Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Adakah anda fikir masih ada masa sebelum Peperiksaan Negeri Bersatu dan anda akan mempunyai masa untuk membuat persediaan? Mungkin begini. Tetapi dalam apa jua keadaan, lebih awal pelajar memulakan persediaan, lebih berjaya dia lulus peperiksaan. Hari ini kami memutuskan untuk menumpukan artikel kepada ketaksamaan logaritma. Ini adalah salah satu tugas, yang bermaksud peluang untuk mendapatkan kredit tambahan.
Adakah anda sudah tahu apa itu logaritma? Kami sangat berharap begitu. Tetapi walaupun anda tidak mempunyai jawapan kepada soalan ini, ia tidak menjadi masalah. Memahami apa itu logaritma adalah sangat mudah.
Kenapa 4? Anda perlu menaikkan nombor 3 kepada kuasa ini untuk mendapatkan 81. Sebaik sahaja anda memahami prinsipnya, anda boleh meneruskan ke pengiraan yang lebih kompleks.
Anda telah melalui ketidaksamaan beberapa tahun yang lalu. Dan sejak itu anda sentiasa menemui mereka dalam matematik. Jika anda menghadapi masalah menyelesaikan ketidaksamaan, lihat bahagian yang sesuai.
Sekarang setelah kita membiasakan diri dengan konsep secara individu, mari kita teruskan untuk mempertimbangkannya secara umum.
Ketaksamaan logaritma termudah.
Ketaksamaan logaritma yang paling mudah tidak terhad kepada contoh ini, terdapat tiga lagi, hanya dengan tanda yang berbeza. Mengapa ini perlu? Untuk lebih memahami cara menyelesaikan ketaksamaan dengan logaritma. Sekarang mari kita berikan contoh yang lebih sesuai, masih agak mudah; kita akan meninggalkan ketaksamaan logaritma kompleks untuk kemudian.
Bagaimana untuk menyelesaikan ini? Semuanya bermula dengan ODZ. Perlu mengetahui lebih lanjut mengenainya jika anda ingin sentiasa menyelesaikan sebarang ketidaksamaan dengan mudah.
Apa itu ODZ? ODZ untuk ketaksamaan logaritma
Singkatan itu bermaksud kawasan nilai yang boleh diterima. Rumusan ini sering muncul dalam tugasan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu. ODZ akan berguna kepada anda bukan sahaja sekiranya berlaku ketaksamaan logaritma.
Lihat semula contoh di atas. Kami akan mempertimbangkan ODZ berdasarkannya, supaya anda memahami prinsipnya, dan menyelesaikan ketaksamaan logaritma tidak menimbulkan persoalan. Daripada takrifan logaritma ia menunjukkan bahawa 2x+4 mestilah lebih besar daripada sifar. Dalam kes kami ini bermakna yang berikut.
Nombor ini, mengikut definisi, mestilah positif. Selesaikan ketaksamaan yang dibentangkan di atas. Ini juga boleh dilakukan secara lisan; di sini adalah jelas bahawa X tidak boleh kurang daripada 2. Penyelesaian kepada ketaksamaan akan menjadi takrifan julat nilai yang boleh diterima.
Sekarang mari kita beralih kepada menyelesaikan ketaksamaan logaritma yang paling mudah.
Kami membuang logaritma itu sendiri daripada kedua-dua belah ketaksamaan. Apa yang kita tinggalkan akibatnya? Ketaksamaan mudah.
Ia tidak sukar untuk diselesaikan. X mestilah lebih besar daripada -0.5. Sekarang kita menggabungkan dua nilai yang diperoleh ke dalam sistem. Oleh itu,
Ini akan menjadi julat nilai yang boleh diterima untuk ketaksamaan logaritma yang sedang dipertimbangkan.
Mengapa kita memerlukan ODZ sama sekali? Ini adalah peluang untuk menghapuskan jawapan yang salah dan mustahil. Jika jawapannya tidak berada dalam julat nilai yang boleh diterima, maka jawapan itu tidak masuk akal. Ini perlu diingati untuk masa yang lama, kerana dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu sering terdapat keperluan untuk mencari ODZ, dan ia bukan sahaja menyangkut ketidaksamaan logaritma.
Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma
Penyelesaiannya terdiri daripada beberapa peringkat. Pertama, anda perlu mencari julat nilai yang boleh diterima. Akan ada dua nilai dalam ODZ, kami membincangkan perkara ini di atas. Seterusnya, anda perlu menyelesaikan ketidaksamaan itu sendiri. Kaedah penyelesaian adalah seperti berikut:
- kaedah penggantian pengganda;
- penguraian;
- kaedah rasionalisasi.
Bergantung pada keadaan, ia patut menggunakan salah satu kaedah di atas. Mari kita beralih terus kepada penyelesaian. Marilah kita mendedahkan kaedah yang paling popular, yang sesuai untuk menyelesaikan tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam hampir semua kes. Seterusnya kita akan melihat kaedah penguraian. Ia boleh membantu jika anda menemui ketidaksamaan yang sangat rumit. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma.
Contoh penyelesaian :
Bukan sia-sia kami mengambil tepat ketidaksamaan ini! Beri perhatian kepada pangkalan. Ingat: jika ia lebih daripada satu, tanda tetap sama apabila julat nilai yang boleh diterima ditemui; V sebaliknya anda perlu menukar tanda ketidaksamaan.
Akibatnya, kita mendapat ketidaksamaan:
Sekarang kami membentangkan sebelah kiri kepada bentuk persamaan, sama dengan sifar. Daripada tanda "kurang daripada" kami meletakkan "sama" dan menyelesaikan persamaan. Oleh itu, kita akan menemui ODZ. Kami berharap dengan penyelesaian untuk ini persamaan mudah anda tidak akan menghadapi sebarang masalah. Jawapannya ialah -4 dan -2. Bukan itu sahaja. Anda perlu memaparkan titik ini pada graf, meletakkan "+" dan "-". Apa yang perlu dilakukan untuk ini? Gantikan nombor daripada selang ke dalam ungkapan. Di mana nilainya positif, kami meletakkan "+" di sana.
Jawab: x tidak boleh lebih besar daripada -4 dan kurang daripada -2.
Kami telah menemui julat nilai yang boleh diterima hanya untuk sebelah kiri; sekarang kami perlu mencari julat nilai yang boleh diterima untuk sebelah kanan. Ini lebih mudah. Jawapan: -2. Kami bersilang kedua-dua kawasan yang terhasil.
Dan baru sekarang kita mula menangani ketidaksamaan itu sendiri.
Mari kita permudahkan semampu mungkin untuk memudahkan penyelesaiannya.
Mohon sekali lagi kaedah selang waktu dalam keputusan tersebut. Mari kita langkau pengiraan; semuanya sudah jelas dengannya dari contoh sebelumnya. Jawab.
Tetapi kaedah ini sesuai jika ketaksamaan logaritma mempunyai asas yang sama.
Penyelesaian persamaan logaritma dan ketidaksamaan dengan atas sebab yang berbeza mengandaikan pengurangan awal kepada satu asas. Seterusnya, gunakan kaedah yang diterangkan di atas. Tetapi ada lagi kes susah. Mari kita pertimbangkan salah satu yang paling jenis yang kompleks ketaksamaan logaritma.
Ketaksamaan logaritma dengan asas berubah-ubah
Bagaimana untuk menyelesaikan ketidaksamaan dengan ciri sedemikian? Ya, dan orang seperti itu boleh didapati dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu. Menyelesaikan ketidaksamaan dengan cara berikut juga akan memberi manfaat kepada anda proses pendidikan. Mari kita lihat isu ini secara terperinci. Mari kita buang teori dan terus berlatih. Untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma, cukup untuk membiasakan diri dengan contoh sekali.
Untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma bagi bentuk yang dibentangkan, adalah perlu untuk mengurangkan bahagian kanan kepada logaritma dengan asas yang sama. Prinsipnya menyerupai peralihan yang setara. Akibatnya, ketidaksamaan akan kelihatan seperti dengan cara berikut.
Sebenarnya, yang tinggal hanyalah mewujudkan sistem ketaksamaan tanpa logaritma. Menggunakan kaedah rasionalisasi, kita teruskan ke sistem yang setara ketidaksamaan Anda akan memahami peraturan itu sendiri apabila anda menggantikan nilai yang sesuai dan menjejaki perubahannya. Sistem akan mempunyai ketaksamaan berikut.
Apabila menggunakan kaedah rasionalisasi apabila menyelesaikan ketaksamaan, anda perlu ingat perkara berikut: satu mesti ditolak daripada asas, x, mengikut takrif logaritma, ditolak daripada kedua-dua belah ketaksamaan (kanan dari kiri), dua ungkapan didarab dan ditetapkan di bawah tanda asal berhubung dengan sifar.
Penyelesaian selanjutnya dilakukan menggunakan kaedah selang, semuanya mudah di sini. Adalah penting untuk anda memahami perbezaan dalam kaedah penyelesaian, maka semuanya akan mula berjalan dengan mudah.
Terdapat banyak nuansa dalam ketaksamaan logaritma. Yang paling mudah daripada mereka agak mudah untuk diselesaikan. Bagaimana anda boleh menyelesaikan setiap daripada mereka tanpa masalah? Anda telah menerima semua jawapan dalam artikel ini. Sekarang anda mempunyai latihan yang panjang di hadapan anda. Sentiasa berlatih menyelesaikan paling banyak tugas yang berbeza sebagai sebahagian daripada peperiksaan dan anda akan dapat menerima markah tertinggi. Semoga berjaya dalam tugas sukar anda!
KETIDAKSAMAAN LOGARITIK DALAM PENGGUNAAN
Sechin Mikhail Alexandrovich
Akademi Kecil sains untuk pelajar Republik Kazakhstan "Iskatel"
MBOU "Sekolah Menengah Sovetskaya No. 1", gred ke-11, bandar. Soviet Daerah Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, cikgu MBOU"Sekolah Menengah Soviet No. 1"
Daerah Sovetsky
Matlamat kerja: kajian mekanisme untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma C3 menggunakan kaedah bukan piawai, mengenal pasti fakta menarik logaritma
Subjek kajian:
3) Belajar menyelesaikan ketaksamaan logaritma tertentu C3 menggunakan kaedah bukan piawai.
Keputusan:
Kandungan
Pengenalan………………………………………………………………………………….4
Bab 1. Sejarah isu………………………………………………………………5
Bab 2. Pengumpulan ketaksamaan logaritma ……………………………… 7
2.1. Peralihan setara dan kaedah umum bagi selang …………… 7
2.2. Kaedah rasionalisasi……………………………………………………………… 15
2.3. Penggantian bukan piawai…………………………………………………… ............ ..... 22
2.4. Tugasan dengan perangkap……………………………………………………27
Kesimpulan………………………………………………………………………… 30
Kesusasteraan………………………………………………………………. 31
pengenalan
Saya berada di darjah 11 dan bercadang untuk memasuki universiti di mana mata pelajaran khusus ialah matematik. Itulah sebabnya saya banyak bekerja dengan masalah dalam bahagian C. Dalam tugasan C3, saya perlu menyelesaikan ketaksamaan bukan standard atau sistem ketaksamaan, biasanya berkaitan dengan logaritma. Semasa membuat persediaan untuk peperiksaan, saya berhadapan dengan masalah kekurangan kaedah dan teknik untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma peperiksaan yang ditawarkan dalam C3. Kaedah yang dikaji dalam kurikulum sekolah mengenai topik ini, jangan sediakan asas untuk menyelesaikan tugasan C3. Guru matematik mencadangkan saya mengerjakan tugasan C3 secara bebas di bawah bimbingannya. Di samping itu, saya berminat dengan soalan: adakah kita menghadapi logaritma dalam kehidupan kita?
Dengan ini, topik ini dipilih:
“Ketaksamaan logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu”
Matlamat kerja: mengkaji mekanisme untuk menyelesaikan masalah C3 menggunakan kaedah bukan piawai, mengenal pasti fakta menarik tentang logaritma.
Subjek kajian:
1) Cari maklumat yang diperlukan O kaedah bukan standard penyelesaian kepada ketaksamaan logaritma.
2) Cari maklumat tambahan tentang logaritma.
3) Belajar membuat keputusan tugasan tertentu C3 menggunakan kaedah bukan piawai.
Keputusan:
Kepentingan praktikal terdiri daripada mengembangkan radas untuk menyelesaikan masalah C3. bahan ini boleh digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk kelab, dan kelas elektif dalam matematik.
Produk projek akan menjadi koleksi "Ketaksamaan Logaritma C3 dengan Penyelesaian."
Bab 1. Latar Belakang
Sepanjang abad ke-16, bilangan pengiraan anggaran meningkat dengan pesat, terutamanya dalam astronomi. Memperbaiki instrumen, mengkaji pergerakan planet dan kerja lain memerlukan pengiraan yang besar, kadangkala berbilang tahun. Astronomi terancam bahaya sebenar tenggelam dalam pengiraan yang tidak tercapai. Kesukaran timbul di kawasan lain, contohnya, dalam perniagaan insurans, meja diperlukan faedah kompaun Untuk makna yang berbeza peratus. Kesukaran utama diwakili pendaraban, pembahagian nombor berbilang digit, terutamanya kuantiti trigonometri.
Penemuan logaritma adalah berdasarkan sifat janjang yang terkenal pada akhir abad ke-16. Mengenai hubungan antara ahli janjang geometri q, q2, q3, ... dan janjang aritmetik penunjuk mereka ialah 1, 2, 3,... Archimedes bercakap dalam "Psalmitis"nya. Prasyarat lain ialah lanjutan konsep darjah kepada negatif dan penunjuk pecahan. Ramai penulis telah menegaskan bahawa pendaraban, pembahagian, eksponen dan pengekstrakan akar dalam janjang geometri sepadan dalam aritmetik - dalam susunan yang sama - penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian.
Inilah idea logaritma sebagai eksponen.
Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma, beberapa peringkat telah berlalu.
Peringkat 1
Logaritma dicipta tidak lewat daripada 1594 secara bebas oleh Baron Napier Scotland (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Bürgi (1552-1632). Kedua-duanya mahu memberikan cara baru yang mudah pengiraan aritmetik, walaupun mereka menghampiri tugas ini secara berbeza. Napier secara kinematik menyatakan fungsi logaritma dan dengan itu dimasukkan ke dalam kawasan baru teori fungsi. Bürgi kekal atas dasar mempertimbangkan perkembangan diskret. Walau bagaimanapun, takrifan logaritma untuk kedua-duanya tidak serupa dengan yang moden. Istilah "logaritma" (logaritmus) adalah milik Napier. Ia timbul daripada gabungan perkataan Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "nombor", yang bermaksud "bilangan hubungan". Pada mulanya, Napier menggunakan istilah yang berbeza: numeri artificiales - "nombor buatan", berbanding dengan numeri naturalts - "nombor asli".
Pada tahun 1615, dalam perbualan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematik di Gresh College di London, Napier mencadangkan mengambil sifar sebagai logaritma satu, dan 100 sebagai logaritma sepuluh, atau, apakah jumlah yang sama. perkara, hanya 1. Beginilah rupa mereka logaritma perpuluhan dan jadual logaritma pertama telah dicetak. Kemudian, meja Briggs telah ditambah oleh penjual buku Belanda dan peminat matematik Adrian Flaccus (1600-1667). Napier dan Briggs, walaupun mereka datang kepada logaritma lebih awal daripada orang lain, menerbitkan jadual mereka lebih lewat daripada yang lain - pada tahun 1620. Log tanda dan Log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma semulajadi" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659 dan diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Speidel menerbitkan jadual logaritma semula jadi nombor dari 1 hingga 1000 di bawah nama "Logaritma Baru".
Jadual logaritma pertama diterbitkan dalam bahasa Rusia pada tahun 1703. Tetapi dalam semua jadual logaritma terdapat ralat pengiraan. Jadual bebas ralat pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin, diproses oleh ahli matematik Jerman K. Bremiker (1804-1877).
Peringkat 2
Perkembangan selanjutnya teori logaritma dikaitkan dengan aplikasi yang lebih luas geometri analisis dan kalkulus infinitesimal. Pada masa itu, penubuhan hubungan antara kuadratur hiperbola sama sisi Dan logaritma semula jadi. Teori logaritma tempoh ini dikaitkan dengan nama beberapa ahli matematik.
ahli matematik Jerman, ahli astronomi dan jurutera Nikolaus Mercator dalam sebuah esei
"Logaritmoteknik" (1668) memberikan siri yang memberikan pengembangan ln(x+1) dalam
kuasa x:
Ungkapan ini betul-betul sepadan dengan aliran pemikirannya, walaupun, tentu saja, dia tidak menggunakan tanda d, ..., tetapi simbolisme yang lebih rumit. Dengan penemuan siri logaritma, teknik untuk mengira logaritma berubah: mereka mula ditentukan menggunakan siri tak terhingga. Dalam kuliahnya" Matematik asas Dengan titik tertinggi penglihatan", dibaca pada 1907-1908, F. Klein mencadangkan menggunakan formula sebagai titik permulaan untuk membina teori logaritma.
Peringkat 3
Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi songsang
eksponen, logaritma sebagai eksponen asas ini
tidak dirumus serta merta. Esei oleh Leonhard Euler (1707-1783)
"An Introduction to the Analysis of Infinitesimals" (1748) berkhidmat untuk selanjutnya
perkembangan teori fungsi logaritma. Oleh itu,
134 tahun telah berlalu sejak logaritma mula diperkenalkan
(dikira dari 1614), sebelum ahli matematik mencapai definisi
konsep logaritma, yang kini menjadi asas kursus sekolah.
Bab 2. Pengumpulan ketaksamaan logaritma
2.1. Peralihan setara dan kaedah umum selang.
Peralihan yang setara
, jika a > 1
, jika 0 <
а <
1
Kaedah umum selang waktu
Kaedah ini paling universal apabila menyelesaikan ketaksamaan hampir semua jenis. Rajah penyelesaian kelihatan seperti ini:
1. Bawa ketaksamaan ke bentuk di mana fungsi di sebelah kiri adalah 
, dan di sebelah kanan 0.
2. Cari domain bagi fungsi tersebut .
3. Cari sifar bagi fungsi tersebut , iaitu, selesaikan persamaan 
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan ketaksamaan).
4. Lukis domain definisi dan sifar bagi fungsi pada garis nombor.
5. Tentukan tanda-tanda fungsi pada selang yang diperolehi.
6. Pilih selang di mana fungsi mengambil nilai yang diperlukan dan tulis jawapannya.
Contoh 1.
Penyelesaian:
Mari gunakan kaedah selang
di mana
Untuk nilai ini, semua ungkapan di bawah tanda logaritma adalah positif.
Jawapan:
Contoh 2.
Penyelesaian:
pertama cara . ADL ditentukan oleh ketidaksamaan x> 3. Mengambil logaritma untuk sedemikian x ke asas 10, kita dapat
Ketaksamaan terakhir boleh diselesaikan dengan menggunakan peraturan pengembangan, i.e. membandingkan faktor kepada sifar. Walau bagaimanapun, dalam dalam kes ini mudah untuk menentukan selang tanda malar bagi sesuatu fungsi
oleh itu, kaedah selang boleh digunakan.
Fungsi f(x) = 2x(x- 3.5) lgǀ x- 3ǀ adalah selanjar pada x> 3 dan hilang pada titik x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Oleh itu, kita menentukan selang tanda malar bagi fungsi itu f(x):
Jawapan:
kaedah ke-2 . Marilah kita menggunakan idea kaedah selang secara langsung kepada ketaksamaan asal.
Untuk melakukan ini, ingat bahawa ungkapan a b- a c dan ( a - 1)(b- 1) mempunyai satu tanda. Kemudian ketidaksamaan kami di x> 3 adalah bersamaan dengan ketaksamaan
atau
Ketaksamaan terakhir diselesaikan menggunakan kaedah selang
Jawapan:
Contoh 3.
Penyelesaian:
Mari gunakan kaedah selang
Jawapan:
Contoh 4.
Penyelesaian:
Sejak 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 untuk semua sebenar x, Itu
Untuk menyelesaikan ketaksamaan kedua kita menggunakan kaedah selang
Dalam ketidaksamaan pertama kita membuat penggantian
maka kita sampai kepada ketaksamaan 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, yang memenuhi ketaksamaan -0.5< y < 1.
Dari mana, kerana
kita mendapat ketidaksamaan
yang dijalankan apabila x, yang mana 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sekarang, dengan mengambil kira penyelesaian kepada ketidaksamaan kedua sistem, kami akhirnya memperoleh
Jawapan:
Contoh 5.
Penyelesaian:
Ketaksamaan adalah bersamaan dengan koleksi sistem
atau
Mari gunakan kaedah selang atau
Jawab:
Contoh 6.
Penyelesaian:
Ketaksamaan sama sistem
biarlah
Kemudian y > 0,
dan ketidaksamaan pertama
sistem mengambil bentuk
atau, terbentang
trinomial kuadratik oleh faktor,
Menggunakan kaedah selang untuk ketaksamaan terakhir,
kita melihat bahawa penyelesaiannya memenuhi syarat y> 0 akan menjadi semua y > 4.
Oleh itu, ketidaksamaan asal adalah bersamaan dengan sistem:
Jadi, penyelesaian kepada ketidaksamaan adalah semua
2.2. Kaedah rasionalisasi.
Kaedah sebelum ini rasionalisasi ketidaksamaan tidak diselesaikan, ia tidak diketahui. Ini adalah "moden baru" kaedah yang berkesan penyelesaian kepada ketaksamaan eksponen dan logaritma" (petikan dari buku oleh S.I. Kolesnikova)
Dan walaupun guru mengenalinya, ada ketakutan - adakah dia mengenalinya? Pakar Peperiksaan Negeri Bersatu, mengapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Terdapat situasi apabila guru berkata kepada pelajar: "Duduk di mana - 2."
Kini kaedah itu dipromosikan di mana-mana. Dan untuk pakar ada garis panduan berkaitan dengan kaedah ini, dan dalam "Edisi Paling Lengkap pilihan biasa..." Penyelesaian C3 menggunakan kaedah ini.
KAEDAH HEBAT!
« Meja ajaib»
Dalam sumber lain
Jika a >1 dan b >1, kemudian log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;
Jika a >1 dan 0 jika 0<a<1 и b
>1, kemudian log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jika 0<a<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0. Penaakulan yang dijalankan adalah mudah, tetapi dengan ketara memudahkan penyelesaian ketaksamaan logaritma. Contoh 4.
log x (x 2 -3)<0
Penyelesaian:
Contoh 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Penyelesaian: Contoh 6.
Untuk menyelesaikan ketaksamaan ini, bukannya penyebut, kita tulis (x-1-1)(x-1), dan bukannya pengangka, kita tulis hasil darab (x-1)(x-3-9 + x). Contoh 7.
Contoh 8.
2.3. Penggantian bukan standard. Contoh 1.
Contoh 2.
Contoh 3.
Contoh 4.
Contoh 5.
Contoh 6.
Contoh 7.
log 4 (3 x -1)log 0.25 Mari buat penggantian y=3 x -1; maka ketidaksamaan ini akan wujud Log 4 log 0.25 Kerana log 0.25 Mari kita buat penggantian t =log 4 y dan dapatkan ketaksamaan t 2 -2t +≥0, penyelesaiannya ialah selang - Oleh itu, untuk mencari nilai y kita mempunyai satu set dua ketaksamaan mudah Oleh itu, ketaksamaan asal adalah bersamaan dengan set dua ketaksamaan eksponen, Penyelesaian kepada ketaksamaan pertama set ini ialah selang 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Contoh 8.
Penyelesaian:
Ketaksamaan sama sistem Penyelesaian kepada ketidaksamaan kedua yang mentakrifkan ODZ ialah set daripadanya x,
untuk yang mana x > 0.
Untuk menyelesaikan ketidaksamaan pertama kita membuat penggantian Kemudian kita mendapat ketidaksamaan atau Set penyelesaian kepada ketaksamaan terakhir ditemui dengan kaedah selang: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, kita mendapatkan atau Banyak itu x, yang memenuhi ketidaksamaan terakhir kepunyaan ODZ ( x> 0), oleh itu, adalah penyelesaian kepada sistem, dan oleh itu ketidaksamaan asal. Jawapan: 2.4. Tugas dengan perangkap. Contoh 1.
Penyelesaian. ODZ bagi ketaksamaan adalah semua x memenuhi syarat 0 Contoh 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Jawab. (0; 0.5)U.
Jawab :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , kemudian kita tulis semula ketaksamaan terakhir sebagai 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Penyelesaian kepada set ini ialah selang 0<у≤2 и 8≤у<+.
iaitu agregat 
. Oleh itu, ketaksamaan asal dipenuhi untuk semua nilai x dari selang 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Oleh itu, semua x adalah daripada selang 0
Kesimpulan
Bukan mudah untuk mencari kaedah khusus untuk menyelesaikan masalah C3 daripada banyak sumber pendidikan yang berbeza. Dalam perjalanan kerja yang dilakukan, saya dapat mengkaji kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma kompleks. Ini adalah: peralihan setara dan kaedah selang umum, kaedah rasionalisasi , penggantian bukan piawai , tugas dengan perangkap pada ODZ. Kaedah ini tidak termasuk dalam kurikulum sekolah.
Menggunakan kaedah yang berbeza, saya menyelesaikan 27 ketaksamaan yang dicadangkan pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam bahagian C, iaitu C3. Ketaksamaan dengan penyelesaian mengikut kaedah ini membentuk asas koleksi "C3 Logaritma Ketaksamaan dengan Penyelesaian," yang menjadi produk projek aktiviti saya. Hipotesis yang saya kemukakan pada permulaan projek telah disahkan: Masalah C3 boleh diselesaikan dengan berkesan jika anda mengetahui kaedah ini.
Di samping itu, saya menemui fakta menarik tentang logaritma. Ia adalah menarik bagi saya untuk melakukan ini. Produk projek saya akan berguna untuk pelajar dan guru.
Kesimpulan:
Oleh itu, matlamat projek telah dicapai dan masalah telah diselesaikan. Dan saya menerima pengalaman aktiviti projek yang paling lengkap dan pelbagai di semua peringkat kerja. Semasa mengusahakan projek itu, impak perkembangan utama saya adalah pada kecekapan mental, aktiviti yang berkaitan dengan operasi mental logik, pembangunan kecekapan kreatif, inisiatif peribadi, tanggungjawab, ketabahan, dan aktiviti.
Jaminan kejayaan apabila membuat projek penyelidikan untuk Saya memperoleh: pengalaman sekolah yang penting, keupayaan untuk mendapatkan maklumat daripada pelbagai sumber, menyemak kebolehpercayaannya, dan meletakkannya mengikut kepentingan.
Sebagai tambahan kepada pengetahuan subjek langsung dalam matematik, saya mengembangkan kemahiran praktikal saya dalam bidang sains komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru dalam bidang psikologi, menjalin hubungan dengan rakan sekelas, dan belajar untuk bekerjasama dengan orang dewasa. Semasa aktiviti projek, kemahiran pendidikan am organisasi, intelek dan komunikatif telah dibangunkan.
kesusasteraan
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem ketidaksamaan dengan satu pembolehubah (tugas standard C3).
2. Malkova A. G. Persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam Matematik.
3. Samarova S. S. Menyelesaikan ketaksamaan logaritma.
4. Matematik. Koleksi karya latihan yang disunting oleh A.L. Semenov dan I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Di antara kepelbagaian keseluruhan ketaksamaan logaritma, ketaksamaan dengan asas pembolehubah dikaji secara berasingan. Mereka diselesaikan menggunakan formula khas, yang atas sebab tertentu jarang diajar di sekolah:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Daripada kotak semak "∨", anda boleh meletakkan sebarang tanda ketidaksamaan: lebih atau kurang. Perkara utama ialah dalam kedua-dua ketidaksamaan tanda-tanda adalah sama.
Dengan cara ini kita menyingkirkan logaritma dan mengurangkan masalah kepada ketidaksamaan rasional. Yang terakhir adalah lebih mudah untuk diselesaikan, tetapi apabila membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, sudah cukup untuk mencari julat nilai yang boleh diterima. Jika anda terlupa ODZ logaritma, saya amat mengesyorkan untuk mengulanginya - lihat "Apakah itu logaritma".
Segala-galanya yang berkaitan dengan julat nilai yang boleh diterima mesti ditulis dan diselesaikan secara berasingan:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Empat ketidaksamaan ini membentuk satu sistem dan mesti dipenuhi secara serentak. Apabila julat nilai yang boleh diterima telah dijumpai, semua yang tinggal adalah untuk memotongnya dengan penyelesaian ketidaksamaan rasional - dan jawapannya sudah sedia.
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
Pertama, mari kita tuliskan ODZ logaritma:
Dua ketaksamaan pertama dipenuhi secara automatik, tetapi yang terakhir perlu dihapuskan. Oleh kerana kuasa dua nombor adalah sifar jika dan hanya jika nombor itu sendiri adalah sifar, kita mempunyai:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Ternyata ODZ bagi logaritma ialah semua nombor kecuali sifar: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sekarang kita menyelesaikan ketidaksamaan utama:
Kami membuat peralihan daripada ketaksamaan logaritma kepada yang rasional. Ketaksamaan asal mempunyai tanda "kurang daripada", yang bermaksud ketidaksamaan yang terhasil juga mesti mempunyai tanda "kurang daripada". Kami ada:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.
Sifar bagi ungkapan ini ialah: x = 3; x = −3; x = 0. Selain itu, x = 0 ialah punca bagi gandaan kedua, yang bermaksud bahawa apabila melaluinya, tanda fungsi itu tidak berubah. Kami ada:
Kami mendapat x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Set ini terkandung sepenuhnya dalam ODZ logaritma, yang bermaksud ini adalah jawapannya.
Menukar ketaksamaan logaritma
Selalunya ketidaksamaan asal adalah berbeza daripada yang di atas. Ini boleh diperbetulkan dengan mudah menggunakan peraturan standard untuk bekerja dengan logaritma - lihat "Sifat asas logaritma". Iaitu:
- Sebarang nombor boleh diwakili sebagai logaritma dengan asas yang diberikan;
- Jumlah dan perbezaan logaritma dengan asas yang sama boleh digantikan dengan satu logaritma.
Secara berasingan, saya ingin mengingatkan anda tentang julat nilai yang boleh diterima. Oleh kerana mungkin terdapat beberapa logaritma dalam ketaksamaan asal, ia diperlukan untuk mencari VA bagi setiap daripadanya. Oleh itu, skema umum untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma adalah seperti berikut:
- Cari VA bagi setiap logaritma yang termasuk dalam ketaksamaan;
- Kurangkan ketaksamaan kepada satu piawai menggunakan formula untuk menambah dan menolak logaritma;
- Selesaikan ketaksamaan yang terhasil mengikut skema yang diberikan di atas.
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
Mari cari domain definisi (DO) bagi logaritma pertama:
Kami menyelesaikan menggunakan kaedah selang. Mencari sifar pembilang:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Kemudian - sifar penyebut:
x − 1 = 0;
x = 1.
Kami menandakan sifar dan tanda pada anak panah koordinat:
Kami mendapat x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritma kedua akan mempunyai VA yang sama. Jika anda tidak percaya, anda boleh menyemaknya. Sekarang kita mengubah logaritma kedua supaya asasnya adalah dua:
Seperti yang anda boleh lihat, tiga di pangkal dan di hadapan logaritma telah dikurangkan. Kami mendapat dua logaritma dengan asas yang sama. Mari kita tambah mereka:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Kami memperoleh ketaksamaan logaritma piawai. Kami menyingkirkan logaritma menggunakan formula. Memandangkan ketaksamaan asal mengandungi tanda "kurang daripada", ungkapan rasional yang terhasil juga mestilah kurang daripada sifar. Kami ada:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Kami mendapat dua set:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Jawapan calon: x ∈ (−1; 3).
Ia kekal untuk memotong set ini - kami mendapat jawapan sebenar:
Kami berminat dengan persilangan set, jadi kami memilih selang yang berlorek pada kedua-dua anak panah. Kami mendapat x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - semua mata tertusuk.
Selalunya, apabila menyelesaikan ketaksamaan logaritma, terdapat masalah dengan asas logaritma berubah-ubah. Oleh itu, ketaksamaan bentuk
adalah ketidaksamaan sekolah standard. Sebagai peraturan, untuk menyelesaikannya, peralihan kepada set sistem yang setara digunakan:
Kelemahan kaedah ini ialah keperluan untuk menyelesaikan tujuh ketaksamaan, tidak mengira dua sistem dan satu populasi. Sudah dengan fungsi kuadratik ini, menyelesaikan populasi boleh mengambil banyak masa.
Adalah mungkin untuk mencadangkan cara alternatif yang kurang memakan masa untuk menyelesaikan ketidaksamaan piawai ini. Untuk melakukan ini, kami mengambil kira teorem berikut.
Teorem 1. Biarkan terdapat fungsi peningkatan berterusan pada set X. Kemudian pada set ini tanda kenaikan fungsi akan bertepatan dengan tanda kenaikan hujah, i.e. , Di mana 
.
Nota: jika fungsi menurun berterusan pada set X, maka .
Mari kita kembali kepada ketidaksamaan. Mari kita beralih kepada logaritma perpuluhan (anda boleh beralih kepada mana-mana dengan asas tetap lebih besar daripada satu).
Sekarang anda boleh menggunakan teorem, melihat pertambahan fungsi dalam pengangka 
dan dalam penyebut. Jadi benarlah
Akibatnya, bilangan pengiraan yang membawa kepada jawapan dikurangkan sebanyak kira-kira separuh, yang menjimatkan bukan sahaja masa, tetapi juga membolehkan anda berpotensi membuat lebih sedikit kesilapan aritmetik dan cuai.
Contoh 1.
Membandingkan dengan (1) kita dapati 
, 
, .
Beralih ke (2) kita akan mempunyai:
Contoh 2.
Membandingkan dengan (1) kita dapati , , .
Beralih ke (2) kita akan mempunyai:
Contoh 3.
Oleh kerana bahagian kiri ketaksamaan ialah fungsi yang semakin meningkat sebagai dan 
, maka jawapannya akan banyak.
Banyak contoh di mana Tema 1 boleh digunakan dengan mudah boleh dikembangkan dengan mengambil kira Tema 2.
Biarkan pada set X fungsi , , , ditakrifkan, dan pada set ini tanda dan bertepatan, i.e. , maka ia akan berlaku adil.
Contoh 4.
Contoh 5.
Dengan pendekatan standard, contoh diselesaikan mengikut skema berikut: produk adalah kurang daripada sifar apabila faktor-faktornya mempunyai tanda yang berbeza. Itu. satu set dua sistem ketaksamaan dipertimbangkan, di mana, seperti yang ditunjukkan pada permulaan, setiap ketidaksamaan terbahagi kepada tujuh lagi.
Jika kita mengambil kira teorem 2, maka setiap faktor, dengan mengambil kira (2), boleh digantikan dengan fungsi lain yang mempunyai tanda yang sama dalam contoh O.D.Z ini.
Kaedah menggantikan penambahan fungsi dengan penambahan hujah, dengan mengambil kira Teorem 2, ternyata sangat mudah apabila menyelesaikan masalah Peperiksaan Negeri Bersepadu C3 standard.
Contoh 6.
Contoh 7.
. Mari kita nyatakan. Kita mendapatkan
. Ambil perhatian bahawa penggantian membayangkan: . Berbalik kepada persamaan, kita dapat
.
Contoh 8.
Dalam teorem yang kami gunakan tidak ada sekatan pada kelas fungsi. Dalam artikel ini, sebagai contoh, teorem digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma. Beberapa contoh berikut akan menunjukkan janji kaedah untuk menyelesaikan jenis ketidaksamaan yang lain.