian syarat a>0. Dengan a=0, mengikut takrifan logaritma, kita akan mempunyai kesamaan, yang hanya mungkin dengan b=0. Tetapi kemudian log 0 0 boleh menjadi sebarang nombor nyata bukan sifar, kerana sifar kepada mana-mana kuasa bukan sifar ialah sifar. Keadaan a≠0 membolehkan kita mengelakkan kekaburan ini. Dan apabila a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирpenunjuk rasional ditakrifkan hanya untuk asas bukan negatif. Oleh itu, syarat a>0 diterima.
Akhir sekali, keadaan b>0 mengikuti daripada ketaksamaan a>0, sejak , dan nilai kuasa dengan asas positif a sentiasa positif.
Untuk menyimpulkan perkara ini, katakan bahawa takrifan logaritma yang dinyatakan membolehkan anda segera menunjukkan nilai logaritma apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah kuasa tertentu asas. Sesungguhnya, takrifan logaritma membolehkan kita menyatakan bahawa jika b=a p, maka logaritma nombor b kepada asas a adalah sama dengan p. Iaitu, log kesamaan a a p =p adalah benar. Sebagai contoh, kita tahu bahawa 2 3 =8, kemudian log 2 8=3. Kami akan bercakap lebih lanjut mengenai perkara ini dalam artikel.
Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b *a c = a b+c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual eksponen integer. Merekalah yang berkhidmat untuk pembukaan selanjutnya logaritma. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana anda perlu memudahkan pendaraban yang rumit dengan penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Dalam bahasa yang mudah dan mudah diakses.
Definisi dalam matematik
Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu logaritma sebarang nombor bukan negatif(iaitu, mana-mana positif) "b" dengan asasnya "a" dianggap sebagai kuasa "c" yang mana asas "a" mesti dinaikkan untuk akhirnya memperoleh nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari kuasa supaya dari 2 kepada kuasa yang diperlukan anda mendapat 8. Selepas melakukan beberapa pengiraan dalam kepala anda, kami mendapat nombor 3! Dan itu benar, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan jawapan sebagai 8.
Jenis-jenis logaritma
Bagi kebanyakan pelajar dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Ada tiga spesies individu ungkapan logaritma:
- Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
- Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
- Logaritma sebarang nombor b kepada asas a>1.
Setiap daripada mereka diputuskan dengan cara yang standard, yang merangkumi penyederhanaan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, anda harus ingat sifatnya dan urutan tindakan apabila menyelesaikannya.
Peraturan dan beberapa sekatan
Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-kekangan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan merupakan kebenaran. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca genap daripadanya nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturan mereka sendiri, berikutan anda boleh belajar bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:
- Asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
- jika a > 0, kemudian a b >0, ternyata “c” juga mestilah lebih besar daripada sifar.
Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?
Sebagai contoh, tugasan diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x = 100. Ini sangat mudah, anda perlu memilih kuasa dengan menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 = 100.
Sekarang mari kita wakili ungkapan ini dalam bentuk logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikal menumpu untuk mencari kuasa yang diperlukan untuk memperkenalkan asas logaritma untuk mendapatkan nombor yang diberi.
Untuk menentukan nilai dengan tepat ijazah yang tidak diketahui anda perlu belajar bagaimana untuk bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:
Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun untuk nilai yang besar anda memerlukan jadual darjah. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak tahu sama sekali tentang kompleks topik matematik. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c yang nombor a dinaikkan. Di persimpangan, sel mengandungi nilai nombor yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling benar akan faham!
Persamaan dan ketaksamaan
Ternyata dalam keadaan tertentu eksponen adalah logaritma. Oleh itu, mana-mana matematik ungkapan berangka boleh ditulis sebagai persamaan logaritma. Sebagai contoh, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai asas 3 logaritma 81 bersamaan dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan melihat contoh dan penyelesaian persamaan di bawah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.
Diberi ungkapan bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki kepada asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.
Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih jawapan khusus. nilai berangka, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan ditakrifkan sebagai rantau nilai yang boleh diterima, dan titik putus fungsi ini. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan kepada persamaan, tetapi sebaliknya siri berterusan atau satu set nombor.
Teorem asas tentang logaritma
Apabila menyelesaikan tugas primitif mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan melihat contoh persamaan kemudian;
- Identiti utama kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia terpakai hanya apabila a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
- Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini prasyarat ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, kemudian a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kami memperoleh bahawa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat bagi darjah ), dan kemudian mengikut takrifan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, iaitu apa yang perlu dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorem dalam bentuk formula mengambil pandangan seterusnya: log a q b n = n/q log a b.
Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma." Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik adalah berdasarkan postulat semula jadi. Mari kita lihat buktinya.
Biarkan log a b = t, ternyata a t =b. Jika kita menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;
tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n, oleh itu log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem telah terbukti.
Contoh masalah dan ketidaksamaan
Jenis masalah yang paling biasa pada logaritma ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Mereka ditemui dalam hampir semua buku masalah, dan juga disertakan dalam bahagian wajib peperiksaan matematik. Untuk kemasukan ke universiti atau lulus peperiksaan kemasukan dalam matematik anda perlu tahu cara menyelesaikan masalah tersebut dengan betul.
Malangnya, tidak ada satu rancangan atau skim untuk menyelesaikan dan menentukan nilai yang tidak diketahui Tiada perkara seperti logaritma, tetapi anda boleh menggunakannya pada setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. peraturan tertentu. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau membawa kepada penampilan umum. Permudahkan yang panjang ungkapan logaritma mungkin jika anda menggunakan sifatnya dengan betul. Jom kenali mereka dengan cepat.
Apabila membuat keputusan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita ada: contoh ungkapan mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.
Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa mereka perlu menentukan kuasa yang mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma semula jadi perlu memohon identiti logaritma atau harta mereka. Mari lihat penyelesaian dengan contoh masalah logaritma jenis yang berbeza.
Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem asas tentang logaritma.
- Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan yang perlu dikembangkan sangat penting nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat kuasa logaritma, kami berjaya menyelesaikan ungkapan yang kelihatan rumit dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan asas dan kemudian mengeluarkan nilai eksponen daripada tanda logaritma.
Tugasan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu
Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu ( peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya, tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (bahagian ujian yang paling mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling kompleks dan banyak). Peperiksaan memerlukan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".
Contoh dan penyelesaian kepada masalah diambil dari rasmi Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.
Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan itu, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan takrifan logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4, oleh itu 2x = 17; x = 8.5.
- Adalah lebih baik untuk mengurangkan semua logaritma kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
- Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila eksponen ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai tapaknya diambil sebagai pengganda, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.
1.1. Menentukan eksponen bagi eksponen integer
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N kali
1.2. Ijazah sifar.
Secara definisi, ia diterima umum bahawa darjah sifar sebarang nombor sama dengan 1:1.3. Ijazah negatif.
X -N = 1/X N1.4. Kuasa pecahan, akar.
X 1/N = N punca X.Contohnya: X 1/2 = √X.
1.5. Formula untuk menambah kuasa.
X (N+M) = X N *X M1.6.Formula untuk tolak kuasa.
X (N-M) = X N /X M1.7. Formula untuk mendarab kuasa.
X N*M = (X N) M1.8. Formula untuk menaikkan pecahan kepada kuasa.
(X/Y) N = X N /Y N2. Nombor e.
Nilai nombor e adalah sama dengan had berikut:E = lim(1+1/N), sebagai N → ∞.
Dengan ketepatan 17 digit, nombor e ialah 2.71828182845904512.
3. Persamaan Euler.
Kesamaan ini menghubungkan lima nombor yang memainkan peranan khas dalam matematik: 0, 1, e, pi, unit khayalan.E (i*pi) + 1 = 0
4. Fungsi eksponen exp(x)
exp(x) = e x5. Terbitan fungsi eksponen
Fungsi eksponen mempunyai harta yang luar biasa: Terbitan fungsi adalah sama dengan fungsi eksponen itu sendiri:(exp(x))" = exp(x)
6. Logaritma.
6.1. Definisi fungsi logaritma
Jika x = b y, maka logaritma ialah fungsinyaY = Log b(x).
Logaritma menunjukkan kuasa nombor - asas logaritma (b) - mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor tertentu (X). Fungsi logaritma ditakrifkan untuk X lebih besar daripada sifar.
Contohnya: Log 10 (100) = 2.
6.2. Logaritma perpuluhan
Ini ialah logaritma kepada asas 10:Y = Log 10 (x) .
Ditandakan dengan Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Contoh penggunaan logaritma perpuluhan- desibel.
6.3. desibel
Item diserlahkan pada halaman yang berasingan Decibel6.4. Logaritma binari
Ini ialah logaritma asas 2:Y = Log 2 (x).
Ditandakan dengan Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Logaritma semula jadi
Ini ialah logaritma kepada asas e:Y = Log e (x) .
Ditandakan dengan Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Logaritma semula jadi - fungsi songsang kepada eksponen fungsi exp(X).
6.6. Titik ciri
Loga(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Formula logaritma produk
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Formula untuk logaritma hasil bagi
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Logaritma formula kuasa
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Formula untuk menukar kepada logaritma dengan asas yang berbeza
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Contoh:
Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Formula berguna dalam kehidupan
Selalunya terdapat masalah menukar isipadu kepada luas atau panjang dan masalah songsang-- penukaran kawasan kepada isipadu. Sebagai contoh, papan dijual dalam bentuk kiub (meter padu), dan kita perlu mengira berapa luas dinding yang boleh ditutup dengan papan yang terkandung dalam isipadu tertentu, lihat pengiraan papan, berapa banyak papan dalam kubus. Atau, jika dimensi dinding diketahui, anda perlu mengira bilangan bata, lihat pengiraan bata.
Ia dibenarkan untuk menggunakan bahan tapak dengan syarat pautan aktif ke sumber dipasang.
Berhubung dengan
tugas mencari mana-mana tiga nombor daripada dua nombor lain yang diberi boleh ditetapkan. Jika a dan kemudian N diberikan, ia didapati dengan eksponen. Jika N dan kemudian a diberi dengan mengambil punca darjah x (atau menaikkannya kepada kuasa). Sekarang pertimbangkan kes apabila, diberi a dan N, kita perlu mencari x.
Biarkan nombor N positif: nombor a positif dan tidak sama dengan satu: .
Definisi. Logaritma nombor N ke pangkalan a ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor N; logaritma dilambangkan dengan
Oleh itu, dalam kesamaan (26.1) eksponen didapati sebagai logaritma N kepada asas a. Catatan
mempunyai sama maksud. Kesamaan (26.1) kadangkala dipanggil identiti utama teori logaritma; sebenarnya ia menyatakan definisi konsep logaritma. Oleh takrifan ini Asas logaritma a sentiasa positif dan berbeza daripada kesatuan; nombor logaritma N adalah positif. Nombor negatif dan sifar tidak mempunyai logaritma. Ia boleh dibuktikan bahawa mana-mana nombor dengan asas tertentu mempunyai logaritma yang jelas. Oleh itu kesaksamaan memerlukan. Perhatikan bahawa syarat penting di sini adalah sebaliknya kesimpulan tidak akan dibenarkan, kerana kesamaan adalah benar untuk sebarang nilai x dan y.
Contoh 1. Cari
Penyelesaian. Untuk mendapatkan nombor, anda mesti menaikkan asas 2 kepada kuasa Oleh itu.
Anda boleh membuat nota apabila menyelesaikan contoh sedemikian dalam bentuk berikut:
Contoh 2. Cari .
Penyelesaian. Kami ada
Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemui logaritma yang dikehendaki dengan mewakili nombor logaritma sebagai kuasa asas dengan eksponen rasional. DALAM kes am, sebagai contoh, untuk dsb., ini tidak boleh dilakukan, kerana logaritma mempunyai makna yang tidak rasional. Mari kita perhatikan satu isu yang berkaitan dengan kenyataan ini. Dalam perenggan 12 kami memberikan konsep kemungkinan untuk menentukan mana-mana darjah sebenar sesuatu yang diberikan nombor positif. Ini adalah perlu untuk pengenalan logaritma, yang, secara amnya, boleh menjadi nombor tidak rasional.
Mari kita lihat beberapa sifat logaritma.
Sifat 1. Jika nombor dan asas adalah sama, maka logaritma sama dengan satu, dan, sebaliknya, jika logaritma adalah sama dengan satu, maka nombor dan asas adalah sama.
Bukti. Biarkan Dengan takrifan logaritma yang kita ada dan dari mana
Sebaliknya, biarkan Kemudian mengikut definisi
Sifat 2. Logaritma satu kepada sebarang tapak adalah sama dengan sifar.
Bukti. Mengikut takrifan logaritma (kuasa sifar mana-mana asas positif adalah sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini
Q.E.D.
Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Sesungguhnya, kita mempunyai .
Sebelum merumuskan sifat logaritma seterusnya, marilah kita bersetuju untuk mengatakan bahawa dua nombor a dan b terletak pada sisi yang sama bagi nombor ketiga c jika kedua-duanya lebih besar daripada c atau kurang daripada c. Jika satu daripada nombor ini lebih besar daripada c, dan satu lagi kurang daripada c, maka kita akan mengatakan bahawa mereka terletak di sepanjang sisi yang berbeza dari kampung
Harta 3. Jika nombor dan tapak terletak pada sisi yang sama dari satu, maka logaritmanya adalah positif; Jika nombor dan tapak terletak pada sisi bertentangan satu, maka logaritmanya adalah negatif.
Bukti harta 3 adalah berdasarkan fakta bahawa kuasa a adalah lebih besar daripada satu jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen positif atau asas kurang daripada satu dan eksponen negatif. Kuasa adalah kurang daripada satu jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen negatif atau asas kurang daripada satu dan eksponen positif.
Terdapat empat kes untuk dipertimbangkan:
Kami akan mengehadkan diri kami untuk menganalisis yang pertama daripada mereka;
Biarkan dalam kesamaan eksponen tidak boleh negatif mahupun sama dengan sifar, oleh itu, ia adalah positif, iaitu, seperti yang diperlukan untuk dibuktikan.
Contoh 3. Ketahui yang manakah logaritma di bawah adalah positif dan yang mana negatif:
Penyelesaian, a) kerana nombor 15 dan asas 12 terletak pada sisi yang sama dari satu;
b) kerana 1000 dan 2 terletak pada satu sisi unit; dalam kes ini, tidak penting bahawa asas lebih besar daripada nombor logaritma;
c) kerana 3.1 dan 0.8 terletak pada bahagian bertentangan perpaduan;
G); kenapa?
d); kenapa?
Sifat 4-6 berikut sering dipanggil peraturan logaritma: mereka membenarkan, mengetahui logaritma beberapa nombor, untuk mencari logaritma hasil darab, hasil bagi, dan kuasa setiap satu daripadanya.
Sifat 4 (peraturan logaritma produk). Logaritma hasil darab beberapa nombor positif oleh asas ini sama dengan jumlah logaritma nombor ini kepada asas yang sama.
Bukti. Biarkan nombor yang diberi positif.
Untuk logaritma produk mereka, kami menulis kesamaan (26.1) yang mentakrifkan logaritma:
Dari sini kita akan dapati
Membandingkan pangkat pertama dan ungkapan terakhir, kami memperoleh kesaksamaan yang diperlukan:
Perhatikan bahawa syarat itu penting; logaritma hasil darab dua nombor negatif masuk akal, tetapi dalam kes ini kita dapat
Secara umum, jika hasil darab beberapa faktor adalah positif, maka logaritmanya adalah sama dengan jumlah logaritma nilai mutlak faktor-faktor ini.
Sifat 5 (peraturan untuk mengambil logaritma hasil bagi). Logaritma hasil bagi nombor positif adalah sama dengan perbezaan antara logaritma dividen dan pembahagi, dibawa ke pangkalan yang sama. Bukti. Kami secara konsisten mencari
Q.E.D.
Harta 6 (peraturan logaritma kuasa). Logaritma kuasa beberapa nombor positif sama dengan logaritma nombor ini didarab dengan eksponen.
Bukti. Mari kita tulis semula identiti utama (26.1) untuk nombor:
Q.E.D.
Akibat. Logaritma punca nombor positif adalah sama dengan logaritma radikal dibahagikan dengan eksponen punca:
Kesahihan akibat ini boleh dibuktikan dengan membayangkan bagaimana dan menggunakan harta 6.
Contoh 4. Ambil logaritma kepada asas a:
a) (diandaikan bahawa semua nilai b, c, d, e adalah positif);
b) (diandaikan bahawa ).
Penyelesaian, a) Ia adalah mudah untuk pergi ke ungkapan ini kepada kuasa pecahan:
Berdasarkan kesamaan (26.5)-(26.7), kita kini boleh menulis:
Kami perhatikan bahawa operasi yang lebih mudah dilakukan pada logaritma nombor daripada pada nombor itu sendiri: apabila mendarab nombor, logaritma mereka ditambah, apabila membahagi, mereka ditolak, dsb.
Itulah sebabnya logaritma digunakan dalam amalan pengkomputeran (lihat perenggan 29).
Tindakan songsang logaritma dipanggil potentiation, iaitu: potentiation ialah tindakan di mana nombor itu sendiri ditemui daripada logaritma tertentu nombor. Pada asasnya, potentiasi bukanlah sebarang tindakan khas: ia datang untuk meningkatkan asas kepada kuasa ( sama dengan logaritma nombor). Istilah "potentiation" boleh dianggap sinonim dengan istilah "exponentiation".
Apabila mempotensikan, anda mesti menggunakan peraturan songsang kepada peraturan logaritma: gantikan jumlah logaritma dengan logaritma hasil darab, perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi, dsb. Khususnya, jika terdapat faktor di hadapan daripada tanda logaritma, maka semasa potensiasi ia mesti dipindahkan ke darjah eksponen di bawah tanda logaritma.
Contoh 5. Cari N jika diketahui bahawa
Penyelesaian. Berhubung dengan peraturan potensiasi yang dinyatakan, kami akan memindahkan faktor 2/3 dan 1/3 yang berdiri di hadapan tanda logaritma di sebelah kanan kesamaan ini kepada eksponen di bawah tanda logaritma ini; kita mendapatkan
Sekarang kita gantikan perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi:
untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantaian kesamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya daripada ketidakrasionalan dalam penyebut (fasal 25).
Harta 7. Jika tapak lebih besar daripada satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih besar (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih kecil), jika asasnya kurang daripada satu, maka nombor yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih kecil (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih besar).
Sifat ini juga dirumuskan sebagai peraturan untuk mengambil logaritma ketaksamaan, kedua-dua belahnya adalah positif:
Apabila mengambil logaritma ketaksamaan ke pangkalan, lebih besar daripada satu, tanda ketaksamaan dikekalkan, dan apabila mengambil logaritma kepada asas kurang daripada satu, tanda ketaksamaan berubah kepada sebaliknya (lihat juga perenggan 80).
Buktinya adalah berdasarkan sifat 5 dan 3. Pertimbangkan kes apabila Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita memperoleh
(a dan N/M terletak pada sisi perpaduan yang sama). Dari sini
Kes a berikut, pembaca akan memikirkannya sendiri.