Persamaan ialah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai tertentu huruf yang disertakan di dalamnya. Huruf yang termasuk dalam persamaan, mengikut syarat masalah, mungkin tidak sama: ada yang boleh menerima semua nilai yang sah(ia dipanggil parameter atau pekali persamaan); yang lain, nilai yang perlu dicari, dipanggil tidak diketahui.
Bergantung pada nombor persamaan yang tidak diketahui dipanggil persamaan dengan satu, dua, dsb. tidak diketahui.
Nilai-nilai yang tidak diketahui yang menjadikan persamaan menjadi identiti dipanggil penyelesaian persamaan.
Menyelesaikan persamaan bermakna mencari banyak penyelesaiannya atau membuktikan bahawa tiada penyelesaian. Bergantung pada jenis persamaan, set penyelesaian kepada persamaan boleh menjadi tak terhingga, terhingga atau kosong.
Nilai x yang tidak diketahui yang menjadikan persamaan algebra menjadi identiti dipanggil punca (kurang biasa, penyelesaian) bagi persamaan algebra.
Jadi, tugas utama Apabila menyelesaikan sebarang persamaan, kurangkan kepada yang paling mudah.
Definisi 1.
Persamaan f(x)=ф(x) di mana fungsi f dan у diberikan oleh ungkapan rasional keseluruhan dipanggil persamaan rasional keseluruhan. ODZ bagi persamaan ini ialah set semua nombor nyata.
Adalah diketahui bahawa jumlah algebra dan hasil darab polinomial ialah polinomial, jadi menggunakan transformasi identiti setiap keseluruhan ungkapan rasional boleh diwakili sebagai polinomial dan oleh itu bergerak dari persamaan kepada persamaan setara
P (x) = Q (x), di mana P (x) dan Q (x) ialah beberapa polinomial dengan satu pembolehubah x.
Menggerakkan Q(x) dalam Pers. sebelah kiri, kita mendapatkan persamaan setara P(x)-Q(x)=0, di mana di sebelah kiri terdapat polinomial, dan di sebelah kanan terdapat 0. Darjah polinomial di sebelah kiri persamaan dipanggil darjah keseluruhan persamaan rasional.
Jadi, jika kita membuka kurungan dalam persamaan, alihkan semua istilah ke sebelah kiri dan bawa yang serupa, kita akan mendapat persamaan yang setara.
Definisi 2.
Persamaan rasional integer darjah n bentuk piawai dipanggil persamaan a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0, dengan a0!=0.
Seperti yang ditunjukkan di atas, setiap integer persamaan rasional boleh dikurangkan kepada persamaan setara bentuk piawai.
Dalam kes apabila a0=1, persamaan mempunyai bentuk: xn+a1xn-1+. + an-1x+ an=0, ia dipanggil persamaan rasional integer terkurang darjah n.
Contohnya, x2+ px+q=0 - dikurangkan persamaan kuadratik.
Daripada Takrif 2, ia berikutan bahawa menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional dikurangkan kepada mencari punca polinomial di sebelah kiri persamaan.
Terdapat formula untuk mengira punca bagi persamaan darjah ketiga dan keempat. Walau bagaimanapun, formula ini sangat kompleks sehingga boleh dikatakan tidak digunakan. Untuk persamaan darjah kelima dan lebih tinggi tiada formula am pengiraan akar. Oleh itu dalam matematik moden dibangunkan pelbagai kaedah, membolehkan seseorang mencari nilai anggaran punca persamaan dengan sebarang tahap ketepatan.
1. 2. Kaedah asas untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional
Proses menyelesaikan persamaan adalah untuk mengurangkan persamaan yang diberikan kepada persamaan linear atau kuadratik. Untuk melakukan ini, dua kaedah utama digunakan: 1) pemfaktoran dan 2) memperkenalkan pembolehubah baru.
1. 2. 1. Kaedah pemfaktoran
Teorem 1. Persamaan fxxфx=0, yang ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor, adalah bersamaan dengan set persamaan f (x)=0 dan f(x)=0.
Teorem 2. Jika keseluruhan persamaan rasional dengan pekali integer mempunyai punca integer, maka ia adalah pembahagi bagi sebutan bebas persamaan ini.
Teorem 3. Jika persamaan ialah a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0 dengan pekali integer mempunyai akar rasional x0=pq, di mana pq - pecahan tidak boleh dikurangkan, maka p ialah pembahagi bagi sebutan bebas an, dan q ialah pembahagi bagi pekali pendahulu a0.
1. 2. 2. Pengenalan pembolehubah baharu
Mungkin kaedah yang paling penting untuk menyelesaikan persamaan apa-apa jenis ialah pengenalan yang tidak diketahui baru, berbanding dengan persamaan yang mempunyai bentuk yang lebih mudah, mudah dikurangkan kepada jenis asas.
Kami menyenaraikan jenis penggantian yang paling biasa.
Penggantian y = x n (penggantian kuasa)
Khususnya, menggunakan penggantian y = x 2 yang dipanggil persamaan biquadratik ax 4 + bx 2 + c = 0, a != 0 dikurangkan kepada kuasa dua.
Menggantikan y=Pn(x) atau y=√Pn(x) (menggantikan polinomial)
Penggantian yang paling biasa ialah y=ax2+bx+c atau y=ax2+bx+c
Penggantian y=Pn(x)Qm(x) (penggantian rasional pecahan). Di sini, seperti biasa, Pn(x) dan Qm(x) ialah polinomial bagi darjah n dan m, masing-masing.
Khususnya, dengan menggunakan penggantian meluas y=x+1x, apa yang dipanggil persamaan timbal balik diselesaikan, iaitu, persamaan bentuk ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a != 0.
Mari tunjukkan bagaimana ia dilakukan. Oleh kerana a != 0, nombor x = 0 bukan punca persamaan ini. Bahagikan persamaan dengan x 2 != 0, kita dapat
Dan oleh kerana x2+1x2=(x+1x)2-2, maka selepas menggantikan y=x+1x persamaan dikurangkan kepada satu kuadratik ay2+oleh+c-2a=0.
Mari berikan dua petua praktikal.
Petua 1. Penggantian pembolehubah harus dilakukan dengan segera, pada peluang pertama.
Petua 2. Persamaan untuk pembolehubah baru mesti diselesaikan hingga akhir, dan hanya kemudian kembali ke yang lama tidak diketahui
Bab 2: Bahagian praktikal
Kaedah untuk menyelesaikan satu persamaan
Untuk menyelesaikan persamaan dalam beberapa cara, pilih persamaan x4+x3-4x2+x+1=0
kaedah saya: pekali tidak pasti.
Jika terdapat punca integer, maka ia adalah pembahagi bagi sebutan bebas: x=+-1. Dengan pemilihan kita yakin bahawa x=1 ialah penyelesaian kepada persamaan. Bahagikan polinomial x4+x3-4x2+x+1 dengan binomial x-1 menggunakan sudut.
x + x - 4 x + x + 1 x - 1 x - x3 x +2 x - 2 x - 1
2x - 4 x + x + 1
2∙ x + x + 1
Jika terdapat punca integer, maka ia adalah pembahagi bagi sebutan bebas: x=+-1. Dengan pemilihan kita yakin bahawa x=1 ialah penyelesaian kepada persamaan. Bahagikan polinomial x3+2x2-2x-1 dengan binomial x-1 menggunakan sudut.
x + 2 x - 2 x - 1 x - 1 x - x2 x +3 x + 1
3x - 3 x x - 1 x - 1
Ia kekal untuk menyelesaikan persamaan kuadratik x2+3x+1=0
D=32-4∙1=9-4=5 x=-3+-52
Jawapan: x=1; x=-3+-52
Kaedah II: pemfaktoran.
Mari kita tulis 4x2=2x2+2x2 x4-2x2+1+x3+2x2+x=0
(x2-1)2+x(x2-2x+1)=0 x-12(x+1)2+x(x-1)2=0 x-12(x+12+x)=0 x- 12x+12+x=0 ⇒ x-12=0x2+ 3x+1=0
Jawapan: x=1; x=-3+-52
Kaedah III: sebagai persamaan timbal balik.
Kami melihat bahawa pekali adalah simetri, oleh itu ini adalah persamaan timbal balik. Dengan menyemak, anda boleh memastikan bahawa x = 0 bukan punca persamaan, yang bermaksud bahawa persamaan boleh dibahagikan sebutan dengan sebutan dengan x2.
x4+x3-4x2+x+1=0 ⟹ x4x2 + x3x2 - 4x2x2+xx2+1x2 =0 x2 + 1x2 + x + 1x- 4=0
Kami membuat perubahan pembolehubah: t=x + 1x t2=x + 1x2=x2 + 1x2 + 2 ⇒ x2 + 1x2=t2-2
Kemudian persamaan akan ditulis semula sebagai: t2-2+t-4=0 ⇒ t2+t-6=0 ⇒ t1=-3; t2=2.
Mari kita kembali kepada pembolehubah x.
x + 1x= -3 ⇒ x2+ 3x+1=0 ⟹ x=-3+-52 x + 1x= 2 ⇒ x2-2x+1=0 ⟹ x=1
Jawapan: x=1; x=-3+-52
Kaedah IV: grafik.
Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk: x4-4x2=-x3-x-1
Mari bina dua graf fungsi dalam satu lukisan: y=x4-4x2; y=-x3-x-1
Mari bina fungsi pertama menggunakan kaedah analisis matematik: y=x4-4x2 y=x4-4x2; y=-x3-x-1 y"=4x3-8x=2x(x2-2) y"=4x3-8x=2xx2-2=x=0,x= +- 2.
Mata tambahan: x
Mari bina fungsi kedua menggunakan kaedah analisis matematik: y=-x3-x-1 y"=-3x2-1
Mata tambahan: x
3 titik persimpangan kelihatan, tetapi nilai sebenar hanya boleh ditentukan dalam salah satu daripada mereka, ini adalah kelemahan penyelesaian grafik, serta kelemahannya - tempoh masa.
Kaedah V: umum kaedah analisis penyelesaian persamaan algebra darjah keempat (mengikut teorem Vieta darjat yang lebih tinggi)
Persamaan:
(1) mempunyai empat punca
Adalah diketahui bahawa:
Secara ringkas transformasi algebra daripada hubungan (2), (3), (4) kita perolehi:
Mari kita buat persamaan kuadratik:
Menggunakan formula (5), (6), (7) dan tatatanda, kita menulis semula persamaan (8) dalam bentuk:
Menyelesaikan persamaan (8) kita dapat:
Oleh itu, menggunakan formula (9), (10) kita memperoleh:
Memandangkan kita menulis semula formula (7) dalam bentuk:
Menggantikan formula (12) kepada formula (11) kita dapat
Dengan penjelmaan algebra mudah daripada formula (13) kita perolehi persamaan padu relatif kepada pembolehubah A:
Oleh itu, menyelesaikan persamaan darjah keempat (1) dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan padu (14), di mana dan dua persamaan kuadratik:
Menggunakan formula (9), (10) dan mengambil kira bahawa kita menulis semula formula (15), (16) dalam bentuk:
Persamaan darjah keempat yang lengkap dikurangkan kepada persamaan (1) dengan menggantikan pembolehubah dengan pembolehubah.
Jadi, mari kita selesaikan persamaan x4+x3-4x2+x+1=0.
Mari buat pengganti:
Kemudian persamaan akan ditulis semula sebagai y4-198y2+258y+125256=0.
Kemudian anda perlu menyelesaikan persamaan:
Dan juga persamaan
Sudah dihidupkan di fasa ini dapat dilihat bahawa kaedah ini sangat sukar dan menyelesaikan persamaan (*) membawa kita kepada tiga kaedah penyelesaian pertama, iaitu, kita melakukan kerja dua kali. Tetapi perkara positif tentang kaedah ini ialah ia adalah universal, iaitu, ia sesuai dengan banyak persamaan.
Kaedah VI: mengikut formula Ferrari
Ferrari mencari jalan untuk menyelesaikan persamaan darjah 4.
Biarkan ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 (1) - persamaan am darjah 4.
Jika kita meletakkan x=y-ba, maka persamaan (1) boleh dikurangkan kepada bentuk y4+2py2+2qy+r=0, (2) di mana p,q,r ialah beberapa pekali bergantung kepada a,b,c, d, e. Adalah mudah untuk melihat bahawa persamaan ini boleh ditulis seperti berikut:
(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (3)
Malah, cukup untuk membuka kurungan, kemudian semua istilah yang mengandungi t batalkan, dan kita kembali kepada persamaan (2). Mari kita pilih parameter t supaya bahagian kanan persamaan (3) ialah segi empat tepat relatif kepada y. Seperti yang diketahui, adalah perlu dan keadaan yang mencukupi Ini ialah lenyapnya diskriminasi pekali trinomial (relatif kepada y) di sebelah kanan: q2-2tt2+2pt+p2-r=0 (4)
Kami telah memperoleh persamaan padu lengkap, yang kini boleh kami selesaikan. Mari cari mana-mana puncanya dan masukkannya ke dalam persamaan (3), sekarang ia akan mengambil bentuk
(y2+p+t)2=2t(y-q2t)2.
Oleh itu y2+-2ty+p+t+-q√2t=0.
Ini adalah persamaan kuadratik. Dengan menyelesaikannya, seseorang boleh mencari punca persamaan (2), dan oleh itu (1).
Jadi, mari cuba selesaikan: x4+x3-4x2+x+1=0 ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 a=1 4b=1 6c= -4 4d=1 c=1 x=y-ba =y -14 y-144+y-143-4y-142+1=0
(y4-14)2+y3-3y2∙14+3y∙116-164-4y2-2y∙14+116=(y2-12y+116)2+y3-34y2+3y16-164-4y2-2y∙14+ 116
Sudah pada peringkat ini jelas bahawa kaedah ini sangat sukar dan penyelesaian kepada persamaan (*). Ia boleh digunakan, tetapi ia sangat intensif tenaga. Tetapi sama seperti formula Vieta, formula Ferrari adalah universal untuk mana-mana persamaan darjah empat.
Kesimpulan
Satu persamaan boleh diselesaikan dengan beberapa kaedah. Bergantung pada contoh, mencari kaedah penyelesaian berbeza-beza. Bagi setiap persamaan ada persamaannya sendiri cara yang paling baik penyelesaian.
Kami menyelesaikan contoh ini menggunakan 6 kaedah. Daripada jumlah ini, saya lebih suka kaedah pemfaktoran, kerana ia lebih pendek dan kurang intensif buruh.
Untuk menyelesaikan persamaan tertentu ini, cara yang paling optimum untuk menyelesaikannya adalah sebagai persamaan timbal balik. Tetapi kaedah ini tidak selalu digunakan, kerana ia tidak universal dan tidak sesuai dalam semua kes.
Kaedah pekali tak tentu juga mudah dalam kes ini, tetapi tidak semua persamaan mempunyai punca integer, jadi ia adalah optimum dalam kes tertentu.
Kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan adalah intensif tenaga dan tidak memberikan jawapan yang tepat. Kaedah ini mudah untuk menyelesaikan masalah di mana anda perlu mengetahui berapa banyak punca persamaan, dan bukan yang mana.
Teorem Vieta untuk persamaan darjah yang lebih tinggi ialah kaedah universal. Tetapi ia jarang digunakan kerana ia adalah intensif buruh.
Kaedah Ferrari adalah universal untuk persamaan. Tetapi untuk kes ini ia terlalu intensif tenaga.
Kerja saya bermakna kepada pelajar sekolah menengah yang akan ditemui tugasan yang serupa di United peperiksaan negeri atau di peperiksaan kemasukan ke universiti.
2. Persamaan Jika persamaan termasuk huruf, maka persamaan itu dipanggil persamaan.
Persamaan boleh benar untuk beberapa nilai surat ini
dan tidak betul untuk maksud lain.
Sebagai contoh, persamaan x + 6 = 7
benar untuk x = 1
dan palsu untuk x = 2.
3.
Persamaan setara Persamaan linear ialah ax + by + c = 0.
Contohnya: 5x – 4y + 6 = 0.
Mari kita nyatakan y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1.25x + 1.5.
Persamaan yang terhasil, bersamaan dengan yang pertama, mempunyai bentuk
y = kx + m,
di mana: x - pembolehubah bebas (argumen);
y - pembolehubah bersandar (fungsi);
k dan m ialah pekali (parameter).
4 Persamaan setara
Dua persamaan itu dipanggil bersamaan (bersamaan), jika set semua penyelesaiannya bertepatan atau kedua-duanya tidak mempunyai penyelesaian dan menandakan .
5/Persamaan darjah pertama.
Persamaan darjah pertama boleh dikurangkan kepada bentuk:
ax+b = 0,
di mana x– pembolehubah, a Dan b– beberapa nombor, dan a ≠ 0.
Dari sini adalah mudah untuk memperoleh nilai x:
b
x = – -
a
Inilah maksudnya x ialah punca persamaan.
Persamaan darjah pertama mempunyai satu punca.
Persamaan darjah kedua.
Persamaan darjah kedua boleh dikurangkan kepada bentuk:
ax 2 + bx + c = 0,
di mana x– pembolehubah, a, b, c– beberapa nombor, dan a ≠ 0.
Bilangan punca persamaan darjah kedua bergantung pada diskriminasi:
Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca;
Jika D = 0, maka persamaan mempunyai satu punca;
Jika D< 0, то уравнение корней не имеет.
Persamaan darjah kedua boleh mempunyai tidak lebih daripada dua punca.
(mengenai apa itu diskriminasi dan cara mencari punca persamaan, lihat bahagian "Formula untuk punca persamaan kuadratik. Diskriminasi" dan "Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadratik").
Persamaan darjah ketiga.
Persamaan darjah ketiga boleh dikurangkan kepada bentuk:
kapak 3 + bx 2 + cx + d = 0,
di mana x– pembolehubah, a, b, c, d– beberapa nombor, dan a ≠ 0.
Persamaan darjah ketiga boleh mempunyai tidak lebih daripada tiga punca.
Persamaan darjah keempat.
Persamaan darjah keempat boleh dikurangkan kepada bentuk:
kapak 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
di mana x– pembolehubah, a, b, c, d, e– beberapa nombor, dan a ≠ 0.
Persamaan darjah ketiga boleh mempunyai tidak lebih daripada empat punca.
Ringkasan:
1) persamaan kelima, keenam, dsb. darjah boleh diperoleh dengan mudah secara bebas dengan mengikuti rajah di atas;
2) persamaan n- ijazah tidak boleh ada lagi n akar
6/Persamaan dengan satu pembolehubah ialah kesamaan yang mengandungi hanya satu pembolehubah. Punca (atau penyelesaian) persamaan ialah nilai pembolehubah di mana persamaan bertukar menjadi kesamaan berangka sebenar.
1. 8/-11/Sistem persamaan linear: konsep asas Sistem persamaan linear.
Tidak serasi dan sistem tak tentu persamaan linear. Set persamaan linear set persamaan linear yang konsisten dan tidak konsisten.
Sistem persamaan linear adalah kesatuan daripada n persamaan linear, setiap satunya mengandungi k pembolehubah. Ia ditulis seperti ini:
Ramai, apabila menemui algebra yang lebih tinggi untuk kali pertama, tersilap percaya bahawa bilangan persamaan semestinya bertepatan dengan bilangan pembolehubah. Dalam algebra sekolah ini biasanya berlaku, tetapi untuk algebra yang lebih tinggi ini biasanya tidak benar.
Menyelesaikan sistem persamaan ialah urutan nombor ( k 1 , k 2 , ..., k n), yang merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan sistem, i.e. apabila menggantikan ke dalam persamaan ini dan bukannya pembolehubah x 1 , x 2 , ..., x n memberikan kesamaan berangka yang betul.
Sehubungan itu, menyelesaikan sistem persamaan bermakna mencari set semua penyelesaiannya atau membuktikan bahawa set ini kosong. Oleh kerana bilangan persamaan dan bilangan yang tidak diketahui mungkin tidak bertepatan, tiga kes adalah mungkin:
1. Sistem ini tidak konsisten, i.e. set semua penyelesaian adalah kosong. Cukup kes yang jarang berlaku, yang mudah ditemui tidak kira kaedah yang anda gunakan untuk menyelesaikan sistem.
2. Sistem ini konsisten dan ditakrifkan, iaitu. mempunyai tepat satu penyelesaian. Versi klasik, terkenal sejak sekolah lagi.
3. Sistem ini konsisten dan tidak ditentukan, i.e. mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Ini adalah pilihan yang paling sukar. Ia tidak mencukupi untuk menunjukkan bahawa "sistem mempunyai set tak terhingga penyelesaian” - adalah perlu untuk menerangkan bagaimana set ini distrukturkan.
Pembolehubah x i dipanggil dibenarkan, jika ia dimasukkan dalam hanya satu persamaan sistem, dan dengan pekali 1. Dalam erti kata lain, dalam persamaan baki pekali pembolehubah x i mestilah sama dengan sifar.
Jika kita memilih satu pembolehubah yang dibenarkan dalam setiap persamaan, kita memperoleh satu set pembolehubah yang dibenarkan untuk keseluruhan sistem persamaan. Sistem itu sendiri, yang ditulis dalam bentuk ini, juga akan dipanggil diselesaikan. Secara umumnya, satu dan sistem asal yang sama boleh dikurangkan kepada yang dibenarkan yang berbeza, tetapi buat masa ini kami tidak mengambil berat tentang perkara ini. Berikut adalah contoh sistem yang dibenarkan:
Kedua-dua sistem diselesaikan dengan pembolehubah x 1 , x 3 dan x 4 . Walau bagaimanapun, dengan kejayaan yang sama boleh dikatakan bahawa sistem kedua dibenarkan secara relatif x 1 , x 3 dan x 5 . Ia cukup untuk menulis semula persamaan terakhir dalam bentuk x 5 = x 4 .
Sekarang mari kita lihat lebih lanjut kes am. Semoga kita memiliki segalanya k pembolehubah, yang mana r adalah dibenarkan. Kemudian dua kes mungkin:
1. Bilangan pembolehubah yang dibenarkan r sama dengan jumlah pembolehubah k: r = k. Kami mendapatkan sistem daripada k persamaan di mana r = k pembolehubah yang dibenarkan. Sistem sedemikian adalah bersama dan pasti, kerana x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;
2. Bilangan pembolehubah yang dibenarkan r kurang jumlah nombor pembolehubah k: r < k. Selebihnya ( k − r) pembolehubah dipanggil percuma - mereka boleh mengambil sebarang nilai, dari mana pembolehubah yang dibenarkan boleh dikira dengan mudah.
Jadi, dalam sistem di atas pembolehubah x 2 , x 5 , x 6 (untuk sistem pertama) dan x 2 , x 5 (untuk yang kedua) adalah percuma. Kes apabila terdapat pembolehubah bebas lebih baik dirumuskan sebagai teorem:
Sila ambil perhatian: ini sangat perkara penting! Bergantung pada cara anda menulis sistem yang terhasil, pembolehubah yang sama boleh dibenarkan atau percuma. Kebanyakan tutor matematik yang lebih tinggi Adalah disyorkan untuk menulis pembolehubah dalam susunan leksikografi, iaitu indeks menaik. Walau bagaimanapun, anda tidak bertanggungjawab untuk mengikuti nasihat ini.
Teorem. Jika sistem dari n pembolehubah persamaan x 1 , x 2 , ..., x r- dibenarkan, dan x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- percuma, maka:
1. Jika anda menetapkan nilai pembolehubah bebas ( x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = tk), dan kemudian cari nilainya x 1 , x 2 , ..., x r, kami mendapat salah satu penyelesaiannya.
2. Jika dalam dua penyelesaian nilai pembolehubah bebas bertepatan, maka nilai pembolehubah yang dibenarkan juga bertepatan, i.e. penyelesaian adalah sama.
Apakah maksud teorem ini? Untuk mendapatkan semua penyelesaian kepada sistem persamaan yang diselesaikan, adalah cukup untuk mengasingkan pembolehubah bebas. Kemudian, memberikan kepada pembolehubah bebas makna yang berbeza, kami akan terima penyelesaian siap sedia. Itu sahaja - dengan cara ini anda boleh mendapatkan semua penyelesaian sistem. Tiada penyelesaian lain.
Kesimpulan: sistem persamaan yang diselesaikan sentiasa konsisten. Jika bilangan persamaan dalam sistem yang diselesaikan adalah sama dengan bilangan pembolehubah, sistem akan pasti jika kurang, ia akan menjadi tidak tentu.
Beberapa persamaan terbentuk Set persamaan
2. 12,13/ Ketaksamaan linear./ Ketaksamaan yang ketat dan tidak ketat Apakah ketidaksamaan? Sebarang persamaan diambil, tanda "=" ("sama") digantikan dengan tanda lain ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) dan ketaksamaan diperoleh.) Persamaan boleh menjadi apa-apa sahaja: linear, kuadratik, pecahan, eksponen, trigonometri, logaritma, dsb. dan sebagainya. Oleh itu, ketidaksamaan kita akan menjadi linear, kuadratik, dsb.
Apa yang anda perlu tahu tentang ikon ketidaksamaan? Ketaksamaan dengan ikon lebih (> ), atau kurang (< ) dipanggil tegas. Dengan ikon lebih atau sama (≥ ), kurang atau sama (≤ ) dipanggil tidak ketat. ikon tidak sama (≠ ) berdiri berasingan, tetapi anda juga perlu menyelesaikan contoh dengan ikon ini sepanjang masa. Dan kami akan membuat keputusan.)
Ikon itu sendiri tidak banyak mempengaruhi proses penyelesaian. Tetapi pada akhir keputusan, apabila memilih jawapan akhir, makna ikon muncul kekuatan penuh! Inilah yang akan kita lihat di bawah dalam contoh. Terdapat beberapa jenaka di sana ...
Ketaksamaan, seperti persamaan, wujud setia dan tidak setia. Semuanya mudah di sini, tiada helah. Katakan 5 > 2 - ketidaksamaan sebenar. 5 < 2 - tidak betul.
Ketaksamaan linear, kuadratik, pecahan, eksponen, trigonometri dan lain-lain diselesaikan dengan cara yang berbeza. Setiap jenis mempunyai kaedah sendiri, teknik khasnya sendiri. Tetapi! Semua teknik khas ini boleh digunakan hanya kepada seseorang pandangan standard ketidaksamaan. Itu. apa-apa jenis ketidaksamaan mesti terlebih dahulu sediakan untuk menggunakan kaedah anda.
3. 14,16/Sifat asas ketaksamaan/. Tindakan dengan dua ketaksamaan.
1) Jika 
2) Sifat transitif. Jika
3) Jika anda menambah nombor yang sama pada kedua-dua belah ketaksamaan sebenar, anda mendapat ketaksamaan sebenar, i.e. Jika
4) Jika kita memindahkan sebarang istilah dari satu bahagian ketaksamaan sebenar kepada yang lain, menukar tandanya kepada sebaliknya, maka kita mendapat ketaksamaan sebenar, i.e. Jika
5) Jika kedua-dua belah ketaksamaan benar didarab dengan sama nombor positif, maka ketidaksamaan itu akan menjadi benar. Sebagai contoh, jika 
6) Jika kedua-dua belah ketaksamaan benar didarab dengan sama nombor negatif Dan ubah tanda ketidaksamaan sebaliknya, hasilnya adalah ketidaksamaan yang sebenar. Sebagai contoh, jika
7) Sama seperti peraturan 5) dan 6), peraturan untuk membahagi dengan nombor yang sama terpakai. Jika 
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Mula-mula anda perlu mencari satu akar menggunakan kaedah pemilihan. Biasanya ia adalah pembahagi kepada istilah percuma. DALAM dalam kes ini pembahagi nombor 12 adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Mari kita mula menggantikannya satu demi satu:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ nombor 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ nombor -1 bukan punca kepada polinomial
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ nombor 2 ialah punca polinomial
Kami telah menemui 1 daripada punca polinomial. Punca polinomial ialah 2, yang bermaksud polinomial asal mesti boleh dibahagikan dengan x - 2. Untuk melaksanakan pembahagian polinomial, kami menggunakan skema Horner:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Pekali polinomial asal dipaparkan di baris atas. Akar yang kami temui diletakkan di dalam sel pertama baris kedua 2. Baris kedua mengandungi pekali polinomial yang terhasil daripada pembahagian. Mereka dikira seperti ini:
|
Dalam sel kedua baris kedua kita menulis nombor 2, hanya dengan mengalihkannya dari sel yang sepadan pada baris pertama. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Nombor terakhir ialah baki bahagian. Jika ia sama dengan 0, maka kami telah mengira semuanya dengan betul.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Tetapi ini bukan penamat. Anda boleh cuba mengembangkan polinomial dengan cara yang sama 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Sekali lagi kami mencari akar di kalangan pembahagi tempoh percuma. Pembahagi nombor -6 adalah ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ nombor 1 bukan punca kepada polinomial
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ nombor -1 bukan punca kepada polinomial
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ nombor 2 bukan punca kepada polinomial
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ nombor -2 ialah punca polinomial
Mari tulis akar yang ditemui ke dalam skema Horner kami dan mula mengisi sel kosong:
|
Dalam sel kedua baris ketiga kita menulis nombor 2, hanya dengan mengalihkannya dari sel yang sepadan pada baris kedua. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Oleh itu, kami memfaktorkan polinomial asal:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinomial 2x 2 + 5x - 3 boleh juga difaktorkan. Untuk melakukan ini, anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi, atau anda boleh mencari punca di antara pembahagi nombor -3. Satu cara atau yang lain, kita akan sampai pada kesimpulan bahawa punca polinomial ini ialah nombor -3
|
Dalam sel kedua baris keempat kita menulis nombor 2, hanya dengan mengalihkannya dari sel yang sepadan dalam baris ketiga. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Oleh itu, kami menguraikan polinomial asal kepada faktor linear:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
Dan punca-punca persamaan ialah.