Hari ini, kawan-kawan, tidak akan ada hingus atau sentimental. Sebaliknya, saya akan menghantar anda, tanpa sebarang soalan, ke dalam pertempuran dengan salah satu lawan yang paling hebat dalam kursus algebra gred 8-9.
Ya, anda memahami semuanya dengan betul: kita bercakap tentang ketidaksamaan dengan modulus. Kami akan melihat empat teknik asas yang anda akan belajar untuk menyelesaikan kira-kira 90% masalah tersebut. Bagaimana dengan baki 10%? Baiklah, kita akan bercakap tentang mereka dalam pelajaran yang berasingan.
Walau bagaimanapun, sebelum menganalisis mana-mana teknik, saya ingin mengingatkan anda tentang dua fakta yang anda sudah perlu tahu. Jika tidak, anda berisiko tidak memahami bahan pelajaran hari ini sama sekali.
Apa yang anda sudah perlu tahu
Captain Obviousness nampaknya membayangkan bahawa untuk menyelesaikan ketidaksamaan dengan modulus anda perlu mengetahui dua perkara:
- Bagaimana ketidaksamaan diselesaikan;
- Apakah modul?
Mari kita mulakan dengan titik kedua.
Definisi Modul
Semuanya mudah di sini. Terdapat dua definisi: algebra dan grafik. Untuk bermula dengan - algebra:
Definisi. Modulus nombor $x$ ialah sama ada nombor itu sendiri, jika ia bukan negatif, atau nombor bertentangan dengannya, jika $x$ asal masih negatif.
Ia ditulis seperti ini:
\[\kiri| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Secara ringkas, modulus ialah "nombor tanpa tolak." Dan dalam dualiti ini (di sesetengah tempat anda tidak perlu melakukan apa-apa dengan nombor asal, tetapi di tempat lain anda perlu mengalih keluar beberapa jenis tolak) di mana keseluruhan kesukaran terletak untuk pelajar permulaan.
Terdapat juga definisi geometri. Ia juga berguna untuk mengetahui, tetapi kita akan beralih kepadanya hanya dalam kes yang kompleks dan khusus, di mana pendekatan geometri lebih mudah daripada yang algebra (spoiler: bukan hari ini).
Definisi. Biarkan titik $a$ ditanda pada garis nombor. Kemudian modul $\left| x-a \right|$ ialah jarak dari titik $x$ ke titik $a$ pada baris ini.
Jika anda melukis gambar, anda akan mendapat sesuatu seperti ini:
Definisi modul grafik Satu cara atau yang lain, daripada definisi modul sifat utamanya serta-merta berikut: modulus nombor sentiasa kuantiti bukan negatif. Fakta ini akan menjadi benang merah sepanjang naratif kami hari ini.
Menyelesaikan ketaksamaan. Kaedah selang waktu
Sekarang mari kita lihat ketidaksamaan. Terdapat banyak daripada mereka, tetapi tugas kita sekarang adalah untuk dapat menyelesaikan sekurang-kurangnya yang paling mudah daripada mereka. Mereka yang mengurangkan kepada ketaksamaan linear, serta kepada kaedah selang.
Saya mempunyai dua pelajaran besar mengenai topik ini (dengan cara ini, sangat, SANGAT berguna - saya cadangkan mempelajarinya):
- Kaedah selang untuk ketidaksamaan (terutama menonton video);
- Ketaksamaan rasional pecahan adalah pengajaran yang sangat luas, tetapi selepas itu anda tidak akan mempunyai sebarang soalan sama sekali.
Jika anda tahu semua ini, jika frasa "mari beralih dari ketidaksamaan ke persamaan" tidak membuat anda mempunyai keinginan yang samar-samar untuk memukul diri anda ke dinding, maka anda sudah bersedia: selamat datang ke neraka ke topik utama pelajaran.
1. Ketaksamaan dalam bentuk "Modulus kurang daripada fungsi"
Ini adalah salah satu masalah yang paling biasa dengan modul. Ia diperlukan untuk menyelesaikan ketaksamaan bentuk:
\[\kiri| f\kanan| \ltg\]
Fungsi $f$ dan $g$ boleh menjadi apa sahaja, tetapi biasanya ia adalah polinomial. Contoh ketidaksamaan tersebut:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\kiri| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\end(align)\]
Kesemuanya boleh diselesaikan secara literal dalam satu baris mengikut skema berikut:
\[\kiri| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \betul betul)\]
Adalah mudah untuk melihat bahawa kita menyingkirkan modul, tetapi sebagai balasannya kita mendapat ketidaksamaan berganda (atau, yang merupakan perkara yang sama, sistem dua ketaksamaan). Tetapi peralihan ini mengambil kira semua masalah yang mungkin: jika nombor di bawah modulus adalah positif, kaedah itu berfungsi; jika negatif, ia masih berfungsi; dan walaupun dengan fungsi yang paling tidak mencukupi menggantikan $f$ atau $g$, kaedah itu masih akan berfungsi.
Sememangnya, persoalan timbul: tidakkah ia lebih mudah? Malangnya, ia tidak mungkin. Ini adalah intipati keseluruhan modul.
Namun, cukuplah dengan berfalsafah. Mari kita selesaikan beberapa masalah:
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
\[\kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\]
Penyelesaian. Jadi, kita mempunyai ketaksamaan klasik dalam bentuk "modulus adalah kurang" - malah tiada apa-apa yang perlu diubah. Kami bekerja mengikut algoritma:
\[\begin(align) & \left| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Anak panah kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Jangan tergesa-gesa untuk membuka kurungan yang didahului dengan "tolak": mungkin kerana tergesa-gesa anda akan membuat kesilapan yang menyinggung perasaan.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Masalahnya telah dikurangkan kepada dua ketidaksamaan asas. Mari kita perhatikan penyelesaian mereka pada garis nombor selari:
Persimpangan ramai
Persilangan set ini akan menjadi jawapannya.
Jawapan: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\]
Penyelesaian. Tugasan ini lebih sukar sedikit. Mula-mula, mari asingkan modul dengan mengalihkan sebutan kedua ke kanan:
\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]
Jelas sekali, kami sekali lagi mempunyai ketidaksamaan dalam bentuk "modul lebih kecil", jadi kami menyingkirkan modul menggunakan algoritma yang sudah diketahui:
\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]
Sekarang perhatian: seseorang akan mengatakan bahawa saya agak sesat dengan semua kurungan ini. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda sekali lagi bahawa matlamat utama kami ialah menyelesaikan ketaksamaan dengan betul dan dapatkan jawapannya. Kemudian, apabila anda telah menguasai dengan sempurna semua yang diterangkan dalam pelajaran ini, anda boleh menyelewengkannya sendiri seperti yang anda mahu: buka kurungan, tambah tolak, dsb.
Sebagai permulaan, kami hanya akan membuang tolak berganda di sebelah kiri:
\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan)=\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(x+1 \kanan) =3\kiri(x+1 \kanan)\]
Sekarang mari kita buka semua kurungan dalam ketaksamaan berganda:
Mari kita beralih kepada ketidaksamaan berganda. Kali ini pengiraan akan menjadi lebih serius:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \kanan.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( sejajar)\kanan.\]
Kedua-dua ketidaksamaan adalah kuadratik dan boleh diselesaikan menggunakan kaedah selang (itulah sebabnya saya katakan: jika anda tidak tahu apa ini, lebih baik tidak mengambil modul lagi). Mari kita beralih kepada persamaan dalam ketaksamaan pertama:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]
Seperti yang anda lihat, keluaran ialah persamaan kuadratik yang tidak lengkap, yang boleh diselesaikan dengan cara asas. Sekarang mari kita lihat ketidaksamaan kedua sistem. Di sana anda perlu menggunakan teorem Vieta:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]
Kami menandakan nombor yang terhasil pada dua garis selari (asingkan untuk ketaksamaan pertama dan pisahkan untuk yang kedua):
Sekali lagi, memandangkan kami sedang menyelesaikan sistem ketaksamaan, kami berminat dengan persilangan set berlorek: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ini jawapannya.
Jawapan: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Saya fikir selepas contoh ini skema penyelesaian adalah sangat jelas:
- Asingkan modul dengan mengalihkan semua istilah lain ke bahagian bertentangan ketaksamaan. Oleh itu kita mendapat ketaksamaan dalam bentuk $\left| f\kanan| \ltg$.
- Selesaikan ketidaksamaan ini dengan menyingkirkan modul mengikut skema yang diterangkan di atas. Pada satu ketika, adalah perlu untuk beralih daripada ketaksamaan berganda kepada sistem dua ungkapan bebas, yang setiap satunya sudah boleh diselesaikan secara berasingan.
- Akhir sekali, yang tinggal hanyalah menyilangkan penyelesaian kedua-dua ungkapan bebas ini - dan itu sahaja, kita akan mendapat jawapan muktamad.
Algoritma yang serupa wujud untuk ketaksamaan jenis berikut, apabila modulus lebih besar daripada fungsi. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa "tetapi" yang serius. Kita akan bercakap tentang "tetapi" ini sekarang.
2. Ketaksamaan dalam bentuk "Modulus lebih besar daripada fungsi"
Mereka kelihatan seperti ini:
\[\kiri| f\kanan| \gtg\]
Sama dengan yang sebelumnya? nampaknya. Namun masalah sedemikian diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza. Secara rasmi, skim ini adalah seperti berikut:
\[\kiri| f\kanan| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
Dengan kata lain, kami mempertimbangkan dua kes:
- Pertama, kami hanya mengabaikan modul dan menyelesaikan ketidaksamaan biasa;
- Kemudian, pada dasarnya, kami mengembangkan modul dengan tanda tolak, dan kemudian darab kedua-dua belah ketaksamaan dengan -1, sementara saya mempunyai tanda.
Dalam kes ini, pilihan digabungkan dengan kurungan persegi, i.e. Kami mempunyai sebelum kami gabungan dua keperluan.
Sila ambil perhatian sekali lagi: ini bukan sistem, tetapi keseluruhan, oleh itu dalam jawapan set digabungkan dan bukannya bersilang. Ini adalah perbezaan asas dari perkara sebelumnya!
Secara umum, ramai pelajar benar-benar keliru dengan kesatuan dan persimpangan, jadi mari kita selesaikan isu ini sekali dan untuk semua:
- "∪" ialah tanda kesatuan. Sebenarnya, ini adalah huruf bergaya "U", yang datang kepada kami dari bahasa Inggeris dan merupakan singkatan untuk "Union", i.e. "Persatuan".
- "∩" ialah tanda persimpangan. Omong kosong ini tidak datang dari mana-mana, tetapi hanya muncul sebagai titik balas kepada "∪".
Untuk menjadikannya lebih mudah untuk diingati, hanya tarik kaki ke papan tanda ini untuk membuat cermin mata (jangan sekarang menuduh saya mempromosikan ketagihan dadah dan alkoholisme: jika anda serius mempelajari pelajaran ini, maka anda sudah menjadi penagih dadah):
Perbezaan antara persilangan dan penyatuan set Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, ini bermakna yang berikut: kesatuan (keseluruhan) merangkumi elemen dari kedua-dua set, dan oleh itu sama sekali tidak kurang daripada setiap daripada mereka; tetapi persimpangan (sistem) hanya merangkumi unsur-unsur yang serentak dalam kedua-dua set pertama dan kedua. Oleh itu, persilangan set tidak pernah lebih besar daripada set sumber.
Jadi ia menjadi lebih jelas? Itu hebat. Mari kita teruskan untuk berlatih.
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\]
Penyelesaian. Kami meneruskan mengikut skema:
\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ betul.\]
Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan dalam populasi:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Kami menandakan setiap set yang terhasil pada garis nombor, dan kemudian menggabungkannya:
Kesatuan set
Agak jelas bahawa jawapannya ialah $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Jawapan: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\]
Penyelesaian. Nah? Tiada apa-apa - semuanya sama. Kami beralih daripada ketaksamaan dengan modulus kepada set dua ketaksamaan:
\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Anak panah kanan \kiri[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]
Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan. Malangnya, akar di sana tidak akan menjadi sangat baik:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\ptg \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]
Ketaksamaan kedua juga agak liar:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\ptg \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]
Sekarang anda perlu menandakan nombor ini pada dua paksi - satu paksi untuk setiap ketaksamaan. Walau bagaimanapun, anda perlu menandakan mata dalam susunan yang betul: semakin besar nombor, semakin jauh titik itu bergerak ke kanan.
Dan di sini persediaan menanti kami. Jika semuanya jelas dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (istilah dalam pengangka yang pertama pecahan adalah kurang daripada sebutan dalam pengangka kedua , jadi jumlahnya juga kurang), dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ juga tidak akan ada kesukaran (nombor positif jelas lebih negatif), maka dengan pasangan terakhir semuanya tidak begitu jelas. Yang manakah lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Peletakan mata pada garis nombor dan, sebenarnya, jawapannya akan bergantung pada jawapan kepada soalan ini.
Jadi mari kita bandingkan:
\[\begin(matriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriks)\]
Kami mengasingkan punca, mendapat nombor bukan negatif pada kedua-dua belah ketaksamaan, jadi kami mempunyai hak untuk mengduakan kedua-dua belah:
\[\begin(matriks) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriks)\]
Saya fikir tidak mengapa bahawa $4\sqrt(13) \gt 3$, jadi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, mata akhir pada paksi akan diletakkan seperti ini:
Kes akar hodoh
Izinkan saya mengingatkan anda bahawa kita sedang menyelesaikan set, jadi jawapannya adalah kesatuan, bukan persilangan set berlorek.
Jawapan: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \kanan)$
Seperti yang anda lihat, skim kami berfungsi dengan baik untuk masalah mudah dan sangat sukar. Satu-satunya "titik lemah" dalam pendekatan ini ialah anda perlu membandingkan nombor tidak rasional dengan betul (dan percayalah: ini bukan sahaja akar). Tetapi pelajaran yang berasingan (dan sangat serius) akan ditumpukan kepada isu perbandingan. Dan kita teruskan.
3. Ketaksamaan dengan "ekor" bukan negatif
Sekarang kita sampai ke bahagian yang paling menarik. Ini adalah ketaksamaan bentuk:
\[\kiri| f\kanan| \gt \kiri| g\kanan|\]
Secara umumnya, algoritma yang akan kita bincangkan sekarang adalah betul hanya untuk modul. Ia berfungsi dalam semua ketaksamaan di mana terdapat ungkapan bukan negatif yang dijamin di kiri dan kanan:
Apa yang perlu dilakukan dengan tugas-tugas ini? Hanya ingat:
Dalam ketidaksamaan dengan "ekor" bukan negatif, kedua-dua pihak boleh dinaikkan kepada sebarang kuasa semula jadi. Tidak akan ada sekatan tambahan.
Pertama sekali, kami akan berminat untuk mengkuadratkan - ia membakar modul dan akar:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]
Hanya jangan mengelirukan ini dengan mengambil akar segi empat sama:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \kanan|\ne f\]
Banyak kesilapan telah dibuat apabila pelajar terlupa memasang modul! Tetapi ini adalah cerita yang sama sekali berbeza (ini adalah, seolah-olah, persamaan tidak rasional), jadi kita tidak akan membincangkan perkara ini sekarang. Mari kita selesaikan beberapa masalah dengan lebih baik:
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
\[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\]
Penyelesaian. Mari kita segera perhatikan dua perkara:
- Ini bukan ketidaksamaan yang ketat. Titik pada garis nombor akan dicucuk.
- Kedua-dua belah ketaksamaan jelas bukan negatif (ini adalah sifat modul: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Oleh itu, kita boleh kuasa duakan kedua-dua belah ketaksamaan untuk menyingkirkan modulus dan menyelesaikan masalah menggunakan kaedah selang biasa:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\\end(align)\]
Pada langkah terakhir, saya menipu sedikit: Saya menukar jujukan istilah, mengambil kesempatan daripada kesamarataan modul (sebenarnya, saya mendarabkan ungkapan $1-2x$ dengan -1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\cdot \kiri(3x+1 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]
Kami menyelesaikan menggunakan kaedah selang. Mari kita beralih daripada ketaksamaan kepada persamaan:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Kami menandakan akar yang ditemui pada garis nombor. Sekali lagi: semua mata dilorekkan kerana ketidaksamaan asal tidak ketat!
Menghilangkan tanda modulus
Izinkan saya mengingatkan anda untuk mereka yang sangat degil: kami mengambil tanda-tanda dari ketidaksamaan terakhir, yang telah ditulis sebelum beralih kepada persamaan. Dan kami melukis kawasan yang diperlukan dalam ketidaksamaan yang sama. Dalam kes kami, ia ialah $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Masalah selesai.
Jawapan: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
\[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]
Penyelesaian. Kami melakukan semuanya sama. Saya tidak akan mengulas - lihat sahaja urutan tindakan.
segi empat sama:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \kiri(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\kali \\ & \kali \kiri(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]
Kaedah selang:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Anak panah kanan x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Anak panah Kanan D=16-40 \lt 0\Anak panah Kanan \varnothing . \\\end(align)\]
Hanya ada satu punca pada garis nombor:
Jawapannya adalah selang keseluruhan
Jawapan: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Nota kecil tentang tugasan terakhir. Seperti yang dinyatakan oleh salah seorang pelajar saya dengan tepat, kedua-dua ungkapan submodular dalam ketaksamaan ini jelas positif, jadi tanda modulus boleh ditinggalkan tanpa membahayakan kesihatan.
Tetapi ini adalah tahap pemikiran yang sama sekali berbeza dan pendekatan yang berbeza - ia secara bersyarat boleh dipanggil kaedah akibat. Mengenainya - dalam pelajaran yang berasingan. Sekarang mari kita beralih ke bahagian akhir pelajaran hari ini dan lihat algoritma universal yang sentiasa berfungsi. Walaupun semua pendekatan sebelumnya tidak berkuasa :)
4. Kaedah penghitungan pilihan
Bagaimana jika semua teknik ini tidak membantu? Sekiranya ketidaksamaan tidak dapat dikurangkan kepada ekor bukan negatif, jika mustahil untuk mengasingkan modul, jika secara umum terdapat kesakitan, kesedihan, kemurungan?
Kemudian "artileri berat" semua matematik datang ke tempat kejadian-kaedah kekerasan. Berhubung dengan ketaksamaan dengan modulus ia kelihatan seperti ini:
- Tulis semua ungkapan submodular dan tetapkannya sama dengan sifar;
- Selesaikan persamaan yang terhasil dan tandakan punca yang terdapat pada satu garis nombor;
- Garis lurus akan dibahagikan kepada beberapa bahagian, di mana setiap modul mempunyai tanda tetap dan oleh itu didedahkan secara unik;
- Selesaikan ketaksamaan pada setiap bahagian tersebut (anda boleh mempertimbangkan secara berasingan sempadan akar yang diperoleh dalam langkah 2 - untuk kebolehpercayaan). Gabungkan hasilnya - ini akan menjadi jawapannya.
Jadi bagaimana? Lemah? Dengan mudah! Hanya untuk masa yang lama. Mari lihat dalam amalan:
Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:
\[\kiri| x+2 \kanan| \lt \kiri| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\]
Penyelesaian. Omong kosong ini tidak berpunca daripada ketidaksamaan seperti $\left| f\kanan| \lt g$, $\left| f\kanan| \gt g$ atau $\left| f\kanan| \lt \kiri| g \right|$, jadi kami bertindak ke hadapan.
Kami menulis ungkapan submodular, menyamakannya dengan sifar dan mencari punca:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Anak panah kanan x=1. \\\end(align)\]
Secara keseluruhan, kami mempunyai dua punca yang membahagikan garis nombor kepada tiga bahagian, di mana setiap modul didedahkan secara unik:
Membahagikan garis nombor dengan sifar bagi fungsi submodular
Mari lihat setiap bahagian secara berasingan.
1. Biarkan $x \lt -2$. Kemudian kedua-dua ungkapan submodular adalah negatif, dan ketaksamaan asal akan ditulis semula seperti berikut:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]
Kami mendapat had yang agak mudah. Mari kita bersilang dengan andaian awal bahawa $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Jelas sekali, pembolehubah $x$ tidak boleh serentak kurang daripada −2 dan lebih besar daripada 1.5. Tiada penyelesaian dalam bidang ini.
1.1. Mari kita pertimbangkan secara berasingan kes sempadan: $x=-2$. Mari kita gantikan nombor ini ke dalam ketaksamaan asal dan semak: adakah ia benar?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \kiri| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]
Jelas sekali bahawa rantaian pengiraan telah membawa kita kepada ketidaksamaan yang tidak betul. Oleh itu, ketaksamaan asal juga palsu, dan $x=-2$ tidak termasuk dalam jawapan.
2. Biarkan sekarang $-2 \lt x \lt 1$. Modul kiri sudah akan dibuka dengan "tambah", tetapi yang kanan masih akan dibuka dengan "tolak". Kami ada:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]
Sekali lagi kita bersilang dengan keperluan asal:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Dan sekali lagi, set penyelesaian adalah kosong, kerana tiada nombor yang kedua-duanya kurang daripada −2.5 dan lebih besar daripada −2.
2.1. Dan sekali lagi kes khas: $x=1$. Kami menggantikan ke dalam ketidaksamaan asal:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt \kiri| 0 \kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]
Sama seperti "kes khas" sebelumnya, nombor $x=1$ jelas tidak disertakan dalam jawapan.
3. Bahagian terakhir baris: $x \gt 1$. Di sini semua modul dibuka dengan tanda tambah:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
Dan sekali lagi kita memotong set yang dijumpai dengan kekangan asal:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
Akhirnya! Kami telah menemui selang yang akan menjadi jawapannya.
Jawapan: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Akhir sekali, satu nota yang boleh menyelamatkan anda daripada kesilapan bodoh semasa menyelesaikan masalah sebenar:
Penyelesaian kepada ketidaksamaan dengan moduli biasanya mewakili set berterusan pada garis nombor - selang dan segmen. Titik terpencil adalah kurang biasa. Dan lebih jarang, ia berlaku bahawa sempadan penyelesaian (hujung segmen) bertepatan dengan sempadan julat yang sedang dipertimbangkan.
Akibatnya, jika sempadan ("kes khas") yang sama tidak disertakan dalam jawapan, maka kawasan di kiri dan kanan sempadan ini hampir pasti tidak akan dimasukkan dalam jawapan. Dan sebaliknya: sempadan dimasukkan ke dalam jawapan, yang bermaksud bahawa beberapa kawasan di sekelilingnya juga akan menjadi jawapan.
Ingat perkara ini semasa menyemak penyelesaian anda.
Objektif Pelajaran
Untuk memperkenalkan pelajar sekolah kepada konsep matematik seperti modulus nombor;
Untuk mengajar murid-murid sekolah kemahiran mencari modul nombor;
Mengukuhkan bahan yang dipelajari dengan menyelesaikan pelbagai tugasan;
Tugasan
Mengukuhkan pengetahuan kanak-kanak tentang modulus nombor;
Dengan menyelesaikan tugasan ujian, semak bagaimana pelajar telah menguasai bahan yang dipelajari;
Terus menanam minat dalam pelajaran matematik;
Untuk memupuk pemikiran logik, rasa ingin tahu dan ketabahan dalam kalangan warga sekolah.
Pelan pembelajaran
1. Konsep am dan definisi modulus sesuatu nombor.
2. Makna geometri modul.
3. Modulus nombor dan sifatnya.
4. Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan yang mengandungi modulus suatu nombor.
5. Maklumat sejarah tentang istilah "modulus nombor".
6. Tugasan untuk memantapkan pengetahuan tentang topik yang dibincangkan.
7. Kerja rumah.
Konsep umum tentang modulus nombor
Modulus nombor biasanya dipanggil nombor itu sendiri jika ia tidak mempunyai nilai negatif, atau nombor yang sama adalah negatif, tetapi dengan tanda yang bertentangan.
Iaitu, modulus nombor nyata bukan negatif a ialah nombor itu sendiri:
Dan, modulus nombor nyata negatif x ialah nombor bertentangan:
Dalam rakaman ia akan kelihatan seperti ini:
Untuk pemahaman yang lebih mudah, mari kita berikan contoh. Jadi, sebagai contoh, modulus nombor 3 ialah 3, dan juga modulus nombor -3 ialah 3.
Ia berikutan daripada ini bahawa modulus nombor bermaksud nilai mutlak, iaitu nilai mutlaknya, tetapi tanpa mengambil kira tandanya. Untuk meletakkannya dengan lebih mudah, adalah perlu untuk mengalih keluar tanda dari nombor.
Modul nombor boleh ditetapkan dan kelihatan seperti ini: |3|, |x|, |a| dan lain-lain.
Jadi, sebagai contoh, modulus nombor 3 dilambangkan |3|.
Juga, perlu diingat bahawa modulus nombor tidak pernah negatif: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, dsb.
Makna geometri modul
Modulus nombor ialah jarak yang diukur dalam segmen unit dari asal ke titik. Takrifan ini mendedahkan modul dari sudut pandangan geometri.
Mari kita ambil garis koordinat dan tentukan dua titik di atasnya. Biarkan titik ini sepadan dengan nombor seperti −4 dan 2.
Sekarang mari kita perhatikan angka ini. Kami melihat titik A, yang ditunjukkan pada garis koordinat, sepadan dengan nombor -4, dan jika anda melihat dengan teliti, anda akan melihat bahawa titik ini terletak pada jarak 4 segmen unit dari titik rujukan 0. Ia berikutan bahawa panjang segmen OA adalah sama dengan empat unit. Dalam kes ini, panjang segmen OA, iaitu, nombor 4, akan menjadi modulus nombor -4.
Dalam kes ini, modul nombor dilambangkan dan ditulis dengan cara ini: |−4| = 4.
Sekarang mari kita ambil dan tentukan titik B pada garis koordinat.
Titik B ini akan sepadan dengan nombor +2, dan, seperti yang kita lihat, ia terletak pada jarak dua segmen unit dari asal. Ia berikutan daripada ini bahawa panjang segmen OB adalah sama dengan dua unit. Dalam kes ini, nombor 2 akan menjadi modulus nombor +2.
Dalam rakaman ia akan kelihatan seperti ini: |+2| = 2 atau |2| = 2.
Sekarang mari kita ringkaskan. Jika kita mengambil beberapa nombor yang tidak diketahui a dan menetapkannya pada garis koordinat sebagai titik A, maka dalam kes ini jarak dari titik A ke asal, iaitu, panjang segmen OA, adalah tepat modulus nombor "a ”.
Secara bertulis ia akan kelihatan seperti ini: |a| = OA.
Modulus nombor dan sifatnya
Sekarang mari cuba mengasingkan sifat modul, pertimbangkan semua kes yang mungkin dan tuliskannya menggunakan ungkapan literal:
Pertama, modulus nombor ialah nombor bukan negatif, yang bermaksud modulus nombor positif adalah sama dengan nombor itu sendiri: |a| = a, jika a > 0;
Kedua, modul yang terdiri daripada nombor berlawanan adalah sama: |a| = |–a|. Iaitu, sifat ini memberitahu kita bahawa nombor bertentangan sentiasa mempunyai modul yang sama, sama seperti pada garis koordinat, walaupun mereka mempunyai nombor bertentangan, mereka berada pada jarak yang sama dari titik rujukan. Ia berikutan daripada ini bahawa modul nombor bertentangan ini adalah sama.
Ketiga, modulus sifar adalah sama dengan sifar jika nombor ini ialah sifar: |0| = 0 jika a = 0. Di sini kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa modulus sifar adalah sifar mengikut takrif, kerana ia sepadan dengan asal garis koordinat.
Sifat keempat modulus ialah modulus hasil darab dua nombor adalah sama dengan hasil darab modulus nombor-nombor ini. Sekarang mari kita lihat lebih dekat apa maksudnya. Jika kita mengikut definisi, maka anda dan saya tahu bahawa modulus hasil darab nombor a dan b akan sama dengan a b, atau −(a b), jika a b ≥ 0, atau – (a b), jika a b lebih besar daripada 0. B merakam ia akan kelihatan seperti ini: |a b| = |a| |b|.
Sifat kelima ialah modulus hasil bagi nombor adalah sama dengan nisbah moduli nombor ini: |a: b| = |a| : |b|.
Dan sifat berikut bagi modul nombor:
Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan yang melibatkan modulus suatu nombor
Apabila mula menyelesaikan masalah yang mempunyai modulus nombor, anda harus ingat bahawa untuk menyelesaikan tugas sedemikian, adalah perlu untuk mendedahkan tanda modulus menggunakan pengetahuan tentang sifat yang berkaitan dengan masalah ini.
Latihan 1
Jadi, sebagai contoh, jika di bawah tanda modul terdapat ungkapan yang bergantung pada pembolehubah, maka modul itu perlu dikembangkan mengikut definisi:
Sudah tentu, apabila menyelesaikan masalah, terdapat kes apabila modul didedahkan secara unik. Jika, sebagai contoh, kita ambil
, di sini kita melihat bahawa ungkapan sedemikian di bawah tanda modulus adalah bukan negatif untuk sebarang nilai x dan y.
Atau, sebagai contoh, mari kita ambil
, kita melihat bahawa ungkapan modulus ini tidak positif untuk sebarang nilai z.
Tugasan 2
Garis koordinat ditunjukkan di hadapan anda. Pada baris ini adalah perlu untuk menandakan nombor yang modulusnya akan sama dengan 2.
Penyelesaian
Pertama sekali, kita mesti melukis garis koordinat. Anda sudah tahu bahawa untuk melakukan ini, pertama pada garis lurus anda perlu memilih bahagian asal, arah dan unit. Seterusnya, kita perlu meletakkan titik dari asal yang sama dengan jarak dua segmen unit.
Seperti yang anda lihat, terdapat dua titik sedemikian pada garis koordinat, satu daripadanya sepadan dengan nombor -2, dan satu lagi dengan nombor 2.
Maklumat sejarah tentang modulus nombor
Istilah "modul" berasal dari nama Latin modulus, yang bermaksud "ukuran". Istilah ini dicipta oleh ahli matematik Inggeris Roger Cotes. Tetapi tanda modulus diperkenalkan terima kasih kepada ahli matematik Jerman Karl Weierstrass. Apabila ditulis, modul dilambangkan menggunakan simbol berikut: | |.
Soalan untuk mengukuhkan pengetahuan tentang bahan
Dalam pelajaran hari ini, kita telah mengenali konsep seperti modulus nombor, dan sekarang mari kita semak bagaimana anda telah menguasai topik ini dengan menjawab soalan yang dikemukakan:
1. Apakah nama nombor yang bertentangan dengan nombor positif?
2. Apakah nama nombor yang bertentangan dengan nombor negatif?
3. Namakan nombor yang bertentangan dengan sifar. Adakah nombor sedemikian wujud?
4. Namakan nombor yang tidak boleh menjadi modulus nombor.
5. Takrifkan modulus suatu nombor.
Kerja rumah
1. Di hadapan anda adalah nombor yang anda perlu susun dalam susunan menurun modul. Jika anda menyelesaikan tugas dengan betul, anda akan mengetahui nama orang yang pertama kali memperkenalkan istilah "modul" ke dalam matematik.
2. Lukis garis koordinat dan cari jarak dari M (-5) dan K (8) ke asalan.
Modulus nombor nombor ini sendiri dipanggil jika ia bukan negatif, atau nombor yang sama dengan tanda bertentangan jika ia negatif.
Sebagai contoh, modulus nombor 5 ialah 5, dan modulus nombor –5 juga ialah 5.
Iaitu, modulus nombor difahami sebagai nilai mutlak, nilai mutlak nombor ini tanpa mengambil kira tandanya.
Ditandakan seperti berikut: |5|, | X|, |A| dan lain-lain.
peraturan:
Penjelasan:
|5| = 5
Ia berbunyi seperti ini: modulus nombor 5 ialah 5.
|–5| = –(–5) = 5
Ia berbunyi seperti ini: modulus nombor –5 ialah 5.
|0| = 0
Ia berbunyi seperti ini: modulus sifar ialah sifar.
Sifat modul:
1) Modulus nombor ialah nombor bukan negatif: |A| ≥ 0 2) Modul nombor berlawanan adalah sama: |A| = |–A| 3) Kuasa dua modulus nombor adalah sama dengan kuasa dua nombor ini: |A| 2 = a 2 4) Modulus hasil darab nombor adalah sama dengan hasil darab moduli nombor ini: |A · b| = |A| · | b| 6) Modulus nombor hasil adalah sama dengan nisbah moduli nombor ini: |A : b| = |A| : |b| 7) Modulus jumlah nombor adalah kurang daripada atau sama dengan jumlah modul mereka: |A + b| ≤ |A| + |b| 8) Modulus perbezaan antara nombor adalah kurang daripada atau sama dengan jumlah modul mereka: |A – b| ≤ |A| + |b| 9) Modulus jumlah/perbezaan nombor adalah lebih besar daripada atau sama dengan modulus perbezaan modulinya: |A ± b| ≥ ||A| – |b|| 10) Pengganda positif yang berterusan boleh diambil daripada tanda modulus: |m · a| = m · | A|, m >0 11) Kuasa nombor boleh dikeluarkan daripada tanda modulus: |A k | = | A| k jika a k wujud 12) Jika | A| = |b|, kemudian a = ± b |
Makna geometri modul.
Modulus nombor ialah jarak dari sifar ke nombor itu.
Sebagai contoh, mari kita ambil semula nombor 5 Jarak dari 0 hingga 5 adalah sama dengan dari 0 hingga –5 (Gamb. 1). Dan apabila penting bagi kita untuk mengetahui hanya panjang segmen, maka tanda itu bukan sahaja mempunyai makna, tetapi juga makna. Walau bagaimanapun, ini tidak benar sepenuhnya: kami mengukur jarak hanya dengan nombor positif - atau nombor bukan negatif. Biarkan harga bahagi skala kita ialah 1 cm Kemudian panjang ruas dari sifar hingga 5 ialah 5 cm, dari sifar hingga –5 juga ialah 5 cm.
Dalam amalan, jarak sering diukur bukan sahaja dari sifar - titik rujukan boleh menjadi sebarang nombor (Rajah 2). Tetapi ini tidak mengubah intipati. Tatatanda bentuk |a – b| menyatakan jarak antara titik A Dan b pada garis nombor.
Contoh 1. Selesaikan persamaan | X – 1| = 3.
Penyelesaian .
Maksud persamaan ialah jarak antara titik X dan 1 adalah sama dengan 3 (Rajah 2). Oleh itu, dari titik 1 kita mengira tiga bahagian ke kiri dan tiga bahagian ke kanan - dan kita melihat dengan jelas kedua-dua nilai X:
X 1 = –2, X 2 = 4.
Kita boleh mengiranya.
│X – 1 = 3
│X – 1 = –3
│X = 3 + 1
│X = –3 + 1
│X = 4
│ X = –2.
Jawapan: X 1 = –2; X 2 = 4.
Contoh 2. Cari modul ekspresi:
Penyelesaian .
Mula-mula, mari kita ketahui sama ada ungkapan itu positif atau negatif. Untuk melakukan ini, kami mengubah ungkapan supaya ia terdiri daripada nombor homogen. Jangan kita cari punca 5 - ia agak sukar. Mari kita lakukan dengan lebih mudah: mari kita naikkan 3 dan 10 kepada punca Kemudian bandingkan magnitud nombor yang membentuk perbezaan:
3 = √9. Oleh itu, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
Kami melihat bahawa nombor pertama adalah kurang daripada yang kedua. Ini bermakna ungkapan itu negatif, iaitu, jawapannya kurang daripada sifar:
3√5 – 10 < 0.
Tetapi mengikut peraturan, modulus nombor negatif adalah nombor yang sama dengan tanda yang bertentangan. Kami mempunyai ekspresi negatif. Oleh itu, adalah perlu untuk menukar tandanya kepada yang bertentangan. Lawan bagi 3√5 – 10 ialah –(3√5 – 10). Mari buka kurungan di dalamnya dan dapatkan jawapannya:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Jawapan .
Ketua ShMO
guru matematik _______Kalashnikova Zh.YuInstitusi pendidikan belanjawan perbandaran
"Sekolah Menengah No. 89"
Ujian tematik dalam matematik untuk gred 6
mengikut buku teks oleh I.I. Zubareva dan A.G. Mordkovich
Disusun oleh: guru matematik:
Kalashnikova Zhanna Yurievna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Kandungan
Ujian No. 1……………………………………………………………………………………….3-6
Ujian No. 2……………………………………………………………………………………….7-10
Ujian No. 3………………………………………………………………………………………………………….11-14
Jawapan…………………………………………………………………………………………………………..15
Ujian No. 1 "Nombor positif dan negatif"
Pilihan 1
Masukkan nombor pecahan negatif:
-165
38
-7.92
67Huraikan peristiwa “Nombor -5.5 ditanda pada sinar koordinat”
Boleh dipercayai
Mustahil
rawak
Antara empat nombor yang manakah paling besar?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Titik manakah terletak pada garis koordinat di sebelah kanan titik O (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1.2)
Pada waktu malam suhu udara ialah -5°C. Pada siang hari termometer sudah +3 °C. Bagaimanakah suhu udara berubah?
Meningkat sebanyak 8o
Dikurangkan sebanyak 2o
Meningkat sebanyak 2o
Dikurangkan sebanyak 8o
Titik x(-2) ditandakan pada garis koordinat – pusat simetri. Nyatakan koordinat titik yang terletak pada garis ini secara simetri kepada titik x.
(-1) dan (1)
(-1) dan (1)
(3) dan (-3)
(0) dan (-4)
Titik mana pada garis koordinat tidak simetri berkenaan dengan asalan - titik O (0).
B(-5) dan C(5)
D(0.5) dan E(-0.5)
M(-3) dan K(13)
A(18) dan X(-18)
Apakah hasil tambah nombor 0.316+0.4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Kira 25% daripada 0.4.
0,1
0,001
10
100
Kira beza 9100 dan 0.03
0,05
0,6
9,03
350Pilihan 2
Masukkan nombor pecahan negatif.
8,63
-1045
913-0,2
Terangkan peristiwa "Nombor 7 ditanda pada sinar koordinat."
rawak
Mustahil
Boleh dipercayai
Nombor yang manakah paling kecil?
15,49
154,9
1,549
1549
Antara titik yang manakah terletak pada garis koordinat di sebelah kiri titik O(0).
A(-0.5)
PADA 6)
M(0.5)
K(38)
Pada siang hari termometer menunjukkan +5°C, dan pada waktu petang -2°C. Bagaimanakah suhu udara berubah?
Meningkat sebanyak 3o
Dikurangkan sebanyak 7o
Dikurangkan sebanyak 3o
Meningkat sebanyak 7o
Pusat simetri ditanda pada garis koordinat - titik A(-3). Nyatakan koordinat titik yang terletak pada garis ini secara simetri kepada titik A.
(-2) dan (2)
(0) dan (-5)
(-6) dan (1)
(-1) dan (-5)
Titik garis koordinat yang manakah tidak simetri berkenaan dengan asalan - titik O(0).
A(6) dan B(-6)
C(12) dan D(-2)
M(-1) dan K(1)
X (-9) dan Y (9)
Apakah hasil tambah nombor 0.237 dan 0.3?
0,24
3,237
0,537
0,267
Kira 20% daripada 0.5
10
0,1
0,2
0,01
Kira beza 0.07 dan 31001250.5
1
425Ujian No. 2. Nilai mutlak sesuatu nombor. Nombor bertentangan.
Pilihan 1
Manakah antara nombor yang diberi mempunyai modulus terkecil
-11
1013-4,196
-4,2
Nyatakan persamaan yang salah
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Modulus nombor bukan negatif ialah nombor bukan negatif. Adakah kenyataan ini benar?
ya
Tidak
Antara nombor ini yang manakah bertentangan dengan nombor -34?43-43-3434Apakah nilai ungkapan -(-m) jika m = -15
+15
-15
Kira nilai ungkapan: -2.5∙4--919
-10
1
-1
Selesaikan persamaan: x=40-40
40
40 atau -40
Apakah integer yang terletak pada garis koordinat antara nombor 2.75 dan 3.9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Adakah ketaksamaan -30>-50 benar?
Tidak
Senaraikan semua integer x jika x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Pilihan 2
Nombor yang manakah mempunyai modulus terbesar?
-0,6
-50,603
493550,530
Nyatakan persamaan yang salah
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325Bolehkah modulus nombor negatif menjadi nombor negatif
ya
Tidak
Antara nombor ini, yang manakah bertentangan dengan 124?
-24
24
-124124Apakah nilai ungkapan –(-k), jika k = -9
-9
+9
Kira nilai ungkapan: 2.5:-0.5+1.250
15
-2,5
2,5
Selesaikan persamaan x=100100
-100
100 atau -100
Apakah integer yang terletak pada garis koordinat antara nombor 1 dan - 4.5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Adakah ketaksamaan -25 benar?<-10?
ya
Tidak
Senaraikan semua integer x jika x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Ujian No 3. Perbandingan nombor
Pilihan 1
Antara ketaksamaan yang manakah palsu?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
Adakah benar bahawa nombor 0 adalah lebih besar daripada mana-mana nombor negatif?
ya
Tidak
Nombor a adalah bukan negatif. Bagaimanakah kita boleh menulis pernyataan ini sebagai ketidaksamaan?
a<0a≤0a≥0a>0Tunjukkan yang terbesar daripada nombor yang diberi.
0,16
-3018-0,4
0,01
Untuk nilai semula jadi x apakah ketaksamaan x≤44, 3, 2 benar?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Untuk nilai integer y apakah ketaksamaan y benar?<-2?0
-1
0, -1, 1
Tiada nilai sedemikian
Nombor -6; -3.8; -115; 0.8 terletak:
Dalam susunan yang semakin berkurangan
Dalam susunan yang semakin meningkat
Dalam keadaan kucar-kacir
Ramalan cuaca telah disiarkan di radio: suhu dijangka turun kepada -20 °C. Terangkan peristiwa ini:
Mustahil
Boleh dipercayai
rawak
Pilihan 2
Antara ketaksamaan yang manakah benar?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Apakah tanda yang mesti ditulis di antara pecahan ini agar ketaksamaan itu benar?
-1315 -715<
>
=
Adakah benar bahawa nombor 0 adalah kurang daripada mana-mana nombor negatif?
ya
Tidak
Nombor x tidak lebih daripada sifar. Bagaimanakah kita boleh menulis pernyataan ini sebagai ketidaksamaan?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Untuk apakah nilai semula jadi a adalah ketaksamaan a≤3 benar?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Untuk nilai integer m apakah ketaksamaan m benar?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Tiada nilai sedemikian
Bilangan 1,2; -1.2; -427; -100 terletak:
Dalam keadaan kucar-kacir
Dalam susunan yang semakin meningkat
Dalam susunan yang semakin berkurangan
Titik A(5) ditanda pada garis koordinat. Satu lagi titik B ditandakan secara rawak pada garisan ini ternyata berlawanan dengan nombor 5. Huraikan peristiwa ini.
rawak
Boleh dipercayai
Mustahil
Jawapan
Ujian No 1 Ujian No 2
No. Pilihan 1 Pilihan 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
No. Pilihan 1 Pilihan 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
Ujian No 3
No. Pilihan 1 Pilihan 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3